Properties of ITF Questions in Hindi

(A) दिया गया है कि $x, y, z$ $A.P.$ में हैं।
$\therefore 2y = x + z$ ... $(i)$
साथ ही,$\tan ^{-1} x, \tan ^{-1} y, \tan ^{-1} z$ $A.P.$ में हैं।
$\therefore 2 \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} x + \tan ^{-1} z$
सूत्र $\tan ^{-1} a + \tan ^{-1} b = \tan ^{-1} \left( \frac{a+b}{1-ab} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{2y}{1-y^2} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{x+z}{1-xz} \right)$
$\frac{2y}{1-y^2} = \frac{x+z}{1-xz}$
$(i)$ से $x+z = 2y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2y}{1-y^2} = \frac{2y}{1-xz}$
इसका अर्थ है कि $2y = 0$ या $1-y^2 = 1-xz$,जिससे $y^2 = xz$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x, y, z$ $A.P.$ और $G.P.$ दोनों में हैं,इसलिए $x=y=z$ होगा।

(A) दिया गया है $\cos ^{-1} x - \cos ^{-1} \frac{y}{3} = \alpha$.
सर्वसमिका $\cos ^{-1} a - \cos ^{-1} b = \cos ^{-1} (ab + \sqrt{1-a^2} \sqrt{1-b^2})$ का उपयोग करने पर:
$\cos ^{-1} \left( \frac{xy}{3} + \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-\frac{y^2}{9}} \right) = \alpha$
$\frac{xy}{3} + \frac{\sqrt{1-x^2} \sqrt{9-y^2}}{3} = \cos \alpha$
$xy + \sqrt{1-x^2} \sqrt{9-y^2} = 3 \cos \alpha$
$xy - 3 \cos \alpha = -\sqrt{1-x^2} \sqrt{9-y^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(xy - 3 \cos \alpha)^2 = (1-x^2)(9-y^2)$
$x^2y^2 - 6xy \cos \alpha + 9 \cos ^2 \alpha = 9 - y^2 - 9x^2 + x^2y^2$
$9x^2 - 6xy \cos \alpha + y^2 = 9 - 9 \cos ^2 \alpha$
$9x^2 - 6xy \cos \alpha + y^2 = 9(1 - \cos ^2 \alpha) = 9 \sin ^2 \alpha$.

(A) माना $\theta = \frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{3}$.
तब $2\theta = \cos ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{3}$,जिसका अर्थ है $\cos 2\theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
हमें $\tan \theta$ का मान ज्ञात करना है।
सूत्र $\tan \theta = \sqrt{\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}}$ का उपयोग करने पर:
$\tan \theta = \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{5}}{3}}{1+\frac{\sqrt{5}}{3}}} = \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\tan \theta = \sqrt{\frac{(3-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}} = \sqrt{\frac{(3-\sqrt{5})^2}{9-5}} = \sqrt{\frac{(3-\sqrt{5})^2}{4}} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\sin \left(\cot ^{-1}(x+1)\right)=\cos \left(\tan ^{-1} x\right)$
मान लीजिए $\cot ^{-1}(x+1) = \theta$,तो $\cot \theta = x+1$. सर्वसमिका $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\cot^2 \theta}}$ का उपयोग करने पर,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1+(x+1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}}$.
मान लीजिए $\tan ^{-1} x = \phi$,तो $\tan \phi = x$. सर्वसमिका $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \phi}}$ का उपयोग करने पर,$\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2+1 = x^2+2x+2$.
$2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.

(D) दिया गया है $\tan \alpha = \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}$.
माना $x^2 = \cos \theta$. तब $\theta = \cos^{-1}(x^2)$.
$x^2 = \cos \theta$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan \alpha = \frac{\sqrt{1+\cos \theta}-\sqrt{1-\cos \theta}}{\sqrt{1+\cos \theta}+\sqrt{1-\cos \theta}}$
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $1+\cos \theta = 2\cos^2(\theta/2)$ और $1-\cos \theta = 2\sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$\tan \alpha = \frac{\sqrt{2}\cos(\theta/2) - \sqrt{2}\sin(\theta/2)}{\sqrt{2}\cos(\theta/2) + \sqrt{2}\sin(\theta/2)}$
अंश और हर को $\sqrt{2}\cos(\theta/2)$ से विभाजित करने पर:
$\tan \alpha = \frac{1 - \tan(\theta/2)}{1 + \tan(\theta/2)} = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2})$
अतः,$\alpha = \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}$,जिसका अर्थ है $2\alpha = \frac{\pi}{2} - \theta$.
इसलिए,$\sin 2\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$.
चूंकि $x^2 = \cos \theta$,इसलिए $\sin 2\alpha = x^2$.

(D) दी गई व्यंजक $\cos \left(2 \cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x\right)$ है।
हम तर्क को $\cos \left(\cos ^{-1} x + (\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} x)\right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\cos \left(\cos ^{-1} x + \frac{\pi}{2}\right)$ हो जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos \left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $-\sin \left(\cos ^{-1} x\right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin \left(\cos ^{-1} x\right) = \sqrt{1-x^2}$,व्यंजक $-\sqrt{1-x^2}$ में सरल हो जाता है।
$x = \frac{1}{5}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-\sqrt{1-\left(\frac{1}{5}\right)^2} = -\sqrt{1-\frac{1}{25}} = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{2 \sqrt{6}}{5}$।

(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \tan^{-1}\left(\frac{2^{n-1}}{1+2^{2n-1}}\right)$ है।
हम तर्क को $\frac{2^n - 2^{n-1}}{1 + 2^n \cdot 2^{n-1}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
सूत्र $\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करने पर,$T_n = \tan^{-1}(2^n) - \tan^{-1}(2^{n-1})$ प्राप्त होता है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} (\tan^{-1}(2^k) - \tan^{-1}(2^{k-1}))$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = (\tan^{-1}(2^1) - \tan^{-1}(2^0)) + (\tan^{-1}(2^2) - \tan^{-1}(2^1)) + \dots + (\tan^{-1}(2^n) - \tan^{-1}(2^{n-1}))$।
$S_n = \tan^{-1}(2^n) - \tan^{-1}(1) = \tan^{-1}(2^n) - \frac{\pi}{4}$।
जैसे $n \to \infty$,$S_n = \tan^{-1}(\infty) - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$।

(C) माना कि $E = \sin \left[3 \sin ^{-1}(0.4)\right]$.
$\sin ^{-1}(0.4) = \theta$ रखने पर,$\sin \theta = 0.4$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ का उपयोग करने पर:
$E = 3(0.4) - 4(0.4)^3$
$E = 1.2 - 4(0.064)$
$E = 1.2 - 0.256$
$E = 0.944$

(B) दिया गया समीकरण: $\cos \left(\cos ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}+\sin ^{-1} x\right)=1$
दोनों पक्षों में $\cos ^{-1}$ लेने पर:
$\cos ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}+\sin ^{-1} x = \cos ^{-1}(1)$
हम जानते हैं कि $\cos ^{-1}(1) = 0$ और $\cos ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\pi}{6} + \sin ^{-1} x = 0$
$\sin ^{-1} x = -\frac{\pi}{6}$
$x = \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)$
चूंकि $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$,इसलिए:
$x = -\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$
अतः,$x$ का मान $-\frac{1}{2}$ है।

(D) हमें योग $S = \sum_{i=1}^3 \cot ^{-1} i = \cot ^{-1} 1 + \cot ^{-1} 2 + \cot ^{-1} 3$ का मूल्यांकन करना है।
$x > 0$ के लिए सर्वसमिका $\cot ^{-1} x = \tan ^{-1} \frac{1}{x}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $S = \tan ^{-1} 1 + \tan ^{-1} \frac{1}{2} + \tan ^{-1} \frac{1}{3}$ है।
चूंकि $\tan ^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}$,हम $\tan ^{-1} \frac{1}{2} + \tan ^{-1} \frac{1}{3} = \tan ^{-1} \left( \frac{1/2 + 1/3}{1 - (1/2)(1/3)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{5/6}{5/6} \right) = \tan ^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}$ की गणना करते हैं।
अतः,$S = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
अब,हम इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं: $\cos ^{-1} \{ \cot (S) \} = \cos ^{-1} \{ \cot (\frac{\pi}{2}) \}$.
चूंकि $\cot (\frac{\pi}{2}) = 0$,व्यंजक $\cos ^{-1} (0)$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि $\cos ^{-1} (0) = \frac{\pi}{2}$.
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\cos \left(\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x\right)=0$.
हम जानते हैं कि $\cos \theta = 0$ का अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{2}$ (मुख्य मान शाखा को ध्यान में रखते हुए)।
इसलिए,$\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin ^{-1} y + \cos ^{-1} y = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\cos ^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} y$ है।
अतः,$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \frac{1}{5}$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $x = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि $2 \sin^{-1} x = \sin^{-1}(2x \sqrt{1-x^2})$ तब सत्य होता है जब $-\frac{1}{\sqrt{2}} \le x \le \frac{1}{\sqrt{2}}$ हो।
माना $x = \sin \theta$,जहाँ $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
तब $2 \sin^{-1}(\sin \theta) = \sin^{-1}(2 \sin \theta \sqrt{1-\sin^2 \theta}) = \sin^{-1}(2 \sin \theta \cos \theta) = \sin^{-1}(\sin 2\theta)$.
$2\theta = 2 \sin^{-1} x$ मान्य होने के लिए,$2\theta$ को $\sin^{-1}$ की मुख्य मान शाखा $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में होना चाहिए।
अतः,$-\frac{\pi}{2} \le 2\theta \le \frac{\pi}{2} \implies -\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4}$.
दोनों पक्षों में साइन लेने पर,$\sin(-\frac{\pi}{4}) \le \sin \theta \le \sin(\frac{\pi}{4})$,जिससे $-\frac{1}{\sqrt{2}} \le x \le \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x \in [-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}]$।

(C) दिया गया है कि $\sin ^{-1} a = \alpha + \beta$ और $\sin ^{-1} b = \alpha - \beta$ है।
इसका अर्थ है कि $a = \sin(\alpha + \beta)$ और $b = \sin(\alpha - \beta)$ है।
साइन के लिए गुणन-से-योग सूत्र का उपयोग करने पर:
$a b = \sin(\alpha + \beta) \sin(\alpha - \beta) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta$।
हमें $\sin^2 \alpha + \cos^2 \beta$ का मान ज्ञात करना है।
चूँकि $\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$ होता है,हम इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \beta = \sin^2 \alpha + (1 - \sin^2 \beta) = 1 + (\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta)$।
गुणन सूत्र से $ab$ का मान रखने पर:
$1 + (\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta) = 1 + a b$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना कि $\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ और $\beta = \sin^{-1}\left(\frac{8}{17}\right)$ है।
तब $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ और $\sin \beta = \frac{8}{17}$ होगा।
सर्वसमिका $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ और $\cos \beta = \sqrt{1 - (\frac{8}{17})^2} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$ प्राप्त होता है।
हम सूत्र $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करेंगे।
$\cos(\alpha - \beta) = \left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{15}{17}\right) + \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{8}{17}\right) = \frac{60}{85} + \frac{24}{85} = \frac{84}{85}$।
अतः,$\alpha - \beta = \cos^{-1}\left(\frac{84}{85}\right)$।

(D) माना व्यंजक $E = \tan ^2(\sec ^{-1} 3) + \operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 2) + \cos ^2(\cos ^{-1} \frac{2}{3} + \sin ^{-1} \frac{2}{3})$ है।
चरण $1$: $\tan ^2(\sec ^{-1} 3)$ को सरल करें।
माना $\sec ^{-1} 3 = \theta_1$,इसलिए $\sec \theta_1 = 3$। तब $\tan ^2 \theta_1 = \sec ^2 \theta_1 - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$।
चरण $2$: $\operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 2)$ को सरल करें।
माना $\cot ^{-1} 2 = \theta_2$,इसलिए $\cot \theta_2 = 2$। तब $\operatorname{cosec}^2 \theta_2 = 1 + \cot ^2 \theta_2 = 1 + 2^2 = 1 + 4 = 5$।
चरण $3$: $\cos ^2(\cos ^{-1} \frac{2}{3} + \sin ^{-1} \frac{2}{3})$ को सरल करें।
हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए $\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
अतः,$\cos ^2(\frac{\pi}{2}) = 0^2 = 0$।
चरण $4$: कुल योग की गणना करें।
$E = 8 + 5 + 0 = 13$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
माना $\sin^{-1} x = \theta$,तो $x = \sin \theta$। अतः,$\cos(\sin^{-1} x) = \cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - x^2}$।
इसलिए,$\sin^{-1}(\cos(\sin^{-1} x)) = \sin^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$।
इसी प्रकार,माना $\cos^{-1} x = \phi$,तो $x = \cos \phi$। अतः,$\sin(\cos^{-1} x) = \sin \phi = \sqrt{1 - \cos^2 \phi} = \sqrt{1 - x^2}$।
इसलिए,$\cos^{-1}(\sin(\cos^{-1} x)) = \cos^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$।
अब,व्यंजक $\sin^{-1}(\sqrt{1 - x^2}) + \cos^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$ हो जाता है।
सर्वसमिका $\sin^{-1} A + \cos^{-1} A = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $A = \sqrt{1 - x^2}$,हमें परिणाम $\frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $x = \tan \theta$,जहाँ $\theta = \tan^{-1} x$ है।
तब,$\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+\tan^2 \theta} = \sqrt{\sec^2 \theta} = \sec \theta$।
व्यंजक $\cot^{-1}\left(\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta}\right)$ बन जाता है।
$= \cot^{-1}\left(\frac{\frac{1}{\cos \theta} - 1}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}\right) = \cot^{-1}\left(\frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}\right)$।
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए,$1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$।
$= \cot^{-1}\left(\frac{2 \sin^2 \frac{\theta}{2}}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}\right) = \cot^{-1}\left(\tan \frac{\theta}{2}\right)$।
चूँकि $\cot^{-1}(\tan \alpha) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(\tan \alpha) = \frac{\pi}{2} - \alpha$,इसलिए:
$= \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \tan^{-1} x$।

(D) हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ होता है।
दी गई अभिव्यक्ति $\cos \left(2 \left(\tan ^{-1} \frac{1}{5}+\tan ^{-1} 5\right)\right)$ है।
चूंकि $5 > 0$,इसलिए $\tan ^{-1} \frac{1}{5} + \tan ^{-1} 5 = \frac{\pi}{2}$ होगा।
इस मान को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \left(2 \times \frac{\pi}{2}\right) = \cos(\pi)$।
हम जानते हैं कि $\cos(\pi) = -1$ होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) हम जानते हैं कि $\cot x = \tan(\frac{\pi}{2} - x)$ और $\tan x = \cot(\frac{\pi}{2} - x)$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{2} - x)) + \cot^{-1}(\cot(\frac{\pi}{2} - x))$
$= (\frac{\pi}{2} - x) + (\frac{\pi}{2} - x)$
$= \pi - 2x$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1} \frac{x}{5}+\sin ^{-1} \frac{4}{5}=\frac{\pi}{2}$
हम जानते हैं कि $y \in [-1, 1]$ के लिए $\sin ^{-1} y + \cos ^{-1} y = \frac{\pi}{2}$ होता है।
अतः,$\sin ^{-1} \frac{x}{5} = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \frac{4}{5}$.
सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें $\sin ^{-1} \frac{x}{5} = \cos ^{-1} \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
माना $\cos ^{-1} \frac{4}{5} = \theta$,तो $\cos \theta = \frac{4}{5}$ होगा।
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin ^{-1} \frac{x}{5} = \sin ^{-1} \frac{3}{5}$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $\frac{x}{5} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x = 3$।

(C) हम जानते हैं कि $\tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
साथ ही,हम गुणधर्म $\cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1}(x)$ का उपयोग करते हैं।
इसलिए,$\cot^{-1}(-\sqrt{3}) = \pi - \cot^{-1}(\sqrt{3})$.
चूंकि $\cot^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$,इसलिए $\cot^{-1}(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan^{-1}(\sqrt{3}) - \cot^{-1}(-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6}$.
हर समान करने पर:
$\frac{2\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) मान लीजिए $x = \sec \theta$. चूँकि $x > 1$,हमारे पास $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ है।
तब,$\sqrt{x^2-1} = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \sqrt{\tan^2 \theta} = \tan \theta$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{\tan \theta}\right) = \cot ^{-1}(\cot \theta)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cot ^{-1}(\cot \theta) = \theta$.
$\theta = \sec ^{-1} x$ वापस रखने पर,हमें परिणाम $\sec ^{-1} x$ प्राप्त होता है।

(A) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के लिए सर्वसमिका जानते हैं: $\sec^{-1} x + \operatorname{cosec}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,जहाँ $|x| \geq 1$ है।
इस मान को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \left[\sec^{-1} x + \operatorname{cosec}^{-1} x\right] = \cos \left(\frac{\pi}{2}\right)$.
चूँकि $\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ होता है,इसलिए व्यंजक का मान $0$ है।

(C) हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए $\cot ^{-1}(-x) = \pi - \cot ^{-1}(x)$ होता है।
दिया गया व्यंजक $\cot ^{-1}(-\sqrt{3}) - \tan ^{-1}(\sqrt{3})$ है।
गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\cot ^{-1}(-\sqrt{3}) = \pi - \cot ^{-1}(\sqrt{3})$।
चूंकि $\cot ^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ और $\tan ^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ है,
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cot ^{-1}(-\sqrt{3}) - \tan ^{-1}(\sqrt{3}) = (\pi - \frac{\pi}{6}) - \frac{\pi}{3}$।
$= \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi - 2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के लिए मानक सर्वसमिका जानते हैं: $|x| \geq 1$ के लिए $\sec^{-1} x + \operatorname{cosec}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$।
इसी प्रकार,$|x| \geq 1$ के लिए,$\cos^{-1}(x^{-1}) + \sin^{-1}(x^{-1}) = \frac{\pi}{2}$ होता है।
इन सर्वसमिकाओं को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sec^{-1} x + \operatorname{cosec}^{-1} x + \cos^{-1}(x^{-1}) + \sin^{-1}(x^{-1}) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) हमें योग $S = \sum_{i=0}^2 \cot^{-1}(-(i+1))$ का मान ज्ञात करना है।
योग का विस्तार करने पर:
$S = \cot^{-1}(-1) + \cot^{-1}(-2) + \cot^{-1}(-3)$.
गुणधर्म $\cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1}(x)$ (जहाँ $x > 0$) का उपयोग करने पर:
$S = (\pi - \cot^{-1}(1)) + (\pi - \cot^{-1}(2)) + (\pi - \cot^{-1}(3))$
$S = 3\pi - (\cot^{-1}(1) + \cot^{-1}(2) + \cot^{-1}(3))$.
हम जानते हैं कि $\cot^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
$\cot^{-1}(2) + \cot^{-1}(3)$ के लिए,हम $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}(\frac{x+y}{1-xy})$ सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\cot^{-1}(2) + \cot^{-1}(3) = \tan^{-1}(\frac{1}{2}) + \tan^{-1}(\frac{1}{3}) = \tan^{-1}(\frac{1/2 + 1/3}{1 - 1/6}) = \tan^{-1}(\frac{5/6}{5/6}) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$S = 3\pi - (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) = 3\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$.

(A) हम जानते हैं कि किसी भी $x \in [-1, 1]$ के लिए,सर्वसमिका $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ सत्य है।
दी गई व्यंजक $\cos \left(\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{4}\right)+\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$ है।
मान लीजिए $x = -\frac{1}{4}$ है। चूँकि $x \in [-1, 1]$,हम इस सर्वसमिका का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,$\cos^{-1}\left(-\frac{1}{4}\right) + \sin^{-1}\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{\pi}{2}$।
इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$,इसलिए अंतिम उत्तर $0$ है।

(D) हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए $\cot ^{-1}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$ होता है।
दिया गया व्यंजक $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ है।
इसे $\tan ^{-1}(2) + \tan ^{-1}(3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $xy = 2 \times 3 = 6 > 1$ है,इसलिए हम सूत्र $\tan ^{-1}(x) + \tan ^{-1}(y) = \pi + \tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करते हैं।
मान रखने पर,हमें $\pi + \tan ^{-1}\left(\frac{2+3}{1-6}\right) = \pi + \tan ^{-1}\left(\frac{5}{-5}\right)$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\pi + \tan ^{-1}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$ हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) हमें समीकरण $3 \cos ^{-1} x + \sin ^{-1} x = \pi$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x$।
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$3 \cos ^{-1} x + (\frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x) = \pi$
$2 \cos ^{-1} x + \frac{\pi}{2} = \pi$
$2 \cos ^{-1} x = \pi - \frac{\pi}{2}$
$2 \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
$\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{4}$
$x = \cos(\frac{\pi}{4})$
$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ होता है।
यहाँ,मान लीजिए $x = -\frac{1}{7}$ है।
चूंकि $-\frac{1}{7} \in [-1, 1]$ है,इसलिए हम इस सर्वसमिका का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,$\cos^{-1}\left(-\frac{1}{7}\right) + \sin^{-1}\left(-\frac{1}{7}\right) = \frac{\pi}{2}$ होगा।
इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ होता है,इसलिए अंतिम उत्तर $1$ है।

(C) दिया गया है कि $\tan ^{-1}(1-x), \tan ^{-1} x$ और $\tan ^{-1}(1+x)$ समांतर श्रेणी में हैं।
इसलिए,$2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1}(1-x) + \tan ^{-1}(1+x)$.
सूत्र $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{(1-x) + (1+x)}{1 - (1-x)(1+x)} \right)$.
$2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2}{1 - (1-x^2)} \right)$.
$2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2}{x^2} \right)$.
सूत्र $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2x}{1-x^2} = \frac{2}{x^2}$.
$x^3 = 1 - x^2$.
अतः,$x^3 = 1 - x^2$.

(D) दिया गया समीकरण: $\sec ^{-1}\left(\frac{5}{x}\right)+\sin ^{-1} \left(\frac{4}{5}\right)=\frac{\pi}{2}$.
हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\sin ^{-1}(y) + \cos ^{-1}(y) = \frac{\pi}{2}$ जहाँ $y \in [-1, 1]$.
अतः,$\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \left(\frac{4}{5}\right) = \cos ^{-1} \left(\frac{4}{5}\right)$.
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\sec ^{-1}\left(\frac{5}{x}\right) = \cos ^{-1} \left(\frac{4}{5}\right)$.
चूँकि $\sec ^{-1}(z) = \cos ^{-1} \left(\frac{1}{z}\right)$,इसलिए $\cos ^{-1} \left(\frac{x}{5}\right) = \cos ^{-1} \left(\frac{4}{5}\right)$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,$\frac{x}{5} = \frac{4}{5}$,जिसका अर्थ है कि $x = 4$.

(D) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं: $\sec ^2 \theta = 1 + \tan ^2 \theta$ और $\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot ^2 \theta$।
माना $\alpha = \tan ^{-1} 2$,तो $\tan \alpha = 2$।
माना $\beta = \cot ^{-1} 3$,तो $\cot \beta = 3$।
व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\sec ^2(\tan ^{-1} 2) + \operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3) = (1 + \tan ^2(\tan ^{-1} 2)) + (1 + \cot ^2(\cot ^{-1} 3))$
$= (1 + 2^2) + (1 + 3^2)$
$= (1 + 4) + (1 + 9)$
$= 5 + 10 = 15$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) हमें समीकरण दिया गया है: $4 \cos^{-1} x + \sin^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
हम जानते हैं कि: $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\sin^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x$.
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$4 \cos^{-1} x + (\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x) = \frac{\pi}{2}$.
समीकरण को सरल करने पर:
$3 \cos^{-1} x + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
दोनों पक्षों से $\frac{\pi}{2}$ घटाने पर:
$3 \cos^{-1} x = 0$.
$3$ से भाग देने पर:
$\cos^{-1} x = 0$.
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर:
$x = \cos(0) = 1$.

(A) माना कि $x = \cos^{-1} \frac{1}{3} + \cos^{-1} \frac{1}{5}$ और $y = \sin^{-1} \frac{1}{3} + \sin^{-1} \frac{1}{5}$ है।
हम जानते हैं कि $\cos^{-1} z = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} z$ होता है।
अतः,$x = (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \frac{1}{3}) + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \frac{1}{5}) = \pi - (\sin^{-1} \frac{1}{3} + \sin^{-1} \frac{1}{5}) = \pi - y$ है।
इसलिए,$\cos(x) = \cos(\pi - y) = -\cos(y)$ होगा।
अतः,$\cos(x) + \cos(y) = -\cos(y) + \cos(y) = 0$।

(C) हम जानते हैं कि $\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ और $\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{13}\right)\right) + \cos ^{-1}\left(\cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{13}\right)\right)$
चूंकि $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{13} = \frac{11\pi}{26}$,जो $\sin^{-1}$ के लिए मुख्य मान शाखा $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ और $\cos^{-1}$ के लिए $[0, \pi]$ में स्थित है,इसलिए:
$= \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{13}\right) + \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{13}\right)$
$= \pi - \frac{2\pi}{13}$
$= \frac{13\pi - 2\pi}{13} = \frac{11\pi}{13}$.

(A) माना $y = \cos^{-1}(\sin x)$ है।
हम जानते हैं कि $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = \cos^{-1}(\cos(\frac{\pi}{2} - x))$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos^{-1}(\cos \theta) = \theta$ जहाँ $\theta \in [0, \pi]$ है,इसलिए $y = \frac{\pi}{2} - x$ होगा।
अब,$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2} - x) = 0 - 1 = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,अवकलज $-1$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
हम जानते हैं कि $\tan^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(x)$.
चूंकि $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,समीकरण इस प्रकार होगा: $\frac{\pi}{4} - \tan^{-1} x = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
दोनों पक्षों में $\tan^{-1} x$ जोड़ने पर: $\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \tan^{-1} x + \tan^{-1} x$.
$\frac{\pi}{4} = \frac{3}{2} \tan^{-1} x$.
$\tan^{-1} x = \frac{\pi}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$x = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) माना $\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$ है। तब $\sin \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ होगा।
चूंकि $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$ है,इसलिए $\cos \alpha = \frac{1}{3}$ होगा।
अतः,$\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,मान $\frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना व्यंजक $E = \tan ^{-1}\left[\frac{1}{\sqrt{3}} \sin \frac{5 \pi}{2}\right] + \sin ^{-1}\left[\cos \left(\sin ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right]$ है।
सबसे पहले,$\sin \frac{5 \pi}{2} = \sin \left(2 \pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ का मान ज्ञात करें।
इसके बाद,$\sin ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$ का मान ज्ञात करें।
अब इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \tan ^{-1}\left[\frac{1}{\sqrt{3}} \times 1\right] + \sin ^{-1}\left[\cos \frac{\pi}{3}\right]$.
हम जानते हैं कि $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$E = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.
हम जानते हैं कि $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$ और $\sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$E = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{2 \pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

(C) माना $\cos ^{-1} x = y$,तो $x = \cos y$। चूँकि $\cos ^{-1} x$ का परिसर $[0, \pi]$ है,इसलिए $0 \leq y \leq \pi$।
दिया गया समीकरण $2y = \sin ^{-1} (2 \cos y \sin y) = \sin ^{-1} (\sin 2y)$ है।
$\sin ^{-1} (\sin 2y) = 2y$ होने के लिए,$-\frac{\pi}{2} \leq 2y \leq \frac{\pi}{2}$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $-\frac{\pi}{4} \leq y \leq \frac{\pi}{4}$।
$0 \leq y \leq \pi$ और $-\frac{\pi}{4} \leq y \leq \frac{\pi}{4}$ को मिलाने पर,हमें $0 \leq y \leq \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y = \cos ^{-1} x$,इसलिए $0 \leq \cos ^{-1} x \leq \frac{\pi}{4}$।
दोनों पक्षों में कोसाइन लेने पर (यह ध्यान में रखते हुए कि कोसाइन $[0, \pi]$ में एक ह्रासमान फलन है),हमें $\cos(0) \geq x \geq \cos(\frac{\pi}{4})$ प्राप्त होता है।
अतः,$1 \geq x \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$,यानी $\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$।

(D) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1} x+2 \cot ^{-1} x=\frac{2 \pi}{3}$
हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए $\cot ^{-1} x = \tan ^{-1} (\frac{1}{x})$ होता है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर: $\tan ^{-1} x + 2 \tan ^{-1} (\frac{1}{x}) = \frac{2 \pi}{3}$
सर्वसमिका $2 \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} (\frac{2y}{1-y^2})$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} (\frac{2/x}{1-1/x^2}) = \frac{2 \pi}{3}$
$\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} (\frac{2x}{x^2-1}) = \frac{2 \pi}{3}$
$\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} (\frac{A+B}{1-AB})$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} (\frac{x + \frac{2x}{x^2-1}}{1 - x(\frac{2x}{x^2-1})}) = \frac{2 \pi}{3}$
$\frac{\frac{x^3-x+2x}{x^2-1}}{\frac{x^2-1-2x^2}{x^2-1}} = \tan (\frac{2 \pi}{3})$
$\frac{x^3+x}{-x^2-1} = -\sqrt{3}$
$\frac{x(x^2+1)}{-(x^2+1)} = -\sqrt{3}$
$-x = -\sqrt{3} \implies x = \sqrt{3}$

(D) माना $x = \cos \theta$,जहाँ $\theta = \cos^{-1} x$ है। चूँकि $x \in [-1, 1]$,इसलिए $\theta \in [0, \pi]$ है।
दाएँ पक्ष में $x = \cos \theta$ रखने पर:
$\sin^{-1} (2 \cos \theta \sqrt{1 - \cos^2 \theta}) = \sin^{-1} (2 \cos \theta \sin \theta) = \sin^{-1} (\sin 2 \theta)$.
इसे $2 \cos^{-1} x = 2 \theta$ के बराबर होने के लिए,$\sin^{-1} (\sin 2 \theta) = 2 \theta$ होना चाहिए।
यह तब मान्य है जब $2 \theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,जिसका अर्थ है $\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$।
चूँकि $\theta \in [0, \pi]$ है,इसलिए उभयनिष्ठ अंतराल $\theta \in [0, \frac{\pi}{4}]$ है।
चूँकि $\theta = \cos^{-1} x$,इसलिए $0 \leq \cos^{-1} x \leq \frac{\pi}{4}$।
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर (ध्यान दें कि कोसाइन इस अंतराल में एक घटता हुआ फलन है):
$\cos(0) \geq x \geq \cos(\frac{\pi}{4})$,
जिससे $1 \geq x \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ या $\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$ प्राप्त होता है।

(C) माना $y = \cot ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x}}{\sqrt{1-\sin x}-\sqrt{1+\sin x}}\right]$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{(\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x})^2}{(1-\sin x)-(1+\sin x)} = \frac{1-\sin x + 1+\sin x + 2\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}}{-2\sin x} = \frac{2 + 2\sqrt{1-\sin^2 x}}{-2\sin x} = \frac{2 + 2\cos x}{-2\sin x} = -\frac{1+\cos x}{\sin x}$.
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $1+\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$ और $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$-\frac{2\cos^2\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} = -\cot\frac{x}{2}$.
अतः,$y = \cot^{-1}(-\cot\frac{x}{2})$.
हम जानते हैं कि $\cot^{-1}(-z) = \pi - \cot^{-1}(z)$,इसलिए $y = \pi - \cot^{-1}(\cot\frac{x}{2})$.
दिया गया है कि $x \in (0, \frac{\pi}{4})$,इसलिए $\frac{x}{2} \in (0, \frac{\pi}{8})$,अतः $y = \pi - \frac{x}{2}$.

(C) माना कि $ x = \sin ^{-1} \frac{3}{4} $ है। तब $\sin x = \frac{3}{4}$ होगा।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} \frac{3}{4} + \cos ^{-1} \frac{3}{4} = \frac{\pi}{2}$ होता है।
इसलिए,व्यंजक $ \cos \left[\sin ^{-1} \frac{3}{4} + (\sin ^{-1} \frac{3}{4} + \cos ^{-1} \frac{3}{4})\right] $ बन जाता है।
$= \cos \left[\sin ^{-1} \frac{3}{4} + \frac{\pi}{2}\right]$.
सर्वसमिका $ \cos \left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin \theta $ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= -\sin \left(\sin ^{-1} \frac{3}{4}\right)$.
$= -\frac{3}{4}$.

(B) माना $ \theta = \cos ^{-1} \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) $. तब $ \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}} $.
हमें $ \tan \left(\frac{\theta}{2}\right) $ का मान ज्ञात करना है।
अर्ध-कोण सूत्र का उपयोग करते हुए,$ \tan \left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} $.
$ \cos \theta $ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$ \tan \left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}} $.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$ \sqrt{\frac{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{5}-2)^2}{5-4}} = \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = \sqrt{5}-2 $.
अतः,मान $ \sqrt{5}-2 $ है.

(B) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1} x = \frac{\pi}{4} - \tan ^{-1} \left( \frac{1}{3} \right)$
चूंकि $\frac{\pi}{4} = \tan ^{-1}(1)$,हम लिख सकते हैं:
$\tan ^{-1} x = \tan ^{-1}(1) - \tan ^{-1} \left( \frac{1}{3} \right)$
सूत्र $\tan ^{-1} A - \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A - B}{1 + AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + 1 \times \frac{1}{3}} \right)$
$\tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} \right)$
$\tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2}{4} \right)$
$\tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{1}{2} \right)$
अतः,$x = \frac{1}{2}$।

(C) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sec ^2 \theta = 1 + \tan ^2 \theta$ और $\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot ^2 \theta$ का उपयोग करते हैं।
क्रमशः $\theta = \tan ^{-1} 2$ और $\theta = \cot ^{-1} 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= (1 + \tan ^2(\tan ^{-1} 2)) + (1 + \cot ^2(\cot ^{-1} 3))$
$= (1 + (\tan(\tan ^{-1} 2))^2) + (1 + (\cot(\cot ^{-1} 3))^2)$
$= (1 + 2^2) + (1 + 3^2)$
$= (1 + 4) + (1 + 9)$
$= 5 + 10 = 15$.

(C) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}\left(\frac{2 a}{1+a^2}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{1-a^2}{1+a^2}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)$ है।
हम जानते हैं कि $a \in (0, 1)$ के लिए:
$\sin ^{-1}\left(\frac{2 a}{1+a^2}\right) = 2 \tan ^{-1} a$
$\cos ^{-1}\left(\frac{1-a^2}{1+a^2}\right) = 2 \tan ^{-1} a$
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \tan ^{-1} a + 2 \tan ^{-1} a = \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)$
$4 \tan ^{-1} a = 2 \tan ^{-1} x$
$2 \tan ^{-1} a = \tan ^{-1} x$
सूत्र $2 \tan ^{-1} a = \tan ^{-1}\left(\frac{2 a}{1-a^2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1}\left(\frac{2 a}{1-a^2}\right) = \tan ^{-1} x$
अतः,$x = \frac{2 a}{1-a^2}$।

(B) माना कि दिया गया व्यंजक $E = \cos \left(2 \cos ^{-1} \frac{1}{5}+\sin ^{-1} \frac{1}{5}\right)$ है।
हम व्यंजक को $E = \cos \left(\cos ^{-1} \frac{1}{5} + \left(\cos ^{-1} \frac{1}{5} + \sin ^{-1} \frac{1}{5}\right)\right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\cos ^{-1} \frac{1}{5} + \sin ^{-1} \frac{1}{5} = \frac{\pi}{2}$ है।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E = \cos \left(\cos ^{-1} \frac{1}{5} + \frac{\pi}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos \left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin \theta$ का उपयोग करते हुए,हमें $E = -\sin \left(\cos ^{-1} \frac{1}{5}\right)$ प्राप्त होता है।
माना $\theta = \cos ^{-1} \frac{1}{5}$,तो $\cos \theta = \frac{1}{5}$ होगा।
चूंकि $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$E = -\frac{2 \sqrt{6}}{5}$।