Binomial distribution Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $\lim _{t \rightarrow 0}(1+5t)^{\frac{1}{t}} = K$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{t \rightarrow 0}(1+at)^{\frac{1}{t}} = e^a$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $K = e^5$ મળે છે.
યાદચ્છિક ચલ $X$ માટે જે $n = 100$ સ્વતંત્ર પ્રયત્નોમાં સફળતાની સંખ્યા દર્શાવે છે અને સફળતાની સંભાવના $p = 0.05$ છે,આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે.
અહીં $n$ મોટું છે અને $p$ નાનું છે,તેથી આપણે પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરીને $\lambda = np = 100 \times 0.05 = 5$ મેળવી શકીએ છીએ.
ઓછામાં ઓછી એક સફળતા મેળવવાની સંભાવના $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ છે.
પોઈસન સૂત્ર $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ નો ઉપયોગ કરતા,$P(X = 0) = e^{-5}$ મળે છે.
તેથી,$P(X \geq 1) = 1 - e^{-5} = 1 - \frac{1}{e^5} = 1 - \frac{1}{K} = \frac{K-1}{K}$.

(B) ધારો કે $p$ એ સફળતાની સંભાવના છે અને $q$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે. આપેલ છે કે $p = 3q$. $p + q = 1$ હોવાથી,$3q + q = 1$,જેનો અર્થ છે કે $4q = 1$,તેથી $q = \frac{1}{4}$ અને $p = \frac{3}{4}$.
$n = 5$ પ્રયત્નો સાથેના દ્વિપદી વિતરણ માટે,$x$ સફળતાની સંભાવના $P(X = x) = {}^nC_x p^x q^{n-x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ઓછામાં ઓછી $4$ સફળતા મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ છે.
$P(X = 4) = {}^5C_4 (\frac{3}{4})^4 (\frac{1}{4})^1 = 5 \cdot \frac{81}{256} \cdot \frac{1}{4} = \frac{405}{1024}$.
$P(X = 5) = {}^5C_5 (\frac{3}{4})^5 (\frac{1}{4})^0 = 1 \cdot \frac{243}{1024} \cdot 1 = \frac{243}{1024}$.
આમ,$P(X \ge 4) = \frac{405}{1024} + \frac{243}{1024} = \frac{648}{1024} = \frac{81}{128}$.

(C) આપેલ છે કે મધ્યક $\mu = np = \frac{5}{2}$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq = \frac{5}{4}$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{5/4}{5/2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $p = 1 - q$,તેથી $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = \frac{5}{2}$ માં મૂકતા,આપણને $n \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n = 5$.
આપણે $P(X > 1) = 1 - \{P(X = 0) + P(X = 1)\}$ શોધવાનું છે.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = {}^5C_0 (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^5 = 1 \times 1 \times \frac{1}{32} = \frac{1}{32}$.
$P(X = 1) = {}^5C_1 (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^4 = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{16} = \frac{5}{32}$.
તેથી,$P(X > 1) = 1 - (\frac{1}{32} + \frac{5}{32}) = 1 - \frac{6}{32} = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}$.

(C) આપેલ છે કે વ્યક્તિ $9$ રમતોમાં $4$ વખત નિષ્ફળ જાય છે,તેથી સફળતાની સંખ્યા $9 - 4 = 5$ છે.
આમ,એક રમતમાં સફળતાની સંભાવના $p = \frac{5}{9}$ છે.
પરિણામે,નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$ છે.
$n = 15$ પ્રયત્નો માટે,આપણે વધુમાં વધુ એક સફળતાની સંભાવના શોધીએ છીએ,એટલે કે $P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = r) = {}^{n}C_{r} p^r q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = {}^{15}C_{0} \left(\frac{5}{9}\right)^0 \left(\frac{4}{9}\right)^{15} = \left(\frac{4}{9}\right)^{15}$.
$P(X = 1) = {}^{15}C_{1} \left(\frac{5}{9}\right)^1 \left(\frac{4}{9}\right)^{14} = 15 \times \frac{5}{9} \times \left(\frac{4}{9}\right)^{14} = \frac{75}{9} \times \left(\frac{4}{9}\right)^{14}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા:
$P(X \leq 1) = \left(\frac{4}{9}\right)^{15} + \frac{75}{9} \times \left(\frac{4}{9}\right)^{14} = \left(\frac{4}{9}\right)^{14} \left[ \frac{4}{9} + \frac{75}{9} \right] = \frac{79}{9} \left(\frac{4}{9}\right)^{14}$.

(D) ધારો કે $p$ એ $A$ થી રવાના થયેલ જહાજ $B$ પર સુરક્ષિત રીતે પહોંચે તેની સંભાવના દર્શાવે છે.
તેથી,$p = \frac{9}{10} = 0.9$.
તેથી,$q = 1 - p = 1 - 0.9 = 0.1$.
ધારો કે $X$ એ $n = 5$ જહાજોમાંથી $B$ પર સુરક્ષિત રીતે પહોંચતા જહાજોની સંખ્યા દર્શાવે છે.
આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p) = B(5, 0.9)$ ને અનુસરે છે.
જરૂરી સંભાવના $P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ છે.
સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 4) = {}^5C_4 (0.9)^4 (0.1)^1 = 5 \times (0.9)^4 \times 0.1 = 0.5 \times (0.9)^4$.
$P(X = 5) = {}^5C_5 (0.9)^5 (0.1)^0 = 1 \times (0.9)^5 \times 1 = 0.9 \times (0.9)^4$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા:
$P(X \geq 4) = 0.5(0.9)^4 + 0.9(0.9)^4 = (0.5 + 0.9)(0.9)^4 = 1.4(0.9)^4$.

(C) ધારો કે $X$ એ $100$ ઉછાળમાં મળતી છાપની સંખ્યા છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 100$.
$k$ છાપ મળવાની સંભાવના $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(X=50) = P(X=51)$,તેથી:
${}^{100}C_{50} p^{50} (1-p)^{50} = {}^{100}C_{51} p^{51} (1-p)^{49}$
બંને બાજુને $p^{50} (1-p)^{49}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
${}^{100}C_{50} (1-p) = {}^{100}C_{51} p$
${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{100!}{50! 50!} (1-p) = \frac{100!}{51! 49!} p$
$\frac{1-p}{50} = \frac{p}{51}$
$51(1-p) = 50p$
$51 - 51p = 50p$
$101p = 51$
$p = \frac{51}{101}$

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np = 4$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq = (\sqrt{3})^2 = 3$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,$\frac{npq}{np} = \frac{3}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{3}{4}$.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ મળે.
$np = 4$ માં $p = \frac{1}{4}$ મૂકતા,$n(\frac{1}{4}) = 4$,તેથી $n = 16$ મળે.
આપણે $P(X \geq 1)$ શોધવાનું છે. પૂરક ઘટનાના નિયમ મુજબ,$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$.
દ્વિપદી વિતરણ માટે,$P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$.
તેથી,$P(X = 0) = {}^{16}C_{0} (\frac{1}{4})^{0} (\frac{3}{4})^{16} = 1 \times 1 \times (\frac{3}{4})^{16} = (\frac{3}{4})^{16}$.
આમ,$P(X \geq 1) = 1 - (\frac{3}{4})^{16}$.

(C) દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
અહીં $n=4$ આપેલ છે અને સમીકરણ $P(X=4) = 6 P(X=2)$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: ${ }^4 C_4 p^4 q^0 = 6 \cdot { }^4 C_2 p^2 q^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ${ }^4 C_4 = 1$ અને ${ }^4 C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$,તેથી:
$1 \cdot p^4 = 6 \cdot 6 \cdot p^2 q^2$.
$p^4 = 36 p^2 q^2$.
બંને બાજુ $p^2$ વડે ભાગતા ($p \neq 0$ ધારીને):
$p^2 = 36 q^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$p = 6q$ (કારણ કે $p$ અને $q$ સંભાવનાઓ છે,તેથી તે ધન હોવી જોઈએ).
$q = 1-p$ મૂકતા:
$p = 6(1-p)$.
$p = 6 - 6p$.
$7p = 6$.
$p = \frac{6}{7}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $E(X) = np = 3$ અને વિચરણ $Var(X) = npq = 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $\frac{npq}{np} = \frac{2}{3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{2}{3}$.
કારણ કે $p + q = 1$,તેથી $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$p = \frac{1}{3}$ ને $np = 3$ માં મૂકતા,આપણને $n \times \frac{1}{3} = 3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n = 9$.
આમ,દ્વિપદી વિતરણ $(q + p)^n = \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right)^9$ છે.

(C) ધારો કે $X$ એ $3$ પ્રયત્નોમાં પસંદ થયેલ ગણિતના પુસ્તકોની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
કુલ પુસ્તકોની સંખ્યા = $3 + 2 = 5$.
એક પ્રયત્નમાં ગણિતનું પુસ્તક પસંદ કરવાની સંભાવના $p = \frac{3}{5}$ છે.
ભૌતિકવિજ્ઞાનનું પુસ્તક પસંદ કરવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ છે.
પુસ્તકોને દરેક પસંદગી પછી પાછા મૂકવામાં આવતા હોવાથી,પ્રયત્નો સ્વતંત્ર છે અને યાદચ્છિક ચલ $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે,જ્યાં $n = 3$ અને $p = \frac{3}{5}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E[X] = np$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $E[X] = 3 \times \frac{3}{5} = \frac{9}{5}$ મળે છે.

(B) કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે. એક્કાની સંખ્યા $4$ છે. પત્તા પુરવણી સહિત પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી,એક પ્રયત્નમાં એક્કો મળવાની સંભાવના $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે. એક્કો ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{12}{13}$ છે.
આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ છે જ્યાં $n = 2$ અને $p = \frac{1}{13}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E(X) = np$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યક $= 2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 16/5$ અને વિચરણ $npq = 48/25$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = (48/25) / (16/5) = (48/25) \times (5/16) = 3/5$ મળે છે.
કારણ કે $p + q = 1$,તેથી $p = 1 - 3/5 = 2/5$ થાય.
મધ્યકના સમીકરણમાં $p$ ની કિંમત મૂકતા: $n(2/5) = 16/5 \Rightarrow n = 8$.
આપણે $P(X > 1) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(X = 0) = ^8C_0 (2/5)^0 (3/5)^8 = (3/5)^8$.
$P(X = 1) = ^8C_1 (2/5)^1 (3/5)^7 = 8 \times (2/5) \times (3/5)^7 = (16/5) \times (3/5)^7$.
આમ,$P(X > 1) = 1 - (3/5)(3/5)^7 - (16/5)(3/5)^7 = 1 - (3/5 + 16/5)(3/5)^7 = 1 - (19/5)(3/5)^7$.
આને $1 - K(3/5)^7$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 19/5$ મળે છે.
તેથી,$5K = 5 \times (19/5) = 19$.

(A) ધારો કે $X$ એ ખેંચાયેલા કાળીના પત્તાની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. પત્તા બદલી સાથે (with replacement) ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે,જ્યાં $n = 2$ અને $p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ છે.
સફળતાની સંભાવના (કાળીનું પત્તું મળવું) $p = \frac{1}{4}$ છે અને નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{3}{4}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $Var(X) = npq$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $Var(X) = 2 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

(D) $5$ સિક્કા ઉછાળવાના યાદચ્છિક પ્રયોગમાં,છાપની સંખ્યા $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે,જ્યાં $n = 5$ અને $p = \frac{1}{2}$ (છાપ મળવાની સંભાવના).
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E(X) = np$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $E(X) = 5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સંભાવના વિતરણ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરતા:

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$P(X)$	$\frac{1}{32}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{10}{32}$	$\frac{10}{32}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{1}{32}$

મધ્યકની ગણતરી $\sum X P(X) = (0 \times \frac{1}{32}) + (1 \times \frac{5}{32}) + (2 \times \frac{10}{32}) + (3 \times \frac{10}{32}) + (4 \times \frac{5}{32}) + (5 \times \frac{1}{32})$ તરીકે થાય છે.
$= 0 + \frac{5}{32} + \frac{20}{32} + \frac{30}{32} + \frac{20}{32} + \frac{5}{32} = \frac{80}{32} = \frac{5}{2}$.

(D) સફળતાનું વિતરણ એ દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે જેના પ્રાચલો $n$ અને $p$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ શોધવાનું સૂત્ર $Var(X) = npq$ છે,જ્યાં $n$ એ પ્રયત્નોની સંખ્યા છે,$p$ એ સફળતાની સંભાવના છે અને $q = 1 - p$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે.
પાસાના એક ઉછાળમાં,શક્ય પરિણામો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે. એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3, 5\}$ છે.
તેથી,સફળતાની સંભાવના $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
અહીં પાસાને $n = 5$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
આ કિંમતોને વિચરણના સૂત્રમાં મૂકતા:
$Var(X) = n \times p \times q = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$.

(A) આપેલ છે કે પ્રયોગ $n = 5$ વખત કરવામાં આવે છે. ધારો કે $p$ એ સફળતાની સંભાવના છે અને $q = 1 - p$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે. દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $np$ છે અને વિચરણ $npq$ છે.
આપેલ છે કે $np - npq = \frac{5}{9}$.
$n = 5$ મૂકતા: $5p - 5pq = \frac{5}{9} \implies p - pq = \frac{1}{9}$.
$1 - q = p$ હોવાથી,આપણને $p(1 - q) = p^2 = \frac{1}{9}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $p = \frac{1}{3}$.
તેથી,$q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
વધુમાં વધુ બે સફળતાઓ મેળવવાની સંભાવના $P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ છે.
સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = {}^5C_0 (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^5 = 1 \times 1 \times \frac{32}{243} = \frac{32}{243}$.
$P(X = 1) = {}^5C_1 (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^4 = 5 \times \frac{1}{3} \times \frac{16}{81} = \frac{80}{243}$.
$P(X = 2) = {}^5C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^3 = 10 \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{27} = \frac{80}{243}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \leq 2) = \frac{32}{243} + \frac{80}{243} + \frac{80}{243} = \frac{192}{243} = \frac{64}{81}$.

(B) આપેલ છે કે $X$ એ $n=6$ અને સફળતાની સંભાવના $p$ ધરાવતો દ્વિપદી ચલ છે. ધારો કે $q = 1-p$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે.
સંભાવના વિધેય $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને શરત $4 P(X=4) = P(X=2)$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$4 \cdot {}^{6}C_{4} p^{4} q^{6-4} = {}^{6}C_{2} p^{2} q^{6-2}$
$4 \cdot {}^{6}C_{4} p^{4} q^{2} = {}^{6}C_{2} p^{2} q^{4}$
કારણ કે ${}^{6}C_{4} = {}^{6}C_{2} = 15$,તેથી તે ઉડી જશે:
$4 p^{4} q^{2} = p^{2} q^{4}$
બંને બાજુ $p^{2} q^{2}$ વડે ભાગતા ($p, q \neq 0$ ધારીને):
$4 p^{2} = q^{2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$2p = q$
$q = 1-p$ હોવાથી,આપણને મળે:
$2p = 1-p$
$3p = 1$
$p = 1/3$

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 2$ અને વિચરણ $npq = 1$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,$\frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{1}{2}$.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 2$ માં મૂકતા,$n \times \frac{1}{2} = 2$,તેથી $n = 4$ મળે.
સંભાવના વિધેય $P(X = k) = \binom{4}{k} (\frac{1}{2})^4 = \binom{4}{k} \frac{1}{16}$ છે.
આપણે $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ શોધવાનું છે.
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (\frac{1}{2})^4 = 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$.
તેથી,$P(X \geq 1) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

(B) એક સિક્કાને ઉછાળતા છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
$n$ વખત સિક્કો ઉછાળતા એક પણ વાર છાપ ન મળે તેની સંભાવના $P(\text{no heads}) = q^n = (\frac{1}{2})^n$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક વાર છાપ મળે તેની સંભાવના $P(\text{at least one head}) = 1 - P(\text{no heads}) = 1 - (\frac{1}{2})^n$ છે.
આપેલ છે કે $1 - (\frac{1}{2})^n > 0.8$,તેથી:
$1 - 0.8 > (\frac{1}{2})^n$
$0.2 > (\frac{1}{2})^n$
$\frac{1}{5} > \frac{1}{2^n}$
$2^n > 5$.
$n = 2$ માટે,$2^2 = 4 < 5$.
$n = 3$ માટે,$2^3 = 8 > 5$.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $3$ છે.

(D) ધારો કે $X$ એ સાચા જવાબોની સંખ્યા છે. $3$ પ્રશ્નો માટે સફળતાની સંભાવના $p_1 = \frac{1}{4}$ અને નિષ્ફળતા $q_1 = \frac{3}{4}$ છે. $2$ પ્રશ્નો માટે સફળતાની સંભાવના $p_2 = \frac{1}{2}$ અને નિષ્ફળતા $q_2 = \frac{1}{2}$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછા $4$ સાચા જવાબોની સંભાવના શોધીએ છીએ,એટલે કે $P(X=4) + P(X=5)$.
$X=5$ માટે: બધા $5$ સાચા છે. $P(X=5) = (\frac{1}{4})^3 \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{256}$.
$X=4$ માટે: કાં તો $3$ પ્રશ્નોમાંથી એક ખોટો છે,અથવા $2$ પ્રશ્નોમાંથી એક ખોટો છે.
કિસ્સો $1$: $3$ પ્રશ્નોમાંથી એક ખોટો છે. સંભાવના $= {^3C_2} \cdot (\frac{1}{4})^2 \cdot (\frac{3}{4})^1 \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{256}$.
કિસ્સો $2$: $2$ પ્રશ્નોમાંથી એક ખોટો છે. સંભાવના $= {^3C_3} \cdot (\frac{1}{4})^3 \cdot {^2C_1} \cdot (\frac{1}{2})^1 \cdot (\frac{1}{2})^1 = \frac{2}{256}$.
કુલ સંભાવના $= \frac{1}{256} + \frac{9}{256} + \frac{2}{256} = \frac{12}{256} = \frac{3}{64}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 4$ અને વિચરણ $npq = 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 4$ માં મૂકતા,$n \times \frac{1}{2} = 4$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $n = 8$.
બરાબર $x$ સફળતાની સંભાવના $P(X=x) = {}^{n}C_{x} p^{x} q^{n-x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = 2$ માટે,$P(X=2) = {}^{8}C_{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{8-2} = {}^{8}C_{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{8}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા,${}^{8}C_{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.
આમ,$P(X=2) = 28 \times \frac{1}{256} = \frac{28}{256} = \frac{7}{64}$.

(B) ધારો કે ફાયર કરેલા રાઉન્ડની સંખ્યા $n$ છે.
એક પ્રયત્નમાં લક્ષ્યને મારવાની સંભાવના $p = 10 \% = 0.1$ છે.
એક પ્રયત્નમાં લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવના $q = 1 - p = 0.9$ છે.
$n$ પ્રયત્નોમાં ઓછામાં ઓછી એક વાર લક્ષ્યને મારવાની સંભાવના $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - q^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે આ સંભાવના $50 \%$ થી વધુ હોય,તેથી:
$1 - (0.9)^n > 0.5$
$(0.9)^n < 0.5$
હવે,આપણે $n$ માટે કિંમતો ચકાસીએ:
$n = 6$ માટે,$(0.9)^6 = 0.531441 > 0.5$.
$n = 7$ માટે,$(0.9)^7 = 0.4782969 < 0.5$.
આમ,જરૂરી રાઉન્ડની લઘુત્તમ સંખ્યા $n = 7$ છે.

(B) ધારો કે સિક્કાને $n$ વાર ઉછાળવામાં આવે છે.
નિષ્પક્ષ સિક્કા માટે,છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક વાર છાપ મળે તેની સંભાવના $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$P(X = 0)$ એ એક પણ છાપ ન મળે (એટલે કે બધા કાંટા મળે) તેની સંભાવના છે,જે $q^n = (\frac{1}{2})^n$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $P(X \geq 1) \geq 0.9$.
તેથી,$1 - (\frac{1}{2})^n \geq 0.9$.
$1 - 0.9 \geq (\frac{1}{2})^n$.
$0.1 \geq \frac{1}{2^n}$.
$\frac{1}{10} \geq \frac{1}{2^n}$.
$2^n \geq 10$.
$n = 3$ માટે,$2^3 = 8 < 10$.
$n = 4$ માટે,$2^4 = 16 \geq 10$.
આમ,જરૂરી સિક્કા ઉછાળવાની ન્યૂનતમ સંખ્યા $4$ છે.

(B) ધારો કે સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
ધારો કે છાપ મળવી એ સફળતા છે. $\therefore p = \frac{1}{2}, q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
આપેલ છે કે $P(X = 3) = P(X = 5)$.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
${}^{n}C_{3} (\frac{1}{2})^{3} (\frac{1}{2})^{n-3} = {}^{n}C_{5} (\frac{1}{2})^{5} (\frac{1}{2})^{n-5}$.
બંને બાજુ $(\frac{1}{2})$ ના ઘાતાંકોનો સરવાળો $n$ થતો હોવાથી,આપણને ${}^{n}C_{3} = {}^{n}C_{5}$ મળે છે.
ગુણધર્મ ${}^{n}C_{x} = {}^{n}C_{y} \Rightarrow x + y = n$ (જ્યાં $x \neq y$) નો ઉપયોગ કરતા,$n = 3 + 5 = 8$ મળે છે.
હવે,આપણે બરાબર એક છાપ મળવાની સંભાવના $P(X = 1)$ શોધવાની છે:
$P(X = 1) = {}^{8}C_{1} (\frac{1}{2})^{1} (\frac{1}{2})^{8-1} = 8 \times (\frac{1}{2})^{8} = \frac{8}{256} = \frac{1}{32}$.

(D) ધારો કે $n$ એ ઉત્પાદિત ભાગોની સંખ્યા છે. ભાગ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના $p = 0.05 = \frac{1}{20}$ છે.
ભાગ ખામીયુક્ત ન હોવાની સંભાવના $q = 1 - 0.05 = 0.95 = \frac{19}{20}$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે ઓછામાં ઓછો એક ભાગ ખામીયુક્ત હોય તેની સંભાવના $1/2$ થી વધુ હોય,એટલે કે $P(X \geq 1) \geq 1/2$.
આ $1 - P(X = 0) \geq 1/2$ ને સમાન છે,જ્યાં $P(X = 0)$ એ સંભાવના છે કે કોઈ પણ ભાગ ખામીયુક્ત નથી.
$1 - (0.95)^n \geq 0.5 \implies 0.5 \geq (0.95)^n$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા: $\log_{10}(0.5) \geq n \log_{10}(0.95)$.
$-\log_{10}(2) \geq n(\log_{10}(95) - \log_{10}(100))$.
$-0.3 \geq n(1.977 - 2)$.
$-0.3 \geq n(-0.023)$.
ઋણ સંખ્યા વડે ભાગાકાર કરતા અસમતાની નિશાની બદલાશે: $n \geq \frac{0.3}{0.023} = \frac{300}{23} \approx 13.04$.
$n$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી સૌથી નાનો પૂર્ણાંક $n = 14$ છે.

(D) કુલ બલ્બ = $100$. ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા = $10$. બિન-ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા = $90$.
ખામીયુક્ત બલ્બ પસંદ કરવાની સંભાવના $p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$.
બિન-ખામીયુક્ત બલ્બ પસંદ કરવાની સંભાવના $q = \frac{90}{100} = \frac{9}{10}$.
બલ્બ બદલી સાથે પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી,આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 8$ અને $p = 0.1$.
ઓછામાં ઓછા $7$ ખામીયુક્ત બલ્બ મેળવવાની સંભાવના $P(X \ge 7) = P(X = 7) + P(X = 8)$ છે.
$P(X = 7) = \binom{8}{7} \times (0.1)^7 \times (0.9)^1 = 8 \times \frac{1}{10^7} \times \frac{9}{10} = \frac{72}{10^8}$.
$P(X = 8) = \binom{8}{8} \times (0.1)^8 \times (0.9)^0 = 1 \times \frac{1}{10^8} \times 1 = \frac{1}{10^8}$.
કુલ સંભાવના = $\frac{72}{10^8} + \frac{1}{10^8} = \frac{73}{10^8}$.

(A) મધ્યક $\bar{X} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\sum f_i = \sum_{k=0}^n {}^nC_k = 2^n$.
કિંમતો $x_k = k(k-1)$ છે જ્યાં $k=0, 1, ..., n$.
સરવાળો $\sum_{k=0}^n k(k-1) {}^nC_k = n(n-1) 2^{n-2}$ થાય છે.
તેથી,$\bar{X} = \frac{n(n-1) 2^{n-2}}{2^n} = \frac{n(n-1)}{4} = 60$.
$n^2 - n - 240 = 0 \implies (n-16)(n+15) = 0$. $n > 0$ હોવાથી,$n = 16$.
કુલ આવૃત્તિ $2^{16} = 65536$ છે. મધ્યસ્થ એ $\frac{65536+1}{2} \approx 32768$ મા ક્રમની કિંમત છે.
આવૃત્તિઓનું વિતરણ $(1+1)^n$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણને અનુસરે છે. $p=0.5$ સાથેના દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ નો મધ્યસ્થ આશરે $np = 16 \times 0.5 = 8$ થાય છે. $k=8$ માટેની કિંમત $8(8-1) = 56$ છે.