एक पक्षपाती सिक्के को,जिसमें चित (heads) आने | vedclass

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Question

(B) माना $X$ वह यादृच्छिक चर है जो पहली बार चित प्राप्त करने के लिए आवश्यक उछालों की संख्या को दर्शाता है। यह $p$ प्राचल के साथ ज्यामितीय वितरण का पाल

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$\frac{1}{3}$

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(B) माना $X$ वह यादृच्छिक चर है जो पहली बार चित प्राप्त करने के लिए आवश्यक उछालों की संख्या को दर्शाता है। यह $p$ प्राचल के साथ ज्यामितीय वितरण का पालन करता है। प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = r) = (1 - p)^{r - 1} p$ है,जहाँ $r = 1, 2, 3, \dots$ है। हम घटना $E$ में रुचि रखते हैं जहाँ उछालों की संख्या सम है,अर्थात $X \in \{2, 4, 6, \dots\}$। प्रायिकता $P(E)$ इन परस्पर अनन्य घटनाओं की प्रायिकताओं का योग है: $P(E) = P(X = 2) + P(X = 4) + P(X = 6) + \dots$ $P(E) = (1 - p)p + (1 - p)^3 p + (1 - p)^5 p + \dots$ यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = p(1 - p)$ और सार्व अनुपात $r = (1 - p)^2$ है। अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ होता है। $P(E) = \frac{p(1 - p)}{1 - (1 - p)^2} = \frac{p(1 - p)}{1 - (1 - 2p + p^2)} = \frac{p(1 - p)}{2p - p^2} = \frac{p(1 - p)}{p(2 - p)} = \frac{1 - p}{2 - p}$। दिया गया है कि $P(E) = \frac{2}{5}$,इसलिए हम समीकरण बनाते हैं: $\frac{1 - p}{2 - p} = \frac{2}{5}$ $5(1 - p) = 2(2 - p)$ $5 - 5p = 4 - 2p$ $5 - 4 = 5p - 2p$ $1 = 3p$ $p = \frac{1}{3}$।

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