Binomial distribution Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે દ્વિપદી વિતરણના $3$ પ્રયત્નોમાં,$2$ સફળતાની સંભાવના એ $3$ સફળતાની સંભાવના કરતા $9$ ગણી છે.
ધારો કે $p$ એ સફળતાની સંભાવના છે અને $q$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે,જ્યાં $p + q = 1$.
$n$ પ્રયત્નોમાં $r$ સફળતાની સંભાવના $P(X = r) = {}^nC_r p^r q^{n-r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 3$ માટે:
$P(X = 2) = 9 \times P(X = 3)$
${}^3C_2 p^2 q^1 = 9 \times {}^3C_3 p^3 q^0$
$3 p^2 q = 9 p^3$
અહીં $p \neq 0$ હોવાથી,આપણે $3p^2$ વડે ભાગી શકીએ:
$q = 3p$
$q = 1 - p$ મૂકતા:
$1 - p = 3p$
$1 = 4p$
$p = \frac{1}{4}$
આમ,દરેક પ્રયત્નમાં સફળતાની સંભાવના $\frac{1}{4}$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $X$ એ માણસ દ્વારા લક્ષ્યને વીંધવાની સંખ્યા છે. આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n=8$ અને $p=\frac{1}{3}$ છે.
સફળતાની સંભાવના $p = \frac{1}{3}$,નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
આપણે લક્ષ્યને ઓછામાં ઓછી બે વાર વીંધવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \ge 2)$ છે.
$P(X \ge 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$.
દ્વિપદી સૂત્ર $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=0) = \binom{8}{0} (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^8 = (\frac{2}{3})^8$.
$P(X=1) = \binom{8}{1} (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^7 = 8 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3})^7$.
$P(X \ge 2) = 1 - [(\frac{2}{3})^8 + 8 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3})^7]$.
$P(X \ge 2) = 1 - [(\frac{2}{3})^7 \cdot (\frac{2}{3} + \frac{8}{3})] = 1 - [(\frac{2}{3})^7 \cdot \frac{10}{3}] = 1 - 5 \cdot (\frac{2}{3})^8$.

(D) ધારો કે $n = 5$ એ કસોટીઓની સંખ્યા છે અને $p = \frac{2}{3}$ એ ડિસ્ટિંક્શન મેળવવાની સંભાવના છે. તેથી $q = 1 - p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ઓછામાં ઓછી $3$ કસોટીમાં ડિસ્ટિંક્શન મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)$ છે.
$P(X = 3) = \binom{5}{3} (\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})^2 = 10 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{9} = \frac{80}{243}$.
$P(X = 4) = \binom{5}{4} (\frac{2}{3})^4 (\frac{1}{3})^1 = 5 \times \frac{16}{81} \times \frac{1}{3} = \frac{80}{243}$.
$P(X = 5) = \binom{5}{5} (\frac{2}{3})^5 (\frac{1}{3})^0 = 1 \times \frac{32}{243} \times 1 = \frac{32}{243}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \ge 3) = \frac{80 + 80 + 32}{243} = \frac{192}{243}$.
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{64}{81}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $p$ એ $A$ એક રમત જીતે તેની સંભાવના છે,તેથી $p = 0.6 = \frac{3}{5}$.
ધારો કે $n = 3$ એ રમાયેલી રમતોની સંખ્યા છે.
આપણે $A$ ઓછામાં ઓછી બે રમતો જીતે તેની સંભાવના શોધવી છે,જે $P(X \ge 2) = P(X = 2) + P(X = 3)$ છે,જ્યાં $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે.
સંભાવના માસ ફંક્શન $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ છે.
$k = 2$ માટે: $P(X = 2) = \binom{3}{2} (0.6)^2 (0.4)^1 = 3 \times 0.36 \times 0.4 = 0.432$.
$k = 3$ માટે: $P(X = 3) = \binom{3}{3} (0.6)^3 (0.4)^0 = 1 \times 0.216 \times 1 = 0.216$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \ge 2) = 0.432 + 0.216 = 0.648$.
અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા: $0.648 = \frac{648}{1000} = \frac{81}{125}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે સંભાવના વિધેય $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ છે.
અહીં $n=9$ આપેલ છે,તેથી $P(X=3)=P(X=6)$ પરથી:
$\binom{9}{3} p^3 (1-p)^{6} = \binom{9}{6} p^6 (1-p)^{3}$
$\binom{9}{3} = \binom{9}{6}$ હોવાથી,બંને બાજુથી તેને દૂર કરતા:
$p^3 (1-p)^6 = p^6 (1-p)^3$
બંને બાજુ $p^3 (1-p)^3$ વડે ભાગતા:
$(1-p)^3 = p^3 \implies 1-p = p \implies 2p = 1 \implies p = \frac{1}{2}$.
હવે,$P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ શોધતા:
$P(X=0) = \binom{9}{0} (\frac{1}{2})^9 = \frac{1}{512}$.
$P(X=1) = \binom{9}{1} (\frac{1}{2})^9 = \frac{9}{512}$.
$P(X=2) = \binom{9}{2} (\frac{1}{2})^9 = \frac{36}{512}$.
$P(X < 3) = \frac{1+9+36}{512} = \frac{46}{512} = \frac{23}{256}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np = \frac{16}{5}$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq = \frac{48}{25}$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{48/25}{16/5} = \frac{48}{25} \times \frac{5}{16} = \frac{3}{5}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ મળે.
$np = \frac{16}{5}$ માં $p$ ની કિંમત મૂકતા,$n \times \frac{2}{5} = \frac{16}{5}$,તેથી $n = 8$ મળે છે.
સંભાવના વિધેય $P(X = k) = \binom{8}{k} (\frac{2}{5})^k (\frac{3}{5})^{8-k}$ છે.
આપણે $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ શોધવાનું છે.
$P(X=0) = \binom{8}{0} (\frac{2}{5})^0 (\frac{3}{5})^8 = \frac{3^8}{5^8}$.
$P(X=1) = \binom{8}{1} (\frac{2}{5})^1 (\frac{3}{5})^7 = 8 \times \frac{2}{5} \times \frac{3^7}{5^7} = \frac{16 \times 3^7}{5^8} = \frac{48 \times 3^6}{5^8}$.
$P(X=2) = \binom{8}{2} (\frac{2}{5})^2 (\frac{3}{5})^6 = 28 \times \frac{4}{25} \times \frac{3^6}{5^6} = \frac{112 \times 3^6}{5^8}$.
સરવાળો કરતા: $P(X \leq 2) = \frac{3^8 + 48 \times 3^6 + 112 \times 3^6}{5^8} = \frac{9 \times 3^6 + 160 \times 3^6}{5^8} = \frac{169 \times 3^6}{5^8}$.

(B) નિષ્પક્ષ સિક્કા માટે,છાપ આવવાની સંભાવના $p = 1/2$ અને કાંટો આવવાની સંભાવના $q = 1/2$ છે. યાદચ્છિક ચલ $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, 1/2)$ ને અનુસરે છે.
$P(X=k) = \binom{n}{k} (1/2)^n$.
આપેલ છે કે $P(X=4)$,$P(X=5)$ અને $P(X=6)$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2P(X=5) = P(X=4) + P(X=6)$.
દ્વિપદી સંભાવનાઓ મૂકતા: $2 \binom{n}{5} (1/2)^n = \binom{n}{4} (1/2)^n + \binom{n}{6} (1/2)^n$.
$(1/2)^n$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $2 \binom{n}{5} = \binom{n}{4} + \binom{n}{6}$.
સૂત્ર $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ નો ઉપયોગ કરતા: $2 \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}$.
$n!$ વડે ભાગતા અને $6!(n-4)!$ વડે ગુણતા: $2 \times 6(n-4) = 6 \times 5 + (n-4)(n-5)$.
$12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20$.
$n^2 - 21n + 98 = 0$.
$(n-7)(n-14) = 0$.
આમ,$n = 7$ અથવા $n = 14$. તેથી $n$ ની મહત્તમ કિંમત $14$ છે.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ છે,જ્યાં $q = 1 - p$.
આપેલ છે કે $n = 6$ અને $\mu - \sigma^2 = \frac{27}{8}$.
સૂત્રો મૂકતા: $np - npq = \frac{27}{8} \implies np(1 - q) = \frac{27}{8}$.
$1 - q = p$ હોવાથી,$np^2 = \frac{27}{8}$ મળે.
$n = 6$ મૂકતા: $6p^2 = \frac{27}{8} \implies p^2 = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$.
તેથી,$p = \frac{3}{4}$ અને $q = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$X$ સફળતા મેળવવાની સંભાવના $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા મળે છે.
આપણે $P(X \le 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ શોધવાનું છે.
$P(X = 0) = \binom{6}{0} (\frac{3}{4})^0 (\frac{1}{4})^6 = \frac{1}{4^6}$.
$P(X = 1) = \binom{6}{1} (\frac{3}{4})^1 (\frac{1}{4})^5 = \frac{18}{4^6}$.
$P(X = 2) = \binom{6}{2} (\frac{3}{4})^2 (\frac{1}{4})^4 = \frac{135}{4^6}$.
સરવાળો કરતા: $P(X \le 2) = \frac{1 + 18 + 135}{4^6} = \frac{154}{4^6}$.

(D) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
આપેલ છે કે $\mu = 2\sigma^2$,તેથી $np = 2npq$,જેનો અર્થ છે કે $1 = 2q$,તેથી $q = \frac{1}{2}$ અને $p = 1 - q = \frac{1}{2}$.
આપેલ છે કે $\mu + \sigma^2 = 3$,$\mu = 2\sigma^2$ મૂકતા $3\sigma^2 = 3$ મળે,તેથી $\sigma^2 = 1$.
કારણ કે $\sigma^2 = npq = n(\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{n}{4} = 1$,તેથી $n = 4$.
આમ,$X \sim B(4, \frac{1}{2})$.
આપણે $P(X \leq 3) = 1 - P(X = 4)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$P(X = 4) = \binom{4}{4} p^4 q^0 = 1 \times (\frac{1}{2})^4 \times 1 = \frac{1}{16}$.
તેથી,$P(X \leq 3) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

(B) ધારો કે $n = 4$ એ સ્કેનની સંખ્યા છે અને $p = 0.1$ એ એક જ સ્કેનમાં વિમાન શોધવાની સંભાવના છે. વિમાન ન શોધવાની સંભાવના $q = 1 - p = 0.9$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનો ઉપયોગ કરીને,$n$ સ્કેનમાં $X$ વાર વિમાન શોધવાની સંભાવના $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ઓછામાં ઓછા બે વાર વિમાન શોધવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \ge 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$ છે.
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (0.1)^0 (0.9)^4 = 1 \times 1 \times 0.6561 = 0.6561$.
$P(X = 1) = \binom{4}{1} (0.1)^1 (0.9)^3 = 4 \times 0.1 \times 0.729 = 0.2916$.
તેથી,$P(X \ge 2) = 1 - (0.6561 + 0.2916) = 1 - 0.9477 = 0.0523$.

(A) ધારો કે $X$ એ પસંદ કરેલા ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા છે. આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 5$ અને $p = 20\% = \frac{1}{5}$ છે.
તેથી $q = 1 - p = \frac{4}{5}$ થાય.
બરાબર $k$ ખામીયુક્ત બલ્બ મેળવવાની સંભાવના $P(X = k) = { }^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k = 3$ માટે,આપણી પાસે છે:
$P(X = 3) = { }^5C_3 \cdot (\frac{1}{5})^3 \cdot (\frac{4}{5})^{5-3}$
$P(X = 3) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \cdot (\frac{1}{125}) \cdot (\frac{16}{25})$
$P(X = 3) = 10 \cdot \frac{16}{3125}$
$P(X = 3) = \frac{160}{3125} = \frac{32}{625}$.

(B) આપેલ છે કે મધ્યક અને વિચરણ વચ્ચેનો તફાવત $1$ છે:
$np - npq = 1 \Rightarrow np(1-q) = 1 \Rightarrow np^2 = 1$ $\qquad (i)$
વળી,તેમના વર્ગો વચ્ચેનો તફાવત $11$ છે:
$(np)^2 - (npq)^2 = 11$ $\qquad (ii)$
$n^2p^2 - n^2p^2q^2 = 11 \Rightarrow n^2p^2(1-q^2) = 11$
$(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{n^2p^2(1-q^2)}{np^2} = 11 \Rightarrow n(1-q^2) = 11$
$n=36$ હોવાથી,$36(1-q^2) = 11 \Rightarrow 1-q^2 = \frac{11}{36} \Rightarrow q^2 = 1 - \frac{11}{36} = \frac{25}{36} \Rightarrow q = \frac{5}{6}$
તેથી,$p = 1 - q = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$
હવે,$P(X=2) = {}^{36}C_2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^{34} = m\left(\frac{5}{6}\right)^{36}$
$\frac{36 \times 35}{2} \times \frac{1}{36} \times \left(\frac{5}{6}\right)^{34} = m\left(\frac{5}{6}\right)^{36}$
$\frac{35}{2} \times \left(\frac{5}{6}\right)^{34} = m \times \left(\frac{5}{6}\right)^{34} \times \left(\frac{5}{6}\right)^2$
$m = \frac{35}{2} \times \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{35}{2} \times \frac{36}{25} = \frac{7 \times 18}{5} = 25.2$
આમ,$m : n = 25.2 : 36 = 252 : 360 = 7 : 10$.

(A) ધારો કે $p$ એ લક્ષ્યને વીંધવાની સંભાવના છે અને $q$ એ લક્ષ્યને વીંધવામાં નિષ્ફળ જવાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $q = \frac{1}{3}$,તેથી $p = 1 - q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 4$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછી ત્રણ વાર લક્ષ્યને વીંધવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4)$ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 3) = {}^4C_3 \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^1 = 4 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{32}{81}$.
$P(X = 4) = {}^4C_4 \left(\frac{2}{3}\right)^4 \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 \times \frac{16}{81} \times 1 = \frac{16}{81}$.
તેથી,$P(X \geq 3) = \frac{32}{81} + \frac{16}{81} = \frac{48}{81} = \frac{16}{27}$.

(C) $n=7$ અને $p=q=\frac{1}{2}$ સાથેના દ્વિપદી વિતરણ માટે:
$\mu = np = 7 \times \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$
$\sigma^2 = npq = 7 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{7}{4}$
$P(X=3) = {}^{7}C_{3} \times (\frac{1}{2})^{3} \times (\frac{1}{2})^{4} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times (\frac{1}{2})^{7} = 35 \times \frac{1}{128} = \frac{35}{128}$
$\frac{\mu \sigma^2}{P(X=3)} = \frac{(\frac{7}{2}) \times (\frac{7}{4})}{\frac{35}{128}} = \frac{49}{8} \times \frac{128}{35} = \frac{7}{1} \times \frac{16}{5} = \frac{112}{5}$

(C) આપેલ છે કે $X \sim B(5, p)$.
$P(X=3) = P(X=4)$
$\Rightarrow { }^5 C_3 p^3(1-p)^2 = { }^5 C_4 p^4(1-p)$
$\Rightarrow 10(1-p) = 5p$
$\Rightarrow 10 - 10p = 5p \Rightarrow 15p = 10 \Rightarrow p = \frac{2}{3}$.
હવે,આપણે $P(|X-3| < 2)$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(|X-3| < 2) = P(-2 < X-3 < 2) = P(1 < X < 5) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$.
કારણ કે $P(X=3) = P(X=4)$,તેથી આપણને $P(X=2) + 2P(X=3)$ મળે.
$P(X=2) = { }^5 C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^3 = 10 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{27} = \frac{40}{243}$.
$P(X=3) = { }^5 C_3 (\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})^2 = 10 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{9} = \frac{80}{243}$.
$P(|X-3| < 2) = \frac{40}{243} + 2(\frac{80}{243}) = \frac{40 + 160}{243} = \frac{200}{243}$.

(C) ધારો કે મધ્યક $\mu = np$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{npq}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
આપેલ છે કે,$\mu - \sigma = 3 \Rightarrow \mu - 3 = \sigma$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(\mu - 3)^2 = \sigma^2 = npq$.
વળી આપેલ છે કે,$\mu^2 - \sigma^2 = 21$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\sigma^2 = \mu^2 - 21$ મૂકતા:
$(\mu - 3)^2 = \mu^2 - 21$
$\mu^2 - 6\mu + 9 = \mu^2 - 21$
$-6\mu = -30 \Rightarrow \mu = 5$.
કારણ કે $\mu = np = 5$,તેથી $\sigma^2 = 5^2 - 21 = 25 - 21 = 4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sigma^2 = npq = 5q = 4$,તેથી $q = \frac{4}{5}$ અને $p = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
કારણ કે $np = 5$,તેથી $n(\frac{1}{5}) = 5 \Rightarrow n = 25$.
સંભાવના વિધેય $P(X=k) = {}^{n}C_k p^k q^{n-k}$ છે.
$\frac{P(X=1)}{P(X=2)} = \frac{{}^{25}C_1 p^1 q^{24}}{{}^{25}C_2 p^2 q^{23}} = \frac{25 \cdot q}{300 \cdot p} = \frac{1}{12} \cdot \frac{4/5}{1/5} = \frac{1}{12} \cdot 4 = \frac{1}{3}$.

(A) ધારો કે $X$ એ $n = 4$ સ્કેનમાં રડાર દ્વારા વિમાન શોધવાની સંખ્યા છે। આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 4$ અને $p = 0.1$ (શોધવાની સંભાવના)।
વિમાન ન શોધવાની સંભાવના $q = 1 - p = 0.9$ છે।
આપણે તે સંભાવના શોધવા માંગીએ છીએ કે તે ઓછામાં ઓછી બે વાર વિમાનને ન શોધી શકે,જે $1 - P(\text{વિમાનને } 2, 3, \text{ અથવા } 4 \text{ વાર શોધવાની સંભાવના})$ ની બરાબર છે।
$P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$.
$P(X=2) = {}^{4}C_{2} (0.1)^{2} (0.9)^{2} = 6 \times 0.01 \times 0.81 = 0.0486$.
$P(X=3) = {}^{4}C_{3} (0.1)^{3} (0.9)^{1} = 4 \times 0.001 \times 0.9 = 0.0036$.
$P(X=4) = {}^{4}C_{4} (0.1)^{4} (0.9)^{0} = 1 \times 0.0001 \times 1 = 0.0001$.
$P(X \ge 2) = 0.0486 + 0.0036 + 0.0001 = 0.0523$.
જરૂરી સંભાવના $1 - P(X \ge 2) = 1 - 0.0523 = 0.9477$ છે।

(C) દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$,જ્યાં $q = 1-p$ છે.
આપેલ છે:
સરવાળો: $np + npq = 5 \Rightarrow np(1+q) = 5$ ...$(i)$
ગુણાકાર: $(np)(npq) = n^2p^2q = 6$ ...(ii)
$(i)$ પરથી,$np = \frac{5}{1+q}$. આ કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$\left(\frac{5}{1+q}\right)^2 q = 6 \Rightarrow 25q = 6(1+q)^2 \Rightarrow 25q = 6(1+2q+q^2) \Rightarrow 6q^2 - 13q + 6 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $6q^2 - 9q - 4q + 6 = 0 \Rightarrow 3q(2q-3) - 2(2q-3) = 0 \Rightarrow (3q-2)(2q-3) = 0$.
$q < 1$ હોવાથી,$q = \frac{2}{3}$ મળે. તેથી $p = 1 - q = \frac{1}{3}$.
$q = \frac{2}{3}$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $np(1 + \frac{2}{3}) = 5 \Rightarrow np(\frac{5}{3}) = 5 \Rightarrow np = 3$.
$p = \frac{1}{3}$ હોવાથી,$n(\frac{1}{3}) = 3 \Rightarrow n = 9$.
અંતે,$6(n+p-q) = 6(9 + \frac{1}{3} - \frac{2}{3}) = 6(9 - \frac{1}{3}) = 54 - 2 = 52$.

(C) આપેલ મધ્યક $= np = 6$ ...$(i)$
વિચરણ $= npq = 2$ ...(ii)
સમીકરણ (ii) ને $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ થાય.
$p$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,$n \times \frac{2}{3} = 6 \Rightarrow n = 9$.
આપણે $P(X \geq 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$ શોધવાનું છે.
$P(X=0) = {}^9C_0 \times (\frac{2}{3})^0 \times (\frac{1}{3})^9 = \frac{1}{3^9}$.
$P(X=1) = {}^9C_1 \times (\frac{2}{3})^1 \times (\frac{1}{3})^8 = 9 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3^8} = \frac{18}{3^9}$.
$P(X \geq 2) = 1 - [\frac{1}{3^9} + \frac{18}{3^9}] = 1 - \frac{19}{3^9}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $= np$ અને વિચરણ $= npq$,જ્યાં $n=5$ એ પ્રયત્નોની સંખ્યા છે,$p$ એ સફળતાની સંભાવના છે અને $q=1-p$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે મધ્યક અને વિચરણ વચ્ચેનો તફાવત $\frac{5}{9}$ છે:
$np - npq = \frac{5}{9}$
$np(1-q) = \frac{5}{9}$
કારણ કે $1-q = p$,તેથી $np^2 = \frac{5}{9}$.
$n=5$ મૂકતા:
$5p^2 = \frac{5}{9} \Rightarrow p^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow p = \frac{1}{3}$.
તેથી $q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
$5$ પ્રયત્નોમાં $2$ સફળતા મળવાની સંભાવના દ્વિપદી સૂત્ર $P(X=k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા મળે છે:
$P(X=2) = {^5C_2} \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^{5-2}$
$P(X=2) = 10 \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{27} = \frac{80}{243}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = np(1-p)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$np = 2.4$ અને $np(1-p) = 1.44$.
વિચરણના સમીકરણમાં $np$ ની કિંમત મૂકતા:
$2.4(1-p) = 1.44$
$1-p = \frac{1.44}{2.4} = 0.6$
$p = 1 - 0.6 = 0.4 = \frac{2}{5}$.
હવે,$p = 0.4$ ની કિંમત $np = 2.4$ માં મૂકતા:
$n(0.4) = 2.4$
$n = \frac{2.4}{0.4} = 6$.
આમ,પ્રાચલો $n = 6$ અને $p = \frac{2}{5}$ છે.

(A) પોઈસન વિતરણ એ દ્વિપદી વિતરણની મર્યાદિત સ્થિતિ છે જ્યારે ચોક્કસ શરતો પૂરી થાય: $n$ ખૂબ મોટું હોય $(n \to \infty)$ અને $p$ ખૂબ નાનું હોય $(p \to 0)$ જેથી $np = \lambda$ અચળ રહે.
વિધાન $(i)$ બર્નુલી પ્રયત્ન માટેની મૂળભૂત જરૂરિયાતનું વર્ણન કરે છે.
વિધાન (ii) પોઈસન અંદાજ માટે જરૂરી શરત છે.
વિધાન (iii) દ્વિપદી અને પોઈસન બંને વિતરણો માટેની જરૂરિયાત છે.
વિધાન (iv) જણાવે છે કે સફળતાની સંભાવના $p$ ખૂબ મોટી છે. આ પોઈસન વિતરણની મૂળભૂત ધારણાથી વિપરીત છે,જે દુર્લભ ઘટનાઓનું મોડેલિંગ કરે છે જ્યાં $p$ નાનું હોય છે. તેથી,(iv) યોગ્ય નથી.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $= np = 2$ અને વિચરણ $= npq = 1$ છે.
કારણ કે $q = 1 - p$,તેથી $np(1 - p) = 1$ થાય.
$np = 2$ મૂકતા,આપણને $2(1 - p) = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $1 - p = 1/2$,તેથી $p = 1/2$.
હવે $n(1/2) = 2$,તેથી $n = 4$ મળે.
આપણે $P(X > 1) = 1 - P(X \leq 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$ શોધવાનું છે.
$P(X = k) = ^nC_k p^k q^{n-k}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = ^4C_0 (1/2)^0 (1/2)^4 = 1 \times 1 \times 1/16 = 1/16$.
$P(X = 1) = ^4C_1 (1/2)^1 (1/2)^3 = 4 \times 1/2 \times 1/8 = 4/16$.
તેથી,$P(X > 1) = 1 - (1/16 + 4/16) = 1 - 5/16 = 11/16$.

(A) ધારો કે $p$ એ વ્યક્તિ ડાબોડી હોય તેની સંભાવના છે,તેથી $p = 0.1$.
ધારો કે $q$ એ વ્યક્તિ ડાબોડી ન હોય તેની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = 0.9$.
અહીં $n = 10$ પ્રયત્નો અને $k = 1$ સફળતા માટે દ્વિપદી વિતરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$
કિંમતો મૂકતા:
$P(X = 1) = {}^{10}C_{1} (0.1)^{1} (0.9)^{10-1}$
$P(X = 1) = 10 \times 0.1 \times (0.9)^9$
$P(X = 1) = 1 \times (0.9)^9 = (0.9)^9$

(C) દ્વિપદી વિતરણના ગુણધર્મો નીચે મુજબ છે:
- તેમાં $n$ જેટલા નિશ્ચિત સ્વતંત્ર પ્રયત્નો હોય છે.
- દરેક પ્રયત્નમાં માત્ર બે જ શક્ય પરિણામો હોય છે: સફળતા અથવા નિષ્ફળતા.
- સફળતાની સંભાવના $(p)$ અને નિષ્ફળતાની સંભાવના $(q = 1 - p)$ દરેક પ્રયત્ન માટે સમાન રહે છે.
- દરેક પ્રયત્ન સ્વતંત્ર હોય છે,જેનો અર્થ છે કે એક પ્રયત્નનું પરિણામ બીજા પ્રયત્નના પરિણામને અસર કરતું નથી.
તેથી,'બે પરિણામોની સંભાવનાઓ એક પ્રયત્નથી બીજા પ્રયત્નમાં બદલાઈ શકે છે' તે વિધાન ખોટું છે અને તે દ્વિપદી વિતરણનો ગુણધર્મ નથી.

(C) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np = 15$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિચરણ $\sigma^2 = np(1-p) = 10$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિચરણના સમીકરણમાં $np$ ની કિંમત મૂકતા:
$15(1-p) = 10$.
$1-p = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
હવે,મધ્યકના સમીકરણમાં $p$ ની કિંમત મૂકતા:
$n \times \frac{1}{3} = 15$.
$n = 15 \times 3 = 45$.
આમ,પ્રાચલ $n$ ની કિંમત $45$ છે.

(B) આપેલ છે કે $X \sim B(n, p)$,સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
$P(X=2) = P(X=3)$ આપેલ હોવાથી:
$\binom{n}{2} p^2 q^{n-2} = \binom{n}{3} p^3 q^{n-3}$
$\frac{n!}{2!(n-2)!} p^2 q^{n-2} = \frac{n!}{3!(n-3)!} p^3 q^{n-3}$
બંને બાજુ $n! p^2 q^{n-3}$ વડે ભાગતા:
$\frac{q}{2} = \frac{p}{6(n-2)}$
$3q = p(n-2)$
$q = 1-p$ મૂકતા:
$3(1-p) = np - 2p$
$3 - 3p = np - 2p$
$np = 3 - p$
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E(X) = np$ છે.
તેથી,મધ્યક $3-p$ છે.

(B) આપેલ છે કે $X$ એ $B(n=20, p=0.4)$ ધરાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
તેથી,$n=20$,$p=0.4 = \frac{2}{5}$,અને $q = 1 - p = \frac{3}{5}$.
આપણે $5 - 5 P(X \geq 2)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$P(X \geq 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$5 - 5(1 - (P(X=0) + P(X=1))) = 5 - 5 + 5(P(X=0) + P(X=1)) = 5(P(X=0) + P(X=1))$.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=0) = {}^{20}C_{0} (\frac{2}{5})^0 (\frac{3}{5})^{20} = (\frac{3}{5})^{20}$.
$P(X=1) = {}^{20}C_{1} (\frac{2}{5})^1 (\frac{3}{5})^{19} = 20 \times \frac{2}{5} \times (\frac{3}{5})^{19} = 8 \times (\frac{3}{5})^{19}$.
હવે,$5(P(X=0) + P(X=1)) = 5 [(\frac{3}{5})^{20} + 8(\frac{3}{5})^{19}]$
$= 5 [(\frac{3}{5}) \times (\frac{3}{5})^{19} + 8(\frac{3}{5})^{19}]$
$= 5 [(\frac{3}{5} + 8) \times (\frac{3}{5})^{19}]$
$= 5 [(\frac{3+40}{5}) \times (\frac{3}{5})^{19}]$
$= 5 [\frac{43}{5} \times (\frac{3}{5})^{19}] = 43 \times (\frac{3}{5})^{19}$.

(B) ધારો કે $n = 5$ એ કુલ પ્રશ્નોની સંખ્યા છે.
ધારો કે $p$ એ પ્રશ્નનો ખોટો જવાબ આપવાની સંભાવના છે. $4$ માંથી $3$ ખોટા જવાબો હોવાથી,$p = \frac{3}{4}$.
ધારો કે $q$ એ પ્રશ્નનો સાચો જવાબ આપવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = \frac{1}{4}$.
આપણે ઓછામાં ઓછા $3$ પ્રશ્નોના ખોટા જવાબ આપવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \ge 3)$ છે,જ્યાં $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે.
$P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$
$P(X=k) = \binom{5}{k} (\frac{3}{4})^k (\frac{1}{4})^{5-k}$
$P(X=3) = \binom{5}{3} (\frac{3}{4})^3 (\frac{1}{4})^2 = 10 \times \frac{27}{64} \times \frac{1}{16} = \frac{270}{1024}$
$P(X=4) = \binom{5}{4} (\frac{3}{4})^4 (\frac{1}{4})^1 = 5 \times \frac{81}{256} \times \frac{1}{4} = \frac{405}{1024}$
$P(X=5) = \binom{5}{5} (\frac{3}{4})^5 (\frac{1}{4})^0 = 1 \times \frac{243}{1024} \times 1 = \frac{243}{1024}$
$P(X \ge 3) = \frac{270 + 405 + 243}{1024} = \frac{918}{1024} = \frac{459}{512}$

(A) $n$ અને $p$ પ્રાચલો ધરાવતા દ્વિપદી વિતરણ માટે,ધારો કે $q = 1 - p$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે.
મધ્યક $= np$
વિચરણ $= npq$
જ્યારે સફળતા એ અશક્ય ઘટના નથી,ત્યારે $p > 0$. જ્યારે નિષ્ફળતા પણ અશક્ય ઘટના નથી (દ્વિપદી વિતરણના સંદર્ભમાં જ્યાં $0 < p < 1$),ત્યારે આપણી પાસે $0 < q < 1$ છે.
$q < 1$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $npq < np$.
તેથી,મધ્યક હંમેશા વિચરણ કરતા વધારે હોય છે.

(B) દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $\sigma^2 = n p q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q = 1 - p$ છે.
વિચરણનું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે તેને $p$ ના વિધેય તરીકે દર્શાવીએ: $f(p) = n p(1 - p) = n(p - p^2)$.
$p$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $f'(p) = n(1 - 2p) = 0$.
આનાથી $1 - 2p = 0$,અથવા $p = \frac{1}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $q = 1 - p$,તેથી $q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમતોને વિચરણના સૂત્રમાં મૂકતા: $\sigma^2_{\max} = n \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{n}{4}$.

(D) આપેલ છે કે,$p=q$.
કારણ કે $p+q=1$,તેથી $p=q=\frac{1}{2}$ મળે.
હવે,દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ છે.
$k=5$ અને $p=q=\frac{1}{2}$ મૂકતા:
$P(X=5) = { }^n C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-5} = { }^n C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
તેથી,$2^n P(X=5) = 2^n \cdot { }^n C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^n = { }^n C_5$.

(D) ધારો કે $X$ એ $3$ પ્રયત્નોમાં સફળતાની સંખ્યા દર્શાવે છે. પાસાને $3$ વાર ફેંકવામાં આવે છે,તેથી $n=3$.
એક વાર ફેંકતા બેકી સંખ્યા (સફળતા) મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે,જ્યાં $P(X=r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$.
આપણે ઓછામાં ઓછી $2$ સફળતા મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3)$ છે.
$P(X=2) = { }^3 C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{3-2} = 3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{3}{8}$.
$P(X=3) = { }^3 C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^{3-3} = 1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.
તેથી,$P(X \geq 2) = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 5$ અને વિચરણ $npq = 4$ છે.
વિચરણના સૂત્રમાં $np = 5$ મૂકતા,આપણને $5q = 4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{4}{5}$.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - q = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
$np = 5$ અને $p = \frac{1}{5}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને $n = \frac{5}{p} = 5 \times 5 = 25$ મળે છે.
દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ છે.
$X=1$ માટે,$P(X=1) = {}^{25}C_{1} \left(\frac{1}{5}\right)^{1} \left(\frac{4}{5}\right)^{25-1}$.
$P(X=1) = 25 \times \frac{1}{5} \times \left(\frac{4}{5}\right)^{24} = 5 \times \frac{4^{24}}{5^{24}} = \frac{4^{24}}{5^{23}}$.

(A) ધારો કે સફળતા એટલે ઓફિસના હેતુ માટે વપરાતો સ્માર્ટ ફોન પસંદ કરવો.
અહીં,સફળતાની સંભાવના $p = 50 \% = \frac{1}{2}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
આપણી પાસે $n = 10$ પ્રયત્નો છે અને આપણે બરાબર $r = 2$ સફળતાઓ જોઈએ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 2) = { }^{10} C_2 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^{10-2}$
$P(X = 2) = { }^{10} C_2 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^8$
$P(X = 2) = { }^{10} C_2 \cdot (\frac{1}{2})^{10} = { }^{10} C_2 \frac{1}{2^{10}}$.

(C) દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ માં,મધ્યક $\mu = np$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{npq}$ છે.
આપેલ છે કે,$np = 200$ અને $\sqrt{npq} = 10$.
પ્રમાણિત વિચલનના સમીકરણનો વર્ગ કરતા,આપણને $npq = 100$ મળે છે.
$np = 200$ ને $npq = 100$ માં મૂકતા,આપણને $200q = 100$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $p + q = 1$,તેથી $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
હવે,$np = 200 \implies n(\frac{1}{2}) = 200 \implies n = 400$.
આપણે $n^2 + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
કિંમતો મૂકતા: $(400)^2 + \frac{1}{(1/2)^2} + \frac{1}{(1/2)^2} = 160000 + 4 + 4 = 160008$.

(B) ધારો કે તે $n$ વખત લક્ષ્ય પર ગોળીબાર કરે છે.
ધારો કે $X$ એ લક્ષ્યને વીંધવાની સંખ્યા છે.
લક્ષ્યને વીંધવું એ બર્નુલી પ્રયત્ન હોવાથી,$X$ દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
અહીં,$p = \frac{2}{3}$ (વીંધવાની સંભાવના) અને $q = 1 - p = \frac{1}{3}$ (ન વીંધવાની સંભાવના).
લક્ષ્યને ઓછામાં ઓછી એક વાર વીંધવાની સંભાવના $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને આપેલ છે કે $P(X \geq 1) > 90 \%$,જેનો અર્થ છે કે $P(X \geq 1) > 0.9$.
તેથી,$1 - P(X = 0) > 0.9$.
કારણ કે $P(X = 0) = {}^nC_0 q^n p^0 = (\frac{1}{3})^n$,આપણી પાસે છે:
$1 - (\frac{1}{3})^n > 0.9$
$0.1 > (\frac{1}{3})^n$
$(\frac{1}{3})^n < \frac{1}{10}$
$3^n > 10$.
$n = 1$ માટે,$3^1 = 3 < 10$.
$n = 2$ માટે,$3^2 = 9 < 10$.
$n = 3$ માટે,$3^3 = 27 > 10$.
આમ,તેણે ઓછામાં ઓછી $3$ વાર ગોળીબાર કરવો જોઈએ.

(B) આપેલ છે કે મધ્યક = $np = 6$ ... $(i)$
વિચરણ = $npq = 2$ જ્યાં $q = 1 - p$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$6q = 2 \implies q = \frac{1}{3}$
કારણ કે $p = 1 - q$,તેથી $p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$n = \frac{6}{p} = \frac{6}{2/3} = 9$
દ્વિપદી વિતરણનું સંભાવના સૂત્ર $P(X = r) = {}^nC_r p^r q^{n-r}$ છે.
$X = 8$ માટે:
$P(X = 8) = {}^9C_8 \left(\frac{2}{3}\right)^8 \left(\frac{1}{3}\right)^{9-8}$
$P(X = 8) = 9 \times \frac{2^8}{3^8} \times \frac{1}{3}$
$P(X = 8) = 9 \times \frac{2^8}{3^9} = \frac{3^2 \times 2^8}{3^9} = \frac{2^8}{3^7}$

(D) આપેલ છે કે,દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $= 20$.
$\Rightarrow np = 20$ $(i)$.
દ્વિપદી વિતરણનું પ્રમાણિત વિચલન $= 4$.
$\Rightarrow \sqrt{np(1-p)} = 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $np(1-p) = 16$ $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $np = 20$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$20(1-p) = 16$.
$1-p = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$.
$p = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
$p$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$n \times \frac{1}{5} = 20$.
$n = 20 \times 5 = 100$.
તેથી,પ્રયત્નોની સંખ્યા $100$ છે.

(B) કુલ રમકડાં = $30$. સફેદ રમકડાં = $10$. વાદળી રમકડાં = $30 - 10 = 20$.
સફેદ રમકડું પસંદ કરવાની સંભાવના $(p)$ = $\frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.
વાદળી રમકડું પસંદ કરવાની સંભાવના $(q)$ = $1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
રમકડાં પાછા મૂકવામાં આવતા હોવાથી,આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 5$ અને $p = \frac{1}{3}$.
આપણે વધુમાં વધુ $2$ સફેદ રમકડાં મળવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ છે.
$P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$.
$P(X=0) = {}^5C_0 (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^5 = (\frac{2}{3})^5 = \frac{32}{243}$.
$P(X=1) = {}^5C_1 (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^4 = 5 \times \frac{1}{3} \times \frac{16}{81} = \frac{80}{243}$.
$P(X=2) = {}^5C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^3 = 10 \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{27} = \frac{80}{243}$.
$P(X \le 2) = \frac{32}{243} + \frac{80}{243} + \frac{80}{243} = \frac{192}{243}$.
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{64}{81} = (\frac{8}{9})^2$ મળે છે.

(A) $n$ પ્રયત્નો અને સફળતાની સંભાવના $p$ ધરાવતા દ્વિપદી વિતરણ માટે,ધારો કે $q = 1 - p$.
મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$.
આપેલ છે:
$np + npq = 15$
$np(npq) = 54$
ધારો કે $X = np$ અને $Y = npq$.
તેથી $X + Y = 15$ અને $XY = 54$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 15t + 54 = 0$ ના બીજ છે.
$(t - 9)(t - 6) = 0$,તેથી બીજ $9$ અને $6$ છે.
કારણ કે $np > npq$ ($q < 1$ હોવાથી),આપણને $np = 9$ અને $npq = 6$ મળે છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{npq}{np} = \frac{6}{9} \implies q = \frac{2}{3}$.
તેથી $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$p$ ની કિંમત $np = 9$ માં મૂકતા: $n(\frac{1}{3}) = 9 \implies n = 27$.
આમ,પ્રયત્નોની સંખ્યા $27$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી વિતરણ $P(X=r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p+q=1$.
આપેલ છે કે $n=5, p=\frac{3}{4}, q=\frac{1}{4}$.
પ્રથમ,$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ ની ગણતરી કરો.
$P(X=3) = { }^5 C_3 (\frac{3}{4})^3 (\frac{1}{4})^2 = 10 \times \frac{27}{64} \times \frac{1}{16} = \frac{270}{1024}$.
$P(X=4) = { }^5 C_4 (\frac{3}{4})^4 (\frac{1}{4})^1 = 5 \times \frac{81}{256} \times \frac{1}{4} = \frac{405}{1024}$.
$P(X=5) = { }^5 C_5 (\frac{3}{4})^5 (\frac{1}{4})^0 = 1 \times \frac{243}{1024} \times 1 = \frac{243}{1024}$.
$P(X \geq 3) = \frac{270+405+243}{1024} = \frac{918}{1024}$.
તેથી $\alpha = \frac{1}{9} \times \frac{918}{1024} = \frac{102}{1024}$.
આગળ,$\beta = P(X \leq 2) = 1 - P(X \geq 3) = 1 - \frac{918}{1024} = \frac{106}{1024}$.
અંતે,$256(\beta - \alpha) = 256(\frac{106}{1024} - \frac{102}{1024}) = 256(\frac{4}{1024}) = 256(\frac{1}{256}) = 1$.

(D) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે,સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
આપેલ છે કે $n=7$ અને $P(X=3) = P(X=4)$:
$\binom{7}{3} p^3 q^4 = \binom{7}{4} p^4 q^3$
કારણ કે $\binom{7}{3} = \binom{7}{4} = 35$,તેથી $35 p^3 q^4 = 35 p^4 q^3$.
બંને બાજુ $35 p^3 q^3$ વડે ભાગતા ($p, q \neq 0$ ધારીને),આપણને $q = p$ મળે છે.
$p+q=1$ હોવાથી,$p = q = \frac{1}{2}$ મળે.
હવે,$P(X=5)$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(X=5) = \binom{7}{5} (\frac{1}{2})^5 (\frac{1}{2})^{7-5} = \binom{7}{5} (\frac{1}{2})^7$.
$\binom{7}{5} = \binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2} = 21$.
આમ,$P(X=5) = 21 \times \frac{1}{2^7} = \frac{21}{2^7}$.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np = 4$ ... $(i)$
વિચરણ $\sigma^2 = npq = 2$ ... (ii)
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{npq}{np} = \frac{2}{4} \implies q = \frac{1}{2}$
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
સમીકરણ $(i)$ માં $p = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$n \times \frac{1}{2} = 4 \implies n = 8$
દ્વિપદી વિતરણમાં $X$ સફળતાઓની સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ છે.
$k = 2$ માટે:
$P(X=2) = { }^8 C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 28 \times \left(\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{28}{256} = \frac{7}{64}$

(A) આપેલ છે કે,નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 0.8$,તેથી સફળતાની સંભાવના $p = 1 - 0.8 = 0.2$. પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 3$ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
આપણે ઘટના વધુમાં વધુ એક વાર બને તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ છે.
$P(X = 0) = { }^3 C_0 (0.2)^0 (0.8)^3 = 1 \times 1 \times 0.512 = 0.512$.
$P(X = 1) = { }^3 C_1 (0.2)^1 (0.8)^2 = 3 \times 0.2 \times 0.64 = 0.384$.
તેથી,$P(X \leq 1) = 0.512 + 0.384 = 0.896$.

(C) આપેલ છે કે,દ્વિપદી ચલનો મધ્યક $np = 8$ અને વિચરણ $npq = 4$ છે.
$\therefore q = \frac{npq}{np} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
$p = 1 - q$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$np = 8$ માં $p = \frac{1}{2}$ મૂકતા,$n \times \frac{1}{2} = 8$,તેથી $n = 16$.
આપણે $P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ શોધવાનું છે.
સૂત્ર $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=0) = {}^{16}C_{0} (\frac{1}{2})^{0} (\frac{1}{2})^{16} = 1 \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{1}{2^{16}}$.
$P(X=1) = {}^{16}C_{1} (\frac{1}{2})^{1} (\frac{1}{2})^{15} = 16 \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{16}{2^{16}}$.
$P(X=2) = {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{14} = \frac{16 \times 15}{2} \times \frac{1}{2^{16}} = 120 \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{120}{2^{16}}$.
તેથી,$P(X < 3) = \frac{1 + 16 + 120}{2^{16}} = \frac{137}{2^{16}}$.

(A) આપેલ છે કે $X$ દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે,તેથી સંભાવના દળ વિધેય $P(X=r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{P(X=r)}{P(X=n-r)} = \frac{{ }^n C_r p^r q^{n-r}}{{ }^n C_{n-r} p^{n-r} q^r}$
કારણ કે ${ }^n C_r = { }^n C_{n-r}$,પદાવલિનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ થાય છે:
$\frac{P(X=r)}{P(X=n-r)} = \frac{p^r q^{n-r}}{p^{n-r} q^r} = \left(\frac{p}{q}\right)^r \left(\frac{q}{p}\right)^{n-r} = \left(\frac{q}{p}\right)^{n-2r}$
આ પદાવલિ $n$ થી સ્વતંત્ર રહે તે માટે,$n$ વાળા ઘાતાંકનો આધાર $1$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{q}{p} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $q = p$.
કારણ કે $p + q = 1$,તેથી $p + p = 1$,જે આપણને $2p = 1$ આપે છે.
આમ,$p = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $X$ એ $100$ વખત સિક્કો ઉછાળતા મળતી છાપની સંખ્યા છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 100$ અને $p = \frac{1}{2}$ છે.
$k$ વખત છાપ મળવાની સંભાવના $P(X=k) = {}^{100}C_k (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{100-k} = {}^{100}C_k (\frac{1}{2})^{100}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે એકી સંખ્યામાં છાપ મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X=1) + P(X=3) + \dots + P(X=99)$ છે.
આ સરવાળો $(\frac{1}{2})^{100} \times ({}^{100}C_1 + {}^{100}C_3 + \dots + {}^{100}C_{99})$ જેટલો થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે એકી ક્રમના દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો ${}^{n}C_1 + {}^{n}C_3 + \dots = 2^{n-1}$ થાય છે.
$n=100$ માટે,આ સરવાળો $2^{100-1} = 2^{99}$ થાય છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $(\frac{1}{2})^{100} \times 2^{99} = \frac{2^{99}}{2^{100}} = \frac{1}{2}$ છે.