Properties of ITF Questions in Hindi

(A) दिया गया है $y = \sin^{-1} \left( \frac{5}{13}x + \frac{12}{13}\sqrt{1-x^2} \right)$.
मान लीजिए $x = \sin \theta$,तो $\sqrt{1-x^2} = \cos \theta$.
मान लीजिए $\cos \alpha = \frac{5}{13}$,तो $\sin \alpha = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \frac{12}{13}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$y = \sin^{-1} (\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha)$
$y = \sin^{-1} (\sin(\theta + \alpha))$
$y = \theta + \alpha$
चूंकि $\theta = \sin^{-1} x$ और $\alpha = \cos^{-1} (\frac{5}{13})$ (एक स्थिरांक है),
$y = \sin^{-1} x + \cos^{-1} (\frac{5}{13})$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\sin^{-1} x) + \frac{d}{dx} (\cos^{-1} (\frac{5}{13}))$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + 0 = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

(A) हम जानते हैं कि $|z| \geq 1$ के लिए $\operatorname{cosec}^{-1}(z) = \sin^{-1}(\frac{1}{z})$ होता है।
दिया गया है $y = \operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right)$।
इस सर्वसमिका का उपयोग करके,हम पहले पद को $\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$y = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right)$।
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $y = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2}) = 0$ प्राप्त होता है।

(A) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणों का उपयोग करते हैं:
$1$. $\sin ^{-1}(-x) = -\sin ^{-1}(x)$
$2$. $\cos ^{-1}(-x) = \pi - \cos ^{-1}(x)$
$3$. $\cot ^{-1}(-x) = \pi - \cot ^{-1}(x)$
$4$. $\tan ^{-1}(x)$ मानक है।
प्रत्येक पद का मूल्यांकन करने पर:
$\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{\pi}{4}$
$\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
$\cot ^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \cot ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
$\tan ^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$-\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{-\pi + 4\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) मान लीजिए $T = \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}\right)$ है।
$x^2 = \cos 2\theta$ रखने पर,जिसका अर्थ है $2\theta = \cos^{-1}(x^2)$ या $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$ है।
व्यंजक में $x^2 = \cos 2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\cos 2\theta} + \sqrt{1-\cos 2\theta}}{\sqrt{1+\cos 2\theta} - \sqrt{1-\cos 2\theta}}\right)$
सर्वसमिकाओं $1+\cos 2\theta = 2\cos^2\theta$ और $1-\cos 2\theta = 2\sin^2\theta$ का उपयोग करने पर:
$T = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos\theta + \sqrt{2}\sin\theta}{\sqrt{2}\cos\theta - \sqrt{2}\sin\theta}\right)$
अंश और हर को $\cos\theta$ से विभाजित करने पर:
$T = \tan^{-1}\left(\frac{1 + \tan\theta}{1 - \tan\theta}\right)$
सूत्र $\tan(\frac{\pi}{4} + \theta) = \frac{1 + \tan\theta}{1 - \tan\theta}$ का उपयोग करने पर:
$T = \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right)\right)$
$T = \frac{\pi}{4} + \theta$
अब $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$ वापस रखने पर:
$T = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$।

(A) दिया गया है कि $\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y+\cos ^{-1} z=3 \pi$ है।
चूंकि $\cos ^{-1} \theta$ का परिसर $[0, \pi]$ है,इसलिए प्रत्येक पद का अधिकतम मान $\pi$ होता है।
तीन पदों का योग $3 \pi$ होने के लिए,प्रत्येक पद को अपने अधिकतम मान के बराबर होना चाहिए:
$\cos ^{-1} x = \pi$,$\cos ^{-1} y = \pi$,और $\cos ^{-1} z = \pi$।
इसका अर्थ है कि $x = \cos \pi = -1$,$y = \cos \pi = -1$,और $z = \cos \pi = -1$।
अब,$x = -1$ को व्यंजक $x^{2025}+x^{2026}+x^{2027}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-1)^{2025} + (-1)^{2026} + (-1)^{2027} = -1 + 1 - 1 = -1$।

(D) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1} \sqrt{x^2+x}+\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}=\frac{\pi}{2}$
चूंकि $\sin ^{-1} \theta + \cos ^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$,हम लिख सकते हैं:
$\tan ^{-1} \sqrt{x^2+x} = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1} = \cos ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}$
माना $\tan ^{-1} \sqrt{x^2+x} = \theta$. तब $\tan \theta = \sqrt{x^2+x}$.
इसका अर्थ है $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + (x^2+x)}}$.
अतः,$\cos ^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}} \right) = \cos ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}$.
तर्कों की तुलना करने पर: $\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}} = \sqrt{x^2+x+1}$
$1 = x^2+x+1$
$x^2+x = 0$
$x(x+1) = 0$
अतः,$x = 0$ या $x = -1$.
$\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}$ के प्रांत के लिए,$0 \le x^2+x+1 \le 1$ आवश्यक है,जिसका अर्थ है $x^2+x \le 0$.
$x=0$ के लिए,$x^2+x=0$ (मान्य)। $x=-1$ के लिए,$x^2+x=0$ (मान्य)।
हालाँकि,$\tan ^{-1} \sqrt{x^2+x}$ के लिए $x^2+x \ge 0$ आवश्यक है।
इस प्रकार,$x^2+x=0$ ही एकमात्र समाधान है,जिससे $x=0$ या $x=-1$ प्राप्त होता है।

(A) माना $x = \tan \theta$ और $y = \tan \phi$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} \sin ^{-1} \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) = \frac{1}{2} \sin ^{-1} (\sin 2 \theta) = \frac{1}{2} (2 \theta) = \theta$.
इसी प्रकार,$\frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{1 - \tan^2 \phi}{1 + \tan^2 \phi} \right) = \frac{1}{2} \cos ^{-1} (\cos 2 \phi) = \frac{1}{2} (2 \phi) = \phi$.
अब,व्यंजक $\tan (\theta + \phi)$ बन जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan (\theta + \phi) = \frac{\tan \theta + \tan \phi}{1 - \tan \theta \tan \phi}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x + y}{1 - xy}$.

(B) माना $\alpha = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$ और $\beta = \cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$.
तब $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ और $\cos \beta = \frac{12}{13}$.
सर्वसमिका $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5}$ और $\sin \beta = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \frac{5}{13}$.
सूत्र $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ का उपयोग करने पर:
$\cos(\alpha + \beta) = \left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{12}{13}\right) - \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{5}{13}\right)$
$= \frac{48}{65} - \frac{15}{65} = \frac{33}{65}$.
अतः,$\alpha + \beta = \cos ^{-1}\left(\frac{33}{65}\right)$.

(C) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1}\left(\frac{x-1}{x-2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{x+1}{x+2}\right)=\frac{\pi}{4}$
सूत्र $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} \left[ \frac{\frac{x-1}{x-2} + \frac{x+1}{x+2}}{1 - \left( \frac{x-1}{x-2} \right) \left( \frac{x+1}{x+2} \right)} \right] = \frac{\pi}{4}$
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर:
$\frac{(x-1)(x+2) + (x+1)(x-2)}{(x-2)(x+2) - (x-1)(x+1)} = \tan \frac{\pi}{4} = 1$
पदों का विस्तार करने पर:
$\frac{(x^2+x-2) + (x^2-x-2)}{(x^2-4) - (x^2-1)} = 1$
$\frac{2x^2 - 4}{-4 + 1} = 1$
$\frac{2x^2 - 4}{-3} = 1$
$2x^2 - 4 = -3$
$2x^2 = 1$
$x^2 = \frac{1}{2}$
$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

(A) माना $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = x$ और $\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) = y$ है।
तब $\sin x = \frac{3}{5} \implies \cos x = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$।
और $\cos y = \frac{12}{13} \implies \sin y = \sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2} = \frac{5}{13}$।
हमें $x + y = \sin ^{-1} \alpha$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $\sin(x + y) = \alpha$।
सर्वसमिका $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ का उपयोग करने पर:
$\alpha = (\frac{3}{5}) \times (\frac{12}{13}) + (\frac{4}{5}) \times (\frac{5}{13})$
$\alpha = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65}$।

(C) दिया गया समीकरण: $4 \sin ^{-1} x + 6 \cos ^{-1} x = 3 \pi$।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$4 \sin ^{-1} x + 6(\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x) = 3 \pi$
$4 \sin ^{-1} x + 3 \pi - 6 \sin ^{-1} x = 3 \pi$
$-2 \sin ^{-1} x + 3 \pi = 3 \pi$
$-2 \sin ^{-1} x = 0$
$\sin ^{-1} x = 0$
$x = \sin(0) = 0$।

(B) माना $L = \tan ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1} \frac{1}{5} + \tan ^{-1} \frac{1}{7} + \tan ^{-1} \frac{1}{8}$ है।
सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करते हुए:
पहले,पदों को समूहबद्ध करें: $L = \left( \tan ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1} \frac{1}{5} \right) + \left( \tan ^{-1} \frac{1}{7} + \tan ^{-1} \frac{1}{8} \right)$.
पहले भाग की गणना: $\tan ^{-1} \left( \frac{1/3 + 1/5}{1 - (1/3)(1/5)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{8/15}{14/15} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{8}{14} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right)$.
दूसरे भाग की गणना: $\tan ^{-1} \left( \frac{1/7 + 1/8}{1 - (1/7)(1/8)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{15/56}{55/56} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{15}{55} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right)$.
अब उन्हें जोड़ें: $L = \tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{4/7 + 3/11}{1 - (4/7)(3/11)} \right)$.
$L = \tan ^{-1} \left( \frac{44/77 + 21/77}{1 - 12/77} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{65/77}{65/77} \right) = \tan ^{-1} (1) = \frac{\pi}{4}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1} 2x + \tan ^{-1} 3x = \frac{\pi}{4}$
सूत्र $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{2x + 3x}{1 - (2x)(3x)} \right) = \frac{\pi}{4}$
$\tan ^{-1} \left( \frac{5x}{1 - 6x^2} \right) = \frac{\pi}{4}$
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर:
$\frac{5x}{1 - 6x^2} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$
$5x = 1 - 6x^2$
$6x^2 + 5x - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$6x^2 + 6x - x - 1 = 0$
$6x(x + 1) - 1(x + 1) = 0$
$(6x - 1)(x + 1) = 0$
इससे $x = \frac{1}{6}$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan ^{-1} 2x + \tan ^{-1} 3x = \frac{\pi}{4} > 0$,इसलिए $x$ धनात्मक होना चाहिए। अतः $x = -1$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
इस प्रकार,$x = \frac{1}{6}$।

(A) माना $y = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,अतः $\theta = \tan^{-1} x$.
तब $y = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\tan^2 \theta}-1}{\tan \theta}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta}\right)$.
$y = \tan^{-1}\left(\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2\sin^2(\theta/2)}{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}\right) = \tan^{-1}(\tan(\theta/2))$.
$y = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{2(1+x^2)}$ प्राप्त होता है।

(C) हमें समीकरण $4 \sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \pi$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होती है,जिसका अर्थ है $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$।
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$4 \sin ^{-1} x + (\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x) = \pi$
$3 \sin ^{-1} x + \frac{\pi}{2} = \pi$
$3 \sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
$\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{6}$
दोनों पक्षों का साइन (sine) लेने पर:
$x = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना $x = \cos \theta$ है। तब $\theta = \cos^{-1} x$ होगा।
व्यंजक में $x = \cos \theta$ रखने पर,हमें $\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} = \sqrt{\frac{2\sin^2(\theta/2)}{2\cos^2(\theta/2)}} = \tan(\theta/2)$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $y = \sin^2 \left( \cot^{-1} (\tan(\theta/2)) \right)$ बन जाता है।
चूंकि $\tan(\theta/2) = \cot(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})$,इसलिए $y = \sin^2 \left( \cot^{-1} \left( \cot \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} \right) \right) \right)$ प्राप्त होता है।
इसका सरलीकरण $y = \sin^2 \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} \right) = \cos^2(\theta/2)$ है।
सर्वसमिका $\cos^2(\theta/2) = \frac{1+\cos \theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$y = \frac{1+x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} + \frac{x}{2} \right) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।

(B) माना $x = \tan \theta$. तब $\theta = \tan^{-1} x$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{1-\tan^2 \theta}{2 \tan \theta}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\tan 2\theta}\right) = \tan^{-1}(\cot 2\theta) = \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right)\right) = \frac{\pi}{2} - 2\theta$.
अब,$\cos^{-1}\left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right) = \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta$.
इन दोनों भागों को जोड़ने पर: $(\frac{\pi}{2} - 2\theta) + 2\theta = \frac{\pi}{2}$.
अंत में,$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

(C) दिया गया है कि $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)-\cot ^{-1}\left(\frac{1}{y}\right)=0$,जिसका अर्थ है कि $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\cot ^{-1}\left(\frac{1}{y}\right)$.
इसका मतलब है $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}$,इसलिए $x=y$.
पहले समीकरण में $x=y$ प्रतिस्थापित करने पर: $\sin ^{-1} x+\sin ^{-1} x=\frac{\pi}{3}$.
$2 \sin ^{-1} x=\frac{\pi}{3} \implies \sin ^{-1} x=\frac{\pi}{6}$.
अतः,$x=\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$.
चूंकि $x=y$,इसलिए $y=\frac{1}{2}$.
अब,$2 x^2+y^2-x y$ का मान ज्ञात करें:
$2 \left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \left(\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}-\frac{1}{4} = \frac{1}{2}+0 = \frac{1}{2}$.

(C) माना $\theta_1 = \sec ^{-1} 4$,तब $\sec \theta_1 = 4$ है।
सर्वसमिका $\tan ^2 \theta = \sec ^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan ^2(\sec ^{-1} 4) = \sec ^2(\sec ^{-1} 4) - 1 = 4^2 - 1 = 16 - 1 = 15$ प्राप्त होता है।
माना $\theta_2 = \operatorname{cosec}^{-1} 3$,तब $\operatorname{cosec} \theta_2 = 3$ है।
सर्वसमिका $\cot ^2 \theta = \operatorname{cosec}^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर,हमें $\cot ^2(\operatorname{cosec}^{-1} 3) = \operatorname{cosec}^2(\operatorname{cosec}^{-1} 3) - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$ प्राप्त होता है।
इन मानों को जोड़ने पर,हमें $15 + 8 = 23$ प्राप्त होता है।

(A) हमें व्यंजक $\cos(2 \cos^{-1} x + \sin^{-1} x)$ दिया गया है।
हम इसे $\cos(\cos^{-1} x + (\cos^{-1} x + \sin^{-1} x))$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\cos^{-1} x + \sin^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ ($x \in [-1, 1]$ के लिए) का उपयोग करने पर,व्यंजक $\cos(\cos^{-1} x + \frac{\pi}{2})$ हो जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(\theta + \frac{\pi}{2}) = -\sin \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $-\sin(\cos^{-1} x)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin(\cos^{-1} x) = \sqrt{1 - x^2}$,इसलिए व्यंजक $-\sqrt{1 - x^2}$ में सरल हो जाता है।
$x = \frac{1}{5}$ दिया गया है,इस मान को सरल व्यंजक में रखने पर:
$-\sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{1}{25}} = -\sqrt{\frac{24}{25}}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दी गई असमिका $(\cos ^{-1} x)^2 - (\sin ^{-1} x)^2 > 0$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर:
$(\cos ^{-1} x - \sin ^{-1} x)(\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} x) > 0$.
हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए $\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
यह मान रखने पर:
$(\cos ^{-1} x - \sin ^{-1} x) \cdot \frac{\pi}{2} > 0$.
चूंकि $\frac{\pi}{2} > 0$,इसलिए दोनों पक्षों को भाग देने पर:
$\cos ^{-1} x - \sin ^{-1} x > 0$
$\cos ^{-1} x > \sin ^{-1} x$.
चूंकि $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$,इसलिए:
$\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x > \sin ^{-1} x$
$\frac{\pi}{2} > 2 \sin ^{-1} x$
$\sin ^{-1} x < \frac{\pi}{4}$
चूंकि $\sin \theta$ एक वर्धमान फलन है,दोनों पक्षों का $\sin$ लेने पर:
$x < \sin(\frac{\pi}{4})$
$x < \frac{1}{\sqrt{2}}$.
साथ ही,$\sin ^{-1} x$ और $\cos ^{-1} x$ का प्रांत $x \in [-1, 1]$ है।
अतः,हल $-1 \leqslant x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(B) हमें $\cos ^{-1}\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos \frac{9 \pi}{10}-\sin \frac{9 \pi}{10}\right)\right]$ का मुख्य मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को फिर से लिखें:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \frac{9 \pi}{10} - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \frac{9 \pi}{10}$
चूंकि $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,हमें प्राप्त होता है:
$\cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{9 \pi}{10} - \sin \frac{\pi}{4} \sin \frac{9 \pi}{10}$
सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$\cos \left(\frac{\pi}{4} + \frac{9 \pi}{10}\right) = \cos \left(\frac{5 \pi + 18 \pi}{20}\right) = \cos \left(\frac{23 \pi}{20}\right)$
चूंकि $\cos \theta = \cos(2 \pi - \theta)$,इसलिए $\cos \left(\frac{23 \pi}{20}\right) = \cos \left(2 \pi - \frac{23 \pi}{20}\right) = \cos \left(\frac{17 \pi}{20}\right)$.
अतः,$\cos ^{-1}\left[\cos \frac{17 \pi}{20}\right] = \frac{17 \pi}{20}$,जो $[0, \pi]$ के परिसर में है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(B) हम जानते हैं कि $\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
माना $u = \tan ^{-1} x$. तब $\cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$.
दिया गया समीकरण $u^2 + (\frac{\pi}{2} - u)^2 = \frac{5 \pi^2}{8}$ हो जाता है।
समीकरण का विस्तार करने पर: $u^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi u + u^2 = \frac{5 \pi^2}{8}$.
$2u^2 - \pi u + \frac{\pi^2}{4} - \frac{5 \pi^2}{8} = 0$.
$2u^2 - \pi u - \frac{3 \pi^2}{8} = 0$.
$8$ से गुणा करने पर: $16u^2 - 8\pi u - 3\pi^2 = 0$.
द्विघात समीकरण के गुणनखंड करने पर: $(4u - 3\pi)(4u + \pi) = 0$.
अतः,$u = \frac{3\pi}{4}$ या $u = -\frac{\pi}{4}$.
चूंकि $\tan ^{-1} x$ का परिसर $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है,इसलिए $u = -\frac{\pi}{4}$ होगा।
इस प्रकार,$\tan ^{-1} x = -\frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है $x = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$.
अतः,$x^2 + 1 = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$.

(A) दिया गया समीकरण $\sin ^{-1}(4 x)+\sin ^{-1}(4 \sqrt{3} x)=-\frac{\pi}{2}$ है।
चूंकि $\sin ^{-1}(y)$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है,इसलिए योग $-\frac{\pi}{2}$ होने के लिए दोनों पदों का ऋणात्मक या शून्य होना आवश्यक है।
मान लीजिए $4x = \sin(\alpha)$ और $4\sqrt{3}x = \sin(\beta)$,जहाँ $\alpha, \beta \in [-\frac{\pi}{2}, 0]$.
अतः $\alpha + \beta = -\frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $\alpha = -\frac{\pi}{2} - \beta$.
दोनों पक्षों में साइन लेने पर: $\sin(\alpha) = \sin(-\frac{\pi}{2} - \beta) = -\cos(\beta)$.
चूंकि $\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1$,इसलिए $\cos(\beta) = \sqrt{1 - \sin^2(\beta)}$.
मान रखने पर: $4x = -\sqrt{1 - (4\sqrt{3}x)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $16x^2 = 1 - 48x^2$.
$64x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{64}$.
चूंकि योग ऋणात्मक है,इसलिए $x$ को ऋणात्मक होना चाहिए,अतः $x = -\frac{1}{8}$.
$x$ का निरपेक्ष मान $|x| = \frac{1}{8}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\cot ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})-\tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})=x$.
हम जानते हैं कि $\cot ^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - \tan ^{-1}(y)$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(\frac{\pi}{2} - \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})) - \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha}) = x$.
यह सरल होकर बनता है: $\frac{\pi}{2} - 2 \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha}) = x$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2 \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha}) = \frac{\pi}{2} - x$.
दोनों पक्षों का $\tan$ लेने पर: $\tan(2 \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})) = \tan(\frac{\pi}{2} - x) = \cot x$.
सूत्र $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})$:
$\cot x = \frac{2 \sqrt{\cos \alpha}}{1 - \cos \alpha}$.
अर्ध-कोण सूत्र $1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$\cot x = \frac{2 \sqrt{\cos \alpha}}{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sqrt{\cos \alpha}}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}$.
हालाँकि,मानक सर्वसमिका $2 \tan ^{-1}(y) = \cos ^{-1}(\frac{1-y^2}{1+y^2})$ का उपयोग करते हुए,$x = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1}(\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}) = \sin ^{-1}(\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha})$.
अतः,$\sin x = \frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \tan^2 \frac{\alpha}{2}$.

(D) माना $\cot^{-1} x = \theta$ है। तब $x = \cot \theta$ होगा।
चूंकि $0 < x < 1$ है,$\theta$ अंतराल $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ में स्थित है।
सर्वसमिका $\csc^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\csc \theta = \sqrt{1 + x^2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$।
साथ ही,$\cos \theta = \cot \theta \sin \theta = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$।
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \sqrt{1 + x^2} [\{x \cos \theta + \sin \theta\} ^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$E = \sqrt{1 + x^2} [\{x (\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}) + \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\} ^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$E = \sqrt{1 + x^2} [(\frac{x^2 + 1}{\sqrt{1 + x^2}})^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$E = \sqrt{1 + x^2} [(\sqrt{1 + x^2})^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$E = \sqrt{1 + x^2} (1 + x^2 - 1)^{\frac{1}{2}}$
$E = \sqrt{1 + x^2} (x^2)^{\frac{1}{2}}$
चूंकि $x > 0$ है,$(x^2)^{\frac{1}{2}} = x$ होगा।
अतः,$E = x \sqrt{1 + x^2}$।

(D) माना $S = \sin ^{-1} \frac{4}{5} + \sin ^{-1} \frac{5}{13} + \sin ^{-1} \frac{16}{65}$ है।
सबसे पहले,$\sin ^{-1} \frac{4}{5}$ और $\sin ^{-1} \frac{5}{13}$ को $\tan ^{-1}$ रूप में बदलें:
$\sin ^{-1} \frac{4}{5} = \tan ^{-1} \frac{4}{3}$ और $\sin ^{-1} \frac{5}{13} = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$।
अब,पहले दो पदों का योग ज्ञात करें:
$\tan ^{-1} \frac{4}{3} + \tan ^{-1} \frac{5}{12} = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{4}{3} \times \frac{5}{12}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{63}{16}\right)$।
यहाँ $\tan ^{-1} \frac{63}{16} = \cos ^{-1} \frac{16}{65}$ होता है।
अतः,$S = \cos ^{-1} \frac{16}{65} + \sin ^{-1} \frac{16}{65}$।
सर्वसमिका $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,$S = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अंत में,व्यंजक का मान $2 \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{2}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)+\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{5}{4}\right)=\frac{\pi}{2}$
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec}^{-1}(y) = \sin ^{-1}\left(\frac{1}{y}\right)$ होता है।
अतः,$\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{5}{4}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)=\frac{\pi}{2}$
$\Rightarrow \sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)=\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$
सर्वसमिका $\sin ^{-1}(z)+\cos ^{-1}(z)=\frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$।
$\Rightarrow \sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)=\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$
अब,$\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$ को $\sin ^{-1}$ रूप में बदलने पर: $\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \sin ^{-1}\left(\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}\right) = \sin ^{-1}\left(\sqrt{1-\frac{16}{25}}\right) = \sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{9}{25}}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$।
$\Rightarrow \sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)=\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $\frac{x}{5} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 3$।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1}(1+x)+\tan ^{-1}(1-x)=\frac{\pi}{2}$
हम जानते हैं कि $\tan ^{-1}(A) + \cot ^{-1}(A) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\frac{\pi}{2} - \tan ^{-1}(1-x) = \cot ^{-1}(1-x)$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\tan ^{-1}(1+x) = \cot ^{-1}(1-x)$.
सर्वसमिका $\cot ^{-1}(y) = \tan ^{-1}(\frac{1}{y})$ का उपयोग करने पर: $\tan ^{-1}(1+x) = \tan ^{-1}(\frac{1}{1-x})$.
तर्कों की तुलना करने पर: $1+x = \frac{1}{1-x}$.
इसे सरल करने पर: $(1+x)(1-x) = 1$.
$1 - x^2 = 1$.
$-x^2 = 0$,जिसका अर्थ है कि $x = 0$.

(B) दिया गया है $x = \operatorname{cosec}(\tan ^{-1}(\cos (\cot ^{-1}(\sec (\sin ^{-1} a)))))$.
माना $\sin^{-1} a = \theta$,इसलिए $\sin \theta = a$. तब $\sec \theta = \frac{1}{\sqrt{1-a^2}}$.
अब,$x = \operatorname{cosec}(\tan ^{-1}(\cos (\cot ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}))))$.
माना $\cot^{-1}(\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}) = \phi$,इसलिए $\cot \phi = \frac{1}{\sqrt{1-a^2}}$.
तब $\cos \phi = \frac{\cot \phi}{\sqrt{1+\cot^2 \phi}} = \frac{1/\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1 + 1/(1-a^2)}} = \frac{1}{\sqrt{1-a^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{2-a^2}}$.
अतः,${x = \operatorname{cosec}(\tan ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2-a^2}}}))$.
माना $\tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2-a^2}}) = \psi$,इसलिए $\tan \psi = \frac{1}{\sqrt{2-a^2}}$.
तब $\operatorname{cosec} \psi = \sqrt{1+\cot^2 \psi} = \sqrt{1+(2-a^2)} = \sqrt{3-a^2}$.
इस प्रकार,$x = \sqrt{3-a^2}$,जो दर्शाता है कि $x^2 = 3-a^2$,या $x^2+a^2=3$.

(D) दिया गया समीकरण: $\sin \left(\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x\right)=1$
चूंकि $\sin \frac{\pi}{2} = 1$,इसलिए:
$\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
सर्वसमिका $\sin ^{-1} \theta + \cos ^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \frac{1}{5}$
चूंकि $\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \theta = \cos ^{-1} \theta$,इसलिए:
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \frac{1}{5}$
अतः,$x = \frac{1}{5}$.

(D) माना $x = \tan \theta$ है। चूँकि $x \in (0, 1)$,इसलिए $\theta \in (0, \frac{\pi}{4})$ है।
सबसे पहले,$A = 2 \tan^{-1}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ पर विचार करें।
सूत्र $\tan^{-1}\left(\frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta}\right) = \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} + \theta)) = \frac{\pi}{4} + \theta$ का उपयोग करते हुए,हमें $A = 2(\frac{\pi}{4} + \theta) = \frac{\pi}{2} + 2\theta$ प्राप्त होता है।
इसके बाद,$B = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$ पर विचार करें।
सूत्र $\cos^{-1}\left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right) = \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta$ का उपयोग करते हुए।
अंत में,$A - B = (\frac{\pi}{2} + 2\theta) - 2\theta = \frac{\pi}{2}$।

(A) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मान जानते हैं:
$\operatorname{cosec}^{-1}(\sqrt{2}) = \frac{\pi}{4}$
$\cos^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right) = \pi - \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
$\sec^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6}$
समान हर $(12)$ प्राप्त करने पर:
$\frac{3\pi + 8\pi - 2\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}$

(C) हमें दिया गया समीकरण है: $\tan ^{-1} a+\tan ^{-1} b+\tan ^{-1} c=\pi$.
तीन प्रतिलोम स्पर्शज्या (inverse tangent) फलनों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y + \tan ^{-1} z = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y+z-xyz}{1-xy-yz-zx} \right)$.
इसे दिए गए समीकरण में लागू करने पर: $\tan ^{-1} \left( \frac{a+b+c-abc}{1-ab-bc-ca} \right) = \pi$.
दोनों पक्षों का स्पर्शज्या (tangent) लेने पर: $\frac{a+b+c-abc}{1-ab-bc-ca} = \tan \pi$.
चूंकि $\tan \pi = 0$ होता है,इसलिए: $\frac{a+b+c-abc}{1-ab-bc-ca} = 0$.
इसका अर्थ है कि अंश शून्य होना चाहिए: $a+b+c-abc = 0$.
अतः,$a+b+c = abc$.

(B) $\sin ^{-1} x$ का मुख्य मान परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
दिया गया है कि $\sin ^{-1} x + \sin ^{-1} y + \sin ^{-1} z = \frac{3 \pi}{2}$।
चूंकि प्रत्येक $\sin ^{-1}$ पद का अधिकतम मान $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए योग $\frac{3 \pi}{2}$ तभी हो सकता है जब प्रत्येक पद अपने अधिकतम मान के बराबर हो।
अतः,$\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,$\sin ^{-1} y = \frac{\pi}{2}$,और $\sin ^{-1} z = \frac{\pi}{2}$।
इसका अर्थ है कि $x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,$y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,और $z = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$।
इन मानों को $x^{100} + y^{100} + z^{100}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$1^{100} + 1^{100} + 1^{100} = 1 + 1 + 1 = 3$.

(A) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1} 2 x+\tan ^{-1} 3 x=\frac{\pi}{4}$
सूत्र $\tan ^{-1} A+\tan ^{-1} B=\tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1}\left(\frac{2 x+3 x}{1-(2 x)(3 x)}\right)=\frac{\pi}{4}$
$\tan ^{-1}\left(\frac{5 x}{1-6 x^2}\right)=\frac{\pi}{4}$
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर:
$\frac{5 x}{1-6 x^2}=\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$
$5 x=1-6 x^2$
$6 x^2+5 x-1=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(6 x-1)(x+1)=0$
अतः,$x=\frac{1}{6}$ या $x=-1$.
मानों की जाँच करने पर: यदि $x=-1$ लेते हैं,तो $\tan ^{-1}(-2)+\tan ^{-1}(-3)$ ऋणात्मक प्राप्त होता है,जो $\frac{\pi}{4}$ नहीं हो सकता।
इसलिए,$x=\frac{1}{6}$ ही सही हल है।

(B) दिया गया है $\cos ^{-1} x - \cos ^{-1} \frac{y}{2} = \alpha$.
सूत्र $\cos ^{-1} A - \cos ^{-1} B = \cos ^{-1} (AB + \sqrt{1-A^2} \sqrt{1-B^2})$ का उपयोग करने पर:
$\cos ^{-1} \left( x \cdot \frac{y}{2} + \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-\frac{y^2}{4}} \right) = \alpha$.
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर:
$\frac{xy}{2} + \frac{\sqrt{(1-x^2)(4-y^2)}}{2} = \cos \alpha$.
$\sqrt{(1-x^2)(4-y^2)} = 2 \cos \alpha - xy$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(1-x^2)(4-y^2) = (2 \cos \alpha - xy)^2$.
$4 - y^2 - 4x^2 + x^2y^2 = 4 \cos ^2 \alpha - 4xy \cos \alpha + x^2y^2$.
दोनों पक्षों से $x^2y^2$ घटाने पर:
$4 - y^2 - 4x^2 = 4 \cos ^2 \alpha - 4xy \cos \alpha$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4 - 4 \cos ^2 \alpha$.
चूंकि $1 - \cos ^2 \alpha = \sin ^2 \alpha$,इसलिए:
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4 \sin ^2 \alpha$.

(D) हमें $\sin ^{-1}[\sin (-600^{\circ})] + \cot ^{-1}(-\sqrt{3})$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$\sin (-600^{\circ})$ को सरल करें:
$\sin (-600^{\circ}) = -\sin (600^{\circ}) = -\sin (360^{\circ} + 240^{\circ}) = -\sin (240^{\circ}) = -\sin (180^{\circ} + 60^{\circ}) = -(-\sin 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ}$.
अतः,$\sin ^{-1}[\sin (-600^{\circ})] = \sin ^{-1}(\sin 60^{\circ}) = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$.
अब,$\cot ^{-1}(-\sqrt{3})$ का मान ज्ञात करें:
चूंकि $\cot ^{-1}(-x) = \pi - \cot ^{-1}(x)$,इसलिए $\cot ^{-1}(-\sqrt{3}) = \pi - \cot ^{-1}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
दोनों परिणामों को जोड़ने पर:
$\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} = \frac{2\pi + 5\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.

(B) दिया गया समीकरण: $2 \tan^{-1}(\cos x) = \tan^{-1}(2 \operatorname{cosec} x)$ है।
सूत्र $2 \tan^{-1}(\theta) = \tan^{-1}\left(\frac{2\theta}{1-\theta^2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{2 \cos x}{1-\cos^2 x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2}{\sin x}\right)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
$\frac{2 \cos x}{\sin^2 x} = \frac{2}{\sin x}$।
यदि $\sin x \neq 0$ है,तो दोनों पक्षों को $\frac{2}{\sin x}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\cos x}{\sin x} = 1$,जिसका अर्थ है $\cot x = 1$।
अतः,$x = \frac{\pi}{4}$।

(A) माना $\alpha = \cos^{-1} \frac{1}{5\sqrt{2}}$. तब $\cos \alpha = \frac{1}{5\sqrt{2}}$.
चूंकि $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{50} = \frac{49}{50}$,इसलिए $\sin \alpha = \frac{7}{5\sqrt{2}}$.
अतः,$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{7/5\sqrt{2}}{1/5\sqrt{2}} = 7$.
माना $\beta = \sin^{-1} \frac{4}{\sqrt{17}}$. तब $\sin \beta = \frac{4}{\sqrt{17}}$.
चूंकि $\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - \frac{16}{17} = \frac{1}{17}$,इसलिए $\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{17}}$.
अतः,$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{4/\sqrt{17}}{1/\sqrt{17}} = 4$.
हमें $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$ का मान ज्ञात करना है।
मान रखने पर,$\tan(\alpha - \beta) = \frac{7 - 4}{1 + (7)(4)} = \frac{3}{1 + 28} = \frac{3}{29}$.

(B) माना $\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$. तब $\sin \alpha = \frac{3}{5}$,जिसका अर्थ है $\tan \alpha = \frac{3}{4}$.
माना $\beta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$. तब $\cos \beta = \frac{2}{\sqrt{5}}$,जिसका अर्थ है $\tan \beta = \frac{1}{2}$.
हमें $\tan(\alpha - 2\beta)$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$\tan(2\beta) = \frac{2 \tan \beta}{1 - \tan^2 \beta} = \frac{2(1/2)}{1 - (1/2)^2} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$ की गणना करें।
अब,सूत्र $\tan(\alpha - 2\beta) = \frac{\tan \alpha - \tan 2\beta}{1 + \tan \alpha \tan 2\beta}$ का उपयोग करें।
मान रखने पर: $\tan(\alpha - 2\beta) = \frac{3/4 - 4/3}{1 + (3/4)(4/3)} = \frac{(9-16)/12}{1 + 1} = \frac{-7/12}{2} = -\frac{7}{24}$.

(B) दिया गया है $f(\theta) = \sin ( \tan ^{-1} ( \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos 2 \theta}} ) )$.
सर्वसमिका $\tan ^{-1} x = \sin ^{-1} ( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} )$ का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = \sin ( \sin ^{-1} ( \frac{\frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos 2 \theta}}}{\sqrt{1 + \frac{\sin ^2 \theta}{\cos 2 \theta}}} ) )$
$f(\theta) = \sin ( \sin ^{-1} ( \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos 2 \theta + \sin ^2 \theta}} ) )$
चूँकि $\cos 2 \theta = \cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta$,हमें प्राप्त होता है:
$f(\theta) = \sin ( \sin ^{-1} ( \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta + \sin ^2 \theta}} ) )$
$f(\theta) = \sin ( \sin ^{-1} ( \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos ^2 \theta}} ) )$
$-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}$ के लिए,$\cos \theta > 0$,इसलिए $\sqrt{\cos ^2 \theta} = \cos \theta$.
$f(\theta) = \sin ( \sin ^{-1} ( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} ) ) = \sin ( \sin ^{-1} ( \tan \theta ) ) = \tan \theta$.
अब,हमें $\frac{d}{d(\tan \theta)}(f(\theta))$ ज्ञात करना है।
मान लीजिए $u = \tan \theta$. तो $f(\theta) = u$.
अतः,$\frac{d}{du}(u) = 1$.

(B) हमें $\cot \left(\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{3}+\tan ^{-1} \frac{2}{3}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{3}$ को $\tan^{-1}$ में बदलें। चूँकि $\operatorname{cosec}^{-1} x = \sin^{-1} \frac{1}{x}$,इसलिए $\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{3} = \sin^{-1} \frac{3}{5}$ होगा।
माना $\sin^{-1} \frac{3}{5} = \theta$,तो $\sin \theta = \frac{3}{5}$। अतः,$\tan \theta = \frac{3}{\sqrt{5^2-3^2}} = \frac{3}{4}$। इस प्रकार,$\sin^{-1} \frac{3}{5} = \tan^{-1} \frac{3}{4}$ होगा।
अब व्यंजक $\cot \left(\tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{2}{3}\right)$ बन जाता है।
सूत्र $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{2}{3} = \tan^{-1} \left(\frac{\frac{3}{4} + \frac{2}{3}}{1 - \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{\frac{9+8}{12}}{1 - \frac{6}{12}}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{17/12}{6/12}\right) = \tan^{-1} \frac{17}{6}$।
अंत में,$\cot \left(\tan^{-1} \frac{17}{6}\right) = \cot \left(\cot^{-1} \frac{6}{17}\right) = \frac{6}{17}$।

(C) माना $\cot ^{-1} x = \theta$,तब $x = \cot \theta$.
चूंकि $0 < x < 1$,इसलिए $\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$.
व्यंजक $\sqrt{1+x^2} [\{x \cos \theta + \sin \theta\}^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$ है।
$x = \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{1+\cot^2 \theta} [\{\frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} + \sin \theta\}^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$= \sqrt{\operatorname{cosec}^2 \theta} [\{\frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\sin \theta}\}^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$= \operatorname{cosec} \theta [\{\frac{1}{\sin \theta}\}^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$= \operatorname{cosec} \theta \sqrt{\operatorname{cosec}^2 \theta - 1}$
$= \operatorname{cosec} \theta \sqrt{\cot^2 \theta}$
$= \operatorname{cosec} \theta \cdot \cot \theta$ (चूंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ के लिए $\cot \theta > 0$ है)
यहाँ $\operatorname{cosec} \theta = \sqrt{1+x^2}$ और $\cot \theta = x$ है,अतः उत्तर $x \sqrt{1+x^2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $\sin^{-1} (2 x \sqrt{1 - x^2}) + \sec^{-1} (\frac{1}{2 x^2 - 1}) = \frac{2 \pi}{3}$ है।
चूंकि $\cos^{-1} x = \alpha$,इसलिए $x = \cos \alpha$ है। दिया गया है कि $0 < x < 1$,अतः $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ होगा।
समीकरण में $x = \cos \alpha$ रखने पर:
$\sin^{-1} (2 \cos \alpha \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}) + \sec^{-1} (\frac{1}{2 \cos^2 \alpha - 1}) = \frac{2 \pi}{3}$
$\sin^{-1} (2 \cos \alpha \sin \alpha) + \sec^{-1} (\frac{1}{\cos 2 \alpha}) = \frac{2 \pi}{3}$
$\sin^{-1} (\sin 2 \alpha) + \cos^{-1} (\cos 2 \alpha) = \frac{2 \pi}{3}$
यहाँ $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ है,इसलिए $0 < 2 \alpha < \pi$ होगा। अतः $\sin^{-1} (\sin 2 \alpha) = 2 \alpha$ और $\cos^{-1} (\cos 2 \alpha) = 2 \alpha$ होगा।
इस प्रकार,$2 \alpha + 2 \alpha = \frac{2 \pi}{3}$
$4 \alpha = \frac{2 \pi}{3}$
$\alpha = \frac{\pi}{6}$.