Variable separable type differential equations Questions in Hindi

(D) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}\left(\frac{d y}{d x}\right)=x+y$
$\therefore \frac{d y}{d x}=\sin (x+y)$
मान लीजिए $x+y=t$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1+\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}$,अतः $\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}-1$.
इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{d t}{d x}-1=\sin t$
$\frac{d t}{d x}=1+\sin t$
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{d t}{1+\sin t}=\int d x$
अंश और हर को $(1-\sin t)$ से गुणा करने पर: $\int \frac{1-\sin t}{1-\sin^2 t} d t=\int d x$
$\int \frac{1-\sin t}{\cos^2 t} d t=\int d x$
$\int (\sec^2 t - \sec t \tan t) d t = \int d x$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\tan t - \sec t = x + c$
$t = x+y$ वापस रखने पर: $\tan (x+y) - \sec (x+y) = x + c$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y(1+\log x) = (\log x^x) \frac{dy}{dx}$.
चूँकि $\log x^x = x \log x$,समीकरण $y(1+\log x) = (x \log x) \frac{dy}{dx}$ बन जाता है।
चरों को अलग करने पर: $\frac{1+\log x}{x \log x} dx = \frac{dy}{y}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1+\log x}{x \log x} dx = \int \frac{dy}{y}$.
माना $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$. समाकलन $\int \frac{1+u}{u} du = \int (\frac{1}{u} + 1) du = \log |u| + u = \log |\log x| + \log x$ हो जाता है।
अतः,$\log |\log x| + \log x = \log |y| + C$.
शर्त $y(e) = e^2$ का उपयोग करने पर: $\log |\log e| + \log e = \log |e^2| + C$.
चूँकि $\log e = 1$,हमारे पास $\log |1| + 1 = 2 + C$ है,जो $0 + 1 = 2 + C$ देता है,इसलिए $C = -1$.
$C$ का मान रखने पर: $\log |\log x| + \log x = \log |y| - 1$.
चूँकि $1 = \log e$,हमारे पास $\log |\log x| + \log x + \log e = \log |y|$ है।
$\log a + \log b = \log(ab)$ का उपयोग करने पर,$\log |e \cdot x \log x| = \log |y|$.
अतः,$y = ex \log x$,या $ex \log x - y = 0$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y+1}{x(x-1)}$
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y+1} = \int \frac{dx}{x(x-1)}$
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{x(x-1)} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y+1} = \int \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} \right) dx$
$\ln |y+1| = \ln |x-1| - \ln |x| + \ln C$
$\ln |y+1| = \ln \left| \frac{C(x-1)}{x} \right|$
$y+1 = \frac{C(x-1)}{x}$
$x=2$ और $y=1$ रखने पर: $1+1 = \frac{C(2-1)}{2} \Rightarrow 2 = \frac{C}{2} \Rightarrow C = 4$
यदि हम $C=2$ लेते हैं,तो $y+1 = \frac{2(x-1)}{x} \Rightarrow xy+x = 2x-2 \Rightarrow xy = x-2$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(2 y-1) dx - (2 x+3) dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(2 y-1) dx = (2 x+3) dy$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dx}{2 x+3} = \frac{dy}{2 y-1}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dx}{2 x+3} = \int \frac{dy}{2 y-1}$ प्राप्त होता है।
इसका परिणाम $\frac{1}{2} \ln|2 x+3| = \frac{1}{2} \ln|2 y-1| + C_1$ है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$\ln|2 x+3| = \ln|2 y-1| + 2C_1$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $2C_1 = \ln|c|$,तो $\ln|2 x+3| - \ln|2 y-1| = \ln|c|$।
गुणधर्म $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$ का उपयोग करने पर,हमें $\ln|\frac{2 x+3}{2 y-1}| = \ln|c|$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,हमें $\frac{2 x+3}{2 y-1} = c$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d y}{d x}+\frac{y^2+y+1}{x^2+x+1}=0$
चरों को अलग करने पर: $\frac{d y}{y^2+y+1} = -\frac{d x}{x^2+x+1}$
हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर: $\int \frac{d y}{(y+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = -\int \frac{d x}{(x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$
सूत्र $\int \frac{du}{u^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2y+1}{\sqrt{3}}) = -\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) + C_1$
$\frac{2}{\sqrt{3}}$ से भाग देने और पदों को व्यवस्थित करने पर: $\tan^{-1}(\frac{2y+1}{\sqrt{3}}) + \tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) = C_2$
सर्वसमिका $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1}(\frac{A+B}{1-AB})$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} \left[ \frac{\frac{2y+1}{\sqrt{3}} + \frac{2x+1}{\sqrt{3}}}{1 - (\frac{2y+1}{\sqrt{3}})(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})} \right] = C_2$
अंदर के पद को सरल करने पर: $\frac{\frac{2(x+y+1)}{\sqrt{3}}}{\frac{3 - (4xy+2x+2y+1)}{3}} = \tan C_2$
$\frac{2(x+y+1)}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2(1-x-y-2xy)} = \tan C_2$
$\frac{\sqrt{3}(x+y+1)}{1-x-y-2xy} = \tan C_2$
अतः,$x+y+1 = c(1-x-y-2xy)$,जहाँ $c = \frac{\tan C_2}{\sqrt{3}}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dx}{dt} = \frac{x \log x}{t}$
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dx}{x \log x} = \int \frac{dt}{t}$
मान लीजिए $u = \log x$,तब $du = \frac{1}{x} dx$।
समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $\int \frac{du}{u} = \int \frac{dt}{t}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\log |u| = \log |t| + \log |c|$
$\log |\log x| = \log |tc|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\log x = tc$
अतः,$x = e^{tc}$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 2^{y-x}$ है।
घातांक के नियम का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $\frac{dy}{dx} = \frac{2^y}{2^x}$।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{2^y} = \frac{dx}{2^x}$ प्राप्त होता है,जो $2^{-y} dy = 2^{-x} dx$ के बराबर है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\int 2^{-y} dy = \int 2^{-x} dx$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\int a^u du = \frac{a^u}{\ln a} + C$ का उपयोग करते हुए,$\frac{2^{-y}}{-\ln 2} = \frac{2^{-x}}{-\ln 2} + C_1$ प्राप्त होता है।
$-\ln 2$ से गुणा करने पर,$2^{-y} = 2^{-x} - C_1 \ln 2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$2^{-x} - 2^{-y} = C_1 \ln 2$ प्राप्त होता है।
माना $c = C_1 \ln 2$,अतः हमें $\frac{1}{2^x} - \frac{1}{2^y} = c$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y(1+\log x) \frac{dx}{dy} = x \log x$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{y} = \frac{1+\log x}{x \log x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{y} dy = \int \frac{1+\log x}{x \log x} dx$.
माना $u = \log x$,तब $du = \frac{1}{x} dx$. समाकलन करने पर: $\int \frac{1+u}{u} du = \int (\frac{1}{u} + 1) du = \log |u| + u + C$.
मान प्रतिस्थापित करने पर: $\log |y| = \log |\log x| + \log x + C$.
$x=e, y=e^2$ रखने पर: $\log |e^2| = \log |\log e| + \log e + C \Rightarrow 2 = \log(1) + 1 + C \Rightarrow 2 = 0 + 1 + C \Rightarrow C = 1$.
अतः,$\log |y| = \log |\log x| + \log x + 1$.
चूंकि $1 = \log e$,इसलिए $\log |y| = \log |\log x| + \log x + \log e = \log |e \log x \cdot x|$.
अतः,$y = ex \log x$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos (x+y) \frac{dy}{dx} = 1$.
माना $x+y = V$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dV}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dV}{dx} - 1$.
इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\cos V \left(\frac{dV}{dx} - 1\right) = 1$.
इसे सरल करने पर $\cos V \frac{dV}{dx} = 1 + \cos V$ प्राप्त होता है।
समाकलन के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $\int \frac{\cos V}{1 + \cos V} dV = \int dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\int \left[ \frac{1 + \cos V}{1 + \cos V} - \frac{1}{1 + \cos V} \right] dV = \int dx$.
यह $\int dV - \int \frac{1}{2 \cos^2 (V/2)} dV = \int dx$ बन जाता है,जो $\int dV - \frac{1}{2} \int \sec^2 (V/2) dV = \int dx$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $V - \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan (V/2)}{1/2} = x + c$.
अतः,$V - \tan (V/2) = x + c$.
$V = x+y$ वापस रखने पर: $(x+y) - \tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = x + c$.
इस प्रकार,$y = \tan \left(\frac{x+y}{2}\right) + c$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+e^{2x}) dy + e^x(1+y^2) dx = 0$ है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{1+y^2} = -\frac{e^x}{1+e^{2x}} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{1+y^2} = -\int \frac{e^x}{1+(e^x)^2} dx$.
माना $e^x = t$,तो $e^x dx = dt$ होगा।
समाकलन करने पर,$\tan^{-1}(y) = -\tan^{-1}(t) + C$,अर्थात $\tan^{-1}(y) = -\tan^{-1}(e^x) + C$.
अतः,$\tan^{-1}(y) + \tan^{-1}(e^x) = C$.
$x=0$ और $y=1$ रखने पर,$\tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(e^0) = C$.
$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = C$,जिससे $C = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,विशिष्ट हल $\tan^{-1}(y) + \tan^{-1}(e^x) = \frac{\pi}{2}$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\sec^{2} x \tan y \, dx + \sec^{2} y \tan x \, dy = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sec^{2} x \tan y \, dx = -\sec^{2} y \tan x \, dy$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{\sec^{2} x}{\tan x} \, dx = -\frac{\sec^{2} y}{\tan y} \, dy$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{\sec^{2} x}{\tan x} \, dx = -\int \frac{\sec^{2} y}{\tan y} \, dy$
माना $u = \tan x$,तब $du = \sec^{2} x \, dx$. इसी प्रकार,$v = \tan y$ लेने पर,$dv = \sec^{2} y \, dy$.
अतः,$\int \frac{1}{u} \, du = -\int \frac{1}{v} \, dv$
$\log |u| = -\log |v| + \log |c|$
$\log |\tan x| + \log |\tan y| = \log |c|$
$\log |\tan x \tan y| = \log |c|$
अतः,व्यापक हल $\tan x \tan y = c$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x dy + 2y dx = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x dy = -2y dx$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y} = -2 \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} = -2 \int \frac{dx}{x}$।
इससे $\ln|y| = -2 \ln|x| + C$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर,$\ln|y| + 2 \ln|x| = C$,जो $\ln|y| + \ln|x^2| = C$ में सरल हो जाता है।
अतः,$\ln|yx^2| = C$,जिसका अर्थ है $yx^2 = e^C = k$।
प्रारंभिक स्थिति $x = 2$ और $y = 1$ दी गई है,इन मानों को $x^2y = k$ में रखने पर:
$(2)^2(1) = k \Rightarrow 4(1) = k \Rightarrow k = 4$।
इसलिए,विशिष्ट हल $x^2y = 4$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int dy = -\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$
हम जानते हैं कि $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \sin^{-1} x + c$
अतः,हल है: $y = -\sin^{-1} x + c$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $y + \sin^{-1} x = c$

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\log \left(\frac{dy}{dx}\right) = 9x - 6y + 6$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\frac{dy}{dx} = e^{9x - 6y + 6} = e^{9x+6} \cdot e^{-6y}$.
चरों को अलग करने पर: $e^{6y} dy = e^{9x+6} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{6y} dy = \int e^{9x+6} dx$.
इससे प्राप्त होता है: $\frac{e^{6y}}{6} = \frac{e^{9x+6}}{9} + C$.
दिया गया है कि $x = 0$ पर $y = 1$: $\frac{e^{6}}{6} = \frac{e^{6}}{9} + C$.
$C$ का मान ज्ञात करने पर: $C = \frac{e^{6}}{6} - \frac{e^{6}}{9} = \frac{3e^{6} - 2e^{6}}{18} = \frac{e^{6}}{18}$.
$C$ का मान समीकरण में रखने पर: $\frac{e^{6y}}{6} = \frac{e^{9x+6}}{9} + \frac{e^{6}}{18}$.
दोनों पक्षों को $18$ से गुणा करने पर: $3e^{6y} = 2e^{9x+6} + e^{6}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $y \frac{dx}{dy} = x \log x$
चरों को अलग करने पर: $\frac{dx}{x \log x} = \frac{dy}{y}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{x \log x} dx = \int \frac{1}{y} dy$
माना $u = \log x$,तब $du = \frac{1}{x} dx$. समाकलन $\int \frac{1}{u} du = \log |u| = \log |\log x|$ हो जाता है।
अतः,$\log |\log x| = \log |y| + C$.
$x = e$ और $y = 1$ दिया गया है: $\log |\log e| = \log |1| + C \Rightarrow \log |1| = 0 + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
इस प्रकार,$\log |\log x| = \log |y|$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\log x = y$,जिसका अर्थ है $x = e^y$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\sin ^{-1}\left(\frac{dy}{dx}\right)=x+y$
$\implies \frac{dy}{dx}=\sin (x+y)$
मान लीजिए $x+y=t$ है। तब $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1+\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}$,अतः $\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}-1$।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dt}{dx}-1=\sin t$
$\implies \frac{dt}{dx}=1+\sin t$
$\implies \int \frac{dt}{1+\sin t}=\int dx$
$\frac{1}{1+\sin t}$ का समाकलन करने के लिए,अंश और हर को $(1-\sin t)$ से गुणा करें:
$\int \frac{1-\sin t}{1-\sin^2 t} dt = \int dx$
$\implies \int \frac{1-\sin t}{\cos^2 t} dt = x+c$
$\implies \int (\sec^2 t - \sec t \tan t) dt = x+c$
$\implies \tan t - \sec t = x+c$
$t=x+y$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $x = \tan (x+y) - \sec (x+y) + c$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 + 1) \frac{dy}{dx} + (y^2 + 1) = 0$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x^2 + 1) \frac{dy}{dx} = -(y^2 + 1)$
$\frac{dy}{y^2 + 1} = -\frac{dx}{x^2 + 1}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{y^2 + 1} = -\int \frac{dx}{x^2 + 1}$
हम जानते हैं कि $\int \frac{du}{u^2 + 1} = \tan^{-1} u + C$ होता है।
अतः,$\tan^{-1} y = -\tan^{-1} x + C$
$\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = C$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
चरों को अलग करने पर: $\frac{d\theta}{\theta - \theta_0} = -k dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{d\theta}{\theta - \theta_0} = \int -k dt$.
इससे प्राप्त होता है: $\ln|\theta - \theta_0| = -kt + C_1$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\theta - \theta_0 = e^{-kt + C_1} = e^{C_1} e^{-kt}$.
माना $e^{C_1} = a$.
अतः,$\theta - \theta_0 = a e^{-kt}$.
इस प्रकार,हल $\theta = \theta_0 + a e^{-kt}$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\log\left(\frac{dy}{dx}\right) = x$ है।
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,$\frac{dy}{dx} = e^x$ होता है।
चरों को पृथक करने पर,$dy = e^x dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int dy = \int e^x dx$,जिससे $y = e^x + C$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि जब $x = 0, y = 1$ है,इन मानों को समीकरण में रखने पर: $1 = e^0 + C$।
चूंकि $e^0 = 1$ होता है,इसलिए $1 = 1 + C$,जिसका अर्थ है कि $C = 0$।
अतः,विशिष्ट हल $y = e^x$ है।

(B) माना $x+y = v$ है।
अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$।
इस मान को दिए गए अवकल समीकरण में रखने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \cos v$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dv}{dx} = 1 + \cos v$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cos v = 2 \cos^2 \left(\frac{v}{2}\right)$ का उपयोग करने पर,$\frac{dv}{dx} = 2 \cos^2 \left(\frac{v}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{2 \cos^2 \left(\frac{v}{2}\right)} = dx$,जो सरल होकर $\frac{1}{2} \sec^2 \left(\frac{v}{2}\right) dv = dx$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{2} \sec^2 \left(\frac{v}{2}\right) dv = \int dx$।
इससे $\tan \left(\frac{v}{2}\right) = x + c$ प्राप्त होता है।
$v = x+y$ वापस रखने पर,हमें $\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = x + c$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $y(1+\log x) \frac{dx}{dy} = x \log x$ है।
चरों को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1+\log x}{x \log x} dx = \frac{1}{y} dy$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{1+\log x}{x \log x} dx = \int \frac{1}{y} dy$.
बाएँ पक्ष के समाकलन को अलग करने पर:
$\int \frac{1}{x \log x} dx + \int \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{y} dy$.
माना $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$. समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int \frac{1}{u} du + \int \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{y} dy$.
$\log |u| + \log |x| = \log |y| + \log |c|$.
$u = \log x$ का मान वापस रखने पर:
$\log |\log x| + \log |x| = \log |y| + \log |c|$.
गुणधर्म $\log a + \log b = \log(ab)$ का उपयोग करने पर:
$\log |x \log x| = \log |yc|$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$x \log x = yc$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $e^{\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)}=3^x$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\frac{1}{2}\frac{dy}{dx} = \log_e(3^x)$
गुणधर्म $\log(a^b) = b \log a$ का उपयोग करने पर: $\frac{1}{2}\frac{dy}{dx} = x \log_e 3$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $\frac{dy}{dx} = 2x \log_e 3$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $y = \int (2 \log_e 3) x \, dx$
$y = (2 \log_e 3) \frac{x^2}{2} + C$
$y = x^2 \log_e 3 + C$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(2x - 2y + 3)dx - (x - y + 1)dy = 0$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2(x - y) + 3}{x - y + 1}$
माना $v = x - y$. तब $\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$,अर्थात $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dv}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर: $1 - \frac{dv}{dx} = \frac{2v + 3}{v + 1}$
$\Rightarrow \frac{dv}{dx} = 1 - \frac{2v + 3}{v + 1} = \frac{v + 1 - 2v - 3}{v + 1} = \frac{-(v + 2)}{v + 1}$
$\Rightarrow \frac{v + 1}{v + 2} dv = -dx$
$\Rightarrow \int \left(1 - \frac{1}{v + 2}\right) dv = \int -dx$
$\Rightarrow v - \log|v + 2| = -x + C$
$v = x - y$ रखने पर: $(x - y) - \log|x - y + 2| = -x + C$
$\Rightarrow 2x - y - \log|x - y + 2| = C$
$x = 0, y = 1$ रखने पर: $2(0) - 1 - \log|0 - 1 + 2| = C \Rightarrow -1 - \log(1) = C \Rightarrow C = -1$
अतः,विशिष्ट हल $2x - y - \log(x - y + 2) = -1$ या $2x - y - \log(x - y + 2) + 1 = 0$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\cos x \sin y \, dx + \sin x \cos y \, dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sin x \cos y \, dy = -\cos x \sin y \, dx$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{\cos y}{\sin y} \, dy = -\frac{\cos x}{\sin x} \, dx$ मिलता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{\cos y}{\sin y} \, dy = -\int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx$।
सूत्र $\int \cot \theta \, d\theta = \log |\sin \theta| + C$ का उपयोग करने पर,$\log |\sin y| = -\log |\sin x| + C_1$ प्राप्त होता है।
इसे व्यवस्थित करने पर $\log |\sin x| + \log |\sin y| = C_1$ मिलता है।
लघुगणक के गुणधर्म $\log a + \log b = \log(ab)$ का उपयोग करने पर,$\log |\sin x \sin y| = C_1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,$\sin x \sin y = e^{C_1} = c$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+2y-1}{x+2y+1}$ है।
माना $t = x+2y$. तब $\frac{dt}{dx} = 1 + 2\frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}\left(\frac{dt}{dx} - 1\right)$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2}\left(\frac{dt}{dx} - 1\right) = \frac{t-1}{t+1}$.
$\frac{dt}{dx} - 1 = \frac{2t-2}{t+1} \Rightarrow \frac{dt}{dx} = \frac{2t-2}{t+1} + 1 = \frac{2t-2+t+1}{t+1} = \frac{3t-1}{t+1}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{t+1}{3t-1} dt = \int dx$.
$\frac{t+1}{3t-1}$ का समाकलन करने के लिए,हम इसे $\frac{1}{3} \int \frac{3t+3}{3t-1} dt = \frac{1}{3} \int \frac{3t-1+4}{3t-1} dt = \frac{1}{3} \int (1 + \frac{4}{3t-1}) dt$ के रूप में लिखते हैं।
इससे $\frac{1}{3} (t + \frac{4}{3} \log |3t-1|) = x + C$ प्राप्त होता है।
$9$ से गुणा करने पर: $3t + 4 \log |3t-1| = 9x + 9C$.
$t = x+2y$ रखने पर: $3(x+2y) + 4 \log |3(x+2y)-1| = 9x + K$.
$3x + 6y + 4 \log |3x+6y-1| = 9x + K$.
$6y - 6x + 4 \log |3x+6y-1| = K$.
$6(-x+y) + 4 \log |3x+6y-1| = K$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1}$ है।
माना $x+y = t$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dt}{dx} - 1 = \frac{t+1}{t-1}$
$\frac{dt}{dx} = \frac{t+1}{t-1} + 1 = \frac{t+1+t-1}{t-1} = \frac{2t}{t-1}$.
चरों को अलग करने पर,$\left(\frac{t-1}{2t}\right) dt = dx$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2t}\right) dt = dx$ मिलता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2t}\right) dt = \int dx$
$\frac{1}{2}t - \frac{1}{2} \log |t| = x + C_1$.
$2$ से गुणा करने पर:
$t - \log |t| = 2x + 2C_1$.
$t = x+y$ वापस रखने पर:
$(x+y) - \log |x+y| = 2x + C$ (जहाँ $C = 2C_1$ है)।
$y - x = \log |x+y| + C$,जिसे $y = x + \log |x+y| + C$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x-y+3}{2(x-y)+5}$ है।
माना $v = x-y$। तब $\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dv}{dx}$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $1 - \frac{dv}{dx} = \frac{v+3}{2v+5}$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{v+3}{2v+5} = \frac{2v+5-v-3}{2v+5} = \frac{v+2}{2v+5}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{2v+5}{v+2} dv = \int dx$।
समाकल्य को फिर से लिखने पर: $\int \left( \frac{2(v+2) + 1}{v+2} \right) dv = \int dx$।
यह $\int (2 + \frac{1}{v+2}) dv = \int dx$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $2v + \log|v+2| = x + c$।
$v = x-y$ वापस रखने पर: $2(x-y) + \log|x-y+2| = x + c$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} - e^x = y e^x$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = y e^x + e^x = (y+1) e^x$
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y+1} = \int e^x dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\log |y+1| = e^x + C$
प्रारंभिक स्थिति $x = 0$ और $y = 1$ दी गई है:
$\log |1+1| = e^0 + C$
$\log 2 = 1 + C \Rightarrow C = \log 2 - 1$
$C$ का मान सामान्य हल में रखने पर:
$\log (y+1) = e^x + \log 2 - 1$
$\log (y+1) - \log 2 = e^x - 1$
$\log a - \log b = \log \left(\frac{a}{b}\right)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log \left(\frac{y+1}{2}\right) = e^x - 1$

(A) दिया गया समीकरण: $\left(x \frac{dy}{dx} - y\right) \sin \frac{y}{x} = x^3 e^x$
दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$\left(\frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2}\right) \sin \frac{y}{x} = x e^x$
माना $t = \frac{y}{x}$. तब $\frac{dt}{dx} = \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2}$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dt}{dx} \sin t = x e^x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \sin t \, dt = \int x e^x \, dx$
दाहिनी ओर के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:
$-\cos t = x e^x - \int e^x \, dx$
$-\cos t = x e^x - e^x + c$
$-\cos t = e^x(x - 1) + c$
$t = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$-\cos \frac{y}{x} = e^x(x - 1) + c$
पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$e^x(x - 1) + \cos \frac{y}{x} + c = 0$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $y(1+\log x) \frac{dx}{dy} - x \log x = 0$
चरों को पृथक करने पर:
$y(1+\log x) \frac{dx}{dy} = x \log x$
$\frac{1+\log x}{x \log x} dx = \frac{dy}{y}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{1+\log x}{x \log x} dx = \int \frac{dy}{y}$
माना $v = x \log x$,तब $dv = (1 + \log x) dx$
$\int \frac{dv}{v} = \int \frac{dy}{y}$
$\log(x \log x) = \log y + \log C$
$\log(x \log x) = \log(Cy)$
$x \log x = Cy$
दिया गया है कि $x = e$ और $y = e^2$:
$e \log e = C(e^2)$
$e(1) = Ce^2 \Rightarrow C = \frac{1}{e}$
$C$ का मान समीकरण में रखने पर:
$x \log x = \frac{y}{e}$
$y = ex \log x$

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1}$.
माना $x+y = v$. तब $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{v+1}{v-1}$.
$\frac{dv}{dx} = \frac{v+1}{v-1} + 1 = \frac{v+1+v-1}{v-1} = \frac{2v}{v-1}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{v-1}{2v} dv = \int dx$.
$\frac{1}{2} \int (1 - \frac{1}{v}) dv = x + C$.
$\frac{1}{2} (v - \log |v|) = x + C$.
$v = x+y$ रखने पर: $\frac{x+y}{2} - \frac{1}{2} \log |x+y| = x + C$.
$x = \frac{2}{3}$ और $y = \frac{1}{3}$ दिया गया है,इसलिए $x+y = 1$.
$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \log |1| = \frac{2}{3} + C$.
$\frac{1}{2} - 0 = \frac{2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{6}$.
$C$ का मान वापस रखने पर: $\frac{x+y}{2} - \frac{1}{2} \log |x+y| = x - \frac{1}{6}$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $(x+y) - \log |x+y| = 2x - \frac{1}{3}$.
व्यवस्थित करने पर: $y - x + \frac{1}{3} = \log |x+y|$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(y + x \frac{dy}{dx}) \sin(xy) = \cos x$
माना $u = xy$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{du}{dx} = y + x \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\sin(u) \frac{du}{dx} = \cos x$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int \sin(u) du = \int \cos x dx$।
परिणामस्वरूप: $-\cos(u) = \sin x + C$।
$u = xy$ वापस रखने पर: $-\cos(xy) = \sin x + C$।
$x = 0$ पर,$\cos(0) = -\sin(0) - C$ होता है,जिसका अर्थ है $1 = 0 - C$,अतः $C = -1$।
इस प्रकार,$-\cos(xy) = \sin x - 1$,जिसे सरल करने पर $\sin x + \cos(xy) = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $y \ dx - x \ dy = xy \ dx$ है।
दोनों पक्षों को $xy$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{y \ dx - x \ dy}{xy} = dx$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$d \left( \log \left( \frac{x}{y} \right) \right) = dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int d \left( \log \left( \frac{x}{y} \right) \right) = \int dx$
$\log \left( \frac{x}{y} \right) = x + C$
दिए गए विकल्पों के लिए समाकलन स्थिरांक $C = 0$ मानने पर:
$\log \left( \frac{x}{y} \right) = x$
$\frac{x}{y} = e^x$
$x = y e^x$

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x dy + 2y dx = 0$ है।
$xy$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{y} + \frac{2 dx}{x} = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} + 2 \int \frac{dx}{x} = \int 0$।
इससे $\ln|y| + 2 \ln|x| = C_1$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\ln|y| + \ln|x^2| = C_1$,जिसका अर्थ है $\ln|yx^2| = C_1$।
अतः,$yx^2 = e^{C_1} = C$।
दिया गया है कि $x = 2$ और $y = 1$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(1)(2)^2 = C$,इसलिए $C = 4$।
अतः,विशिष्ट हल $x^2 y = 4$ है।

(A) दिया गया है कि वक्र की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2xy$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y} = 2x \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} = \int 2x \, dx$।
इससे $\log y = x^{2} + C$ प्राप्त होता है।
चूँकि वक्र बिंदु $(0,1)$ से होकर गुजरता है,हम समीकरण में $x = 0$ और $y = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\log(1) = (0)^{2} + C \implies 0 = 0 + C \implies C = 0$।
अतः,वक्र का समीकरण $\log y = x^{2}$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \cos y \,dy = (x e^x \log x + e^x) dx$.
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए):
$\cos y \,dy = \frac{x e^x \log x + e^x}{x} dx$
$\cos y \,dy = (e^x \log x + \frac{e^x}{x}) dx$
हम देखते हैं कि दाहिना पक्ष $e^x \log x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलज है।
गुणन नियम का उपयोग करने पर: $\frac{d}{dx}(e^x \log x) = e^x \log x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x \log x + \frac{e^x}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \cos y \,dy = \int (e^x \log x + \frac{e^x}{x}) dx$
$\sin y = e^x \log x + c$,जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = y + 3$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y + 3} = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y + 3} = \int dx + C$।
इससे $\log(y + 3) = x + C$ ... $(i)$ प्राप्त होता है।
दिया है $y(0) = 2$,अतः $x = 0$ और $y = 2$ को $(i)$ में रखने पर:
$\log(2 + 3) = 0 + C \Rightarrow C = \log 5$।
$C$ का मान $(i)$ में रखने पर,$\log(y + 3) = x + \log 5$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,$y + 3 = e^{x + \log 5} = 5e^x$।
अतः,$y = 5e^x - 3$।
अब,$y(\log 2)$ की गणना करने पर:
$y(\log 2) = 5e^{\log 2} - 3 = 5(2) - 3 = 10 - 3 = 7$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $f^{\prime}(x) = 2 f(x)$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = 2$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx = \int 2 dx$
$\ln |f(x)| = 2x + C$.
प्रारंभिक स्थिति $f(0) = 3$ का उपयोग करने पर:
$\ln |f(0)| = 2(0) + C \Rightarrow \ln 3 = C$.
$C$ का मान समीकरण में वापस रखने पर:
$\ln |f(x)| = 2x + \ln 3$.
$f(2)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 2$ रखने पर:
$\ln |f(2)| = 2(2) + \ln 3 = 4 + \ln 3$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी (exponential) लेने पर:
$f(2) = e^{4 + \ln 3} = e^{4} \cdot e^{\ln 3} = 3 e^{4}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{x dy - y dx}{y} = 0$ है।
$y$ से गुणा करने पर ($y \neq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है: $x dy - y dx = 0$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x dy = y dx$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}$।
इससे प्राप्त होता है: $\ln|y| = \ln|x| + \ln|c|$।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर: $\ln|y| = \ln|cx|$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $y = cx$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -4xy^2$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y^2} = -4x \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int y^{-2} \, dy = \int -4x \, dx$।
इससे $-\frac{1}{y} = -2x^2 + C$ प्राप्त होता है,या $\frac{1}{y} = 2x^2 - C$।
प्रारंभिक स्थिति $x = 0, y = 1$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{1} = 2(0)^2 - C \implies 1 = -C \implies C = -1$।
$C = -1$ को समीकरण $\frac{1}{y} = 2x^2 - C$ में रखने पर,हमें $\frac{1}{y} = 2x^2 + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \frac{1}{2x^2 + 1}$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = e^{x-y}$ है।
हम इसे $\frac{dy}{dx} = e^x \cdot e^{-y}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चरों को पृथक करने पर,हमें $e^y \, dy = e^x \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\int e^y \, dy = \int e^x \, dx$ प्राप्त होता है।
अतः,$e^y = e^x + C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $2x \frac{dy}{dx} - y = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2x \frac{dy}{dx} = y$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{2x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x}$,जिससे $\ln|y| = \frac{1}{2} \ln|x| + C$ प्राप्त होता है।
इसे $\ln|y| = \ln|x^{1/2}| + C$ के रूप में लिखा जा सकता है,अतः $y = k \sqrt{x}$,जहाँ $k = e^C$ है।
प्रतिबंध $y(1) = 2$ का उपयोग करने पर,$2 = k \sqrt{1}$ प्राप्त होता है,अतः $k = 2$ है।
हल $y = 2 \sqrt{x}$ है,जिसका अर्थ है $y^2 = 4x$।
यह समीकरण एक परवलय को दर्शाता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $y \log y \, dx - x \, dy = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y \log y \, dx = x \, dy$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dx}{x} = \frac{dy}{y \log y}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dx}{x} = \int \frac{dy}{y \log y}$
माना $u = \log y$,तब $du = \frac{1}{y} \, dy$.
समाकलन इस प्रकार होगा: $\int \frac{dx}{x} = \int \frac{du}{u}$
$\log |x| = \log |u| + C_1$
$\log |x| = \log |\log y| + C_1$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $|x| = e^{C_1} |\log y|$
माना $e^{C_1} = k$,तो $x = k \log y$ या $\log y = \frac{x}{k} = cx$ (जहाँ $c = 1/k$).
अतः,$y = e^{cx}$.

(B) अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x^2}$ का व्यापक हल ज्ञात करने के लिए,हम चर पृथक्करण विधि का उपयोग करेंगे।
चरण $1$: $x$ और $y$ चरों को अलग करें:
$\frac{dy}{1+y^2} = \frac{dx}{1+x^2}$
चरण $2$: दोनों पक्षों का समाकलन करें:
$\int \frac{dy}{1+y^2} = \int \frac{dx}{1+x^2}$
चरण $3$: मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{du}{1+u^2} = \tan^{-1} u + c$ का उपयोग करें:
$\tan^{-1} y = \tan^{-1} x + c$
अतः,व्यापक हल $\tan^{-1} y = \tan^{-1} x + c$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\sec^2 x \tan y \, dx + \sec^2 y \tan x \, dy = 0$.
दोनों पक्षों को $\tan x \tan y$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx + \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = 0$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx + \int \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = C_1$.
माना $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x \, dx$.
माना $v = \tan y$,तो $dv = \sec^2 y \, dy$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$\int \frac{1}{u} \, du + \int \frac{1}{v} \, dv = C_1$.
$\ln|u| + \ln|v| = C_1$.
$\ln|\tan x| + \ln|\tan y| = C_1$.
गुणधर्म $\ln a + \ln b = \ln(ab)$ का उपयोग करने पर:
$\ln|\tan x \tan y| = C_1$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$|\tan x \tan y| = e^{C_1}$.
माना $e^{C_1} = c$,अतः $\tan x \tan y = c$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} - y = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $x \frac{dy}{dx} = y$
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}$
यह देता है: $\ln|y| = \ln|x| + \ln|c|$
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करने पर: $\ln|y| = \ln|cx|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $y = cx$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = y \tan x$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{y} = \tan x \, dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int \tan x \, dx$.
इससे प्राप्त होता है: $\ln |y| = \ln |\sec x| + C$.
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $|y| = e^{\ln |\sec x| + C} = e^C \cdot |\sec x|$.
माना $e^C = k$,अतः $y = k \sec x$.
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 1$ का उपयोग करने पर: $1 = k \sec(0) \implies 1 = k(1) \implies k = 1$.
$k = 1$ का मान समीकरण में रखने पर,हमें विशिष्ट हल प्राप्त होता है: $y = \sec x$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $2x \frac{dy}{dx} - y = 0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2x \frac{dy}{dx} = y$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{2x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x}$.
इससे प्राप्त होता है: $\ln|y| = \frac{1}{2} \ln|x| + C$.
शर्त $y(1) = 2$ का उपयोग करने पर: $\ln(2) = \frac{1}{2} \ln(1) + C \implies C = \ln(2)$.
$C$ का मान वापस रखने पर: $\ln(y) = \ln(\sqrt{x}) + \ln(2) = \ln(2\sqrt{x})$.
अतः,$y = 2\sqrt{x}$,जिसका अर्थ है $y^2 = 4x$.
समीकरण $y^2 = 4ax$ एक परवलय को दर्शाता है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = 1$ $(y \neq 1)$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = 1 - y$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{1-y} = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{1-y} = \int dx$ प्राप्त होता है।
इससे,$-\log |1-y| = x + C$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के गुणधर्म $-\log |a| = \log |\frac{1}{a}|$ का उपयोग करने पर,हमें $\log \left|\frac{1}{1-y}\right| = x + C$ प्राप्त होता है।