Continuity Questions in Hindi

(A) फलन $f(x)=[x]|x^{2}-1|+\sin \left(\frac{\pi}{[x]+3}\right)-[x+1]$ के रूप में $x \in (-2, 2)$ के लिए परिभाषित है।
हम पूर्णांक मानों $x \in \{-1, 0, 1\}$ पर $[x]$ और $[x+1]$ के व्यवहार की जाँच करके असंततता के बिंदुओं का विश्लेषण करते हैं।
$x \in (-2, -1)$ के लिए,$[x] = -2$ और $[x+1] = -1$ है। अतः,$f(x) = -2|x^2-1| + \sin(\pi/1) - (-1) = -2|x^2-1| + 1$ है।
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$[x] = -1$ और $[x+1] = 0$ है। अतः,$f(x) = -1|x^2-1| + \sin(\pi/2) - 0 = -|x^2-1| + 1$ है।
$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$ और $[x+1] = 1$ है। अतः,$f(x) = 0|x^2-1| + \sin(\pi/3) - 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$ है।
$x \in [1, 2)$ के लिए,$[x] = 1$ और $[x+1] = 2$ है। अतः,$f(x) = 1|x^2-1| + \sin(\pi/4) - 2 = |x^2-1| + \frac{1}{\sqrt{2}} - 2$ है।
फलन उन बिंदुओं पर असंतत है जहाँ फ्लोर फलन के मान बदलते हैं,जो $x = -1, 0, 1$ हैं। इन बिंदुओं पर सीमाओं की जाँच करने से असंततता की पुष्टि होती है। अतः,असंततता के $3$ बिंदु हैं।

(B) $f$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \sin(0) - e^0 = 0 - 1 = -1$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (a + [-x]) = a + (-1) = a - 1$.
इन दोनों को बराबर करने पर,$a - 1 = -1 \implies a = 0$.
$f$ के $x = 1$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$ होना चाहिए।
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (a + [-x]) = a + (-1) = a - 1$.
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2(1) - b = 2 - b$.
इन दोनों को बराबर करने पर,$a - 1 = 2 - b \implies 0 - 1 = 2 - b \implies b = 3$.
अतः,$a + b = 0 + 3 = 3$.

(A) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(x) = \frac{x^3}{(1-\cos 2x)^2} \ln\left(\frac{1+2xe^{-2x}}{(1-xe^{-x})^2}\right)$।
चूंकि $1-\cos 2x = 2\sin^2 x$,इसलिए $(1-\cos 2x)^2 = 4\sin^4 x$ होगा।
अतः,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^3}{4\sin^4 x} \ln\left(\frac{1+2xe^{-2x}}{(1-xe^{-x})^2}\right)$।
जब $x \rightarrow 0$ हो,तो $\sin x \approx x$ का उपयोग करने पर,$\frac{x^3}{4\sin^4 x} \approx \frac{x^3}{4x^4} = \frac{1}{4x}$ प्राप्त होता है।
अब,$\ln\left(\frac{1+2xe^{-2x}}{(1-xe^{-x})^2}\right) = \ln(1+2xe^{-2x}) - 2\ln(1-xe^{-x})$।
छोटे $u$ के लिए $\ln(1+u) \approx u$ का उपयोग करने पर,हमें $2xe^{-2x} - 2(-xe^{-x}) = 2xe^{-2x} + 2xe^{-x}$ मिलता है।
जैसे-जैसे $x \rightarrow 0$ होता है,$e^{-2x} \rightarrow 1$ और $e^{-x} \rightarrow 1$,इसलिए व्यंजक $2x + 2x = 4x$ बन जाता है।
इस प्रकार,$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{4x} \cdot (4x) = 1$।

(C) दिया गया है $f(x) = \int_{0}^{x} [y] \, dy$।
$x \in [n, n+1)$ के लिए,जहाँ $n \in \mathbb{N}_0$,हमारे पास $y \in [n, x)$ के लिए $[y] = n$ है।
अतः,$f(x) = \int_{0}^{1} 0 \, dy + \int_{1}^{2} 1 \, dy + \dots + \int_{n-1}^{n} (n-1) \, dy + \int_{n}^{x} n \, dy$।
$f(x) = 0 + 1 + 2 + \dots + (n-1) + n(x-n) = \frac{(n-1)n}{2} + nx - n^2$।
चूँकि $n = [x]$,हमारे पास $f(x) = \frac{[x]([x]-1)}{2} + [x](x-[x])$ है।
किसी भी पूर्णांक $x=n$ पर,बायाँ सीमा $\lim_{x \to n^-} f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ है और दायाँ सीमा $\lim_{x \to n^+} f(x) = \frac{(n-1)n}{2} + n(n-n) = \frac{n(n-1)}{2}$ है।
चूँकि सीमाएँ समान हैं,$f(x)$ सभी $x \geq 0$ के लिए सतत है।
हालाँकि,अवकलज $f'(x) = [x]$ पूर्णांक बिंदुओं पर असतत है क्योंकि $\lim_{x \to n^-} f'(x) = n-1$ और $\lim_{x \to n^+} f'(x) = n$ है।
इसलिए,$f$ हर जगह सतत है लेकिन पूर्णांक बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है।

(C) $f$ के $x = 2$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = f(2) = \mu$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दाईं सीमा $(RHL)$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} e^{\frac{\tan(x-2)}{x-[x]}}$. चूँकि $x > 2$,इसलिए $[x] = 2$,अतः $\lim_{x \rightarrow 2^{+}} e^{\frac{\tan(x-2)}{x-2}} = e^{1} = e$.
इस प्रकार,$\mu = e$.
अब,बाईं सीमा $(LHL)$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} \frac{\lambda|x^{2}-5x+6|}{\mu(5x-x^{2}-6)}$.
यहाँ $x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3)$ है। $x < 2$ के लिए,$(x-2) < 0$ और $(x-3) < 0$ है,इसलिए $(x-2)(x-3) > 0$ होगा। अतः $|x^{2}-5x+6| = (x-2)(x-3)$.
साथ ही,$5x-x^{2}-6 = -(x^{2}-5x+6) = -(x-2)(x-3)$.
अतः,$\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \frac{\lambda(x-2)(x-3)}{\mu(-(x-2)(x-3))} = -\frac{\lambda}{\mu}$.
सीमाओं की तुलना करने पर: $-\frac{\lambda}{\mu} = e \Rightarrow \lambda = -\mu e = -e^{2}$.
इसलिए,$\lambda + \mu = -e^{2} + e = e(-e+1)$.

(C) चूंकि $P''(x)$ एक स्थिरांक है,इसलिए $P(x)$ को $2$ घात का बहुपद होना चाहिए। मान लीजिए $P(x) = ax^2 + bx + c$ है।
यह दिया गया है कि $f(x)$,$x = 2$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 7$ है।
इसका अर्थ है कि $\lim_{x \to 2} \frac{P(x)}{\sin(x-2)} = 7$ है।
सीमा के अस्तित्व के लिए,$P(2) = 0$ होना चाहिए क्योंकि $x \to 2$ होने पर $\sin(x-2) \to 0$ होता है। अतः,$(x-2)$,$P(x)$ का एक गुणनखंड है।
मान लीजिए $P(x) = (x-2)(ax + k)$ है।
तब $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(ax+k)}{\sin(x-2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{\sin(x-2)} \cdot (ax+k) = 1 \cdot (2a+k) = 7$ है।
अतः,$2a + k = 7$ है।
हमें $P(3) = 9$ दिया गया है। $P(x) = (x-2)(ax+k)$ में $x=3$ रखने पर,$(3-2)(3a+k) = 9$,इसलिए $3a + k = 9$ है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(3a+k) - (2a+k) = 9 - 7$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
$2a+k=7$ में $a=2$ रखने पर $4+k=7$ मिलता है,इसलिए $k=3$ है।
इस प्रकार,$P(x) = (x-2)(2x+3)$ है।
अंत में,$P(5) = (5-2)(2(5)+3) = 3(13) = 39$ है।

(B) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = b$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दाईं सीमा $(RHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\frac{\cot 4x}{\cot 2x}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\frac{\tan 2x}{\tan 4x}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\frac{\tan 2x}{2\tan 2x(1-\tan^2 2x)}} = e^{1/2}$.
अतः,$b = e^{1/2}$.
अब,बाईं सीमा $(LHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^-} (1+|\sin x|)^{\frac{3a}{|\sin x|}} = \lim_{t \rightarrow 0^+} (1+t)^{\frac{3a}{t}} = e^{3a}$ (जहाँ $t = |\sin x|$)।
सीमाओं की तुलना करने पर,$e^{3a} = e^{1/2}$,जिसका अर्थ है $3a = 1/2$,इसलिए $a = 1/6$.
अतः,$6a = 1$.
अंत में,$6a + b^2 = 1 + (e^{1/2})^2 = 1 + e$।

(A) असंततता के बिंदुओं को खोजने के लिए,हम संक्रमण बिंदुओं और उन बिंदुओं की जाँच करते हैं जहाँ आंतरिक फलन असंतत हैं।
$1$. $x \leq -1$ के लिए,$f(x) = |2x^2 - 3x - 7|$ एक सतत फलन है।
$x = -1$ पर,$f(-1) = 2$ है।
$2$. $-1 < x < 1$ के लिए,$f(x) = [4x^2 - 1]$। फलन $[u]$ तब असंतत होता है जब $u$ एक पूर्णांक हो। अतः $4x^2 - 1 = k$ जहाँ $k \in \mathbb{Z}$।
$x^2 = \frac{k+1}{4} \implies x = \pm \frac{\sqrt{k+1}}{2}$।
$-1 < x < 1$ के लिए,$4x^2 - 1$ का मान $[-1, 3)$ में है। $k$ के संभावित मान $-1, 0, 1, 2$ हैं।
ये बिंदु $0, \pm 1/2, \pm 1/\sqrt{2}, \pm \sqrt{3}/2$ हैं। कुल $7$ बिंदु।
$3$. $x = 1$ पर,$f(1) = 3$ है। बाईं ओर की सीमा $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$ है। अतः $x = 1$ पर असंतत है।
$4$. $x = -1$ पर,$\lim_{x \to -1^+} f(x) = 3$ है। $f(-1) = 2$ होने के कारण,$x = -1$ पर असंतत है।
असंततता के कुल बिंदुओं की संख्या $9$ है।

(A) हमें दिया गया है $f(x) = [2x^2 + 1] = [2x^2] + 1$.
तब $f(g(x)) = [2(g(x))^2] + 1$.
स्थिति $1$: $x < 0$,$g(x) = 2x - 3$.
$f(g(x)) = [2(2x - 3)^2] + 1$.
$x \in (-1, 0)$ के लिए,$2x - 3 \in (-5, -3)$.
अतः,$(2x - 3)^2 \in (9, 25)$,इसलिए $2(2x - 3)^2 \in (18, 50)$.
फलन $[2(2x - 3)^2] + 1$ तब असतत होता है जब $2(2x - 3)^2$ एक पूर्णांक हो।
अंतराल $(-1, 0)$ में,$2x - 3$ का मान $-5$ से $-3$ के बीच है। $2(2x - 3)^2$ के मान $18$ से $50$ के बीच हैं।
$(18, 50)$ में पूर्णांक $19, 20, \dots, 49$ हैं,जो कुल $49 - 19 + 1 = 31$ बिंदु देते हैं।
स्थिति $2$: $x \geq 0$,$g(x) = 2x + 3$.
$f(g(x)) = [2(2x + 3)^2] + 1$.
$x \in [0, 1)$ के लिए,$2x + 3 \in [3, 5)$.
अतः,$(2x + 3)^2 \in [9, 25)$,इसलिए $2(2x + 3)^2 \in [18, 50)$.
$[18, 50)$ में पूर्णांक $18, 19, \dots, 49$ हैं,जो कुल $49 - 18 + 1 = 32$ बिंदु देते हैं।
हालाँकि,हमें बिंदु $x = 0$ की जाँच करनी होगी।
$x = 0$ पर,$f(g(0)) = f(3) = [2(3)^2 + 1] = [19] = 19$.
$lim_{x \to 0^-} f(g(x)) = [2(-3)^2] + 1 = [18] + 1 = 19$.
$lim_{x \to 0^+} f(g(x)) = [2(3)^2] + 1 = [18] + 1 = 19$.
चूँकि सीमाएँ समान हैं,$x = 0$ असतत बिंदु नहीं है।
कुल बिंदु = $31 + 31 = 62$.

(B) हमें $f(x) = \min \{1, 1 + x \sin x \}$ दिया गया है।
इसका अर्थ है कि $f(x) = 1$ जब $1 + x \sin x \geq 1$,अर्थात $x \sin x \geq 0$,और $f(x) = 1 + x \sin x$ जब $x \sin x < 0$ हो।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$x \in [0, \pi]$ के लिए $x \sin x \geq 0$ और $x \in (\pi, 2\pi]$ के लिए $x \sin x < 0$ है।
अतः,$x \in [0, \pi]$ के लिए $f(x) = 1$ और $x \in (\pi, 2\pi]$ के लिए $f(x) = 1 + x \sin x$ है।
$x = \pi$ पर,$f(\pi) = 1$ है। बायाँ सीमा $\lim_{x \to \pi^-} f(x) = 1$ और दायाँ सीमा $\lim_{x \to \pi^+} f(x) = 1 + \pi \sin(\pi) = 1$ है।
चूँकि सीमाएँ समान हैं,$f(x)$ बिंदु $x = \pi$ पर सतत है,इसलिए $n = 0$ है।
अब,$x = \pi$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
$x < \pi$ के लिए $f'(x) = 0$ है।
$x > \pi$ के लिए,$f'(x) = \sin x + x \cos x$ है। जैसे $x \to \pi^+$,$f'(x) \to \sin(\pi) + \pi \cos(\pi) = 0 + \pi(-1) = -\pi$ है।
चूँकि बायाँ अवकलज $(0)$ दाएँ अवकलज $(-\pi)$ के बराबर नहीं है,फलन $x = \pi$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$m = 1$ है।
क्रमित युग्म $(m, n) = (1, 0)$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x)=[1+x]+\frac{\alpha^{2[x]+\{x\}}+[x]-1}{2[x]+\{x\}}$ है।
$x \to 0^-$ के लिए,$[x] = -1$ और ${x} = 1+x$ होता है।
अतः,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 + \frac{\alpha^{-1} - 2}{-1} = 2 - \frac{1}{\alpha}$ प्राप्त होता है।
प्रश्न के अनुसार,सीमा $\alpha - \frac{4}{3}$ के बराबर है।
अतः,$2 - \frac{1}{\alpha} = \alpha - \frac{4}{3} \Rightarrow \alpha + \frac{1}{\alpha} = \frac{10}{3}$।
हल करने पर,$\alpha = 3$ प्राप्त होता है।

(B) सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बिंदुओं $x = 0, 1, 2$ पर विचार करते हैं।
$x = 0$ पर:
$f(0^-) = \lim_{x \to 0^-} [e^x] = 0$ (क्योंकि $x < 0$ के लिए $e^x < 1$ है)।
$f(0^+) = a e^0 + [0 - 1] = a - 1$.
$x = 0$ पर सांतत्य के लिए,$a - 1 = 0 \implies a = 1$ होना चाहिए।
$x = 1$ पर:
$f(1^-) = a e^1 + [1 - 1] = a e + 0 = a e$.
$f(1^+) = b + [\sin(\pi)] = b + 0 = b$.
चूँकि $a = 1$ है,$f(1^-) = e \approx 2.718$ और $f(1^+) = b$ है। चूँकि $e$ एक पूर्णांक नहीं है,इसलिए $f$ किसी भी $b$ के लिए $x = 1$ पर असतत है।
$x = 2$ पर:
$f(2^-) = b + [\sin(2\pi)] = b + 0 = b$.
$f(2^+) = [e^{-2}] - c = 0 - c = -c$.
$x = 2$ पर सांतत्य के लिए,$b = -c \implies b + c = 0$ होना चाहिए।
इस प्रकार,$a, b, c$ के किसी भी मान के लिए $f$ बिंदु $x = 1$ पर असतत है। यदि हम $a = 1$ और $b + c = 0$ लेते हैं,तो $f$ केवल $x = 1$ पर असतत रहता है। इस स्थिति में,$a + b + c = 1 + (b + c) = 1 + 0 = 1$।

(A) फलन के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$k = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(x) = \frac{\ln(1-x+x^2) + \ln(1+x+x^2)}{\sec x - \cos x}$।
गुणधर्म $\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$ का उपयोग करने पर,अंश $\ln((1-x+x^2)(1+x+x^2)) = \ln(1+x^2+x^4)$ हो जाता है।
हर $\frac{1}{\cos x} - \cos x = \frac{1-\cos^2 x}{\cos x} = \frac{\sin^2 x}{\cos x}$ है।
अतः,$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x^2+x^4) \cdot \cos x}{\sin^2 x}$।
$(x^2+x^4)$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\ln(1+x^2+x^4)}{x^2+x^4} \right) \cdot \left( \frac{x^2+x^4}{\sin^2 x} \right) \cdot \cos x$।
चूंकि $\lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$ और $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,इसलिए सीमा $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ है।
अतः,$k = 1$।

(D) $f(x)$ के $x=0$ पर संतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.
$0+a = |0-4| \implies a = 4$.
$g(x)$ के $x=0$ पर संतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = g(0)$.
$0+1 = (0-4)^2 + b \implies 1 = 16 + b \implies b = -15$.
अब,$f(x) = \begin{cases} x+4, & x \leq 0 \\ |x-4|, & x > 0 \end{cases}$ और $g(x) = \begin{cases} x+1, & x < 0 \\ (x-4)^2-15, & x \geq 0 \end{cases}$.
$(g \circ f)(2) = g(f(2))$ की गणना करें। चूंकि $2 > 0$,$f(2) = |2-4| = 2$.
$g(2) = (2-4)^2 - 15 = 4 - 15 = -11$.
$(f \circ g)(-2) = f(g(-2))$ की गणना करें। चूंकि $-2 < 0$,$g(-2) = -2+1 = -1$.
$f(-1) = -1+4 = 3$.
अतः,$(g \circ f)(2) + (f \circ g)(-2) = -11 + 3 = -8$.

(C) सबसे पहले,हम $f(1) = 1^{3} - 1^{2} + 10(1) - 7 = 3$ का मूल्यांकन करते हैं।
$x < 1$ के लिए,अवकलज $f'(x) = 3x^{2} - 2x + 10$ है। इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D = (-2)^{2} - 4(3)(10) = -116 < 0$ है। चूँकि मुख्य गुणांक $3 > 0$ है,इसलिए सभी $x < 1$ के लिए $f'(x) > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ अंतराल $(-\infty, 1]$ पर निरंतर वर्धमान है।
$x > 1$ के लिए,$f(x) = -2x + \log_{2}(b^{2}-4)$ है। $x=1$ पर अधिकतम मान प्राप्त करने के लिए,$x \to 1^{+}$ पर सीमा का मान $f(1)$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
शर्त $1$: लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $b^{2} - 4 > 0$,जिसका अर्थ है $b \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$।
शर्त $2$: $\lim_{x \to 1^{+}} f(x) \leq f(1)$ होना चाहिए।
$-2(1) + \log_{2}(b^{2}-4) \leq 3$
$\log_{2}(b^{2}-4) \leq 5$
$b^{2} - 4 \leq 32$
$b^{2} \leq 36$
अतः $b \in [-6, 6]$।
दोनों शर्तों को मिलाने पर,हमें $b \in [-6, -2) \cup (2, 6]$ प्राप्त होता है।

(B) चूंकि $f(x)$,$x=0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होगा।
सीमा के अस्तित्व के लिए,इसे $\frac{0}{0}$ रूप में होना चाहिए।
अंश में $x=0$ रखने पर: $\sqrt[7]{p(729)} - 3 = 0 \implies p(3^6) = 3^7 \implies p = 3$।
अब,$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[7]{3(3^6+x)}-3}{\sqrt[3]{3^6+qx}-9} = \lim_{x \to 0} \frac{3[(1+\frac{x}{3^6})^{1/7}-1]}{9[(1+\frac{qx}{3^6})^{1/3}-1]}$।
मानक सीमा $\lim_{u \to 0} \frac{(1+u)^n-1}{u} = n$ का उपयोग करने पर:
$f(0) = \frac{3}{9} \times \frac{\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{3^6}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{q}{3^6}} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{7q} = \frac{1}{7q}$।
अतः,$7qf(0) = 1$,जिसका अर्थ है $7qf(0) - 1 = 0$।
चूंकि $p=3$,इसलिए $p^2 = 9$। समीकरण में $1 = \frac{p^2}{9}$ रखने पर:
$7qf(0) - \frac{p^2}{9} = 0 \implies 63qf(0) - p^2 = 0$।

(B) $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम सीमा $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\cos(2 \pi x) - x^{2n} \sin(x-1)}{1 + x^{2n+1} - x^{2n}}$ का मूल्यांकन करते हैं।
स्थिति $1$: $|x| < 1$. जैसे $n \rightarrow \infty$,$x^{2n} \rightarrow 0$ और $x^{2n+1} \rightarrow 0$. अतः,$f(x) = \cos(2 \pi x)$.
स्थिति $2$: $x = 1$. $f(1) = \frac{1 - 0}{1 + 1 - 1} = 1$.
स्थिति $3$: $x = -1$. $f(-1) = \frac{1 - \sin(-2)}{1 - 1 - 1} = -(1 + \sin 2)$.
स्थिति $4$: $|x| > 1$. अंश और हर को $x^{2n}$ से विभाजित करने पर,$f(x) = \frac{-\sin(x-1)}{x-1}$ प्राप्त होता है।
$x=1$ पर सांतत्यता: $\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = 1$ और $\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = -1$. अतः $x=1$ पर असतत है।
$x=-1$ पर सांतत्यता: $\lim_{x \rightarrow -1^-} f(x) = -\frac{\sin 2}{2}$ और $\lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = 1$. अतः $x=-1$ पर असतत है।
इस प्रकार,$f(x)$ सभी $x \in R - \{-1, 1\}$ के लिए सतत है।

(D) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$x \to 0$ पर $f(x)$ की सीमा $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है कि $f(0) = 10$,इसलिए:
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+5x) - \ln(1+\alpha x)}{x} = 10$
मानक सीमा सूत्र $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+kx)}{x} = k$ का उपयोग करते हुए:
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\ln(1+5x)}{x} - \frac{\ln(1+\alpha x)}{x} \right) = 10$
सीमा लागू करने पर:
$5 - \alpha = 10$
$\alpha$ के लिए हल करने पर:
$\alpha = 5 - 10 = -5$
अतः,$\alpha$ का मान $-5$ है।

(D) दिया गया है कि सभी $x \in R$ के लिए $f(x^2) = f(x^3)$ है।
किसी भी $x > 0$ के लिए,मान लीजिए $x = t^6$ है। तब $f(t^{12}) = f(t^{18})$ होगा।
अधिक सामान्यतः,किसी भी $x > 0$ के लिए,हम $x = t^{6^n}$ लिख सकते हैं।
प्रतिस्थापन को दोहराने पर,$f(x) = f(x^{2/3}) = f(x^{(2/3)^2}) = \dots = f(x^{(2/3)^n})$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे $n \to \infty$,$(2/3)^n \to 0$ होता है,इसलिए सभी $x > 0$ के लिए $f(x) = f(x^0) = f(1)$ होगा।
चूंकि $f$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(1)$ है।
$x < 0$ के लिए,मान लीजिए $x = -t$ जहाँ $t > 0$ है। तब $f((-t)^2) = f((-t)^3) \implies f(t^2) = f(-t^3)$ होगा।
चूंकि $f(t^2) = f(1)$,इसलिए $f(-t^3) = f(1)$ है।
जैसे-जैसे $t^3$ सभी धनात्मक मानों को कवर करता है,सभी $x < 0$ के लिए $f(x) = f(1)$ होगा।
अतः,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = c$ (एक स्थिरांक) है।
एक अचर फलन एक सम फलन होता है क्योंकि $f(-x) = c = f(x)$ है।
एक अचर फलन हर जगह अवकलनीय भी होता है और $f'(x) = 0$ होता है।
इसलिए,$II$ और $III$ दोनों सत्य हैं।

(B) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \frac{x+5}{x-2}, & x \neq 2 \\ 1, & x=2 \end{cases}$।
सबसे पहले,$f(x)$,$x=2$ पर असंतत है। इसलिए,$f(f(x))$,$x=2$ पर असंतत है।
इसके बाद,हम उन बिंदुओं को ज्ञात करते हैं जहाँ $f(f(x))$ असंतत हो सकता है,उन बिंदुओं पर विचार करके जहाँ $f(x)$ असंतत है या जहाँ $f(x)$ का मान $2$ है (क्योंकि $f(x)$,$2$ पर असंतत है)।
$x \neq 2$ के लिए,$f(x) = \frac{x+5}{x-2}$ है।
असंततता के अन्य बिंदु ज्ञात करने के लिए हम $f(x) = 2$ रखते हैं:
$\frac{x+5}{x-2} = 2$
$x+5 = 2(x-2)$
$x+5 = 2x-4$
$x = 9$।
इस प्रकार,$f(f(x))$,$x=2$ और $x=9$ पर असंतत है।
अतः,$f(f(x))$,$x$ के ठीक दो मानों पर असंतत है।

(B) एक फलन $f(x) = \begin{cases} g(x), & x \in \mathbb{Q} \\ h(x), & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ उन बिंदुओं पर सतत होता है जहाँ $g(x) = h(x)$ होता है।
यहाँ,$g(x) = \tan^2 x$ और $h(x) = \sin x$ है।
हमें $[0, \pi]$ में ऐसे बिंदु $x$ खोजने हैं जहाँ $\tan^2 x = \sin x$ हो।
$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \sin x$
$\sin^2 x = \sin x \cos^2 x = \sin x (1 - \sin^2 x)$
$\sin^2 x = \sin x - \sin^3 x \implies \sin^3 x + \sin^2 x - \sin x = 0$
$\sin x (\sin^2 x + \sin x - 1) = 0$
स्थिति $1$: $\sin x = 0 \implies x = 0, \pi$।
स्थिति $2$: $\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$। मान लीजिए $u = \sin x$। $u^2 + u - 1 = 0 \implies u = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$।
चूँकि $u = \sin x \in [0, 1]$,हम $u = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ लेते हैं।
इससे $[0, \pi]$ में $x$ के दो मान प्राप्त होते हैं: $x_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$ और $x_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$।
कुल बिंदु $0, \pi, x_1, x_2$ हैं,अर्थात कुल $4$ बिंदु हैं।

(A) फलन $f(x) = \int_{-10}^x 2^{[t]} dt$ एक स्टेप फलन का समाकलन है।
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,यदि $g(t) = 2^{[t]}$ है,तो $f(x) = \int_{-10}^x g(t) dt$ हर जगह सतत है यदि समाकल्य $g(t)$ समाकलनीय है।
चूंकि $g(t) = 2^{[t]}$ एक टुकड़ों में अचर फलन है,यह पूर्णांकों को छोड़कर हर जगह सतत है।
हालाँकि,एक टुकड़ों में सतत फलन का समाकलन हमेशा सतत होता है।
विशेष रूप से,किसी भी पूर्णांक $n \in (-10, 10)$ के लिए,बाएँ हाथ की सीमा $\lim_{x \to n^-} f(x) = \int_{-10}^n 2^{[t]} dt$ है और दाएँ हाथ की सीमा $\lim_{x \to n^+} f(x) = \int_{-10}^n 2^{[t]} dt + \lim_{x \to n^+} \int_n^x 2^n dt = \int_{-10}^n 2^{[t]} dt + 0 = f(n)$ है।
चूंकि अंतराल $(-10, 10)$ में प्रत्येक बिंदु $x$ पर बाएँ हाथ की सीमा,दाएँ हाथ की सीमा और फलन का मान समान है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल में हर जगह सतत है।
अतः,असातत्य बिंदुओं की संख्या $0$ है।

(D) $x \neq 0$ के लिए,फलन एक गुणोत्तर श्रेणी के योग द्वारा दिया गया है:
$f(x) = |x|^\alpha \sum \limits_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{1+x^2}\right)^n$.
चूंकि $x \neq 0$ के लिए $|\frac{1}{1+x^2}| < 1$ है,इसलिए अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $\frac{1}{1 - \frac{1}{1+x^2}} = \frac{1+x^2}{x^2}$ है।
अतः,$f(x) = |x|^\alpha \cdot \frac{1+x^2}{x^2} = |x|^\alpha \cdot |x|^{-2} (1+x^2) = |x|^{\alpha-2} (1+x^2)$।
$f$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$ होना चाहिए।
$\lim_{x \to 0} |x|^{\alpha-2} (1+x^2) = 0$ तभी संभव है जब $\alpha - 2 > 0$,जिसका अर्थ है $\alpha > 2$।
ऐसी वास्तविक संख्याओं $\alpha$ का समुच्चय अंतराल $(2, \infty)$ है।
चूंकि इस अंतराल में अनंत वास्तविक संख्याएं हैं,इसलिए समुच्चय में $4$ से अधिक अवयव हैं।

(B) $x=0$ पर $f(x)$ की सांतत्यता: $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right)$. चूंकि $|\sin(1/x)| \leq 1$,हमारे पास $|x^2 \sin(1/x)| \leq x^2$ है। स्क्वीज़ प्रमेय द्वारा,$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$. अतः,$f(x)$ $x=0$ पर सतत है।
$x=0$ पर $f(x)$ की अवकलनीयता: $f^{\prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(1/h) = 0$. चूंकि सीमा का अस्तित्व है,$f(x)$ $x=0$ पर अवकलनीय है और $f^{\prime}(0) = 0$.
$x=0$ पर $f^{\prime}(x)$ की सांतत्यता: $x \neq 0$ के लिए,$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} [x^2 \sin(1/x)] = 2x \sin(1/x) + x^2 \cos(1/x) (-1/x^2) = 2x \sin(1/x) - \cos(1/x)$.
जैसे $x \to 0$,$2x \sin(1/x) \to 0$,लेकिन $\lim_{x \to 0} \cos(1/x)$ का अस्तित्व नहीं है क्योंकि यह दोलन करता है। इसलिए,$\lim_{x \to 0} f^{\prime}(x)$ का अस्तित्व नहीं है,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(x)$ $x=0$ पर सतत नहीं है।

(D) फलन के $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} f(x) = f(\frac{\pi}{2})$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दाईं सीमा $(RHL)$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} e^{\frac{\cot 6x}{\cot 4x}} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} e^{\frac{\sin 4x \cdot \cos 6x}{\sin 6x \cdot \cos 4x}} = e^{2/3}$.
अब,बाईं सीमा $(LHL)$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} (1+|\cos x|)^{\frac{\lambda}{|\cos x|}} = e^\lambda$.
इन सीमाओं को $f(\frac{\pi}{2}) = \mu$ के बराबर रखने पर:
$e^\lambda = \mu = e^{2/3}$.
अतः,$\lambda = \frac{2}{3}$ और $\mu = e^{2/3}$.
अब,मान रखने पर:
$9\lambda + 6 \log_{e} \mu + \mu^6 - e^{6\lambda} = 9(\frac{2}{3}) + 6 \log_{e} (e^{2/3}) + (e^{2/3})^6 - e^{6(2/3)}$
$= 6 + 6(\frac{2}{3}) + e^4 - e^4 = 6 + 4 = 10$.

(C) दिया गया है कि $x=2$,$x^2+px+q=0$ का एक मूल है,इसलिए $4+2p+q=0$,अर्थात $q = -2p-4$।
कोसाइन के अंदर के व्यंजक में $q$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $x^2-4px+q^2+8q+16 = x^2-4px+(-2p-4)^2+8(-2p-4)+16 = x^2-4px+4p^2+16p+16-16p-32+16 = x^2-4px+4p^2 = (x-2p)^2$।
अतः,$x \neq 2p$ के लिए $f(x) = \frac{1-\cos((x-2p)^2)}{(x-2p)^4}$ है।
सीमा $\lim_{\theta \to 0} \frac{1-\cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\lim_{x \to 2p} f(x) = \lim_{x \to 2p} \frac{1-\cos((x-2p)^2)}{((x-2p)^2)^2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\lim_{x \to 2p^+} f(x) = \frac{1}{2}$,इसलिए $2p$ के निकट $x$ के लिए महत्तम पूर्णांक फलन $[f(x)]$ (जहाँ $0 < f(x) < 1$) का मान $[f(x)] = 0$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = [x^2 - x] + |-x + [x]|$.
हम जानते हैं कि $-x + [x] = -\{x\}$,जहाँ $\{x\}$,$x$ का भिन्नात्मक भाग है।
अतः,$f(x) = [x^2 - x] + |-\{x\}| = [x^2 - x] + \{x\}$.
$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच:
$f(0) = [0^2 - 0] + \{0\} = 0 + 0 = 0$.
$f(0^+) = \lim_{h \to 0^+} [h^2 - h] + \{h\} = [-0.0001] + 0 = -1 + 0 = -1$.
चूँकि $f(0) \neq f(0^+)$,इसलिए $f$,$x = 0$ पर असतत है।
$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच:
$f(1) = [1^2 - 1] + \{1\} = 0 + 0 = 0$.
$f(1^+) = \lim_{h \to 0^+} [(1+h)^2 - (1+h)] + \{1+h\} = [1 + 2h + h^2 - 1 - h] + h = [h + h^2] + h = 0 + 0 = 0$.
$f(1^-) = \lim_{h \to 0^+} [(1-h)^2 - (1-h)] + \{1-h\} = [1 - 2h + h^2 - 1 + h] + (1-h) = [-h + h^2] + 1 - h = -1 + 1 - 0 = 0$.
चूँकि $f(1) = f(1^+) = f(1^-) = 0$,इसलिए $f$,$x = 1$ पर सतत है।
अतः,$f$,$x = 1$ पर सतत है लेकिन $x = 0$ पर सतत नहीं है।

(D) फलन $f(x) = |[x]| + \sqrt{x - [x]}$ के रूप में परिभाषित है।
अंतराल $(-2, 1)$ में असंततता के बिंदुओं की जाँच करते हैं। $[x]$ फलन सभी पूर्णांकों पर असतत होता है। दिए गए अंतराल में पूर्णांक $-1$ और $0$ हैं।
स्थिति $1$: $x = -1$ पर:
$f(-1) = |[-1]| + \sqrt{-1 - [-1]} = |-1| + \sqrt{0} = 1$.
$f(-1^+) = \lim_{h \to 0^+} (|[ -1 + h ]| + \sqrt{-1 + h - [-1 + h]}) = |-1| + \sqrt{0} = 1$.
$f(-1^-) = \lim_{h \to 0^+} (|[ -1 - h ]| + \sqrt{-1 - h - [-1 - h]}) = |-2| + \sqrt{-1 - h - (-2)} = 2 + \sqrt{1 - h} = 2 + 1 = 3$.
चूँकि $f(-1^+) \neq f(-1^-)$,फलन $x = -1$ पर असतत है।
स्थिति $2$: $x = 0$ पर:
$f(0) = |[0]| + \sqrt{0 - [0]} = 0 + 0 = 0$.
$f(0^+) = \lim_{h \to 0^+} (|[ 0 + h ]| + \sqrt{0 + h - [0 + h]}) = |0| + \sqrt{0} = 0$.
$f(0^-) = \lim_{h \to 0^+} (|[ 0 - h ]| + \sqrt{0 - h - [0 - h]}) = |-1| + \sqrt{-h - (-1)} = 1 + \sqrt{1 - h} = 1 + 1 = 2$.
चूँकि $f(0^+) \neq f(0^-)$,फलन $x = 0$ पर असतत है।
अतः,फलन $x = -1$ और $x = 0$ पर असतत है। बिंदुओं की कुल संख्या $2$ है।

(D) तीन फलनों को परिभाषित करें: $g(x) = 1+x+[x]$,$h(x) = 2+x$,और $k(x) = x+2[x]$।
$x \in [0, 1)$ के लिए: $g(x) = 1+x$,$h(x) = 2+x$,$k(x) = x$। अतः $f(x) = \max\{1+x, 2+x, x\} = 2+x$।
$x \in [1, 2)$ के लिए: $g(x) = 2+x$,$h(x) = 2+x$,$k(x) = x+2$। $2+x$ और $x+2$ समान हैं। अतः $f(x) = 2+x$।
$x = 2$ पर: $g(2) = 1+2+2 = 5$,$h(2) = 2+2 = 4$,$k(2) = 2+2(2) = 6$। अतः $f(2) = \max\{5, 4, 6\} = 6$।
अतः,$x \in [0, 2)$ के लिए $f(x) = 2+x$ और $f(2) = 6$ है।
सांतत्य की जाँच: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2+2 = 4$,लेकिन $f(2) = 6$ है। अतः,$f$ बिंदु $x = 2$ पर असतत है। इसलिए $m = 1$।
$(0, 2)$ में अवकलनीयता की जाँच: चूँकि $f(x) = 2+x$ एक बहुपद है,यह सभी $x \in (0, 2)$ के लिए अवकलनीय है। इसलिए $n = 0$।
अतः,$(m+n)^2+2 = (1+0)^2+2 = 1+2 = 3$।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$ जहाँ $x \in (0, 2)$.
$f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{2x^2}$.
चूंकि $x \in (0, 2)$,$x^2 < 4$,इसलिए $f'(x) < 0$. अतः,$f(x)$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है।
$0 < x \leq 1$ के लिए,$g(x) = \min \{f(t) : 0 < t \leq x\}$. चूंकि $f(t)$ ह्रासमान है,$(0, x]$ पर न्यूनतम मान $t=x$ पर प्राप्त होता है। इसलिए,$0 < x \leq 1$ के लिए $g(x) = f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$ है।
$x=1$ पर,$g(1) = \frac{1}{2} + \frac{2}{1} = \frac{5}{2}$ है।
$1 < x < 2$ के लिए,$g(x) = \frac{3}{2} + x$ है। जैसे $x \rightarrow 1^+$,$g(x) \rightarrow \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$ है।
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 1^-} g(x) = \lim_{x \rightarrow 1^+} g(x) = g(1) = \frac{5}{2}$,इसलिए $g(x)$,$x=1$ पर सतत है।
अब $x=1$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
बायाँ अवकलज: $g'(1^-) = f'(1) = \frac{1}{2} - \frac{2}{1^2} = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$ है।
दायाँ अवकलज: $g'(1^+) = \frac{d}{dx}(\frac{3}{2} + x) = 1$ है।
चूंकि $g'(1^-) \neq g'(1^+)$,इसलिए $g(x)$,$x=1$ पर अवकलनीय नहीं है।

(B) $f$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = \alpha$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बायां सीमा $(LHL)$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2 \sin^2 x}{x^2} = 2 \times 1^2 = 2$.
अतः,$\alpha = 2$.
अब,दायां सीमा $(RHL)$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{1 - \cos x}}{x} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{2 \sin^2 (x/2)}}{x} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{2} |\sin(x/2)|}{x}$.
चूंकि $x > 0$,इसलिए $\sin(x/2) > 0$,अतः $|\sin(x/2)| = \sin(x/2)$.
$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{2} \sin(x/2)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{2} \sin(x/2)}{2(x/2)} = \frac{\beta \sqrt{2}}{2} = \frac{\beta}{\sqrt{2}}$.
इसे $\alpha = 2$ के बराबर रखने पर,$\frac{\beta}{\sqrt{2}} = 2$,जिसका अर्थ है $\beta = 2\sqrt{2}$.
अंत में,$\alpha^2 + \beta^2 = (2)^2 + (2\sqrt{2})^2 = 4 + 8 = 12$.

(B) फलन के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,अंश को सरल करने पर: $72^x - 9^x - 8^x + 1 = (9^x - 1)(8^x - 1)$।
हर को सरल करने पर: $\sqrt{2} - \sqrt{1 + \cos x} = \sqrt{2} - \sqrt{2 \cos^2(x/2)} = \sqrt{2}(1 - |\cos(x/2)|)$।
चूँकि $x \rightarrow 0$,$\cos(x/2) > 0$,इसलिए $\sqrt{2} - \sqrt{1 + \cos x} = \sqrt{2}(1 - \cos(x/2))$।
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर,हमें $\sqrt{2}(2 \sin^2(x/4))$ प्राप्त होता है।
अब,सीमा का मान ज्ञात करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(9^x - 1)(8^x - 1)}{\sqrt{2}(2 \sin^2(x/4))} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(9^x - 1)}{x} \cdot \frac{(8^x - 1)}{x} \cdot \frac{x^2}{2\sqrt{2} \sin^2(x/4)}$।
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ और $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k$ का उपयोग करने पर:
$= \ln 9 \cdot \ln 8 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2} (1/4)^2} = (2 \ln 3)(3 \ln 2) \cdot \frac{16}{2\sqrt{2}} = 6 \ln 2 \ln 3 \cdot 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2} \ln 2 \ln 3$।
इसे $f(0) = a \ln 2 \ln 3$ के बराबर रखने पर,$a = 24\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a^2 = (24\sqrt{2})^2 = 576 \times 2 = 1152$।

(D) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,सीमा $\lim_{x \to 0} f(x)$ का अस्तित्व होना चाहिए और यह $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए।
टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:
$\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^3}{3!} + \dots = 3x - \frac{27x^3}{6} + \dots$
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$
$\cos 3x = 1 - \frac{(3x)^2}{2!} + \dots = 1 - \frac{9x^2}{2} + \dots$
इन मानों को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \frac{(3x - \frac{27x^3}{6} + \dots) + \alpha(x - \frac{x^3}{6} + \dots) - \beta(1 - \frac{9x^2}{2} + \dots)}{x^3}$
$f(x) = \frac{-\beta + x(3 + \alpha) + x^2(\frac{9\beta}{2}) + x^3(-\frac{27}{6} - \frac{\alpha}{6}) + \dots}{x^3}$
सीमा के अस्तित्व के लिए,$x^0$,$x^1$,और $x^2$ के गुणांक शून्य होने चाहिए:
$1$) $-\beta = 0 \implies \beta = 0$
$2$) $3 + \alpha = 0 \implies \alpha = -3$
$3$) $\frac{9\beta}{2} = 0$ (जो $\beta = 0$ होने के कारण सत्य है)
अब,सीमा $x^3$ का गुणांक है:
$f(0) = -\frac{27}{6} - \frac{\alpha}{6} = \frac{-27 - (-3)}{6} = \frac{-24}{6} = -4$.

(B) फलन $f(x) = 2x^2 + x + [x^2] - [x]$ है। $[-1, 2]$ में $[x^2]$ के लिए असंतत बिंदु वे हैं जहाँ $x^2 \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ है,अर्थात $x \in \{0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, -1\}$। $[x]$ के लिए असंतत बिंदु $x \in \{0, 1, 2\}$ हैं। अतः,असंततता के लिए संभावित बिंदु $\{-1, 0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2\}$ हैं।
$1$. $x = -1$ पर: $f(-1) = 3$ और $\lim_{x \to -1^+} f(x) = 3$। अतः,$f$ बिंदु $x = -1$ पर संतत है।
$2$. $x = 0$ पर: $f(0) = 0$,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$ और $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$। अतः,$f$ बिंदु $x = 0$ पर संतत है।
$3$. $x = 1$ पर: $f(1) = 3$,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3$ और $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 3$। अतः,$f$ बिंदु $x = 1$ पर संतत है।
$4$. $x = \sqrt{2}$ पर: $f(\sqrt{2}) = 5 + \sqrt{2}$ और $\lim_{x \to \sqrt{2}^-} f(x) = 4 + \sqrt{2}$। अतः,$f$ बिंदु $x = \sqrt{2}$ पर असंतत है।
$5$. $x = \sqrt{3}$ पर: $f(\sqrt{3}) = 8 + \sqrt{3}$ और $\lim_{x \to \sqrt{3}^-} f(x) = 7 + \sqrt{3}$। अतः,$f$ बिंदु $x = \sqrt{3}$ पर असंतत है।
$6$. $x = 2$ पर: $f(2) = 12$ और $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 12$। अतः,$f$ बिंदु $x = 2$ पर संतत है।
असंतत बिंदु $\{\sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ हैं। बिंदुओं की संख्या $2$ है।

(A) फलन $f(x) = [\frac{x}{2} + 3] - [\sqrt{x}]$ वहाँ असंतत है जहाँ $[\frac{x}{2} + 3]$ या $[\sqrt{x}]$ असंतत हैं।
$1$. पद $[\frac{x}{2} + 3]$ तब असंतत होता है जब $\frac{x}{2} + 3$ एक पूर्णांक हो।
$x \in [0, 8]$ के लिए,$\frac{x}{2} + 3$ का मान $[3, 7]$ में होता है।
अतः,$\frac{x}{2} + 3 \in \{3, 4, 5, 6, 7\}$.
$x$ के लिए हल करने पर: $\frac{x}{2} \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \implies x \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.
$2$. पद $[\sqrt{x}]$ तब असंतत होता है जब $\sqrt{x}$ एक पूर्णांक हो।
$x \in [0, 8]$ के लिए,$\sqrt{x} \in [0, \sqrt{8}] \approx [0, 2.82]$.
अतः,$\sqrt{x} \in \{0, 1, 2\}$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x \in \{0, 1, 4\}$.
$3$. $[0, 8]$ में असंतत बिंदुओं का समुच्चय $S$ इन बिंदुओं का संघ है:
$S = \{0, 1, 2, 4, 6, 8\}$.
हालाँकि,हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या किसी बिंदु पर जंप (jumps) रद्द हो जाते हैं।
$x=0$ पर: $f(0) = [3] - [0] = 3$. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 3$. संतत है।
$x=4$ पर: $f(4) = [2+3] - [2] = 3$.
$\lim_{x \to 4^-} f(x) = [4.99] - [1.99] = 4 - 1 = 3$.
$\lim_{x \to 4^+} f(x) = [5.00...] - [2.00...] = 5 - 2 = 3$. संतत है।
अतः,असंतत बिंदु $S = \{1, 2, 6, 8\}$ हैं।
$S$ के तत्वों का योग $1 + 2 + 6 + 8 = 17$ है।

(D) चूँकि $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए बायाँ सीमा $(LHL)$ और दायाँ सीमा $(RHL)$ बराबर होनी चाहिए।
सबसे पहले,$LHL$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\tan((a+1)x) + b \tan x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\tan((a+1)x)}{x} + \frac{b \tan x}{x} \right) = (a+1) + b$.
अब,$RHL$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{ax + b^2x^2} - \sqrt{ax}}{b \sqrt{a} x \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{ax}(\sqrt{1 + \frac{b^2}{a}x} - 1)}{b \sqrt{a} x \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1 + \frac{b^2}{a}x} - 1}{b x}$.
$(1+u)^{1/2} \approx 1 + \frac{u}{2}$ विस्तार का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{1 + \frac{b^2}{2a}x - 1}{b x} = \frac{b^2}{2ab} = \frac{b}{2a}$.
$LHL$ और $RHL$ को बराबर रखने पर:
$a + 1 + b = \frac{b}{2a}$.
विकल्पों के अनुसार $\frac{b}{a} = 6$ लेने पर,$b = 6a$ प्राप्त होता है।
यह मान रखने पर: $a + 1 + 6a = \frac{6a}{2a} \Rightarrow 7a + 1 = 3 \Rightarrow 7a = 2 \Rightarrow a = 2/7$.
अतः $b = 12/7$। इस प्रकार,$\frac{b}{a} = 6$ सही उत्तर है।

(B) $f$ के $x=\frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} f(x) = f(\frac{\pi}{2}) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} f(x)$ होना चाहिए।
$1$. बायाँ सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} (\frac{8}{7})^{\frac{\tan 8x}{\tan 7x}}$.
जैसे ही $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,$\tan 8x \rightarrow \tan 4\pi = 0$ और $\tan 7x \rightarrow \tan \frac{7\pi}{2} = \infty$। अतः,घातांक $\frac{\tan 8x}{\tan 7x} \rightarrow 0$। इसलिए,$LHL$ $= (\frac{8}{7})^0 = 1$.
$2$. $x=\frac{\pi}{2}$ पर फलन का मान: $f(\frac{\pi}{2}) = a-8$.
$3$. दायाँ सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} (1+|\cot x|)^{\frac{b}{a}|\tan x|}$.
मान लीजिए $t = |\cot x|$। जैसे ही $x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+$,$t \rightarrow 0$ और $|\tan x| = \frac{1}{t}$।
सीमा $\lim_{t \rightarrow 0} (1+t)^{\frac{b}{a} \cdot \frac{1}{t}} = e^{\lim_{t \rightarrow 0} \frac{b}{a} \cdot \frac{1}{t} \cdot t} = e^{\frac{b}{a}}$ हो जाती है।
मानों की तुलना करने पर: $1 = a-8 = e^{\frac{b}{a}}$।
$1 = a-8$ से,हमें $a=9$ प्राप्त होता है।
$1 = e^{\frac{b}{a}}$ से,$\frac{b}{a} = 0$,इसलिए $b=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$a^2+b^2 = 9^2 + 0^2 = 81$।

(C) $x \in \left[\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right)$ के लिए,$f(x) = \sqrt{n}$ है। जैसे $x \rightarrow 0$,$n \rightarrow \infty$,इसलिए $f(x) \approx \frac{1}{\sqrt{x}}$.
दिया गया है $\int_{x^2}^x \sqrt{\frac{1-t}{t}} dt < g(x) < 2\sqrt{x}$।
मान लीजिए $I(x) = \int_{x^2}^x \sqrt{\frac{1-t}{t}} dt$ है। $t = \sin^2 \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$dt = 2\sin \theta \cos \theta d\theta$,हमें $\int 2\cos^2 \theta d\theta = \theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta = \arcsin \sqrt{t} + \sqrt{t(1-t)}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I(x) = [\arcsin \sqrt{t} + \sqrt{t(1-t)}]_{x^2}^x = \arcsin \sqrt{x} + \sqrt{x(1-x)} - \arcsin x - x\sqrt{1-x^2}$ है।
जैसे $x \rightarrow 0$,$I(x) \approx \sqrt{x} + \sqrt{x} - 0 - 0 = 2\sqrt{x}$।
चूंकि $f(x) \approx \frac{1}{\sqrt{x}}$,इसलिए $f(x)g(x) \approx \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (2\sqrt{x}) = 2$ है।
स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x)g(x) = 2$ है।

(B) फलन $f(x) = [4x](x-\frac{1}{4})^2(x-\frac{1}{2})$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$f(x) = \begin{cases} 0 & 0 < x < \frac{1}{4} \\ (x-\frac{1}{4})^2(x-\frac{1}{2}) & \frac{1}{4} \leq x < \frac{1}{2} \\ 2(x-\frac{1}{4})^2(x-\frac{1}{2}) & \frac{1}{2} \leq x < \frac{3}{4} \\ 3(x-\frac{1}{4})^2(x-\frac{1}{2}) & \frac{3}{4} \leq x < 1 \end{cases}$
$1$. सांतत्य: फलन $x = \frac{1}{2}$ और $x = \frac{3}{4}$ पर असतत है क्योंकि इन बिंदुओं पर बाईं और दाईं सीमाएँ समान नहीं हैं। अतः,कथन $(A)$ गलत है।
$2$. अवकलनीयता: फलन $x = \frac{1}{4}$ पर सतत है लेकिन वहां अवकलनीय नहीं है। यह $x = \frac{1}{2}$ और $x = \frac{3}{4}$ पर असतत है। इस प्रकार,ठीक एक बिंदु $(x = \frac{1}{4})$ है जहाँ यह सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है। कथन $(B)$ सत्य है।
$3$. अनवकलनीयता: फलन $x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}$ पर अवकलनीय नहीं है। ये ठीक तीन बिंदु हैं। कथन $(C)$ गलत है।
$4$. न्यूनतम मान: $x \in [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ के लिए,$f(x) = (x-\frac{1}{4})^2(x-\frac{1}{2})$। मान लीजिए $t = x-\frac{1}{4}$,तो $f(t) = t^2(t-\frac{1}{4}) = t^3 - \frac{1}{4}t^2$। $f'(t) = 3t^2 - \frac{1}{2}t = t(3t - \frac{1}{2})$। $f'(t) = 0$ रखने पर,हमें $t = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है। मान $(\frac{1}{6})^2(\frac{1}{6}-\frac{1}{4}) = \frac{1}{36}(-\frac{1}{12}) = -\frac{1}{432}$ है। अतः,कथन $(D)$ गलत है।

(D) फलन $f(x) = x \cos(\pi(x + [x]))$ है। एक फलन उन बिंदुओं पर असंतत होता है जहाँ बायां सीमा $(LHL)$ दाएं सीमा $(RHL)$ या फलन के मान के बराबर नहीं होती है।
किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,अंतराल $[n, n+1)$ में,$[x] = n$ होता है। अतः,$f(x) = x \cos(\pi(x + n))$।
$1$. $x = -1$ पर:
$LHL = \lim_{x \to -1^-} x \cos(\pi(x - 2)) = -1 \cos(-3\pi) = -1(-1) = 1$.
$RHL = \lim_{x \to -1^+} x \cos(\pi(x - 1)) = -1 \cos(-2\pi) = -1(1) = -1$.
चूंकि $LHL \neq RHL$,इसलिए $f(x)$,$x = -1$ पर असंतत है।
$2$. $x = 0$ पर:
$LHL = \lim_{x \to 0^-} x \cos(\pi(x - 1)) = 0 \cos(-\pi) = 0$.
$RHL = \lim_{x \to 0^+} x \cos(\pi x) = 0 \cos(0) = 0$.
चूंकि $LHL = RHL = f(0) = 0$,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर संतत है।
$3$. $x = 1$ पर:
$LHL = \lim_{x \to 1^-} x \cos(\pi(x)) = 1 \cos(\pi) = -1$.
$RHL = \lim_{x \to 1^+} x \cos(\pi(x + 1)) = 1 \cos(2\pi) = 1$.
चूंकि $LHL \neq RHL$,इसलिए $f(x)$,$x = 1$ पर असंतत है।
$4$. $x = 2$ पर:
$LHL = \lim_{x \to 2^-} x \cos(\pi(x + 1)) = 2 \cos(3\pi) = -2$.
$RHL = \lim_{x \to 2^+} x \cos(\pi(x + 2)) = 2 \cos(4\pi) = 2$.
चूंकि $LHL \neq RHL$,इसलिए $f(x)$,$x = 2$ पर असंतत है।
अतः,फलन $x = -1, 1, 2$ पर असंतत है। सही विकल्प $D$ है।

(B) $x \to 1^{-}$ के लिए,मान लीजिए $x = 1 - h$ जहाँ $h > 0$ है। तो $|1 - x| = h$ होगा।
$f(1 - h) = \frac{1 - (1 - h)(1 + h)}{h} \cos \left(\frac{1}{h}\right) = \frac{1 - (1 - h^2)}{h} \cos \left(\frac{1}{h}\right) = h \cos \left(\frac{1}{h}\right)$।
चूँकि $\lim_{h \to 0} h \cos \left(\frac{1}{h}\right) = 0$,इसलिए $\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = 0$ है।
$x \to 1^{+}$ के लिए,मान लीजिए $x = 1 + h$ जहाँ $h > 0$ है। तो $|1 - x| = h$ होगा।
$f(1 + h) = \frac{1 - (1 + h)(1 + h)}{h} \cos \left(\frac{-1}{h}\right) = -(2 + h) \cos \left(\frac{1}{h}\right)$।
जैसे $h \to 0$,$-(2 + h) \to -2$ और $\cos \left(\frac{1}{h}\right)$ का मान $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है।
अतः,$\lim_{x \to 1^{+}} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।
इसलिए,विकल्प $A$ और $D$ सही हैं।

(A) $f$ के $x = 2n$ पर संतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा $f(2n)$ के बराबर होनी चाहिए।
$f(2n) = a_n + \sin(2n\pi) = a_n$.
$f(2n^+) = a_n + \sin(2n\pi) = a_n$.
$f(2n^-) = b_n + \cos(2n\pi) = b_n + 1$.
$f(2n^+) = f(2n^-)$ को बराबर करने पर,हमें $a_n = b_n + 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a_n - b_n = 1$। अतः,$(B)$ सही है।
$f$ के $x = 2n+1$ पर संतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा $f(2n+1)$ के बराबर होनी चाहिए।
$f(2n+1) = a_n + \sin((2n+1)\pi) = a_n$.
$f((2n+1)^-) = a_n + \sin((2n+1)\pi) = a_n$.
$f((2n+1)^+) = b_{n+1} + \cos((2n+1)\pi) = b_{n+1} - 1$.
$f((2n+1)^-) = f((2n+1)^+)$ को बराबर करने पर,हमें $a_n = b_{n+1} - 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a_n - b_{n+1} = -1$। $n$ को $n-1$ से बदलने पर,हमें $a_{n-1} - b_n = -1$ प्राप्त होता है। अतः,$(D)$ सही है।

(C) सबसे पहले,हम $x = a$ और $x = b$ पर $g(x)$ की सांतत्यता की जाँच करते हैं।
$x = a$ पर: $\lim_{x \rightarrow a^-} g(x) = 0$ और $\lim_{x \rightarrow a^+} g(x) = \int_a^a f(t) dt = 0$. चूँकि $g(a) = 0$,इसलिए $g(x)$ बिंदु $x = a$ पर सतत है।
$x = b$ पर: $\lim_{x \rightarrow b^-} g(x) = \int_a^b f(t) dt$ और $\lim_{x \rightarrow b^+} g(x) = \int_a^b f(t) dt$. चूँकि $g(b) = \int_a^b f(t) dt$,इसलिए $g(x)$ बिंदु $x = b$ पर सतत है।
अतः,$g(x)$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत है।
अब,$g'(x) = \begin{cases} 0 & x < a \\ f(x) & a < x < b \\ 0 & x > b \end{cases}$ का उपयोग करके अवकलनीयता की जाँच करते हैं।
$x = a$ पर: $g'(a^-) = 0$ और $g'(a^+) = f(a)$. चूँकि $f(a) \in [1, \infty)$,इसलिए $f(a) \neq 0$,अतः $g'(a^-) \neq g'(a^+)$. इस प्रकार,$g(x)$ बिंदु $x = a$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = b$ पर: $g'(b^-) = f(b)$ और $g'(b^+) = 0$. चूँकि $f(b) \in [1, \infty)$,इसलिए $f(b) \neq 0$,अतः $g'(b^-) \neq g'(b^+)$. इस प्रकार,$g(x)$ बिंदु $x = b$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$g(x)$ बिंदु $a$ और $b$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

(D) माना $\max \{f(x): x \in [0, 1] \} = \max \{g(x): x \in [0, 1] \} = \lambda$ है।
चूँकि $f$ और $g$ अंतराल $[0, 1]$ पर सतत हैं,इसलिए ऐसे $a, b \in [0, 1]$ मौजूद हैं कि $f(a) = \lambda$ और $g(b) = \lambda$ हो।
$h(x) = f(x) - g(x)$ को परिभाषित करें।
तब $h(a) = f(a) - g(a) = \lambda - g(a) \ge 0$ और $h(b) = f(b) - g(b) = f(b) - \lambda \le 0$ होगा।
मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,एक ऐसा $c \in [0, 1]$ मौजूद है कि $h(c) = 0$ हो,जिसका अर्थ है $f(c) = g(c)$।
विकल्प $(A)$ के लिए: $(f(c))^2 + 3f(c) = (g(c))^2 + 3g(c)$। चूँकि $f(c) = g(c)$ है,इसलिए यह सत्य है।
विकल्प $(D)$ के लिए: $(f(c))^2 = (g(c))^2$। चूँकि $f(c) = g(c)$ है,इसलिए यह सत्य है।
विकल्प $(B)$ और $(C)$ के लिए,$f(x) = g(x) = \lambda$ लें जहाँ $\lambda \neq 0$ है। तब $(B)$ का रूप $\lambda^2 + \lambda = \lambda^2 + 3\lambda$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\lambda = 3\lambda$,या $\lambda = 0$,जो $\lambda \neq 0$ का विरोधाभास है। इसी प्रकार $(C)$ के लिए भी।
अतः,$(A)$ और $(D)$ सही हैं।

(D) फलन के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = 4$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ पर विचार करें: $\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2}{x} \{\sin(k_1+1)x + \sin(k_2-1)x\} = 4$।
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a$ का उपयोग करते हुए,हमें $2(k_1+1) + 2(k_2-1) = 4$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2k_1 + 2k_2 = 4$ या $k_1 + k_2 = 2$ हो जाता है।
अब,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ पर विचार करें: $\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{2}{x} \ln \left(\frac{2+k_1x}{2+k_2x}\right) = 4$।
इसे $\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{2}{x} \{\ln(1 + \frac{k_1x}{2}) - \ln(1 + \frac{k_2x}{2})\} = 4$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+ax)}{x} = a$ का उपयोग करते हुए,हमें $2(\frac{k_1}{2} - \frac{k_2}{2}) = 4$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $k_1 - k_2 = 4$ हो जाता है।
समीकरणों $k_1 + k_2 = 2$ और $k_1 - k_2 = 4$ को हल करने पर,दोनों को जोड़ने पर $2k_1 = 6 \Rightarrow k_1 = 3$ प्राप्त होता है।
$k_1 = 3$ को $k_1 + k_2 = 2$ में रखने पर,$3 + k_2 = 2 \Rightarrow k_2 = -1$ प्राप्त होता है।
अंत में,$k_1^2 + k_2^2 = (3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$ है।

(C) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$f(0^-) = f(0) = f(0^+)$ होना चाहिए।
पहला,$f(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (1+ax)^{1/x} = e^a$.
दूसरा,$f(0) = 1+b$.
तीसरा,$f(0^+)$ के अस्तित्व के लिए हर $x=0$ पर शून्य होना चाहिए,अतः $(0+c)^{1/3}-2 = 0 \implies c = 8$.
$f(0^+)$ के लिए $L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करने पर: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{2}(x+4)^{-1/2}}{\frac{1}{3}(x+c)^{-2/3}} = \frac{1/4}{1/3 \cdot (8)^{-2/3}} = 3$.
सीमाओं की तुलना करने पर: $e^a = 1+b = 3$.
अतः,$b = 2$ और $c = 8$.
इसलिए $e^2bc$ का मान $3 \cdot 2 \cdot 8 = 48$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $f(2x) - f(x) = x$। $x$ को $\frac{x}{2}, \frac{x}{4}, \dots, \frac{x}{2^n}$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) - f(\frac{x}{2}) = \frac{x}{2}$
$f(\frac{x}{2}) - f(\frac{x}{4}) = \frac{x}{4}$
$f(\frac{x}{4}) - f(\frac{x}{8}) = \frac{x}{8}$
$f(\frac{x}{2^{n-1}}) - f(\frac{x}{2^n}) = \frac{x}{2^n}$
इन समीकरणों को जोड़ने पर:
$f(x) - f(\frac{x}{2^n}) = \sum_{k=1}^{n} \frac{x}{2^k} = x(1 - (\frac{1}{2})^n)$।
$n \rightarrow \infty$ पर सीमा लेने पर:
$G(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} (f(x) - f(\frac{x}{2^n})) = x$।
अतः,$\sum_{r=1}^{10} G(r^2) = \sum_{r=1}^{10} r^2 = 385$।

(A) फलन को $f(x) = \max \{x, x^3, x^5, \dots, x^{21}\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$x \in (-1, 1)$ के लिए,अधिकतम मान $x$ है यदि $x > 0$ और $x^{21}$ है यदि $x < 0$।
$|x| > 1$ के लिए,अधिकतम मान $x$ है यदि $x > 1$ और $x^{21}$ है यदि $x < -1$।
इस प्रकार,फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$f(x) = \begin{cases} x^{21}, & x < -1 \\ x, & -1 \leq x < 0 \\ x^{21}, & 0 \leq x < 1 \\ x, & x \geq 1 \end{cases}$
सांतत्य की जाँच:
$x = -1$ पर: $\lim_{x \to -1^-} f(x) = (-1)^{21} = -1$ और $\lim_{x \to -1^+} f(x) = -1$। अतः,$f(x)$ बिंदु $x = -1$ पर सतत है।
$x = 0$ पर: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$ और $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0^{21} = 0$। अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है।
$x = 1$ पर: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^{21} = 1$ और $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$। अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 1$ पर सतत है।
चूँकि $f(x)$ हर जगह सतत है,इसलिए $n = 0$ है।
अवकलनीयता की जाँच:
$f'(x) = \begin{cases} 21x^{20}, & x < -1 \\ 1, & -1 < x < 0 \\ 21x^{20}, & 0 < x < 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases}$
$x = -1$ पर: $f'(-1^-) = 21(-1)^{20} = 21$ और $f'(-1^+) = 1$। चूँकि $21 \neq 1$,यह अवकलनीय नहीं है।
$x = 0$ पर: $f'(0^-) = 1$ और $f'(0^+) = 21(0)^{20} = 0$। चूँकि $1 \neq 0$,यह अवकलनीय नहीं है।
$x = 1$ पर: $f'(1^-) = 21(1)^{20} = 21$ और $f'(1^+) = 1$। चूँकि $21 \neq 1$,यह अवकलनीय नहीं है।
इस प्रकार,$m = 3$ है।
अतः,$m + n = 3 + 0 = 3$।

(C) माना $g(x) = [\frac{x^2}{2}]$ और $h(x) = [\sqrt{x}]$ है। फलन $f(x) = g(x) - h(x)$ वहाँ असंतत होता है जहाँ $g(x)$ या $h(x)$ असंतत होते हैं,बशर्ते उनके जंप एक-दूसरे को निरस्त न करें।
$g(x) = [\frac{x^2}{2}]$ तब असंतत होता है जब $\frac{x^2}{2} \in \mathbb{Z}$,अर्थात $x^2 \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$। $x \in [0, 4]$ के लिए,$x^2 \in [0, 16]$। अतः,$x^2 \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16\}$।
$g(x)$ इन बिंदुओं पर असंतत है: $x \in \{\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{8}, \sqrt{9}, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}, 4\}$।
$h(x) = [\sqrt{x}]$ तब असंतत होता है जब $\sqrt{x} \in \mathbb{Z}$,अर्थात $x \in \{1, 4, 9, 16\}$। $x \in [0, 4]$ के लिए,$x \in \{1, 4\}$।
इन बिंदुओं को मिलाने पर,असंतत बिंदुओं का कुल समुच्चय $x \in \{\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{8}, 3, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}, 4\}$ प्राप्त होता है।
मानों की जाँच करने पर,हमें $[0, 4]$ अंतराल में $10$ असंतत बिंदु प्राप्त होते हैं।