Properties of ITF Questions in Hindi

(B) हमें दिया गया समीकरण है: $\sin ^{-1} x+\cos ^{-1} y=\frac{3 \pi}{10}$.
सर्वसमिका $\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x$ और $\cos ^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} y$ का उपयोग करते हुए,हम इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x) + (\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} y) = \frac{3 \pi}{10}$.
बाएँ पक्ष को सरल करने पर:
$\pi - (\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} y) = \frac{3 \pi}{10}$.
$\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} y$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} y = \pi - \frac{3 \pi}{10}$.
$\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} y = \frac{10\pi - 3\pi}{10} = \frac{7 \pi}{10}$.

(C) हम जानते हैं कि $\sin \left(\cot ^{-1} x\right) = \sin \left(\sin ^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)\right) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
साथ ही,$\cos \left(\tan ^{-1}(1+x)\right) = \cos \left(\cos ^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{1+(1+x)^2}}\right)\right) = \frac{1}{\sqrt{1+(1+x)^2}}$.
दिए गए समीकरण $\sin \left(\cot ^{-1}(x)\right) = \cos \left(\tan ^{-1}(1+x)\right)$ के लिए,दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+(1+x)^2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $1+x^2 = 1+(1+x)^2$.
$1+x^2 = 1 + 1 + 2x + x^2$.
$1+x^2 = 2 + 2x + x^2$.
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर,हमें मिलता है $1 = 2 + 2x$.
$-1 = 2x$.
$x = -\frac{1}{2}$.

(B) दिया गया है: $(\tan ^{-1} x)^2+(\cot ^{-1} x)^2=\frac{5 \pi^2}{8}$
हम जानते हैं कि $\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
माना $u = \tan ^{-1} x$ है। तब $\cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$ होगा।
समीकरण इस प्रकार होगा: $u^2 + (\frac{\pi}{2} - u)^2 = \frac{5 \pi^2}{8}$।
पदों का विस्तार करने पर: $u^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi u + u^2 = \frac{5 \pi^2}{8}$।
$2u^2 - \pi u + \frac{\pi^2}{4} - \frac{5 \pi^2}{8} = 0$।
$2u^2 - \pi u - \frac{3 \pi^2}{8} = 0$।
$8$ से गुणा करने पर: $16u^2 - 8\pi u - 3\pi^2 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(4u + \pi)(4u - 3\pi) = 0$।
अतः,$u = -\frac{\pi}{4}$ या $u = \frac{3\pi}{4}$।
चूंकि $\tan ^{-1} x$ का परिसर $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है,इसलिए $u = -\frac{\pi}{4}$ लेना होगा।
अतः,$\tan ^{-1} x = -\frac{\pi}{4} \Rightarrow x = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$।

(B) हम जानते हैं कि $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{1^2 - (3/5)^2}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3/5}{4/5}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$।
सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right]$
$= \tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{3}{4}+\frac{2}{3}}{1-\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}}\right)\right]$
$= \tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{9+8}{12}}{1-\frac{6}{12}}\right)\right]$
$= \tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{17/12}{6/12}\right)\right]$
$= \tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{17}{6}\right)\right]$
$= \frac{17}{6}$

(C) दिया गया समीकरण $\cos ^{-1} x - \cos ^{-1} \frac{y}{3} = \alpha$ है।
सर्वसमिका $\cos ^{-1} u - \cos ^{-1} v = \cos ^{-1} (uv + \sqrt{1-u^2}\sqrt{1-v^2})$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos ^{-1} (\frac{xy}{3} + \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-\frac{y^2}{9}}) = \alpha$।
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर: $\frac{xy}{3} + \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-\frac{y^2}{9}} = \cos \alpha$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-\frac{y^2}{9}} = \cos \alpha - \frac{xy}{3}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(1-x^2)(1-\frac{y^2}{9}) = \cos^2 \alpha - \frac{2xy}{3} \cos \alpha + \frac{x^2 y^2}{9}$।
$1 - \frac{y^2}{9} - x^2 + \frac{x^2 y^2}{9} = \cos^2 \alpha - \frac{2xy}{3} \cos \alpha + \frac{x^2 y^2}{9}$।
$1 - x^2 - \frac{y^2}{9} = \cos^2 \alpha - \frac{2xy}{3} \cos \alpha$।
$1 - \cos^2 \alpha = x^2 - \frac{2xy}{3} \cos \alpha + \frac{y^2}{9}$।
$\sin^2 \alpha = x^2 - \frac{2xy}{3} \cos \alpha + \frac{y^2}{9}$।
$9$ से गुणा करने पर: $9 \sin^2 \alpha = 9x^2 - 6xy \cos \alpha + y^2$।

(D) माना $\theta = \cot^{-1} x$,तो $\cot \theta = x$. चूँकि $\cot \theta = \frac{x}{1}$,हमें $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin(\cot^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$।
अब,माना $\phi = \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right)$,तो $\tan \phi = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$।
हमें $\cos \phi$ ज्ञात करना है। सर्वसमिका $\sec^2 \phi = 1 + \tan^2 \phi$ का उपयोग करने पर,हमें $\sec^2 \phi = 1 + \frac{1}{1+x^2} = \frac{1+x^2+1}{1+x^2} = \frac{x^2+2}{x^2+1}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\cos^2 \phi = \frac{x^2+1}{x^2+2}$,जिसका अर्थ है कि $\cos \phi = \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}}$।

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में,$C=90^{\circ}$,इसलिए पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ होता है।
हमें $\tan ^{-1}\left(\frac{a}{b+c}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{b}{c+a}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करने पर:
$= \tan ^{-1} \left[ \frac{\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a}}{1 - \left( \frac{a}{b+c} \right) \left( \frac{b}{c+a} \right)} \right]$
$= \tan ^{-1} \left[ \frac{a(c+a) + b(b+c)}{(b+c)(c+a) - ab} \right]$
$= \tan ^{-1} \left[ \frac{ac + a^{2} + b^{2} + bc}{bc + ab + c^{2} + ac - ab} \right]$
चूंकि $a^{2}+b^{2}=c^{2}$,अंश $ac + c^{2} + bc = c(a+b+c)$ हो जाता है।
हर $bc + ac + c^{2} = c(b+a+c)$ हो जाता है।
$= \tan ^{-1} \left( \frac{c(a+b+c)}{c(a+b+c)} \right)$
$= \tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(C) दिया गया व्यंजक: $\cos \left(2 \cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x\right)$
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $\cos \left(\cos ^{-1} x + (\cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x)\right)$
गुणधर्म $\cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,व्यंजक बन जाता है:
$\cos \left(\cos ^{-1} x+\frac{\pi}{2}\right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) = -\sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$= -\sin \left(\cos ^{-1} x\right)$
चूँकि $\cos ^{-1} x = \sin ^{-1} \sqrt{1-x^2}$,इसलिए:
$= -\sin \left(\sin ^{-1} \sqrt{1-x^2}\right) = -\sqrt{1-x^2}$
$x=\frac{1}{5}$ रखने पर:
$= -\sqrt{1-\left(\frac{1}{5}\right)^2} = -\sqrt{1-\frac{1}{25}} = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

(C) दिया गया है: $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y + \tan ^{-1} z = \frac{\pi}{2}$
$\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \tan ^{-1} z$
सर्वसमिका $\frac{\pi}{2} - \tan ^{-1} z = \cot ^{-1} z = \tan ^{-1} (\frac{1}{z})$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} (\frac{x+y}{1-xy}) = \tan ^{-1} (\frac{1}{z})$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
$\frac{x+y}{1-xy} = \frac{1}{z}$
$z(x+y) = 1 - xy$
$zx + zy = 1 - xy$
$xy + yz + zx = 1$

(A) दिया गया समीकरण: $\sin \left(\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x\right)=1$
दोनों पक्षों में $\sin ^{-1}$ लेने पर:
$\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x = \sin ^{-1}(1)$
चूंकि $\sin ^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए:
$\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
हम सर्वसमिका $\sin ^{-1} \theta + \cos ^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ जानते हैं,जहाँ $\theta \in [-1, 1]$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \frac{1}{5}$
अतः,$x = \frac{1}{5}$.

(D) दिया गया है कि $\tan ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{z}{2}\right)=\frac{\pi}{2}$.
मान लीजिए $A = \tan ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)$,$B = \tan ^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)$,और $C = \tan ^{-1}\left(\frac{z}{2}\right)$.
तब $A+B+C = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $A+B = \frac{\pi}{2}-C$.
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर,हमें मिलता है $\tan(A+B) = \tan\left(\frac{\pi}{2}-C\right) = \cot(C) = \frac{1}{\tan(C)}$.
सूत्र $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है $\frac{\frac{x}{2} + \frac{y}{2}}{1 - \frac{x}{2} \cdot \frac{y}{2}} = \frac{1}{z/2}$.
यह सरल होकर $\frac{(x+y)/2}{(4-xy)/4} = \frac{2}{z}$ बनता है,जो $\frac{2(x+y)}{4-xy} = \frac{2}{z}$ है।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $\frac{x+y}{4-xy} = \frac{1}{z}$.
वज्र-गुणन करने पर $z(x+y) = 4-xy$,जिसका अर्थ है $zx + zy = 4 - xy$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $xy + yz + zx = 4$.

(B) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1} \frac{1}{3}+\sin ^{-1} \frac{3}{5}+\sin ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$.
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x = \cos ^{-1} \sqrt{1-x^2}$.
अतः,$\sin ^{-1} \frac{1}{3} = \cos ^{-1} \frac{2\sqrt{2}}{3}$ और $\sin ^{-1} \frac{3}{5} = \cos ^{-1} \frac{4}{5}$.
समीकरण में मान रखने पर: $\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - (\sin ^{-1} \frac{1}{3} + \sin ^{-1} \frac{3}{5})$.
माना $A = \sin ^{-1} \frac{1}{3}$ और $B = \sin ^{-1} \frac{3}{5}$.
तो $\sin A = \frac{1}{3}, \cos A = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ और $\sin B = \frac{3}{5}, \cos B = \frac{4}{5}$.
$x = \sin(\frac{\pi}{2} - (A+B)) = \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$.
$x = (\frac{2\sqrt{2}}{3} \times \frac{4}{5}) - (\frac{1}{3} \times \frac{3}{5}) = \frac{8\sqrt{2}-3}{15}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है.

(B) माना कि $\theta = \frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$।
अतः $2\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$,जिसका अर्थ है $\cos 2\theta = \frac{a}{b}$।
दिया गया व्यंजक $\tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)+\tan \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)$ है।
सूत्र $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ और $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$:
$= \frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta} + \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$
$= \frac{(1+\tan \theta)^2 + (1-\tan \theta)^2}{(1-\tan \theta)(1+\tan \theta)}$
$= \frac{1 + 2\tan \theta + \tan^2 \theta + 1 - 2\tan \theta + \tan^2 \theta}{1 - \tan^2 \theta}$
$= \frac{2(1+\tan^2 \theta)}{1-\tan^2 \theta}$
$= \frac{2}{\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}}$
$= \frac{2}{\cos 2\theta}$
$\cos 2\theta = \frac{a}{b}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{2}{a/b} = \frac{2b}{a}$।

(D) हम जानते हैं कि $\cos ^{-1} \theta$ का परिसर $[0, \pi]$ होता है।
दिया गया है कि $\cos ^{-1} x + \cos ^{-1} y + \cos ^{-1} z = 3\pi$ है।
चूंकि प्रत्येक पद अधिकतम $\pi$ हो सकता है,इसलिए उनका योग $3\pi$ केवल तभी संभव है जब प्रत्येक पद $\pi$ के बराबर हो।
अतः,$\cos ^{-1} x = \pi$,$\cos ^{-1} y = \pi$,और $\cos ^{-1} z = \pi$ है।
इसका अर्थ है कि $x = \cos(\pi) = -1$,$y = \cos(\pi) = -1$,और $z = \cos(\pi) = -1$ है।
अब,इन मानों को व्यंजक $x^2 + y^2 + z^2 - 2xyz$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 - 2(-1)(-1)(-1)$
$= 1 + 1 + 1 - 2(-1)$
$= 3 + 2$
$= 5$.

(C) दिया गया है: $\cot ^{-1}(7)+\cot ^{-1}(8)+\cot ^{-1}(18)=\cot ^{-1} x$
गुणधर्म $\cot ^{-1}(y) = \tan ^{-1}(\frac{1}{y})$ ($y > 0$ के लिए) का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1}(\frac{1}{7})+\tan ^{-1}(\frac{1}{8})+\tan ^{-1}(\frac{1}{18})=\tan ^{-1}(\frac{1}{x})$
सबसे पहले,$\tan ^{-1}(\frac{1}{7}) + \tan ^{-1}(\frac{1}{8})$ के लिए $\tan ^{-1}(A) + \tan ^{-1}(B) = \tan ^{-1}(\frac{A+B}{1-AB})$ सूत्र का प्रयोग करने पर:
$\tan ^{-1}(\frac{\frac{1}{7}+\frac{1}{8}}{1-(\frac{1}{7})(\frac{1}{8})}) = \tan ^{-1}(\frac{\frac{15}{56}}{\frac{55}{56}}) = \tan ^{-1}(\frac{15}{55}) = \tan ^{-1}(\frac{3}{11})$
अब,तीसरा पद जोड़ने पर:
$\tan ^{-1}(\frac{3}{11}) + \tan ^{-1}(\frac{1}{18}) = \tan ^{-1}(\frac{\frac{3}{11}+\frac{1}{18}}{1-(\frac{3}{11})(\frac{1}{18})})$
$= \tan ^{-1}(\frac{\frac{54+11}{198}}{\frac{198-3}{198}}) = \tan ^{-1}(\frac{65}{195}) = \tan ^{-1}(\frac{1}{3})$
अतः,$\tan ^{-1}(\frac{1}{3}) = \tan ^{-1}(\frac{1}{x})$,जिसका अर्थ है कि $x = 3$।

(B) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के निम्नलिखित गुणों को जानते हैं: $\sec^{-1}(-x) = \pi - \sec^{-1}(x)$,$\operatorname{cosec}^{-1}(-x) = -\operatorname{cosec}^{-1}(x)$,और $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)$.
साथ ही,$\tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
$\sec^{-1}(-2) = \pi - \sec^{-1}(2) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
$\operatorname{cosec}^{-1}(-\sqrt{2}) = -\operatorname{cosec}^{-1}(\sqrt{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
$\cos^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right) = \pi - \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}}{-\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3}} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{\frac{-3\pi + 8\pi}{12}} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{\frac{5\pi}{12}} = -\frac{\pi}{3} \times \frac{12}{5\pi} = -\frac{4}{5}$.

(C) हमारे पास $\cos ^{-1}\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos \frac{9 \pi}{10}-\sin \frac{9 \pi}{10}\right)\right\}$ है।
$\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ और $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \cos ^{-1}\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\cos \frac{\pi}{10} - \sin \frac{\pi}{10}\right)\right\}$
$= \cos ^{-1}\left\{-\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \frac{\pi}{10} + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \frac{\pi}{10}\right)\right\}$
$= \cos ^{-1}\left\{-\left(\cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{10} + \sin \frac{\pi}{4} \sin \frac{\pi}{10}\right)\right\}$
$= \cos ^{-1}\left\{-\cos \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{10}\right)\right\}$
$= \cos ^{-1}\left\{-\cos \left(\frac{5\pi - 2\pi}{20}\right)\right\} = \cos ^{-1}\left\{-\cos \frac{3\pi}{20}\right\}$
चूंकि $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)$,इसलिए:
$= \pi - \cos^{-1}\left(\cos \frac{3\pi}{20}\right)$
$= \pi - \frac{3\pi}{20} = \frac{17\pi}{20}$.

(D) दिया गया है,$\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y+\cos ^{-1} z=\pi$
$\Rightarrow \cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y=\pi-\cos ^{-1} z$
$\Rightarrow \cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y=\cos ^{-1}(-z)$
$\Rightarrow \cos ^{-1}\left[x y-\sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2}\right]=\cos ^{-1}(-z)$
$\Rightarrow x y-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}=-z$
$\Rightarrow x y+z=\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x y+z)^2 = (1-x^2)(1-y^2)$
$x^2 y^2+2 x y z+z^2=1-y^2-x^2+x^2 y^2$
$x^2+y^2+z^2+2 x y z=1$
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $x^2+y^2+z^2+k x y z=1$ से करने पर,हमें $k=2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1}(x+2)+\tan ^{-1}(x-2) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
सूत्र $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1}\left(\frac{(x+2)+(x-2)}{1-(x+2)(x-2)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
$\tan ^{-1}\left(\frac{2x}{1-(x^2-4)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
$\tan ^{-1}\left(\frac{2x}{5-x^2}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
$\frac{2x}{5-x^2} = \frac{1}{2}$
$4x = 5 - x^2$
$x^2 + 4x - 5 = 0$
$(x+5)(x-1) = 0$
अतः,$x = -5$ या $x = 1$.

(C) दिया गया व्यंजक: $\cos \left(2 \cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x\right)$
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\cos \left(\cos ^{-1} x + (\cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x)\right)$
गुणधर्म $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cos \left(\cos ^{-1} x + \frac{\pi}{2}\right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos \left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-\sin \left(\cos ^{-1} x\right)$
चूंकि $\cos ^{-1} x = \sin ^{-1} \sqrt{1-x^2}$,व्यंजक बन जाता है:
$-\sin \left(\sin ^{-1} \sqrt{1-x^2}\right) = -\sqrt{1-x^2}$
$x = \frac{1}{5}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-\sqrt{1-\left(\frac{1}{5}\right)^2} = -\sqrt{1-\frac{1}{25}} = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{\sqrt{24}}{5} = -\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

(C) माना $\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ और $\beta = \cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$ है।
तब $\sin \alpha = \frac{3}{5}$,जिसका अर्थ है कि $\cos \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5}$।
और $\cos \beta = \frac{12}{13}$,जिसका अर्थ है कि $\sin \beta = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \frac{5}{13}$।
सर्वसमिका $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ का उपयोग करने पर:
$\cos(\alpha + \beta) = \left(\frac{4}{5}\right) \left(\frac{12}{13}\right) - \left(\frac{3}{5}\right) \left(\frac{5}{13}\right)$
$= \frac{48}{65} - \frac{15}{65}$
$= \frac{33}{65}$।

(B) माना $x = \cos 2\theta$.
तब $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$.
व्यंजक में $x = \cos 2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\cos 2\theta}-\sqrt{1-\cos 2\theta}}{\sqrt{1+\cos 2\theta}+\sqrt{1-\cos 2\theta}}\right)$
$= \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{2\cos^2\theta}-\sqrt{2\sin^2\theta}}{\sqrt{2\cos^2\theta}+\sqrt{2\sin^2\theta}}\right)$
$= \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos\theta - \sqrt{2}\sin\theta}{\sqrt{2}\cos\theta + \sqrt{2}\sin\theta}\right)$
$= \tan^{-1}\left(\frac{1 - \tan\theta}{1 + \tan\theta}\right)$
$= \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} - \theta))$
$= \frac{\pi}{4} - \theta = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos^{-1} x$.
अब,दूसरा पद जोड़ने पर:
$(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos^{-1} x) + \frac{1}{2} \cos^{-1} x = \frac{\pi}{4}$.

(A) हम जानते हैं कि $\cos ^{-1}(-x) = \pi - \cos ^{-1}(x)$ और $\sin ^{-1}(x) + \cos ^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ होता है।
माना दिया गया व्यंजक $E = \sin \left(\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)-\sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right)$ है।
गुणधर्म $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right) = \pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = \sin \left(\pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) - \sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right)$.
अब,प्रतिलोम त्रिकोणमितीय पदों को समूहबद्ध करने पर:
$E = \sin \left(\pi - \left(\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) + \sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)$.
चूंकि $x \in [-1, 1]$ के लिए $\cos ^{-1}(x) + \sin ^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ होता है,इसलिए:
$E = \sin \left(\pi - \frac{\pi}{2}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)$.
अतः,$E = 1$।

(C) हम सूत्र $\tan ^{-1}(A) + \tan ^{-1}(B) = \tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करेंगे।
दिया गया है $\tan ^{-1}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{x-1}{x}\right)=\tan ^{-1}(-7)$।
सूत्र लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan ^{-1}\left[\frac{\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x}}{1-\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\left(\frac{x-1}{x}\right)}\right]=\tan ^{-1}(-7)$।
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{x(x+1)+(x-1)^2}{x(x-1)-(x+1)(x-1)} = \frac{x^2+x+x^2-2x+1}{x^2-x-(x^2-1)} = \frac{2x^2-x+1}{1-x}$।
तर्कों की तुलना करने पर,$\frac{2x^2-x+1}{1-x} = -7$।
$2x^2-x+1 = -7(1-x) = -7+7x$।
$2x^2-8x+8 = 0$।
$x^2-4x+4 = 0$।
$(x-2)^2 = 0$,जिससे $x=2$ प्राप्त होता है।

(B) हमें समीकरण $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)=\sin ^{-1} P$ दिया गया है।
सबसे पहले,$\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$ को $\sin ^{-1}$ रूप में बदलें।
माना $\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) = \theta$,तो $\cos \theta = \frac{12}{13}$।
$\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta} = \sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$ का उपयोग करते हुए।
अतः,$\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)$।
अब,समीकरण $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{5}{13}\right) = \sin ^{-1} P$ हो जाता है।
सूत्र $\sin ^{-1} x + \sin ^{-1} y = \sin ^{-1}\left(x \sqrt{1-y^2} + y \sqrt{1-x^2}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$\sin ^{-1} P = \sin ^{-1}\left[\frac{3}{5} \sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2} + \frac{5}{13} \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}\right]$
$= \sin ^{-1}\left[\frac{3}{5} \times \frac{12}{13} + \frac{5}{13} \times \frac{4}{5}\right]$
$= \sin ^{-1}\left(\frac{36}{65} + \frac{20}{65}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{56}{65}\right)$।
अतः,$P = \frac{56}{65}$।

(C) हम सूत्र $\tan ^{-1} a + \tan ^{-1} b = \tan ^{-1} \left( \frac{a+b}{1-ab} \right)$ का उपयोग करेंगे।
$\tan ^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2}{9}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{9}}{1-\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{2}{9}\right)}\right)$
$= \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{9+8}{36}}{\frac{36-2}{36}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{17}{34}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
अब,हम सर्वसमिका $2 \tan ^{-1} \theta = \cos ^{-1} \left( \frac{1-\theta^2}{1+\theta^2} \right)$ का उपयोग करते हैं,जिसका अर्थ है $\tan ^{-1} \theta = \frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{1-\theta^2}{1+\theta^2} \right)$।
$\theta = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{1-(1/2)^2}{1+(1/2)^2} \right)$
$= \frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{1-1/4}{1+1/4} \right) = \frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{3/4}{5/4} \right) = \frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{3}{5} \right)$
इसकी तुलना $\frac{1}{2} \cos ^{-1} x$ से करने पर,हमें $x = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि $\tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$।
हम यह भी जानते हैं कि $\cos ^{-1}(-x) = \pi - \cos ^{-1}(x)$,इसलिए $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1}(-x) = -\sin ^{-1}(x)$,इसलिए $\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$।
इन मानों को जोड़ने पर:
$\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + 8\pi - 2\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}$।

(C) हम सूत्र $2 \tan^{-1} x = \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $|x| < 1$ है।
$2 \tan^{-1} \frac{1}{2}$ पर इसे लागू करने पर:
$2 \tan^{-1} \frac{1}{2} = \tan^{-1} \left( \frac{2(1/2)}{1-(1/2)^2} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{1}{1-1/4} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{1}{3/4} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right)$.
अब,सूत्र $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करके $\tan^{-1} \frac{1}{7}$ जोड़ें:
$\tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{1}{7} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{4/3 + 1/7}{1 - (4/3)(1/7)} \right)$.
अंश की गणना करने पर: $\frac{4}{3} + \frac{1}{7} = \frac{28+3}{21} = \frac{31}{21}$.
हर की गणना करने पर: $1 - \frac{4}{21} = \frac{21-4}{21} = \frac{17}{21}$.
अतः,व्यंजक $\tan^{-1} \left( \frac{31/21}{17/21} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{31}{17} \right)$ हो जाता है।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos ^{-1} \sqrt{p}+\cos ^{-1} \sqrt{1-p}+\cos ^{-1} \sqrt{1-q}=\frac{3 \pi}{4}$
मान लीजिए $t=\cos ^{-1} \sqrt{p}$. तब $\sqrt{p}=\cos t$,अतः $p=\cos ^2 t$.
इस प्रकार,$1-p=1-\cos ^2 t=\sin ^2 t$,जिसका अर्थ है कि $\sqrt{1-p}=\sin t$.
अतः,$t=\sin ^{-1} \sqrt{1-p}$.
चूँकि $t=\cos ^{-1} \sqrt{p}$,हमें प्राप्त होता है $\cos ^{-1} \sqrt{p}=\sin ^{-1} \sqrt{1-p}$.
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin ^{-1} \sqrt{1-p}+\cos ^{-1} \sqrt{1-p}+\cos ^{-1} \sqrt{1-q}=\frac{3 \pi}{4}$
सर्वसमिका $\sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\pi}{2}+\cos ^{-1} \sqrt{1-q}=\frac{3 \pi}{4}$
$\cos ^{-1} \sqrt{1-q}=\frac{3 \pi}{4}-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}$
$\sqrt{1-q}=\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1-q=\frac{1}{2}$
$q=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

(B) हम सूत्र $\tan ^{-1}(x) + \tan ^{-1}(y) = \tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करेंगे।
सबसे पहले,$\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)$ की गणना करें:
$\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{7}{10}}{\frac{9}{10}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{7}{9}\right)$.
अब,परिणाम में $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{8}\right)$ जोड़ें:
$\tan ^{-1}\left(\frac{1}{8}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{7}{9}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{8} + \frac{7}{9}}{1 - \frac{1}{8} \cdot \frac{7}{9}}\right)$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करें:
$\frac{\frac{9+56}{72}}{\frac{72-7}{72}} = \frac{65}{65} = 1$.
अतः,व्यंजक $\tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ हो जाता है।

(A) हम सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करेंगे।
सबसे पहले,पदों को समूहबद्ध करें:
$\left( \tan ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1} \frac{1}{5} \right) + \left( \tan ^{-1} \frac{1}{7} + \tan ^{-1} \frac{1}{8} \right)$
पहली जोड़ी के लिए सूत्र लागू करें:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{5}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{8}{15}}{\frac{14}{15}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{8}{14} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right)$
दूसरी जोड़ी के लिए सूत्र लागू करें:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{7} + \frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{7} \times \frac{1}{8}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{15}{56}}{\frac{55}{56}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{15}{55} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right)$
अब परिणामों को जोड़ें:
$\tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{4}{7} + \frac{3}{11}}{1 - \frac{4}{7} \times \frac{3}{11}} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{44+21}{77}}{\frac{77-12}{77}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{65}{65} \right) = \tan ^{-1} (1) = \frac{\pi}{4}$

(D) हम $|x| < 1$ के लिए सूत्र $2 \tan ^{-1}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2 \times \frac{1}{3}}{1-(\frac{1}{3})^2}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2/3}{8/9}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ की गणना करें।
अब,$\cos ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ को $\tan ^{-1}$ में बदलें। मान लीजिए $\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$,तो $\cos \theta = \frac{3}{5}$। चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - (3/5)^2} = 4/5$। अतः,$\tan \theta = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$,जिसका अर्थ है $\cos ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$।
व्यंजक $\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$ बन जाता है।
$x > 0$ के लिए $\tan ^{-1}(x) + \tan ^{-1}(1/x) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{1}{3/4}\right) = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) हम सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करेंगे।
सबसे पहले,पदों को समूहबद्ध करें:
$\left( \tan ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1} \frac{1}{5} \right) + \left( \tan ^{-1} \frac{1}{7} + \tan ^{-1} \frac{1}{8} \right)$
पहले जोड़े के लिए सूत्र लागू करने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{5}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{8}{15}}{\frac{14}{15}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{8}{14} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right)$
दूसरे जोड़े के लिए सूत्र लागू करने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{7} + \frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{7} \times \frac{1}{8}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{15}{56}}{\frac{55}{56}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{15}{55} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right)$
अब,परिणामों को जोड़ने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{4}{7} + \frac{3}{11}}{1 - \frac{4}{7} \times \frac{3}{11}} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{44+21}{77}}{\frac{77-12}{77}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{65}{65} \right) = \tan ^{-1} (1) = \frac{\pi}{4}$

(D) जब $xy > 1$ होता है,तब हम $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$x = 2$ और $y = 3$ है। चूँकि $xy = 2 \times 3 = 6 > 1$,हम सूत्र लागू करते हैं:
$\tan ^{-1} 2 + \tan ^{-1} 3 = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{2+3}{1-(2 \times 3)} \right)$
$= \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{5}{1-6} \right)$
$= \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{5}{-5} \right)$
$= \pi + \tan ^{-1} (-1)$
चूँकि $\tan ^{-1} (-1) = -\frac{\pi}{4}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$= \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$.

(B) हम जानते हैं कि $2 \tan ^{-1}(x) = \tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$.
इसलिए,$2 \tan ^{-1} \left( \frac{1}{5} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{2 \times \frac{1}{5}}{1 - (\frac{1}{5})^2} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{1}{25}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{2}{5} \times \frac{25}{24} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{5}{12} \right)$.
अब,व्यंजक $\tan \left[ \tan ^{-1} \left( \frac{5}{12} \right) - \tan ^{-1} (1) \right]$ हो जाता है।
सूत्र $\tan ^{-1}(x) - \tan ^{-1}(y) = \tan ^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{5}{12} - 1}{1 + \frac{5}{12} \times 1} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{-\frac{7}{12}}{\frac{17}{12}} \right) = \tan ^{-1} \left( -\frac{7}{17} \right)$.
अंत में,$\tan \left[ \tan ^{-1} \left( -\frac{7}{17} \right) \right] = -\frac{7}{17}$.

(D) हम जानते हैं कि $\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$,क्योंकि एक समकोण त्रिभुज में आधार $4$ और कर्ण $5$ होने पर,लंब $\sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan \left(\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right)$
सूत्र $\tan ^{-1}(x) + \tan ^{-1}(y) = \tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$= \tan \left(\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{3}{4} + \frac{2}{3}}{1 - \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}}\right)\right)$
$= \tan \left(\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{9+8}{12}}{1 - \frac{6}{12}}\right)\right)$
$= \tan \left(\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{17}{12}}{\frac{6}{12}}\right)\right)$
$= \tan \left(\tan ^{-1}\left(\frac{17}{6}\right)\right) = \frac{17}{6}$

(B) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1}(2 x)+\tan ^{-1}(3 x)=\frac{\pi}{4}$
सर्वसमिका $\tan ^{-1}(A)+\tan ^{-1}(B)=\tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1}\left(\frac{2 x+3 x}{1-(2 x)(3 x)}\right)=\frac{\pi}{4}$
$\tan ^{-1}\left(\frac{5 x}{1-6 x^2}\right)=\frac{\pi}{4}$
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर:
$\frac{5 x}{1-6 x^2}=\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$
$5 x = 1 - 6 x^2$
$6 x^2 + 5 x - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(6 x - 1)(x + 1) = 0$
इससे $x = \frac{1}{6}$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रश्न में $x > 0$ दिया गया है,इसलिए हम $x = -1$ को छोड़ देंगे।
अतः,$x = \frac{1}{6}$।

(A) जब $xy > 1$ होता है,तब हम सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$x = 2$ और $y = 3$ है,इसलिए $xy = 6 > 1$ है।
अतः,$\tan ^{-1} 2 + \tan ^{-1} 3 = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{2+3}{1-(2)(3)} \right)$.
$= \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{5}{1-6} \right) = \pi + \tan ^{-1} (-1)$.
$= \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$.
इस प्रकार,मान $\left( \frac{3 \pi}{4} \right)^c$ है।

(C) दिया गया समीकरण $\tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x=0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $\tan ^{-1} a - \tan ^{-1} b = \tan ^{-1}\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)$ का उपयोग करते हुए,हम $\tan ^{-1}(1) - \tan ^{-1}(x) = \frac{1}{2} \tan ^{-1} x$ लिख सकते हैं।
इसे सरल करने पर $\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \tan ^{-1} x + \tan ^{-1} x$ प्राप्त होता है।
$\frac{\pi}{4} = \frac{3}{2} \tan ^{-1} x$.
$\tan ^{-1} x = \frac{\pi}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$x = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) हम सूत्र $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$ का उपयोग करते हैं।
$x = \frac{1}{3}$ के लिए,हमें प्राप्त होता है:
$2 \tan ^{-1} \left( \frac{1}{3} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{2 \times \frac{1}{3}}{1 - (\frac{1}{3})^2} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{2}{3} \times \frac{9}{8} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{3}{4} \right)$
अब,इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \tan ^{-1} \left( \frac{1}{3} \right) - \tan ^{-1} \left( \frac{3}{4} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{3}{4} \right) - \tan ^{-1} \left( \frac{3}{4} \right) = 0$.

(C) हम सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करते हैं।
पहले,पहले दो पदों को जोड़ें:
$\tan ^{-1} \left( \frac{1}{3} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{1}{5} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{5}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{8}{15}}{\frac{14}{15}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{8}{14} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right)$.
अब,अंतिम दो पदों को जोड़ें:
$\tan ^{-1} \left( \frac{1}{7} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{1}{8} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{7} + \frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{7} \times \frac{1}{8}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{15}{56}}{\frac{55}{56}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{15}{55} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right)$.
अंत में,परिणामों को जोड़ें:
$\tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{4}{7} + \frac{3}{11}}{1 - \frac{4}{7} \times \frac{3}{11}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{44+21}{77}}{\frac{77-12}{77}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{65}{65} \right) = \tan ^{-1} (1) = \frac{\pi}{4}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} \theta$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ होता है।
चूंकि इन तीन मानों का योग $\frac{3 \pi}{2}$ है,इसलिए प्रत्येक पद को अपने अधिकतम मान $\frac{\pi}{2}$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,$\sin ^{-1} y = \frac{\pi}{2}$,और $\sin ^{-1} z = \frac{\pi}{2}$।
इसका अर्थ है कि $x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,$y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,और $z = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^{100} + y^{100} + z^{100} = 1^{100} + 1^{100} + 1^{100} = 1 + 1 + 1 = 3$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$.
$x = \frac{1}{2}$ के लिए इस सूत्र का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $2 \tan ^{-1} \frac{1}{2} = \tan ^{-1} \left( \frac{2 \times (1/2)}{1 - (1/2)^2} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{1}{1 - 1/4} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{1}{3/4} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{4}{3} \right)$.
अब,व्यंजक $\tan ^{-1} \left( \frac{4}{3} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{3}{8} \right)$ हो जाता है।
सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{4/3 + 3/8}{1 - (4/3)(3/8)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{(32+9)/24}{1 - 12/24} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{41/24}{12/24} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{41}{12} \right)$.

(C) माना $x = \tan \theta$,जहाँ $\theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है।
अतः दिया गया समीकरण इस प्रकार होगा:
$3 \sin ^{-1}(\sin 2\theta) - 4 \cos ^{-1}(\cos 2\theta) + 2 \tan ^{-1}(\tan 2\theta) = \frac{\pi}{3}$.
यदि $x \in (-1, 1)$ है,तो $2\theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ होगा।
इसलिए,$3(2\theta) - 4(2\theta) + 2(2\theta) = \frac{\pi}{3}$.
$6\theta - 8\theta + 4\theta = \frac{\pi}{3}$.
$2\theta = \frac{\pi}{3} \implies \theta = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$x = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(C) माना कि $\theta = 2 \tan^{-1} \frac{1}{5}$.
सूत्र $2 \tan^{-1} x = \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{2(1/5)}{1-(1/5)^2} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2/5}{1-1/25} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2/5}{24/25} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2}{5} \times \frac{25}{24} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{5}{12} \right)$.
अब,हमें $\tan \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right)$ का मान ज्ञात करना है।
सूत्र $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $A = \tan^{-1} \frac{5}{12}$ और $B = \frac{\pi}{4}$:
$\tan \left( \tan^{-1} \frac{5}{12} - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\frac{5}{12} - \tan \frac{\pi}{4}}{1 + \frac{5}{12} \tan \frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{5}{12} - 1}{1 + \frac{5}{12}(1)} = \frac{\frac{5-12}{12}}{\frac{12+5}{12}} = \frac{-7}{17}$.

(C) माना $\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$ है। तब $\tan \theta = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ होगा।
हमें $\tan(2\theta)$ का मान ज्ञात करना है।
सूत्र $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(2\theta) = \frac{2 \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)}{1 - \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2}$
$= \frac{\sqrt{5}-1}{1 - \frac{5 + 1 - 2\sqrt{5}}{4}}$
$= \frac{\sqrt{5}-1}{1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4}}$
$= \frac{\sqrt{5}-1}{\frac{4 - 6 + 2\sqrt{5}}{4}}$
$= \frac{4(\sqrt{5}-1)}{2\sqrt{5}-2}$
$= \frac{4(\sqrt{5}-1)}{2(\sqrt{5}-1)}$
$= 2$.

(C) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \cot^{-1}(2n^2)$ है।
हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए $\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(\frac{1}{x})$ होता है।
अतः,$T_n = \tan^{-1}(\frac{1}{2n^2})$।
हम तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{1}{2n^2} = \frac{2}{4n^2} = \frac{2}{1 + (2n^2 - 1)} = \frac{(2n+1) - (2n-1)}{1 + (2n+1)(2n-1)}$।
सूत्र $\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}(\frac{x-y}{1+xy})$ का उपयोग करने पर:
$T_n = \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1)$।
प्रथम $N$ पदों का योग $S_N = \sum_{n=1}^{N} [\tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1)]$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S_N = (\tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(1)) + (\tan^{-1}(5) - \tan^{-1}(3)) + \ldots + (\tan^{-1}(2N+1) - \tan^{-1}(2N-1))$।
$S_N = \tan^{-1}(2N+1) - \tan^{-1}(1)$।
जब $N \to \infty$,तब $S_N = \tan^{-1}(\infty) - \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$।

(B) हम जानते हैं कि $\sum_{k=1}^n 2k = 2 \times \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\cot \left(\sum_{n=1}^{23} \cot ^{-1}(1+n(n+1))\right)$ प्राप्त होता है।
$x > 0$ के लिए सर्वसमिका $\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(\frac{1}{x})$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\cot \left(\sum_{n=1}^{23} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+n(n+1)}\right)\right)$ बन जाता है।
हम $\tan^{-1}$ के तर्क को $\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}$ के रूप में लिख सकते हैं,जो हमें सूत्र $\tan^{-1}(a) - \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}(\frac{a-b}{1+ab})$ का उपयोग करने की अनुमति देता है।
अतः,$\sum_{n=1}^{23} \tan ^{-1}\left(\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}\right) = \sum_{n=1}^{23} (\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n))$.
यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $(\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)) + (\tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(2)) + \dots + (\tan^{-1}(24) - \tan^{-1}(23)) = \tan^{-1}(24) - \tan^{-1}(1)$.
अब,$\cot(\tan^{-1}(24) - \tan^{-1}(1)) = \cot(\tan^{-1}(\frac{24-1}{1+24 \times 1})) = \cot(\tan^{-1}(\frac{23}{25}))$.
चूंकि $\cot(\tan^{-1}(x)) = \cot(\cot^{-1}(\frac{1}{x})) = \frac{1}{x}$,इसलिए $\cot(\tan^{-1}(\frac{23}{25})) = \frac{25}{23}$.