Variable separable type differential equations Questions in Hindi

(D) दिया गया अवकल समीकरण है: $\sin x \cos y \, dx + \cos x \sin y \, dy = 0$।
दोनों पक्षों को $\cos x \cos y$ से विभाजित करने पर: $\frac{\sin x}{\cos x} \, dx + \frac{\sin y}{\cos y} \, dy = 0$।
यह सरल होकर $\tan x \, dx + \tan y \, dy = 0$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \tan x \, dx + \int \tan y \, dy = C_1$।
$-\ln |\cos x| - \ln |\cos y| = C_1$,जिसे $\ln |\cos x \cos y| = -C_1 = C$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$\cos x \cos y = e^C = K$।
वक्र बिंदु $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ से गुजरता है।
$x = 0$ और $y = \frac{\pi}{4}$ रखने पर: $\cos(0) \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = K \Rightarrow 1 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = K \Rightarrow K = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इस प्रकार,वक्र का समीकरण $\cos x \cos y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है,जिसका अर्थ है $\cos y = \frac{1}{\sqrt{2} \cos x} = \frac{\sec x}{\sqrt{2}}$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+e^{x}) dy+(1+y^{2}) e^{x} dx=0$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{1+y^{2}} + \frac{e^{x} dx}{1+e^{x}} = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{1+y^{2}} + \int \frac{e^{x} dx}{1+e^{x}} = C$ प्राप्त होता है।
माना $1+e^{x} = t$,तब $e^{x} dx = dt$ होगा।
अतः,$\tan^{-1} y + \int \frac{dt}{t} = C$ होगा।
$\tan^{-1} y + \ln|1+e^{x}| = C$ होगा।
चूँकि $x=0$ पर $y=1$ है,इसलिए $\tan^{-1}(1) + \ln|1+e^{0}| = C$ होगा।
$\frac{\pi}{4} + \ln(2) = C$ होगा।
अतः,विशिष्ट हल $\tan^{-1} y + \ln(1+e^{x}) = \frac{\pi}{4} + \ln(2)$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x-y)(dx+dy)=dx-dy$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(x-y)dx + (x-y)dy = dx - dy$
$(x-y+1)dy = (1-x+y)dx$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1-(x-y)}{1+(x-y)}$ ............$(1)$
माना $x-y=t$. तब $1-\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,अतः $\frac{dy}{dx} = 1-\frac{dt}{dx}$.
समीकरण $(1)$ में मान रखने पर:
$1-\frac{dt}{dx} = \frac{1-t}{1+t}$
$\frac{dt}{dx} = 1 - \frac{1-t}{1+t} = \frac{1+t-1+t}{1+t} = \frac{2t}{1+t}$
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{1+t}{2t} dt = dx$
$\frac{1}{2} (\frac{1}{t} + 1) dt = dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\frac{1}{2} (\log |t| + t) = x + C$
$\log |t| + t = 2x + 2C$
$\log |x-y| + x - y = 2x + C_1$
$\log |x-y| = x + y + C_1$
दिया गया है कि $x=0$ पर $y=-1$:
$\log |0 - (-1)| = 0 + (-1) + C_1$
$\log 1 = -1 + C_1$
$0 = -1 + C_1 \Rightarrow C_1 = 1$
अतः,विशिष्ट हल $\log |x-y| = x + y + 1$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+1) \frac{dy}{dx} = 2e^{-y} - 1$
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{dy}{2e^{-y} - 1} = \frac{dx}{x+1}$
अंश और हर को $e^y$ से गुणा करने पर:
$\frac{e^y dy}{2 - e^y} = \frac{dx}{x+1}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{e^y dy}{2 - e^y} = \int \frac{dx}{x+1}$
माना $t = 2 - e^y$,तब $dt = -e^y dy$,अतः $e^y dy = -dt$:
$-\int \frac{dt}{t} = \log |x+1| + C$
$-\log |2 - e^y| = \log |x+1| + C$
प्रतिबंध $x = 0$ पर $y = 0$ का उपयोग करने पर:
$-\log |2 - e^0| = \log |0+1| + C$
$-\log |1| = \log |1| + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$
अतः,$-\log |2 - e^y| = \log |x+1|$
$\log |2 - e^y|^{-1} = \log |x+1|$
$\frac{1}{2 - e^y} = x+1$
$2 - e^y = \frac{1}{x+1}$
$e^y = 2 - \frac{1}{x+1} = \frac{2x+2-1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}$
$y = \log \left| \frac{2x+1}{x+1} \right|, (x \neq -1)$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{2+\sin x}{y+1} \frac{dy}{dx} = -\cos x$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y+1} = \frac{-\cos x}{2+\sin x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y+1} = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
इससे प्राप्त होता है: $\ln(y+1) = -\ln(2+\sin x) + C$.
प्रारंभिक शर्त $y(0) = 1$ का उपयोग करने पर: $\ln(1+1) = -\ln(2+\sin 0) + C \Rightarrow \ln 2 = -\ln 2 + C \Rightarrow C = 2\ln 2 = \ln 4$.
अतः,$\ln(y+1) = \ln\left(\frac{4}{2+\sin x}\right)$,जिसका अर्थ है $y+1 = \frac{4}{2+\sin x}$,या $y(x) = \frac{4}{2+\sin x} - 1$.
$x = \pi$ के लिए,$a = y(\pi) = \frac{4}{2+\sin \pi} - 1 = \frac{4}{2} - 1 = 1$.
अब,$x = \pi$ पर $b = \frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं: $\frac{dy}{dx} = \frac{-\cos x}{2+\sin x} (y+1) = \frac{-\cos x}{2+\sin x} \left(\frac{4}{2+\sin x}\right) = \frac{-4\cos x}{(2+\sin x)^2}$.
$x = \pi$ पर,$b = \frac{-4\cos \pi}{(2+\sin \pi)^2} = \frac{-4(-1)}{(2+0)^2} = \frac{4}{4} = 1$.
अतः,क्रमित युग्म $(a, b) = (1, 1)$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $x^{3} dy + xy dx = x^{2} dy + 2y dx$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(x^{3} - x^{2}) dy = (2y - xy) dx$
$(x^{3} - x^{2}) dy = y(2 - x) dx$
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y} = \frac{2 - x}{x^{2}(x - 1)} dx$
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{2 - x}{x^{2}(x - 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x - 1}$
$2 - x = Ax(x - 1) + B(x - 1) + Cx^{2}$
$x = 0$ के लिए,$2 = -B \Rightarrow B = -2$. $x = 1$ के लिए,$1 = C$. $x^{2}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$0 = A + C \Rightarrow A = -1$.
समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int \left( -\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x - 1} \right) dx$
$\ln y = -\ln x + \frac{2}{x} + \ln(x - 1) + C_{1}$
$y(2) = e$ दिया गया है: $\ln e = -\ln 2 + \frac{2}{2} + \ln(2 - 1) + C_{1} \Rightarrow 1 = -\ln 2 + 1 + 0 + C_{1} \Rightarrow C_{1} = \ln 2$.
अतः,$\ln y = \ln \left( \frac{2(x - 1)}{x} \right) + \frac{2}{x}$.
$x = 4$ के लिए: $\ln y = \ln \left( \frac{2(3)}{4} \right) + \frac{2}{4} = \ln \left( \frac{3}{2} \right) + \frac{1}{2} = \ln \left( \frac{3}{2} \right) + \ln \sqrt{e}$.
$y = \frac{3}{2} \sqrt{e}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+e^{-x})(1+y^{2}) \frac{dy}{dx} = y^{2}$.
चरों को अलग करने पर:
$\frac{1+y^{2}}{y^{2}} dy = \frac{1}{1+e^{-x}} dx$
$\Rightarrow (y^{-2}+1) dy = \frac{e^{x}}{e^{x}+1} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int (y^{-2}+1) dy = \int \frac{e^{x}}{e^{x}+1} dx$
$-y^{-1} + y = \ln(e^{x}+1) + C$
$y - \frac{1}{y} = \ln(e^{x}+1) + C$.
चूंकि वक्र बिंदु $(0,1)$ से गुजरता है,$x=0$ और $y=1$ रखने पर:
$1 - \frac{1}{1} = \ln(e^{0}+1) + C$
$0 = \ln(2) + C \Rightarrow C = -\ln(2)$.
$C$ का मान समीकरण में रखने पर:
$y - \frac{1}{y} = \ln(e^{x}+1) - \ln(2)$
$y - \frac{1}{y} = \ln\left(\frac{e^{x}+1}{2}\right)$
$y$ से गुणा करने पर:
$y^{2} - 1 = y \ln\left(\frac{1+e^{x}}{2}\right)$
$y^{2} = 1 + y \ln\left(\frac{1+e^{x}}{2}\right)$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + 3 = \frac{y+3x}{\log_{e}(y+3x)}$.
माना $z = y + 3x$. तब $\frac{dz}{dx} = \frac{dy}{dx} + 3$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dz}{dx} = \frac{z}{\log_{e}z}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{\log_{e}z}{z} dz = dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{\log_{e}z}{z} dz = \int dx$.
माना $u = \log_{e}z$,तो $du = \frac{1}{z} dz$. समाकलन $\int u du = x + C$ हो जाता है।
अतः,$\frac{u^{2}}{2} = x + C$.
$u = \log_{e}(y+3x)$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{2}(\log_{e}(y+3x))^{2} = x + C$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर $x - \frac{1}{2}(\log_{e}(y+3x))^{2} = C$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})} + xy \frac{dy}{dx} = 0$
$\Rightarrow \sqrt{1+x^{2}} \sqrt{1+y^{2}} = -xy \frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow \int \frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}} dy = -\int \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x} dx$
माना $1+y^{2} = v^{2} \Rightarrow y dy = v dv$ और $1+x^{2} = u^{2} \Rightarrow x dx = u du \Rightarrow dx = \frac{u du}{x} = \frac{u du}{\sqrt{u^{2}-1}}$
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{v dv}{v} = -\int \frac{u}{\sqrt{u^{2}-1}} \cdot \frac{u du}{\sqrt{u^{2}-1}}$
$\Rightarrow \int dv = -\int \frac{u^{2}}{u^{2}-1} du$
$\Rightarrow v = -\int \left( 1 + \frac{1}{u^{2}-1} \right) du$
$\Rightarrow v = -u - \frac{1}{2} \log_{e} \left| \frac{u-1}{u+1} \right| + C$
$\Rightarrow v = -u + \frac{1}{2} \log_{e} \left| \frac{u+1}{u-1} \right| + C$
$u = \sqrt{1+x^{2}}$ और $v = \sqrt{1+y^{2}}$ वापस रखने पर:
$\sqrt{1+y^{2}} = -\sqrt{1+x^{2}} + \frac{1}{2} \log_{e} \left( \frac{\sqrt{1+x^{2}}+1}{\sqrt{1+x^{2}}-1} \right) + C$
$\Rightarrow \sqrt{1+y^{2}} + \sqrt{1+x^{2}} = \frac{1}{2} \log_{e} \left( \frac{\sqrt{1+x^{2}}+1}{\sqrt{1+x^{2}}-1} \right) + C$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = xy - 1 + x - y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = x(y + 1) - 1(y + 1) = (x - 1)(y + 1)$.
यह एक चर पृथक्करणीय अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{y + 1} = (x - 1) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y + 1} = \int (x - 1) dx$.
$\ln|y + 1| = \frac{x^2}{2} - x + C$.
प्रारंभिक शर्त $y(0) = 0$ का उपयोग करने पर: $\ln|0 + 1| = \frac{0^2}{2} - 0 + C \Rightarrow \ln(1) = C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$\ln|y + 1| = \frac{x^2}{2} - x$,जिसका अर्थ है $y + 1 = e^{\frac{x^2}{2} - x}$.
इसलिए,$y(x) = e^{\frac{x^2}{2} - x} - 1$.
$y(1)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 1$ रखने पर: $y(1) = e^{\frac{1^2}{2} - 1} - 1 = e^{\frac{1}{2} - 1} - 1 = e^{-\frac{1}{2}} - 1$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{2^{x} \cdot 2^{y} - 2^{x}}{2^{y}}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{2^{y}}{2^{y}-1} dy = 2^{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{2^{y}}{2^{y}-1} dy = \int 2^{x} dx$.
माना $u = 2^{y}-1$,तब $du = 2^{y} \ln(2) dy$,इसलिए $\int \frac{du}{u \ln(2)} = \frac{2^{x}}{\ln(2)} + C$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $\frac{1}{\ln(2)} \ln(2^{y}-1) = \frac{2^{x}}{\ln(2)} + C$.
$\ln(2)$ से गुणा करने पर: $\ln(2^{y}-1) = 2^{x} + C'$.
$y(0) = 1$ का उपयोग करने पर: $\ln(2^{1}-1) = 2^{0} + C' \Rightarrow \ln(1) = 1 + C' \Rightarrow 0 = 1 + C' \Rightarrow C' = -1$.
अतः,$\ln(2^{y}-1) = 2^{x} - 1$.
$x=1$ के लिए: $\ln(2^{y}-1) = 2^{1} - 1 = 1$.
$2^{y}-1 = e^{1} \Rightarrow 2^{y} = e+1$.
दोनों पक्षों में $\log_{2}$ लेने पर: $y = \log_{2}(e+1)$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{2^x(y + 2^y)}{2^x(1 + 2^y \ln 2)}$.
अंश और हर से $2^x$ को हटाने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y + 2^y}{1 + 2^y \ln 2}$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर: $\frac{1 + 2^y \ln 2}{y + 2^y} dy = dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1 + 2^y \ln 2}{y + 2^y} dy = \int dx$.
माना $u = y + 2^y$,तब $du = (1 + 2^y \ln 2) dy$। अतः,$\int \frac{1}{u} du = x + C$.
$\ln|y + 2^y| = x + C$.
चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर: $\ln|0 + 2^0| = 0 + C \Rightarrow \ln(1) = C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$x = \ln(y + 2^y)$.
$y = 1$ के लिए,$x = \ln(1 + 2^1) = \ln(3)$.
चूँकि $e \approx 2.718$ और $e^2 \approx 7.389$,और $e < 3 < e^2$,इसलिए $1 < \ln(3) < 2$.
अतः,$x \in (1, 2)$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $e^{x} \sqrt{1-y^{2}} dx + \frac{y}{x} dy = 0$ है।
चरों को अलग करने पर:
$\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}} dy = -x e^{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}} dy = -\int x e^{x} dx$.
बाएँ पक्ष के लिए,$u = 1-y^{2}$ लेने पर,$-\sqrt{1-y^{2}}$ प्राप्त होता है।
दाएँ पक्ष के लिए,खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$-(x e^{x} - e^{x}) + C = -e^{x}(x-1) + C$ प्राप्त होता है।
अतः,$-\sqrt{1-y^{2}} = -e^{x}(x-1) + C$,जिसका अर्थ है $\sqrt{1-y^{2}} = e^{x}(x-1) + C$.
$y(1) = -1$ रखने पर,$0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$\sqrt{1-y^{2}} = e^{x}(x-1)$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1-y^{2} = e^{2x}(x-1)^{2}$.
$x=3$ के लिए,$1-y^{2} = e^{6}(2)^{2} = 4e^{6}$.
अतः,$y^{2} = 1 - 4e^{6}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos \left(\frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(e^{-x}\right)\right) d x=\sqrt{e^{2 x}-1} \,d y$।
मान लीजिए $\cos ^{-1}\left(e^{-x}\right)=\theta$,जहाँ $\theta \in[0, \pi]$।
तब $\cos \theta = e^{-x}$। सर्वसमिका $\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$ का उपयोग करने पर,$2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = 1 + e^{-x} = \frac{e^x + 1}{e^x}$।
अतः,$\cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{e^x + 1}{2e^x}}$।
इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{\frac{e^x + 1}{2e^x}} dx = \sqrt{e^{2x} - 1} dy$।
चूंकि $\sqrt{e^{2x} - 1} = \sqrt{(e^x - 1)(e^x + 1)}$,हमें प्राप्त होता है $\sqrt{\frac{e^x + 1}{2e^x}} dx = \sqrt{e^x - 1} \sqrt{e^x + 1} dy$।
$\sqrt{e^x + 1}$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{\sqrt{2e^x}} dx = \sqrt{e^x - 1} dy$,जो सरल होकर $\frac{dx}{\sqrt{2} \sqrt{e^x(e^x - 1)}} = dy$ हो जाता है।
मान लीजिए $e^x = t$,तब $e^x dx = dt \Rightarrow dx = \frac{dt}{t}$।
अतः,$\int \frac{dt}{\sqrt{2} t \sqrt{t(t-1)}} = \int dy$।
मान लीजिए $t = \frac{1}{z}$,तब $dt = -\frac{1}{z^2} dz$।
प्रतिस्थापित करने पर: $\int \frac{-dz/z^2}{\sqrt{2} (1/z) \sqrt{1/z^2 - 1/z}} = \int dy \Rightarrow -\int \frac{dz}{\sqrt{2} \sqrt{1-z}} = y + C$।
समाकलन करने पर: $\sqrt{2} \sqrt{1-z} = y + C \Rightarrow \sqrt{2} \sqrt{1 - e^{-x}} = y + C$।
$x=0, y=-1$ पर: $\sqrt{2} \sqrt{1 - 1} = -1 + C \Rightarrow C = 1$।
अतः,$\sqrt{2} \sqrt{1 - e^{-x}} = y + 1$।
$x$-अक्ष प्रतिच्छेदन बिंदु $(\alpha, 0)$ के लिए,$y=0$ रखने पर: $\sqrt{2} \sqrt{1 - e^{-\alpha}} = 1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2(1 - e^{-\alpha}) = 1 \Rightarrow 1 - e^{-\alpha} = \frac{1}{2} \Rightarrow e^{-\alpha} = \frac{1}{2}$।
अतः,$e^{\alpha} = 2$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x \ln x}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y} = \frac{2 dx}{x \ln x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{2}{x \ln x} dx$.
मान लीजिए $u = \ln x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$. समाकलन करने पर: $\ln |y| = 2 \int \frac{du}{u} = 2 \ln |u| + C = 2 \ln |\ln x| + C$.
अतः,$\ln |y| = \ln |(\ln x)^2| + C$,जिसका अर्थ है $y = k(\ln x)^2$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
चूंकि वक्र बिंदु $(2, (\ln 2)^2)$ से गुजरता है,$x=2$ और $y=(\ln 2)^2$ रखने पर:
$(\ln 2)^2 = k(\ln 2)^2 \Rightarrow k = 1$.
इस प्रकार,फलन $f(x) = (\ln x)^2$ है।
$f(e)$ ज्ञात करने के लिए,$x=e$ रखने पर: $f(e) = (\ln e)^2 = (1)^2 = 1$.

(B) दिए गए अवकल समीकरण $\log _{e}\left(\frac{d y}{d x}\right)=3 x+4 y$ को $\frac{d y}{d x}=e^{3 x+4 y}=e^{3 x} \cdot e^{4 y}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चरों को अलग करने पर,$e^{-4 y} d y=e^{3 x} d x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int e^{-4 y} d y=\int e^{3 x} d x$,जिससे $-\frac{1}{4} e^{-4 y}=\frac{1}{3} e^{3 x}+C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थिति $y(0)=0$ का उपयोग करते हुए,$x=0$ और $y=0$ रखने पर: $-\frac{1}{4} e^{0}=\frac{1}{3} e^{0}+C \Rightarrow -\frac{1}{4}=\frac{1}{3}+C \Rightarrow C=-\frac{7}{12}$।
अतः,$-\frac{1}{4} e^{-4 y}=\frac{1}{3} e^{3 x}-\frac{7}{12}$।
$-12$ से गुणा करने पर,$3 e^{-4 y} = 7 - 4 e^{3 x}$,इसलिए $e^{-4 y} = \frac{7 - 4 e^{3 x}}{3}$।
व्युत्क्रम लेने पर,$e^{4 y} = \frac{3}{7 - 4 e^{3 x}}$,इसलिए $4 y = \log _{e} \left(\frac{3}{7 - 4 e^{3 x}}\right)$।
$x = -\frac{2}{3} \log _{e} 2$ के लिए,$e^{3 x} = e^{3 \left(-\frac{2}{3} \log _{e} 2\right)} = e^{-2 \log _{e} 2} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$।
इस मान को $4y$ के समीकरण में रखने पर: $4 y = \log _{e} \left(\frac{3}{7 - 4(1/4)}\right) = \log _{e} \left(\frac{3}{6}\right) = \log _{e} \left(\frac{1}{2}\right) = -\log _{e} 2$।
अतः,$y = -\frac{1}{4} \log _{e} 2$। इसे $y = \alpha \log _{e} 2$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = -\frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\sec y \frac{dy}{dx} - (\sin(x+y) + \sin(x-y)) = 0$.
सर्वसमिका $\sin(A+B) + \sin(A-B) = 2 \sin A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$\sec y \frac{dy}{dx} - 2 \sin x \cos y = 0$.
$\sec y \frac{dy}{dx} = 2 \sin x \cos y$.
$\cos y$ से भाग देने पर ($y \in [0, \frac{\pi}{2})$ के लिए $\cos y \neq 0$):
$\sec^2 y \frac{dy}{dx} = 2 \sin x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \sec^2 y dy = \int 2 \sin x dx$.
$\tan y = -2 \cos x + C$.
चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,$x=0$ और $y=0$ रखने पर:
$\tan(0) = -2 \cos(0) + C \Rightarrow 0 = -2(1) + C \Rightarrow C = 2$.
अतः,$\tan y = 2 - 2 \cos x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\sec^2 y \frac{dy}{dx} = 2 \sin x$.
$x = \frac{\pi}{2}$ पर,$\tan y = 2 - 2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 2 - 0 = 2$.
चूँकि $\tan y = 2$,इसलिए $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + 2^2 = 5$.
अवकल समीकरण में मान रखने पर:
$5 \frac{dy}{dx} = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2(1) = 2$.
अतः,$5y'(\frac{\pi}{2}) = 2$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $dy = e^{\alpha x + y} dx$ है।
चरों को अलग करने पर:
$e^{-y} dy = e^{\alpha x} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int e^{-y} dy = \int e^{\alpha x} dx$
$-e^{-y} = \frac{e^{\alpha x}}{\alpha} + C \quad \dots(i)$
प्रतिबंध $y(0) = \log_{e}(\frac{1}{2}) = -\log_{e} 2$ का उपयोग करने पर:
$-e^{-(-\log_{e} 2)} = \frac{e^{\alpha(0)}}{\alpha} + C$
$-e^{\log_{e} 2} = \frac{1}{\alpha} + C$
$-2 = \frac{1}{\alpha} + C \quad \dots(ii)$
प्रतिबंध $y(\log_{e} 2) = \log_{e} 2$ का उपयोग करने पर:
$-e^{-\log_{e} 2} = \frac{e^{\alpha \log_{e} 2}}{\alpha} + C$
$-\frac{1}{2} = \frac{2^{\alpha}}{\alpha} + C \quad \dots(iii)$
समीकरण $(iii)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(-\frac{1}{2}) - (-2) = \frac{2^{\alpha}}{\alpha} - \frac{1}{\alpha}$
$\frac{3}{2} = \frac{2^{\alpha} - 1}{\alpha}$
यदि $\alpha = 2$ हो,तो:
$\frac{2^{2} - 1}{2} = \frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2}$।
अतः,$\alpha$ का मान $2$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $2x^{2} \frac{dy}{dx} - 2xy + 3y^{2} = 0$.
$2x^{2}$ से विभाजित करने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = -\frac{3}{2} \left(\frac{y}{x}\right)^{2}$.
माना $v = \frac{y}{x}$,तब $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} - v = -\frac{3}{2} v^{2}$.
$x \frac{dv}{dx} = -\frac{3}{2} v^{2}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{v^{2}} = -\frac{3}{2} \frac{dx}{x}$.
समाकलन करने पर: $-\frac{1}{v} = -\frac{3}{2} \ln|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $-\frac{x}{y} = -\frac{3}{2} \ln|x| + C$.
शर्त $y(e) = \frac{e}{3}$ का उपयोग करने पर: $-\frac{e}{e/3} = -\frac{3}{2} \ln(e) + C \implies -3 = -\frac{3}{2} + C \implies C = -\frac{3}{2}$.
अतः,$-\frac{x}{y} = -\frac{3}{2} \ln|x| - \frac{3}{2}$.
$x = 1$ के लिए: $-\frac{1}{y} = -\frac{3}{2} \ln(1) - \frac{3}{2} \implies -\frac{1}{y} = -\frac{3}{2} \implies y = \frac{2}{3}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{2^{x-y}(2^y - 1)}{2^x - 1} = 0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = -\frac{2^x \cdot 2^{-y}(2^y - 1)}{2^x - 1} = -\frac{2^x(2^y - 1)}{2^y(2^x - 1)}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{2^y}{2^y - 1} dy = -\frac{2^x}{2^x - 1} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{2^y}{2^y - 1} dy = -\int \frac{2^x}{2^x - 1} dx$.
$u = 2^y - 1$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$du = 2^y \ln 2 \, dy$,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{\ln 2} \ln|2^y - 1| = -\frac{1}{\ln 2} \ln|2^x - 1| + C$.
$\ln 2$ से गुणा करने पर: $\ln|2^y - 1| + \ln|2^x - 1| = C_1$,जहाँ $C_1 = C \ln 2$.
यह सरल होकर $(2^y - 1)(2^x - 1) = K$ हो जाता है,जहाँ $K = e^{C_1}$.
$y(1) = 1$ दिया गया है,अतः $(2^1 - 1)(2^1 - 1) = K \implies (1)(1) = K \implies K = 1$.
अतः,$(2^y - 1)(2^x - 1) = 1$.
$x = 2$ के लिए,$(2^y - 1)(2^2 - 1) = 1 \implies (2^y - 1)(3) = 1$.
$2^y - 1 = \frac{1}{3} \implies 2^y = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
दोनों पक्षों का $\log_2$ लेने पर: $y = \log_2(\frac{4}{3}) = \log_2 4 - \log_2 3 = 2 - \log_2 3$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(1 + e^{2x}) \frac{dy}{dx} + 2(1 + y^2)e^x = 0$.
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dy}{1 + y^2} = -\frac{2e^x}{1 + e^{2x}} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{1 + y^2} = -\int \frac{2e^x}{1 + (e^x)^2} dx$.
माना $u = e^x$,तब $du = e^x dx$. समाकलन करने पर:
$\tan^{-1}(y) = -2 \tan^{-1}(e^x) + C$.
$y(0) = 0$ दिया गया है,इसलिए $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर:
$\tan^{-1}(0) = -2 \tan^{-1}(e^0) + C \implies 0 = -2(\frac{\pi}{4}) + C \implies C = \frac{\pi}{2}$.
अतः,हल $\tan^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(e^x)$ है।
$y'(0)$ ज्ञात करने के लिए,मूल अवकल समीकरण में $x = 0$ रखने पर:
$(1 + e^0) y'(0) + 2(1 + 0^2)e^0 = 0 \implies 2y'(0) + 2 = 0 \implies y'(0) = -1$.
अब,$y(\log_e \sqrt{3})$ ज्ञात करते हैं:
$\tan^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(e^{\log_e \sqrt{3}}) = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{2} - 2(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.
इसलिए,$y = \tan(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः $(y(\log_e \sqrt{3}))^2 = (-\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}$.
अंत में,$6(y'(0) + (y(\log_e \sqrt{3}))^2) = 6(-1 + \frac{1}{3}) = 6(-\frac{2}{3}) = -4$.

(B) स्पर्शरेखा का ढाल $\frac{dy}{dx} = -k \frac{y}{x}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ आनुपातिकता का स्थिरांक है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y} = -k \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\ln |y| = -k \ln |x| + C$ प्राप्त होता है,जिसे $y = C x^{-k}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया है कि वक्र $(1, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $2 = C(1)^{-k} \Rightarrow C = 2$.
दिया गया है कि वक्र $(8, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $1 = 2(8)^{-k} \Rightarrow 8^k = 2 \Rightarrow (2^3)^k = 2^1 \Rightarrow 3k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{3}$.
अतः,वक्र का समीकरण $y = 2 x^{-1/3}$ है।
हमें $\left| y \left(\frac{1}{8}\right) \right|$ का मान ज्ञात करना है।
समीकरण में $x = \frac{1}{8}$ रखने पर,$y = 2 \left(\frac{1}{8}\right)^{-1/3} = 2 \left( (2^{-3})^{-1/3} \right) = 2 \times 2^1 = 4$.
इसलिए,$\left| y \left(\frac{1}{8}\right) \right| = 4$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x-y^{2}) dx + y(5x+y^{2}) dy = 0$.
इसे इस प्रकार लिखें: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2}-x}{y(5x+y^{2})}$.
माना $v = y^{2}$,तब $\frac{dv}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} \frac{dv}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{1}{2y} \frac{dv}{dx} = \frac{v-x}{y(5x+v)} \implies \frac{dv}{dx} = 2 \frac{v-x}{5x+v}$.
माना $v = kx$,तब $\frac{dv}{dx} = k + x \frac{dk}{dx}$.
$k + x \frac{dk}{dx} = 2 \frac{kx-x}{5x+kx} = 2 \frac{k-1}{5+k}$.
$x \frac{dk}{dx} = \frac{2k-2}{k+5} - k = \frac{2k-2-k^{2}-5k}{k+5} = -\frac{k^{2}+3k+2}{k+5} = -\frac{(k+1)(k+2)}{k+5}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{k+5}{(k+1)(k+2)} dk = -\int \frac{dx}{x}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{k+5}{(k+1)(k+2)} = \frac{4}{k+1} - \frac{3}{k+2}$.
समाकलन करने पर: $4 \ln|k+1| - 3 \ln|k+2| = -\ln|x| + \ln|C|$.
$\ln|\frac{(k+1)^{4}}{(k+2)^{3}}| = \ln|\frac{C}{x}| \implies \frac{(k+1)^{4}}{(k+2)^{3}} = \frac{C}{x}$.
$k = \frac{v}{x} = \frac{y^{2}}{x}$ रखने पर: $\frac{(\frac{y^{2}}{x}+1)^{4}}{(\frac{y^{2}}{x}+2)^{3}} = \frac{C}{x} \implies \frac{(y^{2}+x)^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{x^{3}}{(y^{2}+2x)^{3}} = \frac{C}{x}$.
$(y^{2}+x)^{4} = C|y^{2}+2x|^{3}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $y(x+1) dx = x^2 dy$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{x+1}{x^2} dx = \frac{dy}{y}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) dx = \int \frac{dy}{y}$.
इससे प्राप्त होता है: $\ln|x| - \frac{1}{x} = \ln|y| + C$.
प्रारंभिक शर्त $y(1)=e$ का उपयोग करते हुए,$x=1$ और $y=e$ रखने पर: $\ln(1) - \frac{1}{1} = \ln(e) + C$.
$0 - 1 = 1 + C$,जिसका अर्थ है $C = -2$.
अतः,हल $\ln|y| = \ln|x| - \frac{1}{x} + 2$ है।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $y = e^{\ln x - \frac{1}{x} + 2} = x \cdot e^{-\frac{1}{x} + 2}$.
अब,सीमा का मान ज्ञात करते हैं: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \cdot e^{-\frac{1}{x} + 2}$.
मान लीजिए $t = \frac{1}{x}$. जब $x \rightarrow 0^{+}$,तब $t \rightarrow \infty$.
सीमा $\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{e^{-t+2}}{t} = \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{e^2}{t e^t} = 0$ प्राप्त होती है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1-x^2 y^2) dx = y dx + x dy$ है।
हम जानते हैं कि $d(xy) = y dx + x dy$ होता है। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(1-(xy)^2) dx = d(xy)$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$dx = \frac{d(xy)}{1-(xy)^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int dx = \int \frac{d(xy)}{1-(xy)^2}$।
सूत्र $\int \frac{du}{1-u^2} = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+u}{1-u} \right| + C$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+xy}{1-xy} \right| + C$ प्राप्त होता है।
$y(1) = 2$ दिया गया है,$x=1$ और $y=2$ रखने पर $1 = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+2}{1-2} \right| + C$,जिससे $1 = \frac{1}{2} \ln 3 + C$,जिसका अर्थ है $C = 1 - \frac{1}{2} \ln 3$।
अब,$x=2$ और $y=\alpha$ के लिए,$2 = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right| + 1 - \frac{1}{2} \ln 3$।
$1 + \frac{1}{2} \ln 3 = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right|$,जो सरल होकर $2 + \ln 3 = \ln \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right|$ बन जाता है।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर,$3e^2 = \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right|$।
स्थिति $1$: $\frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} = 3e^2 \implies 1+2\alpha = 3e^2 - 6e^2\alpha \implies \alpha(2+6e^2) = 3e^2-1 \implies \alpha = \frac{3e^2-1}{2(3e^2+1)}$।
स्थिति $2$: $\frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} = -3e^2 \implies 1+2\alpha = -3e^2 + 6e^2\alpha \implies \alpha(2-6e^2) = -3e^2-1 \implies \alpha = \frac{3e^2+1}{2(3e^2-1)}$।

(D) दिए गए अवकल समीकरण $\frac{dx}{dt} = -ax$ और $\frac{dy}{dt} = -by$ हैं।
$\frac{dx}{dt} = -ax$ को चरों को अलग करके हल करने पर,$\int \frac{dx}{x} = -\int a dt$ प्राप्त होता है,जिससे $\ln|x| = -at + C_1$ मिलता है।
$x(0)=2$ का उपयोग करने पर,$\ln 2 = C_1$ प्राप्त होता है,इसलिए $x(t) = 2e^{-at}$ है।
इसी प्रकार,$y(0)=1$ के साथ $\frac{dy}{dt} = -by$ को हल करने पर,$y(t) = e^{-bt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $3y(1) = 2x(1)$,इसलिए:
$3e^{-b} = 2(2e^{-a}) \implies 3e^{-b} = 4e^{-a} \implies e^{a-b} = \frac{4}{3}$।
हमें $t$ का मान ज्ञात करना है ताकि $x(t) = y(t)$ हो:
$2e^{-at} = e^{-bt} \implies 2 = e^{(a-b)t}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln 2 = (a-b)t$।
चूंकि $e^{a-b} = \frac{4}{3}$ है,इसलिए $a-b = \ln(\frac{4}{3})$ है।
अतः,$\ln 2 = t \ln(\frac{4}{3}) \implies t = \frac{\ln 2}{\ln(\frac{4}{3})} = \log_{\frac{4}{3}} 2$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(2x+3y-2)dx+(4x+6y-7)dy=0$.
माना $t = 2x+3y$. तब $dt = 2dx + 3dy$,अर्थात $dy = \frac{dt-2dx}{3}$.
समीकरण में मान रखने पर: $(t-2)dx + (2t-7)\left(\frac{dt-2dx}{3}\right) = 0$.
$3$ से गुणा करने पर: $3(t-2)dx + (2t-7)dt - 2(2t-7)dx = 0$.
$(-t+8)dx + (2t-7)dt = 0 \implies dx = \frac{2t-7}{8-t}dt$.
समाकलन करने पर: $x = \int \frac{2t-7}{8-t}dt = \int (-2 + \frac{9}{8-t})dt = -2t - 9\ln|8-t| + C$.
$t = 2x+3y$ रखने पर: $x = -2(2x+3y) - 9\ln|8-2x-3y| + C \implies 5x+6y+9\ln|2x+3y-8| = C$.
$y(0)=3$ का उपयोग करने पर: $0 + 6 + 9\ln|9-8| = C \implies C = 6$.
समीकरण को $x+2y+3\ln|2x+3y-8|=2$ के रूप में लाने पर,$\alpha=1, \beta=2, \gamma=8$ प्राप्त होता है।
अतः $\alpha+2\beta+3\gamma = 1 + 2(2) + 3(8) = 29$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^2-4) dy = (y^2-3y) dx$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y(y-3)} = \int \frac{dx}{x^2-4}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{3} \int (\frac{1}{y-3} - \frac{1}{y}) dy = \frac{1}{4} \ln |\frac{x-2}{x+2}| + C$.
समाकलन करने पर: $\frac{1}{3} \ln |\frac{y-3}{y}| = \frac{1}{4} \ln |\frac{x-2}{x+2}| + C$.
$y(4) = \frac{3}{2}$ दिया गया है,इसलिए $x=4$ और $y=\frac{3}{2}$ रखने पर:
$\frac{1}{3} \ln |\frac{3/2-3}{3/2}| = \frac{1}{4} \ln |\frac{4-2}{4+2}| + C \Rightarrow \frac{1}{3} \ln |-1| = \frac{1}{4} \ln |\frac{1}{3}| + C \Rightarrow 0 = -\frac{1}{4} \ln 3 + C \Rightarrow C = \frac{1}{4} \ln 3$.
अब,$x=10$ के लिए: $\frac{1}{3} \ln |\frac{y-3}{y}| = \frac{1}{4} \ln |\frac{10-2}{10+2}| + \frac{1}{4} \ln 3 = \frac{1}{4} \ln |\frac{8}{12}| + \frac{1}{4} \ln 3 = \frac{1}{4} \ln |\frac{2}{3} \times 3| = \frac{1}{4} \ln 2$.
अतः,$\ln |\frac{y-3}{y}| = \frac{3}{4} \ln 2 = \ln (2^{3/4}) = \ln (8^{1/4})$.
चूंकि $y(4) = 1.5$ है और ढाल कभी शून्य नहीं है,$y$ का मान $(0, 3)$ में रहेगा,इसलिए $\frac{y-3}{y} = -8^{1/4}$.
$y-3 = -y \cdot 8^{1/4} \Rightarrow y(1+8^{1/4}) = 3 \Rightarrow y = \frac{3}{1+8^{1/4}}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y^2)(1+\ln x) dx + x dy = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{1+\ln x}{x} dx + \frac{dy}{1+y^2} = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{1}{x} dx + \int \frac{\ln x}{x} dx + \int \frac{dy}{1+y^2} = C$।
इसका सरलीकरण $\ln x + \frac{(\ln x)^2}{2} + \tan^{-1} y = C$ है।
चूंकि वक्र $(1,1)$ से गुजरता है,$x=1$ और $y=1$ रखने पर: $\ln(1) + \frac{(\ln 1)^2}{2} + \tan^{-1}(1) = C$,जिससे $0 + 0 + \frac{\pi}{4} = C$ प्राप्त होता है,अतः $C = \frac{\pi}{4}$।
वक्र का समीकरण $\ln x + \frac{(\ln x)^2}{2} + \tan^{-1} y = \frac{\pi}{4}$ है।
$x=e$ के लिए,$\ln(e) + \frac{(\ln e)^2}{2} + \tan^{-1} y = \frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है $1 + \frac{1}{2} + \tan^{-1} y = \frac{\pi}{4}$।
अतः,$\tan^{-1} y = \frac{\pi}{4} - \frac{3}{2}$,इसलिए $y = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{3}{2}) = \frac{\tan(\pi/4) - \tan(3/2)}{1 + \tan(\pi/4)\tan(3/2)} = \frac{1 - \tan(3/2)}{1 + \tan(3/2)}$।
इसकी तुलना $y(e) = \frac{\alpha - \tan(3/2)}{\beta + \tan(3/2)}$ से करने पर,हमें $\alpha = 1$ और $\beta = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha + 2\beta = 1 + 2(1) = 3$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=2 x(x+y)^3-x(x+y)-1$ है।
माना $t = x+y$,तब $\frac{d t}{d x} = 1 + \frac{d y}{d x}$,अर्थात $\frac{d y}{d x} = \frac{d t}{d x} - 1$.
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{d t}{d x} - 1 = 2xt^3 - xt - 1$,जो सरल होकर $\frac{d t}{d x} = x(2t^3 - t)$ हो जाता है।
चरों को अलग करने पर: $\frac{d t}{2t^3 - t} = x dx$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{t(2t^2 - 1)} = \frac{-1}{t} + \frac{2t}{2t^2 - 1}$.
समाकलन करने पर: $\int (\frac{2t}{2t^2 - 1} - \frac{1}{t}) dt = \int x dx$.
$\frac{1}{2} \ln|2t^2 - 1| - \ln|t| = \frac{x^2}{2} + C$.
$x=0, y=1$ के लिए $t=1$,अतः $C=0$.
$\ln|\frac{\sqrt{2t^2 - 1}}{t}| = \frac{x^2}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{2t^2 - 1}{t^2} = e^{x^2}$.
$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ के लिए $x^2 = \frac{1}{2}$,अतः $\frac{2t^2 - 1}{t^2} = \sqrt{e}$.
$2t^2 - 1 = t^2 \sqrt{e} \implies t^2(2 - \sqrt{e}) = 1 \implies t^2 = \frac{1}{2 - \sqrt{e}}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^4+2x^3+3x^2+2x+2)dy = (2x^2+2x+3)dx$.
चरों को अलग करने पर: $dy = \frac{2x^2+2x+3}{x^4+2x^3+3x^2+2x+2}dx$.
हर का गुणनखंड करने पर: $x^4+2x^3+3x^2+2x+2 = (x^2+1)(x^2+2x+2)$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{2x^2+2x+3}{(x^2+1)(x^2+2x+2)} = \frac{1}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+2x+2}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $y = \int \frac{1}{x^2+1}dx + \int \frac{1}{(x+1)^2+1}dx$.
$y = \tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(x+1) + C$.
दिया है $y(-1) = -\frac{\pi}{4}$: $-\frac{\pi}{4} = \tan^{-1}(-1) + \tan^{-1}(0) + C$.
$-\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 0 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$y(x) = \tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(x+1)$.
$y(0)$ के लिए: $y(0) = \tan^{-1}(0) + \tan^{-1}(1) = 0 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(e^y+1) \cos x \, dx + e^y \sin x \, dy = 0$ है।
इसे $d((e^y+1) \sin x) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $(e^y+1) \sin x = C$ प्राप्त होता है।
चूंकि हल बिंदु $(\frac{\pi}{2}, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $x = \frac{\pi}{2}$ और $y = 0$ रखने पर:
$(e^0+1) \sin(\frac{\pi}{2}) = C \Rightarrow (1+1)(1) = C \Rightarrow C = 2$.
अतः,वक्र का समीकरण $(e^y+1) \sin x = 2$ है।
अब,हमें $e^{y(\frac{\pi}{6})}$ का मान ज्ञात करना है। समीकरण में $x = \frac{\pi}{6}$ रखने पर:
$(e^y+1) \sin(\frac{\pi}{6}) = 2$.
चूंकि $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $(e^y+1) \cdot \frac{1}{2} = 2$.
$e^y+1 = 4$.
$e^y = 3$.
अतः,$e^{y(\frac{\pi}{6})}$ का मान $3$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2) e^{\tan x} dx + \cos^2 x(1+e^{2 \tan x}) dy = 0$.
चरों को अलग करने पर:
$\frac{e^{\tan x}}{\cos^2 x(1+e^{2 \tan x})} dx + \frac{dy}{1+y^2} = 0$.
चूँकि $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$,हमारे पास है:
$\frac{\sec^2 x e^{\tan x}}{1+(e^{\tan x})^2} dx + \frac{dy}{1+y^2} = 0$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{\sec^2 x e^{\tan x}}{1+(e^{\tan x})^2} dx + \int \frac{dy}{1+y^2} = C$.
मान लीजिए $u = e^{\tan x}$,तो $du = e^{\tan x} \sec^2 x dx$। अतः:
$\tan^{-1}(e^{\tan x}) + \tan^{-1}(y) = C$.
$y(0) = 1$ दिया गया है,$x=0$ और $y=1$ रखने पर:
$\tan^{-1}(e^{\tan 0}) + \tan^{-1}(1) = C \implies \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = C \implies C = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$\tan^{-1}(e^{\tan x}) + \tan^{-1}(y) = \frac{\pi}{2}$.
हम जानते हैं कि $\tan^{-1}(A) + \cot^{-1}(A) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\tan^{-1}(y) = \cot^{-1}(e^{\tan x}) = \tan^{-1}(\frac{1}{e^{\tan x}})$.
इस प्रकार,$y = \frac{1}{e^{\tan x}}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ के लिए,$y(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{e^{\tan(\pi/4)}} = \frac{1}{e^1} = \frac{1}{e}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x dy - y dx + xy(x dy + y dx) = 0$ है।
$xy$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{y} - \frac{dx}{x} + (x dy + y dx) = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} - \int \frac{dx}{x} + \int d(xy) = \int 0$ प्राप्त होता है।
यह $\ln|y| - \ln|x| + xy = C$ में सरल हो जाता है,जो $\ln|\frac{y}{x}| + xy = C$ है।
चूंकि $y(1) = 2$ दिया गया है,$x=1$ और $y=2$ रखने पर:
$\ln|\frac{2}{1}| + (1)(2) = C \implies C = \ln 2 + 2$.
सामान्य हल में $C$ का मान रखने पर:
$\ln|\frac{y}{x}| + xy = \ln 2 + 2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\ln|\frac{y}{x}| - \ln 2 = 2 - xy$.
$\ln|\frac{y}{2x}| = -(xy - 2)$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $|\frac{y}{2x}| = e^{-(xy - 2)}$.
$|y| = 2|x| e^{-(xy - 2)}$.
$e^{xy-2}$ से गुणा करने पर: $|y| e^{xy-2} = 2|x|$.
इसे दिए गए रूप $\alpha |x| = |y| e^{xy-\beta}$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = 2$ और $\beta = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = 2 + 2 = 4$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(2 y - 5) \frac{dy}{dx} = -3$.
चरों को अलग करने पर: $(2 y - 5) dy = -3 dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (2 y - 5) dy = \int -3 dx$.
$y^2 - 5 y = -3 x + C$.
चूंकि वक्र बिंदु $(0, 1)$ से गुजरता है,$x = 0$ और $y = 1$ रखने पर: $(1)^2 - 5(1) = -3(0) + C \Rightarrow C = -4$.
अतः,वक्र का समीकरण $y^2 - 5 y + 3 x + 4 = 0$ है।
मानक रूप में व्यवस्थित करने पर: $y^2 - 5 y = -3 x - 4$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(y - \frac{5}{2})^2 = -3 x - 4 + \frac{25}{4} = -3 x + \frac{9}{4} = -3(x - \frac{3}{4})$.
परवलय का शीर्ष $(\frac{3}{4}, \frac{5}{2})$ है।
रेखा $2 x + 3 y = k$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर: $2(\frac{3}{4}) + 3(\frac{5}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{15}{2} = \frac{18}{2} = 9$.
अतः,शीर्ष रेखा $2 x + 3 y = 9$ पर स्थित है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x \sqrt{x^2-1} dy = y \sqrt{y^2-1} dx$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y \sqrt{y^2-1}} = \int \frac{dx}{x \sqrt{x^2-1}}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\sec^{-1} y = \sec^{-1} x + C$.
शर्त $y(2) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ का उपयोग करने पर: $\sec^{-1} \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = \sec^{-1} (2) + C$.
$\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + C \implies C = -\frac{\pi}{6}$.
अतः,$\sec^{-1} y = \sec^{-1} x - \frac{\pi}{6}$,जो $y(x) = \sec \left(\sec^{-1} x - \frac{\pi}{6}\right)$ देता है। इसलिए,$STATEMENT-1$ सत्य है।
अब,$\cos^{-1} \left(\frac{1}{y}\right) = \cos^{-1} \left(\frac{1}{x}\right) - \frac{\pi}{6}$.
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर: $\frac{1}{y} = \cos \left(\cos^{-1} \frac{1}{x} - \frac{\pi}{6}\right) = \cos \left(\cos^{-1} \frac{1}{x}\right) \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin \left(\cos^{-1} \frac{1}{x}\right) \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$.
$\frac{1}{y} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2x} + \frac{1}{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}$.
इसे $STATEMENT-2$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $STATEMENT-2$ असत्य है।

(C) दिया गया समीकरण $\int_0^x \sqrt{1-(f'(t))^2} dt = \int_0^x f(t) dt$ है,जहाँ $0 \leq x \leq 1$ है।
लेबनिज के नियम का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\sqrt{1-(f'(x))^2} = f(x)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1-(f'(x))^2 = f^2(x)$
$(f'(x))^2 = 1 - f^2(x)$
$f'(x) = \pm \sqrt{1 - f^2(x)}$
माना $y = f(x)$,तब $\frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{1 - y^2}$।
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = \pm dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\sin^{-1}(y) = \pm x + C$
चूंकि $f(0) = 0$,इसलिए $\sin^{-1}(0) = 0 + C$,जिससे $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \pm \sin(x)$। चूंकि $f$ एक गैर-ऋणात्मक फलन है,इसलिए $f(x) = \sin(x)$।
हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए,$\sin(x) < x$ होता है।
इसलिए,$\sin\left(\frac{1}{2}\right) < \frac{1}{2}$ और $\sin\left(\frac{1}{3}\right) < \frac{1}{3}$।
अतः,$f\left(\frac{1}{2}\right) < \frac{1}{2}$ और $f\left(\frac{1}{3}\right) < \frac{1}{3}$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $8 \sqrt{x}(\sqrt{9+\sqrt{x}}) dy = \frac{1}{\sqrt{4+\sqrt{9+\sqrt{x}}}} dx$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $dy = \frac{dx}{8 \sqrt{x} \sqrt{9+\sqrt{x}} \sqrt{4+\sqrt{9+\sqrt{x}}}}$.
माना $u = 4+\sqrt{9+\sqrt{x}}$.
तब $du = \frac{1}{2\sqrt{9+\sqrt{x}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = \frac{dx}{4\sqrt{x}\sqrt{9+\sqrt{x}}}$.
इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $dy = \frac{1}{2} \cdot \frac{du}{\sqrt{u}}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $y = \int \frac{1}{2\sqrt{u}} du = \sqrt{u} + C$.
$u$ का मान वापस रखने पर: $y = \sqrt{4+\sqrt{9+\sqrt{x}}} + C$.
चूंकि $y(0) = \sqrt{7}$,इसलिए $\sqrt{4+\sqrt{9+0}} + C = \sqrt{7} \Rightarrow \sqrt{4+3} + C = \sqrt{7} \Rightarrow \sqrt{7} + C = \sqrt{7} \Rightarrow C = 0$.
अतः,$y = \sqrt{4+\sqrt{9+\sqrt{x}}}$.
$x=256$ के लिए,$y(256) = \sqrt{4+\sqrt{9+\sqrt{256}}} = \sqrt{4+\sqrt{9+16}} = \sqrt{4+\sqrt{25}} = \sqrt{4+5} = \sqrt{9} = 3$.

(A) दिया गया समाकल समीकरण: $f(x) = \int_0^x f(t) \, dt$ है।
कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f'(x) = f(x)$ प्राप्त होता है।
यह एक प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} = y$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln |y| = x + C$,जिसका अर्थ है $y = Ae^x$।
दिए गए समीकरण से,$f(0) = \int_0^0 f(t) \, dt = 0$ है।
$y = Ae^x$ में $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर,हमें $0 = Ae^0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $A = 0$।
अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x) = 0$ है।
इस प्रकार,$f(\ln 5) = 0$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (5y+2)(5y-2) = 25y^2 - 4$ है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{25y^2 - 4} = dx$ प्राप्त होता है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(5y-2)(5y+2)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{5y-2} - \frac{1}{5y+2} \right)$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{4} \left( \frac{1}{5y-2} - \frac{1}{5y+2} \right) dy = \int dx$.
$\frac{1}{20} \ln \left| \frac{5y-2}{5y+2} \right| = x + C$.
चूंकि $f(0) = 0$,इसलिए $x=0, y=0$ रखने पर: $\frac{1}{20} \ln |\frac{-2}{2}| = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$\ln \left| \frac{5y-2}{5y+2} \right| = 20x$.
$\frac{5y-2}{5y+2} = -e^{20x}$ (क्योंकि $x=0$ पर मान $-1$ है)।
$y$ के लिए हल करने पर: $5y-2 = -5ye^{20x} - 2e^{20x} \Rightarrow 5y(1+e^{20x}) = 2(1-e^{20x})$.
$y = \frac{2}{5} \frac{1-e^{20x}}{1+e^{20x}}$.
जैसे ही $x \rightarrow -\infty$,$e^{20x} \rightarrow 0$ होता है।
इसलिए,$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \frac{2}{5} \times \frac{1-0}{1+0} = \frac{2}{5} = 0.40$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy = (y^2 - 4y) dx$ जहाँ $x > 0$ है।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y^2 - 4y} = \int \frac{dx}{x}$।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\int \frac{1}{4} (\frac{1}{y-4} - \frac{1}{y}) dy = \int \frac{dx}{x}$।
$4$ से गुणा करने पर: $\int (\frac{1}{y-4} - \frac{1}{y}) dy = 4 \int \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|y-4| - \ln|y| = 4 \ln x + \ln c$।
यह सरल होकर: $\ln|\frac{y-4}{y}| = \ln(cx^4)$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\frac{y-4}{y} = cx^4$।
$y(1) = 2$ दिया गया है,इसलिए $x=1, y=2$ रखने पर: $\frac{2-4}{2} = c(1)^4 \Rightarrow c = -1$।
अतः,$\frac{y-4}{y} = -x^4 \Rightarrow y-4 = -yx^4 \Rightarrow y(1+x^4) = 4 \Rightarrow y = \frac{4}{1+x^4}$।
हमें $10y(\sqrt{2})$ का मान ज्ञात करना है।
$y(\sqrt{2}) = \frac{4}{1+(\sqrt{2})^4} = \frac{4}{1+4} = \frac{4}{5}$।
इसलिए,$10y(\sqrt{2}) = 10 \times \frac{4}{5} = 8$।

(B) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y)$.
$x=0$ और $y=0$ रखने पर,हमें $f(0)=f(0)f'(0)+f'(0)f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $1=2f'(0)$,इसलिए $f'(0)=\frac{1}{2}$.
मूल समीकरण में $y=0$ रखने पर,हमें $f(x)=f(x)f'(0)+f'(x)f(0)$ प्राप्त होता है.
$f(0)=1$ और $f'(0)=\frac{1}{2}$ रखने पर,हमें $f(x)=\frac{1}{2}f(x)+f'(x)$ मिलता है,जो सरल होकर $f'(x)=\frac{f(x)}{2}$ हो जाता है.
यह एक पृथक्करणीय अवकल समीकरण है: $\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $\ln|f(x)|=\frac{x}{2}+C$ प्राप्त होता है.
चूंकि $f(0)=1$,इसलिए $\ln(1)=0+C$,जिससे $C=0$.
अतः,$\ln f(x)=\frac{x}{2}$,जिसका अर्थ है $f(x)=e^{x/2}$.
अब,$\sum_{n=1}^{100} \log_{e} f(n) = \sum_{n=1}^{100} \frac{n}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{100(101)}{2} = \frac{5050}{2} = 2525$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $2(3+y) e^{2x} dx = (7+e^{2x}) dy$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{2(3+y) e^{2x}}{7+e^{2x}}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{3+y} = \frac{2e^{2x}}{7+e^{2x}} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{3+y} = \int \frac{2e^{2x}}{7+e^{2x}} dx$.
मान लीजिए $u = 7+e^{2x}$,तो $du = 2e^{2x} dx$.
अतः,$\ln|3+y| = \ln|7+e^{2x}| + C$.
इसे $3+y = C(7+e^{2x})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि वक्र बिंदु $(0,5)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0$ और $y=5$ रखने पर: $3+5 = C(7+e^0) \Rightarrow 8 = 8C \Rightarrow C=1$.
इस प्रकार,वक्र का समीकरण $3+y = 7+e^{2x}$ है,जिसे सरल करने पर $y = e^{2x} + 4$ प्राप्त होता है।
अब,बिंदु $(\log_e 2, k)$ के लिए,$x = \log_e 2$ रखने पर: $k = e^{2 \log_e 2} + 4 = e^{\log_e 4} + 4 = 4 + 4 = 8$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $y = (x - y \frac{dx}{dy}) \sin(\frac{x}{y})$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y dy = (x dy - y dx) \sin(x/y)$.
$y^2$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{y} = \frac{x dy - y dx}{y^2} \sin(x/y)$.
हम जानते हैं कि $d(x/y) = \frac{y dx - x dy}{y^2}$,इसलिए $\frac{x dy - y dx}{y^2} = -d(x/y)$.
अतः,$\frac{dy}{y} = -\sin(x/y) d(x/y)$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{y} dy = -\int \sin(x/y) d(x/y)$.
$\ln y = \cos(x/y) + C$.
शर्त $x(1) = \pi/2$ का उपयोग करने पर: $\ln(1) = \cos(\frac{\pi/2}{1}) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
इसलिए,$\ln y = \cos(x/y)$.
$y = 2$ के लिए,$\ln 2 = \cos(x/2)$.
हमें $\cos(x(2))$ ज्ञात करना है। $\cos(x) = 2 \cos^2(x/2) - 1$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\cos(x(2)) = 2(\ln 2)^2 - 1$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy - y dx = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x dy = y dx$
दोनों पक्षों को $xy$ से विभाजित करने पर ($x, y \neq 0$ मानते हुए): $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}$
इससे प्राप्त होता है: $\ln|y| = \ln|x| + C$
लघुगणक के गुण का उपयोग करते हुए,स्थिरांक $C$ को $\ln|c|$ के रूप में लिखा जा सकता है: $\ln|y| = \ln|x| + \ln|c|$
$\ln|y| = \ln|cx|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $y = cx$
यह समीकरण मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखाओं का एक परिवार दर्शाता है।

(B) दिया गया है कि स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ और $y$-निर्देशांक का गुणनफल $x$-निर्देशांक के बराबर है,इसलिए अवकल समीकरण है:
$\frac{dy}{dx} \cdot y = x$
चरों को अलग करने पर:
$y \, dy = x \, dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int y \, dy = \int x \, dx$
$\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C$
वक्र बिंदु $(0, -2)$ से गुजरता है। $x = 0$ और $y = -2$ रखने पर:
$\frac{(-2)^2}{2} = \frac{0^2}{2} + C$
$\frac{4}{2} = 0 + C \Rightarrow C = 2$
$C = 2$ का मान समीकरण में रखने पर:
$\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + 2$
$2$ से गुणा करने पर:
$y^2 = x^2 + 4$
$y^2 - x^2 = 4$

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\cos \left(\frac{dy}{dx}\right) = a$ है।
दोनों पक्षों में $\cos^{-1}$ लेने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \cos^{-1} a$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\int dy = \int \cos^{-1} a \, dx$ प्राप्त होता है।
अतः $y = x \cos^{-1} a + c$ .... $(1)$।
दी गई प्रारंभिक शर्त $y(0) = 2$ के अनुसार,समीकरण $(1)$ में $x = 0$ और $y = 2$ रखने पर:
$2 = 0 \cdot \cos^{-1} a + c \Rightarrow c = 2$।
$c = 2$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर,हमें $y = x \cos^{-1} a + 2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$y - 2 = x \cos^{-1} a$,जिसका अर्थ है कि $\frac{y - 2}{x} = \cos^{-1} a$।
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर,हमें $\cos \left(\frac{y - 2}{x}\right) = a$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{2+\sin x}{1+y}\right) \frac{dy}{dx} = -\cos x$ है।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{1+y} = -\frac{\cos x}{2+\sin x} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{1+y} dy = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx$।
इससे हमें मिलता है: $\ln|1+y| = -\ln|2+\sin x| + C$।
प्रारंभिक शर्त $y(0)=2$ का उपयोग करने पर: $\ln|1+2| = -\ln|2+\sin 0| + C \implies \ln 3 = -\ln 2 + C \implies C = \ln 3 + \ln 2 = \ln 6$।
अतः,$\ln(1+y) = -\ln(2+\sin x) + \ln 6 = \ln\left(\frac{6}{2+\sin x}\right)$।
इसलिए,$1+y = \frac{6}{2+\sin x} \implies y = \frac{6}{2+\sin x} - 1$।
अब,$y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ का मान ज्ञात करें: $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{6}{2+\sin(\pi/2)} - 1 = \frac{6}{2+1} - 1 = \frac{6}{3} - 1 = 2 - 1 = 1$।

(A) अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (x+y)^2$ को हल करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
माना $v = x+y$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$।
इन मानों को मूल समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{dv}{dx} - 1 = v^2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dv}{dx} = 1 + v^2$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dv}{1+v^2} = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\int \frac{dv}{1+v^2} = \int dx$ प्राप्त होता है।
इससे $\tan^{-1}(v) = x + c$ प्राप्त होता है।
$v = x+y$ का मान वापस रखने पर,हमें $\tan^{-1}(x+y) = x + c$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos \left(\frac{dy}{dx}\right) = 0.5$ है।
दोनों पक्षों का प्रतिलोम कोज्या (inverse cosine) लेने पर: $\frac{dy}{dx} = \cos^{-1}(0.5)$।
चूंकि $\cos(60^{\circ}) = 0.5$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{\pi}{3}$।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int dy = \int \frac{\pi}{3} dx$।
इससे $y = \frac{\pi}{3}x + C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थिति $x = 0$ पर $y = 1$ का उपयोग करने पर: $1 = \frac{\pi}{3}(0) + C$,जिसका अर्थ है $C = 1$।
अतः,विशिष्ट हल $y = \frac{\pi}{3}x + 1$ है।