Variable separable type differential equations Questions in Hindi

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{x}{y} = \frac{a}{y}$.
दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करने पर: $y \frac{dy}{dx} + x = a$.
यह चर पृथक्करणीय रूप है: $y dy = (a - x) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int y dy = \int (a - x) dx$.
$\frac{y^2}{2} = ax - \frac{x^2}{2} + C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।
$2$ से गुणा करने पर: $y^2 = 2ax - x^2 + 2C$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 2ax + y^2 = 2C$.
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^2 - 2ax + a^2) + y^2 = 2C + a^2$.
$(x - a)^2 + y^2 = a^2 + 2C$.
यह एक वृत्त को निरूपित करता है जिसका केंद्र $(a, 0)$ है और त्रिज्या का वर्ग $r^2 = a^2 + 2C$ है।
अतः,त्रिज्या $r = \sqrt{a^2 + 2C}$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = 2xye^{x^2}$ है।
चर $x$ और $y$ को अलग करने पर:
$\frac{dy}{y} = 2x e^{x^2} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{y} = \int 2x e^{x^2} dx$ है।
माना $u = x^2$,तब $du = 2x dx$ है।
समाकलन इस प्रकार होगा:
$\ln|y| = \int e^u du = e^u + C = e^{x^2} + C$ है।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर:
$|y| = e^{e^{x^2} + C} = e^C \cdot e^{e^{x^2}}$ है।
माना $c = \pm e^C$,तब व्यापक हल:
$y = c e^{e^{x^2}}$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (x + 9y)^2$ है।
माना $v = x + 9y$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dv}{dx} = 1 + 9\frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{9} \left(\frac{dv}{dx} - 1\right)$।
इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{9} \left(\frac{dv}{dx} - 1\right) = v^2$।
$\frac{dv}{dx} - 1 = 9v^2 \implies \frac{dv}{dx} = 1 + 9v^2$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{1 + 9v^2} = dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{1 + (3v)^2} = \int dx$।
$\frac{1}{3} \tan^{-1}(3v) = x + C$।
$\tan^{-1}(3v) = 3x + 3C$।
$3v = \tan(3x + C_1)$,जहाँ $C_1 = 3C$ है।
$v = x + 9y$ रखने पर: $3(x + 9y) = \tan(3x + C_1) \implies 3x + 27y = \tan(3x + C_1)$।
$x = 0, y = \frac{1}{27}$ दिया गया है: $3(0) + 27(\frac{1}{27}) = \tan(3(0) + C_1) \implies 1 = \tan(C_1)$।
अतः,$C_1 = \frac{\pi}{4}$।
विशिष्ट हल $3x + 27y = \tan(3x + \frac{\pi}{4})$ है।
ध्यान दें कि $\tan(3x + \frac{\pi}{4}) = \tan[3(x + \frac{\pi}{12})]$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $3 e^x \tan y \, dx + (1 - e^x) \sec^2 y \, dy = 0$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = -\frac{3 e^x}{1 - e^x} \, dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = \int \frac{3 e^x}{e^x - 1} \, dx$।
मान लीजिए $u = \tan y$,तो $du = \sec^2 y \, dy$। बायां पक्ष $\ln|\tan y|$ हो जाता है।
दाएं पक्ष के लिए,$v = e^x - 1$ लेने पर,$dv = e^x \, dx$। दायां पक्ष $3 \ln|e^x - 1| + C$ हो जाता है।
अतः,$\ln|\tan y| = 3 \ln|e^x - 1| + C = \ln|e^x - 1|^3 + C$।
इसका अर्थ है $\tan y = K(e^x - 1)^3$।
चूंकि $y(1) = \frac{\pi}{4}$ दिया गया है,$\tan(\frac{\pi}{4}) = K(e^1 - 1)^3$,इसलिए $1 = K(e - 1)^3$,जिससे $K = \frac{1}{(e - 1)^3}$ प्राप्त होता है।
$K$ का मान रखने पर: $\tan y = \frac{(e^x - 1)^3}{(e - 1)^3} = \left(\frac{e^x - 1}{e - 1}\right)^3$।
चूंकि $(e^x - 1)^3 = -(1 - e^x)^3$ और $(e - 1)^3 = -(1 - e)^3$,हमें प्राप्त होता है $\tan y = \left(\frac{1 - e^x}{1 - e}\right)^3$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{2+\sin x}{y+1}\right) \frac{dy}{dx} = -\cos x$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y+1} = -\frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y+1} = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
माना $u = 2+\sin x$,तब $du = \cos x dx$.
अतः,$\ln|y+1| = -\ln|2+\sin x| + C$.
इसे सरल करने पर $\ln|y+1| + \ln|2+\sin x| = C$,या $\ln|(y+1)(2+\sin x)| = C$ प्राप्त होता है।
अतः,$(y+1)(2+\sin x) = K$ (जहाँ $K = e^C$)।
प्रारंभिक शर्त $y(0)=1$ का उपयोग करने पर: $(1+1)(2+\sin 0) = K \implies 2(2+0) = K \implies K = 4$.
अतः,$(y+1)(2+\sin x) = 4$.
अब,$y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ज्ञात कीजिए:
$(y(\frac{\pi}{2})+1)(2+\sin(\frac{\pi}{2})) = 4$.
$(y(\frac{\pi}{2})+1)(2+1) = 4$.
$3(y(\frac{\pi}{2})+1) = 4$.
$y(\frac{\pi}{2})+1 = \frac{4}{3}$.
$y(\frac{\pi}{2}) = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) = \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\sin \left(\frac{x+y}{2}\right) - \sin \left(\frac{x-y}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{x}{2}\right) \sin \left(\frac{y}{2}\right)$.
अतः,समीकरण $\frac{dy}{dx} = -2 \cos \left(\frac{x}{2}\right) \sin \left(\frac{y}{2}\right)$ हो जाता है।
चरों को पृथक करने पर,हमें $\frac{dy}{\sin(y/2)} = -2 \cos(x/2) dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \csc(y/2) dy = -2 \int \cos(x/2) dx$.
$2 \log |\tan(y/4)| = -2(2 \sin(x/2)) + c_1$.
$2$ से भाग देने पर: $\log |\tan(y/4)| = -2 \sin(x/2) + c$,जहाँ $c = c_1/2$.
अतः,व्यापक हल $\log \tan \left(\frac{y}{4}\right) = c - 2 \sin \left(\frac{x}{2}\right)$ है।

(B) स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{y-1}{x^2+x}$ दी गई है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y-1} = \frac{dx}{x(x+1)}$ प्राप्त होता है।
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर,$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y-1} = \int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}) dx$।
$\ln|y-1| = \ln|x| - \ln|x+1| + C$।
$\ln|y-1| = \ln|\frac{x}{x+1}| + C$।
चूंकि वक्र $(1,0)$ से गुजरता है,$x=1$ और $y=0$ रखने पर:
$\ln|0-1| = \ln|\frac{1}{1+1}| + C \implies 0 = \ln(\frac{1}{2}) + C \implies C = \ln(2)$।
अतः,$\ln|y-1| = \ln|\frac{x}{x+1}| + \ln(2) = \ln|\frac{2x}{x+1}|$।
$y-1 = \frac{2x}{x+1} \implies (y-1)(x+1) = 2x$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $2x - (y-1)(x+1) = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \cot x \cdot \cot y$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{\cot y} = \cot x \cdot dx$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\tan y \cdot dy = \cot x \cdot dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \tan y \cdot dy = \int \cot x \cdot dx$.
मानक समाकलन सूत्रों $\int \tan y \cdot dy = \ln|\sec y|$ और $\int \cot x \cdot dx = \ln|\sin x|$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\ln|\sec y| = \ln|\sin x| + \ln|c|$.
गुणधर्म $\ln|a| + \ln|b| = \ln|ab|$ का उपयोग करने पर: $\ln|\sec y| = \ln|c \sin x|$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\sec y = c \sin x$.
चूंकि $\sec y = \frac{1}{\cos y}$,इसलिए $\frac{1}{\cos y} = c \sin x$,जिसका अर्थ है $\sin x = \frac{1}{c} \cos y$.
माना $k = \frac{1}{c}$,तो हमें प्राप्त होता है $\sin x = k \cos y$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\log \left(\frac{dy}{dx}\right) = 2x - 5y$ है।
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,$\frac{dy}{dx} = e^{2x - 5y} = e^{2x} \cdot e^{-5y}$।
चरों को अलग करने पर,$e^{5y} \, dy = e^{2x} \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int e^{5y} \, dy = \int e^{2x} \, dx$।
इससे $\frac{e^{5y}}{5} = \frac{e^{2x}}{2} + C$ प्राप्त होता है।
$10$ से गुणा करने पर,$2e^{5y} = 5e^{2x} + 10C$,या $2e^{5y} - 5e^{2x} = K$।
प्रारंभिक शर्त $y(0) = 0$ का उपयोग करते हुए,$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर:
$2e^{5(0)} - 5e^{2(0)} = K \implies 2(1) - 5(1) = K \implies K = -3$।
अतः,$2e^{5y} - 5e^{2x} = -3$,जिसे $5e^{2x} - 2e^{5y} = 3$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y+1}$ है।
माना $v = x+y+1$ है। तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ है।
इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{1}{v}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{1}{v} = \frac{v+1}{v}$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर: $\frac{v}{v+1} dv = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{v+1-1}{v+1} dv = \int dx$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\int (1 - \frac{1}{v+1}) dv = \int dx$ मिलता है।
समाकलन करने पर $v - \log|v+1| = x + c$ प्राप्त होता है।
$v = x+y+1$ का मान वापस रखने पर: $(x+y+1) - \log|x+y+2| = x + c$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $y+1 - \log|x+y+2| = c$ मिलता है,या $y = \log|x+y+2| + C'$,जहाँ $C' = c-1$ एक स्थिरांक है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=(x-y)^2$ $(i)$ है।
माना $x-y=t$. तब $1-\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx}=1-\frac{dt}{dx}$.
$(i)$ में मान रखने पर,$1-\frac{dt}{dx}=t^2$,अतः $\frac{dt}{dx}=1-t^2$.
चरों को अलग करने पर,$dx = \frac{1}{1-t^2} dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$x = \int \frac{1}{1-t^2} dt = \frac{1}{2} \log \left|\frac{1+t}{1-t}\right| + c$.
$t=x-y$ रखने पर,$x = \frac{1}{2} \log \left|\frac{1+x-y}{1-x+y}\right| + c$.
दिया है $y(1)=1$,अर्थात $x=1$ पर $y=1$: $1 = \frac{1}{2} \log \left|\frac{1+1-1}{1-1+1}\right| + c \Rightarrow 1 = \frac{1}{2} \log(1) + c \Rightarrow c=1$.
अतः,$x = \frac{1}{2} \log \left|\frac{1+x-y}{1-x+y}\right| + 1$.
$x-1 = \frac{1}{2} \log \left|\frac{1+x-y}{1-x+y}\right| \Rightarrow 2(x-1) = \log \left|\frac{1+x-y}{1-x+y}\right|$.
$\log(a/b) = -\log(b/a)$ का उपयोग करने पर,$2(x-1) = -\log \left|\frac{1-x+y}{1+x-y}\right|$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(2+\sin x) \frac{dy}{dx} + (y+1) \cos x = 0$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{1}{y+1} dy = -\frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{y+1} dy = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
इससे प्राप्त होता है: $\ln(y+1) = -\ln(2+\sin x) + C$.
प्रारंभिक शर्त $y(0)=1$ का उपयोग करने पर: $\ln(1+1) = -\ln(2+\sin 0) + C \implies \ln 2 = -\ln 2 + C \implies C = 2\ln 2 = \ln 4$.
$C$ का मान रखने पर: $\ln(y+1) = -\ln(2+\sin x) + \ln 4 = \ln\left(\frac{4}{2+\sin x}\right)$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $y+1 = \frac{4}{2+\sin x} \implies y = \frac{4}{2+\sin x} - 1$.
अब,$x = \frac{\pi}{2}$ पर मान ज्ञात करने पर: $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{4}{2+\sin(\pi/2)} - 1 = \frac{4}{2+1} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{5+e^x}{2+y}\right) \frac{dy}{dx} + e^x = 0$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{2+y} = -\frac{e^x}{5+e^x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{2+y} = -\int \frac{e^x}{5+e^x} dx$.
इससे प्राप्त होता है: $\log |2+y| = -\log |5+e^x| + C$.
प्रारंभिक स्थिति $y(0)=1$ का उपयोग करने पर: $\log |2+1| = -\log |5+e^0| + C \Rightarrow \log 3 = -\log 6 + C \Rightarrow C = \log 3 + \log 6 = \log 18$.
अतः,$\log |2+y| = \log \left|\frac{18}{5+e^x}\right|$,जिसका अर्थ है $2+y = \frac{18}{5+e^x}$.
इस प्रकार,$y(x) = \frac{18}{5+e^x} - 2$.
$x = \log 13$ के लिए,$y(\log 13) = \frac{18}{5+e^{\log 13}} - 2 = \frac{18}{5+13} - 2 = \frac{18}{18} - 2 = 1 - 2 = -1$.

(C) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-2y=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $(x-1)^2+(y-1)^2=2$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का केंद्र $(1, 1)$ है।
वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x^2}$ द्वारा दी गई है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\int \frac{1}{y} dy = \int \frac{2}{x^2} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\log |y| = -\frac{2}{x} + c$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र $(1, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x=1$ और $y=1$ रखने पर:
$\log |1| = -\frac{2}{1} + c \implies 0 = -2 + c \implies c = 2$.
सामान्य हल में $c=2$ रखने पर,हमें $\log |y| = -\frac{2}{x} + 2$ प्राप्त होता है।
$x$ से गुणा करने पर,$x \log |y| = -2 + 2x = 2(x-1)$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2)(1+\log x) dx + x dy = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(1+y^2)(1+\log x) dx = -x dy$
चरों को अलग करने पर: $\frac{1+\log x}{x} dx = -\frac{1}{1+y^2} dy$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1+\log x}{x} dx = -\int \frac{1}{1+y^2} dy$
माना $1+\log x = t$,तब $\frac{1}{x} dx = dt$।
इसे प्रतिस्थापित करने पर: $\int t dt = -\tan^{-1} y + C$
$\frac{t^2}{2} = -\tan^{-1} y + C$
$\frac{(1+\log x)^2}{2} = -\tan^{-1} y + C$
$x=1, y=1$ पर: $\frac{(1+\log 1)^2}{2} = -\tan^{-1}(1) + C$
$\frac{1}{2} = -\frac{\pi}{4} + C \implies C = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$
$C$ का मान वापस रखने पर: $\frac{(1+\log x)^2}{2} = -\tan^{-1} y + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$
$\frac{1 + 2\log x + (\log x)^2}{2} = -\tan^{-1} y + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$
$\frac{1}{2} + \log x + \frac{(\log x)^2}{2} = -\tan^{-1} y + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$
$\log x + \frac{(\log x)^2}{2} + \tan^{-1} y = \frac{\pi}{4}$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{1}{x} \frac{dy}{dx} = \tan^{-1} x$
चरों को अलग करने पर: $dy = x \tan^{-1} x dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $y = \int x \tan^{-1} x dx$
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int u dv = uv - \int v du$,जहाँ $u = \tan^{-1} x$ और $dv = x dx$:
$y = \tan^{-1} x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{x^2}{2} dx$
$y = \frac{x^2 \tan^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} dx$
अंश में $1$ जोड़ने और घटाने पर:
$y = \frac{x^2 \tan^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2} dx$
$y = \frac{x^2 \tan^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} \left( \int 1 dx - \int \frac{1}{1+x^2} dx \right)$
$y = \frac{x^2 \tan^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} (x - \tan^{-1} x) + c$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1} \dots (i)$
माना $x+y = v$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1 \dots (ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{v+1}{v-1}$
$\frac{dv}{dx} = \frac{v+1}{v-1} + 1 = \frac{v+1+v-1}{v-1} = \frac{2v}{v-1}$
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{v-1}{2v} dv = dx$
$\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{v}) dv = dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\frac{1}{2} (v - \log|v|) = x + c_1$
$v - \log|v| = 2x + 2c_1$
$v = x+y$ रखने पर:
$(x+y) - \log|x+y| = 2x + c$
$y - \log|x+y| = x + c$
$y = x + \log|x+y| + c$,जहाँ $c = -2c_1$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $e^{y-x} \frac{dy}{dx} = y \left( \frac{\sin x + \cos x}{1 + y \log y} \right)$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{e^y}{e^x} \frac{dy}{dx} = \frac{y}{1 + y \log y} (\sin x + \cos x)$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{e^y (1 + y \log y)}{y} dy = e^x (\sin x + \cos x) dx$
बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $e^y \left( \log y + \frac{1}{y} \right) dy = e^x (\sin x + \cos x) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^y \left( \log y + \frac{1}{y} \right) dy = \int e^x (\sin x + \cos x) dx$
सर्वसमिका $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + c$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $e^y \log y = e^x \sin x + c$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) = \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \sin \left(\frac{x-y}{2}\right) - \sin \left(\frac{x+y}{2}\right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cos \left(\frac{x}{2}\right) \sin \left(-\frac{y}{2}\right) = -2 \sin \left(\frac{y}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right)$
चरों को पृथक करने पर: $\int \operatorname{cosec} \left(\frac{y}{2}\right) dy = -\int 2 \cos \left(\frac{x}{2}\right) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $2 \log \tan \left(\frac{y}{4}\right) = -4 \sin \left(\frac{x}{2}\right) + c_1$
$2$ से भाग देने पर: $\log \tan \left(\frac{y}{4}\right) = -2 \sin \left(\frac{x}{2}\right) + C$,जहाँ $C = \frac{c_1}{2}$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+2) \frac{dy}{dx} = x^2+4x-9$.
दाहिनी ओर को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $x^2+4x-9 = (x^2+4x+4) - 13 = (x+2)^2 - 13$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+2)^2 - 13}{x+2} = (x+2) - \frac{13}{x+2}$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int dy = \int (x+2) dx - 13 \int \frac{1}{x+2} dx$.
$y = \frac{(x+2)^2}{2} - 13 \ln|x+2| + C$.
दिया गया है $y(0) = 0$,इसलिए $x=0$ और $y=0$ रखने पर:
$0 = \frac{(0+2)^2}{2} - 13 \ln|0+2| + C$.
$0 = 2 - 13 \ln(2) + C \implies C = 13 \ln(2) - 2$.
इस प्रकार,हल $y(x) = \frac{(x+2)^2}{2} - 13 \ln|x+2| + 13 \ln(2) - 2$ है।
अब,$y(-4)$ ज्ञात करते हैं:
$y(-4) = \frac{(-4+2)^2}{2} - 13 \ln|-4+2| + 13 \ln(2) - 2$.
$y(-4) = \frac{(-2)^2}{2} - 13 \ln(2) + 13 \ln(2) - 2$.
$y(-4) = \frac{4}{2} - 2 = 2 - 2 = 0$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{3e^{2x} + 3e^{4x}}{e^x + e^{-x}}$
अंश से $3e^{2x}$ कॉमन लेने पर: $3e^{2x}(1 + e^{2x})$
हर का सरलीकरण करने पर: $e^x + e^{-x} = e^x + \frac{1}{e^x} = \frac{e^{2x} + 1}{e^x}$
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{3e^{2x}(1 + e^{2x})}{\frac{e^{2x} + 1}{e^x}}$
समान पद $(1 + e^{2x})$ को काटने पर: $\frac{dy}{dx} = 3e^{2x} \cdot e^x = 3e^{3x}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int dy = \int 3e^{3x} dx$
$y = 3 \cdot \frac{e^{3x}}{3} + c = e^{3x} + c$

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y^2) dx - xy dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(1+y^2) dx = xy dy$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{1}{x} dx = \frac{y}{1+y^2} dy$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{x} dx = \int \frac{y}{1+y^2} dy$।
इससे $\log |x| = \frac{1}{2} \log (1+y^2) + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x=1$ और $y=0$ दिया गया है,मान रखने पर: $\log(1) = \frac{1}{2} \log(1+0^2) + C$,जिसका अर्थ है $0 = 0 + C$,इसलिए $C=0$।
समीकरण $\log x = \frac{1}{2} \log (1+y^2)$ बन जाता है।
$2$ से गुणा करने पर,$2 \log x = \log (1+y^2)$ प्राप्त होता है,जो $\log(x^2) = \log(1+y^2)$ है।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,$x^2 = 1+y^2$,या $x^2 - y^2 = 1$।
यह समीकरण एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\log \left(\frac{d y}{d x}\right)=a x+b y$ है।
दोनों पक्षों में चरघातांकी लेने पर,$\frac{d y}{d x}=e^{a x+b y} = e^{a x} \cdot e^{b y}$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{d y}{e^{b y}} = e^{a x} d x$,जो $e^{-b y} d y = e^{a x} d x$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int e^{-b y} d y = \int e^{a x} d x$ प्राप्त होता है।
इससे $\frac{e^{-b y}}{-b} = \frac{e^{a x}}{a} + C$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{e^{a x}}{a} + \frac{e^{-b y}}{b} = -C$ प्राप्त होता है।
$ab$ से गुणा करने पर,$b e^{a x} + a e^{-b y} = -abC$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $c_1 = -abC$,तो $a e^{-b y} + b e^{a x} = c_1$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\cos x(1+\cos y) dx - \sin y(1+\sin x) dy = 0$ है।
चरों को अलग करने पर:
$\cos x(1+\cos y) dx = \sin y(1+\sin x) dy$
$\frac{\cos x}{1+\sin x} dx = \frac{\sin y}{1+\cos y} dy$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx = \int \frac{\sin y}{1+\cos y} dy$
माना $u = 1+\sin x$,तब $du = \cos x dx$।
माना $v = 1+\cos y$,तब $dv = -\sin y dy$,अर्थात $\sin y dy = -dv$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{1}{u} du = \int -\frac{1}{v} dv$
$\ln|u| = -\ln|v| + \ln|c|$
$\ln|1+\sin x| = -\ln|1+\cos y| + \ln|c|$
$\ln|1+\sin x| + \ln|1+\cos y| = \ln|c|$
$\ln|(1+\sin x)(1+\cos y)| = \ln|c|$
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर:
$(1+\sin x)(1+\cos y) = c$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x^2}$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{1+y^2} = \frac{dx}{1+x^2}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{1+y^2} = \int \frac{dx}{1+x^2}$.
यह प्राप्त होता है: $\tan^{-1}(y) = \tan^{-1}(x) + C$,जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\tan^{-1}(y) - \tan^{-1}(x) = C$.
सूत्र $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}(\frac{A-B}{1+AB})$ का उपयोग करने पर: $\tan^{-1}(\frac{y-x}{1+xy}) = C$.
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर: $\frac{y-x}{1+xy} = \tan(C)$.
माना $\tan(C) = c$,जहाँ $c$ एक नया स्थिरांक है।
अतः,$y-x = c(1+xy)$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = y + 3$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y + 3} = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y + 3} = \int dx + C$।
इससे $\log|y + 3| = x + C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 2$ दी गई है,इसलिए $x = 0$ और $y = 2$ रखने पर:
$\log|2 + 3| = 0 + C \implies C = \log 5$।
अतः,समीकरण $\log(y + 3) = x + \log 5$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,$y + 3 = e^{x + \log 5} = 5e^x$।
इस प्रकार,$y = 5e^x - 3$।
अब,$y(\log 2)$ की गणना करने पर:
$y(\log 2) = 5e^{\log 2} - 3$।
चूंकि $e^{\log 2} = 2$,इसलिए $y(\log 2) = 5(2) - 3 = 10 - 3 = 7$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos (x+y) dy = dx$.
$dy$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $\frac{dx}{dy} = \cos (x+y)$.
मान लीजिए $x+y = u$. $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dx}{dy} + 1 = \frac{du}{dy}$,जिसका अर्थ है $\frac{dx}{dy} = \frac{du}{dy} - 1$.
इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{du}{dy} - 1 = \cos u$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{du}{dy} = 1 + \cos u$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{du}{1 + \cos u} = dy$.
सर्वसमिका $1 + \cos u = 2 \cos^2 \left(\frac{u}{2}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\frac{du}{2 \cos^2 \left(\frac{u}{2}\right)} = dy$,जो सरल होकर $\frac{1}{2} \sec^2 \left(\frac{u}{2}\right) du = dy$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{2} \sec^2 \left(\frac{u}{2}\right) du = \int dy$.
इससे हमें $\tan \left(\frac{u}{2}\right) = y + c$ प्राप्त होता है।
$u = x+y$ वापस रखने पर,हमें $\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = y + c$ प्राप्त होता है,या $y = \tan \left(\frac{x+y}{2}\right) + c$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $e^{\frac{dy}{dx}} = (x+1)$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\frac{dy}{dx} = \log(x+1)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int dy = \int \log(x+1) dx + C$.
$\int \log(x+1) dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर ($u = \log(x+1)$ और $dv = dx$):
$y = (x+1) \log(x+1) - \int (x+1) \cdot \frac{1}{x+1} dx + C$.
$y = (x+1) \log(x+1) - \int 1 dx + C$.
$y = (x+1) \log(x+1) - x + C$.
प्रतिबंध $y(0) = 3$ दिया गया है,अतः $x = 0$ और $y = 3$ रखने पर:
$3 = (0+1) \log(0+1) - 0 + C$.
$3 = 1 \cdot \log(1) + C$.
चूँकि $\log(1) = 0$,इसलिए $3 = 0 + C$,जिससे $C = 3$.
अतः,विशिष्ट हल $y = (x+1) \log(x+1) - x + 3$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\cos x(1+\cos y) dx - \sin y(1+\sin x) dy = 0$ है।
चरों को अलग करने पर:
$\frac{\cos x}{1+\sin x} dx = \frac{\sin y}{1+\cos y} dy$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx = \int \frac{\sin y}{1+\cos y} dy$.
माना $u = 1+\sin x$,तब $du = \cos x dx$.
माना $v = 1+\cos y$,तब $dv = -\sin y dy$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{1}{u} du = -\int \frac{1}{v} dv$.
$\ln |u| = -\ln |v| + \ln |c|$.
$\ln |u| + \ln |v| = \ln |c|$.
$\ln |uv| = \ln |c|$.
$uv = c$.
$u$ और $v$ के मान वापस रखने पर:
$(1+\sin x)(1+\cos y) = c$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\sin^3 x \frac{dx}{dy} = \sin y$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\int \sin^3 x \, dx = \int \sin y \, dy$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ का उपयोग करने पर,$\sin^3 x = \frac{3 \sin x - \sin 3x}{4}$ होता है।
इस मान को समाकलन में रखने पर,$\int \frac{3 \sin x - \sin 3x}{4} \, dx = \int \sin y \, dy$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\frac{3}{4} (-\cos x) - \frac{1}{4} (-\frac{\cos 3x}{3}) = -\cos y + C$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $-\frac{3}{4} \cos x + \frac{1}{12} \cos 3x = -\cos y + C$ मिलता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\cos y - \frac{3}{4} \cos x + \frac{1}{12} \cos 3x = C$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{2+\sin x}{y+1} \frac{d y}{d x} = -\cos x$
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{d y}{y+1} = \int \frac{-\cos x}{2+\sin x} d x$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|y+1| = -\ln|2+\sin x| + C_1$
इसे सरल करने पर: $\ln|y+1| + \ln|2+\sin x| = C_1$
लघुगणक के नियमों का उपयोग करने पर: $\ln|(y+1)(2+\sin x)| = C_1$
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $(y+1)(2+\sin x) = C$
चूंकि $y(0)=1$ दिया गया है,$x=0$ और $y=1$ रखने पर: $(1+1)(2+\sin 0) = C \Rightarrow 2(2+0) = C \Rightarrow C=4$
अतः,समीकरण है: $(y+1)(2+\sin x) = 4$
$y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ज्ञात करने के लिए,$x=\frac{\pi}{2}$ रखने पर: $(y+1)(2+\sin\frac{\pi}{2}) = 4$
$(y+1)(2+1) = 4 \Rightarrow 3(y+1) = 4 \Rightarrow y+1 = \frac{4}{3}$
$y = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = e^{x+y} + x^2 e^{x^3+y}$
पदों को अलग करने पर: $\frac{dy}{dx} = e^y(e^x + x^2 e^{x^3})$
चरों को पृथक करने पर: $e^{-y} dy = (e^x + x^2 e^{x^3}) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-y} dy = \int (e^x + x^2 e^{x^3}) dx$
समाकलन हल करने पर: $-e^{-y} = e^x + \frac{1}{3} e^{x^3} + C$
मानक रूप में व्यवस्थित करने पर: $e^{-y} + e^x + \frac{1}{3} e^{x^3} = -C$
चूंकि $-C$ भी एक स्थिरांक है,इसलिए: $e^{-y} + e^x + \frac{1}{3} e^{x^3} = C$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = e^{2y} \cos x$.
चरों को पृथक करने पर: $e^{-2y} dy = \cos x dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-2y} dy = \int \cos x dx$.
इससे प्राप्त होता है: $-\frac{1}{2} e^{-2y} = \sin x + C$.
शर्त $y(\frac{\pi}{6}) = 0$ का उपयोग करते हुए,$x = \frac{\pi}{6}$ और $y = 0$ रखने पर:
$-\frac{1}{2} e^{0} = \sin(\frac{\pi}{6}) + C$.
$-\frac{1}{2} = \frac{1}{2} + C$,जिसका अर्थ है $C = -1$.
$C$ का मान समीकरण में रखने पर: $-\frac{1}{2} e^{-2y} = \sin x - 1$.
दोनों पक्षों को $-2$ से गुणा करने पर: $e^{-2y} = -2 \sin x + 2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2 \sin x + e^{-2y} - 2 = 0$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(y^3+y)(x^2+1) dy = x(y^4+2y^2) dx$ है।
चरों को अलग करने पर:
$\frac{y^3+y}{y^4+2y^2} dy = \frac{x}{x^2+1} dx$.
बाईं ओर के अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$\frac{1}{2} \int \frac{2y^3+2y}{y^4+2y^2} dy = \int \frac{x}{x^2+1} dx$.
माना $u = y^4+2y^2$,तो $du = (4y^3+4y) dy = 2(2y^3+2y) dy$,इसलिए $(2y^3+2y) dy = \frac{1}{2} du$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2u} du = \int \frac{x}{x^2+1} dx$.
$\frac{1}{4} \ln|y^4+2y^2| = \frac{1}{2} \ln|x^2+1| + \ln|C_1|$.
$4$ से गुणा करने पर:
$\ln|y^4+2y^2| = 2 \ln|x^2+1| + 4 \ln|C_1| = \ln|(x^2+1)^2| + \ln|C_1^4|$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$y^4+2y^2 = C(x^2+1)^2$,जहाँ $C = C_1^4$.
$y^2(y^2+2) = C(x^2+1)^2$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\log \left(\frac{dy}{dx}\right) = 3x + 4y$ है।
दोनों पक्षों में घातांक लेने पर,$\frac{dy}{dx} = e^{3x + 4y} = e^{3x} \cdot e^{4y}$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$e^{-4y} \, dy = e^{3x} \, dx$ मिलता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int e^{-4y} \, dy = \int e^{3x} \, dx$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{e^{-4y}}{-4} = \frac{e^{3x}}{3} + C$ मिलता है।
शर्त $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर:
$\frac{e^{0}}{-4} = \frac{e^{0}}{3} + C \Rightarrow -\frac{1}{4} = \frac{1}{3} + C$.
$C = -\frac{1}{4} - \frac{1}{3} = -\frac{7}{12}$.
$C$ का मान समीकरण में रखने पर: $\frac{e^{-4y}}{-4} = \frac{e^{3x}}{3} - \frac{7}{12}$.
पूरे समीकरण को $-12$ से गुणा करने पर: $3e^{-4y} = -4e^{3x} + 7$.
अतः,$3e^{-4y} + 4e^{3x} = 7$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+e^{-x})(1+y^2) \frac{dy}{dx} = y^2$
चरों को अलग करने पर: $\frac{1+y^2}{y^2} dy = \frac{1}{1+e^{-x}} dx$
चूंकि $\frac{1}{1+e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x+1}$,इसलिए: $\int (y^{-2} + 1) dy = \int \frac{e^x}{e^x+1} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\frac{1}{y} + y = \log(1+e^x) + C$
$y$ से गुणा करने पर: $y^2 - 1 = y \log(1+e^x) + Cy$
$y^2 - 1 = y(\log(1+e^x) + C)$
वक्र बिंदु $(0,1)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0, y=1$ रखने पर:
$1^2 - 1 = 1(\log(1+e^0) + C) \Rightarrow 0 = \log(2) + C \Rightarrow C = -\log(2)$
$C$ का मान समीकरण में रखने पर: $y^2 - 1 = y(\log(1+e^x) - \log(2))$
$y^2 - 1 = y \log(\frac{1+e^x}{2})$
$y^2 = 1 + y \log(\frac{1+e^x}{2})$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2(y+1) dx + y^2(x-1) dy = 0$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{x^2}{x-1} dx + \frac{y^2}{y+1} dy = 0$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{x^2}{x-1} dx + \int \frac{y^2}{y+1} dy = C'$.
बहुपद विभाजन का उपयोग करने पर: $\frac{x^2}{x-1} = x+1 + \frac{1}{x-1}$ और $\frac{y^2}{y+1} = y-1 + \frac{1}{y+1}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर: $\int (x+1 + \frac{1}{x-1}) dx + \int (y-1 + \frac{1}{y+1}) dy = C'$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर: $(\frac{x^2}{2} + x + \log |x-1|) + (\frac{y^2}{2} - y + \log |y+1|) = C'$.
$2$ से गुणा करने पर: $x^2 + 2x + y^2 - 2y + 2 \log |(x-1)(y+1)| = 2C'$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) + 2 \log |(x-1)(y+1)| = 2C' + 2$.
$(x+1)^2 + (y-1)^2 + 2 \log |(x-1)(y+1)| = C$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = 1 + x + y^2 + xy^2$
दाईं ओर के पदों का गुणनखंड करने पर: $\frac{dy}{dx} = (1 + x)(1 + y^2)$
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{1 + y^2} = \int (1 + x) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\tan^{-1}(y) = x + \frac{x^2}{2} + C$
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 0$ दी गई है: $\tan^{-1}(0) = 0 + \frac{0^2}{2} + C \Rightarrow C = 0$
अतः,विशिष्ट हल है: $\tan^{-1}(y) = x + \frac{x^2}{2}$
इसलिए: $y = \tan \left(x + \frac{x^2}{2}\right)$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = 1 - x + y - xy$
दाहिनी ओर के पदों का गुणनखंड करने पर: $\frac{dy}{dx} = (1 - x) + y(1 - x) = (1 - x)(1 + y)$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{1 + y} = (1 - x) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{1 + y} = \int (1 - x) dx$
जिससे प्राप्त होता है: $\log(1 + y) = x - \frac{x^2}{2} + C$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \cos y \,dy = (x e^x \log x + e^x) dx$
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए):
$\cos y \,dy = \left(e^x \log x + \frac{e^x}{x}\right) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \cos y \,dy = \int e^x \left(\log x + \frac{1}{x}\right) dx$
मानक समाकलन सूत्र $\int e^x \{f(x) + f'(x)\} dx = e^x f(x) + C$ का उपयोग करने पर, जहाँ $f(x) = \log x$ और $f'(x) = \frac{1}{x}$:
$\sin y = e^x \log x + C$

(D) दिया गया अवकल समीकरण $e^{\frac{dy}{dx}} = x+1$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\frac{dy}{dx} = \log_{e}(x+1)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int dy = \int \log_{e}(x+1) dx$।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \log_{e}(x+1)$ और $dv = dx$ लेने पर,$du = \frac{1}{x+1} dx$ और $v = x+1$ प्राप्त होता है।
$\int \log_{e}(x+1) dx = (x+1) \log_{e}(x+1) - \int \frac{x+1}{x+1} dx = (x+1) \log_{e}(x+1) - x + C$।
अतः,$y = (x+1) \log_{e}(x+1) - x + C$।
प्रारंभिक शर्त $y(0) = 5$ का उपयोग करने पर,$x=0$ और $y=5$ रखने पर:
$5 = (0+1) \log_{e}(0+1) - 0 + C
\Rightarrow 5 = 1 \cdot \log_{e}(1) - 0 + C
\Rightarrow 5 = 0 - 0 + C
\Rightarrow C = 5$।
अतः,हल $y = (x+1) \log_{e}(x+1) - x + 5$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+x) y \,dx + (1-y) x \,dy = 0$
दोनों पक्षों को $xy$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1+x}{x} \,dx + \frac{1-y}{y} \,dy = 0$
$(\frac{1}{x} + 1) \,dx + (\frac{1}{y} - 1) \,dy = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int (\frac{1}{x} + 1) \,dx + \int (\frac{1}{y} - 1) \,dy = C_1$
$\log|x| + x + \log|y| - y = C_1$
गुणधर्म $\log a + \log b = \log(ab)$ का उपयोग करने पर:
$\log|xy| + x - y = C$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{y}{x} \frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x^2}$
चरों को अलग करने पर: $\frac{y}{1+y^2} dy = \frac{x}{1+x^2} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{y}{1+y^2} dy = \int \frac{x}{1+x^2} dx$
समाकलन को सरल बनाने के लिए दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $\int \frac{2y}{1+y^2} dy = \int \frac{2x}{1+x^2} dx$
परिणाम: $\ln|1+y^2| = \ln|1+x^2| + \ln C$
लघुगणक के नियमों का उपयोग करने पर: $\ln(1+y^2) = \ln(C(1+x^2))$
अतः: $1+y^2 = C(1+x^2)$
$x=2$ और $y=1$ रखने पर: $1+(1)^2 = C(1+(2)^2) \Rightarrow 2 = 5C \Rightarrow C = \frac{2}{5}$
$C$ का मान समीकरण में रखने पर: $1+y^2 = \frac{2}{5}(1+x^2)$
$5$ से गुणा करने पर: $5(1+y^2) = 2(1+x^2)$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x+y \frac{dy}{dx}=\sec(x^2+y^2)$ है।
माना $u = x^2+y^2$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{du}{dx} = 2x + 2y \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $x + y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{du}{dx}$ है।
मूल समीकरण में इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{2} \frac{du}{dx} = \sec(u)$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{du}{\sec(u)} = 2 dx$,अर्थात $\cos(u) du = 2 dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \cos(u) du = \int 2 dx$ प्राप्त होता है।
परिणामस्वरूप $\sin(u) = 2x + c$ प्राप्त होता है।
$u = x^2+y^2$ वापस रखने पर,व्यापक हल $\sin(x^2+y^2) = 2x + c$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1}$.
माना $u = x+y$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 1$.
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{du}{dx} - 1 = \frac{u+1}{u-1}$
$\frac{du}{dx} = \frac{u+1}{u-1} + 1 = \frac{u+1+u-1}{u-1} = \frac{2u}{u-1}$.
चरों को पृथक करने पर:
$\left(\frac{u-1}{u}\right) du = 2 dx$
$(1 - \frac{1}{u}) du = 2 dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int (1 - \frac{1}{u}) du = \int 2 dx$
$u - \log|u| = 2x + c$.
$u = x+y$ वापस रखने पर:
$(x+y) - \log|x+y| = 2x + c$
$y - x = \log|x+y| + c$ या $y = x + \log|x+y| + c$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $y(1+\log x)\left(\frac{dx}{dy}\right) - x \log x = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $y(1+\log x) dx = x \log x dy$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{(1+\log x)}{x \log x} dx = \frac{dy}{y}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1+\log x}{x \log x} dx = \int \frac{1}{y} dy$
बाएँ पक्ष के समाकलन को अलग करने पर: $\int \frac{1}{x \log x} dx + \int \frac{\log x}{x \log x} dx = \int \frac{1}{y} dy$
$\int \frac{1}{x \log x} dx + \int \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{y} dy$
माना $u = \log x$,तब $du = \frac{1}{x} dx$. समाकलन होगा: $\int \frac{1}{u} du + \int \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{y} dy$
समाकलन करने पर: $\log|u| + \log|x| = \log|y| + \log|c|$
$\log|\log x| + \log|x| = \log|y| + \log|c|$
गुणधर्म $\log a + \log b = \log(ab)$ का उपयोग करने पर: $\log|x \log x| = \log|yc|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $x \log x = yc$