Continuity Questions in Hindi

(A) $f(x)$ के $x = \frac{\pi}{4}$ पर सतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा बराबर होनी चाहिए:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x) = \frac{\pi}{4} + a \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4} + a$
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}^+} (2x \cot x + b) = 2\left(\frac{\pi}{4}\right) \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) + b = \frac{\pi}{2} + b$
उन्हें बराबर करने पर: $\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \implies a - b = \frac{\pi}{4} \quad \dots(1)$
$f(x)$ के $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा बराबर होनी चाहिए:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} (2x \cot x + b) = 2\left(\frac{\pi}{2}\right) \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} \cot x + b = \pi(0) + b = b$
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} (a \cos 2x - b \sin x) = a \cos(\pi) - b \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -a - b$
उन्हें बराबर करने पर: $b = -a - b \implies a + 2b = 0 \implies a = -2b \quad \dots(2)$
$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $-2b - b = \frac{\pi}{4} \implies -3b = \frac{\pi}{4} \implies b = -\frac{\pi}{12}$
अतः $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$।

(D) किसी फलन के $x = 1$ पर संतत होने के लिए,बायां सीमा $(LHL)$,दायां सीमा $(RHL)$ और फलन का मान $x = 1$ पर बराबर होना चाहिए।
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (3ax + b) = 3a + b$
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (5ax - 2b) = 5a - 2b$
दिया गया है कि $f(1) = 11$,इसलिए:
$3a + b = 11$ (समीकरण $1$)
$5a - 2b = 11$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ से,$b = 11 - 3a$ प्राप्त होता है। इसे समीकरण $2$ में रखने पर:
$5a - 2(11 - 3a) = 11$
$5a - 22 + 6a = 11$
$11a = 33 \implies a = 3$
$a = 3$ का मान $b = 11 - 3a$ में रखने पर:
$b = 11 - 3(3) = 11 - 9 = 2$
अतः,$a = 3$ और $b = 2$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{(1 + \cos x) - \sin x}{(1 + \cos x) + \sin x}$.
चूंकि $f(x)$,$x = \pi$ पर सतत है,इसलिए $f(\pi) = \lim_{x \rightarrow \pi} f(x)$ होगा।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ और $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \rightarrow \pi} f(x) = \lim_{x \rightarrow \pi} \frac{2 \cos^2 \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}$
$= \lim_{x \rightarrow \pi} \frac{2 \cos \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}{2 \cos \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})}$
$= \lim_{x \rightarrow \pi} \frac{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}$
अंश और हर को $\cos \frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर:
$= \lim_{x \rightarrow \pi} \frac{1 - \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan \frac{x}{2}} = \lim_{x \rightarrow \pi} \tan \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right)$
$= \tan \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} \right) = \tan \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1$.

(C) $f(x)$ को $[-\pi, \pi]$ में सतत होने के लिए,इसे $x = -\pi/2$ और $x = \pi/2$ पर सतत होना चाहिए।
$x = -\pi/2$ पर:
$\lim_{x \to -\pi/2^-} f(x) = -2 \sin(-\pi/2) = -2(-1) = 2$.
$\lim_{x \to -\pi/2^+} f(x) = a \sin(-\pi/2) + b = -a + b$.
चूंकि यह सतत है,$-a + b = 2$ (समीकरण $1$)।
$x = \pi/2$ पर:
$\lim_{x \to \pi/2^-} f(x) = a \sin(\pi/2) + b = a + b$.
$\lim_{x \to \pi/2^+} f(x) = \cos(\pi/2) = 0$.
चूंकि यह सतत है,$a + b = 0$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर: $(-a + b) + (a + b) = 2 + 0 \implies 2b = 2 \implies b = 1$.
समीकरण $2$ में $b = 1$ रखने पर: $a + 1 = 0 \implies a = -1$.
अब,$(3a + 2b)^3$ का मान ज्ञात करते हैं:
$(3(-1) + 2(1))^3 = (-3 + 2)^3 = (-1)^3 = -1$.

(C) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x, & x \le 0 \\ 0, & x > 0 \end{cases}$.
$x = 0$ पर सांतत्य के लिए:
बायां सीमा $(LHL)$ = $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x = 0$.
दायां सीमा $(RHL)$ = $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 0 = 0$.
फलन का मान $f(0) = 0$.
चूंकि $LHL$ = $RHL$ = $f(0)$,इसलिए फलन $x = 0$ पर सतत है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता के लिए:
बायां अवकलज $(LHD)$ = $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(0-h) - 0}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h}{-h} = 1$.
दायां अवकलज $(RHD)$ = $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{0 - 0}{h} = 0$.
चूंकि $LHD$ $\neq$ $RHD$,इसलिए फलन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।

(A) $f(x)$ के $x = -2$ पर सतत होने के लिए,बायां सीमा और दायां सीमा बराबर होनी चाहिए।
$\lim_{x \rightarrow -2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow -2^{-}} (6 \beta - 3 \alpha x) = 6 \beta - 3 \alpha (-2) = 6 \beta + 6 \alpha$.
$\lim_{x \rightarrow -2^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow -2^{+}} (4x + 1) = 4(-2) + 1 = -8 + 1 = -7$.
चूंकि $f(x)$ सतत है,इसलिए $6 \beta + 6 \alpha = -7$.
दोनों पक्षों को $6$ से विभाजित करने पर,हमें $\alpha + \beta = \frac{-7}{6}$ प्राप्त होता है।

(C) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होगा।
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{(e^{2x} - 1) \sin x^{\circ}}{x^2}$
$x^{\circ} = \frac{x\pi}{180}$ रेडियन रूपांतरण का उपयोग करने पर:
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{(e^{2x} - 1)}{x} \cdot \frac{\sin(\frac{x\pi}{180})}{x}$
$f(0) = \lim_{x \to 0} \left( 2 \cdot \frac{e^{2x} - 1}{2x} \right) \cdot \left( \frac{\pi}{180} \cdot \frac{\sin(\frac{x\pi}{180})}{\frac{x\pi}{180}} \right)$
मानक सीमा $\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$ और $\lim_{v \to 0} \frac{\sin v}{v} = 1$ का उपयोग करने पर:
$f(0) = 2(1) \cdot \frac{\pi}{180}(1) = \frac{2\pi}{180} = \frac{\pi}{90}$.

(D) $f(x)$ के $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} f(x) = f(\frac{\pi}{2}) = k$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$f(x)$ के व्यंजक को सरल करें:
$f(x) = \frac{(1+\cos 2x) - \sin 2x}{(1+\cos 2x) + \sin 2x} = \frac{2\cos^2 x - 2\sin x \cos x}{2\cos^2 x + 2\sin x \cos x}$.
अंश और हर से $2\cos x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$f(x) = \frac{2\cos x(\cos x - \sin x)}{2\cos x(\cos x + \sin x)} = \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}$.
अब,$x \rightarrow \frac{\pi}{2}$ पर सीमा का मान ज्ञात करें:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} = \frac{\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2})}{\cos(\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$.
अतः,$k = -1$।

(C) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = k$ होना चाहिए।
अतः,$k = \lim_{x \to 0} \left[\tan \left(\frac{\pi}{4} + x\right)\right]^{\frac{1}{x}}$.
सूत्र $\tan(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}$ का उपयोग करने पर:
$k = \lim_{x \to 0} \left(\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}\right)^{\frac{1}{x}}$.
यह $1^{\infty}$ के रूप में है,इसलिए हम सीमा के गुण $\lim_{x \to 0} (1 + u(x))^{v(x)} = e^{\lim_{x \to 0} u(x)v(x)}$ का उपयोग करेंगे।
$k = \exp \left[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} - 1 \right) \right]$.
$k = \exp \left[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1 + \tan x - 1 + \tan x}{1 - \tan x} \right) \right] = \exp \left[ \lim_{x \to 0} \frac{2 \tan x}{x(1 - \tan x)} \right]$.
चूंकि $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$,इसलिए $k = e^{2(1)/(1-0)} = e^{2}$।

(A) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,$x \rightarrow 0$ पर $f(x)$ की सीमा $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए।
$\lim _{x \rightarrow 0} f(x) = f(0) = 2$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{81^{x}-9^{x}}{k^{x}-1} = 2$.
अंश से $9^{x}$ उभयनिष्ठ लेने पर: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{9^{x}(9^{x}-1)}{k^{x}-1} = 2$.
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{9^{x} \cdot \frac{9^{x}-1}{x}}{\frac{k^{x}-1}{x}} = 2$.
मानक सीमा सूत्र $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x} = \ln a$ का उपयोग करने पर:
$\frac{9^{0} \cdot \ln 9}{\ln k} = 2$.
चूंकि $9^{0} = 1$,इसलिए $\frac{\ln 9}{\ln k} = 2$ प्राप्त होता है।
$\ln 9 = 2 \ln k \Rightarrow \ln 9 = \ln k^{2}$.
$k^{2} = 9 \Rightarrow k = 3$ (क्योंकि घातांकीय फलन के आधार के लिए $k$ धनात्मक होना चाहिए)।
अतः,$k$ का मान $3$ है।

(C) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0) = k$ होना चाहिए।
दिया गया है कि $x \neq 0$ के लिए $f(x) = \frac{\log 10 + \log(0.1 + 2x)}{2x}$ है।
गुणधर्म $\log a + \log b = \log(ab)$ का उपयोग करने पर:
$\log 10 + \log(0.1 + 2x) = \log(10 \times (0.1 + 2x)) = \log(1 + 20x)$।
अतः,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1 + 20x)}{2x} = k$।
हम जानते हैं कि $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\log(1 + u)}{u} = 1$ होता है।
$20$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1 + 20x)}{20x} \times 10 = k$।
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1 + 20x)}{20x} = 1$,इसलिए $1 \times 10 = k$,अर्थात $k = 10$।
अतः,$k + 2 = 10 + 2 = 12$।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{|x-2|}{x-2}$ जहाँ $x \neq 2$ और $f(2) = 1$ है।
हम जानते हैं कि यदि $x > 2$ है तो $|x-2| = (x-2)$ और यदि $x < 2$ है तो $|x-2| = -(x-2)$ होता है।
दाहिनी सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{x-2}{x-2} = 1$।
बाईं सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} \frac{-(x-2)}{x-2} = -1$।
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) \neq \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)$,इसलिए $x=2$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
साथ ही,$f(2) = 1$ है। सीमा का अस्तित्व न होने के कारण,फलन $f(x)$,$x=2$ पर असतत है।

(A) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ होना चाहिए।
सीमा की गणना करते हुए: $\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{1+4x}{1-4x}\right)^{\frac{1}{x}} = \frac{\lim_{x \rightarrow 0} (1+4x)^{\frac{1}{x}}}{\lim_{x \rightarrow 0} (1-4x)^{\frac{1}{x}}}$.
मानक सीमा सूत्र $\lim_{u \rightarrow 0} (1+u)^{\frac{1}{u}} = e$ का उपयोग करते हुए:
$= \frac{\left[\lim_{x \rightarrow 0} (1+4x)^{\frac{1}{4x}}\right]^{4}}{\left[\lim_{x \rightarrow 0} (1-4x)^{\frac{1}{-4x}}\right]^{-4}} = \frac{e^{4}}{e^{-4}}$.
$= e^{4 - (-4)} = e^{8}$.

(B) फलन $f(x)$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$f(x) = \frac{1}{x-1}$ जहाँ $0 \leq x \leq 2$
$f(x) = \frac{x+5}{x+3}$ जहाँ $2 < x \leq 4$
चरण $1$: अंतरालों के भीतर असांतत्य की जाँच करें।
$0 \leq x \leq 2$ के लिए,फलन $f(x) = \frac{1}{x-1}$,$x=1$ पर अपरिभाषित है। चूँकि $1 \in [0, 2]$,इसलिए $x=1$ असांतत्य का बिंदु है।
$2 < x \leq 4$ के लिए,फलन $f(x) = \frac{x+5}{x+3}$,$x=-3$ पर अपरिभाषित है। चूँकि $-3 \notin (2, 4]$,इसलिए इस अंतराल में असांतत्य का कोई बिंदु नहीं है।
चरण $2$: सीमा बिंदु $x=2$ पर सांतत्य की जाँच करें।
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-1} = \frac{1}{2-1} = 1$
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{x+5}{x+3} = \frac{2+5}{2+3} = \frac{7}{5}$
चूँकि $\lim_{x \to 2^-} f(x) \neq \lim_{x \to 2^+} f(x)$,इसलिए फलन $x=2$ पर असांतत्य है।
निष्कर्ष: असांतत्य के बिंदु $x=1$ और $x=2$ हैं।

(A) चूँकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर संतत है,इसलिए $x \to 0$ पर फलन की सीमा $x = 0$ पर फलन के मान के बराबर होनी चाहिए।
$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$
$\lim_{x \to 0} \frac{4 \sin \pi x}{5 x} = 2k$
हम जानते हैं कि $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ होता है।
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{4 \sin \pi x}{5 x} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{4 \pi \sin \pi x}{5 \pi x} \right) = \frac{4 \pi}{5} \lim_{x \to 0} \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \frac{4 \pi}{5} \times 1 = \frac{4 \pi}{5}$.
इसे $f(0) = 2k$ के बराबर रखने पर:
$\frac{4 \pi}{5} = 2k$
$k = \frac{4 \pi}{10} = \frac{2 \pi}{5}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) चूंकि $f$,$x = \pi$ पर सतत है,इसलिए $f(\pi) = \lim_{x \rightarrow \pi} f(x)$ होगा।
सीमा $\lim_{x \rightarrow \pi} \frac{1 - \sin x + \cos x}{1 + \sin x + \cos x}$ के लिए एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \rightarrow \pi} \frac{\frac{d}{dx}(1 - \sin x + \cos x)}{\frac{d}{dx}(1 + \sin x + \cos x)} = \lim_{x \rightarrow \pi} \frac{-\cos x - \sin x}{\cos x - \sin x}$.
$x = \pi$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(\pi) = \frac{-\cos(\pi) - \sin(\pi)}{\cos(\pi) - \sin(\pi)} = \frac{-(-1) - 0}{-1 - 0} = \frac{1}{-1} = -1$.

(A) $x=0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम $\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं।
दिया गया है कि $f(x) = \frac{(e^{3x}-1) \sin x^{\circ}}{x^2}$ जब $x \neq 0$ है।
हम जानते हैं कि $x^{\circ} = \frac{\pi x}{180}$ रेडियन होता है।
अतः,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{3x}-1) \sin(\frac{\pi x}{180})}{x^2}$ है।
$3x$ और $\frac{\pi}{180}$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{e^{3x}-1}{3x} \cdot 3 \right) \cdot \left( \frac{\sin(\frac{\pi x}{180})}{\frac{\pi x}{180}} \cdot \frac{\pi}{180} \right) = (1 \cdot 3) \cdot (1 \cdot \frac{\pi}{180}) = \frac{3\pi}{180} = \frac{\pi}{60}$ है।
चूँकि $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0) = \frac{\pi}{60}$ है,इसलिए फलन $f(x)$,$x=0$ पर संतत है।

(C) दिया गया है कि $f(x)$ बिंदु $x = 3$ पर सतत है।
किसी बिंदु $x = c$ पर फलन के सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और उस बिंदु पर फलन का मान समान होना चाहिए।
$\therefore \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3)$.
बाएँ पक्ष की सीमा की गणना: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{h \to 0} f(3 - h) = \lim_{h \to 0} [a(3 - h) + 1] = 3a + 1$.
दाएँ पक्ष की सीमा की गणना: $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{h \to 0} f(3 + h) = \lim_{h \to 0} [b(3 + h) + 3] = 3b + 3$.
चूँकि $f(x)$ बिंदु $x = 3$ पर सतत है,हम सीमाओं को बराबर करते हैं: $3a + 1 = 3b + 3$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3a - 3b = 3 - 1$.
$3(a - b) = 2$.
$a - b = \frac{2}{3}$.

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} x - \frac{|x|}{x}, & x < 0 \\ x + \frac{|x|}{x}, & x > 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$ है।
$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और फलन का मान $f(0)$ ज्ञात करते हैं।
$LHL = \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} \left(x - \frac{|x|}{x}\right)$.
चूँकि $x < 0$,$|x| = -x$,इसलिए $\frac{|x|}{x} = -1$.
$LHL = \lim_{x \to 0^{-}} (x - (-1)) = \lim_{x \to 0^{-}} (x + 1) = 0 + 1 = 1$.
$RHL = \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} \left(x + \frac{|x|}{x}\right)$.
चूँकि $x > 0$,$|x| = x$,इसलिए $\frac{|x|}{x} = 1$.
$RHL = \lim_{x \to 0^{+}} (x + 1) = 0 + 1 = 1$.
दिया गया है $f(0) = 1$.
चूँकि $LHL = RHL = f(0) = 1$,इसलिए फलन $f(x)$,$x = 0$ पर संतत है।

(D) दिया गया है कि फलन $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
चूंकि $f(0) = 16$ है,हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं:
$\lim_{x \to 0} \frac{(e^{kx} - 1) \tan kx}{4x^2} = 16$.
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{kx} - 1}{kx} \right) \left( \frac{\tan kx}{kx} \right) \left( \frac{k^2 x^2}{4x^2} \right) = 16$.
मानक सीमाओं $\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$ और $\lim_{u \to 0} \frac{\tan u}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$1 \times 1 \times \frac{k^2}{4} = 16$.
$\frac{k^2}{4} = 16$.
$k^2 = 64$.
$k = \pm 8$.

(B) दिया गया है कि फलन $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$.
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + ax) - \log(1 - bx)}{x}$.
चूंकि यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $L'\text{Hospital}$ नियम का उपयोग करेंगे:
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\log(1 + ax)) - \frac{d}{dx}(\log(1 - bx))}{\frac{d}{dx}(x)}$.
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{a}{1 + ax} - \frac{-b}{1 - bx}}{1}$.
$f(0) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{a}{1 + ax} + \frac{b}{1 - bx} \right)$.
$x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(0) = \frac{a}{1 + 0} + \frac{b}{1 - 0} = a + b$.

(C) एक फलन $f(x)$,$x = a$ पर संतत होता है यदि $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ हो।
विकल्प $C$ के लिए,हम $x = 0$ पर सीमा की जाँच करते हैं:
$R.H.L. = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1 - e^{-1/x}}{1 + e^{-1/x}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$.
$L.H.L. = \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$.
चूंकि $L.H.L. \neq R.H.L.$,इसलिए $x = 0$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
अतः,यह फलन $x = 0$ पर संतत नहीं है।

(D) चूंकि $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होगा।
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - \cos x}{x^2}$
इस सीमा का मान ज्ञात करने के लिए,अंश में $1$ जोड़ें और घटाएं:
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{(e^{x^2} - 1) + (1 - \cos x)}{x^2}$
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1}{x^2} + \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$
मानक सीमा $\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$ और $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर:
$f(0) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(C) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बायां सीमा और दायां सीमा बराबर होनी चाहिए।
$\lim_{x \to 0^+} (x^2 + \alpha) = \lim_{x \to 0^-} (2\sqrt{x^2 + 1} + \beta)$
$0^2 + \alpha = 2\sqrt{0^2 + 1} + \beta$
$\alpha = 2 + \beta \implies \alpha - \beta = 2 . . . (1)$
दिया गया है कि $f(\frac{1}{2}) = 2$ है। चूंकि $\frac{1}{2} \ge 0$,हम फलन के पहले भाग का उपयोग करेंगे:
$f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 + \alpha = 2$
$\frac{1}{4} + \alpha = 2$
$\alpha = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$
समीकरण $(1)$ में $\alpha = \frac{7}{4}$ रखने पर:
$\frac{7}{4} - \beta = 2$
$\beta = \frac{7}{4} - 2 = -\frac{1}{4}$
अब,$\alpha^2 + \beta^2$ की गणना करते हैं:
$\alpha^2 + \beta^2 = (\frac{7}{4})^2 + (-\frac{1}{4})^2$
$\alpha^2 + \beta^2 = \frac{49}{16} + \frac{1}{16} = \frac{50}{16} = \frac{25}{8}$

(B) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होगा।
$K = \lim_{x \to 0} \log(\sec^2 x)^{\cot^2 x}$
गुणधर्म $\log(a^b) = b \log a$ का उपयोग करने पर:
$K = \lim_{x \to 0} \cot^2 x \cdot \log(\sec^2 x)$
चूंकि $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$,इसलिए:
$K = \lim_{x \to 0} \cot^2 x \cdot \log(1 + \tan^2 x)$
$K = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + \tan^2 x)}{\tan^2 x}$
मानक सीमा $\lim_{u \to 0} \frac{\log(1+u)}{u} = 1$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = \tan^2 x$ जब $x \to 0$:
$K = 1$.

(C) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$.
दिया गया है $f(0) = K$,अतः $K = \lim_{x \to 0} [\tan(\frac{\pi}{4} + x)]^{\frac{1}{x}}$.
सूत्र $\tan(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}$ का उपयोग करने पर:
$K = \lim_{x \to 0} (\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x})^{\frac{1}{x}}$.
यह $1^{\infty}$ का रूप है,इसलिए हम $\lim_{x \to 0} (1 + g(x))^{h(x)} = e^{\lim_{x \to 0} g(x)h(x)}$ सूत्र का उपयोग करेंगे।
$K = \lim_{x \to 0} [1 + (\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} - 1)]^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} [1 + \frac{2 \tan x}{1 - \tan x}]^{\frac{1}{x}}$.
$K = e^{\lim_{x \to 0} (\frac{2 \tan x}{1 - \tan x} \cdot \frac{1}{x})}$.
चूंकि $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$,इसलिए:
$K = e^{\lim_{x \to 0} (\frac{2}{1 - \tan x} \cdot 1)} = e^{\frac{2}{1 - 0}} = e^{2}$.

(C) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ होगा।
अतः,$\lim_{x \to 0} \frac{\text{log}(1 + 2x) \cdot \sin x^{\circ}}{x^2} = k$।
हम जानते हैं कि $\sin x^{\circ} = \sin(\frac{\pi x}{180})$।
इसलिए,$\lim_{x \to 0} \frac{\text{log}(1 + 2x)}{x} \cdot \frac{\sin(\frac{\pi x}{180})}{x} = k$।
$2$ और $\frac{\pi}{180}$ से गुणा और भाग करने पर:
$\lim_{x \to 0} \left( 2 \cdot \frac{\text{log}(1 + 2x)}{2x} \right) \cdot \left( \frac{\pi}{180} \cdot \frac{\sin(\frac{\pi x}{180})}{\frac{\pi x}{180}} \right) = k$।
मानक सीमा $\lim_{u \to 0} \frac{\text{log}(1+u)}{u} = 1$ और $\lim_{v \to 0} \frac{\sin v}{v} = 1$ का उपयोग करने पर:
$2 \cdot 1 \cdot \frac{\pi}{180} \cdot 1 = k$।
अतः,$k = \frac{\pi}{90}$।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ है।
चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए शर्त $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ का पालन होना चाहिए।
हम सीमा की गणना करते हैं: $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$।
हम जानते हैं कि सभी $x \neq 0$ के लिए,$-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$ होता है।
$x$ से गुणा करने पर,हमें $-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|$ प्राप्त होता है।
स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,जैसे $x \to 0$ होता है,$-|x|$ और $|x|$ दोनों $0$ की ओर अग्रसर होते हैं।
अतः,$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$।
चूंकि $f(0) = k$ है,इसलिए $k = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} x \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$
$x = 0$ पर सांतत्य के लिए:
$LHL = f(0-0) = \lim_{h \to 0} f(0-h) = \lim_{h \to 0} (-h) \sin \left(-\frac{1}{h}\right) = \lim_{h \to 0} h \sin \left(\frac{1}{h}\right) = 0 \times (\text{परिमित राशि}) = 0$.
$RHL = f(0+0) = \lim_{h \to 0} f(0+h) = \lim_{h \to 0} h \sin \left(\frac{1}{h}\right) = 0 \times (\text{परिमित राशि}) = 0$.
चूंकि $f(0) = LHL = RHL = 0$,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता के लिए:
$Rf'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \sin(1/h)$.
जैसे $h \to 0$,$\sin(1/h)$ का मान $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।
इसी प्रकार,$Lf'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h \sin(-1/h) - 0}{-h} = \lim_{h \to 0} \sin(1/h)$,जिसका भी अस्तित्व नहीं है।
चूंकि अवकलज का अस्तित्व नहीं है,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

(D) दिया गया है कि $f(x)$ $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$.
$f(0) = k$.
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\log (1 + 2ax) - \log (1 - bx)}{x}$.
यह $\frac{0}{0}$ रूप है,इसलिए हम $L$'Hospital नियम का उपयोग करते हैं:
$k = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\log (1 + 2ax) - \log (1 - bx))}{\frac{d}{dx}(x)}$.
$k = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2a}{1 + 2ax} - \frac{-b}{1 - bx}}{1}$.
$k = \frac{2a}{1 + 0} + \frac{b}{1 - 0} = 2a + b$.

(C) $f(x)$ को $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बायां सीमा $(LHL)$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1+|\sin x|)^{\frac{a}{|\sin x|}}$.
माना $u = |\sin x|$। जैसे $x \to 0$,$u \to 0^+$। सीमा $\lim_{u \to 0^+} (1+u)^{a/u} = e^a$ हो जाती है।
अब,दायां सीमा $(RHL)$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} e^{\frac{\tan 2x}{\tan 3x}}$.
सीमा $\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan k\theta}{\theta} = k$ का उपयोग करते हुए,$\lim_{x \to 0^+} \frac{\tan 2x}{\tan 3x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(\tan 2x / 2x) \cdot 2x}{(\tan 3x / 3x) \cdot 3x} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = e^{2/3}$।
चूंकि $f(0) = b$,निरंतरता के लिए $e^a = e^{2/3} = b$ होना चाहिए।
इसलिए,$a = 2/3$ और $b = e^{2/3}$ है।

(D) फलन $f(x)$ के $[-\pi, \pi]$ में सतत होने के लिए,इसे $x = -\frac{\pi}{2}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होना चाहिए।
$x = -\frac{\pi}{2}$ पर:
$\lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}^-} (-2 \sin x) = -2 \sin(-\frac{\pi}{2}) = -2(-1) = 2$.
$\lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}^+} (a \sin x + b) = a \sin(-\frac{\pi}{2}) + b = -a + b$.
इन्हें बराबर करने पर,$-a + b = 2$ (समीकरण $1$)।
$x = \frac{\pi}{2}$ पर:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} (a \sin x + b) = a \sin(\frac{\pi}{2}) + b = a + b$.
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} \cos x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
इन्हें बराबर करने पर,$a + b = 0$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर:
$(-a + b) + (a + b) = 2 + 0 \Rightarrow 2b = 2 \Rightarrow b = 1$.
$b = 1$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:
$a + 1 = 0 \Rightarrow a = -1$.
अतः,$a = -1$ और $b = 1$ प्राप्त होते हैं।

(C) यदि फलन $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,तो शर्त $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ का पालन होना चाहिए।
दिया गया है कि $f(0) = k$ है।
अब,सीमा (limit) की गणना करते हैं: $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$।
हम जानते हैं कि सभी $x \neq 0$ के लिए,$-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$ होता है।
$x$ से गुणा करने पर ($x > 0$ के लिए),हमें $-x \leq x \sin \frac{1}{x} \leq x$ प्राप्त होता है।
स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,जैसे-जैसे $x \to 0$ होता है,$-x$ और $x$ दोनों $0$ की ओर अग्रसर होते हैं।
इसलिए,$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$ है।
अतः,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होने के कारण,$k = 0$ प्राप्त होता है।

(D) फलन $f(x) = \frac{x+1}{9x+x^3}$ को $f(x) = \frac{x+1}{x(9+x^2)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
फलन वहाँ असंतत होता है जहाँ हर शून्य हो जाता है,अर्थात $x(9+x^2) = 0$।
इस समीकरण के लिए,हमें $x = 0$ या $9+x^2 = 0$ प्राप्त होता है।
समीकरण $x^2 = -9$ का कोई वास्तविक हल नहीं है क्योंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है।
इसलिए,फलन केवल $x = 0$ पर असंतत है।
अतः,फलन ठीक एक बिंदु पर असंतत है।

(C) फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $f(x) = \begin{cases} 1 & x > 0 \\ -1 & x < 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases}$.
$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा और दाएँ पक्ष की सीमा का मूल्यांकन करते हैं:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$
चूँकि बाएँ पक्ष की सीमा दाएँ पक्ष की सीमा के बराबर नहीं है,इसलिए फलन $x = 0$ पर असतत है।
चूँकि फलन $x = 0$ पर सतत नहीं है,इसलिए यह $x = 0$ पर अवकलनीय भी नहीं है।
अतः,फलन $x = 0$ पर न तो सतत है और न ही अवकलनीय है।

(A) $g(x)$ के $x=3$ पर सतत होने के लिए,$K = \lim_{x \to 3} g(x) = \lim_{x \to 3} \int_3^{f(x)} \frac{3t^2}{x-3} dt$ होना चाहिए।
चूंकि $x \to 3$ होने पर समाकलन $\frac{0}{0}$ रूप में है (क्योंकि $f(3)=3$),हम ला-हॉस्पिटल नियम और लेबनीज नियम का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $I(x) = \int_3^{f(x)} 3t^2 dt$. तब $g(x) = \frac{I(x)}{x-3}$.
ला-हॉस्पिटल नियम के अनुसार,$K = \lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{dx} \int_3^{f(x)} 3t^2 dt}{\frac{d}{dx} (x-3)}$.
लेबनीज नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx} \int_3^{f(x)} 3t^2 dt = 3(f(x))^2 \cdot f^{\prime}(x)$.
अतः,$K = \lim_{x \to 3} \frac{3(f(x))^2 \cdot f^{\prime}(x)}{1} = 3(f(3))^2 \cdot f^{\prime}(3)$.
दिए गए मान $f(3)=3$ और $f^{\prime}(3)=\frac{1}{27}$ रखने पर:
$K = 3 \cdot (3)^2 \cdot \frac{1}{27} = 3 \cdot 9 \cdot \frac{1}{27} = 27 \cdot \frac{1}{27} = 1$.

(C) फलन $f(x) = [x]$ के रूप में परिभाषित है।
किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,फ्लोर फलन $[x]$,$x = n$ पर असतत होता है क्योंकि बाएँ पक्ष की सीमा $n-1$ है और दाएँ पक्ष की सीमा $n$ है।
दिए गए प्रांत $x \in (-1, 2)$ के लिए,इस अंतराल में आने वाले पूर्णांक $0$ और $1$ हैं।
अतः,फलन $f(x) = [x]$,$x = 0$ और $x = 1$ पर असतत है।

(C) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दाईं सीमा $(RHL)$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{8^x-4^x-2^x+1}{x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(4^x-1)(2^x-1)}{x^2} = \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{4^x-1}{x} \right) \left( \frac{2^x-1}{x} \right) = \log 4 \cdot \log 2$.
अब,बाईं सीमा $(LHL)$ और $f(0)$ ज्ञात करें:
$f(0) = e^0 \sin(0) + 0 + \lambda \log 4 = \lambda \log 4$.
दोनों सीमाओं की तुलना करने पर:
$\log 4 \cdot \log 2 = \lambda \log 4 \implies \lambda = \log 2$.
अब,$1000 e^\lambda$ का मान ज्ञात करें:
$1000 e^{\log 2} = 1000 \times 2 = 2000$.

(B) किसी फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$,और फलन का मान $f(0)$ बराबर होने चाहिए।
$LHL = \lim_{x \to 0^-} \frac{1-\cos 4x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2\sin^2(2x)}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} 2 \left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^2 \times 4 = 2 \times 1^2 \times 4 = 8$.
$RHL = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}{\sqrt{x}}$.
संयुग्मी (conjugate) से गुणा करने पर: $\lim_{x \to 0^+} \frac{(\sqrt{16+\sqrt{x}}-4)(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{16+\sqrt{x}-16}{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{16+\sqrt{x}}+4} = \frac{1}{4+4} = \frac{1}{8}$.
चूंकि $LHL \neq RHL$,इसलिए $a$ के किसी भी मान के लिए फलन $x = 0$ पर सतत नहीं है। प्रश्न में विरोधाभास है क्योंकि सीमाएँ समान नहीं हैं।

(B) फलन के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = -1$ होना चाहिए।
सीमा का मूल्यांकन: $\lim_{x \to 0} \frac{\cos ax - \cos bx}{\cos cx - \cos bx}$।
छोटे $\theta$ के लिए $\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ विस्तार का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{(1 - \frac{a^2x^2}{2}) - (1 - \frac{b^2x^2}{2})}{(1 - \frac{c^2x^2}{2}) - (1 - \frac{b^2x^2}{2})} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{b^2x^2}{2} - \frac{a^2x^2}{2}}{\frac{b^2x^2}{2} - \frac{c^2x^2}{2}} = \frac{b^2 - a^2}{b^2 - c^2}$।
इसे $-1$ के बराबर रखने पर: $\frac{b^2 - a^2}{b^2 - c^2} = -1$।
$b^2 - a^2 = -(b^2 - c^2) \implies b^2 - a^2 = c^2 - b^2$।
$2b^2 = a^2 + c^2$।
यह स्थिति दर्शाती है कि $a^2, b^2, c^2$ समांतर श्रेणी में हैं।

(B) $x = 4$ पर बायाँ सीमा: $\lim_{x \rightarrow 4^{-}} f(x) = [4^{-}] - [\frac{4^{-}}{4}] = 3 - 0 = 3$.
$x = 4$ पर दायाँ सीमा: $\lim_{x \rightarrow 4^{+}} f(x) = [4^{+}] - [\frac{4^{+}}{4}] = 4 - 1 = 3$.
$x = 4$ पर फलन का मान: $f(4) = [4] - [\frac{4}{4}] = 4 - 1 = 3$.
चूँकि $\lim_{x \rightarrow 4^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 4^{+}} f(x) = f(4) = 3$,इसलिए फलन $f(x)$,$x = 4$ पर संतत है।

(C) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए, $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
माना $L = \lim_{x \to 0} \frac{(27-2x)^{1/3}-3}{9-3(243+5x)^{1/5}}$.
अचर बाहर लेने पर: $L = \lim_{x \to 0} \frac{3((1 - \frac{2x}{27})^{1/3} - 1)}{9(1 - (1 + \frac{5x}{243})^{1/5})} = \frac{1}{3} \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \frac{2x}{27})^{1/3} - 1}{1 - (1 + \frac{5x}{243})^{1/5}}$.
द्विपद प्रसार $(1+u)^n \approx 1+nu$ का उपयोग करने पर:
अंश: $(1 - \frac{2x}{27})^{1/3} - 1 \approx 1 - \frac{2x}{81} - 1 = -\frac{2x}{81}$.
हर: $1 - (1 + \frac{5x}{243})^{1/5} \approx 1 - (1 + \frac{x}{243}) = -\frac{x}{243}$.
अतः, $L = \frac{1}{3} \cdot \frac{-2x/81}{-x/243} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{81} \cdot 243 = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 3 = 2$.

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
दाहिनी सीमा: $\lim_{x \to 0^+} \frac{8^x - 4^x - 2^x + 1}{x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(4^x - 1)(2^x - 1)}{x^2} = \log 4 \cdot \log 2$.
बाईं सीमा: $\lim_{x \to 0^-} (e^x \sin x + kx + \lambda \log 4) = \lambda \log 4$.
दोनों को बराबर करने पर: $\lambda \log 4 = \log 4 \cdot \log 2 \implies \lambda = \log 2$.
अतः $e^\lambda = e^{\log 2} = 2$.
इसलिए,$500 e^\lambda = 500 \times 2 = 1000$.

(B) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$.
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{10^x + 7^x - 14^x - 5^x}{1 - \cos x}$.
अंश का गुणनखंड करने पर: $(2^x - 1)(5^x - 7^x)$.
अतः,$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{(2^x - 1)(5^x - 7^x)}{1 - \cos x}$.
मानक सीमाओं का उपयोग करने पर: $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ और $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$.
$f(0) = \frac{(\ln 2)(\ln 5 - \ln 7)}{1/2} = 2 \ln 2 \ln(5/7) = \ln 4 \ln(5/7)$.

(B) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
दिया है $f(x) = \frac{\sin(\pi \cos^2 x)}{3x^2}$।
सर्वसमिका $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{\sin(\pi(1 - \sin^2 x))}{3x^2} = \frac{\sin(\pi - \pi \sin^2 x)}{3x^2}$।
चूँकि $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = \frac{\sin(\pi \sin^2 x)}{3x^2}$।
अब,$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(\pi \sin^2 x)}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(\pi \sin^2 x)}{\pi \sin^2 x} \times \frac{\pi \sin^2 x}{3x^2} \right)$।
चूँकि $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ और $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,इसलिए:
$f(0) = 1 \times \frac{\pi}{3} \times (1)^2 = \frac{\pi}{3}$।

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,सीमा का मान ज्ञात करें: $\lim_{x \to 0} \frac{9^x - 2 \cdot 3^x + 1}{\log(1 + 3x) \cdot \tan 2x}$।
ध्यान दें कि $9^x - 2 \cdot 3^x + 1 = (3^x - 1)^2$ है।
अतः,सीमा $\lim_{x \to 0} \frac{(3^x - 1)^2}{\log(1 + 3x) \cdot \tan 2x}$ है।
मानक सीमाओं $\lim_{x \to 0} \frac{3^x - 1}{x} = \log 3$,$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + 3x)}{3x} = 1$,और $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{2x} = 1$ का उपयोग करने पर:
सीमा $= \frac{(\log 3)^2}{6}$।
दिया गया है कि $f(0) = a(\log b)^c$,इसलिए $a(\log b)^c = \frac{1}{6}(\log 3)^2$।
तुलना करने पर,$a = \frac{1}{6}$,$b = 3$,और $c = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + b + c = \frac{1}{6} + 3 + 2 = \frac{31}{6}$।

(C) $f(x)$ के $x=1$ पर सतत होने के लिए,$f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$ होना चाहिए।
माना $1-x = h$. जैसे ही $x \to 1$,$h \to 0$.
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1+\cos(\pi(1-h))}{\pi h^2}$
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1+\cos(\pi - \pi h)}{\pi h^2}$
चूँकि $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$,इसलिए:
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1-\cos(\pi h)}{\pi h^2}$
सर्वसमिका $1-\cos \theta = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{\pi h}{2})}{\pi h^2}$
$f(1) = \frac{2}{\pi} \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(\frac{\pi h}{2})}{h} \right)^2$
$(\frac{\pi}{2})^2$ से गुणा और भाग करने पर:
$f(1) = \frac{2}{\pi} \cdot (\frac{\pi}{2})^2 \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(\frac{\pi h}{2})}{\frac{\pi h}{2}} \right)^2$
$f(1) = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{4} \cdot (1)^2 = \frac{\pi}{2}$.

(A) दिया गया है कि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = k$ होगा।
चूँकि सीमा $1^\infty$ के रूप में है,हम सूत्र $\lim_{x \to a} [g(x)]^{h(x)} = e^{\lim_{x \to a} [g(x) - 1]h(x)}$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ $g(x) = \tan(\frac{\pi}{4} + x)$ और $h(x) = \frac{1}{x}$ है।
$k = e^{\lim_{x \to 0} [\tan(\frac{\pi}{4} + x) - 1] \cdot \frac{1}{x}}$।
$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,$\tan(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}$ प्राप्त होता है।
$k = e^{\lim_{x \to 0} [\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} - 1] \cdot \frac{1}{x}} = e^{\lim_{x \to 0} [\frac{1 + \tan x - 1 + \tan x}{1 - \tan x}] \cdot \frac{1}{x}}$।
$k = e^{\lim_{x \to 0} \frac{2 \tan x}{x(1 - \tan x)}} = e^{2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 - \tan x}}$।
चूँकि $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ और $\lim_{x \to 0} \frac{1}{1 - \tan x} = 1$,इसलिए $k = e^{2 \cdot 1 \cdot 1} = e^2$ प्राप्त होता है।

(B) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{2^{x}-1}{1-3^{x}}$
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{2^{x}-1}{-(3^{x}-1)}$
$f(0) = -\frac{\lim_{x \to 0} \frac{2^{x}-1}{x}}{\lim_{x \to 0} \frac{3^{x}-1}{x}}$
मानक सीमा $\lim_{x \to 0} \frac{a^{x}-1}{x} = \log a$ का उपयोग करने पर:
$f(0) = -\frac{\log 2}{\log 3}$

(B) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
$\lim_{x \to 0} \left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\operatorname{cosec} x} = \lim_{x \to 0} \exp\left(\operatorname{cosec} x \cdot \ln\left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)\right)$.
विस्तार का उपयोग करने पर,सीमा $1^\infty$ के रूप में है।
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin x} \left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x} - 1\right) = 0$.
अतः,$f(0) = e^0 = 1$.