Differentiation of implicit function Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 1} \int_4^{f(x)} \frac{2 t}{x-1} dt$.
સંકલનનું મૂલ્યાંકન કરતા,આપણને મળે છે:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{x-1} [t^2]_4^{f(x)} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{[f(x)]^2 - 16}{x-1}$.
કારણ કે $f(1) = 4$,આ પદ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં છે.
$L'H\hat{o}pital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{d}{dx} ([f(x)]^2 - 16)}{\frac{d}{dx} (x-1)} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 f(x) f^{\prime}(x)}{1}$.
$f(1) = 4$ અને $f^{\prime}(1) = 2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$L = 2 \times f(1) \times f^{\prime}(1) = 2 \times 4 \times 2 = 16$.

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $\frac{f(x)}{f(y)}=f(x-y)$ છે.
$y=0$ લેતા,આપણને $\frac{f(x)}{f(0)}=f(x)$ મળે છે,જે સૂચવે છે કે $f(0)=1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{f^{\prime}(x)}{f(y)}=f^{\prime}(x-y)$ મળે છે.
$x=0$ લેતા,આપણને $\frac{f^{\prime}(0)}{f(y)}=f^{\prime}(-y)$ મળે છે.
કારણ કે $f^{\prime}(0)=p$,તેથી $f^{\prime}(-y) = \frac{p}{f(y)}$.
મૂળ સમીકરણનું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f(x) \cdot (-\frac{f^{\prime}(y)}{(f(y))^2}) = f^{\prime}(x-y) \cdot (-1)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{f(x) f^{\prime}(y)}{(f(y))^2} = f^{\prime}(x-y)$ થાય છે.
$y=0$ માટે,$\frac{f(x) f^{\prime}(0)}{(f(0))^2} = f^{\prime}(x)$,તેથી $f^{\prime}(x) = p f(x)$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે જેનો ઉકેલ $f(x) = e^{px}$ છે.
તેથી $f^{\prime}(x) = p e^{px}$.
આપેલ છે કે $f^{\prime}(5) = q$,તેથી $p e^{5p} = q$,એટલે કે $e^{5p} = \frac{q}{p}$.
આપણે $f^{\prime}(-5) = p e^{-5p} = \frac{p}{e^{5p}} = \frac{p}{q/p} = \frac{p^2}{q}$ મેળવવાનું છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2=4$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(4)$
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x + y \frac{dy}{dx} = 0$
તેથી,$y \frac{dy}{dx} + x = 0$.

(B) આપેલ છે $y = \frac{1}{1 + x + \ln x}$.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{1}{y} = 1 + x + \ln x$ મળે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$-\frac{1}{y^{2}} \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y^{2}(x + 1)}{x}$.
હવે વિકલ્પ $B$ ચકાસતા: $x \frac{dy}{dx} = y(y \ln x - 1)$.
અહીં $y \ln x - 1 = y \ln x - y(1 + x + \ln x) = y(\ln x - 1 - x - \ln x) = -y(1 + x)$.
તેથી,$y(y \ln x - 1) = -y^{2}(1 + x)$.
આમ,$x \frac{dy}{dx} = -y^{2}(1 + x)$ સાચું છે.