Properties of ITF Questions in Hindi

(B) माना $y = \tan^{-1} \left( \frac{\cos x}{1 + \sin x} \right)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$ और $1 + \sin x = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - x) = 2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos x}{1 + \sin x} = \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - x)}{2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})} = \frac{2 \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) \cos(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})}{2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})} = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$.
अतः,$y = \tan^{-1} \left( \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) \right) = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.

(B) फलन $y = \cos^{-1}(\cos x)$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $\cos^{-1}(\cos x) = x$ केवल तब होता है जब $x \in [0, \pi]$ हो।
यहाँ,$x = \frac{5\pi}{4}$ है,जो अंतराल $(\pi, 2\pi)$ में स्थित है।
अंतराल $(\pi, 2\pi)$ में,$\cos x = \cos(2\pi - x)$ होता है।
इसलिए,$y = \cos^{-1}(\cos(2\pi - x)) = 2\pi - x$ होगा।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2\pi - x) = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \frac{5\pi}{4}$ पर,$\frac{dy}{dx} = -1$ है।

(B) माना $y = \sin^{-1}(3x - 4x^3)$ है।
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $\theta = \sin^{-1} x$ है।
तब,$y = \sin^{-1}(3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta)$ होगा।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ का उपयोग करने पर:
$y = \sin^{-1}(\sin 3\theta) = 3\theta$ प्राप्त होता है।
$\theta = \sin^{-1} x$ वापस रखने पर,हमें $y = 3 \sin^{-1} x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{3}{\sqrt{1-x^2}}$।

(B) दिया गया है $f(x)=(\sin ^{-1} x)^2+(\cos ^{-1} x)^2$.
चूंकि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$.
माना $t = \sin ^{-1} x$. चूंकि $x \in [-1, 1]$,$t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
तब $f(t) = t^2 + (\frac{\pi}{2} - t)^2 = t^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi t + t^2 = 2t^2 - \pi t + \frac{\pi^2}{4}$.
यह ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है। इसका शीर्ष $t = -\frac{-\pi}{2(2)} = \frac{\pi}{4}$ पर है।
चूंकि $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,न्यूनतम मान $t = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है।
$\alpha = f(\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\pi^2}{16}) - \pi(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{8}$.
अधिकतम मान अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ के अंतिम बिंदुओं पर प्राप्त होता है।
$t = -\frac{\pi}{2}$ पर,$f(-\frac{\pi}{2}) = 2(-\frac{\pi}{2})^2 - \pi(-\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{5\pi^2}{4}$.
$t = \frac{\pi}{2}$ पर,$f(\frac{\pi}{2}) = 2(\frac{\pi}{2})^2 - \pi(\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2} - \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{4}$.
अतः,$\beta = \frac{5\pi^2}{4}$.
अंत में,$8(\alpha + \beta) = 8(\frac{\pi^2}{8} + \frac{5\pi^2}{4}) = 8(\frac{\pi^2 + 10\pi^2}{8}) = 11\pi^2$.

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3 - x^2 \tan \theta + x \tan^2 \theta + \tan \theta = 0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग,दो मूलों के गुणनफल का योग और मूलों का गुणनफल इस प्रकार है:
$x_1 + x_2 + x_3 = \tan \theta$
$x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = \tan^2 \theta$
$x_1 x_2 x_3 = -\tan \theta$
हम जानते हैं कि $\tan^{-1} x_1 + \tan^{-1} x_2 + \tan^{-1} x_3 = \tan^{-1} \left( \frac{(x_1 + x_2 + x_3) - x_1 x_2 x_3}{1 - (x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1)} \right)$ होता है।
मान रखने पर:
$= \tan^{-1} \left( \frac{\tan \theta - (-\tan \theta)}{1 - \tan^2 \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} \right)$।
द्विगुणित कोण सूत्र $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$= \tan^{-1} (\tan 2\theta) = 2\theta$।
$\theta = \frac{\pi}{12}$ पर,मान $2 \times \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ होगा।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) दिया गया है $\tan \alpha = \frac{1}{7}$ और $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
चूंकि $\beta$ प्रथम चतुर्थांश में है,$\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
अतः,$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{1}{3}$.
अब,$\alpha + 2\beta = \tan^{-1}(\frac{1}{7}) + 2\tan^{-1}(\frac{1}{3})$.
सूत्र $2\tan^{-1} x = \tan^{-1}(\frac{2x}{1-x^2})$ का उपयोग करने पर:
$2\tan^{-1}(\frac{1}{3}) = \tan^{-1}(\frac{3}{4})$.
अतः,$\alpha + 2\beta = \tan^{-1}(\frac{1}{7}) + \tan^{-1}(\frac{3}{4}) = \tan^{-1}(\frac{1/7 + 3/4}{1 - 3/28}) = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$.

(B) हम जानते हैं कि $\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta} = \cos 2\theta$. अतः,$\frac{\tan^2 \theta - 1}{\tan^2 \theta + 1} = -\cos 2\theta$.
माना $\theta = \frac{\alpha-\pi}{4}$. तब $2\theta = \frac{\alpha-\pi}{2} = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{2}$.
अतः,$-\cos 2\theta = -\cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}) = -\sin \frac{\alpha}{2}$.
व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\operatorname{cosec}^{-1}\left[\left(-\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \cot 5 \alpha\right) \sec \frac{11 \alpha}{2}\right]$
$= \operatorname{cosec}^{-1}\left[\left(-\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \frac{\cos 5 \alpha}{\sin 5 \alpha}\right) \sec \frac{11 \alpha}{2}\right]$
$= \operatorname{cosec}^{-1}\left[\left(\frac{-\sin 5 \alpha \sin \frac{\alpha}{2} + \cos 5 \alpha \cos \frac{\alpha}{2}}{\sin 5 \alpha}\right) \sec \frac{11 \alpha}{2}\right]$
$= \operatorname{cosec}^{-1}\left[\frac{\cos(5 \alpha + \frac{\alpha}{2})}{\sin 5 \alpha} \cdot \sec \frac{11 \alpha}{2}\right]$
$= \operatorname{cosec}^{-1}\left[\frac{\cos \frac{11 \alpha}{2}}{\sin 5 \alpha} \cdot \frac{1}{\cos \frac{11 \alpha}{2}}\right]$
$= \operatorname{cosec}^{-1}(\operatorname{cosec} 5 \alpha) = 5 \alpha$.

(A) कारण $(R)$ के लिए,माना $p = e^{\operatorname{cosech}^{-1} x}$ है।
तब $\operatorname{cosech}^{-1} x = \ln p$,जिसका अर्थ है $x = \operatorname{cosech}(\ln p) = \frac{p^2 - 1}{2p}$।
अतः $2px = p^2 - 1$,या $p^2 - 2px - 1 = 0$।
दिए गए समीकरण $x p^2 - 2p - x = 0$ में $p = \frac{1 + \sqrt{1+x^2}}{x}$ रखने पर यह शून्य हो जाता है।
अतः कारण $(R)$ सत्य है।
कथन $(A)$ के लिए,$\operatorname{cosech}^{-1}(3) = \ln \left(\frac{1 + \sqrt{1+3^2}}{3}\right) = \ln \left(\frac{1 + \sqrt{10}}{3}\right)$।
अतः कथन $(A)$ सत्य है और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(D) हम $|x| < 1$ के लिए सूत्र $2 \tan ^{-1}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ का उपयोग करते हैं।
पहले पद के लिए $x = \frac{1}{3}$ रखने पर:
$2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2(\frac{1}{3})}{1-(\frac{1}{3})^2}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2/3}{1-1/9}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2/3}{8/9}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2}{3} \times \frac{9}{8}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
अब,व्यंजक $\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$ हो जाता है।
$xy < 1$ होने पर $\tan ^{-1}(x) + \tan ^{-1}(y) = \tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1}\left(\frac{3/4 + 1/7}{1 - (3/4)(1/7)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{(21+4)/28}{1 - 3/28}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{25/28}{25/28}\right) = \tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(B) माना $f(x) = 2 \sin ^{-1} x + \sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^2}) + 3 \cos ^{-1} x - \cos ^{-1}(4 x^3 - 3 x)$.
$x \in [-1, 1]$ के लिए,$x = \cos \theta$ रखें,जहाँ $\theta \in [0, \pi]$.
अतः $\sin^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \theta$.
साथ ही,$\sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2}) = \sin^{-1}(\sin 2\theta)$ और $\cos^{-1}(4x^3-3x) = \cos^{-1}(\cos 3\theta)$.
जब $x \in [-1, -\frac{1}{\sqrt{2}}]$,तब $\theta \in [\frac{3\pi}{4}, \pi]$.
अतः,$2\theta \in [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$,इसलिए $\sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta - 2\pi$.
और $3\theta \in [\frac{9\pi}{4}, 3\pi]$,इसलिए $\cos^{-1}(\cos 3\theta) = 3\pi - 3\theta$.
इन मानों को रखने पर: $f(x) = 2(\frac{\pi}{2} - \theta) + (2\theta - 2\pi) + 3\theta - (3\pi - 3\theta) = \pi - 2\theta + 2\theta - 2\pi + 3\theta - 3\pi + 3\theta = 6\theta - 4\pi$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$x \in [-1, -\frac{1}{\sqrt{2}}]$ के लिए सही उत्तर $\pi$ है।

(A) माना $f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ है। सूत्र $\tan^{-1}\left(\frac{a+b}{1-ab}\right) = \tan^{-1} a + \tan^{-1} b$ का उपयोग करने पर,$x < 1$ के लिए $f(x) = \tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(x) = \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x$ प्राप्त होता है।
$x > 1$ के लिए,$\tan^{-1}$ के परिसर के कारण सूत्र में एक स्थिरांक जुड़ जाता है,अर्थात $f(x) = \tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(x) - \pi = \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x - \pi = -\frac{3\pi}{4} + \tan^{-1} x$।
अतः,तर्क $(R)$ सत्य है।
अब,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x < 1$ के लिए,$\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x\right) = 0 + \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+x^2}$।
$x > 1$ के लिए,$\frac{d}{dx}\left(-\frac{3\pi}{4} + \tan^{-1} x\right) = 0 + \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+x^2}$।
चूंकि $\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}$,अभिकथन $(A)$ भी सत्य है,और $(R)$ यह स्पष्ट करता है कि अवकलज समान क्यों हैं। इसलिए,$(A)$ सत्य है और $(R)$ सही व्याख्या है।

(C) दिया गया है कि,$|x|>1$ के लिए $\tanh ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)+\operatorname{coth}^{-1}(x)=\log _e(f(x))$ है।
हम जानते हैं कि $\tanh ^{-1}(u) = \frac{1}{2} \log _e\left(\frac{1+u}{1-u}\right)$।
$u = \frac{1}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\tanh ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2} \log _e\left(\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}\right) = \frac{1}{2} \log _e\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$।
साथ ही,$|x|>1$ के लिए $\operatorname{coth}^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log _e\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$।
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$\tanh ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)+\operatorname{coth}^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log _e\left(\frac{x+1}{x-1}\right) + \frac{1}{2} \log _e\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = \log _e\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$।
इसे $\log _e(f(x))$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ प्राप्त होता है।
अब,$x = -5$ रखने पर:
$f(-5) = \frac{-5+1}{-5-1} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}$।

(A) हम सूत्र $\operatorname{Tan}^{-1} x + \operatorname{Tan}^{-1} y = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$\operatorname{Tan}^{-1} \frac{3}{5} + \operatorname{Tan}^{-1} \frac{6}{41}$ की गणना करें:
$= \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\frac{3}{5} + \frac{6}{41}}{1 - \frac{3}{5} \times \frac{6}{41}} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\frac{123+30}{205}}{\frac{205-18}{205}} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{153}{187} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{9}{11} \right)$.
अब,तीसरा पद जोड़ें: $\operatorname{Tan}^{-1} \frac{9}{11} + \operatorname{Tan}^{-1} \frac{9}{191}$:
$= \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\frac{9}{11} + \frac{9}{191}}{1 - \frac{9}{11} \times \frac{9}{191}} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\frac{1719+99}{2101}}{\frac{2101-81}{2101}} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{1818}{2020} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{9}{10} \right)$.

(C) दिया गया है $2 \operatorname{Tanh}^{-1} x = \operatorname{Sinh}^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$.
मान लीजिए $\operatorname{Tanh}^{-1} x = \theta$,तो $x = \tanh \theta$.
अतः,$2\theta = \operatorname{Sinh}^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$,जिसका अर्थ है $\sinh(2\theta) = \frac{4}{3}$.
सर्वसमिका $\sinh(2\theta) = \frac{2\tanh \theta}{1-\tanh^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\frac{2x}{1-x^2} = \frac{4}{3}$.
$6x = 4 - 4x^2 \implies 4x^2 + 6x - 4 = 0 \implies 2x^2 + 3x - 2 = 0$.
$x$ के लिए हल करने पर: $(2x-1)(x+2) = 0$. चूंकि $\operatorname{Tanh}^{-1} x$ के लिए $|x| < 1$ होता है,इसलिए $x = \frac{1}{2}$ है।
अब,हमें $\operatorname{Cosh}^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \operatorname{Cosh}^{-1}(2)$ ज्ञात करना है।
सूत्र $\operatorname{Cosh}^{-1} y = \log(y + \sqrt{y^2-1})$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\operatorname{Cosh}^{-1}(2) = \log(2 + \sqrt{2^2-1}) = \log(2 + \sqrt{3})$.

(C) दिया गया समीकरण $\sin ^{-1}\left(\frac{12}{x}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{5}{x}\right)=\frac{\pi}{2}$ है।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1}(u) + \cos ^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\sin ^{-1}(u) = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1}(u)$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sin ^{-1}\left(\frac{12}{x}\right) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}\left(\frac{5}{x}\right)$.
सर्वसमिका $\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}(u) = \cos ^{-1}(u)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin ^{-1}\left(\frac{12}{x}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{5}{x}\right)$.
मान लीजिए $\sin ^{-1}\left(\frac{12}{x}\right) = \theta$,तो $\sin \theta = \frac{12}{x}$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\cos \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{x}\right)^2} = \frac{\sqrt{x^2 - 144}}{x}$.
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{x^2 - 144}}{x}\right)$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $\frac{\sqrt{x^2 - 144}}{x} = \frac{5}{x}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 - 144 = 25$.
$x^2 = 169$,जिससे हमें $x = 13$ प्राप्त होता है (क्योंकि यहाँ $\sin^{-1}$ के डोमेन के लिए $x$ धनात्मक होना चाहिए)।

(A) दिया गया समीकरण $\sin \left(\cot ^{-1} x\right)=\cos \left(\tan ^{-1}(1+x)\right)$ है।
हम जानते हैं कि $\sin \left(\cot ^{-1} x\right) = \sin \left(\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$।
साथ ही,$\cos \left(\tan ^{-1}(1+x)\right) = \cos \left(\cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+(1+x)^2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{1+(1+x)^2}}$।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+(1+x)^2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1+x^2 = 1+(1+x)^2$।
$1+x^2 = 1+1+x^2+2x$।
$1+x^2 = 2+x^2+2x$।
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर,$1 = 2+2x$।
$2x = -1$।
$x = -\frac{1}{2}$।

(C) हम जानते हैं कि प्रतिलोम हाइपरबोलिक सेकेंट फलन $\operatorname{sech}^{-1}(x) = \log \left( \frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x} \right)$ के रूप में परिभाषित है।
$x = \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{sech}^{-1}(\cos \theta) = \log \left( \frac{1 + \sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta} \right)$
चूंकि $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$,इसलिए $\sin \theta > 0$,अतः $\sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sin \theta$ होगा।
इस प्रकार,व्यंजक $\log \left( \frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta} \right)$ बन जाता है।
इसे $\log (\sec \theta + \tan \theta)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सर्वसमिका $\sec \theta + \tan \theta = \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{sech}^{-1}(\cos \theta) = \log \left| \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) \right|$.

(C) दी गई व्यंजक: $\sin ^{-1} \frac{4}{5} + 2 \tan ^{-1} \frac{1}{3}$.
सबसे पहले,सूत्र $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \frac{2x}{1-x^2}$ का उपयोग करते हैं:
$2 \tan ^{-1} \frac{1}{3} = \tan ^{-1} \frac{2(1/3)}{1-(1/3)^2} = \tan ^{-1} \frac{2/3}{1-1/9} = \tan ^{-1} \frac{2/3}{8/9} = \tan ^{-1} \left(\frac{2}{3} \times \frac{9}{8}\right) = \tan ^{-1} \frac{3}{4}$.
अब,व्यंजक $\sin ^{-1} \frac{4}{5} + \tan ^{-1} \frac{3}{4}$ हो जाता है।
यदि $\tan ^{-1} \frac{3}{4} = \theta$ है,तो $\tan \theta = \frac{3}{4}$,जिसका अर्थ है $\sin \theta = \frac{3}{5}$ और $\cos \theta = \frac{4}{5}$।
अतः,$\tan ^{-1} \frac{3}{4} = \cos ^{-1} \frac{4}{5}$।
इस मान को रखने पर,हमें $\sin ^{-1} \frac{4}{5} + \cos ^{-1} \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,उत्तर $\frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि $\sinh^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \theta$.
तब,$\sinh \theta = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
हम जानते हैं कि $\cosh^2 \theta - \sinh^2 \theta = 1$,इसलिए $\cosh^2 \theta = 1 + \sinh^2 \theta$.
$\sinh \theta$ का मान रखने पर:
$\cosh^2 \theta = 1 + \left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2 = 1 + \frac{x^2}{1-x^2} = \frac{1-x^2+x^2}{1-x^2} = \frac{1}{1-x^2}$.
अतः,$\cosh \theta = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
अब,$\tanh \theta = \frac{\sinh \theta}{\cosh \theta} = \frac{x/\sqrt{1-x^2}}{1/\sqrt{1-x^2}} = x$.
इसलिए,$\theta = \tanh^{-1} x$.
अतः,$\sinh^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \tanh^{-1} x$.

(A) दिया गया है,$\sin ^{-1} x < \cos ^{-1} x$
चूंकि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,हम $\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x$ लिख सकते हैं।
इसे असमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x < \cos ^{-1} x$
$\Rightarrow \frac{\pi}{2} < 2 \cos ^{-1} x$
$\Rightarrow \cos ^{-1} x > \frac{\pi}{4}$
चूंकि $\cos \theta$ अंतराल $[0, \pi]$ में एक ह्रासमान फलन है,इसलिए दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर असमिका का चिह्न बदल जाएगा:
$x < \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)$
$x < \frac{1}{\sqrt{2}}$
साथ ही,$\sin ^{-1} x$ और $\cos ^{-1} x$ का प्रांत $[-1, 1]$ है।
$x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ और प्रांत $[-1, 1]$ को संयोजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-1 \leq x < \frac{1}{\sqrt{2}}$

(D) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)+\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{5}{4}\right)=\frac{\pi}{2}$
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec}^{-1}(y) = \sin ^{-1}\left(\frac{1}{y}\right)$ जहाँ $|y| \geq 1$ है।
अतः,$\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{5}{4}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)=\frac{\pi}{2}$।
सर्वसमिका $\sin ^{-1}(A) + \cos ^{-1}(A) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$।
चूँकि $\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \sin ^{-1}\left(\sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2}\right) = \sin ^{-1}\left(\sqrt{1 - \frac{16}{25}}\right) = \sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{9}{25}}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$।
इसलिए,$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$,जिसका अर्थ है $\frac{x}{5} = \frac{3}{5}$,अतः $x = 3$।
अंत में,$5 + x = 5 + 3 = 8$।

(A) दिया गया समीकरण $(\tan ^{-1} x)^2+(\cot ^{-1} x)^2=\frac{5 \pi^2}{8}$ है।
सर्वसमिका $\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $(\tan ^{-1} x)^2 + (\cot ^{-1} x)^2 = (\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x)^2 - 2 \tan ^{-1} x \cot ^{-1} x$.
यह मान रखने पर: $(\frac{\pi}{2})^2 - 2 \tan ^{-1} x (\frac{\pi}{2} - \tan ^{-1} x) = \frac{5 \pi^2}{8}$.
$\frac{\pi^2}{4} - \pi \tan ^{-1} x + 2(\tan ^{-1} x)^2 = \frac{5 \pi^2}{8}$.
$2(\tan ^{-1} x)^2 - \pi \tan ^{-1} x + \frac{\pi^2}{4} - \frac{5 \pi^2}{8} = 0$.
$2(\tan ^{-1} x)^2 - \pi \tan ^{-1} x - \frac{3 \pi^2}{8} = 0$.
माना $u = \tan ^{-1} x$. तब $2u^2 - \pi u - \frac{3 \pi^2}{8} = 0$.
द्विघात सूत्र $u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$u = \frac{\pi \pm \sqrt{\pi^2 - 4(2)(-\frac{3 \pi^2}{8})}}{4} = \frac{\pi \pm \sqrt{\pi^2 + 3 \pi^2}}{4} = \frac{\pi \pm 2 \pi}{4}$.
अतः,$u = \frac{3 \pi}{4}$ या $u = -\frac{\pi}{4}$.
चूंकि $x = \tan u$,इसलिए $x = \tan(\frac{3 \pi}{4}) = -1$ या $x = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$.
अतः,$x = -1$.

(D) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणों का उपयोग करते हैं: $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)$,$\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}(x)$,और $\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1}(x)$।
दिया गया व्यंजक: $E = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) - 2\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + 3\cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - 4\tan^{-1}(-1)$
चरण $1$: गुणों को लागू करें:
$E = \left(\pi - \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right) - 2\left(\frac{\pi}{6}\right) + 3\left(\pi - \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right) - 4\left(-\frac{\pi}{4}\right)$
चरण $2$: मानक मान प्रतिस्थापित करें:
$E = \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{3} + 3\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) + \pi$
चरण $3$: व्यंजक को सरल करें:
$E = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 3\left(\frac{3\pi}{4}\right) + \pi$
$E = \frac{\pi}{3} + \frac{9\pi}{4} + \pi$
$E = \frac{4\pi + 27\pi + 12\pi}{12} = \frac{43\pi}{12}$

(A) माना $A = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\sqrt{\frac{x(x+y+z)}{y z}}\right)$,$B = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\sqrt{\frac{y(x+y+z)}{x z}}\right)$,और $C = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\sqrt{\frac{z(x+y+z)}{x y}}\right)$.
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के योग के गुणधर्म का उपयोग करके,यह व्यंजक $\pi$ के बराबर हो जाता है।
कारण $(R)$ एक मानक सूत्र है जिसका उपयोग इस योग को सिद्ध करने के लिए किया जाता है।
अतः,$(A)$ सत्य है और $(R)$ इसकी सही व्याख्या है।

(A) दिया है $\angle C = 90^{\circ}$,इसलिए $a^2 + b^2 = c^2$ है।
माना $S = \tan^{-1}\left(\frac{a}{b+c}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{b}{c+a}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{c}{a+b}\right)$ है।
पहले,$\tan^{-1}\left(\frac{a}{b+c}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{b}{c+a}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a}}{1 - \frac{ab}{(b+c)(c+a)}}\right)$ लें।
$= \tan^{-1}\left(\frac{ac + a^2 + bc + b^2}{(b+c)(c+a) - ab}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{ac + bc + c^2}{bc + ab + c^2 + ac - ab}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{c(a+b+c)}{c(a+b+c)}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ है।
अतः,$S = \frac{\pi}{4} + \tan^{-1}\left(\frac{c}{a+b}\right) = \tan^{-1}(1) + \tan^{-1}\left(\frac{c}{a+b}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1 + \frac{c}{a+b}}{1 - \frac{c}{a+b}}\right)$ है।
$= \tan^{-1}\left(\frac{a+b+c}{a+b-c}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2s}{2(s-c)}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{s}{s-c}\right)$ है।
चूंकि $r = \frac{\Delta}{s}$ और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ है,इसलिए $\frac{r_3}{r} = \frac{s}{s-c}$ है।
अतः,$S = \tan^{-1}\left(\frac{r_3}{r}\right)$ है।

(D) हम सूत्र $\tan ^{-1} A - \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A-B}{1+AB} \right)$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1}\left(\frac{x}{x-2}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{x}{2 x-1}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.
सूत्र लागू करने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{x}{x-2} - \frac{x}{2x-1}}{1 + \frac{x}{x-2} \cdot \frac{x}{2x-1}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{2}{3} \right)$.
$\tan ^{-1}$ के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{x(2x-1) - x(x-2)}{(x-2)(2x-1) + x^2} = \frac{2}{3}$.
$\frac{2x^2 - x - x^2 + 2x}{2x^2 - x - 4x + 2 + x^2} = \frac{2}{3}$.
$\frac{x^2 + x}{3x^2 - 5x + 2} = \frac{2}{3}$.
वज्र-गुणन करने पर:
$3(x^2 + x) = 2(3x^2 - 5x + 2)$.
$3x^2 + 3x = 6x^2 - 10x + 4$.
$3x^2 - 13x + 4 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(3x - 1)(x - 4) = 0$.
अतः,$x = \frac{1}{3}$ या $x = 4$.
दोनों मान मूल व्यंजक के प्रांत में हैं। इसलिए,मानों का समुच्चय $\left\{\frac{1}{3}, 4\right\}$ है।

(B) दिया गया है कि $\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y+\cos ^{-1} z=3 \pi$ है।
हम जानते हैं कि $\cos ^{-1} \theta$ का परिसर $[0, \pi]$ होता है।
चूंकि तीन मानों का योग,जिनमें से प्रत्येक अधिकतम $\pi$ हो सकता है,$3 \pi$ है,इसलिए प्रत्येक पद को $\pi$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\cos ^{-1} x = \pi$,$\cos ^{-1} y = \pi$,और $\cos ^{-1} z = \pi$।
इसका अर्थ है कि $x = \cos \pi = -1$,$y = \cos \pi = -1$,और $z = \cos \pi = -1$।
इन मानों को $x+y+z+3$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(-1) + (-1) + (-1) + 3 = -3 + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x+y+z+3=0$।

(B) दिया गया है,$2 \tan ^{-1} \frac{1}{5}+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7}+2 \tan ^{-1} \frac{1}{8}$
$=2 \left(\tan ^{-1} \frac{1}{5}+\tan ^{-1} \frac{1}{8}\right)+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7}$
सूत्र $\tan ^{-1} A+\tan ^{-1} B=\tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-A B}\right)$ का उपयोग करने पर:
$=2 \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{8}}\right)+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7}$
$=2 \tan ^{-1}\left(\frac{13}{39}\right)+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7} = 2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7}$
$2 \tan ^{-1} A=\tan ^{-1}\left(\frac{2 A}{1-A^2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$=\tan ^{-1}\left(\frac{2 \times \frac{1}{3}}{1-\frac{1}{9}}\right)+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7} = \tan ^{-1}\left(\frac{2/3}{8/9}\right)+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7} = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7}$
अब,$\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7}$ को $\tan ^{-1}$ में बदलें। मान लीजिए $\theta = \sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7}$,तो $\sec \theta = \frac{5 \sqrt{2}}{7}$.
सम्मुख भुजा $\sqrt{(5 \sqrt{2})^2 - 7^2} = \sqrt{50 - 49} = 1$ है। अतः,$\tan \theta = \frac{1}{7}$,इसलिए $\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7} = \tan ^{-1} \frac{1}{7}$.
व्यंजक $\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$ बन जाता है।
$= \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{7}}{1-\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{7}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{21+4}{28-3}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{25}{25}\right) = \tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$

(A) दिया गया है $\cos ^{-1} 2x + \cos ^{-1} 3x = \frac{\pi}{3}$.
सूत्र $\cos ^{-1} A + \cos ^{-1} B = \cos ^{-1} (AB - \sqrt{1-A^2}\sqrt{1-B^2})$ का उपयोग करने पर:
$\cos ^{-1} (2x \cdot 3x - \sqrt{1-(2x)^2}\sqrt{1-(3x)^2}) = \frac{\pi}{3}$
$6x^2 - \sqrt{1-4x^2}\sqrt{1-9x^2} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
$6x^2 - \frac{1}{2} = \sqrt{(1-4x^2)(1-9x^2)}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(6x^2 - \frac{1}{2})^2 = (1-4x^2)(1-9x^2)$
$36x^4 - 6x^2 + \frac{1}{4} = 1 - 13x^2 + 36x^4$
$-6x^2 + 13x^2 = 1 - \frac{1}{4}$
$7x^2 = \frac{3}{4}$
$x^2 = \frac{3}{28}$
$x = \sqrt{\frac{3}{28}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$

(A) दिया गया है: $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2 \sqrt{2}}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\cos ^{-1} x$.
माना $\theta_1 = \tan ^{-1} \left(\frac{1}{2 \sqrt{2}}\right)$ और $\theta_2 = \sin ^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषा के अनुसार:
$\tan \theta_1 = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \implies \cos \theta_1 = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ और $\sin \theta_1 = \frac{1}{3}$.
$\sin \theta_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \cos \theta_2 = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
अब,$\theta_1 + \theta_2 = \cos ^{-1} x \implies x = \cos(\theta_1 + \theta_2)$.
सूत्र $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$x = \cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2$
$x = \left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) - \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$
$x = \frac{2 \times 2}{3 \sqrt{3}} - \frac{1}{3 \sqrt{3}} = \frac{4}{3 \sqrt{3}} - \frac{1}{3 \sqrt{3}} = \frac{3}{3 \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) माना कि $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $y = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
ध्यान दें कि $x^2 + y^2 = \frac{3}{4} + \frac{2}{3} = \frac{9+8}{12} = \frac{17}{12} > 1$.
चूंकि $x, y > 0$ और $x^2 + y^2 > 1$,हम सर्वसमिका $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \pi - \sin^{-1} (x \sqrt{1-y^2} + y \sqrt{1-x^2})$ का उपयोग करते हैं।
मान रखने पर:
$\sin^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}} = \pi - \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - \frac{2}{3}} + \sqrt{\frac{2}{3}} \sqrt{1 - \frac{3}{4}} \right)$
$= \pi - \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{\frac{2}{3}} \sqrt{\frac{1}{4}} \right)$
$= \pi - \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} \cdot 2} \right)$
$= \pi - \sin^{-1} \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} \right)$
$= \pi - \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} \right)$.

(B) दिया गया है कि $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y + \tan^{-1} z = \pi$.
तीन प्रतिलोम स्पर्शज्या (inverse tangents) के योग के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} \left( \frac{x+y+z-xyz}{1-(xy+yz+zx)} \right) = \pi$.
दोनों पक्षों का स्पर्शज्या (tangent) लेने पर:
$\frac{x+y+z-xyz}{1-(xy+yz+zx)} = \tan(\pi) = 0$.
चूंकि हर $1-(xy+yz+zx) \neq 0$ है (दिया गया है $xy+yz+zx < 1$),इसलिए अंश शून्य होना चाहिए:
$x+y+z-xyz = 0$.
अतः,$x+y+z = xyz$.

(C) हम सूत्र $\cos ^{-1} A + \cos ^{-1} B = \cos ^{-1} \left( AB - \sqrt{1-A^2} \sqrt{1-B^2} \right)$ का उपयोग करेंगे।
दिया गया है $\cos ^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)=\cos ^{-1} x$.
यहाँ $A = \frac{5}{13}$ और $B = \frac{3}{5}$ है।
तब $\sqrt{1-A^2} = \sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
और $\sqrt{1-B^2} = \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \left( \frac{5}{13} \cdot \frac{3}{5} - \frac{12}{13} \cdot \frac{4}{5} \right)$.
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \left( \frac{15}{65} - \frac{48}{65} \right)$.
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \left( \frac{15-48}{65} \right)$.
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \left( \frac{-33}{65} \right)$.
अतः,$x = \frac{-33}{65}$.

(B) माना $x = \cos \theta$ है। चूँकि $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$,इसलिए $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $\cos ^{-1}(\cos \theta) + \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2} \cos \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta\right)$ बन जाता है।
सर्वसमिका $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{1}{2}$ और $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ लेने पर,$A = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $\theta + \cos ^{-1}(\cos(\theta - \frac{\pi}{3}))$ हो जाता है।
चूँकि $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}$,इसलिए $-\frac{\pi}{3} \leq \theta - \frac{\pi}{3} \leq 0$,जिसका अर्थ है कि $0 \leq \frac{\pi}{3} - \theta \leq \frac{\pi}{3}$।
चूँकि $\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3} - \theta)$,इसलिए $\cos ^{-1}(\cos(\theta - \frac{\pi}{3})) = \frac{\pi}{3} - \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक का मान $\theta + (\frac{\pi}{3} - \theta) = \frac{\pi}{3}$ है।

(B) दिया गया है कि $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y+\tan ^{-1} z=\frac{\pi}{2}$.
हम जानते हैं कि $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$.
अतः,$\tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right) + \tan ^{-1} z = \frac{\pi}{2}$.
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर,हम $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
माना $A = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ और $B = \tan ^{-1} z$.
तब $\tan(A+B) = \tan \left( \frac{\pi}{2} \right) = \infty$.
$\tan(A+B)$ का मान $\infty$ होने के लिए,हर (denominator) $0$ होना चाहिए।
अतः,$1 - \tan A \tan B = 0$.
$1 - \left( \frac{x+y}{1-xy} \right) z = 0$.
$1 - \frac{xz + yz}{1-xy} = 0$.
$1 - xy - xz - yz = 0$.
इसलिए,$1 - xy - yz - zx = 0$.

(B) दिया गया है कि,$\sin ^{-1}\left(\frac{3}{x}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)=\frac{\pi}{2}$.
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1}(A) + \cos ^{-1}(A) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\sin ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right) = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{x}\right) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)$.
सर्वसमिका $\cos ^{-1}(A) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}(A)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{x}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)$.
माना $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{x}\right) = \theta$,तो $\sin \theta = \frac{3}{x}$,जिसका अर्थ है $\cos \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{x}\right)^2} = \frac{\sqrt{x^2-9}}{x}$.
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{x^2-9}}{x}\right)$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{\sqrt{x^2-9}}{x} = \frac{4}{x}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 - 9 = 16$,जिससे $x^2 = 25$ प्राप्त होता है।
$\sin ^{-1}$ के प्रांत के अनुसार $|\frac{3}{x}| \le 1$ और $|\frac{4}{x}| \le 1$ होना चाहिए,इसलिए $|x| \ge 4$. अतः,$x = 5$.

(B) हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{6}$।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x) + (\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$
$2 \sin ^{-1} x = \frac{3\pi + \pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$
$\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{3}$
$x = \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(C) दिया गया है $f(n) = \tan \left[\sum_{k=1}^{n} \tan ^{-1} \frac{1}{1+k(k+1)}\right]$.
हम जानते हैं कि $\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$.
हम सामान्य पद को $\tan ^{-1} \left(\frac{(k+1)-k}{1+k(k+1)}\right) = \tan ^{-1}(k+1) - \tan ^{-1}(k)$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस प्रकार,योग एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी बन जाता है:
$S_n = (\tan ^{-1}(2) - \tan ^{-1}(1)) + (\tan ^{-1}(3) - \tan ^{-1}(2)) + \ldots + (\tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(n))$.
सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,जिससे $S_n = \tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(1)$ बचता है।
सूत्र $\tan ^{-1} A - \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$S_n = \tan ^{-1} \left(\frac{(n+1)-1}{1+(n+1)(1)}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{n}{n+2}\right)$.
अतः,$f(n) = \tan \left[\tan ^{-1} \left(\frac{n}{n+2}\right)\right] = \frac{n}{n+2}$.
$n = 2021$ के लिए,$f(2021) = \frac{2021}{2021+2} = \frac{2021}{2023}$.