Continuity Questions in Gujarati

(D) $f(x)$ એ $\mathbb{R}$ પર સતત હોવા માટે,તે $x=0, x=1,$ અને $x=2$ આગળ સતત હોવું જોઈએ.
$x=0$ આગળ: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) \implies \sin(0) = 0^2 + a^2 \implies a^2 = 0 \implies a = 0$.
$x=1$ આગળ: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \implies 1^2 + a^2 = b(1) + 2 \implies 1 + 0 = b + 2 \implies b = -1$.
$x=2$ આગળ: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) \implies b(2) + 2 = 0 \implies 2(-1) + 2 = 0$,જે સુસંગત છે.
આમ,$a = 0$ અને $b = -1$.
તેથી,$a+b+ab = 0 + (-1) + (0)(-1) = -1$.

(D) $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,ડાબી બાજુની લક્ષ $(LHL)$ ગણો:
$\lim_{x \to 0^-} (1+|\sin x|)^{\frac{p}{|\sin x|}} = \lim_{x \to 0^-} (1-\sin x)^{\frac{p}{-\sin x}}$ (કારણ કે $x < 0$ માટે $|\sin x| = -\sin x$).
ધારો કે $h = -x$,જેમ $x \to 0^-$,તેમ $h \to 0^+$. તેથી $\sin x = -\sin h$.
$\lim_{h \to 0^+} (1+\sin h)^{\frac{p}{\sin h}} = e^{\lim_{h \to 0^+} \sin h \cdot \frac{p}{\sin h}} = e^p$.
હવે,જમણી બાજુની લક્ષ $(RHL)$ ગણો:
$\lim_{x \to 0^+} e^{\frac{\sin 2x}{\sin 3x}} = e^{\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin 2x}{\sin 3x}} = e^{\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{3x}{\sin 3x} \cdot \frac{2}{3}} = e^{2/3}$.
$f(0) = q$ હોવાથી,લક્ષને સરખાવતા:
$e^p = q = e^{2/3}$.
આમ,$p = 2/3$ અને $q = e^{2/3}$.
જો મૂળ પ્રશ્નમાં ઘાત $\frac{p}{\sin x}$ હોય,તો $LHL$ $= e^{-p}$ થાય,જેનાથી $p = -2/3$ અને $q = e^{2/3}$ મળે.

(A) વિધેય $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(x) = (x+1)^{\cot x}$.
$x \rightarrow 0$ માટે લક્ષ લેતા:
$\lim_{x \rightarrow 0} (x+1)^{\cot x} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \cot x \cdot \ln(1+x)}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરીને,ઘાતાંકને આ રીતે લખી શકાય:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{\tan x} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\ln(1+x)}{x} \cdot \frac{x}{\tan x} \right)$.
કારણ કે $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ અને $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\tan x} = 1$,તેથી ઘાતાંકનું લક્ષ $1 \cdot 1 = 1$ થાય છે.
તેથી,$f(0) = e^1 = e$.

(B) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તેથી $\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$ શરતનું પાલન થવું જોઈએ.
પ્રથમ,ડાબી બાજુની લક્ષ $(LHL)$ ગણો:
$\text{LHL} = \lim_{x \to 0^-} \left( \beta + \left[ \frac{\sin x - x}{x^3} \right] \right)$.
ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots$,તેથી $\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{-x^3/6 + x^5/120}{x^3} = -\frac{1}{6} + \frac{x^2}{120}$.
જ્યારે $x \to 0^-$,ત્યારે $\frac{\sin x - x}{x^3} \to -\frac{1}{6}$. તેથી,$\text{LHL} = \beta + [-1/6] = \beta - 1$.
હવે,જમણી બાજુની લક્ષ $(RHL)$ ગણો:
$\text{RHL} = \lim_{x \to 0^+} \left( \alpha + \frac{\sin [x]}{x} \right)$.
$0 < x < 1$ માટે,$[x] = 0$,તેથી $\sin [x] = \sin 0 = 0$.
તેથી,$\text{RHL} = \lim_{x \to 0^+} (\alpha + 0) = \alpha$.
આપેલ છે કે $f(0) = 2$,તેથી $\beta - 1 = 2 = \alpha$.
આમ,$\beta = 3$ અને $\alpha = 2$.
તેથી,$\beta - \alpha = 3 - 2 = 1$.

(B) $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0)$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,$LHL$ ધ્યાનમાં લો: $\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{a+2 \cos x}{x^2}$. આ લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય અને તે શાંત હોય તે માટે,અંશ $x \rightarrow 0$ થાય ત્યારે $0$ ને અનુલક્ષવો જોઈએ. તેથી,$a + 2 \cos(0) = 0 \Rightarrow a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2$.
$a = -2$ ને લક્ષમાં મૂકતા: $\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{-2 + 2 \cos x}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{-2(1 - \cos x)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{-2(2 \sin^2(x/2))}{x^2} = -2 \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{\sin^2(x/2)}{(x/2)^2 \times 2} = -2 \times \frac{1}{2} = -1$.
હવે,$RHL$ ધ્યાનમાં લો: $\lim_{x \rightarrow 0^+} b \tan \frac{\pi}{[x+4]}$. જેમ $x \rightarrow 0^+$,તેમ $[x+4] = 4$ થાય.
તેથી,$RHL = b \tan \frac{\pi}{4} = b(1) = b$.
કારણ કે $LHL = RHL$,તેથી $-1 = b$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b)$ એ $(-2, -1)$ છે.

(B) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$x \rightarrow 0$ હોય ત્યારે $f(x)$ નું લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતું હોવું જોઈએ અને તે $f(0)$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$f(0) = k$.
હવે,આપણે લક્ષની ગણતરી કરીએ:
$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 + 3 x^2 - \cos 2 x}{x^2}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 + 3 x^2 - (1 - 2 \sin^2 x)}{x^2}$
$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 + 3 x^2 - 1 + 2 \sin^2 x}{x^2}$
$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{3 x^2 + 2 \sin^2 x}{x^2}$
$= \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{3 x^2}{x^2} + 2 \frac{\sin^2 x}{x^2} \right)$
$= \lim_{x \rightarrow 0} \left( 3 + 2 \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \right)$
કારણ કે $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,તેથી:
$= 3 + 2(1)^2 = 3 + 2 = 5$.
વિધેય $x = 0$ આગળ સતત હોવાથી,$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$,તેથી $k = 5$.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોય તે માટે શરત $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ નું પાલન થવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $x \neq 0$ માટે $f(x) = \frac{2 \sin x - \sin 2x}{2x \cos x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x - 2 \sin x \cos x}{2x \cos x}$
$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x (1 - \cos x)}{2x \cos x}$
$= \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right) \cdot \left( \frac{1 - \cos x}{\cos x} \right)$
કારણ કે $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ અને $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{\cos x} = \frac{1 - 1}{1} = 0$.
તેથી,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 1 \cdot 0 = 0$.
કારણ કે $f(0) = a$,સાતત્ય માટે $a = 0$ હોવું જોઈએ.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} \frac{x + 2}{x^2 + 3 x + 2}, & x \in R - \{-1, -2\} \\ -1, & x = -2 \\ 0, & x = -1 \end{cases}$
$x \in R - \{-1, -2\}$ માટે,$f(x) = \frac{x + 2}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{1}{x + 1}$.
હવે,આપણે $x = -2$ અને $x = -1$ આગળ સાતત્ય ચકાસીએ.
$x = -2$ આગળ:
$\lim_{x \rightarrow -2} f(x) = \lim_{x \rightarrow -2} \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{-2 + 1} = -1$.
અહીં $f(-2) = -1$ હોવાથી,$\lim_{x \rightarrow -2} f(x) = f(-2)$,તેથી $f$ એ $x = -2$ આગળ સતત છે.
$x = -1$ આગળ:
$\lim_{x \rightarrow -1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow -1^-} \frac{1}{x + 1} = -\infty$ અને $\lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{1}{x + 1} = \infty$.
$x = -1$ આગળ લક્ષનું અસ્તિત્વ ન હોવાથી,$f$ એ $x = -1$ આગળ અસતત છે.
તેથી,$f$ એ $R - \{-1\}$ ગણ પર સતત છે.

(B) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ એ જમણી બાજુના લક્ષ $(RHL)$ અને વિધેયની કિંમત $f(0)$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$LHL$ = $\lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{1+kx}-\sqrt{1-kx}}{x}$
અંશનું સંમેયીકરણ કરતા:
$LHL$ = $\lim_{x \to 0^-} \frac{(\sqrt{1+kx}-\sqrt{1-kx})(\sqrt{1+kx}+\sqrt{1-kx})}{x(\sqrt{1+kx}+\sqrt{1-kx})}$
$LHL$ = $\lim_{x \to 0^-} \frac{(1+kx)-(1-kx)}{x(\sqrt{1+kx}+\sqrt{1-kx})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2kx}{x(\sqrt{1+kx}+\sqrt{1-kx})} = \frac{2k}{1+1} = k$
$RHL$ = $\lim_{x \to 0^+} (2x^2+3x-2) = 2(0)^2+3(0)-2 = -2$
વિધેય સતત હોવાથી,$LHL$ = $RHL$,તેથી $k = -2$.

(A) વિધેય $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને $x=0$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય સમાન હોવા જોઈએ.
$1$. $x=0$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય $f(0) = a^2 \cos^2(0) + b^2 \sin^2(0) = a^2(1) + b^2(0) = a^2$ છે.
$2$. $x \rightarrow 0^+$ માટે જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ $\lim_{x \rightarrow 0^+} e^{ax+b} = e^{a(0)+b} = e^b$ છે.
$3$. $x \rightarrow 0^-$ માટે ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ $\lim_{x \rightarrow 0^-} (a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x) = a^2(1) + b^2(0) = a^2$ છે.
સાતત્ય માટે,$LHL = RHL = f(0)$,તેથી $e^b = a^2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln(e^b) = \ln(a^2)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $b = 2 \log |a|$ થાય છે.

(C) વિધેય $f(x) = x - [x]$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય છે,જેને $\{x\}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપણે કોઈપણ પૂર્ણાંક $n \in Z$ આગળ $f(x)$ ની સાતત્યતા તપાસીએ.
ડાબી બાજુનું લક્ષ:
$\lim_{x \rightarrow n^-} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(n-h) = \lim_{h \rightarrow 0} ((n-h) - [n-h]) = \lim_{h \rightarrow 0} ((n-h) - (n-1)) = \lim_{h \rightarrow 0} (1-h) = 1$.
જમણી બાજુનું લક્ષ:
$\lim_{x \rightarrow n^+} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(n+h) = \lim_{h \rightarrow 0} ((n+h) - [n+h]) = \lim_{h \rightarrow 0} ((n+h) - n) = \lim_{h \rightarrow 0} h = 0$.
$x=n$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય:
$f(n) = n - [n] = n - n = 0$.
અહીં $\lim_{x \rightarrow n^-} f(x) \neq \lim_{x \rightarrow n^+} f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ દરેક પૂર્ણાંક $n \in Z$ આગળ અસતત છે.
તેથી,અસતત બિંદુઓનો ગણ $Z$ છે.

(B) $f(x)$ માટે: $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0$,જે $f(0)$ ની બરાબર છે,તેથી $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે.
$x = 0$ આગળ વિકલનીયતા માટે,$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \sin(1/h)$,જેનું અસ્તિત્વ નથી. તેથી,$(i)$ સાચું છે.
$g(x) = x f(x) = x^2 \sin(1/x)$ માટે $x \neq 0$ અને $g(0) = 0$.
$g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(1/h) = 0$. તેથી $g(x)$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય છે.
$x \neq 0$ માટે,$g'(x) = 2x \sin(1/x) - \cos(1/x)$.
જેમ $x \to 0$,$\lim_{x \to 0} g'(x) = \lim_{x \to 0} (2x \sin(1/x) - \cos(1/x))$,જેનું અસ્તિત્વ નથી કારણ કે $\cos(1/x)$ દોલન કરે છે.
કારણ કે $\lim_{x \to 0} g'(x) \neq g'(0)$,$g'(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત નથી. તેથી,$(ii)$ સાચું છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} 1 + 6x - 3x^2, & x \leq 1 \\ x + \log_2(b^2 + 7), & x > 1 \end{cases}$.
$f(1)$ મહત્તમ કિંમત હોય તે માટે,તમામ $x$ માટે $f(x) \leq f(1)$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,$f(1) = 1 + 6(1) - 3(1)^2 = 1 + 6 - 3 = 4$ મેળવીએ.
$x > 1$ માટે,આપણે $f(x) \leq 4$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $x + \log_2(b^2 + 7) \leq 4$.
આ તમામ $x > 1$ માટે સાચું હોવું જોઈએ,તેથી $x \to 1^+$ લેતા,આપણને $1 + \log_2(b^2 + 7) \leq 4$ મળે છે.
$\log_2(b^2 + 7) \leq 3$.
$b^2 + 7 \leq 2^3 = 8$.
$b^2 \leq 1$.
તેથી,$-1 \leq b \leq 1$,એટલે કે $b \in [-1, 1]$.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય તે માટે,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ હોવું જોઈએ.
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(1 - \cos x)}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{1 - \cos x}{2})}{x^4}$
$1 - \cos x = 2 \sin^2(\frac{x}{2})$ હોવાથી,આ પદ નીચે મુજબ થશે:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\sin^2(\frac{x}{2}))}{x^4}$
લક્ષ $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,નાની $\theta$ માટે $\sin \theta \approx \theta$ લેતા:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 (\sin^2(\frac{x}{2}))^2}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{x}{2})^4}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \frac{x^4}{16}}{x^4} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.

(D) આપેલ અંતરાલ $x \in (-2 \pi, 0)$ છે.
જેમ $x$ ડાબી બાજુથી $0$ ની નજીક પહોંચે છે,તેમ $x^3$ ઋણ બાજુથી $0$ ની નજીક પહોંચે છે.
તેથી,$\frac{1}{x^3}$ એ $-\infty$ ની નજીક પહોંચે છે.
વિધેય $f(x) = \sin \left(\frac{1}{x^3}\right)$ એ તેનો ચલ $\frac{1}{x^3}$ જ્યારે $-\infty$ ની નજીક પહોંચે ત્યારે $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે,તેથી આ વિધેય $0$ ના કોઈપણ સામીપ્યમાં અસંખ્ય વાર $x$-અક્ષને છેદશે.
આમ,વિધેય $(-2 \pi, 0)$ અંતરાલમાં અનંત વાર ચિહ્ન બદલે છે.

(D) અંતરાલ $I$ પર વ્યાખ્યાયિત સતત વિધેય $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ જે માત્ર અસંમેય કિંમતો લે છે તે અચળ વિધેય હોવું જોઈએ.
જો $f(x)$ અચળ ન હોય,તો 'ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ' મુજબ,તે જે બે કિંમતો ધારણ કરે છે તેની વચ્ચેની તમામ કિંમતો લેશે. સંમેય સંખ્યાઓનો ગણ $\mathbb{R}$ માં ગીચ હોવાથી,કોઈપણ અચળ ન હોય તેવું સતત વિધેય સંમેય કિંમતો ધારણ કરશે જ.
આપેલ છે કે $f(\sqrt{2})=\sqrt{2}$,અને $f(x)$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે $f(x)=\sqrt{2}$,તમામ $x \in [-2,2]$ માટે.
તેથી,$f(\sqrt{2}-1)=\sqrt{2}$.

(A) ધારો કે $g(x) = x \log_e x + x - 2$.
આપણે સમીકરણ $g(x) = 0$ ના બીજ શોધી રહ્યા છીએ.
અંતરાલ $(1, 2)$ ના અંત્યબિંદુઓ પર $g(x)$ ની કિંમત મેળવો:
$g(1) = 1 \cdot \log_e(1) + 1 - 2 = 0 + 1 - 2 = -1$.
$g(2) = 2 \cdot \log_e(2) + 2 - 2 = 2 \log_e(2) \approx 2(0.693) = 1.386$.
અહીં $g(1) = -1 < 0$ અને $g(2) = 2 \log_e(2) > 0$ છે,અને $g(x)$ એ અંતરાલ $[1, 2]$ પર સતત વિધેય હોવાથી,'Intermediate Value Theorem' મુજબ,$(1, 2)$ માં ઓછામાં ઓછું એક એવું બીજ $c$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $g(c) = 0$ થાય.

(D) વિધેય $f(x) = x - [x]$ ને અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જેને $\{x\}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $n \in Z$ માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ ચકાસીએ:
$\lim_{x \to n^-} f(x) = \lim_{x \to n^-} (x - [x]) = n - (n - 1) = 1$.
$\lim_{x \to n^+} f(x) = \lim_{x \to n^+} (x - [x]) = n - n = 0$.
કારણ કે કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ પર ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન નથી,તેથી વિધેય તમામ પૂર્ણાંકો પર અસતત છે.
તેથી,અસતત બિંદુઓનો ગણ $Z$ છે.

(C) વિધેય $f(x) = \begin{cases} x+1, & -1 \leq x \leq 0 \\ -x, & 0 < x \leq 1 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$x=0$ આગળ સાતત્ય તપાસતા:
ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x+1) = 1$.
જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$.
અહીં $\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)$ હોવાથી,વિધેય $x=0$ આગળ અસતત છે.
હવે,$[-1, 1]$ પર $f(x)$ નો વિસ્તાર તપાસીએ:
$x \in [-1, 0]$ માટે,$f(x) = x+1$. વિસ્તાર $[0, 1]$ છે.
$x \in (0, 1]$ માટે,$f(x) = -x$. વિસ્તાર $[-1, 0)$ છે.
આ બંનેને જોડતા,$f(x)$ નો વિસ્તાર $[-1, 0) \cup [0, 1] = [-1, 1]$ મળે છે.
મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે ($x=0$ આગળ) અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય $-1$ છે ($x=1$ આગળ).
આમ,$f(x)$ એ $[-1, 1]$ માં અસતત હોવા છતાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.

(D) વિધેય $f(x) = [x^2] \sin(\pi x)$ એ બે વિધેયોનો ગુણાકાર છે: $g(x) = [x^2]$ અને $h(x) = \sin(\pi x)$.
$g(x) = [x^2]$ એ દરેક બિંદુએ અસતત છે જ્યાં $x^2$ પૂર્ણાંક હોય,એટલે કે $x = \sqrt{n}$,જ્યાં $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$.
ગુણાકાર $f(x) = g(x)h(x)$ એ બિંદુ $x_0$ પર સતત રહે તે માટે,જ્યાં $g(x)$ અસતત છે,ત્યાં $h(x_0) = 0$ હોવું જરૂરી છે.
અહીં,$h(x) = \sin(\pi x) = 0$ જ્યારે $x$ પૂર્ણાંક હોય.
જો $x^2 = n$ (જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે) અને $x$ પણ પૂર્ણાંક હોય,તો $x = \sqrt{n}$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $n$ પૂર્ણ વર્ગ છે.
જો $x^2 = n$ હોય પણ $x$ પૂર્ણાંક ન હોય,તો $\sin(\pi x) \neq 0$ થાય,તેથી વિધેય $f(x)$ આ બિંદુઓ પર અસતત રહે છે.
તેથી,$f(x)$ ફક્ત તે જ બિંદુઓ પર સતત છે જ્યાં $x^2$ પૂર્ણાંક હોય અને $\sin(\pi x) = 0$ હોય,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $x$ પૂર્ણાંક હોય.
આપેલા વિકલ્પો સાચા નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) વિધેય $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ ગણો:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin(a+1)x + \sin x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\sin(a+1)x}{x} + \frac{\sin x}{x} \right) = (a+1) + 1 = a+2$.
હવે,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ ગણો:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x+bx^2} - \sqrt{x}}{bx^{1/2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{1+bx} - 1)}{bx^{1/2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1+bx} - 1}{b}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+bx)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}bx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{1 + \frac{1}{2}bx - 1}{b} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{2}bx}{b} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{2} = 0$.
અહીં $f(0) = c$ હોવાથી,સાતત્ય માટે $a+2 = 0$ અને $c = 0$ જરૂરી છે.
તેથી,$a = -2$ અને $c = 0$. $RHL$ માં છેદમાં $b$ હોવાથી,$x > 0$ માટે વિધેય વ્યાખ્યાયિત રહે તે માટે $b \neq 0$ હોવું જોઈએ.
આમ,$a = -2, b \in \mathbb{R} - \{0\}, c = 0$.

(A, D) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} 0, & -1 \leq x < 0 \\ 1, & x = 0 \\ 2, & 0 < x \leq 1 \end{cases}$.
$-1 \leq x \leq 0$ માટે,$F(x) = \int_{-1}^{x} 0 \, dt = 0$.
$0 < x \leq 1$ માટે,$F(x) = \int_{-1}^{0} 0 \, dt + \int_{0}^{x} 2 \, dt = 0 + [2t]_{0}^{x} = 2x$.
તેથી,$F(x) = \begin{cases} 0, & -1 \leq x \leq 0 \\ 2x, & 0 < x \leq 1 \end{cases}$.
$x = 0$ આગળ સાતત્ય ચકાસતા:
$\lim_{x \to 0^-} F(x) = 0$ અને $\lim_{x \to 0^+} F(x) = 2(0) = 0$.
કારણ કે $\lim_{x \to 0^-} F(x) = \lim_{x \to 0^+} F(x) = F(0) = 0$,તેથી $F(x)$ એ $[-1, 1]$ માં સતત છે.
$x = 0$ આગળ વિકલનીયતા ચકાસતા:
ડાબી બાજુનું વિકલન $LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{F(0+h) - F(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{0 - 0}{h} = 0$.
જમણી બાજુનું વિકલન $RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{F(0+h) - F(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2(0+h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = 2$.
કારણ કે $LHD \neq RHD$,તેથી $x = 0$ આગળ $F'(x)$ નું અસ્તિત્વ નથી. આમ,વિકલ્પ $A$ અને $D$ સાચા છે.

(B) $f(x)$ સતત હોવા માટે,તે $x = -\frac{\pi}{2}$ અને $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સતત હોવું જોઈએ.
$x = -\frac{\pi}{2}$ આગળ:
$LHL = \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^-} (-2 \sin x) = -2 \sin(-\frac{\pi}{2}) = -2(-1) = 2$.
$RHL = \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} (A \sin x + B) = A \sin(-\frac{\pi}{2}) + B = -A + B$.
સાતત્ય માટે,$LHL = RHL \implies -A + B = 2$ (સમીકરણ $i$).
$x = \frac{\pi}{2}$ આગળ:
$LHL = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (A \sin x + B) = A \sin(\frac{\pi}{2}) + B = A + B$.
$RHL = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} (\cos x) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
સાતત્ય માટે,$LHL = RHL \implies A + B = 0$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $i$ અને $ii$ નો સરવાળો કરતા: $(-A + B) + (A + B) = 2 + 0 \implies 2B = 2 \implies B = 1$.
$B = 1$ ને સમીકરણ $ii$ માં મૂકતા: $A + 1 = 0 \implies A = -1$.
આમ,$f$ એ $A = -1$ અને $B = 1$ માટે સતત છે.

(C) વિધેય $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોય તે માટે,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ હોવું જરૂરી છે.
અહીં $x \neq 0$ માટે $f(x) = \frac{\sin [-x^2]}{[-x^2]}$ આપેલ છે.
જેમ $x \to 0$,તેમ $x^2$ એ ધન બાજુથી $0$ ની નજીક જાય છે,તેથી $-x^2$ એ ઋણ બાજુથી $0$ ની નજીક જાય છે (એટલે કે $-x^2 \in (-1, 0)$).
તેથી,મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[-x^2]$ ની કિંમત $x \to 0$ માટે $-1$ થશે.
આમ,$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin [-x^2]}{[-x^2]} = \frac{\sin(-1)}{-1} = \frac{-\sin(1)}{-1} = \sin(1)$.
કારણ કે $f(0) = \alpha$,સાતત્ય માટે $\alpha = \sin(1)$ હોવું જોઈએ.

(A) આપેલ છે કે $f(2x - 1) = f(x)$.
કોઈપણ $x$ માટે,આપણે લખી શકીએ $f(x) = f(2x - 1) = f(2(2x - 1) - 1) = f(4x - 3) = f(2^n x - (2^n - 1))$.
જેમ $n \rightarrow \infty$,તેમ $2^n x - 2^n + 1 = 2^n(x - 1) + 1$ થાય.
જો $x \neq 1$ હોય,તો $2^n(x - 1) + 1 \rightarrow \pm \infty$ થાય.
$f$ એ $x = 1$ આગળ સતત હોવાથી,આપણે $x \rightarrow 1$ તરીકે લક્ષ લઈએ. ધારો કે $x_n$ એ એક શ્રેણી છે જે $x_n \rightarrow 1$ છે. તો $f(x_n) = f(2x_n - 1)$ થાય.
સંબંધનું પુનરાવર્તન કરતા,$f(x) = f(1)$ તમામ $x$ માટે મળે છે કારણ કે શ્રેણી $x_{n+1} = \frac{x_n + 1}{2}$ એ $1$ તરફ અભિસરે છે.
$f(1) = 1$ હોવાથી,$f(x) = 1$ તમામ $x \in R$ માટે મળે છે.
આમ,$f(2) = 1$ અને $f$ એ અચળ વિધેય છે,જે દરેક જગ્યાએ સતત છે.

(A) વિધેય $f(x)$ એ $x=2$ આગળ સતત હોવા માટે,$x \to 2$ હોય ત્યારે $f(x)$ નું લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતું હોવું જોઈએ અને તે $f(2)$ જેટલું હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(2) = 2$.
આપણે લક્ષની ગણતરી કરીએ: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-(A+2)x+A}{x-2}$.
લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે,અંશ $x=2$ આગળ શૂન્ય હોવો જોઈએ કારણ કે છેદ શૂન્ય છે.
અંશમાં $x=2$ મૂકતા: $2^2 - (A+2)(2) + A = 4 - 2A - 4 + A = -A$.
$-A = 0$ લેતા,આપણને $A = 0$ મળે છે.
હવે,$A=0$ સાથે લક્ષ તપાસીએ: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-2x}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{x(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} x = 2$.
અહીં લક્ષ $2$ એ $f(2) = 2$ જેટલું હોવાથી,$A=0$ માટે વિધેય $x=2$ આગળ સતત છે.

(A) જો $f(x)$ એ $x = 2$ આગળ સતત હોય,તો $x \to 2$ માટે $f(x)$ નું લક્ષ $f(2)$ જેટલું હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $x \neq 2$ માટે $f(x) = [x] + [-x]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે,$[n] + [-n] = 0$,પરંતુ કોઈપણ અપૂર્ણાંક $x$ માટે,$[x] + [-x] = -1$.
જેમ $x \to 2$,તેમ $x$ એ $2$ ની નજીકની કિંમતો લે છે પણ $2$ નથી. $2$ ની આસપાસના વિસ્તારમાં $x$ પૂર્ણાંક ન હોવાથી,$[x] + [-x] = -1$ થાય છે.
તેથી,$\lim_{x \to 2} f(x) = -1$.
વિધેય $x = 2$ આગળ સતત હોવાથી,$f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)$ થવું જોઈએ.
આમ,$\lambda = -1$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x + |x|$ છે.
આપણે માનાંક વિધેય $|x|$ ને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ:
$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$
તેથી,વિધેય $f(x)$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$f(x) = \begin{cases} x + x, & x \geq 0 \\ x - x, & x < 0 \end{cases} = \begin{cases} 2x, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$
હવે,આપણે $x = 0$ આગળ સાતત્ય ચકાસીએ:
ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (0) = 0$
જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2x) = 2(0) = 0$
વિધેયની કિંમત: $f(0) = 2(0) = 0$
અહીં $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 0$ આગળ સતત છે.
વળી,$x > 0$ માટે $f(x) = 2x$ એ બહુપદી વિધેય છે અને $x < 0$ માટે $f(x) = 0$ એ અચળ વિધેય છે,તેથી આ વિધેય તમામ $x \in (-\infty, \infty)$ માટે સતત છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = 1$ જો $x \in \mathbb{Q}$ અને $f(x) = 0$ જો $x \notin \mathbb{Q}$.
આપેલ છે કે $g(x) = 0$ જો $x \in \mathbb{Q}$ અને $g(x) = 1$ જો $x \notin \mathbb{Q}$.
વિધેય $h(x) = f(x) + g(x)$ ધ્યાનમાં લો.
કોઈપણ $x \in [0,1]$ માટે,જો $x$ સંમેય હોય,તો $h(x) = f(x) + g(x) = 1 + 0 = 1$.
જો $x$ અસંમેય હોય,તો $h(x) = f(x) + g(x) = 0 + 1 = 1$.
આમ,$h(x) = 1$ એ તમામ $x \in [0,1]$ માટે અચળ વિધેય છે.
અચળ વિધેય તેના પ્રદેશમાં દરેક જગ્યાએ સતત અને વિકલનીય હોય છે.
તેથી,$f+g$ એ $x = \frac{2}{3}$ પર સતત છે.
કારણ કે $f$ અને $g$ એ ડિરિચલેટ-પ્રકારના વિધેયો છે,તેઓ $[0,1]$ ના દરેક બિંદુએ અસતત છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) વિધેય $f(x) = \begin{cases} g(x), & x \in \mathbb{Q} \\ h(x), & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ એ $x = a$ આગળ સતત હોય જો અને માત્ર જો $g(a) = h(a)$ હોય.
અહીં,$g(x) = \sin |x|$ અને $h(x) = 0$ છે.
સાતત્ય માટે,આપણે $\sin |x| = 0$ ની જરૂર છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $|x| = n\pi$ કોઈ પૂર્ણાંક $n$ માટે,જેનો અર્થ છે $x = n\pi$ જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
કોઈપણ બિંદુ $x = k\pi$ (જ્યાં $k \in \mathbb{Z}$) પર,$f(x) = \sin |k\pi| = 0$ થાય છે.
અન્ય કોઈપણ બિંદુ $x \neq k\pi$ માટે,$\sin |x| \neq 0$ છે,તેથી વિધેય અસતત છે કારણ કે સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાઓ માટેની કિંમતો સમાન નથી.
આમ,$f$ ફક્ત $x = k\pi$ પર જ સતત છે અને બાકીના દરેક બિંદુએ અસતત છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે,$f(x)=\frac{\tan \{\pi[x-\frac{\pi}{2}]\}}{2+[x]^{2}}$.
કારણ કે $[x-\frac{\pi}{2}]$ એ તમામ $x$ માટે એક પૂર્ણાંક છે,ધારો કે $[x-\frac{\pi}{2}] = k$,જ્યાં $k \in \mathbb{Z}$.
તેથી અંશ $\tan(\pi k)$ બને છે,જે તમામ પૂર્ણાંક $k$ માટે $0$ ની બરાબર છે.
છેદ $2+[x]^{2}$ હંમેશા $\geq 2$ છે અને ક્યારેય શૂન્ય થતો નથી,તેથી વિધેય સરળ બનીને $f(x) = \frac{0}{2+[x]^{2}} = 0$ થાય છે,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે.
અચળ વિધેય $f(x) = 0$ એ $x$ ની તમામ કિંમતો માટે સતત અને વિકલનીય છે.
તેથી,વિધેય $x$ ની તમામ કિંમતો માટે સતત છે.

(B, C) વિધેય $f(x) = \frac{x^3}{4} - \sin(\pi x) + 3$ એ અંતરાલ $[-2, 2]$ પર સતત છે.
અંતિમ બિંદુઓ પર કિંમત શોધતા:
$f(-2) = \frac{(-2)^3}{4} - \sin(-2\pi) + 3 = \frac{-8}{4} - 0 + 3 = -2 + 3 = 1$.
$f(2) = \frac{2^3}{4} - \sin(2\pi) + 3 = \frac{8}{4} - 0 + 3 = 2 + 3 = 5$.
મધ્યવર્તી મૂલ્ય પ્રમેય (Intermediate Value Theorem) મુજબ,$f(x)$ એ $[-2, 2]$ પર સતત હોવાથી,તે $[f(-2), f(2)]$ એટલે કે $[1, 5]$ અંતરાલની દરેક કિંમત પ્રાપ્ત કરશે.
કારણ કે $2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \approx 2.33$ અને $3 \frac{1}{4} = 3.25$ બંને $[1, 5]$ અંતરાલની અંદર આવે છે,તેથી વિધેય $f(x)$ આ બંને કિંમતો પ્રાપ્ત કરે છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ અને $C$ બંને સાચા છે.

(C, D) અંતરાલ $x \in [-1, 1]$ પર વિધેય $f(x) = x^3$ આપેલ છે.
$1$. અંતિમ બિંદુઓ માટે ચકાસણી: $f'(x) = 3x^2$. $f'(x) = 0$ લેતા $x = 0$ મળે છે. કારણ કે $x \in [-1, 1]$ માટે $f'(x) \ge 0$ છે,તેથી વિધેય ચુસ્ત વધતું વિધેય છે. આમ,$x = 0$ આગળ કોઈ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કે મહત્તમ મૂલ્ય નથી. નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ મૂલ્ય $x = -1$ આગળ $(f(-1) = -1)$ અને નિરપેક્ષ મહત્તમ મૂલ્ય $x = 1$ આગળ $(f(1) = 1)$ મળે છે. તેથી,વિકલ્પો $A$ અને $B$ ખોટા છે.
$2$. સાતત્ય: વિધેય $f(x) = x^3$ એ બહુપદી વિધેય છે,જે તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સતત છે,જેમાં $[-1, 1]$ અંતરાલનો પણ સમાવેશ થાય છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
$3$. સીમિતતા: વિધેય $f(x)$ એ સંવૃત અંતરાલ $[-1, 1]$ પર સતત હોવાથી,'એક્સટ્રીમ વેલ્યુ થિયરમ' મુજબ તે સીમિત છે. ખાસ કરીને,તમામ $x \in [-1, 1]$ માટે $-1 \le f(x) \le 1$ થાય છે. તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.
આમ,સાચા વિધાનો $C$ અને $D$ છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = x^2 + x \sin x - \cos x$.
આપણે વિકલન શોધીએ: $f'(x) = 2x + (\sin x + x \cos x) + \sin x = 2x + 2 \sin x + x \cos x = x(2 + \cos x) + 2 \sin x$.
$x > 0$ માટે,$f(0) = -1$ છે.
જેમ $x \to \infty$,તેમ $f(x) \to \infty$. $f(0) = -1 < 0$ હોવાથી અને $f(x)$ સતત હોવાથી,ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,$(0, \infty)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
તે જ રીતે,જેમ $x \to -\infty$,તેમ $f(x) \to \infty$. $f(0) = -1 < 0$ હોવાથી,$(-\infty, 0)$ માં પણ ઓછામાં ઓછું એક બીજ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
આમ,$f(x) = 0$ ને ઓછામાં ઓછા બે વાસ્તવિક બીજ છે,જેનો અર્થ છે કે તેને ઓછામાં ઓછું એક વાસ્તવિક બીજ છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cos \pi x - x^{(2/\theta)} \sin(x-1)}{1 + x^{(2/\theta)}(x-1)}$.
કિસ્સો $1$: $|x| < 1$. જેમ $\theta \rightarrow 0$,તેમ $x^{(2/\theta)} \rightarrow 0$. તેથી,$f(x) = \cos \pi x$.
કિસ્સો $2$: $|x| > 1$. જેમ $\theta \rightarrow 0$,તેમ $x^{(2/\theta)} \rightarrow \infty$. અંશ અને છેદને $x^{(2/\theta)}$ વડે ભાગતા,આપણને $f(x) = \frac{-\sin(x-1)}{x-1}$ મળે છે.
$x=1$ આગળ: $LHL = \lim_{x \rightarrow 1^-} \cos \pi x = -1$. $RHL = \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{-\sin(x-1)}{x-1} = -1$. $LHL = RHL = f(1) = -1$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x=1$ આગળ સતત છે. વિધાન $(I)$ ખોટું છે.
$x=-1$ આગળ: $LHL = \lim_{x \rightarrow -1^-} \frac{-\sin(x-1)}{x-1} = \frac{-\sin(-2)}{-2} = \frac{-\sin 2}{2}$. $RHL = \lim_{x \rightarrow -1^+} \cos \pi x = \cos(-\pi) = -1$. $LHL \neq RHL$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x=-1$ આગળ અસતત છે. વિધાન $(II)$ ખોટું છે.
તેથી,ન તો $(I)$ કે ન તો $(II)$ સાચું છે.

(A) વિધેય $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ થવું જોઈએ.
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\tan x} - e^x + \ln(\sec x + \tan x) - x}{\tan x - x}$.
$x=0$ ની નજીક ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા:
$e^{\tan x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{2x^3}{3} + O(x^4)$.
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$.
$\ln(\sec x + \tan x) = x + \frac{x^3}{6} + O(x^5)$.
અંશમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$N = (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{2x^3}{3}) - (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}) + (x + \frac{x^3}{6}) - x = \frac{2x^3}{3} + O(x^4)$.
છેદ $\tan x - x = \frac{x^3}{3} + O(x^5)$ છે.
તેથી,$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2x^3}{3}}{\frac{x^3}{3}} = 2$.

(C) વિધેય $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x)$ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(0) = a$.
$x > 0$ માટે,$f(x) = \frac{\sin x - \frac{1}{2} \sin 2x}{x^3} = \frac{\sin x(1 - \cos x)}{x^3} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{2 \sin^2(x/2)}{x^2} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$a = \frac{1}{2}$.
$x < 0$ માટે,$f(x) = b^2 \sin \left(\frac{\pi}{2} \left[\frac{\pi}{2}(\cos x + \sin x) \cos x\right]\right)$. જ્યારે $x \to 0^-$,ત્યારે $\cos x \to 1$ અને $\sin x \to 0$. મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયની અંદરની કિંમત $\frac{\pi}{2}(1 + 0)(1) = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$ થાય છે. તેથી,$[\frac{\pi}{2}(\cos x + \sin x) \cos x] = 1$.
આમ,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = b^2 \sin(\frac{\pi}{2} \cdot 1) = b^2$.
સીમાઓને સરખાવતા,$b^2 = \frac{1}{2}$.
તેથી,$a^2 + b^2 = (\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$.

(C) વિધેય $g(x) = |x|[x^2]$ ત્યાં અસતત છે જ્યાં $[x^2]$ અસતત હોય,શરત એ છે કે $|x| \neq 0$.
$[x^2]$ એ $x^2 \in \mathbb{Z}$ માટે અસતત છે.
$x \in (-2, 2)$ માટે,$x^2 \in [0, 4)$.
$[0, 4)$ માં પૂર્ણાંકો $0, 1, 2, 3$ છે.
તેથી,$x^2 = 1, 2, 3$ લેતા $x = \pm 1, \pm \sqrt{2}, \pm \sqrt{3}$ મળે છે.
$x=0$ આગળ,$g(x) = |x|[x^2] = 0 \cdot [0] = 0$,અને $\lim_{x \to 0} |x|[x^2] = 0$,તેથી $g(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત છે.
આમ,$S = \{-1, 1, -\sqrt{2}, \sqrt{2}, -\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$.
હવે,$f(x) = \min \{\sqrt{2}x, x^2\}$.
$f(-1) = \min \{-\sqrt{2}, 1\} = -\sqrt{2}$.
$f(1) = \min \{\sqrt{2}, 1\} = 1$.
$f(-\sqrt{2}) = \min \{-2, 2\} = -2$.
$f(\sqrt{2}) = \min \{2, 2\} = 2$.
$f(-\sqrt{3}) = \min \{-\sqrt{6}, 3\} = -\sqrt{6}$.
$f(\sqrt{3}) = \min \{\sqrt{6}, 3\} = \sqrt{6}$.
આ કિંમતોનો સરવાળો: $\sum_{x \in S} f(x) = -\sqrt{2} + 1 - 2 + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{6} = 1 - \sqrt{2}$.

(B) $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = b$ થવું જોઈએ.
પ્રથમ,જમણી બાજુનું લક્ષ $(x > 0)$ ધ્યાનમાં લો:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{ax + x^2 - 2\sin x \cos x}{x} = \lim_{x \to 0^+} \left( a + x - \frac{\sin(2x)}{x} \right) = a + 0 - 2 = a - 2$.
હવે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(x < 0)$ ધ્યાનમાં લો:
ધારો કે $x = -h$ જ્યાં $h > 0$. જેમ $x \to 0^-$,તેમ $h \to 0^+$.
$\lim_{h \to 0^+} \frac{a|-h| + (-h)^2 - 2\sin|-h|\cos|-h|}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{ah + h^2 - 2\sin h \cos h}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \left( -a - h + \frac{\sin(2h)}{h} \right) = -a - 0 + 2 = -a + 2$.
સાતત્ય માટે,$a - 2 = -a + 2 = b$.
$a - 2 = -a + 2$ પરથી,$2a = 4$,તેથી $a = 2$.
$b = a - 2$ માં $a = 2$ મૂકતા,$b = 2 - 2 = 0$ મળે.
તેથી,$a + b = 2 + 0 = 2$.

(B) $f(x)$ એ $x = -\frac{3}{2}$ પર સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to -\frac{3}{2}} f(x)$ નું અસ્તિત્વ હોવું જોઈએ અને તે $f(-\frac{3}{2}) = b$ બરાબર હોવું જોઈએ.
છેદ $(2x-1)(2x+3)$ એ $x \to -\frac{3}{2}$ માટે $0$ થાય છે,તેથી અંશ $ax^2 + 2ax + 3$ પણ $0$ થવો જોઈએ.
$a(-\frac{3}{2})^2 + 2a(-\frac{3}{2}) + 3 = 0$ $\Rightarrow \frac{9a}{4} - 3a + 3 = 0$ $\Rightarrow -\frac{3a}{4} = -3$ $\Rightarrow a = 4$.
$a=4$ મૂકતા,$f(x) = \frac{4x^2+8x+3}{(2x-1)(2x+3)} = \frac{(2x+1)(2x+3)}{(2x-1)(2x+3)} = \frac{2x+1}{2x-1}$ જ્યાં $x \neq -\frac{3}{2}, \frac{1}{2}$.
હવે,$f(f(x)) = f\left(\frac{2x+1}{2x-1}\right) = \frac{2(\frac{2x+1}{2x-1}) + 1}{2(\frac{2x+1}{2x-1}) - 1} = \frac{4x+2+2x-1}{4x+2-2x+1} = \frac{6x+1}{2x+3}$.
આપેલ છે કે $f(f(x)) = \frac{7}{5}$,તેથી $\frac{6x+1}{2x+3} = \frac{7}{5}$.
$5(6x+1) = 7(2x+3)$ $\Rightarrow 30x + 5 = 14x + 21$ $\Rightarrow 16x = 16$ $\Rightarrow x = 1$.

(B) $f(x)$ એ $x=2$ આગળ સતત હોવા માટે,શરત $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = k$ સંતોષાવી જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે અંશ $x^3+x^2-16x+20$ ના અવયવો પાડીએ. $x=2$ એ તેનું શૂન્ય છે (કારણ કે $2^3+2^2-16(2)+20 = 8+4-32+20 = 0$),તેથી આપણે $(x-2)$ વડે ભાગાકાર કરીએ:
$x^3+x^2-16x+20 = (x-2)(x^2+3x-10)$.
દ્વિઘાત પદના વધુ અવયવો પાડતા:
$(x^2+3x-10) = (x-2)(x+5)$.
તેથી,$x^3+x^2-16x+20 = (x-2)^2(x+5)$.
$x \neq 2$ માટે,$f(x) = \frac{(x-2)^2(x+5)}{(x-2)^2} = x+5$.
હવે,લક્ષની ગણતરી કરતા: $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x+5) = 2+5 = 7$.
વિધેય $x=2$ આગળ સતત હોવાથી,$k = 7$ મળે.

(C) કોઈ વિધેય $f(x)$ બિંદુ $x = a$ આગળ સતત હોય તે માટે ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ અને વિધેયનું તે બિંદુ આગળનું મૂલ્ય સમાન હોવા જોઈએ.
અહીં,$a = \pi$ છે.
$LHL$: $\lim_{x \to \pi^-} f(x) = \lim_{x \to \pi^-} (kx + 1) = k\pi + 1$.
$RHL$: $\lim_{x \to \pi^+} f(x) = \lim_{x \to \pi^+} (\cos x) = \cos(\pi) = -1$.
વિધેય $x = \pi$ આગળ સતત હોવાથી,$LHL$ = $RHL$ થાય.
તેથી,$k\pi + 1 = -1$.
$k\pi = -2$.
$k = -\frac{2}{\pi}$.

(A) સૌ પ્રથમ,$x=0$ આગળ $f(x)$ ની સાતત્યતા તપાસો.
$f(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (x^3+8) = 8$.
$f(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (x^2-4) = -4$.
$f(0^-) \neq f(0^+)$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x=0$ આગળ અસતત છે.
હવે,સંયોજિત વિધેય $g(f(x))$ ધ્યાનમાં લો.
$x=0$ આગળ,ડાબી બાજુની લક્ષ કિંમત $g(f(0^-)) = g(8)$ છે. $8 \ge 0$ હોવાથી,$g(8) = (8+4)^{1/2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
જમણી બાજુની લક્ષ કિંમત $g(f(0^+)) = g(-4)$ છે. $-4 < 0$ હોવાથી,$g(-4) = (-4-8)^{1/3} = (-12)^{1/3} = -\sqrt[3]{12}$.
$g(f(0^-)) \neq g(f(0^+))$ હોવાથી,$g(f(x))$ એ $x=0$ આગળ અસતત છે.
આગળ,એવા બિંદુઓ તપાસો જ્યાં $f(x)$ એવી કિંમતો લે છે જે $g(f(x))$ ને અસતત બનાવે. $g(u)$ તેના પ્રદેશમાં તમામ $u$ માટે સતત છે.
આપણે તપાસીએ છીએ કે શું $f(x)$ એ સીમા $u=0$ ને ઓળંગે છે જ્યાં $g(u)$ તેની વ્યાખ્યા બદલે છે.
$x < 0$ માટે,$f(x) = x^3+8 = 0 \implies x = -2$. $x=-2$ આગળ,$f(-2)=0$. $g(f(-2)) = g(0) = (0+4)^{1/2} = 2$. લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તે સતત છે.
$x \ge 0$ માટે,$f(x) = x^2-4 = 0 \implies x = 2$. $x=2$ આગળ,$f(2)=0$. $g(f(2)) = g(0) = 2$. લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તે સતત છે.
આમ,અસતતતાનું એકમાત્ર બિંદુ $x=0$ છે. બિંદુઓની સંખ્યા $1$ છે.

(D) ધારો કે $g(x) = x^2 - x - 0.5$. વિધેય $f(x) = [g(x)]$ એવા બિંદુઓ આગળ અસતત હોય છે જ્યાં $g(x)$ પૂર્ણાંક કિંમત ધારણ કરે છે.
આપણે અંતરાલ $[2, 4]$ માં એવા બિંદુઓ $x$ શોધવાના છે કે જેથી $g(x) = k$ થાય,જ્યાં $k$ પૂર્ણાંક છે.
પ્રથમ,અંતરાલ $[2, 4]$ પર $g(x)$ નો વિસ્તાર શોધીએ.
$g(2) = 2^2 - 2 - 0.5 = 1.5$.
$g(4) = 4^2 - 4 - 0.5 = 11.5$.
$g'(x) = 2x - 1$ હોવાથી,$x \in [2, 4]$ માટે $g'(x) > 0$ થાય,તેથી $g(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
જેમ $x$ એ $2$ થી $4$ સુધી બદલાય છે,તેમ $g(x)$ એ $[1.5, 11.5]$ અંતરાલની તમામ કિંમતો ધારણ કરે છે.
આ અંતરાલમાં $g(x)$ જે પૂર્ણાંક કિંમતો $k$ ધારણ કરે છે તે $k \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ છે.
દરેક પૂર્ણાંક $k$ માટે,અંતરાલ $[2, 4]$ માં બરાબર એક $x$ એવું મળે કે જેથી $g(x) = k$ થાય,કારણ કે $g(x)$ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
આવા પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $11 - 2 + 1 = 10$ છે.
આમ,અંતરાલ $[2, 4]$ માં અસતત બિંદુઓની સંખ્યા $10$ છે.