Variable separable type differential equations Questions in Hindi

(C) दिए गए प्रतिस्थापन $\frac{dy}{dx}=z$ का उपयोग करते हुए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dz}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को दिए गए अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}-\frac{dy}{dx}=0$ में रखने पर,हमें $\frac{dz}{dx}-z=0$ प्राप्त होता है।
यह प्रथम कोटि का पृथक्करणीय अवकल समीकरण है: $\frac{dz}{dx}=z$।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dz}{z}=dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dz}{z} = \int dx$,जिसका परिणाम $\log_{e}|z|=x+C_1$ है।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,हमें $|z|=e^{x+C_1} = e^{C_1} \cdot e^{x}$ प्राप्त होता है।
माना $A = \pm e^{C_1}$,अतः हमें हल $z=Ae^{x}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = x + xy$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = x(1+y)$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{1+y} = x dx$ मिलता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{1+y} = \int x dx$,जिससे $\ln(y+1) = \frac{x^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर,$y+1 = e^{\frac{x^2}{2} + C} = e^C \cdot e^{\frac{x^2}{2}}$ मिलता है।
मान लीजिए $e^C = A$,अतः $y = A e^{\frac{x^2}{2}} - 1$।
चूंकि वक्र बिंदु $(0,1)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0$ और $y=1$ रखने पर: $1 = A e^0 - 1 \Rightarrow 1 = A - 1 \Rightarrow A = 2$।
अतः,वक्र का समीकरण $y = 2 e^{\frac{x^2}{2}} - 1$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\tan(y) dx + \sec^2(y) \tan(x) dy = 0$ है।
चरों को अलग करने पर:
$\sec^2(y) \tan(x) dy = -\tan(y) dx$
$\frac{\sec^2(y)}{\tan(y)} dy = -\frac{1}{\tan(x)} dx$
$\frac{\sec^2(y)}{\tan(y)} dy = -\cot(x) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{\sec^2(y)}{\tan(y)} dy = -\int \cot(x) dx$
माना $u = \tan(y)$,तब $du = \sec^2(y) dy$।
$\int \frac{1}{u} du = -\ln|\sin(x)| + C$
$\ln|\tan(y)| = -\ln|\sin(x)| + C$
$\ln|\tan(y)| + \ln|\sin(x)| = C$
$\ln|\sin(x) \tan(y)| = C$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,हमें $\sin(x) \tan(y) = e^C = c$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dx}{dy} + 2yx = 2y$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = 2y(1-x)$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\int \frac{dx}{1-x} = \int 2y \, dy$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$-\ln|1-x| = y^2 + C$ प्राप्त होता है,जिसे $\ln|1-x| = -y^2 - C$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,$|1-x| = e^{-y^2 - C} = Ae^{-y^2}$,जहाँ $A = e^{-C}$ है।
इसका अर्थ है $1-x = \pm Ae^{-y^2}$,या $x-1 = Ke^{-y^2}$ जहाँ $K = \mp A$ है।
चूंकि वक्र बिंदु $(2,0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x=2$ और $y=0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2-1 = Ke^{-(0)^2} \Rightarrow 1 = K(1) \Rightarrow K=1$।
अतः,हल $(x-1) = e^{-y^2}$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $e^x y dx + e^x dy + x dx = 0$
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $d(ye^x) + x dx = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int d(ye^x) + \int x dx = \int 0 dx$
$ye^x + \frac{x^2}{2} = C_1$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2ye^x + x^2 = 2C_1$
माना $2C_1 = C$,अतः हल $2ye^x + x^2 = C$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y^2) dx - xy dy = 0$ है,जहाँ $y(1)=0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(1+y^2) dx = xy dy$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dx}{x} = \frac{y dy}{1+y^2}$ मिलता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dx}{x} = \int \frac{y dy}{1+y^2}$।
माना $t = 1+y^2$,तब $dt = 2y dy$,अर्थात $y dy = \frac{1}{2} dt$।
अतः,$\ln|x| = \frac{1}{2} \ln|1+y^2| + C_1 = \ln|\sqrt{1+y^2}| + C_1$।
इसका अर्थ है $x = c\sqrt{1+y^2}$।
शर्त $y(1)=0$ का उपयोग करते हुए,$x=1$ और $y=0$ रखने पर: $1 = c\sqrt{1+0^2} \implies c=1$।
अतः,$x = \sqrt{1+y^2}$,जिसका वर्ग करने पर $x^2 = 1+y^2$ या $x^2 - y^2 = 1$ प्राप्त होता है।
यह एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) का समीकरण है जहाँ $a^2=1$ और $b^2=1$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{1}} = \sqrt{2}$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x-y+3}{2(x-y)+5}$.
माना $x-y = u$. तब $1 - \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{du}{dx}$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $1 - \frac{du}{dx} = \frac{u+3}{2u+5}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{du}{dx} = 1 - \frac{u+3}{2u+5} = \frac{2u+5-u-3}{2u+5} = \frac{u+2}{2u+5}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{2u+5}{u+2} du = \int dx$.
विभाजन करने पर: $\int (2 + \frac{1}{u+2}) du = x + C$.
समाकलन करने पर: $2u + \log|u+2| = x + C$.
$u = x-y$ वापस रखने पर: $2(x-y) + \log|x-y+2| + C = x$.
इसे दिए गए रूप $x = 2(x-y) + \log(t) + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $t = x-y+2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\log \left(\frac{dy}{dx}\right) = ax + by$ है।
दोनों पक्षों में चरघातांकी लेने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = e^{ax + by} = e^{ax} \cdot e^{by}$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$e^{-by} dy = e^{ax} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int e^{-by} dy = \int e^{ax} dx$ प्राप्त होता है।
इसका परिणाम $-\frac{1}{b} e^{-by} = \frac{1}{a} e^{ax} + C_1$ है।
$ab$ से गुणा करने पर,$-a e^{-by} = b e^{ax} + ab C_1$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$b e^{ax} + a e^{-by} = c$ प्राप्त होता है,जहाँ $c = -ab C_1$ है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{2x(y-2) + 1(y-2)}{2y(x-2) + 1(x-2)} = \frac{(2x+1)(y-2)}{(2y+1)(x-2)}$ है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{2y+1}{y-2} dy = \frac{2x+1}{x-2} dx$ प्राप्त होता है।
भिन्नों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{2(y-2)+5}{y-2} dy = \frac{2(x-2)+5}{x-2} dx$.
यह सरल होकर $(2 + \frac{5}{y-2}) dy = (2 + \frac{5}{x-2}) dx$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (2 + \frac{5}{y-2}) dy = \int (2 + \frac{5}{x-2}) dx$.
$2y + 5 \log |y-2| = 2x + 5 \log |x-2| + C$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2(y-x) + 5 \log |y-2| - 5 \log |x-2| = C$.
$2(y-x) + 5 \log \left| \frac{y-2}{x-2} \right| = C$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = e^{-2x}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int dy = \int e^{-2x} dx$
$y = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C$ $(i)$
दी गई शर्त $y(\log 2) = \frac{1}{16}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{16} = -\frac{1}{2}e^{-2(\log 2)} + C$
चूंकि $e^{-2\log 2} = e^{\log(2^{-2})} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$:
$\frac{1}{16} = -\frac{1}{2}(\frac{1}{4}) + C$
$\frac{1}{16} = -\frac{1}{8} + C$
$C = \frac{1}{16} + \frac{2}{16} = \frac{3}{16}$
$C$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$y = -\frac{1}{2}e^{-2x} + \frac{3}{16}$
$y = \frac{-8e^{-2x} + 3}{16} = \frac{3 - 8e^{-2x}}{16}$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y^{\prime} = \frac{y}{2x}$
चरों को पृथक करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{2x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{y} dy = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} dx$
$\ln|y| = \frac{1}{2} \ln|x| + C$
$\ln|y| = \ln|x^{1/2}| + C$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $y = k \sqrt{x}$,जहाँ $k = e^C$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $y^2 = k^2 x$
मान लीजिए $k^2 = c$,तो $y^2 = cx$
यह समीकरण $x$-अक्ष पर खुलने वाले परवलयों के एक परिवार को दर्शाता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+\frac{\sin (2 x+y)}{\cos x}+2=0$ है ....$(i)$
माना $2 x+y=t$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2+\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}$,अतः $\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}-2$.
इस मान को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{d t}{d x}-2) + \frac{\sin t}{\cos x} + 2 = 0$
$\frac{d t}{d x} + \frac{\sin t}{\cos x} = 0$
$\frac{d t}{\sin t} = -\frac{d x}{\cos x}$
$\operatorname{cosec} t \, dt = -\sec x \, dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \operatorname{cosec} t \, dt = -\int \sec x \, dx$
$\ln|\operatorname{cosec} t - \cot t| = -\ln|\sec x + \tan x| + C_1$
$\ln|\operatorname{cosec} t - \cot t| + \ln|\sec x + \tan x| = C_1$
$\ln|(\sec x + \tan x)(\operatorname{cosec} t - \cot t)| = C_1$
$(\sec x + \tan x)(\operatorname{cosec} t - \cot t) = e^{C_1} = C$
$t = 2x+y$ का मान वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sec x + \tan x)[\operatorname{cosec}(2x+y) - \cot(2x+y)] = C$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(3x-4y)(dx-3dy)+(6dx-4dy)=0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(3x-4y+6)dx - (3(3x-4y)+4)dy = 0$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3x-4y+6}{3(3x-4y)+4}$
माना $t = 3x-4y$,तो $\frac{dt}{dx} = 3-4\frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4}(3-\frac{dt}{dx})$
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{4}(3-\frac{dt}{dx}) = \frac{t+6}{3t+4}$
$3-\frac{dt}{dx} = \frac{4t+24}{3t+4} \Rightarrow \frac{dt}{dx} = 3 - \frac{4t+24}{3t+4} = \frac{9t+12-4t-24}{3t+4} = \frac{5t-12}{3t+4}$
चरों को अलग करने पर: $dx = \frac{3t+4}{5t-12}dt$
$dx = (\frac{3}{5} + \frac{56/5}{5t-12})dt$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $x = \frac{3}{5}t + \frac{56}{25}\log|5t-12| + C$
$t = 3x-4y$ रखने पर: $x = \frac{3}{5}(3x-4y) + \frac{56}{25}\log|5(3x-4y)-12| + C$
$x = \frac{9x-12y}{5} + \frac{56}{25}\log|15x-20y-12| + C$
$25x = 45x-60y + 56\log|15x-20y-12| + 25C$
$60y-20x = 56\log|15x-20y-12| + C'$
$4$ से विभाजित करने पर: $15y-5x = 14\log|15x-20y-12| + C''$
$5x-15y+14\log|15x-20y-12|=C$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy+x-2y-2}{xy-2x+y-2}$
अंश और हर का गुणनखंड करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x(y+1)-2(y+1)}{x(y-2)+1(y-2)} = \frac{(x-2)(y+1)}{(x+1)(y-2)}$
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{y-2}{y+1} dy = \frac{x-2}{x+1} dx$
भिन्नों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{y+1-3}{y+1} dy = \frac{x+1-3}{x+1} dx$
$(1 - \frac{3}{y+1}) dy = (1 - \frac{3}{x+1}) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int (1 - \frac{3}{y+1}) dy = \int (1 - \frac{3}{x+1}) dx$
$y - 3 \ln |y+1| = x - 3 \ln |x+1| + c$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x - y + 3 \ln |y+1| - 3 \ln |x+1| = c$
$x - y + 3 \ln \left| \frac{y+1}{x+1} \right| = c$

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{y^2 e^{-1/y}}{\sqrt{x}} dx = 2 \sec \sqrt{x} dy$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dx}{\sqrt{x} \sec \sqrt{x}} = \frac{2 dy}{y^2 e^{-1/y}}$.
यह सरल होकर बनता है: $\cos \sqrt{x} \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 e^{1/y} \frac{dy}{y^2}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cos \sqrt{x} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int 2 e^{1/y} \frac{dy}{y^2}$.
मान लीजिए $u = \sqrt{x}$,तो $du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx \implies \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$.
मान लीजिए $v = 1/y$,तो $dv = -\frac{1}{y^2} dy \implies \frac{dy}{y^2} = -dv$.
इनका प्रतिस्थापन करने पर: $\int \cos(u) (2 du) = \int 2 e^v (-dv)$.
$2 \sin(u) = -2 e^v + C$.
$\sin \sqrt{x} = -e^{1/y} + C' \implies \sin \sqrt{x} + e^{1/y} = C'$.
वक्र $(\pi^2, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $\sin \sqrt{\pi^2} + e^{1/1} = C' \implies \sin \pi + e = C' \implies 0 + e = C'$.
अतः,$C' = e$.
वक्र का समीकरण $\sin \sqrt{x} + e^{1/y} = e$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \sqrt{1-y^2}$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = \int dx$ प्राप्त होता है।
यह $\sin^{-1}(y) = x + C$ के रूप में हल देता है।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 1$ का उपयोग करते हुए,$x = 0$ और $y = 1$ रखने पर:
$\sin^{-1}(1) = 0 + C$,जिससे $C = \sin^{-1}(1)$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट हल $\sin^{-1}(y) = x + \sin^{-1}(1)$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (3x + y + 4)^2$ है।
माना $3x + y + 4 = t$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$3 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 3$।
इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dt}{dx} - 3 = t^2$।
$\frac{dt}{dx} = t^2 + 3$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dt}{t^2 + 3} = dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dt}{t^2 + (\sqrt{3})^2} = \int dx$।
सूत्र $\int \frac{dt}{t^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{t}{a}) + C$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{t}{\sqrt{3}}) = x + k$ प्राप्त होता है।
$t = 3x + y + 4$ का मान वापस रखने पर: $\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{3x + y + 4}{\sqrt{3}}) - x = k$।
इसकी तुलना दिए गए रूप $\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(f(x, y)) - x = k$ से करने पर,हमें $f(x, y) = \frac{3x + y + 4}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अब,$f(1, 2) = \frac{3(1) + 2 + 4}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$।

(A) दिया गया है,$\frac{dy}{dx} = \frac{x^3(y^4+1)}{\left[2y^{-2/3} + 3x^2y^{-2/3}\right]^{3/2}} = \frac{x^3(y^4+1)}{\left[y^{-2/3}(2+3x^2)\right]^{3/2}} = \frac{x^3 y(y^4+1)}{(2+3x^2)^{3/2}}$.
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\int \frac{1}{y(y^4+1)} dy = \int \frac{x^3}{(2+3x^2)^{3/2}} dx$.
बाईं ओर के लिए,$I_1 = \int \frac{1}{y(y^4+1)} dy = \int \frac{y^3}{y^4(y^4+1)} dy$. मान लीजिए $u = y^4$,तो $du = 4y^3 dy$,इसलिए $I_1 = \frac{1}{4} \int \frac{du}{u(u+1)} = \frac{1}{4} \int \left(\frac{1}{u} - \frac{1}{u+1}\right) du = \frac{1}{4} \log \left|\frac{u}{u+1}\right| = \frac{1}{4} \log \left(\frac{y^4}{1+y^4}\right)$.
दाईं ओर के लिए,$I_2 = \int \frac{x^3}{(2+3x^2)^{3/2}} dx$. मान लीजिए $t^2 = 2+3x^2$,तो $2t dt = 6x dx$,इसलिए $x dx = \frac{1}{3} t dt$ और $x^2 = \frac{t^2-2}{3}$.
$I_2 = \int \frac{x^2 \cdot x dx}{(t^2)^{3/2}} = \int \frac{(\frac{t^2-2}{3}) \cdot \frac{1}{3} t dt}{t^3} = \frac{1}{9} \int \frac{t^2-2}{t^2} dt = \frac{1}{9} \int (1 - 2t^{-2}) dt = \frac{1}{9} (t + \frac{2}{t}) = \frac{1}{9} \left(\frac{t^2+2}{t}\right) = \frac{1}{9} \left(\frac{2+3x^2+2}{\sqrt{2+3x^2}}\right) = \frac{1}{9} \left(\frac{4+3x^2}{\sqrt{2+3x^2}}\right)$.
$I_1 = I_2 + C$ को बराबर करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{4} \log \left(\frac{y^4}{1+y^4}\right) = \frac{1}{9} \left(\frac{4+3x^2}{\sqrt{2+3x^2}}\right) + C'$.
$4$ से गुणा करने पर,$\log \left(\frac{y^4}{1+y^4}\right) = \frac{4}{9} \left(\frac{4+3x^2}{\sqrt{2+3x^2}}\right) + C$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(x-2y+1)dy - (3x-6y+2)dx = 0$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3x-6y+2}{x-2y+1} = \frac{3(x-2y)+2}{(x-2y)+1}$
माना $v = x-2y$. तब $\frac{dv}{dx} = 1 - 2\frac{dy}{dx}$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(1 - \frac{dv}{dx})$.
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2}(1 - \frac{dv}{dx}) = \frac{3v+2}{v+1}$
$1 - \frac{dv}{dx} = \frac{6v+4}{v+1} \Rightarrow \frac{dv}{dx} = 1 - \frac{6v+4}{v+1} = \frac{v+1-6v-4}{v+1} = \frac{-5v-3}{v+1}$
$\int \frac{v+1}{-5v-3} dv = \int dx$
$-\frac{1}{5} \int \frac{5v+5}{5v+3} dv = x + C_1$
$-\frac{1}{5} \int \frac{(5v+3)+2}{5v+3} dv = x + C_1$
$-\frac{1}{5} [v + \frac{2}{5} \ln|5v+3|] = x + C_1$
$v = x-2y$ रखने पर: $-\frac{1}{5}(x-2y) - \frac{2}{25} \ln|5(x-2y)+3| = x + C_1$
$-\frac{2}{25} \ln|5x-10y+3| = x + \frac{1}{5}x - \frac{2}{5}y + C_1 = \frac{6}{5}x - \frac{2}{5}y + C_1$
$\ln|5x-10y+3|^{-2/25} = \frac{6x-2y}{5} + C_1$
$|5x-10y+3|^{-2/25} = e^{\frac{6x-2y}{5}} \cdot e^{C_1}$
$|5(x-2y+\frac{3}{5})|^{-2/25} = e^{\frac{6x-2y}{5}} \cdot C_2$
$|x-2y+\frac{3}{5}|^{-2/25} = e^{\frac{6x-2y}{5}} \cdot C_3$
$\left|x-2y+\frac{3}{5}\right|^{2/25} \cdot e^{\frac{1}{5}(6x-2y)} = C$

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(2x - 3y + 5)dx + (9y - 6x - 7)dy = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{2x - 3y + 5}{3(2x - 3y) + 7}$
माना $2x - 3y = z$. तब $2 - 3\frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(2 - \frac{dz}{dx})$.
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{3}(2 - \frac{dz}{dx}) = \frac{z + 5}{3z + 7}$
$2 - \frac{dz}{dx} = \frac{3z + 15}{3z + 7}$
$\frac{dz}{dx} = 2 - \frac{3z + 15}{3z + 7} = \frac{6z + 14 - 3z - 15}{3z + 7} = \frac{3z - 1}{3z + 7}$
चरों को अलग करने पर: $\frac{3z + 7}{3z - 1} dz = dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (1 + \frac{8}{3z - 1}) dz = \int dx$
$z + \frac{8}{3} \log |3z - 1| = x + c$
$3$ से गुणा करने पर: $3z + 8 \log |3z - 1| = 3x + c'$
$z = 2x - 3y$ रखने पर: $3(2x - 3y) + 8 \log |3(2x - 3y) - 1| = 3x + c'$
$6x - 9y + 8 \log |6x - 9y - 1| = 3x + c'$
$3x - 9y + 8 \log |6x - 9y - 1| = c$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(y \sin x + y) \frac{dy}{dx} - \cos^2 x = 0$
चरों को पृथक करने पर: $y(1 + \sin x) \frac{dy}{dx} = \cos^2 x$
$y \, dy = \frac{\cos^2 x}{1 + \sin x} dx$
सर्वसमिका $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = (1 - \sin x)(1 + \sin x)$ का उपयोग करने पर:
$y \, dy = \frac{(1 - \sin x)(1 + \sin x)}{1 + \sin x} dx$
$y \, dy = (1 - \sin x) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int y \, dy = \int (1 - \sin x) dx$
$\frac{y^2}{2} = x - (-\cos x) + c$
$\frac{y^2}{2} = x + \cos x + c$
$y^2 = 2x + 2 \cos x + c$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = 1 - \cos(y-x) \cot(y-x)$.
माना $v = y - x$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dv}{dx} = \frac{dy}{dx} - 1$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 + \frac{dv}{dx} = 1 - \cos v \cot v$
$\frac{dv}{dx} = -\cos v \left( \frac{\cos v}{\sin v} \right) = -\frac{\cos^2 v}{\sin v}$.
चरों को पृथक करने पर:
$-\int \frac{\sin v}{\cos^2 v} dv = \int dx$.
$u = \cos v$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$du = -\sin v dv$,अतः समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int \frac{du}{u^2} = x + c$
$-\frac{1}{u} = x + c$
$-\frac{1}{\cos v} = x + c$
$-\sec v = x + c$
$x + \sec(y-x) = c$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y+1}$.
माना $v = x+y+1$. तब $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{1}{v}$.
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + 1 = \frac{1+v}{v}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{v}{1+v} dv = dx$.
$\left(\frac{1+v-1}{1+v}\right) dv = dx \Rightarrow \left(1 - \frac{1}{1+v}\right) dv = dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (1 - \frac{1}{1+v}) dv = \int dx$.
$v - \log|1+v| = x + c$.
$v = x+y+1$ रखने पर: $(x+y+1) - \log|x+y+2| = x + c$.
$y + 1 - \log|x+y+2| = c$.
$y = \log|x+y+2| + c - 1$.
माना $c - 1 = \log k$,तब $y = \log|x+y+2| - \log k = \log\left(\frac{x+y+2}{k}\right)$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = 1 + x + y + xy$
दाहिनी ओर का गुणनखंड करने पर: $\frac{dy}{dx} = (1 + x)(1 + y)$
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{1 + y} = (1 + x) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{1 + y} = \int (1 + x) dx$
इससे प्राप्त होता है: $\log(1 + y) = x + \frac{x^2}{2} + c$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $1 + y = e^{x + \frac{x^2}{2} + c}$
$1 + y = e^c \cdot e^{x + \frac{x^2}{2}}$
माना $k = e^c$,तब $1 + y = k e^{x + \frac{x^2}{2}}$
अतः,व्यापक हल है: $y = k e^{x + \frac{x^2}{2}} - 1$

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2x \tan(x-y) = 1$ है।
मान लीजिए $t = x - y$ है। तब $\frac{dt}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dt}{dx}$।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 - \frac{dt}{dx} + 2x \tan(t) = 1$
$\Rightarrow \frac{dt}{dx} = 2x \tan(t)$
$\Rightarrow \cot(t) dt = 2x dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \cot(t) dt = \int 2x dx$
$\ln|\sin(t)| = x^2 + C$।
मान लीजिए $C = \ln|A|$,तो $\ln|\sin(t)| = x^2 + \ln|A|$।
$\ln|\sin(t)| - \ln|A| = x^2$
$\ln|\frac{\sin(t)}{A}| = x^2$
$\sin(t) = A e^{x^2}$।
$t = x - y$ वापस रखने पर,हमें $\sin(x-y) = A e^{x^2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{2+\sin x}{y+1}\right) \frac{d y}{d x}+\cos x=0$ है।
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{d y}{1+y} + \frac{\cos x}{2+\sin x} dx = 0$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{d y}{1+y} + \int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx = C_0$.
माना $t = 2+\sin x$,तब $dt = \cos x dx$. अतः:
$\ln|1+y| + \ln|2+\sin x| = C_1$.
इससे $(1+y)(2+\sin x) = C$ प्राप्त होता है।
शर्त $y(0)=1$ का उपयोग करने पर:
$(1+1)(2+\sin 0) = C \Rightarrow 2(2) = C \Rightarrow C=4$.
अतः हल $(1+y)(2+\sin x) = 4$ है।
अब $x=\frac{\pi}{2}$ रखने पर:
$(1+y(\frac{\pi}{2}))(2+\sin(\frac{\pi}{2})) = 4$.
$(1+y(\frac{\pi}{2}))(2+1) = 4$.
$3(1+y(\frac{\pi}{2})) = 4$.
$1+y(\frac{\pi}{2}) = \frac{4}{3}$.
$y(\frac{\pi}{2}) = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

(B) दिया गया समीकरण: $\tan y \frac{dy}{dx} = \sin(x+y) + \sin(x-y)$
सर्वसमिका $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\tan y \frac{dy}{dx} = 2 \sin x \cos y$
$\frac{\sin y}{\cos y} \frac{dy}{dx} = 2 \sin x \cos y$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{\sin y}{\cos^2 y} dy = 2 \sin x dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{\sin y}{\cos^2 y} dy = \int 2 \sin x dx$
माना $t = \cos y$,तब $dt = -\sin y dy$,अतः $-\int \frac{dt}{t^2} = -2 \cos x + c$
$\frac{1}{t} = -2 \cos x + c$
$t = \cos y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sec y = -2 \cos x + c$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x-2y+1}{2(x-2y)}$.
माना $z = x-2y$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dz}{dx} = 1 - 2\frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(1 - \frac{dz}{dx})$.
इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}(1 - \frac{dz}{dx}) = \frac{z+1}{2z}$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$1 - \frac{dz}{dx} = \frac{z+1}{z} = 1 + \frac{1}{z}$.
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर,$-\frac{dz}{dx} = \frac{1}{z}$,जो सरल होकर $z dz = -dx$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int z dz = \int -dx$,जिसका परिणाम $\frac{z^2}{2} = -x + C_1$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,$z^2 = -2x + 2C_1$,या $z^2 + 2x = C$ (जहाँ $C = 2C_1$).
$z = x-2y$ वापस रखने पर,हमें $(x-2y)^2 + 2x = C$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{xy+y}{xy+x}$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y(x+1)}{x(y+1)}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{1+y}{y} dy = \frac{1+x}{x} dx$ प्राप्त होता है।
इसे $(\frac{1}{y} + 1) dy = (\frac{1}{x} + 1) dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int (\frac{1}{y} + 1) dy = \int (\frac{1}{x} + 1) dx$ प्राप्त होता है।
$\log|y| + y = \log|x| + x + C$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$y - x = \log|x| - \log|y| + C$.
$y - x = \log|\frac{x}{y}| + C$.
माना $C = \log c$,तब $y - x = \log|\frac{x}{y}| + \log c = \log|\frac{cx}{y}|$.
अतः,हल $y - x = \log \left(\frac{cx}{y}\right)$ है।

(C) दिया गया है कि $dx + dy = (x + y)(dx - dy)$।
$dx$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 + \frac{dy}{dx} = (x + y)(1 - \frac{dy}{dx})$
$1 + \frac{dy}{dx} = x + y - (x + y)\frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}(1 + x + y) = x + y - 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x + y - 1}{x + y + 1} \quad \dots(i)$
माना $x + y = t$। तब $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1$।
समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dt}{dx} - 1 = \frac{t - 1}{t + 1}$
$\frac{dt}{dx} = \frac{t - 1}{t + 1} + 1 = \frac{t - 1 + t + 1}{t + 1} = \frac{2t}{t + 1}$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{t + 1}{2t} dt = dx$
$\frac{1}{2}(1 + \frac{1}{t}) dt = dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\frac{1}{2}(t + \log|t|) = x + C_1$
$t + \log|t| = 2x + 2C_1$
$t = x + y$ रखने पर:
$x + y + \log(x + y) = 2x + C$
$\log(x + y) = x - y + C$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x \log x^2 + x}{\sin y + y \cos y}$.
चरों को अलग करने पर: $(\sin y + y \cos y) dy = (x \log x^2 + x) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (\sin y + y \cos y) dy = \int (x \log x^2 + x) dx$.
बाएँ पक्ष के लिए,$\int y \cos y dy$ में खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int y \cos y dy = y \sin y - \int \sin y dy = y \sin y + \cos y$.
अतः,$\int (\sin y + y \cos y) dy = -\cos y + y \sin y + \cos y = y \sin y$.
दाएँ पक्ष के लिए,$\int (x \log x^2 + x) dx = \int (2x \log x + x) dx$.
$\int 2x \log x dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $u = \log x$,$dv = 2x dx$ लेने पर,$du = \frac{1}{x} dx$,$v = x^2$ प्राप्त होता है।
$\int 2x \log x dx = x^2 \log x - \int x^2 \cdot \frac{1}{x} dx = x^2 \log x - \int x dx = x^2 \log x - \frac{x^2}{2}$.
$x$ का समाकलन जोड़ने पर: $\int (2x \log x + x) dx = x^2 \log x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + C = x^2 \log x + C$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $y \sin y = x^2 \log x + C$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 + y^2 \frac{dy}{dx} = 4$ है।
चरों को अलग करने पर: $y^2 dy = (4 - x^2) dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int y^2 dy = \int (4 - x^2) dx$।
यह हमें देता है: $\frac{y^3}{3} = 4x - \frac{x^3}{3} + C_1$।
पूरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर: $y^3 = 12x - x^3 + 3C_1$।
माना $3C_1 = C$,तब हल है: $x^3 + y^3 = 12x + C$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(9x - 3y + 5) dy = (3x - y + 1) dx$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3x - y + 1}{3(3x - y) + 5}$
माना $v = 3x - y$. तब $\frac{dv}{dx} = 3 - \frac{dy}{dx}$,अर्थात $\frac{dy}{dx} = 3 - \frac{dv}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर: $3 - \frac{dv}{dx} = \frac{v + 1}{3v + 5}$
$\frac{dv}{dx} = 3 - \frac{v + 1}{3v + 5} = \frac{8v + 14}{3v + 5}$
चरों को अलग करने पर: $\frac{3v + 5}{8v + 14} dv = dx$
समाकलन करने पर: $\int \frac{3v + 5}{8v + 14} dv = \int dx$
इसे हल करने पर: $\frac{3}{8} v - \frac{1}{64} \ln |8v + 14| = x + C$
$v = 3x - y$ रखने पर: $\frac{3}{8}(3x - y) - \frac{1}{64} \ln |24x - 8y + 14| = x + C$
दोनों पक्षों को $64$ से गुणा करने पर: $24(3x - y) - \ln |24x - 8y + 14| = 64x + C'$
$72x - 24y - \ln |2(12x - 4y + 7)| = 64x + C'$
$8x - 24y - \ln |12x - 4y + 7| = C''$
$2$ से विभाजित करने पर: $4x - 12y - \frac{1}{2} \ln |12x - 4y + 7| = C$,जो विकल्प $B$ के अनुरूप है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y-3}{x+y-7}$.
माना $v = x+y$. तब $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
इसे समीकरण में रखने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{v-3}{v-7}$.
$\frac{dv}{dx} = \frac{v-3}{v-7} + 1 = \frac{v-3+v-7}{v-7} = \frac{2v-10}{v-7} = \frac{2(v-5)}{v-7}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{v-7}{v-5} dv = \int 2 dx$.
$\int \frac{(v-5)-2}{v-5} dv = 2x + C$.
$\int (1 - \frac{2}{v-5}) dv = 2x + C$.
$v - 2 \ln |v-5| = 2x + C$.
$v = x+y$ रखने पर: $(x+y) - 2 \ln |x+y-5| = 2x + C$.
$y-x-C = 2 \ln |x+y-5|$.
$\ln |x+y-5|^2 = y-x-C$.
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $(x+y-5)^2 = e^{y-x-C} = C' e^{y-x}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) हमें दिया गया है,$\frac{dy}{dx} = (4x + y + 1)^2$.
माना $v = 4x + y + 1$.
तब,$\frac{dv}{dx} = 4 + \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 4$.
इस मान को अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dv}{dx} - 4 = v^2$,या $\frac{dv}{dx} = v^2 + 4$.
चरों को अलग करने पर,$\frac{dv}{v^2 + 4} = dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dv}{v^2 + 2^2} = \int dx$.
इससे हमें $\frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{v}{2}) = x + c$ प्राप्त होता है।
$v = 4x + y + 1$ रखने पर,$\frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{4x + y + 1}{2}) = x + c$.
चूंकि $y(0) = 1$ दिया गया है,$x = 0$ और $y = 1$ रखने पर: $\frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{0 + 1 + 1}{2}) = 0 + c$,अतः $c = \frac{1}{2} \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{8}$.
इस प्रकार,$\frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{4x + y + 1}{2}) = x + \frac{\pi}{8}$.
$2$ से गुणा करने पर,$\tan^{-1}(\frac{4x + y + 1}{2}) = 2x + \frac{\pi}{4}$.
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$\frac{4x + y + 1}{2} = \tan(2x + \frac{\pi}{4})$.
अतः,$y = 2 \tan(2x + \frac{\pi}{4}) - 4x - 1$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos (x+y) dy = dx$
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = \cos (x+y)$
माना $x+y = v$ है। तब,$y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dx}{dy} + 1 = \frac{dv}{dy} \implies \frac{dx}{dy} = \frac{dv}{dy} - 1$
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{dv}{dy} - 1 = \cos v$
$\frac{dv}{dy} = 1 + \cos v$
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{dv}{1 + \cos v} = \int dy$
सर्वसमिका $1 + \cos v = 2 \cos^2 \frac{v}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\int \frac{dv}{2 \cos^2 \frac{v}{2}} = \int dy$
$\frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{v}{2} dv = \int dy$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\tan \frac{v}{2} = y + c$
$v = x+y$ वापस रखने पर: $\tan \frac{x+y}{2} = y + c$
अतः,$y = \tan \frac{x+y}{2} + c$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $2 dx + dy = (6xy + 4x - 3y) dx$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $dy = (6xy + 4x - 3y - 2) dx$.
$dy = [2x(3y + 2) - (3y + 2)] dx$.
$dy = (2x - 1)(3y + 2) dx$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{3y + 2} = (2x - 1) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{3y + 2} dy = \int (2x - 1) dx$.
$\frac{1}{3} \log |3y + 2| = x^2 - x + C_1$.
$3$ से गुणा करने पर: $\log |3y + 2| = 3x^2 - 3x + 3C_1$.
माना $3C_1 = c$,तब $\log |3y + 2| = 3x^2 - 3x + c$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\left(1+x^2\right) y \sin x-2 x y\right) d x-\log y^{1+x^2} d y=0$ है।
$y$ से विभाजित करने पर और $\log y^{1+x^2} = (1+x^2) \log y$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left((1+x^2) \sin x - 2x\right) dx - (1+x^2) \log y \frac{dy}{y} = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\left(\sin x - \frac{2x}{1+x^2}\right) dx = \frac{\log y}{y} dy$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \left(\sin x - \frac{2x}{1+x^2}\right) dx = \int \frac{\log y}{y} dy$.
माना $u = \log y$,तब $du = \frac{1}{y} dy$.
समाकलन करने पर:
$-\cos x - \log(1+x^2) = \frac{(\log y)^2}{2} + C_1$.
$2$ से गुणा करने पर:
$-2 \cos x - 2 \log(1+x^2) = (\log y)^2 + 2C_1$.
व्यवस्थित करने पर:
$(\log y)^2 + 2 \cos x + 2 \log(1+x^2) = C$.
चूंकि $2 \log(1+x^2) = \log(1+x^2)^2$,अतः हल $(\log y)^2 + 2 \cos x + \log(1+x^2)^2 = C$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = x + \sin x \cos y + x \cos y + \sin x$
दाहिनी ओर गुणनखंड करने पर: $\frac{dy}{dx} = x(1 + \cos y) + \sin x(1 + \cos y)$
$\frac{dy}{dx} = (x + \sin x)(1 + \cos y)$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{1 + \cos y} = (x + \sin x) dx$
सर्वसमिका $1 + \cos y = 2 \cos^2 \frac{y}{2}$ का उपयोग करने पर: $\frac{dy}{2 \cos^2 \frac{y}{2}} = (x + \sin x) dx$
$\frac{1}{2} \sec^2 \frac{y}{2} dy = (x + \sin x) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{2} \sec^2 \frac{y}{2} dy = \int (x + \sin x) dx$
$\tan \frac{y}{2} = \frac{x^2}{2} - \cos x + C$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x dx + y dy = x^2 y dy - x y^2 dx$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x dx + x y^2 dx = x^2 y dy - y dy$
$x(1 + y^2) dx = y(x^2 - 1) dy$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{x}{x^2 - 1} dx = \frac{y}{1 + y^2} dy$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$\frac{2x}{x^2 - 1} dx = \frac{2y}{1 + y^2} dy$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{2x}{x^2 - 1} dx = \int \frac{2y}{1 + y^2} dy$
$\ln|x^2 - 1| = \ln|1 + y^2| + \ln C$
गुणधर्म $\ln a + \ln b = \ln(ab)$ का उपयोग करने पर:
$\ln|x^2 - 1| = \ln|C(1 + y^2)|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$x^2 - 1 = C(1 + y^2)$

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \sin(x-y) + \cos(x-y)$.
माना $x-y = v$. तब $1 - \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dv}{dx}$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $1 - \frac{dv}{dx} = \sin v + \cos v$.
अतः $\frac{dv}{dx} = 1 - (\sin v + \cos v)$,यानी $\frac{dv}{1 - (\sin v + \cos v)} = dx$.
अर्ध-कोण सूत्रों $\sin v = \frac{2 \tan(v/2)}{1 + \tan^2(v/2)}$ और $\cos v = \frac{1 - \tan^2(v/2)}{1 + \tan^2(v/2)}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dv}{1 - \left(\frac{2 \tan(v/2) + 1 - \tan^2(v/2)}{1 + \tan^2(v/2)}\right)} = dx$.
हर को सरल करने पर: $\frac{(1 + \tan^2(v/2)) dv}{1 + \tan^2(v/2) - 2 \tan(v/2) - 1 + \tan^2(v/2)} = dx$.
यह $\frac{\sec^2(v/2) dv}{2 \tan^2(v/2) - 2 \tan(v/2)} = dx$ में सरल हो जाता है।
माना $u = \tan(v/2)$,तो $du = \frac{1}{2} \sec^2(v/2) dv$,इसलिए $\sec^2(v/2) dv = 2 du$.
प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2 du}{2(u^2 - u)} = dx \Rightarrow \frac{du}{u(u-1)} = dx$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\int (\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u}) du = \int dx$.
समाकलन करने पर: $\log|u-1| - \log|u| = x + C$.
$u = \tan(\frac{x-y}{2})$ रखने पर: $\log \left| \frac{\tan(\frac{x-y}{2}) - 1}{\tan(\frac{x-y}{2})} \right| = x + C$.