Binomial distribution Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $X$ એ $100$ વખત સિક્કો ઉછાળતા મળતી છાપની સંખ્યા છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 100$ અને $p = \frac{1}{2}$ છે.
$k$ વખત છાપ મળવાની સંભાવના $P(X=k) = {}^{100}C_k (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{100-k} = {}^{100}C_k (\frac{1}{2})^{100}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે એકી સંખ્યામાં છાપ મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X=1) + P(X=3) + \dots + P(X=99)$ છે.
આ સરવાળો $(\frac{1}{2})^{100} \times ({}^{100}C_1 + {}^{100}C_3 + \dots + {}^{100}C_{99})$ જેટલો થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે એકી ક્રમના દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો ${}^{n}C_1 + {}^{n}C_3 + \dots = 2^{n-1}$ થાય છે.
$n=100$ માટે,આ સરવાળો $2^{100-1} = 2^{99}$ થાય છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $(\frac{1}{2})^{100} \times 2^{99} = \frac{2^{99}}{2^{100}} = \frac{1}{2}$ છે.

(A) અહીં $X$ એ $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ વિસ્તાર ધરાવતો દ્વિપદી ચલ છે,તેથી પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 6$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનું સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X=k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
પ્રશ્ન મુજબ,$P(X=2) = 4 P(X=4)$.
કિંમતો મૂકતા:
${^6C_2} p^2 q^4 = 4 \cdot {^6C_4} p^4 q^2$.
કારણ કે ${^6C_2} = 15$ અને ${^6C_4} = 15$,તેથી:
$15 p^2 q^4 = 4 \cdot 15 p^4 q^2$.
બંને બાજુ $15 p^2 q^2$ વડે ભાગતા:
$q^2 = 4 p^2$.
$q = 1-p$ મૂકતા:
$(1-p)^2 = 4 p^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$1-p = 2p$ અથવા $1-p = -2p$.
કિસ્સો $1$: $1 = 3p \Rightarrow p = \frac{1}{3}$.
કિસ્સો $2$: $1 = -p \Rightarrow p = -1$ (જે શક્ય નથી કારણ કે $0 \leq p \leq 1$).
તેથી,પ્રાચલ $p = \frac{1}{3}$ છે.

(D) આપેલ છે કે સફળતાની સંભાવના $p = \frac{1}{4}$.
તેથી,નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
દ્વિપદી વિતરણનું પ્રમાણિત વિચલન $(SD)$ $\sqrt{npq} = 3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $npq = 9$ મળે છે.
$p$ અને $q$ ની કિંમતો મૂકતા:
$n \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = 9$
$n \times \frac{3}{16} = 9$
$n = 9 \times \frac{16}{3} = 48$.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $np$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યક $= 48 \times \frac{1}{4} = 12$.

(B) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
આપેલ છે કે $\mu - \sigma^2 = 1$,તેથી $np - npq = 1$,જે $np(1-q) = 1$ એટલે કે $np^2 = 1$ થાય છે.
આપેલ છે કે $2 P(X=2) = 3 P(X=1)$,આપણે સૂત્ર $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરીએ.
$2 \binom{n}{2} p^2 q^{n-2} = 3 \binom{n}{1} p^1 q^{n-1}$.
$2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} p^2 q^{n-2} = 3n p q^{n-1}$.
$(n-1) p = 3q = 3(1-p)$.
$np - p = 3 - 3p \implies np + 2p = 3$.
કારણ કે $np^2 = 1$,તેથી $n = \frac{1}{p^2}$.
$n$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{p^2} \cdot p + 2p = 3 \implies \frac{1}{p} + 2p = 3$.
$1 + 2p^2 = 3p \implies 2p^2 - 3p + 1 = 0$.
$(2p-1)(p-1) = 0$. કારણ કે $p < 1$,તેથી $p = \frac{1}{2}$.
તેથી $n = \frac{1}{(1/2)^2} = 4$.
આપણે $n^2 P(X>1) = 16(1 - P(X=0) - P(X=1))$ શોધવાનું છે.
$P(X=0) = (1/2)^4 = 1/16$.
$P(X=1) = \binom{4}{1} (1/2)^1 (1/2)^3 = 4 \cdot (1/16) = 4/16$.
$P(X>1) = 1 - (1/16 + 4/16) = 11/16$.
$n^2 P(X>1) = 16 \cdot (11/16) = 11$.

(A) $n$ અને $p$ પ્રાચલો ધરાવતા દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np = x$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq = 5$ છે,જ્યાં $q = 1 - p$ છે.
$np = x$ અને $npq = 5$ હોવાથી,આપણને $xq = 5$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{5}{x}$.
$0 < q < 1$ હોવાથી,$0 < \frac{5}{x} < 1$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x > 5$.
વળી,$p = 1 - q = 1 - \frac{5}{x} = \frac{x-5}{x}$.
$0 < p < 1$ હોવાથી,$0 < \frac{x-5}{x} < 1$ મળે છે,જે $x > 5$ સાથે સુસંગત છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n = \frac{x}{p} = \frac{x}{(x-5)/x} = \frac{x^2}{x-5}$.
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $x-5$ એ $x^2$ નો અવયવ હોવો જોઈએ.
આપણે $x^2 = (x-5)(x+5) + 25$ લખી શકીએ,તેથી $n = x+5 + \frac{25}{x-5}$.
$n$ પૂર્ણાંક બને તે માટે,$x-5$ એ $25$ નો અવયવ હોવો જોઈએ.
$25$ ના અવયવો $1, 5, 25$ છે.
કિસ્સો $1$: $x-5 = 1 \implies x = 6$. તો $n = 6+5 + 25/1 = 36$.
કિસ્સો $2$: $x-5 = 5 \implies x = 10$. તો $n = 10+5 + 25/5 = 20$.
કિસ્સો $3$: $x-5 = 25 \implies x = 30$. તો $n = 30+5 + 25/25 = 36$.
આમ,$x$ ની શક્ય કિંમતો $6, 10, 30$ છે.

(C) જ્યારે $8$ સિક્કા એકસાથે ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^8 = 256$ છે.
ધારો કે $X$ એ મળતી છાપની સંખ્યા છે. $X$ એ $n = 8$ અને $p = 0.5$ સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
ઓછામાં ઓછી $6$ છાપ મળવાની સંભાવના $P(X \ge 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8)$ છે.
સૂત્ર $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 6) = \binom{8}{6} (0.5)^8 = 28 \times \frac{1}{256} = \frac{28}{256}$.
$P(X = 7) = \binom{8}{7} (0.5)^8 = 8 \times \frac{1}{256} = \frac{8}{256}$.
$P(X = 8) = \binom{8}{8} (0.5)^8 = 1 \times \frac{1}{256} = \frac{1}{256}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \ge 6) = \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256}$.

(D) ધારો કે $n$ એ સિક્કા ઉછાળવાની સંખ્યા છે. $n$ વખત સિક્કા ઉછાળતા $k$ છાપ મળવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણ $P(X=k) = {^nC_k} (\frac{1}{2})^n$ દ્વારા મળે છે.
ઓછામાં ઓછી બે છાપ મળવાની સંભાવના $P(X \ge 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$ છે.
$P(X=0) = {^nC_0} (\frac{1}{2})^n = \frac{1}{2^n}$.
$P(X=1) = {^nC_1} (\frac{1}{2})^n = \frac{n}{2^n}$.
તેથી,$P(X \ge 2) = 1 - \frac{1+n}{2^n}$.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $1 - \frac{1+n}{2^n} \ge 0.96$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1+n}{2^n} \le 0.04 = \frac{1}{25}$.
$n$ માટે કિંમતો તપાસતા:
$n=7$ માટે: $\frac{1+7}{2^7} = \frac{8}{128} = \frac{1}{16} = 0.0625 > 0.04$.
$n=8$ માટે: $\frac{1+8}{2^8} = \frac{9}{256} \approx 0.03515 < 0.04$.
આમ,જરૂરી સિક્કા ઉછાળવાની ન્યૂનતમ સંખ્યા $8$ છે.

(A) ધારો કે $X$ એ દ્વિપદી ચલ છે જેના માટે મધ્યક $= 4$ અને વિચરણ $= 3$ છે.
તેથી $np = 4$ અને $npq = 3$.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{3}{4}$ મળે છે.
કારણ કે $p = 1 - q$,તેથી $p = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$np = 4$ માં $p$ ની કિંમત મૂકતા,$n \times \frac{1}{4} = 4$,તેથી $n = 16$.
સંભાવના વિધેય $P(X=k) = {}^{n}C_k p^k q^{n-k}$ છે.
આપણે $2^{32} P\left(X=\frac{16}{2}\right) = 2^{32} P(X=8)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$P(X=8) = {}^{16}C_8 \left(\frac{1}{4}\right)^8 \left(\frac{3}{4}\right)^{16-8} = {}^{16}C_8 \left(\frac{1}{4}\right)^8 \left(\frac{3}{4}\right)^8 = {}^{16}C_8 \frac{3^8}{4^{16}}$.
કારણ કે $4^{16} = (2^2)^{16} = 2^{32}$,તેથી $P(X=8) = {}^{16}C_8 \frac{3^8}{2^{32}}$.
તેથી,$2^{32} P(X=8) = 2^{32} \times {}^{16}C_8 \frac{3^8}{2^{32}} = {}^{16}C_8 (3^8)$.

(D) દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ માટે,વિચરણ $\operatorname{Var}(X) = npq$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q = 1 - p$ છે.
અહીં $n = 15$ અને $\operatorname{Var}(X) = 3.15$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $15 \times p(1 - p) = 3.15$.
$15$ વડે ભાગતા,$p(1 - p) = \frac{3.15}{15} = 0.21$ મળે છે.
આ સમીકરણ $p - p^2 = 0.21$ અથવા $p^2 - p + 0.21 = 0$ માં ફેરવાય છે.
અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરીને દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$p^2 - 0.7p - 0.3p + 0.21 = 0$
$p(p - 0.7) - 0.3(p - 0.7) = 0$
$(p - 0.7)(p - 0.3) = 0$.
આમ,$p$ ની શક્ય કિંમતો $0.7$ અને $0.3$ છે.

(A) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે,વિચરણ $Var(X) = n \times p \times q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q = 1 - p$.
આપેલ છે કે $X \sim B(n_1, 0.5)$,તેથી $p_1 = 0.5$ અને $q_1 = 1 - 0.5 = 0.5$.
વિચરણ $n_1 \times 0.5 \times 0.5 = 6$ છે.
$n_1 \times 0.25 = 6 \Rightarrow n_1 = \frac{6}{0.25} = 24$.
આપેલ છે કે $Y \sim B(n_2, 0.4)$,તેથી $p_2 = 0.4$ અને $q_2 = 1 - 0.4 = 0.6$.
વિચરણ $n_2 \times 0.4 \times 0.6 = 6$ છે.
$n_2 \times 0.24 = 6 \Rightarrow n_2 = \frac{6}{0.24} = 25$.
તેથી,$\sqrt{n_1 + n_2} = \sqrt{24 + 25} = \sqrt{49} = 7$.

(C) ધારો કે દિવસોની સંખ્યા $n = 7$ છે.
ધારો કે $A$ એલાર્મ વાગતા પહેલા જાગી જાય તેની સંભાવના $p = 0.4$ છે.
ધારો કે $A$ એલાર્મ વાગતા પહેલા ન જાગે તેની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$ છે.
આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E(X) = n \cdot p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યક $= 7 \times 0.4 = 2.8$.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $Var(X) = n \cdot p \cdot q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિચરણ $= 7 \times 0.4 \times 0.6 = 2.8 \times 0.6 = 1.68$.
આમ,મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે $2.8$ અને $1.68$ છે.

(C) આપેલ છે,મધ્યક $np = 2$ $(i)$
અને વિચરણ $npq = 1$ $(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$n \times \frac{1}{2} = 2$,તેથી $n = 4$.
દ્વિપદી વિતરણ $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k} = {}^4C_k (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{4-k} = {}^4C_k (\frac{1}{2})^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$ શોધવાનું છે.
$P(X > 1) = {}^4C_2 (\frac{1}{2})^4 + {}^4C_3 (\frac{1}{2})^4 + {}^4C_4 (\frac{1}{2})^4$.
$P(X > 1) = (6 + 4 + 1) \times \frac{1}{16} = \frac{11}{16}$.

(A) ધારો કે દરેક પરિવારમાં બાળકોની સંખ્યા $n = 4$ છે. બાળક છોકરો $(B)$ અથવા છોકરી $(G)$ હોવાની સંભાવના $P(B) = P(G) = \frac{1}{2}$ છે.
$4$ બાળકો ધરાવતા પરિવાર માટે,કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
બંને જાતિના બાળકો હોવાની ઘટના એ એવી ઘટનાની પૂરક ઘટના છે જેમાં બધા બાળકો એક જ જાતિના હોય (બધા છોકરાઓ અથવા બધી છોકરીઓ).
$P(\text{બધા છોકરાઓ}) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.
$P(\text{બધી છોકરીઓ}) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.
$P(\text{બંને જાતિ}) = 1 - [P(\text{બધા છોકરાઓ}) + P(\text{બધી છોકરીઓ})] = 1 - [\frac{1}{16} + \frac{1}{16}] = 1 - \frac{2}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
$800$ પરિવારો માટે,બંને જાતિના બાળકો ધરાવતા પરિવારોની અપેક્ષિત સંખ્યા $800 \times \frac{7}{8} = 700$ છે.

(B) આપેલ છે કે $X$ એ $np = 6$ મધ્યક અને $npq = 2$ વિચરણ ધરાવતો દ્વિપદી ચલ છે.
આથી,$6q = 2$,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{1}{3}$.
તેથી,$p = 1 - q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
$np = 6$ માં $p$ ની કિંમત મૂકતા,$n \times \frac{2}{3} = 6$,તેથી $n = 9$.
આપણે $P(5 \leq X \leq 7) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
સૂત્ર $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=5) = {}^9C_5 (\frac{2}{3})^5 (\frac{1}{3})^4 = 126 \times \frac{32}{3^9} = \frac{4032}{19683}$.
$P(X=6) = {}^9C_6 (\frac{2}{3})^6 (\frac{1}{3})^3 = 84 \times \frac{64}{3^9} = \frac{5376}{19683}$.
$P(X=7) = {}^9C_7 (\frac{2}{3})^7 (\frac{1}{3})^2 = 36 \times \frac{128}{3^9} = \frac{4608}{19683}$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $P(5 \leq X \leq 7) = \frac{4032 + 5376 + 4608}{19683} = \frac{14016}{19683}$.
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા: $\frac{4672}{6561}$.

(A) ધારો કે $X$ એ બોક્સમાં ખામીયુક્ત તાળાની સંખ્યા છે. અહીં તાળાની સંખ્યા $n=100$ મોટી છે અને ખામીની સંભાવના $p=0.02$ નાની હોવાથી,આપણે પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરીશું,જેમાં મધ્યક $\lambda = np = 100 \times 0.02 = 2$ છે.
$r$ ખામીયુક્ત તાળા હોવાની સંભાવના $P(X=r) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!} = \frac{e^{-2} 2^r}{r!}$ દ્વારા મળે છે.
ઉત્પાદક ખાતરી આપે છે કે $2$ થી વધુ ખામીયુક્ત તાળા નથી,એટલે કે જો $X \le 2$ હોય તો બોક્સ ગુણવત્તાના ધોરણો પૂરા કરે છે.
બોક્સ ખાતરી પૂરી કરવામાં નિષ્ફળ જાય જો $X > 2$ હોય.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $P(X > 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P(X > 2) = 1 - [\frac{e^{-2} 2^0}{0!} + \frac{e^{-2} 2^1}{1!} + \frac{e^{-2} 2^2}{2!}] = 1 - [e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2}] = 1 - 5e^{-2}$.

(C) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = \frac{4}{3}$ $(i)$ અને વિચરણ $npq = \frac{8}{9}$ $(ii)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{npq}{np} = \frac{8/9}{4/3} \implies q = \frac{8}{9} \times \frac{3}{4} = \frac{2}{3}$.
કારણ કે $p + q = 1$,તેથી $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$p = \frac{1}{3}$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$n \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \implies n = 4$.
દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ છે.
$k=2$ માટે,$P(X=2) = {}^4C_2 \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^{4-2}$.
$P(X=2) = 6 \times \frac{1}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$.

(C) આપેલ છે કે $n=6$ અને $P(X=2)=9 P(X=4)$.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X=k) = {}^n C_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
${}^6 C_2 p^2 q^4 = 9 \cdot {}^6 C_4 p^4 q^2$
અહીં ${}^6 C_2 = 15$ અને ${}^6 C_4 = 15$ હોવાથી:
$15 p^2 q^4 = 9 \cdot 15 p^4 q^2$
બંને બાજુ $15 p^2 q^2$ વડે ભાગતા:
$q^2 = 9 p^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$q = 3p$
આપણે જાણીએ છીએ કે $p + q = 1$,તેથી $q = 3p$ મૂકતા:
$p + 3p = 1 \Rightarrow 4p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{4}$
તેથી $q = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $npq$ દ્વારા મળે છે:
$\text{વિચરણ} = 6 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

(D) દ્વિપદી વિતરણનું સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q = 1-p$.
આપેલ છે કે $n=4$ અને $P(X=0) = \frac{16}{81}$.
સૂત્રમાં $k=0$ મૂકતા: $P(X=0) = \binom{4}{0} p^0 q^{4-0} = q^4$.
તેથી,$q^4 = \frac{16}{81} = (\frac{2}{3})^4$.
આનો અર્થ એ છે કે $q = \frac{2}{3}$.
કારણ કે $p+q=1$,તેથી $p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
હવે,આપણે $P(X=4)$ શોધવાની જરૂર છે:
$P(X=4) = \binom{4}{4} p^4 q^{4-4} = 1 \times (\frac{1}{3})^4 \times 1 = \frac{1}{81}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ છે.
આપેલ છે કે $\mu = 2\sigma^2$,તેથી $np = 2npq$,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{1}{2}$.
$p + q = 1$ હોવાથી,આપણને $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\mu + \sigma^2 = 3$,તેથી $np + npq = 3$.
$p = \frac{1}{2}$ અને $q = \frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને $\frac{n}{2} + \frac{n}{4} = 3$ મળે છે.
$4$ વડે ગુણતા,આપણને $2n + n = 12$ મળે છે,તેથી $3n = 12$,જે $n = 4$ આપે છે.
હવે,$P(X \leq 3) = 1 - P(X = 4)$.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X=k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $P(X=4) = {^4C_4} (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2})^0 = 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$ મળે છે.
તેથી,$P(X \leq 3) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

(D) ધારો કે $p$ એ વિદ્યાર્થી ગણિતમાં સારો હોય તેની સંભાવના છે,તેથી $p = 0.6 = \frac{3}{5}$.
ધારો કે $q$ એ વિદ્યાર્થી ગણિતમાં સારો ન હોય તેની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - 0.6 = 0.4 = \frac{2}{5}$.
$n = 8$ વિદ્યાર્થીઓના જૂથ માટે,બરાબર $X = 2$ વિદ્યાર્થીઓ ગણિતમાં સારા હોય તેની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X=k) = { }^n C_k \times p^k \times q^{n-k}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $P(X=2) = { }^8 C_2 \times (0.6)^2 \times (0.4)^6$.
$P(X=2) = \frac{8 \times 7}{2} \times \left(\frac{3}{5}\right)^2 \times \left(\frac{2}{5}\right)^6$.
$P(X=2) = 28 \times \frac{3^2}{5^2} \times \frac{2^6}{5^6} = (2^2 \times 7) \times \frac{3^2 \times 2^6}{5^8} = \frac{2^8 \times 3^2 \times 7}{5^8}$.

(D) ધારો કે $X$ એ $n = 8$ લોકોના નમૂનામાં એન્જિનિયરિંગ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે. આ દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે જ્યાં $p = \frac{1}{5}$ અને $q = \frac{4}{5}$ છે.
આપણે $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ શોધવાનું છે.
$P(X=0) = \binom{8}{0} (\frac{1}{5})^0 (\frac{4}{5})^8 = (\frac{4}{5})^8 = \frac{4^8}{5^8}$.
$P(X=1) = \binom{8}{1} (\frac{1}{5})^1 (\frac{4}{5})^7 = 8 \times \frac{1}{5} \times \frac{4^7}{5^7} = 2 \times \frac{4^8}{5^8}$.
$P(X=2) = \binom{8}{2} (\frac{1}{5})^2 (\frac{4}{5})^6 = 28 \times \frac{4^6}{5^8}$.
સરવાળો કરતા: $P(X \le 2) = \frac{4^8 + 2 \times 4^8 + 28 \times 4^6}{5^8} = \frac{76 \times 4^6}{5^8} = 19 \times \frac{4^7}{5^8}$.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
સરવાળો વધુમાં વધુ $7$ હોય તેવા પરિણામો:
સરવાળો $= 2: (1,1)$ ($1$ પરિણામ)
સરવાળો $= 3: (1,2), (2,1)$ ($2$ પરિણામો)
સરવાળો $= 4: (1,3), (2,2), (3,1)$ ($3$ પરિણામો)
સરવાળો $= 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$ ($4$ પરિણામો)
સરવાળો $= 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$ ($5$ પરિણામો)
સરવાળો $= 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ ($6$ પરિણામો)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1+2+3+4+5+6 = 21$.
તેથી,$x = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}$.
$y$ માટે,એક વાર પાસા ફેંકતા $7$ નો સરવાળો મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ છે. $7$ નો સરવાળો ન મેળવવાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
જ્યારે $n$ વખત ફેંકવામાં આવે,ત્યારે ઓછામાં ઓછી એક વાર $7$ નો સરવાળો મેળવવાની સંભાવના $y = 1 - q^n = 1 - (\frac{5}{6})^n$ છે.
આપણે $y > x$ જોઈએ છે,તેથી $1 - (\frac{5}{6})^n > \frac{7}{12} \Rightarrow (\frac{5}{6})^n < \frac{5}{12}$.
$n=1$ માટે: $\frac{5}{6} \approx 0.833 > 0.416$
$n=2$ માટે: $\frac{25}{36} \approx 0.694 > 0.416$
$n=3$ માટે: $\frac{125}{216} \approx 0.578 > 0.416$
$n=4$ માટે: $\frac{625}{1296} \approx 0.482 > 0.416$
$n=5$ માટે: $\frac{3125}{7776} \approx 0.401 < 0.416$.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $5$ છે.

(C) ધારો કે બોમ્બ લક્ષ્યને અથડાય તેની સંભાવના $p = \frac{3}{4}$ છે.
તેથી,બોમ્બ લક્ષ્યને ન અથડાય તેની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{4}$ છે.
ધારો કે $n$ બોમ્બ ફેંકવામાં આવે છે. જો ઓછામાં ઓછા $2$ હિટ મળે તો લક્ષ્યનો નાશ થાય છે.
ધારો કે $X$ એ હિટની સંખ્યા છે. આપણે $P(X \geq 2) \geq 0.99$ ઇચ્છીએ છીએ.
આ $1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] \geq 0.99$ ને સમકક્ષ છે.
$P(X = 0) + P(X = 1) \leq 0.01 = \frac{1}{100}$.
દ્વિપદી વિતરણનો ઉપયોગ કરતા: $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$.
${}^{n}C_{0} (\frac{3}{4})^{0} (\frac{1}{4})^{n} + {}^{n}C_{1} (\frac{3}{4})^{1} (\frac{1}{4})^{n-1} \leq \frac{1}{100}$.
$\frac{1 + 3n}{4^{n}} \leq \frac{1}{100} \Rightarrow 4^{n} \geq 300n + 100$.
$n = 5$ માટે: $4^{5} = 1024$ અને $300(5) + 100 = 1600$. ($1024 < 1600$,ખોટું).
$n = 6$ માટે: $4^{6} = 4096$ અને $300(6) + 100 = 1900$. ($4096 \geq 1900$,સાચું).
આમ,બોમ્બની ન્યૂનતમ સંખ્યા $6$ છે.

(B) આપેલ છે કે એક નિષ્પક્ષ સિક્કાને $K$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે,$X$ છાપ મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ અને $q = \frac{1}{2}$ સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
આપેલ છે $P(X=4) = P(X=6)$.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X=r) = {}^K C_r p^r q^{K-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
${}^K C_4 (\frac{1}{2})^K = {}^K C_6 (\frac{1}{2})^K$
${}^K C_4 = {}^K C_6$
કારણ કે ${}^n C_x = {}^n C_y$ નો અર્થ $n = x + y$ થાય છે (જ્યારે $x \neq y$),તેથી $K = 4 + 6 = 10$ મળે છે.
$p = q = \frac{1}{2}$ સાથેના દ્વિપદી વિતરણ માટે,સંભાવના $P(X=r)$ મધ્યક કિંમત પર મહત્તમ હોય છે.
$n = 10$ માટે,મહત્તમ સંભાવના $r = \frac{n}{2} = \frac{10}{2} = 5$ પર મળે છે.

(C) ધારો કે $n = 5$ પાસા ફેંકવામાં આવે છે.
કોઈ ચોક્કસ અંક માટે,એક પાસા પર તે અંક આવવાની સંભાવના $p = \frac{1}{6}$ અને ન આવવાની સંભાવના $q = \frac{5}{6}$ છે.
કુલ $6$ શક્ય અંકો હોવાથી,ઓછામાં ઓછા $3$ પાસા પર સમાન અંક આવે તેની સંભાવના $6 \times P(X \geq 3)$ છે,જ્યાં $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(5, \frac{1}{6})$ ને અનુસરે છે.
$P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)$.
$P(X = 3) = \binom{5}{3} (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^2 = \frac{250}{6^5}$.
$P(X = 4) = \binom{5}{4} (\frac{1}{6})^4 (\frac{5}{6})^1 = \frac{25}{6^5}$.
$P(X = 5) = \binom{5}{5} (\frac{1}{6})^5 = \frac{1}{6^5}$.
કુલ સંભાવના $= 6 \times (\frac{250 + 25 + 1}{6^5}) = \frac{276}{6^4}$.

(A) દ્વિપદી સંભાવના વિતરણ મુજબ,ધારો કે સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
$5$ છાપ મળવાની સંભાવના $P(X=5) = {}^{n}C_{5} (\frac{1}{2})^{n}$ છે.
$7$ છાપ મળવાની સંભાવના $P(X=7) = {}^{n}C_{7} (\frac{1}{2})^{n}$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,${}^{n}C_{5} = {}^{n}C_{7}$ હોવાથી $n = 5+7 = 12$ મળે.
હવે,$4$ છાપ મળવાની સંભાવના $P(X=4) = {}^{12}C_{4} (\frac{1}{2})^{12}$ થાય.
$P(X=4) = \frac{495}{4096}$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 2^4 = 16$.
ધારો કે $X$ એ છોકરીઓની સંખ્યા છે.
આપણે ઓછામાં ઓછી બે છોકરીઓ હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X \ge 2)$.
આની ગણતરી $P(X \ge 2) = 1 - \{P(X=0) + P(X=1)\}$ તરીકે કરી શકાય છે.
$P(X=0)$ માટે (કોઈ છોકરી નહીં,બધા છોકરાઓ): એકમાત્ર પરિણામ $\{BBBB\}$ છે,તેથી $P(X=0) = \frac{1}{16}$.
$P(X=1)$ માટે (બરાબર એક છોકરી): પરિણામો $\{GBBB, BGBB, BBGB, BBBG\}$ છે,તેથી $P(X=1) = \frac{4}{16}$.
તેથી,$P(X \ge 2) = 1 - \left(\frac{1}{16} + \frac{4}{16}\right) = 1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$.

(B) એક પ્રયત્નમાં સફળતાની સંભાવના $p = \frac{\alpha}{\beta}$ છે.
એક પ્રયત્નમાં નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{\beta - \alpha}{\beta}$ છે.
આપણે $n$ પ્રયત્નોમાં ઓછામાં ઓછી $(n-1)$ વખત નિષ્ફળ જવાની સંભાવના શોધવાની છે,જેનો અર્થ છે કે $(n-1)$ વખત નિષ્ફળતા અથવા $n$ વખત નિષ્ફળતા.
આનો અર્થ એ છે કે વધુમાં વધુ $1$ વખત સફળતા.
દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$
$P(X = 0) = {}^{n}C_{0} p^0 q^n = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{\beta - \alpha}{\beta}\right)^n = \frac{(\beta - \alpha)^n}{\beta^n}$
$P(X = 1) = {}^{n}C_{1} p^1 q^{n-1} = n \cdot \left(\frac{\alpha}{\beta}\right) \cdot \left(\frac{\beta - \alpha}{\beta}\right)^{n-1} = \frac{n \alpha (\beta - \alpha)^{n-1}}{\beta^n}$
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા:
$P = \frac{(\beta - \alpha)^n + n \alpha (\beta - \alpha)^{n-1}}{\beta^n}$
$P = \frac{(\beta - \alpha)^{n-1} [(\beta - \alpha) + n \alpha]}{\beta^n}$
$P = \frac{(\beta - \alpha)^{n-1} (n \alpha + \beta - \alpha)}{\beta^n}$
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) ધારો કે સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. નિષ્પક્ષ સિક્કા માટે,છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = \frac{1}{2}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=5) = P(X=4)$
${}^nC_5 (\frac{1}{2})^5 (\frac{1}{2})^{n-5} = {}^nC_4 (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2})^{n-4}$
${}^nC_5 (\frac{1}{2})^n = {}^nC_4 (\frac{1}{2})^n$
${}^nC_5 = {}^nC_4$
ગુણધર્મ ${}^nC_r = {}^nC_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $n = 5 + 4 = 9$ મળે છે.
હવે,આપણે $6$ છાપ મળવાની સંભાવના શોધવાની છે:
$P(X=6) = {}^9C_6 (\frac{1}{2})^6 (\frac{1}{2})^3 = {}^9C_3 (\frac{1}{2})^9$
$P(X=6) = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{1}{512} = 84 \times \frac{1}{512} = \frac{21}{128}$.

(A) ધારો કે $H$ એ છાપ અને $T$ એ કાંટો દર્શાવે છે. મળતા પોઈન્ટ $H$ માટે $2$ અને $T$ માટે $1$ છે.
જ્યારે ત્રણ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે ધારો કે $n_H$ એ છાપની સંખ્યા છે અને $n_T$ એ કાંટાની સંખ્યા છે.
કુલ પોઈન્ટ $S = 2n_H + 1n_T$.
$n_H + n_T = 3$ હોવાથી,$n_T = 3 - n_H$ મળે.
આ કિંમત મૂકતા,$S = 2n_H + (3 - n_H) = n_H + 3$.
$S$ એકી સંખ્યા હોય તે માટે $n_H + 3$ એકી હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $n_H$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
$n_H$ ની શક્ય કિંમતો $0$ અને $2$ છે.
કિસ્સો $1$: $n_H = 0$ (બધા કાંટા). સંભાવના $\binom{3}{0} (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ છે.
કિસ્સો $2$: $n_H = 2$ (બે છાપ,એક કાંટો). સંભાવના $\binom{3}{2} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^1 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ છે.
કુલ સંભાવના $\frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $X \sim B(n, p)$ જ્યાં $n=7$. સંભાવના વિધેય $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ છે.
$P(X=3) = P(X=5)$ આપેલ હોવાથી:
$\binom{7}{3} p^3 (1-p)^{7-3} = \binom{7}{5} p^5 (1-p)^{7-5}$
$\binom{7}{3} p^3 (1-p)^4 = \binom{7}{5} p^5 (1-p)^2$
અહીં $\binom{7}{3} = 35$ અને $\binom{7}{5} = 21$ હોવાથી:
$35 p^3 (1-p)^4 = 21 p^5 (1-p)^2$
બંને બાજુ $7 p^3 (1-p)^2$ વડે ભાગતા:
$5 (1-p)^2 = 3 p^2$
$5 (1 - 2p + p^2) = 3 p^2$
$5 - 10p + 5p^2 = 3p^2$
$2p^2 - 10p + 5 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 40}}{4} = \frac{10 \pm \sqrt{60}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{15}}{2}$
$0 \le p \le 1$ હોવાથી,$p = \frac{5 - \sqrt{15}}{2}$ મળે.

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = \frac{4}{3}$ અને વિચરણ $npq = \frac{10}{9}$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{10/9}{4/3} = \frac{10}{9} \times \frac{3}{4} = \frac{5}{6}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$ મળે.
$np = \frac{4}{3}$ માં $p = \frac{1}{6}$ મૂકતા,$n(\frac{1}{6}) = \frac{4}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $n = 8$.
આપણે $P(X \geq 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)$ શોધવાનું છે.
સંભાવના વિધેય $P(X=k) = \binom{8}{k} (\frac{1}{6})^k (\frac{5}{6})^{8-k}$ છે.
$P(X=6) = \binom{8}{6} (\frac{1}{6})^6 (\frac{5}{6})^2 = 28 \times \frac{25}{6^8} = \frac{700}{6^8}$.
$P(X=7) = \binom{8}{7} (\frac{1}{6})^7 (\frac{5}{6})^1 = 8 \times \frac{5}{6^8} = \frac{40}{6^8}$.
$P(X=8) = \binom{8}{8} (\frac{1}{6})^8 (\frac{5}{6})^0 = 1 \times \frac{1}{6^8} = \frac{1}{6^8}$.
આનો સરવાળો કરતા,$P(X \geq 6) = \frac{700 + 40 + 1}{6^8} = \frac{741}{6^8}$.

(A) ધારો કે $X$ એ $n = 5$ એકમોના નમૂનામાં ખામીયુક્ત એકમોની સંખ્યા છે.
એકમ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના $p = \frac{1}{8}$ છે,અને એકમ ખામીયુક્ત ન હોવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{7}{8}$ છે.
પ્રયોગો સ્વતંત્ર હોવાથી,$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p) = B(5, \frac{1}{8})$ ને અનુસરે છે.
વધુમાં વધુ એક ખામીયુક્ત એકમ હોવાની સંભાવના $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ છે.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = \binom{5}{0} (\frac{1}{8})^0 (\frac{7}{8})^5 = 1 \times 1 \times (\frac{7}{8})^5 = \frac{16807}{32768}$.
$P(X = 1) = \binom{5}{1} (\frac{1}{8})^1 (\frac{7}{8})^4 = 5 \times \frac{1}{8} \times \frac{2401}{4096} = \frac{12005}{32768}$.
$P(X \le 1) = \frac{16807 + 12005}{32768} = \frac{28812}{32768} = \frac{7203}{8192}$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ ગણતરી કરેલ પરિણામ $\frac{7203}{8192}$ સાથે મેળ ખાતું નથી.

(A) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે,મધ્યક $E(X) = np = 1$ છે.
તેથી,$p = \frac{1}{n}$ અને $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}$.
સંભાવના વિધેય $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ છે.
આપેલ છે કે $P(X=2) = \binom{n}{2} p^2 q^{n-2} = \frac{27}{128}$.
$p$ અને $q$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{n(n-1)}{2} \times (\frac{1}{n})^2 \times (\frac{n-1}{n})^{n-2} = \frac{27}{128}$
$\frac{n-1}{2n} \times \frac{(n-1)^{n-2}}{n^{n-2}} = \frac{27}{128}$
$\frac{(n-1)^{n-1}}{2n^{n-1}} = \frac{27}{128}$
જો $n=4$ લઈએ:
$\frac{(4-1)^{4-1}}{2(4)^{4-1}} = \frac{3^3}{2(4^3)} = \frac{27}{2(64)} = \frac{27}{128}$.
આ શરતનું પાલન થાય છે.
વિચરણ $Var(X) = npq = 1 \times q = q$ છે.
કારણ કે $p = \frac{1}{4}$,તેથી $q = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
તેથી,વિચરણ $\frac{3}{4}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $X \sim B(6, p)$ એ $n=6$ અને સફળતાની સંભાવના $p$ વાળો દ્વિપદી ચલ છે. સંભાવના વિધેય $P(X=x) = {}^{6}C_{x} p^{x} q^{6-x}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
આપેલ છે કે $\frac{P(X=4)}{P(X=2)} = \frac{1}{9}$.
સૂત્ર મૂકતા: $\frac{{}^{6}C_{4} p^{4} q^{2}}{{}^{6}C_{2} p^{2} q^{4}} = \frac{1}{9}$.
કારણ કે ${}^{6}C_{4} = {}^{6}C_{2} = 15$,તેથી પદાવલિનું સાદું રૂપ: $\frac{p^{2}}{q^{2}} = \frac{1}{9}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{p}{q} = \frac{1}{3}$ (કારણ કે $p, q > 0$).
$q = 1-p$ મૂકતા: $\frac{p}{1-p} = \frac{1}{3}$.
$3p = 1-p \Rightarrow 4p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{4}$.

(C) ધારો કે $X$ એ સાચા જવાબોની સંખ્યા છે. દરેક પ્રશ્નમાં બે વિકલ્પો (સાચું કે ખોટું) હોવાથી,સાચા જવાબની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ અને ખોટા જવાબની સંભાવના $q = \frac{1}{2}$ છે.
આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 6$ અને $p = \frac{1}{2}$ છે.
વિદ્યાર્થી પાસ થાય છે જો તેને $4, 5,$ અથવા $6$ સાચા જવાબો મળે.
પાસ થવાની સંભાવના $P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$ છે.
સૂત્ર $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=4) = {}^6C_4 (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2})^2 = 15 \times (\frac{1}{2})^6 = \frac{15}{64}$.
$P(X=5) = {}^6C_5 (\frac{1}{2})^5 (\frac{1}{2})^1 = 6 \times (\frac{1}{2})^6 = \frac{6}{64}$.
$P(X=6) = {}^6C_6 (\frac{1}{2})^6 (\frac{1}{2})^0 = 1 \times (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.
કુલ સંભાવના $= \frac{15+6+1}{64} = \frac{22}{64} = \frac{11}{32}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી વિતરણ માટે:
મધ્યક $= np = 4$
વિચરણ $= npq = \frac{4}{3}$
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{npq}{np} = \frac{4/3}{4} \Rightarrow q = \frac{1}{3}$
કારણ કે $p + q = 1$,તેથી $p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$p$ ની કિંમત મધ્યકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$n \times \frac{2}{3} = 4 \Rightarrow n = 6$
સંભાવના વિધેય $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ છે
$X=2$ માટે:
$P(X=2) = {}^6C_2 \times (\frac{2}{3})^2 \times (\frac{1}{3})^4$
$P(X=2) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{81}$
$P(X=2) = 15 \times \frac{4}{729} = \frac{60}{729} = \frac{20}{243}$

(B) ધારો કે સફળતાની સંભાવના $p$ છે અને નિષ્ફળતાની સંભાવના $q$ છે. આપેલ છે કે $p = 5q$. આપણે જાણીએ છીએ કે $p + q = 1$,તેથી $5q + q = 1$,જેનો અર્થ છે કે $6q = 1$,તેથી $q = \frac{1}{6}$ અને $p = \frac{5}{6}$.
$n = 5$ પ્રયત્નો માટે,વધુમાં વધુ એક સફળતા મળવાની સંભાવના $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = ^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = ^5C_0 \left(\frac{5}{6}\right)^0 \left(\frac{1}{6}\right)^5 = 1 \times 1 \times \frac{1}{6^5} = \frac{1}{6^5}$.
$P(X = 1) = ^5C_1 \left(\frac{5}{6}\right)^1 \left(\frac{1}{6}\right)^4 = 5 \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6^4} = \frac{25}{6^5}$.
તેથી,$P(X \le 1) = \frac{1}{6^5} + \frac{25}{6^5} = \frac{26}{6^5}$.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(B) $n$ પ્રયત્નોમાં $k$ સફળતા મેળવવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X=r) = {}^{n}C_r p^r q^{n-r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n=15$,$p=1/2$ (ટેલ આવવાની સંભાવના),અને $q=1/2$ (હેડ આવવાની સંભાવના).
આપણે ઓછામાં ઓછી $3$ વખત ટેલ આવે તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X \geq 3)$.
આની ગણતરી $P(X \geq 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ તરીકે કરી શકાય છે.
$P(X=0) = {}^{15}C_0 (1/2)^0 (1/2)^{15} = 1 \times (1/2)^{15} = 1/2^{15}$.
$P(X=1) = {}^{15}C_1 (1/2)^1 (1/2)^{14} = 15 \times (1/2)^{15} = 15/2^{15}$.
$P(X=2) = {}^{15}C_2 (1/2)^2 (1/2)^{13} = \frac{15 \times 14}{2} \times (1/2)^{15} = 105/2^{15}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો: $P(X < 3) = \frac{1 + 15 + 105}{2^{15}} = \frac{121}{2^{15}}$.
તેથી,$P(X \geq 3) = 1 - \frac{121}{2^{15}}$.

(B) જ્યારે $2n$ નિષ્પક્ષ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^{2n}$ છે.
$2n$ ઉછાળમાં $r$ છાપ મેળવવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P(r) = \frac{1}{2^{2n}} \binom{2n}{r}$.
જ્યારે છાપની સંખ્યા $n$ હોય ત્યારે છાપની સંખ્યા અને કાંટાની સંખ્યા સમાન થાય છે.
બરાબર $n$ છાપ મેળવવાની સંભાવના $P(n) = \frac{1}{2^{2n}} \binom{2n}{n} = \frac{1}{2^{2n}} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2}$ છે.
છાપની સંખ્યા અને કાંટાની સંખ્યા સમાન ન હોય તેની સંભાવના $1 - P(n)$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $1 - \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{2^{2n}}$ છે.

(C) ધારો કે $n=4$ ના નમૂનામાં ખામીયુક્ત બોલ્ટની સંખ્યા $X$ છે. બોલ્ટ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના $p = 20\% = 0.2 = \frac{1}{5}$ છે.
તેથી,બોલ્ટ ખામીયુક્ત ન હોવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.
પસંદગી યાદચ્છિક હોવાથી,$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n=4$ અને $p=\frac{1}{5}$.
સંભાવના વિધેય $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $2$ કરતા ઓછા બોલ્ટ ખામીયુક્ત હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X < 2) = P(X=0) + P(X=1)$.
$P(X=0) = {}^4C_0 \left(\frac{1}{5}\right)^0 \left(\frac{4}{5}\right)^4 = 1 \times 1 \times \frac{256}{625} = \frac{256}{625}$.
$P(X=1) = {}^4C_1 \left(\frac{1}{5}\right)^1 \left(\frac{4}{5}\right)^3 = 4 \times \frac{1}{5} \times \frac{64}{125} = \frac{256}{625}$.
તેથી,$P(X < 2) = \frac{256}{625} + \frac{256}{625} = \frac{512}{625} = 0.8192$.

(C) આ દ્વિપદી વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 3$ છે.
પાસા પર $1$ અથવા $6$ મળે તેને સફળતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
એક પ્રયત્નમાં સફળતાની સંભાવના $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણ માટે,વિચરણનું સૂત્ર $Var(X) = npq$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$Var(X) = 3 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$.

(D) ધારો કે છાપ મેળવવાની સંભાવના $p$ છે.
તેથી છાપ ન મેળવવાની સંભાવના $1-p$ છે.
વ્યક્તિ એકી સંખ્યાના ઉછાળમાં રમત જીતે છે જો પ્રથમ છાપ $1, 3, 5, \dots$ માં ઉછાળે મળે.
આ એક ભૂમિતિ શ્રેણી બનાવે છે: $p + (1-p)^2 p + (1-p)^4 p + \dots = 3/4$.
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = p$ અને $r = (1-p)^2$:
$\frac{p}{1-(1-p)^2} = \frac{3}{4}$
$\frac{p}{1-(1-2p+p^2)} = \frac{3}{4}$
$\frac{p}{2p-p^2} = \frac{3}{4}$
$\frac{1}{2-p} = \frac{3}{4}$
$4 = 6 - 3p \implies 3p = 2 \implies p = 2/3$.
જો $5$ સિક્કા એકસાથે ઉછાળવામાં આવે,તો બધા $5$ સિક્કા પર છાપ આવે તેની સંભાવના $p^5 = (2/3)^5 = 32/243$ છે.

(C) ધારો કે $n=10$ એ કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા છે,$p$ એ સફળતાની સંભાવના (છાપ મળે) $= \frac{1}{2}$ છે,અને $q$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના (કાંટો મળે) $= \frac{1}{2}$ છે.
ધારો કે $X$ એ સફળતાઓની સંખ્યા છે. આપણે નિષ્ફળતાઓની સંખ્યા સફળતા કરતા વધારે હોય તેની સંભાવના શોધવી છે. આનો અર્થ એ છે કે $10-X > X$,એટલે કે $2X < 10$,અથવા $X < 5$.
આમ,આપણે $P(X \leq 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
સંમિત વિતરણ હોવાથી,$P(X \leq 4) = P(X \geq 6)$ થાય.
$P(X \geq 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)$.
$P(X \geq 6) = \sum_{r=6}^{10} {}^{10}C_r (\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{2^{10}} ({}^{10}C_6 + {}^{10}C_7 + {}^{10}C_8 + {}^{10}C_9 + {}^{10}C_{10})$.
$= \frac{1}{2^{10}} (210 + 120 + 45 + 10 + 1) = \frac{386}{2^{10}} = \frac{193}{2^9}$.

(B) દ્વિપદી સંભાવના વિતરણનો ઉપયોગ કરો જ્યાં $n = 5$ અને $p = 0.2 = \frac{1}{5}$ છે.
સફળતાની સંભાવના $p = \frac{1}{5}$,તેથી નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછા બે સબ્સ્ક્રાઇબર્સને પ્રમોશન મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \geq 2)$ છે.
આની ગણતરી $P(X \geq 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$ તરીકે કરી શકાય છે.
$P(X = 0) = { }^5 C_0 \left(\frac{1}{5}\right)^0 \left(\frac{4}{5}\right)^5 = 1 \times 1 \times \frac{1024}{3125} = \frac{1024}{3125}$.
$P(X = 1) = { }^5 C_1 \left(\frac{1}{5}\right)^1 \left(\frac{4}{5}\right)^4 = 5 \times \frac{1}{5} \times \frac{256}{625} = \frac{256}{625} = \frac{1280}{3125}$.
તેથી,$P(X \geq 2) = 1 - \left(\frac{1024 + 1280}{3125}\right) = 1 - \frac{2304}{3125} = \frac{3125 - 2304}{3125} = \frac{821}{3125}$.