Maxima and Minima Questions in Hindi

(D) दिया गया है $f(x) = 3^{(x^2-2)^3+4} = 81 \cdot 3^{(x^2-2)^3}$.
प्रथम अवकलज: $f'(x) = 81 \cdot 3^{(x^2-2)^3} \cdot \ln 3 \cdot 3(x^2-2)^2 \cdot 2x = (486 \ln 3) \cdot 3^{(x^2-2)^3} \cdot x(x^2-2)^2$.
$P$ के लिए: $x=0$ और $x=\pm \sqrt{2}$ पर $f'(x) = 0$ है। $x=0$ के निकट,$x(x^2-2)^2$ का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए $x=0$ स्थानीय निम्निष्ठ का बिंदु है। अतः,$P$ सत्य है।
$Q$ के लिए: $x=\sqrt{2}$ पर $f''(x) = 0$ है। चूँकि $x=\sqrt{2}$ पर $f''(x)$ का चिह्न बदलता है (क्योंकि $(x^2-2)$ एक गुणनखंड है),इसलिए $x=\sqrt{2}$ नति परिवर्तन बिंदु है। अतः,$Q$ सत्य है।
$R$ के लिए: $x > \sqrt{2}$ के लिए,$f'(x) > 0$ है। $f''(x)$ का विश्लेषण करने पर,$x > \sqrt{2}$ के लिए $f''(x) > 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $f'(x)$ वर्धमान है। अतः,$R$ सत्य है।
इसलिए,सभी कथन $P, Q$ और $R$ सत्य हैं।

(B) अंतराल $[1, 2]$ पर दिया गया फलन $f(x) = e^x + x \ln x$ है।
सबसे पहले,हम फलन का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x + x \ln x) = e^x + (1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = e^x + \ln x + 1$.
$x \in [1, 2]$ के लिए,हम देखते हैं कि $e^x > 0$,$\ln x \geq 0$,और $1 > 0$ है। अतः,सभी $x \in [1, 2]$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
चूंकि अवकलज $f'(x)$ अंतराल पर हमेशा धनात्मक है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $[1, 2]$ पर निरंतर वर्धमान है।
इसलिए,अधिकतम मान अंतराल के दाहिने अंतिम बिंदु $x = 2$ पर प्राप्त होता है।
$f(2)$ की गणना करने पर:
$f(2) = e^2 + 2 \ln 2$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) वक्र $y_1 = x^2-4$ और $y_2 = \frac{4-x^2}{2}$ हैं।
माना आयत के शीर्ष ऊपरी वक्र पर $C(h, y_2)$ और $D(-h, y_2)$ हैं,और निचले वक्र पर $B(h, y_1)$ और $A(-h, y_1)$ हैं,जहाँ $h > 0$ है।
आयत की चौड़ाई $2h$ है और ऊँचाई $y_2 - y_1 = \frac{4-x^2}{2} - (x^2-4) = 6 - \frac{3x^2}{2}$ है।
$x$ के स्थान पर $h$ रखने पर,क्षेत्रफल $A(h) = 2h \times (6 - \frac{3h^2}{2}) = 12h - 3h^3$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$h$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dA}{dh} = 12 - 9h^2$ प्राप्त होता है।
$\frac{dA}{dh} = 0$ रखने पर,$9h^2 = 12$,अतः $h^2 = \frac{4}{3}$,जिसका अर्थ है $h = \frac{2}{\sqrt{3}}$।
अधिकतम क्षेत्रफल $A = 12(\frac{2}{\sqrt{3}}) - 3(\frac{2}{\sqrt{3}})^3 = \frac{24}{\sqrt{3}} - \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ है।
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,$A \approx \frac{16 \times 1.732}{3} \approx 9.237$ प्राप्त होता है।
$9.237$ के सबसे निकटतम पूर्णांक $9$ है।

(B) माना धात्विक डिस्क की त्रिज्या $R$ है। जब एक त्रिज्यखंड को हटा दिया जाता है और शेष भाग को मोड़कर एक शंकु बनाया जाता है,तो डिस्क की त्रिज्या $R$ शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ बन जाती है।
माना शंकु के आधार की त्रिज्या $x$ है और इसकी ऊँचाई $h$ है।
हमारे पास संबंध $R^2 = x^2 + h^2$ है,जहाँ $R = l$ है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi x^2 h = 2 \sqrt{3} \pi$ दिया गया है।
अतः,$x^2 h = 6 \sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $x^2 = \frac{6 \sqrt{3}}{h}$।
इस मान को $R^2$ के व्यंजक में रखने पर:
$R^2 = \frac{6 \sqrt{3}}{h} + h^2$।
न्यूनतम व्यास ज्ञात करने के लिए,हम $h$ के सापेक्ष $R^2$ का न्यूनीकरण करते हैं:
$\frac{d(R^2)}{dh} = -\frac{6 \sqrt{3}}{h^2} + 2h$।
$\frac{d(R^2)}{dh} = 0$ रखने पर,हमें $2h = \frac{6 \sqrt{3}}{h^2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $h^3 = 3 \sqrt{3}$।
इससे $h = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
तब $x^2 = \frac{6 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$।
अतः,$R^2 = 6 + (\sqrt{3})^2 = 6 + 3 = 9$,जिससे $R = 3$ प्राप्त होता है।
डिस्क का व्यास $2R = 2 \times 3 = 6$ है।

(A) माना $r$ सामान्य त्रिज्या है और $h$ बेलन की ऊँचाई है।
ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$,अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(2\pi r^2)$,बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(2\pi rh)$ और बेलन के आधार का क्षेत्रफल $(\pi r^2)$ का योग है।
$S = 2\pi r^2 + 2\pi rh + \pi r^2 = 3\pi r^2 + 2\pi rh$
इससे,हम $h$ को $S$ और $r$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$h = \frac{S - 3\pi r^2}{2\pi r}$
ठोस का आयतन $V$,अर्धगोले का आयतन $(\frac{2}{3}\pi r^3)$ और बेलन का आयतन $(\pi r^2 h)$ का योग है:
$V = \pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3$
$h$ का मान रखने पर:
$V = \pi r^2 \left( \frac{S - 3\pi r^2}{2\pi r} \right) + \frac{2}{3}\pi r^3$
$V = \frac{1}{2} (Sr - 3\pi r^3) + \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{1}{2} Sr - \frac{3}{2}\pi r^3 + \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{1}{2} Sr - \frac{5}{6}\pi r^3$
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,$V$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करें और इसे $0$ के बराबर रखें:
$\frac{dV}{dr} = \frac{S}{2} - \frac{5}{2}\pi r^2 = 0$
$S = 5\pi r^2$
अब,$S = 5\pi r^2$ को $h$ के सूत्र में रखने पर:
$h = \frac{5\pi r^2 - 3\pi r^2}{2\pi r} = \frac{2\pi r^2}{2\pi r} = r$
अतः,बेलन की ऊँचाई और सामान्य त्रिज्या का अनुपात $h:r = 1:1$ है।

(D) मान लीजिए कि त्रिज्यखंड की त्रिज्या $r$ है और केंद्र पर त्रिज्याओं द्वारा अंतरित कोण $\theta$ (रेडियन में) है।
चाप की लंबाई $l = r\theta$ है।
त्रिज्यखंड की परिधि $P = 2r + l = 2r + r\theta = r(2 + \theta)$ है।
इससे,हम त्रिज्या को $r = \frac{P}{2 + \theta}$ के रूप में लिख सकते हैं।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ है।
$P$ और $\theta$ के पदों में $r$ का मान रखने पर:
$A = \frac{1}{2} \left(\frac{P}{2 + \theta}\right)^2 \theta = \frac{P^2}{2} \cdot \frac{\theta}{(2 + \theta)^2}$.
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $\theta$ के सापेक्ष $A$ का अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dA}{d\theta} = \frac{P^2}{2} \cdot \frac{(2 + \theta)^2(1) - \theta(2)(2 + \theta)}{(2 + \theta)^4} = 0$.
इसे सरल करने पर:
$(2 + \theta)^2 - 2\theta(2 + \theta) = 0$.
$(2 + \theta)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$(2 + \theta)(2 + \theta - 2\theta) = 0$.
$(2 + \theta)(2 - \theta) = 0$.
चूंकि $\theta > 0$,इसलिए $\theta = 2$ रेडियन प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल के लिए केंद्र पर बना कोण $2$ रेडियन है।

(D) दिया गया है $f(x) = \alpha x^2 - 2 + \frac{1}{x} = \frac{\alpha x^3 - 2x + 1}{x}$.
सभी $x > 0$ के लिए $f(x) \geq 0$ होने के लिए,$g(x) = \alpha x^3 - 2x + 1 \geq 0$ होना चाहिए।
$g(x)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$g'(x) = 3\alpha x^2 - 2$ प्राप्त करते हैं।
$g'(x) = 0$ रखने पर,$x^2 = \frac{2}{3\alpha}$,इसलिए $x = \sqrt{\frac{2}{3\alpha}}$ (चूंकि $x > 0$ है)।
द्वितीय अवकलज $g''(x) = 6\alpha x > 0$ है,जो पुष्टि करता है कि यह बिंदु न्यूनतम है।
$x = \sqrt{\frac{2}{3\alpha}}$ को $g(x)$ में रखने पर:
$g\left(\sqrt{\frac{2}{3\alpha}}\right) = \alpha \left(\frac{2}{3\alpha}\right) \sqrt{\frac{2}{3\alpha}} - 2\sqrt{\frac{2}{3\alpha}} + 1 \geq 0$.
$\sqrt{\frac{2}{3\alpha}} \left( \frac{2}{3} - 2 \right) + 1 \geq 0$.
$1 - \frac{4}{3} \sqrt{\frac{2}{3\alpha}} \geq 0 \Rightarrow 1 \geq \frac{4}{3} \sqrt{\frac{2}{3\alpha}}$.
$\frac{3}{4} \geq \sqrt{\frac{2}{3\alpha}} \Rightarrow \frac{9}{16} \geq \frac{2}{3\alpha}$.
$27\alpha \geq 32 \Rightarrow \alpha \geq \frac{32}{27} = \frac{2^5}{3^3}$.
अतः,न्यूनतम मान $\frac{2^5}{3^3}$ है।

(C) माना $f(x) = 3x^3 - 25x + n$.
त्रिघात समीकरण के तीन वास्तविक मूल होने के लिए,स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम मानों के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
$f'(x) = 9x^2 - 25$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$x^2 = \frac{25}{9}$,अतः $x = \pm \frac{5}{3}$.
$x_1 = -\frac{5}{3}$ और $x_2 = \frac{5}{3}$ लेने पर.
$f(x_1) = n + \frac{250}{9}$ और $f(x_2) = n - \frac{250}{9}$.
तीन वास्तविक मूलों के लिए,$f(x_1) \cdot f(x_2) < 0$,अतः $(n + \frac{250}{9})(n - \frac{250}{9}) < 0$.
इसका अर्थ है $-\frac{250}{9} < n < \frac{250}{9}$.
चूंकि $\frac{250}{9} \approx 27.77$,इसलिए $n$ का मान $-27$ से $27$ तक है।
ऐसे पूर्णांकों की कुल संख्या $27 - (-27) + 1 = 55$ है।

(A) हमारे पास $f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}$ है।
ध्यान दें कि $f'(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} = f(x) - \frac{x^4}{4!}$ है।
साथ ही,$f''(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} = \frac{1}{2}(x+1)^2 + \frac{1}{2} > 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए।
चूंकि $f''(x) > 0$,$f'(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
जैसे $x \to -\infty$,$f'(x) \to -\infty$ और जैसे $x \to \infty$,$f'(x) \to \infty$। अतः,$f'(x) = 0$ का केवल एक वास्तविक मूल $x_0$ है।
चूंकि $f'(x)$ वर्धमान है,$f(x)$ का $x = x_0$ पर वैश्विक न्यूनतम मान है।
हम देखते हैं कि $f'(-2) = -0.33 < 0$ और $f'(-1) = 0.33 > 0$ है। अतः $x_0 \in (-2, -1)$ है।
न्यूनतम बिंदु $x_0$ पर,$f(x_0) = 1 + x_0 + \frac{x_0^2}{2} + \frac{x_0^3}{6} + \frac{x_0^4}{24}$ है।
चूंकि $f'(x_0) = 0$,इसलिए $1 + x_0 + \frac{x_0^2}{2} + \frac{x_0^3}{6} = 0$ है।
अतः $f(x_0) = 0 + \frac{x_0^4}{24} = \frac{x_0^4}{24}$ है।
चूंकि $x_0 \neq 0$,इसलिए $f(x_0) = \frac{x_0^4}{24} > 0$ है।
चूंकि $f(x)$ का वैश्विक न्यूनतम मान धनात्मक है,इसलिए $f(x) = 0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(B) माना $f(x) = 3^x + 5^x - (3^x)^2 + (3^x)(5^x) - (5^x)^2$.
माना $a = 3^x$ और $b = 5^x$,जहाँ $a, b > 0$.
तब $f(x) = a + b - a^2 + ab - b^2$.
इसे $f(x) = a + b - (a^2 - ab + b^2)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x=0$ रखने पर,$f(0) = 3^0 + 5^0 - 9^0 + 15^0 - 25^0 = 1 + 1 - 1 + 1 - 1 = 1$.
अतः,अधिकतम मान $M = 1$ प्राप्त होता है,जो $0 < M < 2$ की शर्त को संतुष्ट करता है।

(B) वक्र $y=e^x$ और $y=\log_e x$ एक-दूसरे के प्रतिलोम फलन हैं,जिसका अर्थ है कि वे रेखा $y=x$ के सापेक्ष सममित हैं।
माना $A$,$y=e^x$ पर एक बिंदु है जिसके निर्देशांक $(h, e^h)$ हैं। बिंदु $A$ से रेखा $y=x$ (या $x-y=0$) की दूरी $AB = \frac{|h-e^h|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|h-e^h|}{\sqrt{2}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि वक्र $y=x$ के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए दोनों वक्रों के बीच की न्यूनतम दूरी $AC = 2AB$ होगी,जहाँ $B$,रेखा $y=x$ पर $A$ का प्रक्षेप है।
$AB$ को न्यूनतम करने के लिए,हम $f(h) = e^h - h$ को न्यूनतम करते हैं (क्योंकि सभी $h$ के लिए $e^h > h$ है)।
$f'(h) = e^h - 1$। $f'(h) = 0$ रखने पर $e^h = 1$ प्राप्त होता है,अतः $h=0$ है।
$h=0$ पर,न्यूनतम दूरी $AB = \frac{|0-e^0|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,वक्रों के बीच की न्यूनतम दूरी $AC = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$.
चूँकि $f(2) = 0$,हमारे पास $8 + 4a + 2b + c = 0$ ... $(i)$ है।
अवकलन करने पर $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(x)$ के क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = -\frac{1}{3}$ पर हैं,$f'(1) = 0$ और $f'(-\frac{1}{3}) = 0$ होगा।
$f'(1) = 3 + 2a + b = 0$ ... (ii).
$f'(-\frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{3})^2 + 2a(-\frac{1}{3}) + b = \frac{1}{3} - \frac{2a}{3} + b = 0$,जिसका अर्थ है $1 - 2a + 3b = 0$ ... (iii).
(ii) और (iii) को हल करने पर: $b = -2a - 3$. (iii) में रखने पर: $1 - 2a + 3(-2a - 3) = 0 \Rightarrow 1 - 2a - 6a - 9 = 0 \Rightarrow -8a = 8 \Rightarrow a = -1$.
तब $b = -2(-1) - 3 = -1$.
$(i)$ से,$8 + 4(-1) + 2(-1) + c = 0 \Rightarrow 8 - 4 - 2 + c = 0 \Rightarrow c = -2$.
अतः,$f(x) = x^3 - x^2 - x - 2$.
हमें $\int_{-1}^1 (x^3 - x^2 - x - 2) dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूँकि $x^3$ और $-x$ विषम फलन हैं,$[-1, 1]$ पर उनका समाकलन $0$ होता है।
इसलिए,$\int_{-1}^1 f(x) dx = \int_{-1}^1 (-x^2 - 2) dx = -2 \int_0^1 (x^2 + 2) dx$.
$= -2 [\frac{x^3}{3} + 2x]_0^1 = -2 (\frac{1}{3} + 2) = -2 (\frac{7}{3}) = -\frac{14}{3}$.

(C) $f'(x)$ के दिए गए ग्राफ से,हम देखते हैं कि जिन बिंदुओं पर $f'(x) = 0$ है,वे $x=a, b, c$ हैं।
$1$. $x=a$ पर: अवकलज $f'(x)$ का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदल जाता है (जैसे ही यह x-अक्ष को नीचे से ऊपर की ओर पार करता है)। अतः,$f(x)$ का $x=a$ पर स्थानीय निम्नतम मान है।
$2$. $x=b$ पर: अवकलज $f'(x)$ का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में बदल जाता है (जैसे ही यह x-अक्ष को ऊपर से नीचे की ओर पार करता है)। अतः,$f(x)$ का $x=b$ पर स्थानीय उच्चतम मान है।
$3$. $x=c$ पर: अवकलज $f'(x)$ का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदल जाता है (जैसे ही यह x-अक्ष को नीचे से ऊपर की ओर पार करता है)। अतः,$f(x)$ का $x=c$ पर स्थानीय निम्नतम मान है।
अतः,$f(x)$ का $x=a, c$ पर स्थानीय निम्नतम और $x=b$ पर स्थानीय उच्चतम मान है। सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है कि $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$g'(x) = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2}$.
$f(x)$ के दिए गए ग्राफ से,हम देखते हैं कि $f(x)$ एक अवतल (concave downward) फलन है जिसका अधिकतम मान $x=c$ पर है,जहाँ $a < c < b$ है। अतः,$f'(c) = 0$.
$x=c$ पर,$g'(c) = \frac{c f'(c) - f(c)}{c^2} = \frac{c(0) - f(c)}{c^2} = -\frac{f(c)}{c^2}$.
चूँकि $f(c) > 0$ और $c > 0$ है (क्योंकि अंतराल में $0$ शामिल नहीं है),इसलिए $g'(c) < 0$.
यह दर्शाता है कि फलन $g(x)$,$x=c$ पर ह्रासमान (decreasing) है। दिए गए विकल्पों को देखने पर,आकृति $2$ एक ऐसा वक्र दर्शाती है जो अवतल है और $f(x) > 0$ तथा $x > 0$ के लिए $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ के व्यवहार के अनुरूप है। अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(C) मान लीजिए दिए गए शंकु $V_1$ की ऊँचाई $H$ और त्रिज्या $R$ है। इसका आयतन $V_1 = \frac{1}{3} \pi R^2 H$ है।
मान लीजिए अंकित शंकु $V_2$ की ऊँचाई $h$ और त्रिज्या $r$ है। इस शंकु का शीर्ष $O$ पर है और इसका आधार $O$ से $h$ दूरी पर है। अंकित शंकु के आधार की शीर्ष $A$ से ऊँचाई $H-h$ है।
समरूप त्रिभुजों द्वारा,$\frac{r}{R} = \frac{H-h}{H} = 1 - \frac{h}{H}$ है।
अतः,$\frac{h}{H} = 1 - \frac{r}{R} \Rightarrow h = H(1 - \frac{r}{R})$ है।
अंकित शंकु का आयतन $V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 H(1 - \frac{r}{R}) = \frac{\pi H}{3} (r^2 - \frac{r^3}{R})$ है।
$V_2$ को अधिकतम करने के लिए,हम $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dV_2}{dr} = \frac{\pi H}{3} (2r - \frac{3r^2}{R}) = 0$ है।
इससे $r(2 - \frac{3r}{R}) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $r \neq 0$,हमें $r = \frac{2R}{3}$ प्राप्त होता है।
$r = \frac{2R}{3}$ को $h$ के समीकरण में रखने पर: $h = H(1 - \frac{2R/3}{R}) = H(1 - \frac{2}{3}) = \frac{H}{3}$ है।
अब,$V_2 = \frac{1}{3} \pi (\frac{2R}{3})^2 (\frac{H}{3}) = \frac{1}{3} \pi (\frac{4R^2}{9}) (\frac{H}{3}) = \frac{4}{27} (\frac{1}{3} \pi R^2 H) = \frac{4}{27} V_1$ है।
अतः,अनुपात $\frac{V_2}{V_1} = \frac{4}{27}$ है।

(C) माना समांतर भुजाएँ $a = 30$ और $b = 30 + 2(30 \cos \theta) = 30 + 60 \cos \theta$ हैं। समलंब चतुर्भुज की ऊँचाई $h = 30 \sin \theta$ है।
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \frac{1}{2}(a + b)h = \frac{1}{2}(30 + 30 + 60 \cos \theta)(30 \sin \theta)$
$A = \frac{1}{2}(60 + 60 \cos \theta)(30 \sin \theta) = 900(1 + \cos \theta) \sin \theta = 900(\sin \theta + \sin \theta \cos \theta) = 900(\sin \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta)$.
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करें और $0$ के बराबर रखें:
$\frac{dA}{d\theta} = 900(\cos \theta + \cos 2\theta) = 0$.
चूँकि $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$,हमें प्राप्त होता है:
$2 \cos^2 \theta + \cos \theta - 1 = 0$.
$(2 \cos \theta - 1)(\cos \theta + 1) = 0$.
इससे $\cos \theta = \frac{1}{2}$ या $\cos \theta = -1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\theta$ एक त्रिभुज का कोण है,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$ (चूँकि $\theta = \pi$ संभव नहीं है)।
अतः,सबसे छोटा कोण $\frac{\pi}{3}$ है।

(A) $x \leq 0$ के लिए,$f(x) = \int \limits_0^2 e^{t-x} dt = e^{-x}(e^2-1)$.
$0 < x < 2$ के लिए,$f(x) = \int \limits_0^x e^{x-t} dt + \int \limits_x^2 e^{t-x} dt = (e^x - 1) + (e^{2-x} - 1) = e^x + e^{2-x} - 2$.
$x \geq 2$ के लिए,$f(x) = \int \limits_0^2 e^{x-t} dt = e^{x-2}(e^2-1)$.
$x \leq 0$ के लिए $f(x)$ ह्रासमान है और $x \geq 2$ के लिए $f(x)$ वर्धमान है।
अतः,$f(x)$ का न्यूनतम मान अंतराल $x \in (0, 2)$ में स्थित है।
अंतराल $(0, 2)$ में,$f(x) = e^x + e^{2-x} - 2$.
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका $(AM \geq GM)$ का उपयोग करने पर:
$e^x + e^{2-x} \geq 2 \sqrt{e^x \cdot e^{2-x}} = 2 \sqrt{e^2} = 2e$.
इस प्रकार,$f(x)$ का न्यूनतम मान $2e - 2 = 2(e-1)$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = 2x^4 - 18x^2 + 8x + 12$.
सबसे पहले,अवकलज $f'(x) = 8x^3 - 36x + 8$ ज्ञात करें।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $8x^3 - 36x + 8 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2x^3 - 9x + 2 = 0$ हो जाता है।
हमें दिया गया है कि $x=2$ एक स्थानीय न्यूनतम है,इसलिए $(x-2)$,$2x^3 - 9x + 2$ का एक गुणनखंड है।
$2x^3 - 9x + 2$ को $(x-2)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x-2)(2x^2 + 4x - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
मूल $x=2$ और $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{4} = -1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ हैं।
क्रांतिक बिंदु $x=2$,$x = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$,और $x = -1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$ हैं।
द्वितीय अवकलज परीक्षण $f''(x) = 24x^2 - 36$ का उपयोग करते हुए:
$x=2$ के लिए,$f''(2) = 24(4) - 36 = 60 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
$x = -1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$ के लिए,$f''(x) > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
$x = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$ के लिए,$f''(x) < 0$ (स्थानीय अधिकतम)।
अतः,स्थानीय अधिकतम मान $x = \frac{\sqrt{6}-2}{2}$ पर प्राप्त होता है।
$x = \frac{\sqrt{6}-2}{2}$ को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हम $M = f\left(\frac{\sqrt{6}-2}{2}\right) = 12\sqrt{6} - \frac{33}{2}$ प्राप्त करते हैं।

(C) दिया गया फलन $f(x)=2 x^3+(2 p-7) x^2+3(2 p-9) x-6$ है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x) = 6x^2 + 2(2p-7)x + 3(2p-9)$ ज्ञात करें।
फलन के $x < 0$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ और $x > 0$ पर स्थानीय निम्निष्ठ होने के लिए,द्विघात समीकरण $f'(x) = 0$ के दो भिन्न वास्तविक मूल होने चाहिए,जिनमें से एक ऋणात्मक और एक धनात्मक हो।
मान लीजिए कि मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं ताकि $\alpha < 0 < \beta$ हो।
एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों के विपरीत चिह्न होने के लिए,मूलों का गुणनफल ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $\frac{c}{a} < 0$।
यहाँ,$a = 6$ और $c = 3(2p-9)$ है।
अतः,$\frac{3(2p-9)}{6} < 0$,जो सरल होकर $\frac{2p-9}{2} < 0$ हो जाता है।
इसका अर्थ है $2p - 9 < 0$,या $p < \frac{9}{2}$।
इसलिए,$p$ के सभी मानों का समुच्चय $\left(-\infty, \frac{9}{2}\right)$ है।

(D) किसी फलन का चरम बिंदु होने के लिए,उस बिंदु पर उसका अवकलज शून्य होना चाहिए।
$f'(x) = x^2 + ax + 2b$
$g'(x) = x^2 + 2bx + a$
मान लीजिए $x_0$ उभयनिष्ठ चरम बिंदु है। अतः $f'(x_0) = 0$ और $g'(x_0) = 0$.
$x_0^2 + ax_0 + 2b = 0$ ---$(1)$
$x_0^2 + 2bx_0 + a = 0$ ---$(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से घटाने पर:
$(a - 2b)x_0 + (2b - a) = 0$
$(a - 2b)x_0 - (a - 2b) = 0$
$(a - 2b)(x_0 - 1) = 0$
चूंकि $a \neq 2b$,इसलिए $x_0 - 1 = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x_0 = 1$.
$x_0 = 1$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$1^2 + a(1) + 2b = 0$
$1 + a + 2b = 0$
$a + 2b = -1$
हमें $a + 2b + 7$ का मान ज्ञात करना है।
$a + 2b = -1$ को व्यंजक में रखने पर:
$-1 + 7 = 6$.

(A) दिया गया है कि तार की कुल लंबाई $\ell_1 + \ell_2 = 20$ है।
$\ell_1$ द्वारा बने वर्ग की भुजा $s = \frac{\ell_1}{4}$ है,इसलिए क्षेत्रफल $A_1 = (\frac{\ell_1}{4})^2 = \frac{\ell_1^2}{16}$ है।
$\ell_2$ द्वारा बने वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{\ell_2}{2\pi}$ है,इसलिए क्षेत्रफल $A_2 = \pi(\frac{\ell_2}{2\pi})^2 = \frac{\ell_2^2}{4\pi}$ है।
माना $S = 2A_1 + 3A_2 = 2(\frac{\ell_1^2}{16}) + 3(\frac{\ell_2^2}{4\pi}) = \frac{\ell_1^2}{8} + \frac{3\ell_2^2}{4\pi}$ है।
$\ell_2 = 20 - \ell_1$ प्रतिस्थापित करने पर,$S = \frac{\ell_1^2}{8} + \frac{3(20 - \ell_1)^2}{4\pi}$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$\ell_1$ के सापेक्ष अवकलन करके शून्य के बराबर रखने पर: $\frac{dS}{d\ell_1} = \frac{2\ell_1}{8} + \frac{6(20 - \ell_1)(-1)}{4\pi} = 0$.
$\frac{\ell_1}{4} = \frac{6(20 - \ell_1)}{4\pi} = \frac{6\ell_2}{4\pi}$.
$\frac{\pi \ell_1}{4} = \frac{6\ell_2}{4} \Rightarrow \frac{\pi \ell_1}{\ell_2} = 6$.

(A) माना $g(x) = x^2 - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.
$x \in [-1, 2]$ के लिए,$g(x)$ का परिसर $[\frac{3}{4}, 3]$ है।
चूंकि $g(x) \ge \frac{3}{4}$,इसलिए $|g(x)| = g(x)$ होगा।
अतः,$f(x) = g(x) + [g(x)]$.
$f(x)$ को न्यूनतम करने के लिए,हम $[\frac{3}{4}, 3]$ परिसर में $g(x)$ के मानों पर विचार करते हैं।
यदि $\frac{3}{4} \le g(x) < 1$ है,तो $[g(x)] = 0$,इसलिए $f(x) = g(x) + 0 = g(x)$। इस उप-अंतराल में न्यूनतम मान $\frac{3}{4}$ है।
यदि $1 \le g(x) < 2$ है,तो $[g(x)] = 1$,इसलिए $f(x) = g(x) + 1$। न्यूनतम मान $1 + 1 = 2$ है।
यदि $2 \le g(x) \le 3$ है,तो $[g(x)] = 2$,इसलिए $f(x) = g(x) + 2$। न्यूनतम मान $2 + 2 = 4$ है।
अतः,निरपेक्ष न्यूनतम मान $\frac{3}{4}$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = |x^2 - 5x + 6| - 3x + 2$. $x^2 - 5x + 6 = 0$ के मूल $x = 2$ और $x = 3$ हैं।
$x \in [-1, 2]$ के लिए,$x^2 - 5x + 6 \ge 0$,इसलिए $f(x) = x^2 - 5x + 6 - 3x + 2 = x^2 - 8x + 8$।
$x \in [2, 3]$ के लिए,$x^2 - 5x + 6 \le 0$,इसलिए $f(x) = -(x^2 - 5x + 6) - 3x + 2 = -x^2 + 2x - 4$।
अब,क्रांतिक बिंदुओं और अंतिम बिंदुओं की जाँच करें:
$1$. $x \in [-1, 2]$ के लिए,$f'(x) = 2x - 8$। $f'(x) = 0$ रखने पर $x = 4$ प्राप्त होता है,जो अंतराल के बाहर है। इसलिए,अंतिम बिंदुओं की जाँच करें: $f(-1) = (-1)^2 - 8(-1) + 8 = 1 + 8 + 8 = 17$ और $f(2) = 2^2 - 8(2) + 8 = 4 - 16 + 8 = -4$।
$2$. $x \in [2, 3]$ के लिए,$f'(x) = -2x + 2$। $f'(x) = 0$ रखने पर $x = 1$ प्राप्त होता है,जो अंतराल के बाहर है। इसलिए,अंतिम बिंदुओं की जाँच करें: $f(2) = -4$ और $f(3) = -(3)^2 + 2(3) - 4 = -9 + 6 - 4 = -7$।
निरपेक्ष अधिकतम मान $17$ है और निरपेक्ष न्यूनतम मान $-7$ है।
निरपेक्ष अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग $17 + (-7) = 10$ है।

(C) माना $f(x) = x^5-20x^3+50x+2$ है।
वक्र $x$-अक्ष को कहाँ काटता है,यह ज्ञात करने के लिए हम अवकलन का उपयोग करके स्थानीय उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ बिंदुओं का विश्लेषण करते हैं:
$f'(x) = 5x^4-60x^2+50 = 5(x^4-12x^2+10)$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x^4-12x^2+10 = 0$ प्राप्त होता है।
$x^2$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$x^2 = \frac{12 \pm \sqrt{144-40}}{2} = 6 \pm \sqrt{26} \approx 6 \pm 5.1$।
अतः,$x^2 \approx 11.1$ या $x^2 \approx 0.9$।
इससे $x \approx \pm 3.3$ और $x \approx \pm 0.95$ पर क्रांतिक बिंदु प्राप्त होते हैं।
इन बिंदुओं पर फलन का मान जाँचने पर:
$f(-3.3) \approx -100 < 0$
$f(-0.95) \approx -28 < 0$
$f(0.95) \approx 32 > 0$
$f(3.3) \approx 104 > 0$
साथ ही,$f(-4) < 0$,$f(-2) > 0$,$f(0) = 2$,$f(2) = -14$,$f(4) > 0$ है।
इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,फलन $(-4, -2)$,$(-2, 0)$,$(0, 2)$,और $(2, 4)$ के बीच अपना चिह्न बदलता है।
अतः,वक्र $x$-अक्ष को $5$ बिंदुओं पर काटता है।

(B) माना $f(x) = \frac{x^3}{x^4+147}$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं:
$f'(x) = \frac{(x^4+147)(3x^2) - (x^3)(4x^3)}{(x^4+147)^2}$
$f'(x) = \frac{3x^6 + 441x^2 - 4x^6}{(x^4+147)^2} = \frac{441x^2 - x^6}{(x^4+147)^2} = \frac{x^2(441 - x^4)}{(x^4+147)^2}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x^2 = 0$ या $x^4 = 441$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = 21$ (चूंकि $x > 0$),इसलिए $x = \sqrt{21} \approx 4.58$.
चूंकि $f(x)$,$x < \sqrt{21}$ के लिए बढ़ता है और $x > \sqrt{21}$ के लिए घटता है,इसलिए अनुक्रम $a_n$ का सबसे बड़ा पद $\sqrt{21}$ के निकटतम $n$ के मान पर होगा।
हम $a_4$ और $a_5$ की तुलना करते हैं:
$a_4 = \frac{4^3}{4^4+147} = \frac{64}{256+147} = \frac{64}{403} \approx 0.1588$.
$a_5 = \frac{5^3}{5^4+147} = \frac{125}{625+147} = \frac{125}{772} \approx 0.1619$.
चूंकि $a_5 > a_4$,इसलिए सबसे बड़ा पद $n = 5$ पर है।

(C) माना प्रत्येक कोने से काटे गए वर्ग की भुजा $x\,cm$ है।
परिणामी बॉक्स के आयाम लंबाई $= (30-2x)\,cm$,चौड़ाई $= (30-2x)\,cm$ और ऊँचाई $= x\,cm$ होंगे।
बॉक्स का आयतन $V = x(30-2x)^2$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$V = x(900 - 120x + 4x^2) = 4x^3 - 120x^2 + 900x$.
$\frac{dV}{dx} = 12x^2 - 240x + 900$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{dV}{dx} = 0$ रखने पर:
$12(x^2 - 20x + 75) = 0$
$12(x-5)(x-15) = 0$.
अतः,$x = 5$ या $x = 15$। चूँकि $x=15$ लेने पर भुजा की लंबाई $0$ हो जाएगी,इसलिए हम $x = 5\,cm$ लेते हैं।
खुले बॉक्स का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$ मूल वर्ग के क्षेत्रफल में से चार कटे हुए वर्गों के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है:
$S = (30)^2 - 4x^2 = 900 - 4(5)^2 = 900 - 100 = 800\,cm^2$.

(C) दी गई असमिका: $(x \ln x) f'(x) + (\ln x + 1) f(x) \geq 1$ है।
इसे $\frac{d}{dx} (x \ln x \cdot f(x)) \geq 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $g(x) = x \ln x \cdot f(x) - x$ है। तब $g'(x) = \frac{d}{dx} (x \ln x \cdot f(x)) - 1 \geq 0$ है।
अतः,$g(x)$ अंतराल $[2,4]$ पर एक वर्धमान फलन है।
अंत बिंदुओं पर मान:
$g(2) = 2 \ln 2 \cdot f(2) - 2 = 2 \ln 2 \cdot \frac{1}{2} - 2 = \ln 2 - 2$ है।
$g(4) = 4 \ln 4 \cdot f(4) - 4 = 4 \ln 4 \cdot \frac{1}{4} - 4 = \ln 4 - 4 = 2 \ln 2 - 4$ है।
चूंकि $g(x)$ वर्धमान है,इसलिए $x \in [2,4]$ के लिए $g(2) \leq g(x) \leq g(4)$ होगा।
$\ln 2 - 2 \leq x \ln x \cdot f(x) - x \leq 2 \ln 2 - 4$ है।
$x$ जोड़ने और $x \ln x$ से भाग देने पर:
$\frac{\ln 2 - 2}{x \ln x} + \frac{1}{\ln x} \leq f(x) \leq \frac{2 \ln 2 - 4}{x \ln x} + \frac{1}{\ln x}$ प्राप्त होता है।
$x \in [2,4]$ के लिए,ऊपरी सीमा $\leq \frac{2 \ln 2 - 4}{2 \ln 2} + \frac{1}{\ln 2} = 1 - \frac{2}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 2} = 1 - \frac{1}{\ln 2} < 1$ है। अतः,$(A)$ सत्य है।
$x \in [2,4]$ के लिए,निचली सीमा $\geq \frac{\ln 2 - 2}{4 \ln 4} + \frac{1}{\ln 4} = \frac{\ln 2 - 2}{8 \ln 2} + \frac{1}{2 \ln 2} = \frac{\ln 2 - 2 + 4}{8 \ln 2} = \frac{\ln 2 + 2}{8 \ln 2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{4 \ln 2} > \frac{1}{8}$ है। अतः,$(B)$ सत्य है।

(C) माना $y=\left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right)^{\sin ^2 x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln y = \sin^2 x \cdot \ln \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 \sin x \cos x \ln \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right) + \sin^2 x \cdot \frac{2 \sin x}{\sqrt{3 e}} \cdot \frac{\sqrt{3 e}}{2} \cdot (-\csc x \cot x)$.
अवकलन को सरल करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sin x \cos x \left[ 2 \ln \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right) - 1 \right]$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $2 \ln \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right) = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\ln \left(\frac{3 e}{4 \sin^2 x}\right) = 1$.
अतः,$\frac{3 e}{4 \sin^2 x} = e$,जिससे $\sin^2 x = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x \in (0, \frac{\pi}{2})$,इसलिए $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
स्थानीय अधिकतम मान $f(x) = \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)^{3/4} = (\sqrt{e})^{3/4} = e^{3/8}$ है।
दिया गया है कि $e^{3/8} = \frac{k}{e}$,इसलिए $k = e^{1 + 3/8} = e^{11/8}$.
अतः $k^8 = (e^{11/8})^8 = e^{11}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\left(\frac{k}{e}\right)^8 + \frac{k^8}{e^5} + k^8 = (e^{3/8})^8 + \frac{e^{11}}{e^5} + e^{11} = e^3 + e^6 + e^{11}$.

(A) माना $f(x) = x - 2 \sin x \cos x + \frac{1}{3} \sin 3x = x - \sin 2x + \frac{1}{3} \sin 3x$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 1 - 2 \cos 2x + \cos 3x$.
$f'(x) = 0$ रखने पर:
$1 - 2(2 \cos^2 x - 1) + (4 \cos^3 x - 3 \cos x) = 0$
$4 \cos^3 x - 4 \cos^2 x - 3 \cos x + 3 = 0$
$(4 \cos^2 x - 3)(\cos x - 1) = 0$.
इससे $\cos x = 1$ या $\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
$x \in [0, \pi]$ के लिए,$x = 0, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \pi$.
इन बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f(0) = 0$.
$f(\pi) = \pi$.
$f(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi + 2 - 3\sqrt{3}}{6}$.
$f(\frac{5\pi}{6}) = \frac{5\pi + 3\sqrt{3} + 2}{6}$.
मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $\frac{5\pi + 2 + 3\sqrt{3}}{6}$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = 2x + 3x^{\frac{2}{3}}$ है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 2 + 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} = 2 + 2x^{-\frac{1}{3}} = 2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 2 \left( \frac{x^{\frac{1}{3}} + 1}{x^{\frac{1}{3}}} \right)$.
क्रांतिक बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ $f'(x) = 0$ हो या $f'(x)$ अपरिभाषित हो।
$f'(x) = 0 \implies x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0 \implies x = -1$.
$x = 0$ पर $f'(x)$ अपरिभाषित है।
अब,इन बिंदुओं के आसपास $f'(x)$ का चिह्न जाँचें:
$x < -1$ के लिए,$f'(x) > 0$.
$-1 < x < 0$ के लिए,$f'(x) < 0$.
$x > 0$ के लिए,$f'(x) > 0$.
चूँकि $x = -1$ पर $f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए $x = -1$ पर स्थानीय अधिकतम है।
चूँकि $x = 0$ पर $f'(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए $x = 0$ पर स्थानीय न्यूनतम है।
अतः,फलन के पास स्थानीय अधिकतम का ठीक एक बिंदु और स्थानीय न्यूनतम का ठीक एक बिंदु है।

(D) त्रिभुज के शीर्ष $(0,0)$,$(x, y)$,और $(-x, y)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |0(y - y) + x(y - 0) + (-x)(0 - y)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |xy + xy| = |xy|$
वक्र $y = -2x^2 + 54$ दिया गया है,इसलिए क्षेत्रफल के व्यंजक में $y$ का मान रखने पर:
$A(x) = |x(-2x^2 + 54)| = |-2x^3 + 54x|$
चूंकि $y > 0$,इसलिए $-2x^2 + 54 > 0$,जिसका अर्थ है $x^2 < 27$,अतः $x \in (-\sqrt{27}, \sqrt{27})$।
$x > 0$ के लिए,$A(x) = -2x^3 + 54x$।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$A(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dx} = -6x^2 + 54$
$\frac{dA}{dx} = 0$ रखने पर:
$-6x^2 + 54 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ (चूंकि $x > 0$)।
अब,$x = 3$ पर अधिकतम क्षेत्रफल की गणना करने पर:
$A(3) = |3(-2(3)^2 + 54)| = |3(-18 + 54)| = |3(36)| = 108$।
अतः,त्रिभुज का अधिकतम क्षेत्रफल $108$ है।

(C) दिया गया है $f(x)=(x+3)^2(x-2)^3$.
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) को खोजने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}[(x+3)^2(x-2)^3]$
$f^{\prime}(x) = 2(x+3)(x-2)^3 + 3(x-2)^2(x+3)^2$
$f^{\prime}(x) = (x+3)(x-2)^2 [2(x-2) + 3(x+3)]$
$f^{\prime}(x) = (x+3)(x-2)^2 [2x - 4 + 3x + 9]$
$f^{\prime}(x) = (x+3)(x-2)^2 (5x + 5)$
$f^{\prime}(x) = 5(x+3)(x-2)^2 (x+1)$
$f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर,हमें क्रांतिक बिंदु $x = -3, -1, 2$ प्राप्त होते हैं।
अब,हम अंतराल $[-4, 4]$ के क्रांतिक बिंदुओं और अंतिम बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-4) = (-4+3)^2(-4-2)^3 = (-1)^2(-6)^3 = 1 \times (-216) = -216$
$f(-3) = (-3+3)^2(-3-2)^3 = 0$
$f(-1) = (-1+3)^2(-1-2)^3 = (2)^2(-3)^3 = 4 \times (-27) = -108$
$f(2) = (2+3)^2(2-2)^3 = 0$
$f(4) = (4+3)^2(4-2)^3 = (7)^2(2)^3 = 49 \times 8 = 392$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $M = 392$ और न्यूनतम मान $m = -216$ प्राप्त होता है।
अतः,$M - m = 392 - (-216) = 392 + 216 = 608$.

(B) कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = (e^x-1)^{11}(2x-1)^5(x-2)^7(x-3)^{12}(2x-10)^{61}$ है।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0, \frac{1}{2}, 2, 3, 5$ प्राप्त होते हैं।
इन बिंदुओं के आसपास $f'(x)$ के चिह्न की जाँच करने पर:
- $x=0$ पर: $f'(x)$ का चिह्न $+$ से $-$ में बदलता है,इसलिए $f(x)$ का $x=0$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ है।
- $x=\frac{1}{2}$ पर: $f'(x)$ का चिह्न $-$ से $+$ में बदलता है,इसलिए $f(x)$ का $x=\frac{1}{2}$ पर स्थानीय निम्निष्ठ है।
- $x=2$ पर: $f'(x)$ का चिह्न $+$ से $-$ में बदलता है,इसलिए $f(x)$ का $x=2$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ है।
- $x=3$ पर: $f'(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है (घात $12$ है),इसलिए यह नति परिवर्तन बिंदु है।
- $x=5$ पर: $f'(x)$ का चिह्न $-$ से $+$ में बदलता है,इसलिए $f(x)$ का $x=5$ पर स्थानीय निम्निष्ठ है।
स्थानीय उच्चिष्ठ $x=0$ और $x=2$ पर प्राप्त होते हैं। अतः,$p = 0^2 + 2^2 = 4$ है।
स्थानीय निम्निष्ठ $x=\frac{1}{2}$ और $x=5$ पर प्राप्त होते हैं। अतः,$q = \frac{1}{2} + 5 = \frac{11}{2}$ है।
अंत में,$p^2 + 2q = 4^2 + 2(\frac{11}{2}) = 16 + 11 = 27$ है।

(D) मान लीजिए $y = \frac{2x^2 - 3x + 8}{2x^2 + 3x + 8}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $y(2x^2 + 3x + 8) = 2x^2 - 3x + 8$.
$x^2(2y - 2) + x(3y + 3) + 8y - 8 = 0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$.
$D = (3y + 3)^2 - 4(2y - 2)(8y - 8) \geq 0$.
$9(y^2 + 2y + 1) - 64(y^2 - 2y + 1) \geq 0$.
$-55y^2 + 146y - 55 \geq 0 \Rightarrow 55y^2 - 146y + 55 \leq 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$y = \frac{146 \pm 96}{110}$.
अतः,परिसर $[\frac{5}{11}, \frac{11}{5}]$ है।
अधिकतम मान $\frac{11}{5}$ और न्यूनतम मान $\frac{5}{11}$ है।
योग $= \frac{11}{5} + \frac{5}{11} = \frac{146}{55}$.
यहाँ $m = 146$ और $n = 55$,इसलिए $m + n = 201$.

(B) दिया गया फलन $f(x)=3 \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$ है।
फलन का प्रांत $x-2 \geq 0$ और $4-x \geq 0$ द्वारा निर्धारित होता है,जिसका अर्थ है $x \in [2, 4]$।
परिसर ज्ञात करने के लिए,हम कौशी-श्वार्ट्ज असमिका का उपयोग करते हैं। मान लीजिए $u = \sqrt{x-2}$ और $v = \sqrt{4-x}$। तब $u^2 + v^2 = (x-2) + (4-x) = 2$।
फलन $f(x) = 3u + v$ है। कौशी-श्वार्ट्ज असमिका के अनुसार,$(3u + v)^2 \leq (3^2 + 1^2)(u^2 + v^2) = (9+1)(2) = 20$।
अतः,$f(x)^2 \leq 20$,इसलिए $f(x) \leq \sqrt{20} = \beta$।
प्रांत की सीमाओं पर:
यदि $x=2$,तो $f(2) = 3(0) + \sqrt{2} = \sqrt{2}$।
यदि $x=4$,तो $f(4) = 3\sqrt{2} + 0 = 3\sqrt{2} = \sqrt{18}$।
चूंकि $\sqrt{2} < \sqrt{18} < \sqrt{20}$,न्यूनतम मान $\alpha = \sqrt{2}$ है।
इसलिए,$\alpha^2 + 2\beta^2 = (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{20})^2 = 2 + 2(20) = 2 + 40 = 42$।

(A) मान लीजिए कि $\theta$ वह कोण है जो आयत $ABCD$ की भुजा $AB$,आयत $PQRS$ की भुजा $PQ$ के साथ बनाती है।
आकृति की ज्यामिति से,आयत $PQRS$ की भुजाएँ $a = 4 \cos \theta + 2 \sin \theta$ और $b = 4 \sin \theta + 2 \cos \theta$ हैं।
आयत $PQRS$ का क्षेत्रफल $A = a \times b = (4 \cos \theta + 2 \sin \theta)(4 \sin \theta + 2 \cos \theta)$ है।
इसका विस्तार करने पर,$A = 16 \sin \theta \cos \theta + 8 \cos^2 \theta + 8 \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 8(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + 20 \sin \theta \cos \theta$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,$A = 8 + 10 \sin 2\theta$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब $\sin 2\theta = 1$ हो,जो $\theta = 45^{\circ}$ पर होता है।
$\theta = 45^{\circ}$ पर,भुजाएँ $a = 4(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ और $b = 3\sqrt{2}$ हैं।
अतः $(a+b)^2 = (3\sqrt{2} + 3\sqrt{2})^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72$।

(C) माना $f(x) = (\frac{1}{x})^{2x}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(f(x)) = 2x \ln(\frac{1}{x}) = -2x \ln(x)$ प्राप्त होता है।
क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = -2(1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}) = -2(\ln(x) + 1)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$\ln(x) = -1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{1}{e}$.
चूंकि $x < \frac{1}{e}$ के लिए $f'(x) > 0$ और $x > \frac{1}{e}$ के लिए $f'(x) < 0$ है,इसलिए फलन $x = \frac{1}{e}$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है।
अतः,सभी $x > 0$ के लिए $f(x) \leq f(\frac{1}{e})$.
$f(\frac{1}{e}) = (\frac{1}{1/e})^{2(1/e)} = e^{2/e}$.
किसी भी $x$ के लिए,$(\frac{1}{x})^{2x} \leq e^{2/e}$.
$x = \frac{1}{\pi}$ लेने पर,$(\frac{1}{1/\pi})^{2(1/\pi)} \leq e^{2/e}$.
$\pi^{2/\pi} \leq e^{2/e}$.
दोनों पक्षों की घात $\frac{\pi e}{2}$ लेने पर,$(\pi^{2/\pi})^{\pi e/2} \leq (e^{2/e})^{\pi e/2}$.
$\pi^e \leq e^\pi$.
चूंकि $\pi \neq e$,इसलिए $e^\pi > \pi^e$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया फलन: $f(x) = (x-2)^{2/3}(2x+1)$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}[(x-2)^{2/3}] \cdot (2x+1) + (x-2)^{2/3} \cdot \frac{d}{dx}[2x+1]$
$f'(x) = \frac{2}{3}(x-2)^{-1/3}(2x+1) + 2(x-2)^{2/3}$
$2(x-2)^{-1/3}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$f'(x) = 2(x-2)^{-1/3} [\frac{1}{3}(2x+1) + (x-2)]$
$f'(x) = \frac{2}{3(x-2)^{1/3}} [2x + 1 + 3x - 6]$
$f'(x) = \frac{2(5x-5)}{3(x-2)^{1/3}} = \frac{10(x-1)}{3(x-2)^{1/3}}$
क्रांतिक बिंदु तब प्राप्त होते हैं जब $f'(x) = 0$ हो या $f'(x)$ अपरिभाषित हो।
$f'(x) = 0 \implies x-1 = 0 \implies x = 1$.
$f'(x)$ अपरिभाषित है जब हर शून्य हो,अर्थात $x-2 = 0 \implies x = 2$.
अतः,क्रांतिक बिंदु $x=1$ और $x=2$ हैं।
कुल $2$ क्रांतिक बिंदु हैं।

(B) दिया गया है $f(x)=4 \cos ^3 x+3 \sqrt{3} \cos ^2 x-10$,जहाँ $x \in(0, 2 \pi)$ है।
सबसे पहले,अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime}(x) = 4(3 \cos ^2 x)(-\sin x) + 3 \sqrt{3}(2 \cos x)(-\sin x)$
$f^{\prime}(x) = -12 \cos ^2 x \sin x - 6 \sqrt{3} \cos x \sin x$
$f^{\prime}(x) = -6 \sin x \cos x (2 \cos x + \sqrt{3})$
$f^{\prime}(x) = -3 \sin(2x) (2 \cos x + \sqrt{3})$
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) को ज्ञात करने के लिए,$f^{\prime}(x) = 0$ रखें:
$-3 \sin(2x) = 0 \Rightarrow 2x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi \Rightarrow x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$
$2 \cos x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$
$(0, 2\pi)$ में क्रांतिक बिंदु $\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \pi, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$ हैं।
$f^{\prime}(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करने पर:
$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए,$f^{\prime}(x) < 0$ है।
$x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6})$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ है।
$x \in (\frac{5\pi}{6}, \pi)$ के लिए,$f^{\prime}(x) < 0$ है।
$x \in (\pi, \frac{7\pi}{6})$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ है।
$x \in (\frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2})$ के लिए,$f^{\prime}(x) < 0$ है।
$x \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ है।
स्थानीय उच्चिष्ठ तब होता है जब $f^{\prime}(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है। यह $x = \frac{5\pi}{6}$ और $x = \frac{3\pi}{2}$ पर होता है।
अतः,स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदुओं की संख्या $2$ है।

(A) दिया गया है $f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x+1$.
अवकलन करने पर: $f'(x)=6x^2-18ax+12a^2$.
स्थानीय चरम मानों के लिए $f'(x)=0$ रखने पर,$6(x^2-3ax+2a^2)=0$,जिसका गुणनखंड $6(x-a)(x-2a)=0$ है।
मूल $x=a$ और $x=2a$ हैं।
चूंकि $x=\alpha$ पर स्थानीय उच्चतम और $x=\alpha^2$ पर स्थानीय निम्नतम है,दो स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: $\alpha=a$ और $\alpha^2=2a$. अतः $a^2=2a \Rightarrow a(a-2)=0$. चूंकि $a>0$,इसलिए $a=2$.
यदि $a=2$ है,तो मूल $\alpha=2$ और $\alpha^2=4$ हैं। समीकरण $(x-2)(x-4)=x^2-6x+8=0$ है।
स्थिति $2$: $\alpha=2a$ और $\alpha^2=a$. अतः $(2a)^2=a \Rightarrow 4a^2-a=0 \Rightarrow a(4a-1)=0$. चूंकि $a>0$,इसलिए $a=1/4$.
यदि $a=1/4$ है,तो मूल $\alpha=1/2$ और $\alpha^2=1/4$ हैं। समीकरण $(x-1/2)(x-1/4)=x^2-(3/4)x+1/8=0$ अर्थात $8x^2-6x+1=0$ है।
द्वितीय अवकलज $f''(x)=12x-18a$ की जाँच करने पर:
$a=2$ के लिए,$f''(2)=-12 < 0$ (उच्चतम) और $f''(4)=12 > 0$ (निम्नतम)। यह सही है।
$a=1/4$ के लिए,$f''(1/2)=1.5 > 0$ (निम्नतम) और $f''(1/4)=-1.5 < 0$ (उच्चतम)। यह प्रश्न के विपरीत है।
अतः,सही समीकरण $x^2-6x+8=0$ है।

(A) मान लीजिए कि आयत के शीर्ष $(x, b)$,$(24, b)$,$(24, -b)$,और $(x, -b)$ हैं।
चूंकि शीर्ष $(x, b)$ परवलय $y^2=2x$ पर स्थित है,इसलिए हमारे पास $b^2=2x$ है,जिसका अर्थ है $x = \frac{b^2}{2}$।
आयत की चौड़ाई $(24 - x) = (24 - \frac{b^2}{2})$ है और ऊंचाई $2b$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A$,$A = 2b(24 - \frac{b^2}{2}) = 48b - b^3$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $b$ के सापेक्ष $A$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{db} = 48 - 3b^2$।
$\frac{dA}{db} = 0$ रखने पर,हमें $3b^2 = 48$ प्राप्त होता है,इसलिए $b^2 = 16$,जिससे $b = 4$ प्राप्त होता है (क्योंकि $b > 0$)।
अधिकतम क्षेत्रफल $A = 48(4) - (4)^3 = 192 - 64 = 128$ है।

(C) सबसे पहले,असमिका $\frac{x^2+x+2}{x^2+5x+6} < 0$ को हल करें।
चूँकि अंश $x^2+x+2$ का विविक्तकर $D = 1^2 - 4(1)(2) = -7 < 0$ है,इसलिए यह सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक है।
अतः,असमिका $\frac{1}{(x+2)(x+3)} < 0$ में बदल जाती है,जिसका अर्थ है $(x+2)(x+3) < 0$.
इससे $x \in (-3, -2)$ प्राप्त होता है।
अब,फलन $f(x) = 1 + x\lambda^2 - x^3$ पर विचार करें।
अवकलन करने पर: $f'(x) = \lambda^2 - 3x^2$.
स्थानीय न्यूनतम बिंदु खोजने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $3x^2 = \lambda^2 \Rightarrow x = \pm \frac{\lambda}{\sqrt{3}}$.
द्वितीय अवकलज परीक्षण के अनुसार: $f''(x) = -6x$.
स्थानीय न्यूनतम के लिए $f''(x) > 0$ होना चाहिए,इसलिए $-6x > 0 \Rightarrow x < 0$.
अतः,स्थानीय न्यूनतम बिंदु $x = -\frac{\lambda}{\sqrt{3}}$ है।
चूँकि यह बिंदु $x \in (-3, -2)$ में स्थित है,हमारे पास है:
$-3 < -\frac{\lambda}{\sqrt{3}} < -2$
$-1$ से गुणा करने पर असमिका बदल जाएगी:
$2 < \frac{\lambda}{\sqrt{3}} < 3$
$2\sqrt{3} < \lambda < 3\sqrt{3}$.
अतः,$\alpha = 2\sqrt{3}$ और $\beta = 3\sqrt{3}$.
परिणामस्वरूप $\alpha^2 + \beta^2 = (2\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2 = 12 + 27 = 39$.

(B) दिया गया है $f(x) = (p^2 - 6p + 8)(\sin^2 2x - \cos^2 2x) + 2(2 - p)x + 7$.
$\cos 4x = \cos^2 2x - \sin^2 2x$ का उपयोग करने पर,$f(x) = -(p^2 - 6p + 8)\cos 4x + 2(2 - p)x + 7$ प्राप्त होता है।
$f(x)$ का कोई क्रांतिक बिंदु न हो,इसके लिए सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) \neq 0$ होना चाहिए।
$f'(x) = 4(p^2 - 6p + 8)\sin 4x + 2(2 - p)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$4(p - 4)(p - 2)\sin 4x = 2(p - 2)$ प्राप्त होता है।
यदि $p = 2$ है,तो सभी $x$ के लिए $f'(x) = 0$ होगा,इसलिए $p \neq 2$.
$p \neq 2$ के लिए,$\sin 4x = \frac{2(p - 2)}{4(p - 4)(p - 2)} = \frac{1}{2(p - 4)}$.
कोई क्रांतिक बिंदु न होने के लिए,समीकरण $\sin 4x = \frac{1}{2(p - 4)}$ का कोई हल नहीं होना चाहिए।
यह तब होता है जब $\left| \frac{1}{2(p - 4)} \right| > 1$ हो।
$|2(p - 4)| < 1 \implies -1 < 2p - 8 < 1 \implies 7 < 2p < 9 \implies p \in (3.5, 4.5)$.
अतः,$a = 3.5 = \frac{7}{2}$ और $b = 4.5 = \frac{9}{2}$.
$16ab = 16 \times \frac{7}{2} \times \frac{9}{2} = 4 \times 7 \times 9 = 252$.

(B, A, A) $1.$ $k \leq 0$ के लिए,मान लीजिए $g(x) = ke^x - x$। चूंकि $k \leq 0$,$g'(x) = ke^x - 1 < 0$ सभी $x \in R$ के लिए। अतः,$g(x)$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है। जैसे $x \to -\infty$,$g(x) \to \infty$,और जैसे $x \to \infty$,$g(x) \to -\infty$। इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,$g(x)=0$ का ठीक एक मूल है। अतः,रेखा $y=x$,$y=ke^x$ से एक बिंदु पर मिलती है। सही विकल्प $(B)$ है।
$2.$ मान लीजिए $f(x) = ke^x - x$। $k>0$ के लिए,$f'(x) = ke^x - 1$। $f'(x)=0$ रखने पर $e^x = 1/k$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = -\ln k$। न्यूनतम मान $f(-\ln k) = k(1/k) - (-\ln k) = 1 + \ln k$ है। केवल एक मूल के लिए,न्यूनतम मान $0$ होना चाहिए। अतः,$1 + \ln k = 0 \Rightarrow \ln k = -1 \Rightarrow k = 1/e$। सही विकल्प $(A)$ है।
$3.$ दो भिन्न मूलों के लिए,न्यूनतम मान ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $1 + \ln k < 0$। इसका अर्थ है $\ln k < -1$,इसलिए $k < 1/e$। चूंकि $k>0$,मानों का समुच्चय $(0, 1/e)$ है। सही विकल्प $(A)$ है।

(C) स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए अंतरालों में फलन $f(x)$ का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $-3 < x \leq -1$ के लिए,$f(x) = (2+x)^3$ है। अवकलज $f'(x) = 3(2+x)^2$ है। चूँकि $f'(x) \geq 0$ है,फलन $(-3, -1]$ पर वर्धमान है। $x = -1$ पर,$f(-1) = (2-1)^3 = 1$ है। चूँकि फलन $x = -1$ तक बढ़ रहा है,यह बिंदु स्थानीय उच्चिष्ठ है।
$2$. $-1 < x < 2$ के लिए,$f(x) = x^{2/3}$ है। अवकलज $f'(x) = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ है।
$3$. $x = 0$ पर,$f'(x)$ अपरिभाषित है। $x < 0$ के लिए,$f'(x) < 0$ (ह्रासमान) और $x > 0$ के लिए,$f'(x) > 0$ (वर्धमान) है। अतः,$x = 0$ एक स्थानीय निम्निष्ठ है जहाँ $f(0) = 0$ है।
$4$. मानों की तुलना करने पर,हमें $x = -1$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ और $x = 0$ पर स्थानीय निम्निष्ठ प्राप्त होता है।
अतः,स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ की कुल संख्या $2$ है।

(C) माना $f(x) = 4 \alpha x^2 + \frac{1}{x}$,जहाँ $x > 0$ है।
$f(x)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 8 \alpha x - \frac{1}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदु के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$8 \alpha x = \frac{1}{x^2}$ $\Rightarrow x^3 = \frac{1}{8 \alpha}$ $\Rightarrow x = \frac{1}{2 \alpha^{1/3}}$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए इस मान को $f(x)$ में रखने पर:
$f\left(\frac{1}{2 \alpha^{1/3}}\right) = 4 \alpha \left(\frac{1}{4 \alpha^{2/3}}\right) + 2 \alpha^{1/3} = \alpha^{1/3} + 2 \alpha^{1/3} = 3 \alpha^{1/3}$.
दिया गया है कि $f(x) \geq 1$,इसलिए $3 \alpha^{1/3} \geq 1$ $\Rightarrow \alpha^{1/3} \geq \frac{1}{3}$ $\Rightarrow \alpha \geq \frac{1}{27}$.
अतः,$\alpha$ का न्यूनतम मान $\frac{1}{27}$ है।

(A) मान लीजिए $S$,$R \rightarrow R$ पर सभी दो बार अवकलनीय फलनों $f$ का समुच्चय है,ताकि सभी $x \in (-1, 1)$ के लिए $\frac{d^2 f}{dx^2} > 0$ हो।
इसका अर्थ है कि $f$ का आलेख अंतराल $(-1, 1)$ पर सख्ती से अवतल ऊपर की ओर (concave upward/convex) है।
मान लीजिए $\phi(x) = f(x) - x$ है। तब $\phi''(x) = f''(x) - 0 = f''(x) > 0$,सभी $x \in (-1, 1)$ के लिए।
चूंकि $\phi''(x) > 0$ है,फलन $\phi(x)$ सख्ती से उत्तल (strictly convex) है।
एक सख्ती से उत्तल फलन $x$-अक्ष को अधिकतम दो बिंदुओं पर काट सकता है।
इसलिए,समीकरण $\phi(x) = 0$,जो $f(x) = x$ के समान है,के अंतराल $(-1, 1)$ में अधिकतम दो हल हो सकते हैं।
अतः,प्रत्येक $f \in S$ के लिए $X_f \leq 2$ होता है,जो कथन $(B)$ को सत्य बनाता है।
उपयुक्त उत्तल फलनों को चुनकर,हम ऐसे उदाहरण बना सकते हैं जहाँ $X_f = 0$ (जैसे,$f(x) = x^2 + 2$),$X_f = 1$ (जैसे,$f(x) = x^2 + x + 0.1$),और $X_f = 2$ (जैसे,$f(x) = x^2 + 0.1$)।
चूंकि $X_f$ का मान $0, 1,$ या $2$ हो सकता है,कथन $(A)$ सत्य है,कथन $(C)$ सत्य है,और कथन $(D)$ असत्य है।
इसलिए,सही कथन $(A)$,$(B)$,और $(C)$ हैं।

(A) दिया गया है $f(x) = x \cos \frac{1}{x}, x \geq 1$.
सबसे पहले,अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime}(x) = \cos \frac{1}{x} + x \left( -\sin \frac{1}{x} \right) \left( -\frac{1}{x^2} \right) = \cos \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$.
अब,$\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)$ का मान ज्ञात करें:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \left( \cos \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x} \right) = \cos(0) + 0 \cdot \sin(0) = 1 + 0 = 1$. अतः,कथन $(B)$ सही है।
अब,द्वितीय अवकलज $f^{\prime \prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime \prime}(x) = -\sin \frac{1}{x} \left( -\frac{1}{x^2} \right) + \left( -\frac{1}{x^2} \right) \sin \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cos \frac{1}{x} \left( -\frac{1}{x^2} \right) = -\frac{1}{x^3} \cos \frac{1}{x}$.
$x \in [1, \infty)$ के लिए,$\frac{1}{x} \in (0, 1]$। चूंकि $\cos \theta > 0$ जब $\theta \in (0, 1]$,इसलिए $f^{\prime \prime}(x) = -\frac{1}{x^3} \cos \frac{1}{x} < 0$। अतः,$f^{\prime}(x)$ निरंतर ह्रासमान है,इसलिए कथन $(D)$ सही है।
अंतराल $[x, x+2]$ पर माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,एक ऐसा $c \in (x, x+2)$ मौजूद है कि $\frac{f(x+2)-f(x)}{2} = f^{\prime}(c)$।
चूंकि $f^{\prime}(x)$ निरंतर ह्रासमान है और $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x) = 1$,इसलिए सभी $x \in [1, \infty)$ के लिए $f^{\prime}(x) > 1$ है।
अतः,$f^{\prime}(c) > 1$,जिसका अर्थ है कि $\frac{f(x+2)-f(x)}{2} > 1$,या $f(x+2)-f(x) > 2$। अतः,कथन $(C)$ सही है और $(A)$ गलत है।
सही संयोजन $(B, C, D)$ है।

(B) दिया गया समुच्चय $A = \{x \mid x^2+20 \leq 9x\}$ है।
असमिका $x^2-9x+20 \leq 0$ को हल करने पर:
$(x-4)(x-5) \leq 0$,जिसका अर्थ है $x \in [4, 5]$।
अब,फलन $f(x) = 2x^3-15x^2+36x-48$ पर विचार करें।
अवकलन करने पर $f'(x) = 6x^2-30x+36 = 6(x^2-5x+6) = 6(x-2)(x-3)$।
अंतराल $x \in [4, 5]$ के लिए,$f'(x) > 0$ है क्योंकि $(x-2)$ और $(x-3)$ दोनों इस अंतराल में धनात्मक हैं।
चूंकि $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $[4, 5]$ पर निरंतर वर्धमान है।
अतः,अधिकतम मान अंतिम बिंदु $x = 5$ पर प्राप्त होता है।
$f(5) = 2(5)^3 - 15(5)^2 + 36(5) - 48$
$f(5) = 250 - 375 + 180 - 48 = 7$.

(B) मान लीजिए $p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$.
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0} (1 + \frac{p(x)}{x^2}) = 2$,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{p(x)}{x^2} = 1$ है। इसका अर्थ है कि $e = 0$ और $d = 0$,और $c = 1$ है।
अतः,$p(x) = ax^4 + bx^3 + x^2$.
अवकलन करने पर,$p'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2x$.
$x=1$ और $x=2$ पर चरम मान होने के कारण,$p'(1) = 0$ और $p'(2) = 0$ है।
$p'(1) = 4a + 3b + 2 = 0 \implies 4a + 3b = -2$ (समीकरण $1$).
$p'(2) = 4a(8) + 3b(4) + 2(2) = 32a + 12b + 4 = 0 \implies 8a + 3b = -1$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(8a - 4a) = -1 - (-2) \implies 4a = 1 \implies a = \frac{1}{4}$.
$a = \frac{1}{4}$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $4(\frac{1}{4}) + 3b = -2 \implies 1 + 3b = -2 \implies 3b = -3 \implies b = -1$.
अतः,$p(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2$.
$p(2)$ की गणना करने पर: $p(2) = \frac{1}{4}(16) - (8) + (4) = 4 - 8 + 4 = 0$.