Binomial distribution Questions in Gujarati

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np = 18$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq = 12$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\frac{npq}{np} = \frac{12}{18}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $q = \frac{2}{3}$ મળે છે.
કારણ કે $p + q = 1$,તેથી $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

(D) આપેલ છે કે $X \sim B(n, p)$ જ્યાં $n = 10$ અને $p = 0.4$ છે.
$q = 1 - p$ હોવાથી,$q = 1 - 0.4 = 0.6$ મળે.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E(X) = np = 10 \times 0.4 = 4$ થાય.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $V(X) = npq = 10 \times 0.4 \times 0.6 = 2.4$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$.
કિંમતો મૂકતા,$2.4 = E(X^2) - (4)^2$ મળે.
$2.4 = E(X^2) - 16$.
તેથી,$E(X^2) = 16 + 2.4 = 18.4$.

(B) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે,મધ્યક $E(X) = np = 18$ અને વિચરણ $Var(X) = npq = 12$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $\frac{npq}{np} = \frac{12}{18}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $q = \frac{2}{3}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ થાય.
$p = \frac{1}{3}$ ની કિંમત મધ્યકના સમીકરણ $np = 18$ માં મૂકતા,$n \times \frac{1}{3} = 18$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $n = 54$.
યાદચ્છિક ચલ $X$ એ $0, 1, 2, \dots, n$ સુધીની કિંમતો ધારણ કરી શકે છે.
તેથી,$X$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, \dots, 54$ છે.
આવી કુલ કિંમતોની સંખ્યા $n + 1 = 54 + 1 = 55$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n=5$ અને $p=\frac{1}{3}$.
$q = 1 - p$ હોવાથી,$q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ મળે.
સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ છે.
આપણે $P(2 < X < 4)$ શોધવાનું છે,જે $P(X=3)$ ની બરાબર છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$P(X=3) = { }^5 C_3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^{5-3}$
$P(X=3) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \left(\frac{1}{27}\right) \times \left(\frac{2}{3}\right)^2$
$P(X=3) = 10 \times \frac{1}{27} \times \frac{4}{9}$
$P(X=3) = \frac{40}{243}$

(B) આપેલ છે કે $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે.
દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $E(X) = np = 5$ અને વિચરણ $\operatorname{Var}(X) = npq = 2.5$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{2.5}{5} = 0.5 = \frac{1}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $p + q = 1$,તેથી $p = 1 - 0.5 = 0.5 = \frac{1}{2}$ થાય.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 5$ માં મૂકતા,આપણને $n \times \frac{1}{2} = 5$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n = 10$.
આપણે $P(X < 1)$ શોધવાનું છે,જે $P(X = 0)$ ની બરાબર છે.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k = 0$ માટે,$P(X = 0) = {}^{10}C_{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{10-0} = 1 \times 1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \left(\frac{1}{2}\right)^{10}$.

(B) ધારો કે $X$ એ $100$ પ્રયત્નોમાં સફળતાની સંખ્યા (બેકી સંખ્યા મેળવવી) દર્શાવે છે.
તેથી $X$ એ $n = 100$,$p = \frac{1}{2}$ અને $q = \frac{1}{2}$ સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
$X$ નું વિચરણ = $npq = 100 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 25$.
પ્રમાણિત વિચલન = $\sqrt{\text{વિચરણ}} = \sqrt{25} = 5$.

(C) કુલ પત્તાંની સંખ્યા $= 52$. કુલ રાણીઓની સંખ્યા $= 4$.
એક પ્રયત્નમાં રાણી મળવાની સંભાવના,$p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
રાણી ન મળવાની સંભાવના,$q = 1 - p = \frac{12}{13}$.
પત્તાં બદલી સાથે ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 2$ અને $p = \frac{1}{13}$.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E(X) = np$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E(X) = 2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$.

(C) આપેલ છે કે $X \sim B(n, p)$ જ્યાં $p=0.6$ અને $E(X)=6$.
$E(X) = np$ હોવાથી,$n(0.6) = 6$,જેનો અર્થ છે કે $n = \frac{6}{0.6} = 10$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4$.
વિચરણ (Variance) $\operatorname{Var}(X) = npq$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\operatorname{Var}(X) = (10)(0.6)(0.4) = 2.4$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે,મધ્યક $E(X) = np = 18$ અને વિચરણ $Var(X) = npq = 12$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $q = 1 - p$.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{npq}{np} = \frac{12}{18} \implies q = \frac{2}{3}$.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ મળે.
$p = \frac{1}{3}$ ને $np = 18$ માં મૂકતા:
$n \times \frac{1}{3} = 18 \implies n = 18 \times 3 = 54$.

(D) લીલા દડાની સંખ્યા દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે.
અહીં,કુલ દડાની સંખ્યા $15 + 10 = 25$ છે.
એક પ્રયત્નમાં લીલો દડો પસંદ થવાની સંભાવના $p = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$ છે.
પીળો દડો પસંદ થવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$ છે.
પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 10$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $\sigma^2 = npq$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\sigma^2 = 10 \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = 10 \times \frac{6}{25} = \frac{60}{25} = \frac{12}{5}$ મળે છે.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ છે,જ્યાં $q = 1 - p$.
આપેલ છે કે $n = 5$ અને $np + npq = 1.8$.
$n = 5$ અને $q = 1 - p$ મૂકતા:
$5p + 5p(1 - p) = 1.8$
$5p + 5p - 5p^2 = 1.8$
$10p - 5p^2 = 1.8$
$5p^2 - 10p + 1.8 = 0$
$5$ વડે ગુણતા: $25p^2 - 50p + 9 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 900}}{50} = \frac{50 \pm 40}{50}$.
$p = 1.8$ (શક્ય નથી કારણ કે $p \leq 1$) અથવા $p = 0.2$.
આમ,સફળતાની સંભાવના $0.2$ છે.

(B) નિષ્પક્ષ સિક્કા માટે,એક વાર ઉછાળતા છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
સિક્કાને $n = 5$ વાર ઉછાળવામાં આવે છે,તેથી આપણે દ્વિપદી વિતરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું: $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$.
આપણે બરાબર $k = 3$ છાપ મેળવવાની સંભાવના શોધવી છે.
કિંમતો મૂકતા: $P(X = 3) = \binom{5}{3} (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2})^{5-3}$.
દ્વિપદી સહગુણકની ગણતરી કરતા: $\binom{5}{3} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
આમ,$P(X = 3) = 10 \times (\frac{1}{2})^3 \times (\frac{1}{2})^2 = 10 \times (\frac{1}{2})^5$.
$P(X = 3) = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 10$ અને $p = \frac{1}{2}$ છે,તેથી $1-p = \frac{1}{2}$ થાય.
આમ,$P(X = k) = \binom{10}{k} \left( \frac{1}{2} \right)^k \left( \frac{1}{2} \right)^{10-k} = \binom{10}{k} \left( \frac{1}{2} \right)^{10}$.
આપણે $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(X=0) = \binom{10}{0} \left( \frac{1}{2} \right)^{10} = 1 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{10}$.
$P(X=1) = \binom{10}{1} \left( \frac{1}{2} \right)^{10} = 10 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{10}$.
$P(X=2) = \binom{10}{2} \left( \frac{1}{2} \right)^{10} = \frac{10 \times 9}{2} \times \left( \frac{1}{2} \right)^{10} = 45 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{10}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \leq 2) = (1 + 10 + 45) \left( \frac{1}{2} \right)^{10} = 56 \left( \frac{1}{2} \right)^{10}$.
આને $m \left( \frac{1}{2} \right)^{10}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = 56$ મળે છે.

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 6$ અને વિચરણ $npq = 3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 6$ માં મૂકતા,$n(\frac{1}{2}) = 6$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $n = 12$.
સંભાવના વિધેય $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = \binom{12}{k} (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{12-k} = \binom{12}{k} (\frac{1}{2})^{12}$ છે.
આપણે $P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(X = 0) = \binom{12}{0} (\frac{1}{2})^{12} = 1 \times \frac{1}{4096} = \frac{1}{4096}$.
$P(X = 1) = \binom{12}{1} (\frac{1}{2})^{12} = 12 \times \frac{1}{4096} = \frac{12}{4096}$.
તેથી,$P(X < 2) = \frac{1}{4096} + \frac{12}{4096} = \frac{13}{4096}$.

(B) કુલ બલ્બની સંખ્યા = $100$.
ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા = $10$.
ખામી વગરના બલ્બની સંખ્યા = $100 - 10 = 90$.
એક બલ્બ પસંદ કરવામાં આવે ત્યારે તે ખામી વગરનો હોય તેની સંભાવના $p = \frac{90}{100} = \frac{9}{10}$ છે.
આપણે $5$ બલ્બ પસંદ કરીએ છીએ,અને જો પસંદગી પુનરાવર્તન સાથે કરવામાં આવે (અથવા નમૂનાનું કદ વસ્તીની તુલનામાં નાનું હોય),તો $5$ બલ્બમાંથી એક પણ ખામીયુક્ત ન હોય તેની સંભાવના દ્વિપદી સંભાવના $P(X=0) = \left(\frac{9}{10}\right)^5$ દ્વારા મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ધારો કે $p$ એ વિદ્યાર્થી તરવૈયો હોય તેની સંભાવના છે અને $q$ એ વિદ્યાર્થી તરવૈયો ન હોય તેની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $q = \frac{1}{5}$,તેથી $p = 1 - q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
આપણે $n = 5$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી $x = 4$ તરવૈયા હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $P(X = x) = ^nC_x \cdot p^x \cdot q^{n-x}$.
કિંમતો મૂકતા: $P(X = 4) = ^5C_4 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{5-4}$.
$P(X = 4) = 5 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^4 \cdot \frac{1}{5} = \left(\frac{4}{5}\right)^4$.
આ કિંમત વિકલ્પો $A, B, C$ માં આપેલી નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આ દ્વિપદી વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં $n = 5$ અને $p = \frac{1}{5}$ છે.
સફળતાની સંભાવના (વિદ્યાર્થી ગાયક છે) $p = \frac{1}{5}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના (વિદ્યાર્થી ગાયક નથી) $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.
આપણે $x = 4$ વિદ્યાર્થીઓ ગાયક હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
દ્વિપદી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x q^{n-x}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P(X = 4) = \binom{5}{4} \left(\frac{1}{5}\right)^4 \left(\frac{4}{5}\right)^{5-4}$.
$P(X = 4) = 5 \times \left(\frac{1}{5}\right)^4 \times \frac{4}{5}$.
$P(X = 4) = 5 \times \frac{1}{5^4} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{5^4} = 4 \left(\frac{1}{5}\right)^4$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) દ્વિપદી વિતરણ માટે,વિચરણનું સૂત્ર $Var(X) = n \times p \times q$ છે,જ્યાં $q = 1 - p$ છે.
અહીં $n = 5$ અને $p = 0.30$ આપેલ છે.
તેથી $q = 1 - 0.30 = 0.70$ થાય.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Var(X) = 5 \times 0.30 \times 0.70$
$Var(X) = 1.5 \times 0.70 = 1.05$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ છે કે,ખામીયુક્ત પેન પસંદ કરવાની સંભાવના $p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ છે.
તેથી,ખામી રહિત પેન પસંદ કરવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{9}{10}$ છે.
પેન બદલી સાથે લેવામાં આવતી હોવાથી,આ દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે જ્યાં $n = 5$ પ્રયત્નો છે.
આપણે વધુમાં વધુ એક પેન ખામીયુક્ત હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$.
દ્વિપદી સૂત્ર $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = {}^{5}C_{0} \left(\frac{1}{10}\right)^{0} \left(\frac{9}{10}\right)^{5} = \left(\frac{9}{10}\right)^{5}$.
$P(X = 1) = {}^{5}C_{1} \left(\frac{1}{10}\right)^{1} \left(\frac{9}{10}\right)^{4} = 5 \times \frac{1}{10} \times \left(\frac{9}{10}\right)^{4} = \frac{1}{2} \left(\frac{9}{10}\right)^{4}$.
તેથી,$P(X \leq 1) = \left(\frac{9}{10}\right)^{5} + \frac{1}{2} \left(\frac{9}{10}\right)^{4}$.

(D) કુલ બલ્બની સંખ્યા $N = 100$ છે.
ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા $D = 10$ છે.
ખામી રહિત બલ્બની સંખ્યા $G = 100 - 10 = 90$ છે.
અહીં $n = 5$ બલ્બ પસંદ કરવામાં આવે છે.
એક પણ બલ્બ ખામીયુક્ત ન હોય તેની સંભાવના શોધવા માટે,આપણે દ્વિપદી વિતરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ જ્યાં સફળતાની સંભાવના $p = \frac{90}{100} = 0.9$ છે.
તેથી,$P(X = 0) = (0.9)^{5} = (\frac{9}{10})^{5}$.

(B) ધારો કે $p$ એ આગળ ડગલું ભરવાની સંભાવના છે,તેથી $p = 0.4$.
ધારો કે $q$ એ પાછળ ડગલું ભરવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 0.6$.
કુલ ડગલાં $n = 11$.
ધારો કે $x$ એ આગળ ભરેલા ડગલાંની સંખ્યા છે અને $y$ એ પાછળ ભરેલા ડગલાંની સંખ્યા છે.
આપણને મળે છે $x + y = 11$.
માણસ શરૂઆતના બિંદુથી એક ડગલું દૂર હોય તે માટે,ચોખ્ખું સ્થાનાંતર $x - y = 1$ અથવા $x - y = -1$ હોવું જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $x - y = 1$. સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$2x = 12 \implies x = 6$,તેથી $y = 5$.
આ કિસ્સા માટેની સંભાવના $^{11}C_{6} \times p^{6} \times q^{5} = ^{11}C_{6} \times (0.4)^{6} \times (0.6)^{5}$ છે.
કિસ્સો $2$: $x - y = -1$. સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$2x = 10 \implies x = 5$,તેથી $y = 6$.
આ કિસ્સા માટેની સંભાવના $^{11}C_{5} \times p^{5} \times q^{6} = ^{11}C_{5} \times (0.4)^{5} \times (0.6)^{6}$ છે.
કારણ કે $^{11}C_{6} = ^{11}C_{5}$,કુલ સંભાવના $^{11}C_{6} \times (0.4)^{5} \times (0.6)^{5} \times (0.4 + 0.6) = ^{11}C_{6} \times (0.24)^{5} \times 1 = ^{11}C_{6} \times (0.24)^{5}$ થાય.

(C) આપેલ છે,$n=10$.
એક પાસાને ફેંકતા એકી સંખ્યા મળે તેની સંભાવના,$p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
એકી સંખ્યા ન મળે તેની સંભાવના,$q = 1 - p = \frac{1}{2}$.
આપણે એવી સંભાવના શોધવાની છે કે એકી સંખ્યા ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે,જે $P(X \geq 1)$ છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(X \geq 1) = 1 - P(X=0)$.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=0) = {}^{10}C_{0} (\frac{1}{2})^{0} (\frac{1}{2})^{10} = 1 \times 1 \times \frac{1}{1024} = \frac{1}{1024}$.
તેથી,$P(X \geq 1) = 1 - \frac{1}{1024} = \frac{1023}{1024}$.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X=r) = {}^{n}C_{r} q^{n-r} p^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q = 1-p$.
અહીં $n=6$ આપેલ છે,તેથી:
$P(X=2) = {}^{6}C_{2} q^{4} p^{2} = 15 q^{4} p^{2} = 12$ (સમીકરણ $1$)
$P(X=3) = {}^{6}C_{3} q^{3} p^{3} = 20 q^{3} p^{3} = 5$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ ને સમીકરણ $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{15 q^{4} p^{2}}{20 q^{3} p^{3}} = \frac{12}{5}$
$\frac{3q}{4p} = \frac{12}{5}$
$15q = 48p$
$5q = 16p$
કારણ કે $q = 1-p$,તેથી:
$5(1-p) = 16p$
$5 - 5p = 16p$
$5 = 21p$
$p = \frac{5}{21}$

(B) આપેલ છે કે યાદચ્છિક ચલ $X$ એ $n=5$ અને $p$ પ્રાચલો સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે. સંભાવના વિધેય $P(X=k) = { }^n C_k p^k (1-p)^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(X=2) = 9 P(X=3)$.
કિંમતો મૂકતા: ${ }^5 C_2 p^2 (1-p)^{5-2} = 9 \times { }^5 C_3 p^3 (1-p)^{5-3}$.
અહીં ${ }^5 C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ અને ${ }^5 C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ હોવાથી:
$10 p^2 (1-p)^3 = 9 \times 10 p^3 (1-p)^2$.
બંને બાજુ $10 p^2 (1-p)^2$ વડે ભાગતા (ધારો કે $p \neq 0, 1$):
$(1-p) = 9p$.
$1 = 10p$.
$p = 1/10$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\sum_{x=0}^{\infty} \frac{k^x}{x !} \lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{n !}{(n-x) !}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n-x}\left(\frac{1}{n}\right)^x$
$= \lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \sum_{x=0}^n \frac{n !}{x !(n-x) !}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n-x}\left(\frac{k}{n}\right)^x$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{x=0}^n { }^n C_x \left(1-\frac{k}{n}\right)^{n-x}\left(\frac{k}{n}\right)^x$
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{x=0}^n { }^n C_x a^{n-x} b^x = (a+b)^n$:
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \left(1-\frac{k}{n} + \frac{k}{n}\right)^n$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} (1)^n = 1$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આ દ્વિપદી વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં $n = 6$ અને $p = 1/2$ છે.
એક પ્રયત્નમાં $5$ છાપ મળવાની સંભાવના $P(X=5) = \binom{6}{5} (1/2)^6 = 6/64 = 3/32$ છે.
અહીં $N = 320$ પ્રયત્નો છે,તેથી સરેરાશ $\lambda = Np' = 320 \times (3/32) = 30$ થાય.
પોઈસન વિતરણ મુજબ,$P(Y=2) = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} = \frac{30^2 \times e^{-30}}{2}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $\mu = np = 9$ છે.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{npq} = \frac{3}{2}$ છે.
પ્રમાણિત વિચલનનો વર્ગ કરતા,$npq = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$ મળે.
$np = 9$ ને $npq = \frac{9}{4}$ માં મૂકતા,$9q = \frac{9}{4}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{1}{4}$.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ મળે.
હવે,$np = 9 \implies n \times \frac{3}{4} = 9 \implies n = 12$.
તેથી,દ્વિપદી વિતરણ $(p + q)^n = \left(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\right)^{12}$ થાય.

(B) આપેલ છે,$p = 0.3, q = 1 - p = 0.7$.
મધ્યક $(\mu) = np = 0.3n$.
પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma) = \sqrt{npq} = \sqrt{n(0.3)(0.7)} = \sqrt{0.21n}$.
આપેલ છે કે $\mu = 3\sigma$.
કિંમતો મૂકતા,$0.3n = 3\sqrt{0.21n}$.
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા,$0.1n = \sqrt{0.21n}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(0.1n)^2 = 0.21n$.
$0.01n^2 = 0.21n$.
$n^2 = 21n$.
$n \neq 0$ હોવાથી,$n = 21$ મળે છે.

(C) પાસા પર $4$ કરતા મોટી સંખ્યાઓ $5$ અને $6$ છે.
સફળતાની સંભાવના $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
પાસાને $n = 2$ વાર ફેંકવામાં આવે છે,તેથી દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $\sigma^2 = npq$ દ્વારા મળે છે.
$\sigma^2 = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$.

(B) સિક્કાને $8$ વખત ઉછાળતા કુલ શક્ય પરિણામો $2^8 = 256$ છે.
ધારો કે $H$ એ છાપ અને $T$ એ કાંટો છે.
આપણે એવા પરિણામો જોઈએ છે જેમાં $H$ સતત ઓછામાં ઓછી $5$ વખત આવે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $10$ છે.
સંભાવના $= \frac{10}{256} = \frac{5}{128}$.

(B) $7$ અલગ-અલગ દડાઓને $4$ અલગ-અલગ બોક્સમાં વહેંચવાની કુલ રીતો $4^7$ છે.
પ્રથમ બોક્સમાં બરાબર $3$ દડા હોય તેવી રીતોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $7$ માંથી $3$ દડા ${}^7C_3$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ.
બાકીના $4$ દડા બાકીના $3$ બોક્સમાં $3^4$ રીતે વહેંચી શકાય છે.
આમ,સાનુકૂળ રીતોની સંખ્યા ${}^7C_3 \times 3^4$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{{}^7C_3 \times 3^4}{4^7} = \frac{35}{64} \left(\frac{3}{4}\right)^4$ છે.

(D) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
સરવાળો $6$ માટે,સાનુકૂળ પરિણામો $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ છે,તેથી $5$ પરિણામો છે. એક પ્રયત્નમાં સરવાળો $6$ મેળવવાની સંભાવના $p_1 = \frac{5}{36}$ છે.
એક પ્રયત્નમાં સરવાળો $6$ ન મેળવવાની સંભાવના $q_1 = 1 - \frac{5}{36} = \frac{31}{36}$ છે.
$9$ પ્રયત્નોમાં ઓછામાં ઓછી એક વાર સરવાળો $6$ મેળવવાની સંભાવના $P_1 = 1 - (q_1)^9 = 1 - \left(\frac{31}{36}\right)^9$ છે.
સરવાળો $8$ માટે,સાનુકૂળ પરિણામો $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ છે,તેથી $5$ પરિણામો છે. એક પ્રયત્નમાં સરવાળો $8$ મેળવવાની સંભાવના $p_2 = \frac{5}{36}$ છે.
એક પ્રયત્નમાં સરવાળો $8$ ન મેળવવાની સંભાવના $q_2 = 1 - \frac{5}{36} = \frac{31}{36}$ છે.
$9$ પ્રયત્નોમાં ઓછામાં ઓછી એક વાર સરવાળો $8$ મેળવવાની સંભાવના $P_2 = 1 - (q_2)^9 = 1 - \left(\frac{31}{36}\right)^9$ છે.
તેથી $P_1 = P_2$,ગુણોત્તર $P_1 : P_2 = 1 : 1$ છે.

(C) એક પાસા માટે,શક્ય પરિણામો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
પાસા પર $3$ ના ગુણકો $\{3, 6\}$ છે.
એક પાસા પર $3$ નો ગુણક મળે તેની સંભાવના $P(M) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
એક પાસા પર $3$ નો ગુણક ન મળે તેની સંભાવના $P(M') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
$12$ પાસા સ્વતંત્ર રીતે ફેંકવામાં આવતા હોવાથી,$12$ પાસામાંથી કોઈ પણ પર $3$ નો ગુણક ન આવે તેની સંભાવના $\left(\frac{2}{3}\right)^{12}$ છે.

(A) એક પાસા માટે,કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે. પાસા પર $1$ અંક આવવાની સંભાવના $P(1) = \frac{1}{6}$ છે.
તેથી,એક પાસા પર $1$ અંક ન આવવાની સંભાવના $P(\text{not } 1) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
જ્યારે $4$ પાસા એકસાથે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે આ ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે.
આમ,કોઈ પણ પાસા પર $1$ અંક ન આવે તેની સંભાવના $\left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{5}{6}\right) = \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296}$ છે.

(B) ધારો કે $p$ એ જહાજ ડૂબી જવાની સંભાવના છે,તેથી $p = \frac{1}{9}$.
ધારો કે $q$ એ જહાજ સુરક્ષિત રીતે પહોંચવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
આપણે $6$ જહાજોમાંથી બરાબર $3$ જહાજો ડૂબી જાય તેની સંભાવના શોધી રહ્યા છીએ.
દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X=k) = {}^n C_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=6$,$k=3$,$p=\frac{1}{9}$,અને $q=\frac{8}{9}$:
$P(X=3) = {}^6 C_3 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^3 \cdot \left(\frac{8}{9}\right)^3$
$P(X=3) = {}^6 C_3 \cdot \frac{1}{9^3} \cdot \frac{8^3}{9^3}$
$P(X=3) = {}^6 C_3 \cdot \frac{8^3}{9^6}$

(A) $100$ રક્ત નમૂનાઓમાંથી સામાન્ય નમૂના પસંદ કરવાની સંભાવના $p = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ છે.
તેથી,$q = 1 - p = \frac{3}{4}$.
પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 10$.
આપણે ઓછામાં ઓછા બે સામાન્ય નમૂના હોવાની સંભાવના $P(X \geq 2)$ શોધવાની છે.
$P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$.
દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = {}^{10}C_{0} (\frac{1}{4})^0 (\frac{3}{4})^{10} = (\frac{3}{4})^{10}$.
$P(X = 1) = {}^{10}C_{1} (\frac{1}{4})^1 (\frac{3}{4})^9 = 10 \times \frac{1}{4} \times (\frac{3}{4})^9 = \frac{10}{4} (\frac{3}{4})^9$.
$P(X < 2) = (\frac{3}{4})^{10} + \frac{10}{4} (\frac{3}{4})^9 = (\frac{3}{4})^9 [\frac{3}{4} + \frac{10}{4}] = (\frac{3}{4})^9 [\frac{13}{4}]$.
તેથી,$P(X \geq 2) = 1 - \frac{13}{4} (\frac{3}{4})^9$.

(A) ધારો કે એક દિવસમાં ભારે ધુમ્મસ હોવાની સંભાવના $p = 0.6 = \frac{3}{5}$ છે.
તેથી,ભારે ધુમ્મસ ન હોવાની સંભાવના $q = 1 - 0.6 = 0.4 = \frac{2}{5}$ છે.
અઠવાડિયાના કુલ દિવસો $n = 7$ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = {n \choose k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા,$k = 2$ માટે:
$P(X = 2) = {7 \choose 2} \times (\frac{3}{5})^2 \times (\frac{2}{5})^5$
$P(X = 2) = 21 \times \frac{9}{25} \times \frac{32}{3125} = \frac{6048}{5^7}$.

(D) જ્યારે સિક્કાને $6$ વખત ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામો $2^6 = 64$ મળે છે.
ધારો કે $X$ એ છાપની સંખ્યા છે. આપણે $P(X > 3)$ શોધવું છે,જેનો અર્થ છે કે $X$ ની કિંમત $4, 5,$ અથવા $6$ હોઈ શકે.
$n$ વખત ઉછાળતા $r$ છાપ મળે તેની રીતો $\binom{n}{r}$ દ્વારા મળે છે.
$4$ છાપ મળે તેની રીતો $= \binom{6}{4} = 15$.
$5$ છાપ મળે તેની રીતો $= \binom{6}{5} = 6$.
$6$ છાપ મળે તેની રીતો $= \binom{6}{6} = 1$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 15 + 6 + 1 = 22$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{22}{64} = \frac{11}{32}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $X$ એ $P$ ને મળતી છાપની સંખ્યા છે અને $Y$ એ $Q$ ને મળતી છાપની સંખ્યા છે. બંને $X$ અને $Y$ દ્વિપદી વિતરણ $B(n=3, p=0.5)$ અનુસરે છે.
$3$ સિક્કા ઉછાળતા $r$ છાપ મળવાની સંભાવના $P(X=r) = ^{3}C_{r} (0.5)^3$ છે.
આપણે $P(X=Y) = \sum_{r=0}^{3} P(X=r) \times P(Y=r)$ શોધવું છે.
$P(X=r) = P(Y=r)$ હોવાથી,આ $\sum_{r=0}^{3} [P(X=r)]^2$ થાય છે.
$P(X=0) = \frac{1}{8}$,$P(X=1) = \frac{3}{8}$,$P(X=2) = \frac{3}{8}$,$P(X=3) = \frac{1}{8}$.
$P(X=Y) = (\frac{1}{8})^2 + (\frac{3}{8})^2 + (\frac{3}{8})^2 + (\frac{1}{8})^2 = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $X_1, X_2, X_3$ એ બદલી સાથે પસંદ કરેલા ત્રણ પુસ્તકોના નંબર છે. દરેક $X_i \in \{1, 2, \dots, 20\}$.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 20^3$.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે સૌથી મોટો નંબર $7$ હોય. આનો અર્થ એ છે કે ત્રણેય નંબર $\le 7$ હોવા જોઈએ અને ઓછામાં ઓછો એક નંબર $7$ હોવો જોઈએ.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે સૌથી મોટો નંબર $\le 7$ છે. તો $P(E) = \left(\frac{7}{20}\right)^3$.
ધારો કે $F$ એ ઘટના છે કે સૌથી મોટો નંબર $\le 6$ છે. તો $P(F) = \left(\frac{6}{20}\right)^3$.
સૌથી મોટો નંબર બરાબર $7$ હોય તેની સંભાવના $P(E) - P(F) = \left(\frac{7}{20}\right)^3 - \left(\frac{6}{20}\right)^3$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) $6$ સિક્કાઓ ઉછાળતા કુલ શક્ય પરિણામો $2^6 = 64$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછી $4$ છાપ મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$ છે.
દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X=r) = \binom{n}{r} p^r q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=6$ અને $p=q=1/2$:
$P(X=4) = \binom{6}{4} (1/2)^6 = \frac{15}{64}$
$P(X=5) = \binom{6}{5} (1/2)^6 = \frac{6}{64}$
$P(X=6) = \binom{6}{6} (1/2)^6 = \frac{1}{64}$
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \ge 4) = \frac{15+6+1}{64} = \frac{22}{64} = \frac{11}{32}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે $p$ એ પર્વતારોહકના સુરક્ષિત રીતે પાછા ફરવાની સંભાવના છે,તેથી $p = \frac{9}{10}$.
ધારો કે $q$ એ પર્વતારોહકના સુરક્ષિત રીતે પાછા ન ફરવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = \frac{1}{10}$.
આપણે દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $n = 5$.
આપણે ઓછામાં ઓછા $4$ પર્વતારોહકો સુરક્ષિત રીતે પાછા ફરે તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ છે.
$P(X = 4) = {}^5C_4 \cdot (\frac{9}{10})^4 \cdot (\frac{1}{10})^1 = 5 \cdot \frac{9^4}{10^5}$.
$P(X = 5) = {}^5C_5 \cdot (\frac{9}{10})^5 = 1 \cdot \frac{9^5}{10^5}$.
$P(X \ge 4) = \frac{5 \cdot 9^4}{10^5} + \frac{9^5}{10^5} = \frac{9^4(5 + 9)}{10^5} = \frac{9^4 \cdot 14}{100000} = \frac{9^4 \cdot 7}{50000}$.

(B) ધારો કે $A$ દ્વારા ફેંકવામાં આવેલા બે પાસાનો સરવાળો $S_A$ છે અને $B$ દ્વારા ફેંકવામાં આવેલા બે પાસાનો સરવાળો $S_B$ છે.
બે પાસાનો સરવાળો બેકી સંખ્યા હોવા માટે,બંને પાસા પર કાં તો બંને બેકી સંખ્યાઓ અથવા બંને એકી સંખ્યાઓ હોવી જોઈએ.
એક વ્યક્તિ માટે બેકી સરવાળો મેળવવાની સંભાવના $P(\text{even}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ છે.
$A$ અને $B$ એકસાથે અને સ્વતંત્ર રીતે પાસા ફેંકતા હોવાથી,એક પ્રયત્નમાં બંનેનો સરવાળો બેકી મળે તેની સંભાવના $P(A_{\text{even}} \cap B_{\text{even}}) = P(A_{\text{even}}) \times P(B_{\text{even}}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ છે.
તેઓ આ પ્રયોગ $100$ વખત કરે છે,તેથી તમામ $100$ ફેંકમાં બંનેનો સરવાળો બેકી મળે તેની સંભાવના $\left(\frac{1}{4}\right)^{100}$ છે.

(D) ધારો કે $X$ એ $(2n+1)$ ફેંકમાં $1, 3,$ અથવા $4$ મળવાની સંખ્યા છે. એક ફેંકમાં સફળતાની સંભાવના $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
પાસાને $(2n+1)$ વખત ફેંકવામાં આવતો હોવાથી,$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(2n+1, \frac{1}{2})$ ને અનુસરે છે.
આપણે $P(X \le n) = \sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{k} (\frac{1}{2})^{2n+1}$ શોધવા માંગીએ છીએ.
દ્વિપદી સહગુણકોના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{k} = \sum_{k=n+1}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = \frac{1}{2} \times 2^{2n+1} = 2^{2n}$.
આમ,$P(X \le n) = 2^{2n} \times (\frac{1}{2})^{2n+1} = \frac{2^{2n}}{2^{2n+1}} = \frac{1}{2}$.

(D) કુલ પ્રશ્નોની સંખ્યા $n = 8$ છે. દરેક પ્રશ્ન ખરા કે ખોટા પ્રકારનો હોવાથી,સાચા જવાબની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ અને ખોટા જવાબની સંભાવના $q = \frac{1}{2}$ છે.
ધારો કે $X$ એ સાચા જવાબોની સંખ્યા છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(8, \frac{1}{2})$ ને અનુસરે છે.
વિદ્યાર્થી ત્યારે પાસ થાય છે જો $X \ge 6$ હોય.
$P(\text{Pass}) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)$
$P(\text{Pass}) = \binom{8}{6}(\frac{1}{2})^8 + \binom{8}{7}(\frac{1}{2})^8 + \binom{8}{8}(\frac{1}{2})^8$
$P(\text{Pass}) = \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256}$.
વિદ્યાર્થી નાપાસ થાય તેની સંભાવના $P(\text{Fail}) = 1 - P(\text{Pass})$ છે.
$P(\text{Fail}) = 1 - \frac{37}{256} = \frac{219}{256}$.

(A) જ્યારે બે સિક્કા ઉછાળવામાં આવે ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$ મળે છે.
કુલ $4$ શક્ય પરિણામો છે.
બંને સિક્કા પર છાપ (tail) મળે તે ઘટના $(T, T)$ છે,જેની સંભાવના $\frac{1}{4}$ છે.
એક વખત સિક્કા ઉછાળતા બંને પર છાપ ન મળે તેની સંભાવના $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
આમ,$50$ વખત સિક્કા ઉછાળતા બંને પર છાપ ન મળે તેની સંભાવના $\left(\frac{3}{4}\right)^{50}$ થાય.

(A) ધારો કે હેડ મેળવવાની સંભાવના $x$ છે અને ટેલ મેળવવાની સંભાવના $(1-x)$ છે.
ટોમ રમત શરૂ કરે છે,તેથી તે તેના વારા પર ($1$લી,$3$જી,$5$મી,... ઉછાળ) હેડ મેળવે તો તે જીતે છે.
ટોમની જીતવાની સંભાવના $x + (1-x)^2 x + (1-x)^4 x + \dots = \frac{5}{8}$ છે.
આ એક અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = x$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = (1-x)^2$ છે.
સરવાળો $\frac{x}{1-(1-x)^2} = \frac{5}{8}$ છે.
$\frac{x}{1-(1-2x+x^2)} = \frac{5}{8} \Rightarrow \frac{x}{2x-x^2} = \frac{5}{8}$.
$x \neq 0$ હોવાથી,$\frac{1}{2-x} = \frac{5}{8} \Rightarrow 8 = 10 - 5x \Rightarrow 5x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{5}$.
હવે,$n=5$ ઉછાળ માટે,બરાબર $r=3$ હેડ મેળવવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણ $P(X=r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $p = \frac{2}{5}$,$q = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$,$n=5$,$r=3$.
$P(X=3) = { }^5 C_3 \left(\frac{2}{5}\right)^3 \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 10 \times \frac{8}{125} \times \frac{9}{25} = \frac{720}{3125} = \frac{144}{625}$.

(B) ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળવાની સંભાવના $1 - P(\text{એક પણ છાપ ન મળે})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સિક્કો નિષ્પક્ષ હોવાથી,$n$ વખત ઉછાળતા એક પણ છાપ ન મળે તેની સંભાવના $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળવાની સંભાવના $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n > 0.8$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1 - 0.8 > \left(\frac{1}{2}\right)^n$,એટલે કે $0.2 > \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
$0.2$ ને $\frac{1}{5}$ તરીકે લખતા,આપણને $\frac{1}{5} > \frac{1}{2^n}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2^n > 5$.
$n=1$ માટે,$2^1 = 2 < 5$.
$n=2$ માટે,$2^2 = 4 < 5$.
$n=3$ માટે,$2^3 = 8 > 5$.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $3$ છે.

(A) જ્યારે પાસાની એક જોડી ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
બંને પાસા પર $6$ આવે તેવું પરિણામ $(6, 6)$ છે,જે માત્ર $1$ પરિણામ છે.
એક ફેંકમાં બંને પાસા પર $6$ મેળવવાની સંભાવના $P(E) = \frac{1}{36}$ છે.
એક ફેંકમાં બંને પાસા પર $6$ ન મેળવવાની સંભાવના $P(E') = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$ છે.
કારણ કે પાસાને $24$ વખત સ્વતંત્ર રીતે ફેંકવામાં આવે છે,તેથી $24$ ફેંકમાંથી કોઈપણમાં બંને પાસા પર $6$ ન મેળવવાની સંભાવના એ દરેક ફેંક માટેની સંભાવનાઓનો ગુણાકાર છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\left(\frac{35}{36}\right)^{24}$ છે.