Variable separable type differential equations Questions in Hindi

(D) किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का ढाल $\frac{dy}{dx} = xy$ द्वारा दिया जाता है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{1}{y} dy = x dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{1}{y} dy = \int x dx$,जिससे $\log y = \frac{x^{2}}{2} + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र बिंदु $(1, 1)$ से गुजरता है,हम समीकरण में $x = 1$ और $y = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\log(1) = \frac{1^{2}}{2} + C \implies 0 = \frac{1}{2} + C \implies C = -\frac{1}{2}$.
$C$ का मान समीकरण में वापस रखने पर,हमें $\log y = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2 \log y = x^{2} - 1$ प्राप्त होता है।

(D) माना वक्र का समीकरण $y=f(x)$ है।
चूंकि वक्र बिंदु $(1,1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $f(1)=1$ है।
प्रश्न के अनुसार,वक्र पर किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर,इसकी स्पर्शरेखा की ढाल $(\frac{dy}{dx})$ और $x$-निर्देशांक का गुणनफल $y$-निर्देशांक के बराबर है।
अतः,$x \cdot \frac{dy}{dx} = y$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}$,जिससे $\ln|y| = \ln|x| + C$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $y = kx$ प्राप्त होता है,जहाँ $k = e^C$ है।
शर्त $f(1)=1$ का उपयोग करते हुए,$x=1$ और $y=1$ को $y=kx$ में रखने पर $1 = k(1)$ प्राप्त होता है,इसलिए $k=1$ है।
अतः वक्र का समीकरण $y=x$ है।
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर,बिंदु $(2,2)$ समीकरण $y=x$ को संतुष्ट करता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $e^{dy/dx} = x+1$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\frac{dy}{dx} = \log(x+1)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\int dy = \int \log(x+1) dx$ प्राप्त होता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int \log(x+1) dx = (x+1) \log(x+1) - (x+1) + C$।
वैकल्पिक रूप से,$y = x \log(x+1) - \int \frac{x}{x+1} dx = x \log(x+1) - \int (1 - \frac{1}{x+1}) dx = x \log(x+1) - x + \log(x+1) + C$।
अतः,$y = (x+1) \log(x+1) - x + C$।
प्रारंभिक शर्त $y(0) = 3$ दी गई है,इसलिए $x=0$ और $y=3$ रखने पर: $3 = (0+1) \log(1) - 0 + C \Rightarrow 3 = 0 - 0 + C \Rightarrow C = 3$।
$C=3$ का मान सामान्य हल में रखने पर,$y = (x+1) \log(x+1) - x + 3$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$y+x-3 = (x+1) \log(x+1)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = (x+y)^2$ $(i)$
माना $x+y = t$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1$.
इसे समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dt}{dx} - 1 = t^2$
$\frac{dt}{dx} = t^2 + 1$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dt}{t^2 + 1} = dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dt}{t^2 + 1} = \int dx$
$\tan^{-1}(t) = x + C$
$t = x+y$ वापस रखने पर:
$\tan^{-1}(x+y) = x + C$

(C) दिया गया अवकल समीकरण है,$\frac{dy}{y} + \frac{dx}{x} = 0$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{y} + \int \frac{dx}{x} = \int 0 \, dx$
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{u} du = \log |u| + C$ का उपयोग करने पर:
$\log |y| + \log |x| = \log |c|$
लघुगणक के गुणधर्म $\log a + \log b = \log(ab)$ का उपयोग करने पर:
$\log |xy| = \log |c|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$xy = c$

(D) दिया गया अवकल समीकरण $e^{dy/dx} = x$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\frac{dy}{dx} = \log x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन (integration) करने पर:
$\int dy = \int \log x \, dx$
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$,जहाँ $u = \log x$ और $dv = dx$:
$y = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx$
$y = x \log x - \int 1 \, dx$
$y = x \log x - x + C$
$y = x(\log x - 1) + C$ (समीकरण $i$)
दी गई शर्तों $x = 1$ और $y = 0$ को समीकरण $i$ में रखने पर:
$0 = 1(\log 1 - 1) + C$
$0 = 1(0 - 1) + C$
$0 = -1 + C$
$C = 1$
अतः,$C = 1$ को समीकरण $i$ में रखने पर हमें प्राप्त होता है:
$y = x(\log x - 1) + 1$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = 1 - x^{2} - y^{2} + x^{2}y^{2}$
दाहिनी ओर के पदों का गुणनखंड करने पर: $\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = (1 - x^{2}) - y^{2}(1 - x^{2}) = (1 - x^{2})(1 - y^{2})$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 - x^{2}} \sqrt{1 - y^{2}}$
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{\sqrt{1 - y^{2}}} = \sqrt{1 - x^{2}} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{\sqrt{1 - y^{2}}} = \int \sqrt{1 - x^{2}} dx$
मानक समाकलनों का उपयोग करने पर $\int \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} dy = \sin^{-1} y$ और $\int \sqrt{1 - x^{2}} dx = \frac{x}{2} \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{1}{2} \sin^{-1} x + C_1$:
$\sin^{-1} y = \frac{x}{2} \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{1}{2} \sin^{-1} x + C_1$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2 \sin^{-1} y = x \sqrt{1 - x^{2}} + \sin^{-1} x + 2C_1$
मान लीजिए $C = 2C_1$,तो: $2 \sin^{-1} y = x \sqrt{1 - x^{2}} + \sin^{-1} x + C$

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy - y dx = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $x dy = y dx$
दोनों पक्षों को $xy$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $x, y \neq 0$): $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{y} dy = \int \frac{1}{x} dx$
इससे प्राप्त होता है: $\ln|y| = \ln|x| + C$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $y = cx$,जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है।
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} - y = 3$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x \frac{dy}{dx} = y + 3$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y + 3} = \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\int \frac{dy}{y + 3} = \int \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
इसका परिणाम $\ln|y + 3| = \ln|x| + \ln|c|$ है,जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,हमें $y + 3 = cx$ या $y = cx - 3$ प्राप्त होता है।
यह बिंदु $(0, -3)$ से गुजरने वाली सरल रेखाओं का एक परिवार है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $2x \frac{dy}{dx} - y = 3$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2x \frac{dy}{dx} = y + 3$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y+3} = \frac{dx}{2x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y+3} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
यह $\ln|y+3| = \frac{1}{2} \ln|x| + C_1$ देता है।
$2$ से गुणा करने पर,$2 \ln|y+3| = \ln|x| + 2C_1$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर,$\ln(y+3)^2 = \ln|x| + \ln|c|$,जहाँ $c = e^{2C_1}$ है।
अतः,$(y+3)^2 = cx$,जो परवलयों के एक परिवार का समीकरण है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{1-x^{2} y^{2}} \cdot dx = y \cdot dx + x \cdot dy$ है।
हम जानते हैं कि $d(xy) = y \cdot dx + x \cdot dy$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $\sqrt{1-(xy)^{2}} \cdot dx = d(xy)$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$dx = \frac{d(xy)}{\sqrt{1-(xy)^{2}}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int dx = \int \frac{d(xy)}{\sqrt{1-(xy)^{2}}}$ प्राप्त होता है।
इससे $x = \sin^{-1}(xy) + C$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का साइन लेने पर,$\sin(x - C) = xy$ प्राप्त होता है,जो $\sin(x + C) = xy$ के बराबर है (जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है)।

(D) दिया गया है कि स्पर्शरेखा का ढलान $\frac{dy}{dx} = \frac{3x}{y}$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $y \, dy = 3x \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int y \, dy = \int 3x \, dx$,जिससे $\frac{y^2}{2} = \frac{3x^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,$y^2 = 3x^2 + 2C$ मिलता है,या $y^2 - 3x^2 = K$ जहाँ $K = 2C$ है।
चूँकि वक्र बिंदु $(1, 2)$ से गुजरता है,हम $x=1$ और $y=2$ को समीकरण में रखते हैं: $2^2 - 3(1)^2 = K$,जिससे $4 - 3 = K$,अर्थात $K = 1$ प्राप्त होता है।
वक्र का समीकरण $y^2 - 3x^2 = 1$ है।
यह समीकरण $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ के रूप में है,जो एक अतिपरवलय (Hyperbola) को दर्शाता है।

(B) दिया गया है कि $f^{\prime}(x) = \sqrt{f^2(x)-1}$.
इसे हम $\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f^2(x)-1}} = 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\int \frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f^2(x)-1}} dx = \int 1 dx$ प्राप्त होता है।
मानक समाकलन $\int \frac{1}{\sqrt{t^2-1}} dt = \log |t + \sqrt{t^2-1}| + C$ का उपयोग करते हुए,हमें $\log |f(x) + \sqrt{f^2(x)-1}| = x + C$ मिलता है।
चूंकि $f(0) = 1$ दिया गया है,$x=0$ रखने पर $\log |f(0) + \sqrt{f^2(0)-1}| = 0 + C$ प्राप्त होता है।
$\log |1 + \sqrt{1-1}| = C \Rightarrow \log(1) = C \Rightarrow C = 0$।
अतः,$\log |f(x) + \sqrt{f^2(x)-1}| = x$।
$x=1$ पर,$\log |f(1) + \sqrt{f^2(1)-1}| = 1$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,$f(1) + \sqrt{f^2(1)-1} = e^1 = e$।
$\sqrt{f^2(1)-1} = e - f(1)$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$f^2(1) - 1 = e^2 + f^2(1) - 2ef(1)$।
$-1 = e^2 - 2ef(1) \Rightarrow 2ef(1) = e^2 + 1$।
इस प्रकार,$f(1) = \frac{e^2+1}{2e}$।

(C) दी गई स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{y-4}{x-3}$ है।
चरों को अलग करने पर,$\int \frac{dy}{y-4} = \int \frac{dx}{x-3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln|y-4| = \ln|x-3| + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र $(4, 3)$ से गुजरता है,$x=4$ और $y=3$ रखने पर: $\ln|3-4| = \ln|4-3| + C \Rightarrow \ln(1) = \ln(1) + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$\ln|y-4| = \ln|x-3|$,जिसका अर्थ है $|y-4| = |x-3|$.
इसके दो मामले हैं: $y-4 = x-3$ या $y-4 = -(x-3)$.
मामला $1$: $y-x = 1$. यह रेखा $y=x$ को नहीं काटती है।
मामला $2$: $y-4 = -x+3 \Rightarrow x+y = 7$.
$y=x$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने के लिए,$x+y=7$ में $y=x$ रखने पर: $x+x=7 \Rightarrow 2x=7 \Rightarrow x=\frac{7}{2}$.
अतः,$y=\frac{7}{2}$. बिंदु $(\frac{7}{2}, \frac{7}{2})$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y y^{\prime} = x \left[ \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi\left(\frac{y^2}{x^2}\right)}{\phi^{\prime}\left(\frac{y^2}{x^2}\right)} \right]$.
दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{y}{x} \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi\left(\frac{y^2}{x^2}\right)}{\phi^{\prime}\left(\frac{y^2}{x^2}\right)}$.
माना $v = \frac{y^2}{x^2}$. तब $v x^2 = y^2$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2v x + x^2 \frac{dv}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$.
अतः,$y \frac{dy}{dx} = v x + \frac{x^2}{2} \frac{dv}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{1}{x} (v x + \frac{x^2}{2} \frac{dv}{dx}) = v + \frac{\phi(v)}{\phi^{\prime}(v)}$.
$v + \frac{x}{2} \frac{dv}{dx} = v + \frac{\phi(v)}{\phi^{\prime}(v)}$.
$\frac{x}{2} \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v)}{\phi^{\prime}(v)}$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{\phi^{\prime}(v)}{\phi(v)} dv = \frac{2}{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|\phi(v)| = 2 \ln|x| + \ln|c| = \ln|c x^2|$.
इसलिए,$\phi(v) = c x^2$.
$v = \frac{y^2}{x^2}$ रखने पर,हमें $\phi\left(\frac{y^2}{x^2}\right) = c x^2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\sec(x-y+1) dy = dx$ है।
माना $v = x-y+1$ है।
तब,$\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dv}{dx}$ है।
समीकरण को $\frac{dy}{dx} = \cos(x-y+1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1 - \frac{dv}{dx} = \cos(v)$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dv}{dx} = 1 - \cos(v)$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{1 - \cos(v)} = dx$।
सर्वसमिका $1 - \cos(v) = 2\sin^2(\frac{v}{2})$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{dv}{2\sin^2(\frac{v}{2})} = dx$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{1}{2} \csc^2(\frac{v}{2}) dv = dx$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{2} \csc^2(\frac{v}{2}) dv = \int dx$।
$-\cot(\frac{v}{2}) = x + c$।
$v = x-y+1$ का मान वापस रखने पर: $-\cot(\frac{x-y+1}{2}) = x + c$,जिसे $x + \cot(\frac{x-y+1}{2}) = c'$ (जहाँ $c' = -c$) के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2(y+1) \frac{dy}{dx} + y^2(x+1)^2 = 0$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{y+1}{y^2} dy = -\frac{(x+1)^2}{x^2} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (\frac{1}{y} + \frac{1}{y^2}) dy = -\int (\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2}) dx$.
$\int (\frac{1}{y} + y^{-2}) dy = -\int (1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}) dx$.
$\log |y| - \frac{1}{y} = -(x + 2 \log |x| - \frac{1}{x}) + C$.
$\log |y| - \frac{1}{y} = -x - 2 \log |x| + \frac{1}{x} + C$.
$\log |y| + 2 \log |x| = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - x + C$.
$\log |x^2 y| = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - x + C$.
चूंकि $y(1) = 2$ दिया गया है,$x=1$ और $y=2$ रखने पर: $\log |1^2 \times 2| = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} - 1 + C$.
$\log 2 = 1 + 0.5 - 1 + C \implies \log 2 = 0.5 + C \implies C = \log 2 - 0.5$.
$C$ का मान वापस रखने पर: $\log |x^2 y| = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - x + \log 2 - 0.5$.
$\log |x^2 y| - \log 2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - x - 0.5$.
$\log |\frac{x^2 y}{2}| = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - x - 0.5$.
यह विकल्प $C$ के समान है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $xy(y+2) dy + (y^3-1) dx = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dx}{x} + \frac{y(y+2)}{y^3-1} dy = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dx}{x} + \int \frac{y^2+2y}{y^3-1} dy = c$।
$\frac{y^2+2y}{(y-1)(y^2+y+1)}$ के लिए आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर,$\frac{A}{y-1} + \frac{By+C}{y^2+y+1}$ प्राप्त होता है।
अचरों को हल करने पर,$A = 1$,$B = 0$,$C = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\int \frac{dx}{x} + \int \frac{1}{y-1} dy + \int \frac{1}{y^2+y+1} dy = c$।
$\log |x| + \log |y-1| + \int \frac{1}{(y+1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} dy = c$।
$\log |x(y-1)| + \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{2y+1}{\sqrt{3}} \right) = c$।
चूंकि $y^3-1 = (y-1)(y^2+y+1)$,इसलिए हल $\log |x| + \frac{1}{3} \log |y^3-1| + \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{2y+1}{\sqrt{3}} \right) = c$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos(x+y) dy = dx$।
माना $v = x+y$। अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$।
समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos(x+y)} = \sec(x+y)$।
$v$ और $\frac{dy}{dx}$ का मान रखने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \sec(v)$।
$\frac{dv}{dx} = 1 + \sec(v) = 1 + \frac{1}{\cos(v)} = \frac{\cos(v)+1}{\cos(v)}$।
चरों को पृथक करने पर: $\frac{\cos(v)}{\cos(v)+1} dv = dx$।
सर्वसमिका $\cos(v) = 2\cos^2(v/2) - 1$ का उपयोग करने पर: $\frac{2\cos^2(v/2)-1}{2\cos^2(v/2)} dv = dx$।
$(1 - \frac{1}{2}\sec^2(v/2)) dv = dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (1 - \frac{1}{2}\sec^2(v/2)) dv = \int dx$।
$v - \tan(v/2) = x + c$।
$v = x+y$ रखने पर: $(x+y) - \tan(\frac{x+y}{2}) = x + c$।
$y - \tan(\frac{x+y}{2}) = c$,अर्थात $y = \tan(\frac{x+y}{2}) + c$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x^3 \sin y \frac{d y}{d x}=2$.
चरों को अलग करने पर: $\sin y \, dy = \frac{2}{x^3} \, dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sin y \, dy = \int 2x^{-3} \, dx$.
यह प्राप्त होता है: $-\cos y = 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{x^2} + C$.
$-1$ से गुणा करने पर: $\cos y = \frac{1}{x^2} - C$ ... $(i)$.
शर्त $\lim _{x \rightarrow \infty} y(x) = \frac{\pi}{2}$ दी गई है,इसलिए समीकरण $(i)$ में $x \rightarrow \infty$ की सीमा लेने पर:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \cos y = \lim _{x \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{x^2} - C \right)$.
चूंकि $\cos$ एक सतत फलन है,$\cos(\lim _{x \rightarrow \infty} y) = 0 - C$.
$\cos(\frac{\pi}{2}) = -C \Rightarrow 0 = -C \Rightarrow C = 0$.
$C = 0$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर: $\cos y = \frac{1}{x^2}$.

(A) किसी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$ द्वारा दी गई है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int dy = \int \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) dx$
$y = x - (-\frac{1}{x}) + C$
$y = x + \frac{1}{x} + C$
चूंकि वक्र बिंदु $(1, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए अचर $C$ का मान ज्ञात करने के लिए $x = 1$ और $y = 2$ रखने पर:
$2 = 1 + \frac{1}{1} + C$
$2 = 1 + 1 + C$
$2 = 2 + C$
$C = 0$
अतः,वक्र का समीकरण $y = x + \frac{1}{x}$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2) dx - xy dy = 0$
चरों को अलग करने पर: $\frac{dx}{x} = \frac{y}{1+y^2} dy$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dx}{x} = \int \frac{y}{1+y^2} dy$
$\ln |x| = \frac{1}{2} \ln(1+y^2) + C$
$2$ से गुणा करने पर: $2 \ln |x| = \ln(1+y^2) + 2C$
$\ln(x^2) - \ln(1+y^2) = C'$ (जहाँ $C' = 2C$)
$\ln \left( \frac{x^2}{1+y^2} \right) = C'$
$\frac{x^2}{1+y^2} = e^{C'} = k$
प्रतिबंध $y(1) = 0$ दिया गया है,अतः $x=1$ और $y=0$ रखने पर: $\frac{1^2}{1+0^2} = k \Rightarrow k = 1$
अतः,$\frac{x^2}{1+y^2} = 1 \Rightarrow x^2 = 1+y^2 \Rightarrow x^2 - y^2 = 1$
यह समीकरण एक अतिपरवलय (hyperbola) को दर्शाता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \cos^2(x-y-1)$ $(i)$
माना $x-y-1 = p$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 - \frac{dy}{dx} = \frac{dp}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dp}{dx}$.
इसे समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 - \frac{dp}{dx} = \cos^2 p$
$\frac{dp}{dx} = 1 - \cos^2 p = \sin^2 p$
$\frac{dp}{\sin^2 p} = dx$
$\operatorname{cosec}^2 p \, dp = dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \operatorname{cosec}^2 p \, dp = \int dx$
$-\cot p = x + C'$
$x = -C' - \cot p$
माना $C = -C'$,तो $x = C - \cot(x-y-1)$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dx}{dy} = \frac{\sin y(1 + y \cot y)}{x \log(x^2 e)}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x \log(x^2 e) dx = (\sin y + y \cos y) dy$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int x \log(x^2 e) dx = \int (\sin y + y \cos y) dy$.
बाएँ पक्ष के लिए,मान लीजिए $t = x^2 e$,तब $dt = 2x e dx$,इसलिए $x dx = \frac{dt}{2e}$.
$\int \log(t) \frac{dt}{2e} = \frac{1}{2e} (t \log t - t) = \frac{x^2 e}{2e} (\log(x^2 e) - 1) = \frac{x^2}{2} (\log x^2 + \log e - 1) = \frac{x^2}{2} (2 \log x + 1 - 1) = x^2 \log x$.
दाएँ पक्ष के लिए,खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int (\sin y + y \cos y) dy = y \sin y - \int \sin y dy + \int \sin y dy = y \sin y + C$.
अतः,$x^2 \log x = y \sin y + C$.
चूँकि $y(1) = 0$ दिया गया है,$x = 1$ और $y = 0$ रखने पर: $1^2 \log(1) = 0 \cdot \sin(0) + C \implies 0 = 0 + C \implies C = 0$.
इसलिए,विशिष्ट हल $x^2 \log x = y \sin y$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \cos^2(3x+y)$.
माना $3x+y = t$. तब,$3 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 3$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dt}{dx} - 3 = \cos^2 t$,जो देता है $\frac{dt}{dx} = \cos^2 t + 3$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dt}{\cos^2 t + 3} = dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dt}{\cos^2 t + 3} = \int dx$.
अंश और हर को $\sec^2 t$ से गुणा करने पर: $\int \frac{\sec^2 t dt}{1 + 3\sec^2 t} = \int dx$.
$\sec^2 t = 1 + \tan^2 t$ का उपयोग करने पर: $\int \frac{\sec^2 t dt}{1 + 3(1 + \tan^2 t)} = \int \frac{\sec^2 t dt}{4 + 3\tan^2 t} = \int dx$.
माना $\tan t = m$,तब $\sec^2 t dt = dm$.
समाकलन इस प्रकार होगा: $\int \frac{dm}{4 + 3m^2} = \frac{1}{3} \int \frac{dm}{\frac{4}{3} + m^2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}} \tan^{-1}\left(\frac{m}{2/\sqrt{3}}\right) = x + C$.
सरल करने पर: $\frac{1}{2\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}m}{2}\right) = x + C$.
$2\sqrt{3}$ से गुणा करने पर: $\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \tan t\right) = 2\sqrt{3}(x+C)$.
चूंकि $t = 3x+y$,इसलिए $\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \tan(3x+y)\right) = 2\sqrt{3}(x+C)$.
अतः,$f(x) = 2\sqrt{3}(x+C)$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{ax+b}{cy+d}$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $(cy+d)dy = (ax+b)dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int (cy+d)dy = \int (ax+b)dx$ प्राप्त होता है।
इससे $\frac{cy^2}{2} + dy = \frac{ax^2}{2} + bx + K$ प्राप्त होता है,जहाँ $K$ समाकलन स्थिरांक है।
हल के सरल रेखाओं के परिवार को निरूपित करने के लिए,$x^2$ और $y^2$ वाले पद शून्य होने चाहिए।
इसका अर्थ है कि $x^2$ और $y^2$ के गुणांक शून्य होने चाहिए,अतः $a=0$ और $c=0$ होना चाहिए।
समीकरण में $a=0$ और $c=0$ रखने पर,हमें $dy = bdx$ प्राप्त होता है,जो रेखाओं का एक परिवार निरूपित करता है यदि $b$ और $d$ दोनों शून्य न हों,अर्थात $b^2+d^2 \neq 0$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}$ है।
यदि $\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=m$ है,तो समीकरण को $\frac{dy}{dx}=\frac{m(a_1x+b_1y)+c}{a_1x+b_1y+c_1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे हल करने के लिए,हम $z = a_1x + b_1y$ प्रतिस्थापित करते हैं।
यह प्रतिस्थापन हमें समीकरण को ऐसे रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है जहाँ चर $z$ और $x$ को अलग किया जा सकता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y^3 \cos \sqrt{x}}{\sqrt{x} e^{1/y^2}}$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\int \frac{e^{1/y^2}}{y^3} dy = \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$ प्राप्त होता है।
माना $t = \frac{1}{y^2}$,तो $dt = -\frac{2}{y^3} dy$,इसलिए $\frac{dy}{y^3} = -\frac{dt}{2}$।
माना $u = \sqrt{x}$,तो $du = \frac{dx}{2\sqrt{x}}$,इसलिए $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2du$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$\int e^t (-\frac{1}{2}) dt = \int \cos u (2 du)$ प्राप्त होता है।
$-\frac{1}{2} e^t = 2 \sin u + C$।
$t = \frac{1}{y^2}$ और $u = \sqrt{x}$ वापस रखने पर,$-\frac{1}{2} e^{1/y^2} = 2 \sin \sqrt{x} + C$।
चूंकि $y(0) = 1$ दिया गया है,$x = 0$ पर $y = 1$,इसलिए $-\frac{1}{2} e^1 = 2 \sin(0) + C$,जिससे $C = -\frac{e}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$-\frac{1}{2} e^{1/y^2} = 2 \sin \sqrt{x} - \frac{e}{2}$।
दोनों पक्षों को $-2$ से गुणा करने पर,$e^{1/y^2} = e - 4 \sin \sqrt{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\frac{1}{y^2} = \log_e(e - 4 \sin \sqrt{x})$।
इसकी तुलना $\frac{1}{y^2} = \log_e(f(x))$ से करने पर,$f(x) = e - 4 \sin \sqrt{x}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $2 x \frac{d y}{d x} - y = 4$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2 x \frac{d y}{d x} = 4 + y$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{2}{4 + y} d y = \frac{1}{x} d x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{2}{4 + y} d y = \int \frac{1}{x} d x$।
इससे $2 \ln |4 + y| = \ln |x| + C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C = \ln |c|$ है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर,$\ln (4 + y)^2 = \ln |c x|$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,$(4 + y)^2 = c x$।
यह समीकरण $(y - k)^2 = 4 a (x - h)$ के रूप का है,जो परवलयों का एक परिवार दर्शाता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $e^x \tan y \, dx + (1+e^x) \sec^2 y \, dy = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $e^x \tan y \, dx = -(1+e^x) \sec^2 y \, dy$
चरों को अलग करने पर: $\frac{e^x}{1+e^x} \, dx = -\frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{e^x}{1+e^x} \, dx = -\int \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy$
सूत्र $\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + C$ का उपयोग करने पर:
$\ln(1+e^x) = -\ln(\tan y) + \ln C$
$\ln(1+e^x) + \ln(\tan y) = \ln C$
$\ln[(1+e^x) \tan y] = \ln C$
$(1+e^x) \tan y = C$
चूंकि वक्र बिंदु $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0$ और $y=\frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$(1+e^0) \tan(\frac{\pi}{4}) = C$
$(1+1)(1) = C \implies C = 2$
अतः,वक्र का समीकरण $(1+e^x) \tan y = 2$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = e^{x+y}$
घातांक के नियम का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं: $\frac{dy}{dx} = e^x \cdot e^y$
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{e^y} = e^x dx$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $e^{-y} dy = e^x dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-y} dy = \int e^x dx$
समाकलन करने पर: $-e^{-y} = e^x + C_1$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $e^x + e^{-y} = -C_1$
मान लीजिए $-C_1 = c$,तो अंतिम हल प्राप्त होता है: $e^x + e^{-y} = c$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \sec y$.
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\cos y \, dy = dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cos y \, dy = \int dx$.
यह देता है: $\sin y = x + c$.
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 0$ का उपयोग करते हुए,$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर: $\sin(0) = 0 + c$,जिसका अर्थ है $c = 0$.
$c = 0$ को सामान्य हल में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\sin y = x$,या $x = \sin y$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y(1+x)}{-x(1+y)}$.
चर $x$ और $y$ को अलग करने पर:
$\frac{1+y}{y} dy = -\frac{1+x}{x} dx$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(\frac{1}{y} + 1) dy = -(\frac{1}{x} + 1) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int (\frac{1}{y} + 1) dy = -\int (\frac{1}{x} + 1) dx$.
$\log|y| + y = -(\log|x| + x) + C$.
$\log|y| + y = -\log|x| - x + C$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x + y + \log|x| + \log|y| = C$.
$\log a + \log b = \log(ab)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$x + y + \log|xy| = C$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(e^y + 1) \cos x \, dx + e^y \sin x \, dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{e^y}{e^y + 1} \, dy = -\frac{\cos x}{\sin x} \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{e^y}{e^y + 1} \, dy = -\int \cot x \, dx$।
माना $u = e^y + 1$,तो $du = e^y \, dy$। समाकलन $\int \frac{1}{u} \, du = -\ln|\sin x| + C$ हो जाता है।
अतः,$\ln(e^y + 1) = -\ln|\sin x| + C$,जो $\ln((e^y + 1) \sin x) = C$ में सरल हो जाता है।
इससे $(e^y + 1) \sin x = K$ (जहाँ $K = e^C$) प्राप्त होता है।
वक्र $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ से गुजरता है,इसलिए $x = \frac{\pi}{6}$ और $y = 0$ रखने पर:
$(e^0 + 1) \sin(\frac{\pi}{6}) = K \implies (1 + 1) \cdot \frac{1}{2} = K \implies K = 1$।
अतः,$(e^y + 1) \sin x = 1$,जिसका अर्थ है $e^y + 1 = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$।
इसलिए,$e^y = \operatorname{cosec} x - 1$,और $y = \log_e(\operatorname{cosec} x - 1)$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x-y)^2 \frac{dy}{dx} = a^2$ है।
माना $v = x - y$ है। तब $\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v^2 (1 - \frac{dv}{dx}) = a^2$।
$1 - \frac{dv}{dx} = \frac{a^2}{v^2} \implies \frac{dv}{dx} = 1 - \frac{a^2}{v^2} = \frac{v^2 - a^2}{v^2}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{v^2}{v^2 - a^2} dv = dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{v^2 - a^2 + a^2}{v^2 - a^2} dv = \int dx$।
$\int (1 + \frac{a^2}{v^2 - a^2}) dv = x + c$।
$v + a^2 \cdot \frac{1}{2a} \log \left| \frac{v-a}{v+a} \right| = x + c$।
$v + \frac{a}{2} \log \left| \frac{v-a}{v+a} \right| = x + c$।
$v = x - y$ रखने पर: $(x-y) + \frac{a}{2} \log \left| \frac{x-y-a}{x-y+a} \right| = x + c$।
$-y + \frac{a}{2} \log \left| \frac{x-y-a}{x-y+a} \right| = c$।
$y = \frac{a}{2} \log \left| \frac{x-y-a}{x-y+a} \right| + c'$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(2x - 4y + 3) \frac{dy}{dx} + (x - 2y + 1) = 0$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{x - 2y + 1}{2x - 4y + 3} = -\frac{(x - 2y) + 1}{2(x - 2y) + 3}$.
माना $v = x - 2y$. तब $\frac{dv}{dx} = 1 - 2 \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (1 - \frac{dv}{dx})$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} (1 - \frac{dv}{dx}) = -\frac{v + 1}{2v + 3}$.
$1 - \frac{dv}{dx} = -\frac{2v + 2}{2v + 3} \Rightarrow \frac{dv}{dx} = 1 + \frac{2v + 2}{2v + 3} = \frac{2v + 3 + 2v + 2}{2v + 3} = \frac{4v + 5}{2v + 3}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{2v + 3}{4v + 5} dv = dx$.
$2$ से गुणा करने पर: $\frac{4v + 6}{4v + 5} dv = 2 dx$.
$\int (1 + \frac{1}{4v + 5}) dv = \int 2 dx$.
$v + \frac{1}{4} \log |4v + 5| = 2x + C$.
$v = x - 2y$ रखने पर: $(x - 2y) + \frac{1}{4} \log |4(x - 2y) + 5| = 2x + C$.
$\frac{1}{4} \log |4(x - 2y) + 5| = x + 2y + C$.
$\log |4(x - 2y) + 5| = 4x + 8y + C'$.

(B) दिया गया है,$\frac{dy}{dx} = \sin(x+y) \tan(x+y) - 1$.
माना $x+y = z$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}$,अर्थात $\frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx} - 1$.
इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dz}{dx} - 1 = \sin z \tan z - 1$
$\frac{dz}{dx} = \sin z \tan z = \sin z \cdot \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{\sin^2 z}{\cos z}$.
चरों को पृथक करने पर:
$\int \frac{\cos z}{\sin^2 z} dz = \int dx$.
माना $\sin z = t$,तब $\cos z dz = dt$.
$\int \frac{1}{t^2} dt = x + c$
$- \frac{1}{t} = x + c$
$- \operatorname{cosec} z = x + c$
$z = x+y$ वापस रखने पर:
$- \operatorname{cosec}(x+y) = x + c$
$x + \operatorname{cosec}(x+y) = c$ (जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है)।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 1 = e^{x+y}$ है।
माना $x + y = z$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}$ प्राप्त होता है।
इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dz}{dx} = e^z$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$e^{-z} dz = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int e^{-z} dz = \int dx$।
इससे $-e^{-z} = x + c$ प्राप्त होता है।
$z = x + y$ वापस रखने पर,$-e^{-(x+y)} = x + c$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x + e^{-(x+y)} + c = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (\frac{x}{y})^{-1/3}$ है।
दाहिनी ओर को सरल करने पर,$\frac{dy}{dx} = (\frac{y}{x})^{1/3} = \frac{y^{1/3}}{x^{1/3}}$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$y^{-1/3} dy = x^{-1/3} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int y^{-1/3} dy = \int x^{-1/3} dx$ प्राप्त होता है।
समाकलन के घात नियम $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ का उपयोग करने पर,$\frac{y^{2/3}}{2/3} = \frac{x^{2/3}}{2/3} + C'$ प्राप्त होता है।
$\frac{2}{3}$ से गुणा करने पर,$y^{2/3} = x^{2/3} + \frac{2}{3}C'$ प्राप्त होता है।
माना $c = \frac{2}{3}C'$,तो $y^{2/3} - x^{2/3} = c$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 + y^2 \frac{dy}{dx} = 4$.
चरों को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y^2 dy = (4 - x^2) dx$.
अब,दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int y^2 dy = \int (4 - x^2) dx$.
समाकलन करने पर:
$\frac{y^3}{3} = 4x - \frac{x^3}{3} + C_1$.
पूरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर:
$y^3 = 12x - x^3 + 3C_1$.
माना $3C_1 = C$,तब:
$x^3 + y^3 = 12x + C$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(x - (x+y) \log(x+y)) dx + x dy = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x dy = ((x+y) \log(x+y) - x) dx$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+y) \log(x+y) - x}{x}$.
माना $v = x+y$,तब $dv = dx + dy$,अर्थात $dy = dv - dx$.
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{v \log v - x}{x} = \frac{v \log v}{x} - 1$.
$\frac{dv}{dx} = \frac{v \log v}{x}$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{v \log v} = \int \frac{dx}{x}$.
माना $u = \log v$,तब $du = \frac{1}{v} dv$.
$\int \frac{du}{u} = \int \frac{dx}{x} \implies \log|u| = \log|x| + \log|c|$.
$u = cx \implies \log v = cx$.
$v = x+y$ वापस रखने पर: $\log(x+y) = cx$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(2x-y)^2 dy - 2(2x-y)^2 dx - 2 dx = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(2x-y)^2 dy = [2(2x-y)^2 + 2] dx$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{2(2x-y)^2 + 2}{(2x-y)^2} = 2 + \frac{2}{(2x-y)^2}$.
माना $v = 2x-y$. तब $\frac{dv}{dx} = 2 - \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = 2 - \frac{dv}{dx}$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2 - \frac{dv}{dx} = 2 + \frac{2}{v^2}$.
$-\frac{dv}{dx} = \frac{2}{v^2} \implies -v^2 dv = 2 dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\int v^2 dv = \int 2 dx$.
$-\frac{v^3}{3} = 2x + c_1$.
$v^3 = -6x + c$ (जहाँ $c = -3c_1$).
$v = 2x-y$ वापस रखने पर: $(2x-y)^3 = -6x + c$,जो सरल होकर $(2x-y)^3 + 6x = c$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\tan x \tan y \, dx + \cos^2 x \operatorname{cosec}^2 y \, dy = 0$
पूरे समीकरण को $\cos^2 x \tan y$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\tan x}{\cos^2 x} \, dx + \frac{\operatorname{cosec}^2 y}{\tan y} \, dy = 0$
$\tan x \sec^2 x \, dx + \cot y \operatorname{cosec}^2 y \, dy = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \tan x \sec^2 x \, dx + \int \cot y \operatorname{cosec}^2 y \, dy = C_1$
माना $u = \tan x$,तब $du = \sec^2 x \, dx$. माना $v = \cot y$,तब $dv = -\operatorname{cosec}^2 y \, dy$.
$\int u \, du - \int v \, dv = C_1$
$\frac{u^2}{2} - \frac{v^2}{2} = C_1$
$\tan^2 x - \cot^2 y = 2C_1 = C$
अतः,व्यापक हल $\tan^2 x - \cot^2 y = C$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{2x - 4y - 5}{x - 2y + 2}$ है।
अंश को $2(x - 2y + 2) - 9$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{2(x - 2y + 2) - 9}{x - 2y + 2}$.
माना $t = x - 2y + 2$ है। तब $\frac{dt}{dx} = 1 - 2\frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(1 - \frac{dt}{dx})$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{2}(1 - \frac{dt}{dx}) = \frac{2t - 9}{t} = 2 - \frac{9}{t}$.
$1 - \frac{dt}{dx} = 4 - \frac{18}{t} \Rightarrow \frac{dt}{dx} = \frac{18}{t} - 3 = \frac{18 - 3t}{t}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{t}{18 - 3t} dt = dx \Rightarrow \frac{t}{3(6 - t)} dt = dx$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $-\frac{1}{3} \int \frac{t - 6 + 6}{t - 6} dt = \int dx \Rightarrow -\frac{1}{3} \int (1 + \frac{6}{t - 6}) dt = x + C_1$.
$-\frac{1}{3} (t + 6 \ln|t - 6|) = x + C_1 \Rightarrow -t - 6 \ln|t - 6| = 3x + C$.
$t = x - 2y + 2$ रखने पर: $-(x - 2y + 2) - 6 \ln|x - 2y + 2 - 6| = 3x + C$.
$-x + 2y - 2 - 6 \ln|x - 2y - 4| = 3x + C \Rightarrow -4x + 2y - 6 \ln|x - 2y - 4| = C + 2$.
$-2$ से भाग देने पर: $2x - y + 3 \ln|x - 2y - 4| = k$.
$2x - y + c \log(x - 2y - 4) = k$ से तुलना करने पर,हमें $c = 3$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\cos(x+y) dy = dx$ है,जिसे $\frac{dy}{dx} = \sec(x+y)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $x+y = t$. तब $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1$ प्राप्त होता है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dt}{dx} - 1 = \sec(t) \Rightarrow \frac{dt}{dx} = 1 + \sec(t) = \frac{1+\cos(t)}{\cos(t)}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{\cos(t)}{1+\cos(t)} dt = \int dx$.
सर्वसमिका $1+\cos(t) = 2\cos^2(t/2)$ का उपयोग करने पर,हमें $\int \frac{\cos(t)}{2\cos^2(t/2)} dt = \int dx$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos(t) = 2\cos^2(t/2) - 1$,समाकलन $\int \frac{2\cos^2(t/2)-1}{2\cos^2(t/2)} dt = \int dx$ हो जाता है।
इसका सरल रूप $\int (1 - \frac{1}{2}\sec^2(t/2)) dt = \int dx$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $t - \tan(t/2) = x + C$.
$t = x+y$ रखने पर: $(x+y) - \tan((x+y)/2) = x + C \Rightarrow y - \tan((x+y)/2) = C$.
चूंकि $y(0) = 0$ दिया गया है,$0 - \tan(0/2) = C \Rightarrow C = 0$.
अतः,हल $y = \tan \left(\frac{x+y}{2}\right)$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - y \log_{e} 0.5 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = y \log_{e} 0.5$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y} = (\log_{e} 0.5) dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} = \int (\log_{e} 0.5) dx$,जिससे $\ln y = (\log_{e} 0.5) x + C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 1$ का उपयोग करते हुए,$x = 0$ और $y = 1$ रखने पर: $\ln 1 = (\log_{e} 0.5)(0) + C$,अतः $0 = 0 + C$,जिसका अर्थ है $C = 0$।
इस प्रकार,$\ln y = (\log_{e} 0.5) x$।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर,$y = e^{(\log_{e} 0.5) x} = (e^{\log_{e} 0.5})^x = (0.5)^x$।
हमें दिया गया है कि जैसे $x \rightarrow \infty$,$y(x) \rightarrow k$।
अतः,$k = \lim_{x \rightarrow \infty} (0.5)^x$।
चूंकि $0.5 < 1$,इसलिए जैसे $x \rightarrow \infty$,$(0.5)^x \rightarrow 0$ होता है।
अतः,$k = 0$।