अ Hindi
Properties of ITF Questions in Hindi
Class 12 Mathematics · Inverse Trigonometric Functions · Properties of ITF
516+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 48 of 516 questions in Hindi
401
DifficultMCQ
यदि $a > b > 0$ और $\sec^{-1} \left( \frac{a+b}{a-b} \right) = 2 \sin^{-1} x$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$-\sqrt{\frac{b}{a+b}}$
B
$\sqrt{\frac{b}{a+b}}$
C
$-\sqrt{\frac{a}{a+b}}$
D
$\sqrt{\frac{a}{a+b}}$
Solution
(B) दिया गया है कि $\sec^{-1} \left( \frac{a+b}{a-b} \right) = 2 \sin^{-1} x$.
व्युत्क्रम लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos^{-1} \left( \frac{a-b}{a+b} \right) = 2 \sin^{-1} x$.
अंश और हर को $a$ से विभाजित करने पर,$\cos^{-1} \left( \frac{1 - b/a}{1 + b/a} \right) = 2 \sin^{-1} x$.
सर्वसमिका $\cos^{-1} \left( \frac{1 - y^2}{1 + y^2} \right) = 2 \tan^{-1} y$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $y = \sqrt{b/a}$,हमें $2 \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{b}{a}} \right) = 2 \sin^{-1} x$ प्राप्त होता है।
$2$ से विभाजित करने पर,$\tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{b}{a}} \right) = \sin^{-1} x$.
सर्वसमिका $\tan^{-1} y = \sin^{-1} \left( \frac{y}{\sqrt{1+y^2}} \right)$ का उपयोग करते हुए,$\sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{b/a}}{\sqrt{1 + b/a}} \right) = \sin^{-1} x$.
अंदर के पद को सरल करने पर,$\sin^{-1} \left( \sqrt{\frac{b/a}{(a+b)/a}} \right) = \sin^{-1} x$.
अतः,$x = \sqrt{\frac{b}{a+b}}$.
व्युत्क्रम लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos^{-1} \left( \frac{a-b}{a+b} \right) = 2 \sin^{-1} x$.
अंश और हर को $a$ से विभाजित करने पर,$\cos^{-1} \left( \frac{1 - b/a}{1 + b/a} \right) = 2 \sin^{-1} x$.
सर्वसमिका $\cos^{-1} \left( \frac{1 - y^2}{1 + y^2} \right) = 2 \tan^{-1} y$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $y = \sqrt{b/a}$,हमें $2 \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{b}{a}} \right) = 2 \sin^{-1} x$ प्राप्त होता है।
$2$ से विभाजित करने पर,$\tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{b}{a}} \right) = \sin^{-1} x$.
सर्वसमिका $\tan^{-1} y = \sin^{-1} \left( \frac{y}{\sqrt{1+y^2}} \right)$ का उपयोग करते हुए,$\sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{b/a}}{\sqrt{1 + b/a}} \right) = \sin^{-1} x$.
अंदर के पद को सरल करने पर,$\sin^{-1} \left( \sqrt{\frac{b/a}{(a+b)/a}} \right) = \sin^{-1} x$.
अतः,$x = \sqrt{\frac{b}{a+b}}$.
0 likes
View Solution402
DifficultMCQ
यदि $x$ एक ऋणात्मक अनुमेय मान लेता है,तो $\sin^{-1} x$ किसके बराबर है?
A
$-\cos^{-1} \sqrt{1-x^{2}}$
B
$\cos^{-1} \sqrt{x^{2}-1}$
C
$\pi - \cos^{-1} \sqrt{1-x^{2}}$
D
$\cos^{-1} \sqrt{1-x^{2}}$
Solution
(A) माना $\sin^{-1} x = y$. तब,$x = \sin y$.
चूंकि $-1 \leq x < 0$,इसलिए $-\frac{\pi}{2} \leq \sin^{-1} x < 0$,जिसका अर्थ है कि $-\frac{\pi}{2} \leq y < 0$.
हम जानते हैं कि $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$.
चूंकि $y$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, 0)$ में है,इसलिए $-y$ अंतराल $(0, \frac{\pi}{2}]$ में है।
गुणधर्म $\cos(-y) = \cos y = \sqrt{1 - x^2}$ का उपयोग करने पर,हमें $-y = \cos^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = -\cos^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$.
इस प्रकार,$\sin^{-1} x = -\cos^{-1} \sqrt{1 - x^2}$।
चूंकि $-1 \leq x < 0$,इसलिए $-\frac{\pi}{2} \leq \sin^{-1} x < 0$,जिसका अर्थ है कि $-\frac{\pi}{2} \leq y < 0$.
हम जानते हैं कि $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$.
चूंकि $y$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, 0)$ में है,इसलिए $-y$ अंतराल $(0, \frac{\pi}{2}]$ में है।
गुणधर्म $\cos(-y) = \cos y = \sqrt{1 - x^2}$ का उपयोग करने पर,हमें $-y = \cos^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = -\cos^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$.
इस प्रकार,$\sin^{-1} x = -\cos^{-1} \sqrt{1 - x^2}$।
0 likes
View Solution403
MediumMCQ
यदि $ a + \frac{\pi}{2} < 2 \tan^{-1} x + 3 \cot^{-1} x < b $ है,तो $ a $ और $ b $ के मान ज्ञात कीजिए।
A
$ \frac{\pi}{2} $ और $ 2 \pi $
B
$ \frac{\pi}{2} $ और $ \frac{\pi}{2} $
C
$ 0 $ और $ \pi $
D
$ 0 $ और $ 2 \pi $
Solution
(A) दी गई असमिका: $ a + \frac{\pi}{2} < 2 \tan^{-1} x + 3 \cot^{-1} x < b $.
हम जानते हैं कि $ \tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} $,इसलिए $ \tan^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cot^{-1} x $.
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $ 2(\frac{\pi}{2} - \cot^{-1} x) + 3 \cot^{-1} x = \pi - 2 \cot^{-1} x + 3 \cot^{-1} x = \pi + \cot^{-1} x $.
अब असमिका इस प्रकार हो जाती है: $ a + \frac{\pi}{2} < \pi + \cot^{-1} x < b $.
सभी भागों से $ \pi $ घटाने पर: $ a - \frac{\pi}{2} < \cot^{-1} x < b - \pi $.
चूंकि $ \cot^{-1} x $ का परिसर $ (0, \pi) $ है,इसलिए $ 0 < \cot^{-1} x < \pi $ प्राप्त होता है।
$ a - \frac{\pi}{2} < \cot^{-1} x < b - \pi $ की तुलना $ 0 < \cot^{-1} x < \pi $ से करने पर:
$ a - \frac{\pi}{2} = 0 \Rightarrow a = \frac{\pi}{2} $.
$ b - \pi = \pi \Rightarrow b = 2\pi $.
अतः,$ a = \frac{\pi}{2} $ और $ b = 2\pi $.
हम जानते हैं कि $ \tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} $,इसलिए $ \tan^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cot^{-1} x $.
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $ 2(\frac{\pi}{2} - \cot^{-1} x) + 3 \cot^{-1} x = \pi - 2 \cot^{-1} x + 3 \cot^{-1} x = \pi + \cot^{-1} x $.
अब असमिका इस प्रकार हो जाती है: $ a + \frac{\pi}{2} < \pi + \cot^{-1} x < b $.
सभी भागों से $ \pi $ घटाने पर: $ a - \frac{\pi}{2} < \cot^{-1} x < b - \pi $.
चूंकि $ \cot^{-1} x $ का परिसर $ (0, \pi) $ है,इसलिए $ 0 < \cot^{-1} x < \pi $ प्राप्त होता है।
$ a - \frac{\pi}{2} < \cot^{-1} x < b - \pi $ की तुलना $ 0 < \cot^{-1} x < \pi $ से करने पर:
$ a - \frac{\pi}{2} = 0 \Rightarrow a = \frac{\pi}{2} $.
$ b - \pi = \pi \Rightarrow b = 2\pi $.
अतः,$ a = \frac{\pi}{2} $ और $ b = 2\pi $.
0 likes
View Solution404
EasyMCQ
यदि $\sin^{-1} x + \cos^{-1} y = \frac{2\pi}{5}$ है,तो $\cos^{-1} x + \sin^{-1} y$ का मान क्या होगा?
A
$\frac{2\pi}{5}$
B
$\frac{3\pi}{5}$
C
$\frac{4\pi}{5}$
D
$\frac{3\pi}{10}$
Solution
(B) दिया गया है कि,$\sin^{-1} x + \cos^{-1} y = \frac{2\pi}{5} \quad (1)$
हम जानते हैं कि मूलभूत सर्वसमिकाएँ: $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ और $\sin^{-1} y + \cos^{-1} y = \frac{\pi}{2}$ होती हैं।
इनसे,हम लिख सकते हैं कि $\sin^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x$ और $\cos^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} y$।
इन मानों को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x) + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} y) = \frac{2\pi}{5}$
$\pi - (\cos^{-1} x + \sin^{-1} y) = \frac{2\pi}{5}$
$\cos^{-1} x + \sin^{-1} y = \pi - \frac{2\pi}{5}$
$\cos^{-1} x + \sin^{-1} y = \frac{3\pi}{5}$
हम जानते हैं कि मूलभूत सर्वसमिकाएँ: $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ और $\sin^{-1} y + \cos^{-1} y = \frac{\pi}{2}$ होती हैं।
इनसे,हम लिख सकते हैं कि $\sin^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x$ और $\cos^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} y$।
इन मानों को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x) + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} y) = \frac{2\pi}{5}$
$\pi - (\cos^{-1} x + \sin^{-1} y) = \frac{2\pi}{5}$
$\cos^{-1} x + \sin^{-1} y = \pi - \frac{2\pi}{5}$
$\cos^{-1} x + \sin^{-1} y = \frac{3\pi}{5}$
0 likes
View Solution405
EasyMCQ
यदि $3 \tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \pi$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$0$
B
$1$
C
$-1$
D
$\frac{1}{2}$
Solution
(B) दिया गया समीकरण: $3 \tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \pi$.
हम जानते हैं कि $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
दिए गए समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $2 \tan^{-1} x + (\tan^{-1} x + \cot^{-1} x) = \pi$.
सर्वसमिका $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \tan^{-1} x + \frac{\pi}{2} = \pi$.
दोनों पक्षों से $\frac{\pi}{2}$ घटाने पर:
$2 \tan^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
$2$ से भाग देने पर:
$\tan^{-1} x = \frac{\pi}{4}$.
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर:
$x = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
हम जानते हैं कि $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
दिए गए समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $2 \tan^{-1} x + (\tan^{-1} x + \cot^{-1} x) = \pi$.
सर्वसमिका $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \tan^{-1} x + \frac{\pi}{2} = \pi$.
दोनों पक्षों से $\frac{\pi}{2}$ घटाने पर:
$2 \tan^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
$2$ से भाग देने पर:
$\tan^{-1} x = \frac{\pi}{4}$.
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर:
$x = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
0 likes
View Solution406
MediumMCQ
यदि $\sin ^{-1} x + \sin ^{-1} y = \frac{\pi}{2}$ है,तो $x^{2}$ का मान क्या होगा?
A
$1 - y^{2}$
B
$y^{2}$
C
$0$
D
$\sqrt{1 - y}$
Solution
(A) दिया गया है कि,$\sin ^{-1} x + \sin ^{-1} y = \frac{\pi}{2} \dots (1)$
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} \dots (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin ^{-1} y = \cos ^{-1} x$
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर,$\cos(\sin ^{-1} y) = \cos(\cos ^{-1} x)$
चूंकि $\cos(\sin ^{-1} y) = \sqrt{1 - y^{2}}$,इसलिए $x = \sqrt{1 - y^{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x^{2} = 1 - y^{2}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} \dots (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin ^{-1} y = \cos ^{-1} x$
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर,$\cos(\sin ^{-1} y) = \cos(\cos ^{-1} x)$
चूंकि $\cos(\sin ^{-1} y) = \sqrt{1 - y^{2}}$,इसलिए $x = \sqrt{1 - y^{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x^{2} = 1 - y^{2}$ प्राप्त होता है।
0 likes
View Solution407
DifficultMCQ
यदि $x \neq n \pi, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in Z$ है,तो $\frac{\sin ^{-1}(\cos x)+\cos ^{-1}(\sin x)}{\tan ^{-1}(\cot x)+\cot ^{-1}(\tan x)}$ का मान क्या है?
A
$1$
B
$\frac{\pi}{2}$
C
$\frac{\pi}{4}$
D
$\frac{\pi}{6}$
Solution
(A) दिया गया व्यंजक: $\frac{\sin ^{-1}(\cos x)+\cos ^{-1}(\sin x)}{\tan ^{-1}(\cot x)+\cot ^{-1}(\tan x)}$
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} \theta + \cos ^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ जहाँ $\theta \in [-1, 1]$ और $\tan ^{-1} \theta + \cot ^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ जहाँ $\theta \in \mathbb{R}$।
सर्वसमिकाओं $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$ और $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$ का उपयोग करने पर:
अंश: $\sin ^{-1}(\sin(\frac{\pi}{2} - x)) + \cos ^{-1}(\cos(\frac{\pi}{2} - x)) = (\frac{\pi}{2} - x) + (\frac{\pi}{2} - x) = \pi - 2x$.
हर: $\tan ^{-1}(\tan(\frac{\pi}{2} - x)) + \cot ^{-1}(\cot(\frac{\pi}{2} - x)) = (\frac{\pi}{2} - x) + (\frac{\pi}{2} - x) = \pi - 2x$.
अतः,व्यंजक $\frac{\pi - 2x}{\pi - 2x} = 1$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} \theta + \cos ^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ जहाँ $\theta \in [-1, 1]$ और $\tan ^{-1} \theta + \cot ^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ जहाँ $\theta \in \mathbb{R}$।
सर्वसमिकाओं $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$ और $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$ का उपयोग करने पर:
अंश: $\sin ^{-1}(\sin(\frac{\pi}{2} - x)) + \cos ^{-1}(\cos(\frac{\pi}{2} - x)) = (\frac{\pi}{2} - x) + (\frac{\pi}{2} - x) = \pi - 2x$.
हर: $\tan ^{-1}(\tan(\frac{\pi}{2} - x)) + \cot ^{-1}(\cot(\frac{\pi}{2} - x)) = (\frac{\pi}{2} - x) + (\frac{\pi}{2} - x) = \pi - 2x$.
अतः,व्यंजक $\frac{\pi - 2x}{\pi - 2x} = 1$ हो जाता है।
0 likes
View Solution408
MediumMCQ
यदि $2 \sin ^{-1} x-3 \cos ^{-1} x=4, x \in[-1,1]$ है,तो $2 \sin ^{-1} x+3 \cos ^{-1} x$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{4-6 \pi}{5}$
B
$\frac{6 \pi-4}{5}$
C
$\frac{3 \pi}{2}$
D
$0$
Solution
(B) दिया गया है कि $2 \sin ^{-1} x - 3 \cos ^{-1} x = 4$।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$।
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \sin ^{-1} x - 3(\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x) = 4$
$2 \sin ^{-1} x - \frac{3 \pi}{2} + 3 \sin ^{-1} x = 4$
$5 \sin ^{-1} x = 4 + \frac{3 \pi}{2}$
$\sin ^{-1} x = \frac{8 + 3 \pi}{10}$
अब,हमें $2 \sin ^{-1} x + 3 \cos ^{-1} x$ का मान ज्ञात करना है।
$2 \sin ^{-1} x + 3 \cos ^{-1} x = 2 \sin ^{-1} x + 3(\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x)$
$= 2 \sin ^{-1} x + \frac{3 \pi}{2} - 3 \sin ^{-1} x$
$= \frac{3 \pi}{2} - \sin ^{-1} x$
$= \frac{3 \pi}{2} - \frac{8 + 3 \pi}{10}$
$= \frac{15 \pi - 8 - 3 \pi}{10}$
$= \frac{12 \pi - 8}{10} = \frac{6 \pi - 4}{5}$
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$।
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \sin ^{-1} x - 3(\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x) = 4$
$2 \sin ^{-1} x - \frac{3 \pi}{2} + 3 \sin ^{-1} x = 4$
$5 \sin ^{-1} x = 4 + \frac{3 \pi}{2}$
$\sin ^{-1} x = \frac{8 + 3 \pi}{10}$
अब,हमें $2 \sin ^{-1} x + 3 \cos ^{-1} x$ का मान ज्ञात करना है।
$2 \sin ^{-1} x + 3 \cos ^{-1} x = 2 \sin ^{-1} x + 3(\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x)$
$= 2 \sin ^{-1} x + \frac{3 \pi}{2} - 3 \sin ^{-1} x$
$= \frac{3 \pi}{2} - \sin ^{-1} x$
$= \frac{3 \pi}{2} - \frac{8 + 3 \pi}{10}$
$= \frac{15 \pi - 8 - 3 \pi}{10}$
$= \frac{12 \pi - 8}{10} = \frac{6 \pi - 4}{5}$
0 likes
View Solution409
MediumMCQ
$\tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{x+y}\right)$ का सरलीकृत रूप किसके बराबर है?
A
$0$
B
$\frac{\pi}{4}$
C
$\frac{\pi}{2}$
D
$\pi$
Solution
(B) दिया गया व्यंजक: $\tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{x+y}\right)$.
दूसरे पद के अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{1 - \frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x}}\right)$.
सर्वसमिका $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{1 - \frac{y}{x}}{1 + 1 \cdot \frac{y}{x}}\right) = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$.
इस मान को मूल व्यंजक में रखने पर:
$= \tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) - \left(\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\right)$
$= \tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \tan^{-1}(1)$.
चूंकि $\tan^{-1}(z) + \cot^{-1}(z) = \frac{\pi}{2}$ और $\cot^{-1}(z) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)$:
$= \tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) + \cot^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) - \tan^{-1}(1)$
$= \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.
दूसरे पद के अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{1 - \frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x}}\right)$.
सर्वसमिका $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{1 - \frac{y}{x}}{1 + 1 \cdot \frac{y}{x}}\right) = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$.
इस मान को मूल व्यंजक में रखने पर:
$= \tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) - \left(\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\right)$
$= \tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \tan^{-1}(1)$.
चूंकि $\tan^{-1}(z) + \cot^{-1}(z) = \frac{\pi}{2}$ और $\cot^{-1}(z) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)$:
$= \tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) + \cot^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) - \tan^{-1}(1)$
$= \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.
0 likes
View Solution410
EasyMCQ
$\tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{x+y}\right)$ (जहाँ,$x, y>0$) का मान क्या है?
A
$\frac{\pi}{4}$
B
$-\frac{\pi}{4}$
C
$\frac{\pi}{2}$
D
$-\frac{\pi}{2}$
Solution
(A) हम सूत्र $\tan ^{-1} A - \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A-B}{1+AB} \right)$ का उपयोग करते हैं।
माना $A = \frac{x}{y}$ और $B = \frac{x-y}{x+y}$ है।
तब,$\tan ^{-1} \left( \frac{x}{y} \right) - \tan ^{-1} \left( \frac{x-y}{x+y} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{x}{y} - \frac{x-y}{x+y}}{1 + \frac{x}{y} \cdot \frac{x-y}{x+y}} \right)$।
अंश का सरलीकरण: $\frac{x(x+y) - y(x-y)}{y(x+y)} = \frac{x^2 + xy - xy + y^2}{y(x+y)} = \frac{x^2 + y^2}{y(x+y)}$।
हर का सरलीकरण: $1 + \frac{x^2 - xy}{y(x+y)} = \frac{xy + y^2 + x^2 - xy}{y(x+y)} = \frac{x^2 + y^2}{y(x+y)}$।
अतः,व्यंजक $\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{x^2 + y^2}{y(x+y)}}{\frac{x^2 + y^2}{y(x+y)}} \right) = \tan ^{-1}(1)$ हो जाता है।
चूंकि $\tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,इसलिए अंतिम मान $\frac{\pi}{4}$ है।
माना $A = \frac{x}{y}$ और $B = \frac{x-y}{x+y}$ है।
तब,$\tan ^{-1} \left( \frac{x}{y} \right) - \tan ^{-1} \left( \frac{x-y}{x+y} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{x}{y} - \frac{x-y}{x+y}}{1 + \frac{x}{y} \cdot \frac{x-y}{x+y}} \right)$।
अंश का सरलीकरण: $\frac{x(x+y) - y(x-y)}{y(x+y)} = \frac{x^2 + xy - xy + y^2}{y(x+y)} = \frac{x^2 + y^2}{y(x+y)}$।
हर का सरलीकरण: $1 + \frac{x^2 - xy}{y(x+y)} = \frac{xy + y^2 + x^2 - xy}{y(x+y)} = \frac{x^2 + y^2}{y(x+y)}$।
अतः,व्यंजक $\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{x^2 + y^2}{y(x+y)}}{\frac{x^2 + y^2}{y(x+y)}} \right) = \tan ^{-1}(1)$ हो जाता है।
चूंकि $\tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,इसलिए अंतिम मान $\frac{\pi}{4}$ है।
0 likes
View Solution411
EasyMCQ
$\sin \left(2 \sin ^{-1} \sqrt{\frac{63}{65}}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{2 \sqrt{126}}{65}$
B
$\frac{4 \sqrt{65}}{65}$
C
$\frac{8 \sqrt{63}}{65}$
D
$\frac{\sqrt{63}}{65}$
Solution
(A) माना कि $\theta = \sin^{-1} \sqrt{\frac{63}{65}}$। तब $\sin \theta = \sqrt{\frac{63}{65}}$।
हमें $\sin(2\theta)$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए।
सबसे पहले,$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{63}{65}} = \sqrt{\frac{2}{65}}$ ज्ञात करें।
अब,इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें:
$\sin(2\theta) = 2 \times \sqrt{\frac{63}{65}} \times \sqrt{\frac{2}{65}}$
$\sin(2\theta) = 2 \times \frac{\sqrt{63 \times 2}}{65} = 2 \times \frac{\sqrt{126}}{65} = \frac{2 \sqrt{126}}{65}$।
हमें $\sin(2\theta)$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए।
सबसे पहले,$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{63}{65}} = \sqrt{\frac{2}{65}}$ ज्ञात करें।
अब,इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें:
$\sin(2\theta) = 2 \times \sqrt{\frac{63}{65}} \times \sqrt{\frac{2}{65}}$
$\sin(2\theta) = 2 \times \frac{\sqrt{63 \times 2}}{65} = 2 \times \frac{\sqrt{126}}{65} = \frac{2 \sqrt{126}}{65}$।
0 likes
View Solution412
MediumMCQ
$\cos ^{-1}\left(2 x^{2}-1\right)$ का $\cos ^{-1} x$ के सापेक्ष अवकलज क्या है?
A
$2$
B
$1/2$
C
$-2$
D
$-1/2$
Solution
(A) माना $y = \cos ^{-1}(2x^2 - 1)$ और $z = \cos ^{-1} x$ है।
हम जानते हैं कि $x \in [0, 1]$ के लिए $\cos ^{-1}(2x^2 - 1) = 2 \cos ^{-1} x$ होता है।
अतः,$y = 2z$ है।
$y$ का $z$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dz} = \frac{d}{dz}(2z) = 2$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $x \in [0, 1]$ के लिए $\cos ^{-1}(2x^2 - 1) = 2 \cos ^{-1} x$ होता है।
अतः,$y = 2z$ है।
$y$ का $z$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dz} = \frac{d}{dz}(2z) = 2$ प्राप्त होता है।
0 likes
View Solution413
MediumMCQ
यदि $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ है,तो $\tan \left[\sin ^{-1}\left\{\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{2}}\right\}-\sin ^{-1} x\right]$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$ \sqrt{3} $
B
$ \frac{1}{\sqrt{3}} $
C
$ 1 $
D
$ -1 $
Solution
(C) माना कि दिया गया व्यंजक $E = \tan \left[\sin ^{-1}\left\{\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{2}}\right\}-\sin ^{-1} x\right]$ है।
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करें,जहाँ $\theta = \sin^{-1} x$ है।
चूँकि $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$,इसलिए $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$ है।
$\sin^{-1}$ के अंदर का व्यंजक $\frac{\sin \theta}{\sqrt{2}} + \frac{\cos \theta}{\sqrt{2}} = \sin \theta \cos \frac{\pi}{4} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{4} = \sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$ हो जाता है।
अब,व्यंजक $E = \tan \left[\sin ^{-1}\left\{\sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)\right\} - \theta\right]$ बन जाता है।
चूँकि $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$,इसलिए $\frac{\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} \leq \frac{5\pi}{12}$ है।
यह मान $\sin^{-1}$ के मुख्य परिसर में है,अतः $\sin^{-1}(\sin(\theta + \frac{\pi}{4})) = \theta + \frac{\pi}{4}$ होगा।
अतः,$E = \tan \left(\theta + \frac{\pi}{4} - \theta\right) = \tan \frac{\pi}{4} = 1$।
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करें,जहाँ $\theta = \sin^{-1} x$ है।
चूँकि $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$,इसलिए $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$ है।
$\sin^{-1}$ के अंदर का व्यंजक $\frac{\sin \theta}{\sqrt{2}} + \frac{\cos \theta}{\sqrt{2}} = \sin \theta \cos \frac{\pi}{4} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{4} = \sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$ हो जाता है।
अब,व्यंजक $E = \tan \left[\sin ^{-1}\left\{\sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)\right\} - \theta\right]$ बन जाता है।
चूँकि $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$,इसलिए $\frac{\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} \leq \frac{5\pi}{12}$ है।
यह मान $\sin^{-1}$ के मुख्य परिसर में है,अतः $\sin^{-1}(\sin(\theta + \frac{\pi}{4})) = \theta + \frac{\pi}{4}$ होगा।
अतः,$E = \tan \left(\theta + \frac{\pi}{4} - \theta\right) = \tan \frac{\pi}{4} = 1$।
0 likes
View Solution414
MediumMCQ
यदि $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y=\frac{4 \pi}{5}$ है,तो $\cot ^{-1} x+\cot ^{-1} y$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$ \frac{\pi}{5} $
B
$ \frac{2 \pi}{5} $
C
$ \frac{3 \pi}{5} $
D
$ \frac{4 \pi}{5} $
Solution
(A) हमें दिया गया है कि $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y=\frac{4 \pi}{5}$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए $\tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$ होता है।
इसका अर्थ है कि $\tan ^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} x$ और $\tan ^{-1} y=\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} y$ होगा।
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} x) + (\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} y) = \frac{4 \pi}{5}$.
$\pi - (\cot ^{-1} x + \cot ^{-1} y) = \frac{4 \pi}{5}$.
$\cot ^{-1} x + \cot ^{-1} y = \pi - \frac{4 \pi}{5}$.
$\cot ^{-1} x + \cot ^{-1} y = \frac{\pi}{5}$.
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए $\tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$ होता है।
इसका अर्थ है कि $\tan ^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} x$ और $\tan ^{-1} y=\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} y$ होगा।
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} x) + (\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} y) = \frac{4 \pi}{5}$.
$\pi - (\cot ^{-1} x + \cot ^{-1} y) = \frac{4 \pi}{5}$.
$\cot ^{-1} x + \cot ^{-1} y = \pi - \frac{4 \pi}{5}$.
$\cot ^{-1} x + \cot ^{-1} y = \frac{\pi}{5}$.
0 likes
View Solution415
EasyMCQ
यदि $\frac{(x+1)^{2}}{x^{3}+x}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}$ है,तो $\sin^{-1} A + \tan^{-1} B + \sec^{-1} C$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{\pi}{2}$
B
$\frac{\pi}{6}$
C
$0$
D
$\frac{5\pi}{6}$
Solution
(D) दिया गया है,$\frac{(x+1)^{2}}{x^{3}+x} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1} \dots (i)$
दोनों पक्षों को $x(x^{2}+1)$ से गुणा करने पर:
$(x+1)^{2} = A(x^{2}+1) + (Bx+C)x$
$x^{2} + 2x + 1 = Ax^{2} + A + Bx^{2} + Cx$
$x^{2} + 2x + 1 = (A+B)x^{2} + Cx + A$
दोनों पक्षों में $x^{2}$,$x$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A+B = 1$
$C = 2$
$A = 1$
$A=1$ को $A+B=1$ में रखने पर,$1+B=1$,अतः $B=0$ प्राप्त होता है।
अब,$\sin^{-1} A + \tan^{-1} B + \sec^{-1} C$ का मान ज्ञात करते हैं:
$\sin^{-1}(1) + \tan^{-1}(0) + \sec^{-1}(2)$
$= \frac{\pi}{2} + 0 + \frac{\pi}{3}$
$= \frac{3\pi + 2\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$
दोनों पक्षों को $x(x^{2}+1)$ से गुणा करने पर:
$(x+1)^{2} = A(x^{2}+1) + (Bx+C)x$
$x^{2} + 2x + 1 = Ax^{2} + A + Bx^{2} + Cx$
$x^{2} + 2x + 1 = (A+B)x^{2} + Cx + A$
दोनों पक्षों में $x^{2}$,$x$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A+B = 1$
$C = 2$
$A = 1$
$A=1$ को $A+B=1$ में रखने पर,$1+B=1$,अतः $B=0$ प्राप्त होता है।
अब,$\sin^{-1} A + \tan^{-1} B + \sec^{-1} C$ का मान ज्ञात करते हैं:
$\sin^{-1}(1) + \tan^{-1}(0) + \sec^{-1}(2)$
$= \frac{\pi}{2} + 0 + \frac{\pi}{3}$
$= \frac{3\pi + 2\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$
0 likes
View Solution416
EasyMCQ
यदि $\alpha \leq 2 \sin^{-1} x + \cos^{-1} x \leq \beta$ है,तो
A
$\alpha = -\frac{\pi}{2}, \beta = \frac{\pi}{2}$
B
$\alpha = -\frac{\pi}{2}, \beta = \frac{3\pi}{2}$
C
$\alpha = 0, \beta = \pi$
D
$\alpha = 0, \beta = 2\pi$
Solution
(C) दिया गया व्यंजक $f(x) = 2 \sin^{-1} x + \cos^{-1} x$ है।
हम इसे $f(x) = \sin^{-1} x + (\sin^{-1} x + \cos^{-1} x)$ के रूप में लिख सकते हैं।
हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है,इसलिए व्यंजक $f(x) = \sin^{-1} x + \frac{\pi}{2}$ हो जाता है।
$\sin^{-1} x$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
असमानता के सभी भागों में $\frac{\pi}{2}$ जोड़ने पर,हमें $-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \leq \sin^{-1} x + \frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $0 \leq 2 \sin^{-1} x + \cos^{-1} x \leq \pi$ हो जाता है।
इसकी तुलना $\alpha \leq 2 \sin^{-1} x + \cos^{-1} x \leq \beta$ से करने पर,हमें $\alpha = 0$ और $\beta = \pi$ प्राप्त होता है।
हम इसे $f(x) = \sin^{-1} x + (\sin^{-1} x + \cos^{-1} x)$ के रूप में लिख सकते हैं।
हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है,इसलिए व्यंजक $f(x) = \sin^{-1} x + \frac{\pi}{2}$ हो जाता है।
$\sin^{-1} x$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
असमानता के सभी भागों में $\frac{\pi}{2}$ जोड़ने पर,हमें $-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \leq \sin^{-1} x + \frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $0 \leq 2 \sin^{-1} x + \cos^{-1} x \leq \pi$ हो जाता है।
इसकी तुलना $\alpha \leq 2 \sin^{-1} x + \cos^{-1} x \leq \beta$ से करने पर,हमें $\alpha = 0$ और $\beta = \pi$ प्राप्त होता है।
0 likes
View Solution417
MediumMCQ
$\cos \left[\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{7}\right)+\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{7}\right)\right]$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$-\frac{1}{3}$
B
$0$
C
$\frac{1}{3}$
D
$\frac{4}{9}$
Solution
(B) हम जानते हैं कि किसी भी $x \in [-1, 1]$ के लिए,सर्वसमिका $\cos^{-1}(x) + \sin^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ सत्य है।
दी गई अभिव्यक्ति $\cos \left[\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{7}\right)+\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{7}\right)\right]$ है।
$x = -\frac{1}{7}$ को सर्वसमिका में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cos \left[\frac{\pi}{2}\right]$
चूंकि $\cos \frac{\pi}{2} = 0$,इसलिए अभिव्यक्ति का मान $0$ है।
दी गई अभिव्यक्ति $\cos \left[\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{7}\right)+\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{7}\right)\right]$ है।
$x = -\frac{1}{7}$ को सर्वसमिका में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cos \left[\frac{\pi}{2}\right]$
चूंकि $\cos \frac{\pi}{2} = 0$,इसलिए अभिव्यक्ति का मान $0$ है।
0 likes
View Solution418
EasyMCQ
यदि $\cos ^{-1} 2x + \cos ^{-1} 3x = \frac{\pi}{3}$ और $4x^2 = \frac{a}{b}$ है,तो $a + b =$
A
$12$
B
$11$
C
$31$
D
$10$
Solution
(D) दिया गया है: $\cos ^{-1} 2x + \cos ^{-1} 3x = \frac{\pi}{3}$
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर:
$\cos(\cos ^{-1} 2x + \cos ^{-1} 3x) = \cos(\frac{\pi}{3})$
सूत्र $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$(2x)(3x) - \sqrt{1-(2x)^2} \sqrt{1-(3x)^2} = \frac{1}{2}$
$6x^2 - \frac{1}{2} = \sqrt{1-4x^2} \sqrt{1-9x^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(6x^2 - \frac{1}{2})^2 = (1-4x^2)(1-9x^2)$
$36x^4 - 6x^2 + \frac{1}{4} = 1 - 13x^2 + 36x^4$
$7x^2 = \frac{3}{4}$
$x^2 = \frac{3}{28}$
अतः $4x^2 = 4 \times \frac{3}{28} = \frac{3}{7} = \frac{a}{b}$
इस प्रकार,$a = 3$ और $b = 7$ है।
$a + b = 3 + 7 = 10$.
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर:
$\cos(\cos ^{-1} 2x + \cos ^{-1} 3x) = \cos(\frac{\pi}{3})$
सूत्र $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$(2x)(3x) - \sqrt{1-(2x)^2} \sqrt{1-(3x)^2} = \frac{1}{2}$
$6x^2 - \frac{1}{2} = \sqrt{1-4x^2} \sqrt{1-9x^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(6x^2 - \frac{1}{2})^2 = (1-4x^2)(1-9x^2)$
$36x^4 - 6x^2 + \frac{1}{4} = 1 - 13x^2 + 36x^4$
$7x^2 = \frac{3}{4}$
$x^2 = \frac{3}{28}$
अतः $4x^2 = 4 \times \frac{3}{28} = \frac{3}{7} = \frac{a}{b}$
इस प्रकार,$a = 3$ और $b = 7$ है।
$a + b = 3 + 7 = 10$.
0 likes
View Solution419
EasyMCQ
$x$ का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\sin \left(2 \tan ^{-1} \frac{3}{4}\right)=\cos \left(2 \tan ^{-1} x\right)$ है।
A
$7$
B
$\frac{3}{7}$
C
$\frac{1}{7}$
D
$\frac{4}{7}$
Solution
(C) दिया गया समीकरण: $\sin \left(2 \tan ^{-1} \frac{3}{4}\right)=\cos \left(2 \tan ^{-1} x\right)$
सूत्र $\sin(2 \tan^{-1} \theta) = \frac{2\theta}{1+\theta^2}$ और $\cos(2 \tan^{-1} x) = \frac{1-x^2}{1+x^2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \times \frac{3}{4}}{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{1-x^2}{1+x^2}$
$\frac{24}{25} = \frac{1-x^2}{1+x^2}$
$24(1+x^2) = 25(1-x^2)$
$24 + 24x^2 = 25 - 25x^2$
$49x^2 = 1$
$x^2 = \frac{1}{49}$
$x = \frac{1}{7}$
सूत्र $\sin(2 \tan^{-1} \theta) = \frac{2\theta}{1+\theta^2}$ और $\cos(2 \tan^{-1} x) = \frac{1-x^2}{1+x^2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \times \frac{3}{4}}{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{1-x^2}{1+x^2}$
$\frac{24}{25} = \frac{1-x^2}{1+x^2}$
$24(1+x^2) = 25(1-x^2)$
$24 + 24x^2 = 25 - 25x^2$
$49x^2 = 1$
$x^2 = \frac{1}{49}$
$x = \frac{1}{7}$
0 likes
View Solution420
MediumMCQ
$\cosh \left(\sinh ^{-1}(\sqrt{8})+\cosh ^{-1} 5\right)=$
A
$\sqrt{6}+4 \sqrt{2}$
B
$15+8 \sqrt{3}$
C
$6 \sqrt{6}+10 \sqrt{2}$
D
$8-15 \sqrt{3}$
Solution
(B) माना $x = \sinh^{-1}(\sqrt{8})$ और $y = \cosh^{-1}(5)$ है।
तब $\sinh x = \sqrt{8}$,इसलिए $\cosh x = \sqrt{1 + \sinh^2 x} = \sqrt{1 + 8} = 3$ है।
अतः $e^x = \cosh x + \sinh x = 3 + \sqrt{8} = 3 + 2\sqrt{2}$ है।
$y = \cosh^{-1}(5)$ के लिए,$\cosh y = 5$ और $\sinh y = \sqrt{\cosh^2 y - 1} = \sqrt{25 - 1} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ है।
अतः $e^y = \cosh y + \sinh y = 5 + 2\sqrt{6}$ है।
हमें $\cosh(x + y) = \frac{e^{x+y} + e^{-(x+y)}}{2} = \frac{e^x e^y + e^{-x} e^{-y}}{2}$ का मान ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $e^{-x} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = 3 - 2\sqrt{2}$ और $e^{-y} = \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} = 5 - 2\sqrt{6}$ है।
$e^x e^y = (3 + 2\sqrt{2})(5 + 2\sqrt{6}) = 15 + 6\sqrt{6} + 10\sqrt{2} + 8\sqrt{3}$ है।
$e^{-x} e^{-y} = (3 - 2\sqrt{2})(5 - 2\sqrt{6}) = 15 - 6\sqrt{6} - 10\sqrt{2} + 8\sqrt{3}$ है।
$\cosh(x + y) = \frac{(15 + 6\sqrt{6} + 10\sqrt{2} + 8\sqrt{3}) + (15 - 6\sqrt{6} - 10\sqrt{2} + 8\sqrt{3})}{2} = \frac{30 + 16\sqrt{3}}{2} = 15 + 8\sqrt{3}$ है।
तब $\sinh x = \sqrt{8}$,इसलिए $\cosh x = \sqrt{1 + \sinh^2 x} = \sqrt{1 + 8} = 3$ है।
अतः $e^x = \cosh x + \sinh x = 3 + \sqrt{8} = 3 + 2\sqrt{2}$ है।
$y = \cosh^{-1}(5)$ के लिए,$\cosh y = 5$ और $\sinh y = \sqrt{\cosh^2 y - 1} = \sqrt{25 - 1} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ है।
अतः $e^y = \cosh y + \sinh y = 5 + 2\sqrt{6}$ है।
हमें $\cosh(x + y) = \frac{e^{x+y} + e^{-(x+y)}}{2} = \frac{e^x e^y + e^{-x} e^{-y}}{2}$ का मान ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $e^{-x} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = 3 - 2\sqrt{2}$ और $e^{-y} = \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} = 5 - 2\sqrt{6}$ है।
$e^x e^y = (3 + 2\sqrt{2})(5 + 2\sqrt{6}) = 15 + 6\sqrt{6} + 10\sqrt{2} + 8\sqrt{3}$ है।
$e^{-x} e^{-y} = (3 - 2\sqrt{2})(5 - 2\sqrt{6}) = 15 - 6\sqrt{6} - 10\sqrt{2} + 8\sqrt{3}$ है।
$\cosh(x + y) = \frac{(15 + 6\sqrt{6} + 10\sqrt{2} + 8\sqrt{3}) + (15 - 6\sqrt{6} - 10\sqrt{2} + 8\sqrt{3})}{2} = \frac{30 + 16\sqrt{3}}{2} = 15 + 8\sqrt{3}$ है।
0 likes
View Solution421
MediumMCQ
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)}{\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) \tan ^{-1}\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)}$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{1}{2}$
B
$\frac{1}{3}$
C
$\frac{1}{4}$
D
$\frac{1}{6}$
Solution
(B) दिया गया सीमा (limit) है: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)}{\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) \tan ^{-1}\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)}$.
चूंकि $x \rightarrow 0^{+}$,हम निम्नलिखित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं:
$2 \tan ^{-1} x = \sin ^{-1} \left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) = \cos ^{-1} \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$
$3 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)$
इन मानों को सीमा व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x \cdot (2 \tan ^{-1} x)}{(2 \tan ^{-1} x) \cdot (3 \tan ^{-1} x)} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{3 \tan ^{-1} x}$.
मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan ^{-1} x}{x} = 1$ का उपयोग करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{3 \left(\frac{\tan ^{-1} x}{x}\right)} = \frac{1}{3 \times 1} = \frac{1}{3}$.
चूंकि $x \rightarrow 0^{+}$,हम निम्नलिखित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं:
$2 \tan ^{-1} x = \sin ^{-1} \left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) = \cos ^{-1} \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$
$3 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)$
इन मानों को सीमा व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x \cdot (2 \tan ^{-1} x)}{(2 \tan ^{-1} x) \cdot (3 \tan ^{-1} x)} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{3 \tan ^{-1} x}$.
मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan ^{-1} x}{x} = 1$ का उपयोग करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{3 \left(\frac{\tan ^{-1} x}{x}\right)} = \frac{1}{3 \times 1} = \frac{1}{3}$.
0 likes
View Solution422
EasyMCQ
$\triangle ABC$ में,यदि $\angle A = 90^{\circ}$ है,तो $\cos^{-1}\left(\frac{R}{r_2+r_3}\right)$ का मान क्या होगा ($^{\circ}$ में)?
A
$90$
B
$30$
C
$60$
D
$45$
Solution
(C) दिया है,$\angle A = 90^{\circ}$.
$\triangle ABC$ में,हम जानते हैं कि $r_2 + r_3 = 4R \cos^2 \frac{A}{2}$.
$\angle A = 90^{\circ}$ रखने पर:
$r_2 + r_3 = 4R \cos^2 \left(\frac{90^{\circ}}{2}\right) = 4R \cos^2 45^{\circ}$.
चूंकि $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$.
अतः,$r_2 + r_3 = 4R \times \frac{1}{2} = 2R$.
अब,व्यंजक की गणना करने पर:
$\cos^{-1}\left(\frac{R}{r_2+r_3}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{R}{2R}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^{\circ}$.
$\triangle ABC$ में,हम जानते हैं कि $r_2 + r_3 = 4R \cos^2 \frac{A}{2}$.
$\angle A = 90^{\circ}$ रखने पर:
$r_2 + r_3 = 4R \cos^2 \left(\frac{90^{\circ}}{2}\right) = 4R \cos^2 45^{\circ}$.
चूंकि $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$.
अतः,$r_2 + r_3 = 4R \times \frac{1}{2} = 2R$.
अब,व्यंजक की गणना करने पर:
$\cos^{-1}\left(\frac{R}{r_2+r_3}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{R}{2R}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^{\circ}$.
0 likes
View Solution423
EasyMCQ
$\tan ^{-1} 2 + \tan ^{-1} 3 = $
A
$-\frac{\pi}{4}$
B
$\frac{\pi}{4}$
C
$\frac{3 \pi}{4}$
D
$\frac{5 \pi}{4}$
Solution
(C) हम $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y$ के सूत्र का उपयोग करते हैं। चूंकि $x \times y = 2 \times 3 = 6 > 1$,इसलिए सूत्र है: $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$.
मान रखने पर: $\tan ^{-1} 2 + \tan ^{-1} 3 = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{2+3}{1-(2 \times 3)} \right)$.
$= \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{5}{1-6} \right) = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{5}{-5} \right)$.
$= \pi + \tan ^{-1}(-1)$.
चूंकि $\tan ^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है: $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$.
मान रखने पर: $\tan ^{-1} 2 + \tan ^{-1} 3 = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{2+3}{1-(2 \times 3)} \right)$.
$= \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{5}{1-6} \right) = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{5}{-5} \right)$.
$= \pi + \tan ^{-1}(-1)$.
चूंकि $\tan ^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है: $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$.
0 likes
View Solution424
MediumMCQ
समीकरण $2 \operatorname{Cos}^{-1} x + \operatorname{Sin}^{-1} x = \frac{11 \pi}{6}$ के हलों की संख्या है
A
$0$
B
$1$
C
$2$
D
$3$
Solution
(A) हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए $\operatorname{Sin}^{-1} x + \operatorname{Cos}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
दिया गया समीकरण: $2 \operatorname{Cos}^{-1} x + \operatorname{Sin}^{-1} x = \frac{11 \pi}{6}$।
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $\operatorname{Cos}^{-1} x + (\operatorname{Cos}^{-1} x + \operatorname{Sin}^{-1} x) = \frac{11 \pi}{6}$।
सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $\operatorname{Cos}^{-1} x + \frac{\pi}{2} = \frac{11 \pi}{6}$।
$\operatorname{Cos}^{-1} x = \frac{11 \pi}{6} - \frac{\pi}{2} = \frac{11 \pi - 3 \pi}{6} = \frac{8 \pi}{6} = \frac{4 \pi}{3}$।
हालाँकि,$\operatorname{Cos}^{-1} x$ का परिसर $[0, \pi]$ होता है।
चूंकि $\frac{4 \pi}{3} > \pi$,इसलिए $x$ का ऐसा कोई मान नहीं है जो इस समीकरण को संतुष्ट करे।
अतः,हलों की संख्या $0$ है।
दिया गया समीकरण: $2 \operatorname{Cos}^{-1} x + \operatorname{Sin}^{-1} x = \frac{11 \pi}{6}$।
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $\operatorname{Cos}^{-1} x + (\operatorname{Cos}^{-1} x + \operatorname{Sin}^{-1} x) = \frac{11 \pi}{6}$।
सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $\operatorname{Cos}^{-1} x + \frac{\pi}{2} = \frac{11 \pi}{6}$।
$\operatorname{Cos}^{-1} x = \frac{11 \pi}{6} - \frac{\pi}{2} = \frac{11 \pi - 3 \pi}{6} = \frac{8 \pi}{6} = \frac{4 \pi}{3}$।
हालाँकि,$\operatorname{Cos}^{-1} x$ का परिसर $[0, \pi]$ होता है।
चूंकि $\frac{4 \pi}{3} > \pi$,इसलिए $x$ का ऐसा कोई मान नहीं है जो इस समीकरण को संतुष्ट करे।
अतः,हलों की संख्या $0$ है।
0 likes
View Solution425
MediumMCQ
यदि $\sec ^{-1} \frac{x}{a}-\sec ^{-1} \frac{x}{b}=\sec ^{-1} b-\sec ^{-1} a$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$a b$
B
$-a b$
C
$a^2$
D
$b^2$
Solution
(A) दिया है: $\sec ^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)-\sec ^{-1} \left(\frac{x}{b}\right)=\sec ^{-1} b-\sec ^{-1} a$
$\sec ^{-1} z = \cos ^{-1} \left(\frac{1}{z}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\cos ^{-1} \left(\frac{a}{x}\right)-\cos ^{-1} \left(\frac{b}{x}\right)=\cos ^{-1} \left(\frac{1}{b}\right)-\cos ^{-1} \left(\frac{1}{a}\right)$
सूत्र $\cos ^{-1} u - \cos ^{-1} v = \cos ^{-1} \left(uv + \sqrt{1-u^2}\sqrt{1-v^2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{a b}{x^2} + \sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}\sqrt{1-\frac{b^2}{x^2}} = \frac{1}{a b} + \sqrt{1-\frac{1}{b^2}}\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}$
$\frac{a b}{x^2} + \frac{\sqrt{(x^2-a^2)(x^2-b^2)}}{x^2} = \frac{1}{a b} + \frac{\sqrt{(b^2-1)(a^2-1)}}{a b}$
दोनों पक्षों को $x^2 ab$ से गुणा करने पर:
$a^2 b^2 + ab\sqrt{(x^2-a^2)(x^2-b^2)} = x^2 + x^2\sqrt{(a^2-1)(b^2-1)}$
$ab\sqrt{(x^2-a^2)(x^2-b^2)} - x^2\sqrt{(a^2-1)(b^2-1)} = x^2 - a^2 b^2$
समीकरण को संतुष्ट करने के लिए,$x^2 - a^2 b^2 = 0$ रखने पर,$x^2 = a^2 b^2$,अतः $x = ab$।
$\sec ^{-1} z = \cos ^{-1} \left(\frac{1}{z}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\cos ^{-1} \left(\frac{a}{x}\right)-\cos ^{-1} \left(\frac{b}{x}\right)=\cos ^{-1} \left(\frac{1}{b}\right)-\cos ^{-1} \left(\frac{1}{a}\right)$
सूत्र $\cos ^{-1} u - \cos ^{-1} v = \cos ^{-1} \left(uv + \sqrt{1-u^2}\sqrt{1-v^2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{a b}{x^2} + \sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}\sqrt{1-\frac{b^2}{x^2}} = \frac{1}{a b} + \sqrt{1-\frac{1}{b^2}}\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}$
$\frac{a b}{x^2} + \frac{\sqrt{(x^2-a^2)(x^2-b^2)}}{x^2} = \frac{1}{a b} + \frac{\sqrt{(b^2-1)(a^2-1)}}{a b}$
दोनों पक्षों को $x^2 ab$ से गुणा करने पर:
$a^2 b^2 + ab\sqrt{(x^2-a^2)(x^2-b^2)} = x^2 + x^2\sqrt{(a^2-1)(b^2-1)}$
$ab\sqrt{(x^2-a^2)(x^2-b^2)} - x^2\sqrt{(a^2-1)(b^2-1)} = x^2 - a^2 b^2$
समीकरण को संतुष्ट करने के लिए,$x^2 - a^2 b^2 = 0$ रखने पर,$x^2 = a^2 b^2$,अतः $x = ab$।
0 likes
View Solution426
MediumMCQ
$\cot \left[\sum_{n=3}^{32} \cot ^{-1}\left(1+\sum_{k=1}^n 2 k\right)\right]=$
A
$\frac{10}{3}$
B
$\frac{8}{3}$
C
$\frac{14}{3}$
D
$\frac{16}{3}$
Solution
(A) हम जानते हैं कि $\sum_{k=1}^n 2k = 2 \times \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\cot \left[\sum_{n=3}^{32} \cot ^{-1}(1+n(n+1))\right]$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(\frac{1}{x})$ का उपयोग करते हुए,$\cot^{-1}(1+n(n+1)) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1+n(n+1)}\right)$ होता है।
चूंकि $\frac{1}{1+n(n+1)} = \frac{(n+1)-n}{1+(n+1)n}$,हम इसे $\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,योग $\sum_{n=3}^{32} [\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n)]$ बन जाता है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $(\tan^{-1} 4 - \tan^{-1} 3) + (\tan^{-1} 5 - \tan^{-1} 4) + \dots + (\tan^{-1} 33 - \tan^{-1} 32)$.
पदों के कटने के बाद,हमारे पास $\tan^{-1} 33 - \tan^{-1} 3$ शेष रहता है।
सूत्र $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करते हुए,$\tan^{-1}\left(\frac{33-3}{1+33 \times 3}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{30}{100}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{3}{10}\right)$ प्राप्त होता है।
अंत में,हमें $\cot(\tan^{-1}(\frac{3}{10}))$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\cot(\tan^{-1}(x)) = \frac{1}{x}$,इसलिए $\cot(\tan^{-1}(\frac{3}{10})) = \frac{10}{3}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\cot \left[\sum_{n=3}^{32} \cot ^{-1}(1+n(n+1))\right]$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(\frac{1}{x})$ का उपयोग करते हुए,$\cot^{-1}(1+n(n+1)) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1+n(n+1)}\right)$ होता है।
चूंकि $\frac{1}{1+n(n+1)} = \frac{(n+1)-n}{1+(n+1)n}$,हम इसे $\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,योग $\sum_{n=3}^{32} [\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n)]$ बन जाता है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $(\tan^{-1} 4 - \tan^{-1} 3) + (\tan^{-1} 5 - \tan^{-1} 4) + \dots + (\tan^{-1} 33 - \tan^{-1} 32)$.
पदों के कटने के बाद,हमारे पास $\tan^{-1} 33 - \tan^{-1} 3$ शेष रहता है।
सूत्र $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करते हुए,$\tan^{-1}\left(\frac{33-3}{1+33 \times 3}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{30}{100}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{3}{10}\right)$ प्राप्त होता है।
अंत में,हमें $\cot(\tan^{-1}(\frac{3}{10}))$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\cot(\tan^{-1}(x)) = \frac{1}{x}$,इसलिए $\cot(\tan^{-1}(\frac{3}{10})) = \frac{10}{3}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।
0 likes
View Solution427
MediumMCQ
यदि $\theta = \sec^{-1}(\cosh u)$ है,तो $u =$
A
$\log_e\left(\cot \left(\frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\right)$
B
$\log_e\left(\tan \left(\frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\right)$
C
$\log_e\left(\tan \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)\right)$
D
$\log_e\left(\tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right)\right)$
Solution
(D) दिया गया है $\theta = \sec^{-1}(\cosh u)$,इसलिए $\sec \theta = \cosh u$ है।
प्रतिलोम हाइपरबोलिक कोसाइन फलन की परिभाषा के अनुसार,$u = \cosh^{-1}(\sec \theta) = \log_e(\sec \theta + \sqrt{\sec^2 \theta - 1})$ है।
चूंकि $\sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \tan \theta$,हमें $u = \log_e(\sec \theta + \tan \theta)$ प्राप्त होता है।
इसे साइन और कोसाइन के रूप में लिखने पर: $u = \log_e\left(\frac{1}{\cos \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right) = \log_e\left(\frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta}\right)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$1 + \sin \theta = (\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2})^2$ और $\cos \theta = \cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2} = (\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})(\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2})$ होता है।
अतः,$\frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2}} = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2})$।
इस प्रकार,$u = \log_e(\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}))$ प्राप्त होता है।
प्रतिलोम हाइपरबोलिक कोसाइन फलन की परिभाषा के अनुसार,$u = \cosh^{-1}(\sec \theta) = \log_e(\sec \theta + \sqrt{\sec^2 \theta - 1})$ है।
चूंकि $\sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \tan \theta$,हमें $u = \log_e(\sec \theta + \tan \theta)$ प्राप्त होता है।
इसे साइन और कोसाइन के रूप में लिखने पर: $u = \log_e\left(\frac{1}{\cos \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right) = \log_e\left(\frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta}\right)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$1 + \sin \theta = (\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2})^2$ और $\cos \theta = \cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2} = (\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})(\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2})$ होता है।
अतः,$\frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2}} = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2})$।
इस प्रकार,$u = \log_e(\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}))$ प्राप्त होता है।
0 likes
View Solution428
DifficultMCQ
$\sin ^{-1} \frac{12}{13}+\cos ^{-1} \frac{4}{5}+\tan ^{-1} \frac{63}{16}$ का मान क्या है?
A
$\pi$
B
$\frac{\pi}{2}$
C
$\frac{\pi}{6}$
D
$\frac{3\pi}{4}$
Solution
(A) माना $x = \sin ^{-1} \frac{12}{13} + \cos ^{-1} \frac{4}{5} + \tan ^{-1} \frac{63}{16}$.
सभी पदों को $\tan ^{-1}$ रूप में परिवर्तित करें:
$\sin ^{-1} \frac{12}{13} = \tan ^{-1} \frac{12}{5}$ (चूंकि $\sin \theta = \frac{12}{13} \implies \tan \theta = \frac{12}{5}$)
$\cos ^{-1} \frac{4}{5} = \tan ^{-1} \frac{3}{4}$ (चूंकि $\cos \theta = \frac{4}{5} \implies \tan \theta = \frac{3}{4}$)
अब,व्यंजक $\tan ^{-1} \frac{12}{5} + \tan ^{-1} \frac{3}{4} + \tan ^{-1} \frac{63}{16}$ हो जाता है।
$\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \frac{x+y}{1-xy}$ का उपयोग करते हुए:
$\tan ^{-1} \frac{12}{5} + \tan ^{-1} \frac{3}{4} = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{12}{5} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{12}{5} \cdot \frac{3}{4}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{48+15}{20}}{1 - \frac{36}{20}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{63/20}{-16/20} \right) = \tan ^{-1} \left( -\frac{63}{16} \right) = \pi - \tan ^{-1} \frac{63}{16}$ (चूंकि गुणनफल $xy > 1$ है)।
अतः,$(\pi - \tan ^{-1} \frac{63}{16}) + \tan ^{-1} \frac{63}{16} = \pi$.
सभी पदों को $\tan ^{-1}$ रूप में परिवर्तित करें:
$\sin ^{-1} \frac{12}{13} = \tan ^{-1} \frac{12}{5}$ (चूंकि $\sin \theta = \frac{12}{13} \implies \tan \theta = \frac{12}{5}$)
$\cos ^{-1} \frac{4}{5} = \tan ^{-1} \frac{3}{4}$ (चूंकि $\cos \theta = \frac{4}{5} \implies \tan \theta = \frac{3}{4}$)
अब,व्यंजक $\tan ^{-1} \frac{12}{5} + \tan ^{-1} \frac{3}{4} + \tan ^{-1} \frac{63}{16}$ हो जाता है।
$\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \frac{x+y}{1-xy}$ का उपयोग करते हुए:
$\tan ^{-1} \frac{12}{5} + \tan ^{-1} \frac{3}{4} = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{12}{5} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{12}{5} \cdot \frac{3}{4}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{48+15}{20}}{1 - \frac{36}{20}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{63/20}{-16/20} \right) = \tan ^{-1} \left( -\frac{63}{16} \right) = \pi - \tan ^{-1} \frac{63}{16}$ (चूंकि गुणनफल $xy > 1$ है)।
अतः,$(\pi - \tan ^{-1} \frac{63}{16}) + \tan ^{-1} \frac{63}{16} = \pi$.
0 likes
View Solution429
DifficultMCQ
$\begin{aligned} & \text{यदि } \cot \left(\cos ^{-1} x\right)=\sec \left\{\tan ^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}\right)\right\} \\ & b>a, \text{ तो } x= \end{aligned}$
A
$\frac{b}{\sqrt{2 b^2-a^2}}$
B
$\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{a b}$
C
$\frac{a}{\sqrt{2 b^2-a^2}}$
D
$\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{a}$
Solution
(A) दिया गया है,$\cot \left(\cos ^{-1} x\right)=\sec \left\{\tan ^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}\right)\right\}$.
चूंकि $\cos ^{-1} x = \cot ^{-1} \left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)$ और $\tan ^{-1} \theta = \sec ^{-1} \left(\sqrt{1+\theta^2}\right)$,इसलिए:
$\cot \left(\cot ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \sec \left\{\sec ^{-1} \sqrt{1+\left(\frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}\right)^2}\right\}$
$\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \sqrt{1+\frac{a^2}{b^2-a^2}} = \sqrt{\frac{b^2-a^2+a^2}{b^2-a^2}} = \frac{b}{\sqrt{b^2-a^2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x^2}{1-x^2} = \frac{b^2}{b^2-a^2}$
$x^2(b^2-a^2) = b^2(1-x^2)$
$x^2 b^2 - x^2 a^2 = b^2 - x^2 b^2$
$2 x^2 b^2 - x^2 a^2 = b^2$
$x^2(2 b^2 - a^2) = b^2$
$x^2 = \frac{b^2}{2 b^2 - a^2}$
$x = \frac{b}{\sqrt{2 b^2 - a^2}}$.
चूंकि $\cos ^{-1} x = \cot ^{-1} \left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)$ और $\tan ^{-1} \theta = \sec ^{-1} \left(\sqrt{1+\theta^2}\right)$,इसलिए:
$\cot \left(\cot ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \sec \left\{\sec ^{-1} \sqrt{1+\left(\frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}\right)^2}\right\}$
$\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \sqrt{1+\frac{a^2}{b^2-a^2}} = \sqrt{\frac{b^2-a^2+a^2}{b^2-a^2}} = \frac{b}{\sqrt{b^2-a^2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x^2}{1-x^2} = \frac{b^2}{b^2-a^2}$
$x^2(b^2-a^2) = b^2(1-x^2)$
$x^2 b^2 - x^2 a^2 = b^2 - x^2 b^2$
$2 x^2 b^2 - x^2 a^2 = b^2$
$x^2(2 b^2 - a^2) = b^2$
$x^2 = \frac{b^2}{2 b^2 - a^2}$
$x = \frac{b}{\sqrt{2 b^2 - a^2}}$.
0 likes
View Solution430
MediumMCQ
निम्नलिखित कथनों पर विचार करें।
$I$. $\sin ^{-1}(y^2-4y+6)+\cos ^{-1}(y^2-4y+6) = \frac{\pi}{2}, \forall y \in R$
$II$. $\sec ^{-1}(y^2-4y+6)+\operatorname{cosec}^{-1}(y^2-4y+6) = \frac{\pi}{2}, \forall y \in R$
उपरोक्त में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$I$. $\sin ^{-1}(y^2-4y+6)+\cos ^{-1}(y^2-4y+6) = \frac{\pi}{2}, \forall y \in R$
$II$. $\sec ^{-1}(y^2-4y+6)+\operatorname{cosec}^{-1}(y^2-4y+6) = \frac{\pi}{2}, \forall y \in R$
उपरोक्त में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
A
केवल $I$
B
केवल $II$
C
$I$ और $II$ दोनों
D
न तो $I$ और न ही $II$
Solution
(B) माना $f(y) = y^2-4y+6 = (y-2)^2+2$ है। चूँकि $(y-2)^2 \geq 0$,इसलिए सभी $y \in R$ के लिए $f(y) \geq 2$ है।
कथन $I$ के लिए: सर्वसमिका $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ केवल तभी सत्य है जब $x \in [-1, 1]$ हो। यहाँ,$f(y) \geq 2$ है,इसलिए $f(y)$ कभी भी $[-1, 1]$ में नहीं हो सकता। अतः,कथन $I$ असत्य है।
कथन $II$ के लिए: सर्वसमिका $\sec^{-1}(x) + \operatorname{cosec}^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ केवल तभी सत्य है जब $|x| \geq 1$ हो। चूँकि $f(y) \geq 2$ है,इसलिए सभी $y \in R$ के लिए $|f(y)| \geq 1$ की शर्त संतुष्ट होती है। अतः,कथन $II$ सत्य है।
कथन $I$ के लिए: सर्वसमिका $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ केवल तभी सत्य है जब $x \in [-1, 1]$ हो। यहाँ,$f(y) \geq 2$ है,इसलिए $f(y)$ कभी भी $[-1, 1]$ में नहीं हो सकता। अतः,कथन $I$ असत्य है।
कथन $II$ के लिए: सर्वसमिका $\sec^{-1}(x) + \operatorname{cosec}^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ केवल तभी सत्य है जब $|x| \geq 1$ हो। चूँकि $f(y) \geq 2$ है,इसलिए सभी $y \in R$ के लिए $|f(y)| \geq 1$ की शर्त संतुष्ट होती है। अतः,कथन $II$ सत्य है।
0 likes
View Solution431
MediumMCQ
यदि $\sin ^{-1}\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{4}-\ldots \infty\right) + \cos ^{-1}\left(x^2-\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{4}-\ldots \infty\right)=\frac{\pi}{2}$ और $0 < x < \sqrt{2}$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$1/2$
B
$1$
C
$-1/2$
D
$-1$
Solution
(B) दिया गया समीकरण $\sin ^{-1}\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{4}-\ldots \infty\right) + \cos ^{-1}\left(x^2-\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{4}-\ldots \infty\right)=\frac{\pi}{2}$ है।
दोनों श्रेणियाँ अनंत गुणोत्तर श्रेणियाँ हैं जिनका सार्व अनुपात क्रमशः $-x/2$ और $-x^2/2$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।
पहली श्रेणी के लिए,$a=x$ और $r=-x/2$,इसलिए योग $\frac{x}{1-(-x/2)} = \frac{2x}{2+x}$ है।
इसी प्रकार,दूसरी श्रेणी $x^2 - x^4/2 + x^6/4 - \dots$ के लिए,$a=x^2$ और $r=-x^2/2$ है। इसलिए योग $\frac{x^2}{1-(-x^2/2)} = \frac{2x^2}{2+x^2}$ है।
गुणधर्म $\sin ^{-1}(u) + \cos ^{-1}(v) = \pi/2$ का उपयोग करते हुए,$u=v$ होना चाहिए।
अतः,$\frac{2x}{2+x} = \frac{2x^2}{2+x^2}$।
चूंकि $x \neq 0$,$2x$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{2+x} = \frac{x}{2+x^2}$।
$2+x^2 = x(2+x) \implies 2+x^2 = 2x+x^2$।
$2x = 2 \implies x=1$।
दोनों श्रेणियाँ अनंत गुणोत्तर श्रेणियाँ हैं जिनका सार्व अनुपात क्रमशः $-x/2$ और $-x^2/2$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।
पहली श्रेणी के लिए,$a=x$ और $r=-x/2$,इसलिए योग $\frac{x}{1-(-x/2)} = \frac{2x}{2+x}$ है।
इसी प्रकार,दूसरी श्रेणी $x^2 - x^4/2 + x^6/4 - \dots$ के लिए,$a=x^2$ और $r=-x^2/2$ है। इसलिए योग $\frac{x^2}{1-(-x^2/2)} = \frac{2x^2}{2+x^2}$ है।
गुणधर्म $\sin ^{-1}(u) + \cos ^{-1}(v) = \pi/2$ का उपयोग करते हुए,$u=v$ होना चाहिए।
अतः,$\frac{2x}{2+x} = \frac{2x^2}{2+x^2}$।
चूंकि $x \neq 0$,$2x$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{2+x} = \frac{x}{2+x^2}$।
$2+x^2 = x(2+x) \implies 2+x^2 = 2x+x^2$।
$2x = 2 \implies x=1$।
0 likes
View Solution432
MediumMCQ
$\operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\sqrt{8-2 \sqrt{15}}}{\sqrt{15}+1} \right) + \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) =$
A
$\frac{\pi}{6}$
B
$\frac{\pi}{4}$
C
$\frac{\pi}{3}$
D
$\frac{\pi}{2}$
Solution
(A) माना कि $x = \frac{\sqrt{8-2 \sqrt{15}}}{\sqrt{15}+1}$.
ध्यान दें कि $8-2 \sqrt{15} = (\sqrt{5}-\sqrt{3})^2$,इसलिए $\sqrt{8-2 \sqrt{15}} = \sqrt{5}-\sqrt{3}$.
अतः,$x = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $x = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{5-3} = \frac{5+3-2 \sqrt{15}}{2} = \frac{8-2 \sqrt{15}}{2} = 4-\sqrt{15}$.
हम जानते हैं कि $\operatorname{Tan}^{-1}(4-\sqrt{15}) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \right) - \operatorname{Tan}^{-1}(1) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \sqrt{\frac{5}{3}} \right) - \frac{\pi}{4}$.
वैकल्पिक रूप से,$\operatorname{Tan}^{-1} x + \operatorname{Tan}^{-1} y = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{6}$ में सरल हो जाता है।
ध्यान दें कि $8-2 \sqrt{15} = (\sqrt{5}-\sqrt{3})^2$,इसलिए $\sqrt{8-2 \sqrt{15}} = \sqrt{5}-\sqrt{3}$.
अतः,$x = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $x = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{5-3} = \frac{5+3-2 \sqrt{15}}{2} = \frac{8-2 \sqrt{15}}{2} = 4-\sqrt{15}$.
हम जानते हैं कि $\operatorname{Tan}^{-1}(4-\sqrt{15}) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \right) - \operatorname{Tan}^{-1}(1) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \sqrt{\frac{5}{3}} \right) - \frac{\pi}{4}$.
वैकल्पिक रूप से,$\operatorname{Tan}^{-1} x + \operatorname{Tan}^{-1} y = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{6}$ में सरल हो जाता है।
0 likes
View Solution433
MediumMCQ
यदि $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{13}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{21}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{31}\right)$,तो $\tan \theta =$
A
$\frac{3}{5}$
B
$1$
C
$\frac{5}{7}$
D
$\frac{7}{9}$
Solution
(C) हम जानते हैं कि $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$।
प्रत्येक पद को $\tan^{-1}\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}\right) = \tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
दिए गए पदों पर इसे लागू करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)$
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right) = \tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(2)$
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{13}\right) = \tan^{-1}(4) - \tan^{-1}(3)$
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{21}\right) = \tan^{-1}(5) - \tan^{-1}(4)$
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{31}\right) = \tan^{-1}(6) - \tan^{-1}(5)$
इनका योग करने पर,हमें एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी प्राप्त होती है:
$\theta = (\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)) + (\tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(2)) + (\tan^{-1}(4) - \tan^{-1}(3)) + (\tan^{-1}(5) - \tan^{-1}(4)) + (\tan^{-1}(6) - \tan^{-1}(5))$
$\theta = \tan^{-1}(6) - \tan^{-1}(1)$
सूत्र $\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{6-1}{1+6 \times 1}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{5}{7}\right)$
अतः,$\tan \theta = \frac{5}{7}$।
प्रत्येक पद को $\tan^{-1}\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}\right) = \tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
दिए गए पदों पर इसे लागू करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)$
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right) = \tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(2)$
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{13}\right) = \tan^{-1}(4) - \tan^{-1}(3)$
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{21}\right) = \tan^{-1}(5) - \tan^{-1}(4)$
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{31}\right) = \tan^{-1}(6) - \tan^{-1}(5)$
इनका योग करने पर,हमें एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी प्राप्त होती है:
$\theta = (\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)) + (\tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(2)) + (\tan^{-1}(4) - \tan^{-1}(3)) + (\tan^{-1}(5) - \tan^{-1}(4)) + (\tan^{-1}(6) - \tan^{-1}(5))$
$\theta = \tan^{-1}(6) - \tan^{-1}(1)$
सूत्र $\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{6-1}{1+6 \times 1}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{5}{7}\right)$
अतः,$\tan \theta = \frac{5}{7}$।
0 likes
View Solution434
MediumMCQ
$\tan \left(2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)+\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\right) = $
A
$1$
B
$\frac{1}{\sqrt{3}}$
C
$\sqrt{3}$
D
$3/7$
Solution
(A) हम सूत्र $2 \tan^{-1}(x) = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ का उपयोग करते हैं।
$x = \frac{1}{3}$ के लिए,$2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2(1/3)}{1-(1/3)^2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2/3}{1-1/9}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2/3}{8/9}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2}{3} \times \frac{9}{8}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$।
अब,व्यंजक $\tan \left(\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\right)$ बन जाता है।
सूत्र $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan^{-1}\left(\frac{3/4 + 1/7}{1 - (3/4)(1/7)}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{(21+4)/28}{1 - 3/28}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{25/28}{25/28}\right) = \tan^{-1}(1)$।
अंत में,$\tan(\tan^{-1}(1)) = 1$।
$x = \frac{1}{3}$ के लिए,$2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2(1/3)}{1-(1/3)^2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2/3}{1-1/9}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2/3}{8/9}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2}{3} \times \frac{9}{8}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$।
अब,व्यंजक $\tan \left(\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\right)$ बन जाता है।
सूत्र $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan^{-1}\left(\frac{3/4 + 1/7}{1 - (3/4)(1/7)}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{(21+4)/28}{1 - 3/28}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{25/28}{25/28}\right) = \tan^{-1}(1)$।
अंत में,$\tan(\tan^{-1}(1)) = 1$।
0 likes
View Solution435
MediumMCQ
$4 \tan ^{-1} \frac{1}{5}-\tan ^{-1} \frac{1}{70}+\tan ^{-1} \frac{1}{99}=$
A
$\frac{\pi}{12}$
B
$\frac{\pi}{6}$
C
$\frac{\pi}{4}$
D
$\frac{\pi}{3}$
Solution
(C) हम सूत्र $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$2 \tan ^{-1} \frac{1}{5} = \tan ^{-1} \left( \frac{2/5}{1-1/25} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{2/5}{24/25} \right) = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$ की गणना करें।
फिर,$4 \tan ^{-1} \frac{1}{5} = 2 \tan ^{-1} \frac{5}{12} = \tan ^{-1} \left( \frac{2(5/12)}{1-(5/12)^2} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{5/6}{1-25/144} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{5/6}{119/144} \right) = \tan ^{-1} \frac{120}{119}$।
अब,$-\tan ^{-1} \frac{1}{70} + \tan ^{-1} \frac{1}{99} = \tan ^{-1} \left( \frac{1/99 - 1/70}{1 + (1/99)(1/70)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{(70-99)/6930}{(6930+1)/6930} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{-29}{6931} \right) = -\tan ^{-1} \frac{1}{239}$।
अंत में,$\tan ^{-1} \frac{120}{119} - \tan ^{-1} \frac{1}{239} = \tan ^{-1} \left( \frac{120/119 - 1/239}{1 + (120/119)(1/239)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{(28680-119)/(119 \times 239)}{(28441+120)/(119 \times 239)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{28561}{28561} \right) = \tan ^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}$।
सबसे पहले,$2 \tan ^{-1} \frac{1}{5} = \tan ^{-1} \left( \frac{2/5}{1-1/25} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{2/5}{24/25} \right) = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$ की गणना करें।
फिर,$4 \tan ^{-1} \frac{1}{5} = 2 \tan ^{-1} \frac{5}{12} = \tan ^{-1} \left( \frac{2(5/12)}{1-(5/12)^2} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{5/6}{1-25/144} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{5/6}{119/144} \right) = \tan ^{-1} \frac{120}{119}$।
अब,$-\tan ^{-1} \frac{1}{70} + \tan ^{-1} \frac{1}{99} = \tan ^{-1} \left( \frac{1/99 - 1/70}{1 + (1/99)(1/70)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{(70-99)/6930}{(6930+1)/6930} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{-29}{6931} \right) = -\tan ^{-1} \frac{1}{239}$।
अंत में,$\tan ^{-1} \frac{120}{119} - \tan ^{-1} \frac{1}{239} = \tan ^{-1} \left( \frac{120/119 - 1/239}{1 + (120/119)(1/239)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{(28680-119)/(119 \times 239)}{(28441+120)/(119 \times 239)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{28561}{28561} \right) = \tan ^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}$।
0 likes
View Solution436
EasyMCQ
समीकरण $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} 2 x=\frac{\pi}{4}$ को संतुष्ट करने वाला $x$ का वास्तविक मान है
A
$\frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$
B
$-1 \pm \sqrt{3}$
C
$\sqrt{3}-1$
D
$\frac{\sqrt{17}-3}{4}$
Solution
(D) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} 2 x=\frac{\pi}{4}$
सर्वसमिका $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{x+2x}{1-x(2x)} \right) = \frac{\pi}{4}$
$\frac{3x}{1-2x^2} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right)$
$\frac{3x}{1-2x^2} = 1$
$3x = 1 - 2x^2$
$2x^2 + 3x - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$
चूंकि $x$ धनात्मक होना चाहिए ताकि $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} 2x = \frac{\pi}{4}$ हो सके,इसलिए हम ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करते हैं।
अतः,$x = \frac{\sqrt{17}-3}{4}$.
सर्वसमिका $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{x+2x}{1-x(2x)} \right) = \frac{\pi}{4}$
$\frac{3x}{1-2x^2} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right)$
$\frac{3x}{1-2x^2} = 1$
$3x = 1 - 2x^2$
$2x^2 + 3x - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$
चूंकि $x$ धनात्मक होना चाहिए ताकि $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} 2x = \frac{\pi}{4}$ हो सके,इसलिए हम ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करते हैं।
अतः,$x = \frac{\sqrt{17}-3}{4}$.
0 likes
View Solution437
MediumMCQ
यदि $0 < x < \frac{1}{2}$ और $\alpha = \sin^{-1} x + \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3 - 3 x^2}}{2} \right)$ है,तो $\tan \alpha + \cot \alpha =$
A
$\frac{4}{\sqrt{3}}$
B
$4 \sqrt{3}$
C
$\frac{4 x}{1 - x^2}$
D
$x \sqrt{1 - x^2}$
Solution
(A) दिया गया है कि $\alpha = \sin^{-1} x + \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - x^2} \right)$,जहाँ $0 < x < \frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए $x = \sin \theta$ है। चूँकि $0 < x < \frac{1}{2}$ है,इसलिए $0 < \theta < \frac{\pi}{6}$ है।
अतः $\sqrt{1 - x^2} = \cos \theta$ होगा।
इन मानों को $\alpha$ के समीकरण में रखने पर:
$\alpha = \sin^{-1}(\sin \theta) + \cos^{-1} \left( \frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \right)$.
सर्वसमिका $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta = \sin \frac{\pi}{6} \sin \theta + \cos \frac{\pi}{6} \cos \theta = \cos \left( \theta - \frac{\pi}{6} \right)$.
चूँकि $0 < \theta < \frac{\pi}{6}$ है,इसलिए $-\frac{\pi}{6} < \theta - \frac{\pi}{6} < 0$ है,जिसका अर्थ है $0 < \frac{\pi}{6} - \theta < \frac{\pi}{6}$।
अतः,$\cos^{-1} \left( \cos \left( \theta - \frac{\pi}{6} \right) \right) = \cos^{-1} \left( \cos \left( \frac{\pi}{6} - \theta \right) \right) = \frac{\pi}{6} - \theta$ होगा।
इसलिए,$\alpha = \theta + \frac{\pi}{6} - \theta = \frac{\pi}{6}$।
अंत में,$\tan \alpha + \cot \alpha = \tan \frac{\pi}{6} + \cot \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} = \frac{1 + 3}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$।
मान लीजिए $x = \sin \theta$ है। चूँकि $0 < x < \frac{1}{2}$ है,इसलिए $0 < \theta < \frac{\pi}{6}$ है।
अतः $\sqrt{1 - x^2} = \cos \theta$ होगा।
इन मानों को $\alpha$ के समीकरण में रखने पर:
$\alpha = \sin^{-1}(\sin \theta) + \cos^{-1} \left( \frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \right)$.
सर्वसमिका $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta = \sin \frac{\pi}{6} \sin \theta + \cos \frac{\pi}{6} \cos \theta = \cos \left( \theta - \frac{\pi}{6} \right)$.
चूँकि $0 < \theta < \frac{\pi}{6}$ है,इसलिए $-\frac{\pi}{6} < \theta - \frac{\pi}{6} < 0$ है,जिसका अर्थ है $0 < \frac{\pi}{6} - \theta < \frac{\pi}{6}$।
अतः,$\cos^{-1} \left( \cos \left( \theta - \frac{\pi}{6} \right) \right) = \cos^{-1} \left( \cos \left( \frac{\pi}{6} - \theta \right) \right) = \frac{\pi}{6} - \theta$ होगा।
इसलिए,$\alpha = \theta + \frac{\pi}{6} - \theta = \frac{\pi}{6}$।
अंत में,$\tan \alpha + \cot \alpha = \tan \frac{\pi}{6} + \cot \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} = \frac{1 + 3}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$।
0 likes
View Solution438
MediumMCQ
$\tan^{-1}(-2) - \tan^{-1}(3)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{3 \pi}{4}$
B
$\frac{-\pi}{6}$
C
$\frac{\pi}{6}$
D
$\frac{-3 \pi}{4}$
Solution
(D) दिया गया व्यंजक: $\tan^{-1}(-2) - \tan^{-1}(3)$
गुणधर्म $\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1}x$ का उपयोग करने पर:
$= -\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(3)$
$= -(\tan^{-1}(2) + \tan^{-1}(3))$
चूंकि $xy = 2 \times 3 = 6 > 1$,हम सूत्र $\tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{x + y}{1 - xy}\right)$ का उपयोग करेंगे:
$= -\left(\pi + \tan^{-1}\left(\frac{2 + 3}{1 - 2 \times 3}\right)\right)$
$= -\pi - \tan^{-1}\left(\frac{5}{1 - 6}\right)$
$= -\pi - \tan^{-1}(-1)$
हम जानते हैं कि $\tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$,इसलिए:
$= -\pi - (-\frac{\pi}{4})$
$= -\pi + \frac{\pi}{4}$
$= -\frac{3 \pi}{4}$
गुणधर्म $\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1}x$ का उपयोग करने पर:
$= -\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(3)$
$= -(\tan^{-1}(2) + \tan^{-1}(3))$
चूंकि $xy = 2 \times 3 = 6 > 1$,हम सूत्र $\tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{x + y}{1 - xy}\right)$ का उपयोग करेंगे:
$= -\left(\pi + \tan^{-1}\left(\frac{2 + 3}{1 - 2 \times 3}\right)\right)$
$= -\pi - \tan^{-1}\left(\frac{5}{1 - 6}\right)$
$= -\pi - \tan^{-1}(-1)$
हम जानते हैं कि $\tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$,इसलिए:
$= -\pi - (-\frac{\pi}{4})$
$= -\pi + \frac{\pi}{4}$
$= -\frac{3 \pi}{4}$
0 likes
View Solution439
MediumMCQ
यदि $\theta = \cot^{-1}(7) + \cot^{-1}(8) + \cot^{-1}(18)$ है,तो $\cot \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$2$
B
$3$
C
$4$
D
$1$
Solution
(B) दिया गया है कि,$\theta = \cot^{-1}(7) + \cot^{-1}(8) + \cot^{-1}(18)$.
गुणधर्म $\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(\frac{1}{x})$ ($x > 0$ के लिए) का उपयोग करने पर:
$\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{7}) + \tan^{-1}(\frac{1}{8}) + \tan^{-1}(\frac{1}{18})$.
पहले दो पदों के लिए सूत्र $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}(\frac{x+y}{1-xy})$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}(\frac{1}{7}) + \tan^{-1}(\frac{1}{8}) = \tan^{-1}(\frac{\frac{1}{7} + \frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{7 \times 8}}) = \tan^{-1}(\frac{\frac{15}{56}}{\frac{55}{56}}) = \tan^{-1}(\frac{15}{55}) = \tan^{-1}(\frac{3}{11})$.
अब,तीसरा पद जोड़ने पर:
$\theta = \tan^{-1}(\frac{3}{11}) + \tan^{-1}(\frac{1}{18}) = \tan^{-1}(\frac{\frac{3}{11} + \frac{1}{18}}{1 - \frac{3}{11 \times 18}}) = \tan^{-1}(\frac{\frac{54+11}{198}}{\frac{198-3}{198}}) = \tan^{-1}(\frac{65}{195}) = \tan^{-1}(\frac{1}{3})$.
अतः,$\tan \theta = \frac{1}{3}$,जिसका अर्थ है कि $\cot \theta = 3$.
गुणधर्म $\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(\frac{1}{x})$ ($x > 0$ के लिए) का उपयोग करने पर:
$\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{7}) + \tan^{-1}(\frac{1}{8}) + \tan^{-1}(\frac{1}{18})$.
पहले दो पदों के लिए सूत्र $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}(\frac{x+y}{1-xy})$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}(\frac{1}{7}) + \tan^{-1}(\frac{1}{8}) = \tan^{-1}(\frac{\frac{1}{7} + \frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{7 \times 8}}) = \tan^{-1}(\frac{\frac{15}{56}}{\frac{55}{56}}) = \tan^{-1}(\frac{15}{55}) = \tan^{-1}(\frac{3}{11})$.
अब,तीसरा पद जोड़ने पर:
$\theta = \tan^{-1}(\frac{3}{11}) + \tan^{-1}(\frac{1}{18}) = \tan^{-1}(\frac{\frac{3}{11} + \frac{1}{18}}{1 - \frac{3}{11 \times 18}}) = \tan^{-1}(\frac{\frac{54+11}{198}}{\frac{198-3}{198}}) = \tan^{-1}(\frac{65}{195}) = \tan^{-1}(\frac{1}{3})$.
अतः,$\tan \theta = \frac{1}{3}$,जिसका अर्थ है कि $\cot \theta = 3$.
0 likes
View Solution440
EasyMCQ
$\tan ^{-1} 2 + \cot ^{-1}(-3) + \cot ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = $
A
$-\frac{3 \pi}{2}$
B
$\frac{\pi}{2}$
C
$-\frac{\pi}{2}$
D
$\frac{3 \pi}{2}$
Solution
(D) हम गुणों $\cot ^{-1}(-x) = \pi - \cot ^{-1} x$,$\tan ^{-1}(-x) = -\tan ^{-1} x$ और $x > 0$ के लिए $\cot ^{-1} x = \tan ^{-1} \frac{1}{x}$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया व्यंजक: $E = \tan ^{-1} 2 + \cot ^{-1}(-3) + \cot ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$
गुणों का उपयोग करने पर:
$E = \tan ^{-1} 2 + (\pi - \cot ^{-1} 3) + \tan ^{-1} 3 - \tan ^{-1} \frac{1}{2}$
चूंकि $\cot ^{-1} 3 = \tan ^{-1} \frac{1}{3}$,इसलिए:
$E = \pi + (\tan ^{-1} 2 - \tan ^{-1} \frac{1}{2}) + (\tan ^{-1} 3 - \tan ^{-1} \frac{1}{3})$
$\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ का उपयोग करने पर:
$E = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{2 - 1/2}{1 + 2(1/2)} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{3 - 1/3}{1 + 3(1/3)} \right)$
$E = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{3/2}{2} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{8/3}{2} \right)$
$E = \pi + \tan ^{-1} \frac{3}{4} + \tan ^{-1} \frac{4}{3}$
चूंकि $\tan ^{-1} \frac{4}{3} = \cot ^{-1} \frac{3}{4}$,इसलिए:
$E = \pi + (\tan ^{-1} \frac{3}{4} + \cot ^{-1} \frac{3}{4})$
$\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर:
$E = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{2}$
दिया गया व्यंजक: $E = \tan ^{-1} 2 + \cot ^{-1}(-3) + \cot ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$
गुणों का उपयोग करने पर:
$E = \tan ^{-1} 2 + (\pi - \cot ^{-1} 3) + \tan ^{-1} 3 - \tan ^{-1} \frac{1}{2}$
चूंकि $\cot ^{-1} 3 = \tan ^{-1} \frac{1}{3}$,इसलिए:
$E = \pi + (\tan ^{-1} 2 - \tan ^{-1} \frac{1}{2}) + (\tan ^{-1} 3 - \tan ^{-1} \frac{1}{3})$
$\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ का उपयोग करने पर:
$E = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{2 - 1/2}{1 + 2(1/2)} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{3 - 1/3}{1 + 3(1/3)} \right)$
$E = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{3/2}{2} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{8/3}{2} \right)$
$E = \pi + \tan ^{-1} \frac{3}{4} + \tan ^{-1} \frac{4}{3}$
चूंकि $\tan ^{-1} \frac{4}{3} = \cot ^{-1} \frac{3}{4}$,इसलिए:
$E = \pi + (\tan ^{-1} \frac{3}{4} + \cot ^{-1} \frac{3}{4})$
$\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर:
$E = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{2}$
0 likes
View Solution441
MediumMCQ
यदि $\cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) + \cos^{-1} \left( \frac{y}{3} \right) = \theta$ है,तो $9 x^{2} - 12 x y \cos \theta + 4 y^{2} =$ क्या होगा?
A
$36 \sin^{2} \theta$
B
$37 \sin^{2} \theta$
C
$39 \sin^{2} \theta$
D
$36 \cos^{2} \theta$
Solution
(A) दिया गया है: $\cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) + \cos^{-1} \left( \frac{y}{3} \right) = \theta$
सर्वसमिका $\cos^{-1} A + \cos^{-1} B = \cos^{-1} \left( AB - \sqrt{1-A^2} \sqrt{1-B^2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\cos^{-1} \left\{ \left( \frac{x}{2} \right) \left( \frac{y}{3} \right) - \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{9}} \right\} = \theta$
$\Rightarrow \frac{xy}{6} - \sqrt{\frac{4-x^2}{4}} \sqrt{\frac{9-y^2}{9}} = \cos \theta$
$\Rightarrow \frac{xy}{6} - \frac{\sqrt{4-x^2} \sqrt{9-y^2}}{6} = \cos \theta$
$\Rightarrow xy - \sqrt{4-x^2} \sqrt{9-y^2} = 6 \cos \theta$
$\Rightarrow xy - 6 \cos \theta = \sqrt{4-x^2} \sqrt{9-y^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(xy - 6 \cos \theta)^2 = (4-x^2)(9-y^2)$
$x^2 y^2 - 12xy \cos \theta + 36 \cos^2 \theta = 36 - 4y^2 - 9x^2 + x^2 y^2$
दोनों पक्षों से $x^2 y^2$ को हटाने पर:
$-12xy \cos \theta + 36 \cos^2 \theta = 36 - 9x^2 - 4y^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$9x^2 + 4y^2 - 12xy \cos \theta = 36 - 36 \cos^2 \theta$
$9x^2 + 4y^2 - 12xy \cos \theta = 36(1 - \cos^2 \theta)$
$9x^2 + 4y^2 - 12xy \cos \theta = 36 \sin^2 \theta$
सर्वसमिका $\cos^{-1} A + \cos^{-1} B = \cos^{-1} \left( AB - \sqrt{1-A^2} \sqrt{1-B^2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\cos^{-1} \left\{ \left( \frac{x}{2} \right) \left( \frac{y}{3} \right) - \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{9}} \right\} = \theta$
$\Rightarrow \frac{xy}{6} - \sqrt{\frac{4-x^2}{4}} \sqrt{\frac{9-y^2}{9}} = \cos \theta$
$\Rightarrow \frac{xy}{6} - \frac{\sqrt{4-x^2} \sqrt{9-y^2}}{6} = \cos \theta$
$\Rightarrow xy - \sqrt{4-x^2} \sqrt{9-y^2} = 6 \cos \theta$
$\Rightarrow xy - 6 \cos \theta = \sqrt{4-x^2} \sqrt{9-y^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(xy - 6 \cos \theta)^2 = (4-x^2)(9-y^2)$
$x^2 y^2 - 12xy \cos \theta + 36 \cos^2 \theta = 36 - 4y^2 - 9x^2 + x^2 y^2$
दोनों पक्षों से $x^2 y^2$ को हटाने पर:
$-12xy \cos \theta + 36 \cos^2 \theta = 36 - 9x^2 - 4y^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$9x^2 + 4y^2 - 12xy \cos \theta = 36 - 36 \cos^2 \theta$
$9x^2 + 4y^2 - 12xy \cos \theta = 36(1 - \cos^2 \theta)$
$9x^2 + 4y^2 - 12xy \cos \theta = 36 \sin^2 \theta$
0 likes
View Solution442
DifficultMCQ
मान लीजिए $a \neq 0$ के लिए $S_a(x) = \operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + \operatorname{Sec}^{-1}(a)$ है। यदि $a \neq b$ के लिए $S_a(x) = S_b(x)$ है,तो $x =$
A
$1$
B
$\pm ab$
C
$ab$
D
$-ab$
Solution
(C) दिया गया है $S_a(x) = \operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + \operatorname{Sec}^{-1}(a)$ और $S_b(x) = \operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{x}{b}\right) + \operatorname{Sec}^{-1}(b)$.
$S_a(x) = S_b(x)$ रखने पर,हमें मिलता है $\operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + \operatorname{Sec}^{-1}(a) = \operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{x}{b}\right) + \operatorname{Sec}^{-1}(b)$.
सर्वसमिका $\operatorname{Sec}^{-1}(y) = \cos^{-1}\left(\frac{1}{y}\right)$ का उपयोग करने पर,$\cos^{-1}\left(\frac{a}{x}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{b}{x}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{b}\right)$.
यदि $x = ab$ है,तो $\cos^{-1}\left(\frac{a}{ab}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1}{b}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{a}\right)$.
यह समीकरण $\cos^{-1}\left(\frac{1}{b}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{b}{ab}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{b}\right)$ में बदल जाता है,जो कि सत्य है।
अतः,$x = ab$ सही उत्तर है।
$S_a(x) = S_b(x)$ रखने पर,हमें मिलता है $\operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + \operatorname{Sec}^{-1}(a) = \operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{x}{b}\right) + \operatorname{Sec}^{-1}(b)$.
सर्वसमिका $\operatorname{Sec}^{-1}(y) = \cos^{-1}\left(\frac{1}{y}\right)$ का उपयोग करने पर,$\cos^{-1}\left(\frac{a}{x}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{b}{x}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{b}\right)$.
यदि $x = ab$ है,तो $\cos^{-1}\left(\frac{a}{ab}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1}{b}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{a}\right)$.
यह समीकरण $\cos^{-1}\left(\frac{1}{b}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{b}{ab}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{b}\right)$ में बदल जाता है,जो कि सत्य है।
अतः,$x = ab$ सही उत्तर है।
0 likes
View Solution443
MediumMCQ
$\cot \left(\sum_{n=1}^{50} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+n+n^2}\right)\right) = $
A
$\frac{26}{25}$
B
$\frac{25}{26}$
C
$\frac{50}{51}$
D
$\frac{52}{51}$
Solution
(A) हम जानते हैं कि $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$.
हम सामान्य पद को $\tan^{-1} \left( \frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)} \right) = \tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1} n$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,योग $\sum_{n=1}^{50} (\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1} n)$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $(\tan^{-1} 2 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 2) + \dots + (\tan^{-1} 51 - \tan^{-1} 50) = \tan^{-1} 51 - \tan^{-1} 1$.
सूत्र $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan^{-1} \left( \frac{51-1}{1+51 \times 1} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{50}{52} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{25}{26} \right)$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\cot \left( \tan^{-1} \left( \frac{25}{26} \right) \right) = \cot \left( \cot^{-1} \left( \frac{26}{25} \right) \right) = \frac{26}{25}$।
हम सामान्य पद को $\tan^{-1} \left( \frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)} \right) = \tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1} n$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,योग $\sum_{n=1}^{50} (\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1} n)$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $(\tan^{-1} 2 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 2) + \dots + (\tan^{-1} 51 - \tan^{-1} 50) = \tan^{-1} 51 - \tan^{-1} 1$.
सूत्र $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan^{-1} \left( \frac{51-1}{1+51 \times 1} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{50}{52} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{25}{26} \right)$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\cot \left( \tan^{-1} \left( \frac{25}{26} \right) \right) = \cot \left( \cot^{-1} \left( \frac{26}{25} \right) \right) = \frac{26}{25}$।
0 likes
View Solution444
MediumMCQ
यदि $\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+1 \cdot 2}\right]+\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+2 \cdot 3}\right]+\cdots+\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+n(n+1)}\right]=\tan ^{-1}[x]$ है,तो $x=$
A
$\frac{1}{n+1}$
B
$\frac{n}{n+1}$
C
$\frac{1}{n+2}$
D
$\frac{n}{n+2}$
Solution
(D) हम जानते हैं कि $\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+k(k+1)}\right] = \tan ^{-1}\left[\frac{(k+1)-k}{1+k(k+1)}\right] = \tan ^{-1}(k+1) - \tan ^{-1}(k)$।
योग के प्रत्येक पद के लिए इस सूत्र को लागू करने पर:
$\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+1 \cdot 2}\right] = \tan ^{-1}(2) - \tan ^{-1}(1)$
$\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+2 \cdot 3}\right] = \tan ^{-1}(3) - \tan ^{-1}(2)$
...
$\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+n(n+1)}\right] = \tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(n)$
इन पदों का योग करने पर,हमें एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी प्राप्त होती है:
$S = (\tan ^{-1}(2) - \tan ^{-1}(1)) + (\tan ^{-1}(3) - \tan ^{-1}(2)) + \cdots + (\tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(n))$
$S = \tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(1)$
सूत्र $\tan ^{-1}(A) - \tan ^{-1}(B) = \tan ^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$S = \tan ^{-1}\left(\frac{(n+1)-1}{1+(n+1)(1)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{n}{1+n+1}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{n}{n+2}\right)$
दिया गया है कि $S = \tan ^{-1}(x)$,इसलिए $x = \frac{n}{n+2}$।
योग के प्रत्येक पद के लिए इस सूत्र को लागू करने पर:
$\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+1 \cdot 2}\right] = \tan ^{-1}(2) - \tan ^{-1}(1)$
$\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+2 \cdot 3}\right] = \tan ^{-1}(3) - \tan ^{-1}(2)$
...
$\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+n(n+1)}\right] = \tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(n)$
इन पदों का योग करने पर,हमें एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी प्राप्त होती है:
$S = (\tan ^{-1}(2) - \tan ^{-1}(1)) + (\tan ^{-1}(3) - \tan ^{-1}(2)) + \cdots + (\tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(n))$
$S = \tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(1)$
सूत्र $\tan ^{-1}(A) - \tan ^{-1}(B) = \tan ^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$S = \tan ^{-1}\left(\frac{(n+1)-1}{1+(n+1)(1)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{n}{1+n+1}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{n}{n+2}\right)$
दिया गया है कि $S = \tan ^{-1}(x)$,इसलिए $x = \frac{n}{n+2}$।
0 likes
View Solution445
MediumMCQ
यदि $\operatorname{Tan}^{-1}\left[\frac{1}{1+1(2)}\right]+\operatorname{Tan}^{-1}\left[\frac{1}{1+(2)(3)}\right]+\operatorname{Tan}^{-1}\left[\frac{1}{1+(3)(4)}\right]+\cdots+\operatorname{Tan}^{-1}\left[\frac{1}{1+n(n+1)}\right]=\operatorname{Tan}^{-1} \theta$ है,तो $\theta=$
A
$\frac{n}{n+1}$
B
$\frac{n+1}{n+2}$
C
$\frac{n+2}{n+1}$
D
$\frac{n}{n+2}$
Solution
(D) हम जानते हैं कि $\operatorname{Tan}^{-1} x - \operatorname{Tan}^{-1} y = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$.
श्रेणी के प्रत्येक पद को $\operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{(k+1)-k}{1+k(k+1)} \right) = \operatorname{Tan}^{-1}(k+1) - \operatorname{Tan}^{-1}(k)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$k=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$S = \sum_{k=1}^{n} (\operatorname{Tan}^{-1}(k+1) - \operatorname{Tan}^{-1}(k))$
$S = (\operatorname{Tan}^{-1} 2 - \operatorname{Tan}^{-1} 1) + (\operatorname{Tan}^{-1} 3 - \operatorname{Tan}^{-1} 2) + \cdots + (\operatorname{Tan}^{-1}(n+1) - \operatorname{Tan}^{-1} n)$
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे:
$S = \operatorname{Tan}^{-1}(n+1) - \operatorname{Tan}^{-1}(1)$
सूत्र $\operatorname{Tan}^{-1} x - \operatorname{Tan}^{-1} y = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ का उपयोग करने पर:
$S = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{(n+1)-1}{1+(n+1)(1)} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{n}{1+n+1} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{n}{n+2} \right)$.
इसकी तुलना $\operatorname{Tan}^{-1} \theta$ से करने पर,हमें $\theta = \frac{n}{n+2}$ प्राप्त होता है।
श्रेणी के प्रत्येक पद को $\operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{(k+1)-k}{1+k(k+1)} \right) = \operatorname{Tan}^{-1}(k+1) - \operatorname{Tan}^{-1}(k)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$k=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$S = \sum_{k=1}^{n} (\operatorname{Tan}^{-1}(k+1) - \operatorname{Tan}^{-1}(k))$
$S = (\operatorname{Tan}^{-1} 2 - \operatorname{Tan}^{-1} 1) + (\operatorname{Tan}^{-1} 3 - \operatorname{Tan}^{-1} 2) + \cdots + (\operatorname{Tan}^{-1}(n+1) - \operatorname{Tan}^{-1} n)$
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे:
$S = \operatorname{Tan}^{-1}(n+1) - \operatorname{Tan}^{-1}(1)$
सूत्र $\operatorname{Tan}^{-1} x - \operatorname{Tan}^{-1} y = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ का उपयोग करने पर:
$S = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{(n+1)-1}{1+(n+1)(1)} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{n}{1+n+1} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{n}{n+2} \right)$.
इसकी तुलना $\operatorname{Tan}^{-1} \theta$ से करने पर,हमें $\theta = \frac{n}{n+2}$ प्राप्त होता है।
0 likes
View Solution446
DifficultMCQ
यदि $\operatorname{Tan}^{-1} \frac{1}{3}+\operatorname{Tan}^{-1} \frac{1}{7}+\operatorname{Tan}^{-1} \frac{1}{13}+\ldots+\operatorname{Tan}^{-1} \frac{1}{n^2+n+1}=\operatorname{Tan}^{-1} \theta$ है,तो $\theta=$
A
$\frac{n}{n+2}$
B
$\frac{n}{n+1}$
C
$\frac{n+1}{n+2}$
D
$\frac{n-1}{n+2}$
Solution
(A) श्रेणी का सामान्य पद $T_k = \operatorname{Tan}^{-1} \frac{1}{k^2+k+1}$ है।
हम तर्क को $\frac{1}{1+k(k+1)}$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\operatorname{Tan}^{-1} x - \operatorname{Tan}^{-1} y = \operatorname{Tan}^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ का उपयोग करते हुए:
$T_k = \operatorname{Tan}^{-1} (k+1) - \operatorname{Tan}^{-1} k$।
$k=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} (\operatorname{Tan}^{-1} (k+1) - \operatorname{Tan}^{-1} k) = \operatorname{Tan}^{-1} (n+1) - \operatorname{Tan}^{-1} (1)$।
सूत्र $\operatorname{Tan}^{-1} x - \operatorname{Tan}^{-1} y = \operatorname{Tan}^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ का उपयोग करते हुए:
$S_n = \operatorname{Tan}^{-1} \frac{(n+1)-1}{1+(n+1)(1)} = \operatorname{Tan}^{-1} \frac{n}{n+2}$।
अतः,$\theta = \frac{n}{n+2}$।
हम तर्क को $\frac{1}{1+k(k+1)}$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\operatorname{Tan}^{-1} x - \operatorname{Tan}^{-1} y = \operatorname{Tan}^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ का उपयोग करते हुए:
$T_k = \operatorname{Tan}^{-1} (k+1) - \operatorname{Tan}^{-1} k$।
$k=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} (\operatorname{Tan}^{-1} (k+1) - \operatorname{Tan}^{-1} k) = \operatorname{Tan}^{-1} (n+1) - \operatorname{Tan}^{-1} (1)$।
सूत्र $\operatorname{Tan}^{-1} x - \operatorname{Tan}^{-1} y = \operatorname{Tan}^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ का उपयोग करते हुए:
$S_n = \operatorname{Tan}^{-1} \frac{(n+1)-1}{1+(n+1)(1)} = \operatorname{Tan}^{-1} \frac{n}{n+2}$।
अतः,$\theta = \frac{n}{n+2}$।
0 likes
View Solution447
MediumMCQ
यदि $\frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{3 \sin 2\theta}{5+4 \cos 2\theta}\right) = \tan^{-1} x$ है,तो $x =$
A
$\tan \frac{\theta}{3}$
B
$\frac{1}{3} \tan \theta$
C
$\tan 3\theta$
D
$\frac{1}{3} \tan 3\theta$
Solution
(B) माना $y = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{3 \sin 2\theta}{5+4 \cos 2\theta}\right)$ है।
तब $2y = \sin^{-1}\left(\frac{3 \sin 2\theta}{5+4 \cos 2\theta}\right)$,अतः $\sin 2y = \frac{3 \sin 2\theta}{5+4 \cos 2\theta}$ है।
सर्वसमिका $\sin 2y = \frac{2 \tan y}{1+\tan^2 y}$ और $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1+\tan^2 \theta}$,$\cos 2\theta = \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \tan y}{1+\tan^2 y} = \frac{3 \left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)}{5+4 \left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)} = \frac{6 \tan \theta}{5(1+\tan^2 \theta) + 4(1-\tan^2 \theta)} = \frac{6 \tan \theta}{9+\tan^2 \theta}$ प्राप्त होता है।
माना $t = \tan \theta$ और $x = \tan y$ है। तब $\frac{2x}{1+x^2} = \frac{6t}{9+t^2}$ है।
वज्र-गुणन करने पर: $2x(9+t^2) = 6t(1+x^2) \implies 18x + 2xt^2 = 6t + 6tx^2$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $6tx^2 - (18+2t^2)x + 6t = 0 \implies 3tx^2 - (9+t^2)x + 3t = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(3x-t)(tx-3) = 0$ है।
अतः,$x = \frac{t}{3} = \frac{1}{3} \tan \theta$ है।
तब $2y = \sin^{-1}\left(\frac{3 \sin 2\theta}{5+4 \cos 2\theta}\right)$,अतः $\sin 2y = \frac{3 \sin 2\theta}{5+4 \cos 2\theta}$ है।
सर्वसमिका $\sin 2y = \frac{2 \tan y}{1+\tan^2 y}$ और $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1+\tan^2 \theta}$,$\cos 2\theta = \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \tan y}{1+\tan^2 y} = \frac{3 \left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)}{5+4 \left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)} = \frac{6 \tan \theta}{5(1+\tan^2 \theta) + 4(1-\tan^2 \theta)} = \frac{6 \tan \theta}{9+\tan^2 \theta}$ प्राप्त होता है।
माना $t = \tan \theta$ और $x = \tan y$ है। तब $\frac{2x}{1+x^2} = \frac{6t}{9+t^2}$ है।
वज्र-गुणन करने पर: $2x(9+t^2) = 6t(1+x^2) \implies 18x + 2xt^2 = 6t + 6tx^2$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $6tx^2 - (18+2t^2)x + 6t = 0 \implies 3tx^2 - (9+t^2)x + 3t = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(3x-t)(tx-3) = 0$ है।
अतः,$x = \frac{t}{3} = \frac{1}{3} \tan \theta$ है।
0 likes
View Solution448
EasyMCQ
यदि $y = \tan^{-1} \frac{x}{1+2x^2} + \tan^{-1} \frac{x}{1+6x^2} + \tan^{-1} \frac{x}{1+12x^2}$ है,तो $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{1}{2}} = $
A
$1$
B
$-1$
C
$0$
D
$\frac{1}{2}$
Solution
(C) हम प्रत्येक पद को $\tan^{-1} \frac{a-b}{1+ab} = \tan^{-1} a - \tan^{-1} b$ सूत्र का उपयोग करके फिर से लिख सकते हैं।
$y = \tan^{-1} \frac{2x-x}{1+(2x)(x)} + \tan^{-1} \frac{3x-2x}{1+(3x)(2x)} + \tan^{-1} \frac{4x-3x}{1+(4x)(3x)}$
$y = (\tan^{-1} 2x - \tan^{-1} x) + (\tan^{-1} 3x - \tan^{-1} 2x) + (\tan^{-1} 4x - \tan^{-1} 3x)$
$y = \tan^{-1} 4x - \tan^{-1} x$
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{4}{1+(4x)^2} - \frac{1}{1+x^2} = \frac{4}{1+16x^2} - \frac{1}{1+x^2}$
$x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{1}{2}} = \frac{4}{1+16(\frac{1}{4})} - \frac{1}{1+(\frac{1}{4})} = \frac{4}{1+4} - \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} - \frac{4}{5} = 0$
$y = \tan^{-1} \frac{2x-x}{1+(2x)(x)} + \tan^{-1} \frac{3x-2x}{1+(3x)(2x)} + \tan^{-1} \frac{4x-3x}{1+(4x)(3x)}$
$y = (\tan^{-1} 2x - \tan^{-1} x) + (\tan^{-1} 3x - \tan^{-1} 2x) + (\tan^{-1} 4x - \tan^{-1} 3x)$
$y = \tan^{-1} 4x - \tan^{-1} x$
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{4}{1+(4x)^2} - \frac{1}{1+x^2} = \frac{4}{1+16x^2} - \frac{1}{1+x^2}$
$x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{1}{2}} = \frac{4}{1+16(\frac{1}{4})} - \frac{1}{1+(\frac{1}{4})} = \frac{4}{1+4} - \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} - \frac{4}{5} = 0$
0 likes
View SolutionInverse Trigonometric Functions — Properties of ITF · Frequently Asked Questions
1Are these Inverse Trigonometric Functions questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Inverse Trigonometric Functions Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.