Maxima and Minima Questions in Hindi

(A) माना $S(x)$ $x$ वस्तुओं को बेचने से प्राप्त कुल राजस्व है और $C(x)$ $x$ वस्तुओं का लागत मूल्य है।
अतः,$S(x) = x \left(5 - \frac{x}{100}\right) = 5x - \frac{x^2}{100}$.
लागत फलन $C(x) = \frac{x}{5} + 500$ है।
लाभ फलन $P(x) = S(x) - C(x)$ द्वारा परिभाषित है।
$P(x) = \left(5x - \frac{x^2}{100}\right) - \left(\frac{x}{5} + 500\right) = 5x - \frac{x^2}{100} - 0.2x - 500 = 4.8x - \frac{x^2}{100} - 500$.
अधिकतम लाभ ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $P'(x)$ ज्ञात करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$P'(x) = 4.8 - \frac{2x}{100} = 4.8 - \frac{x}{50}$.
$P'(x) = 0$ रखने पर,हमें $4.8 = \frac{x}{50}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 4.8 \times 50 = 240$.
यह सत्यापित करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम द्वितीय अवकलज $P''(x) = -\frac{1}{50}$ की जाँच करते हैं।
चूँकि $P''(240) = -\frac{1}{50} < 0$,इसलिए $x = 240$ पर लाभ अधिकतम है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\log x}{x}$ है।
सबसे पहले,भागफल नियम का उपयोग करके प्रथम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{x(\frac{1}{x}) - \log x(1)}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखते हैं:
$1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f''(x) = \frac{x^2(-\frac{1}{x}) - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{-3x + 2x \log x}{x^4} = \frac{2 \log x - 3}{x^3}$.
अब,$x = e$ पर $f''(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f''(e) = \frac{2 \log e - 3}{e^3} = \frac{2(1) - 3}{e^3} = \frac{-1}{e^3}$.
चूंकि $f''(e) = \frac{-1}{e^3} < 0$ है,इसलिए द्वितीय अवकलज परीक्षण के अनुसार,फलन $f(x)$ का $x = e$ पर स्थानीय उच्चतम मान है।

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
माना शीर्ष $C$ बिंदु $(a, 0)$ पर है। अन्य दो शीर्ष $A(-x_1, y_1)$ और $B(-x_1, -y_1)$ हैं,जहाँ $x_1 > 0$ और $y_1 > 0$ है।
चूंकि $A(-x_1, y_1)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,इसलिए $y_1 = \frac{b}{a} \sqrt{a^2 - x_1^2}$ है।
त्रिभुज का आधार $2y_1 = \frac{2b}{a} \sqrt{a^2 - x_1^2}$ है और ऊंचाई $h = a - (-x_1) = a + x_1$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{2b}{a} \sqrt{a^2 - x_1^2} \right) \times (a + x_1) = \frac{b}{a} (a + x_1)^{3/2} (a - x_1)^{1/2}$ है।
$A$ को अधिकतम करने के लिए,$A^2 = \frac{b^2}{a^2} (a + x_1)^3 (a - x_1)$ को अधिकतम करते हैं।
माना $f(x_1) = (a + x_1)^3 (a - x_1)$ है। तब $f'(x_1) = 3(a + x_1)^2 (a - x_1) - (a + x_1)^3 = (a + x_1)^2 [3a - 3x_1 - a - x_1] = (a + x_1)^2 (2a - 4x_1)$ है।
$f'(x_1) = 0$ रखने पर,हमें $x_1 = a/2$ प्राप्त होता है (क्योंकि $x_1 = -a$ संभव नहीं है)।
$x_1 = a/2$ को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर:
$A = \frac{b}{a} (a + a/2) \sqrt{a^2 - a^2/4} = \frac{b}{a} (\frac{3a}{2}) \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{b}{a} \cdot \frac{3a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} ab$।

(A) माना टंकी की लंबाई $l$ और चौड़ाई $b$ है,और गहराई $h=2 \ m$ है।
आयतन $V = l \times b \times h = 8 \ m^{3}$.
$l \times b \times 2 = 8 \implies lb = 4 \implies b = \frac{4}{l}$.
आधार की लागत $C_{base} = 70 \times (lb) = 70 \times 4 = 280$.
किनारों की लागत $C_{sides} = 45 \times [2h(l+b)] = 45 \times [2 \times 2 \times (l + \frac{4}{l})] = 180(l + \frac{4}{l})$.
कुल लागत $C(l) = 280 + 180(l + \frac{4}{l})$.
लागत को न्यूनतम करने के लिए,$\frac{dC}{dl} = 180(1 - \frac{4}{l^{2}})$ ज्ञात करें।
$\frac{dC}{dl} = 0$ रखने पर,$1 - \frac{4}{l^{2}} = 0 \implies l^{2} = 4 \implies l = 2 \ m$ (चूंकि $l > 0$).
अतः $b = \frac{4}{2} = 2 \ m$.
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^{2}C}{dl^{2}} = 180(\frac{8}{l^{3}})$. $l=2$ पर,$\frac{d^{2}C}{dl^{2}} = 180(1) = 180 > 0$,अतः लागत न्यूनतम है।
न्यूनतम लागत $= 280 + 180(2 + \frac{4}{2}) = 280 + 180(4) = 280 + 720 = 1000$.

(A) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है और वर्ग की भुजा $a$ है।
परिमाप का योग स्थिरांक $k$ दिया गया है:
$2 \pi r + 4a = k$
$a$ के लिए हल करने पर:
$a = \frac{k - 2 \pi r}{4}$
क्षेत्रफलों का योग $A$ है:
$A = \pi r^2 + a^2 = \pi r^2 + \left( \frac{k - 2 \pi r}{4} \right)^2$
$r$ के सापेक्ष $A$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dr} = 2 \pi r + 2 \left( \frac{k - 2 \pi r}{4} \right) \left( -\frac{2 \pi}{4} \right) = 2 \pi r - \frac{\pi(k - 2 \pi r)}{4}$
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{dA}{dr} = 0$ रखने पर:
$2 \pi r = \frac{\pi(k - 2 \pi r)}{4}$
$8r = k - 2 \pi r$
$r(8 + 2 \pi) = k \Rightarrow r = \frac{k}{2(4 + \pi)}$
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर:
$\frac{d^2A}{dr^2} = 2 \pi + \frac{2 \pi^2}{4} = 2 \pi + \frac{\pi^2}{2} > 0$
चूँकि द्वितीय अवकलज धनात्मक है,इसलिए $r$ के इस मान पर क्षेत्रफल न्यूनतम है।
$a$ के व्यंजक में $r$ का मान रखने पर:
$a = \frac{k - 2 \pi \left( \frac{k}{2(4 + \pi)} \right)}{4} = \frac{k(4 + \pi) - \pi k}{4(4 + \pi)} = \frac{4k}{4(4 + \pi)} = \frac{k}{4 + \pi}$
$a$ और $r$ की तुलना करने पर:
$a = \frac{k}{4 + \pi}$ और $2r = 2 \left( \frac{k}{2(4 + \pi)} \right) = \frac{k}{4 + \pi}$
अतः,$a = 2r$। यह सिद्ध होता है कि क्षेत्रफलों का योग न्यूनतम तब होता है जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दोगुनी हो।

(N/A) माना कि आयताकार भाग की लंबाई $x$ और चौड़ाई $y$ है। अर्धवृत्ताकार भाग की त्रिज्या $r = \frac{x}{2}$ है।
खिड़की की कुल परिधि $x + 2y + \pi r = 10$ है।
$r = \frac{x}{2}$ रखने पर,$x + 2y + \frac{\pi x}{2} = 10$.
$2y = 10 - x(1 + \frac{\pi}{2}) \Rightarrow y = 5 - x(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4})$.
खिड़की का क्षेत्रफल $A = xy + \frac{1}{2} \pi r^2 = xy + \frac{\pi x^2}{8}$ है।
$y$ का मान रखने पर,$A = 5x - x^2(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{8})$.
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,$\frac{dA}{dx} = 5 - x(1 + \frac{\pi}{4}) = 0$.
$x = \frac{20}{4+\pi} \, m$.
द्वितीय अवकलज परीक्षण के अनुसार,$\frac{d^2A}{dx^2} = -(1 + \frac{\pi}{4}) < 0$,अतः क्षेत्रफल अधिकतम है।
अब,$y = 5 - \frac{20}{4+\pi}(\frac{2+\pi}{4}) = \frac{10}{4+\pi} \, m$.
अतः,आवश्यक आयाम लंबाई $x = \frac{20}{4+\pi} \, m$ और चौड़ाई $y = \frac{10}{4+\pi} \, m$ हैं।

(A) दिया गया फलन $f(x)=(x-2)^{4}(x+1)^{3}$ है।
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 4(x-2)^{3}(x+1)^{3} + 3(x+1)^{2}(x-2)^{4}$
$f'(x) = (x-2)^{3}(x+1)^{2} [4(x+1) + 3(x-2)]$
$f'(x) = (x-2)^{3}(x+1)^{2} (4x + 4 + 3x - 6)$
$f'(x) = (x-2)^{3}(x+1)^{2} (7x - 2)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें क्रांतिक बिंदु $x = 2$,$x = -1$,और $x = \frac{2}{7}$ प्राप्त होते हैं।
इन बिंदुओं के आसपास $f'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करने पर:
$1$. $x = 2$ के लिए: जैसे ही $x$,$2$ को पार करता है,$f'(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक हो जाता है,इसलिए $x = 2$ स्थानीय निम्नतम बिंदु है।
$2$. $x = \frac{2}{7}$ के लिए: जैसे ही $x$,$\frac{2}{7}$ को पार करता है,$f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक हो जाता है,इसलिए $x = \frac{2}{7}$ स्थानीय उच्चतम बिंदु है।
$3$. $x = -1$ के लिए: जैसे ही $x$,$-1$ को पार करता है,$f'(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है (क्योंकि $(x+1)^{2}$ हमेशा गैर-ऋणात्मक है),इसलिए $x = -1$ नति परिवर्तन बिंदु है।
अतः:
$(i)$ स्थानीय उच्चतम $x = \frac{2}{7}$ पर है।
$(ii)$ स्थानीय निम्नतम $x = 2$ पर है।
$(iii)$ नति परिवर्तन बिंदु $x = -1$ पर है।

दिया गया है $f(x) = \cos^{2} x + \sin x$.
सबसे पहले,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 2 \cos x(-\sin x) + \cos x = -2 \sin x \cos x + \cos x$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $\cos x(1 - 2 \sin x) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\cos x = 0$ या $\sin x = \frac{1}{2}$.
$x \in [0, \pi]$ के लिए,क्रांतिक बिंदु $x = \frac{\pi}{6}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ हैं।
अब,हम क्रांतिक बिंदुओं और अंत बिंदुओं $x = 0$ और $x = \pi$ पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(0) = \cos^{2} 0 + \sin 0 = 1 + 0 = 1$.
$f(\pi) = \cos^{2} \pi + \sin \pi = (-1)^{2} + 0 = 1$.
$f(\frac{\pi}{6}) = \cos^{2} \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{6} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$.
$f(\frac{\pi}{2}) = \cos^{2} \frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2} = 0 + 1 = 1$.
इन मानों की तुलना करने पर,निरपेक्ष उच्चतम मान $\frac{5}{4}$ है और निरपेक्ष निम्नतम मान $1$ है।

(A) माना गोले की त्रिज्या $r$ है। शंकु की आधार त्रिज्या $R$ और ऊँचाई $h$ है। गोले का केंद्र $B$ है। शंकु का शीर्ष $A$ है और आधार की त्रिज्या $CD$ है। $\triangle BCD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$BC^2 + CD^2 = BD^2$। यहाँ $BD = r$ और $CD = R$ है,इसलिए $BC = \sqrt{r^2 - R^2}$। शंकु की ऊँचाई $h = AB + BC = r + \sqrt{r^2 - R^2}$ है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi R^2 (r + \sqrt{r^2 - R^2}) = \frac{1}{3} \pi R^2 r + \frac{1}{3} \pi R^2 \sqrt{r^2 - R^2}$ है।
$V$ को अधिकतम करने के लिए,$R$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dR} = \frac{1}{3} \pi [2Rr + 2R\sqrt{r^2 - R^2} + R^2 \cdot \frac{-2R}{2\sqrt{r^2 - R^2}}] = \frac{1}{3} \pi [2Rr + \frac{2R(r^2 - R^2) - R^3}{\sqrt{r^2 - R^2}}] = \frac{1}{3} \pi [2Rr + \frac{2Rr^2 - 3R^3}{\sqrt{r^2 - R^2}}]$।
$\frac{dV}{dR} = 0$ रखने पर,$2Rr\sqrt{r^2 - R^2} = 3R^3 - 2Rr^2$ प्राप्त होता है। $R$ से भाग देने पर $(R \neq 0)$:
$2r\sqrt{r^2 - R^2} = 3R^2 - 2r^2$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4r^2(r^2 - R^2) = (3R^2 - 2r^2)^2 = 9R^4 - 12R^2r^2 + 4r^4$।
$4r^4 - 4r^2R^2 = 9R^4 - 12R^2r^2 + 4r^4$।
$9R^4 - 8R^2r^2 = 0 \Rightarrow R^2(9R^2 - 8r^2) = 0$।
चूँकि $R \neq 0$,इसलिए $R^2 = \frac{8r^2}{9}$।
ऊँचाई के सूत्र में $R^2$ का मान रखने पर:
$h = r + \sqrt{r^2 - \frac{8r^2}{9}} = r + \sqrt{\frac{r^2}{9}} = r + \frac{r}{3} = \frac{4r}{3}$।
अतः,अधिकतम आयतन वाले शंकु की ऊँचाई $\frac{4r}{3}$ है।

(A) माना $R$ त्रिज्या वाले गोले के अंतर्गत बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
गोले की ज्यामिति से,हमारे पास संबंध $R^2 = r^2 + (h/2)^2$ है,जिसका अर्थ है $r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4}$।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h = \pi (R^2 - \frac{h^2}{4}) h = \pi R^2 h - \frac{\pi h^3}{4}$ द्वारा दिया जाता है।
$h$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dh} = \pi R^2 - \frac{3\pi h^2}{4}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर,हमें $\pi R^2 = \frac{3\pi h^2}{4}$ प्राप्त होता है,जिससे $h^2 = \frac{4R^2}{3}$ मिलता है,अतः $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$।
उच्चतम मान की जाँच करने के लिए,$\frac{d^2V}{dh^2} = -\frac{6\pi h}{4} = -\frac{3\pi h}{2}$। चूँकि $h > 0$,इसलिए $\frac{d^2V}{dh^2} < 0$ है,जो पुष्टि करता है कि $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$ पर आयतन अधिकतम है।
अधिकतम आयतन $V = \pi (R^2 - \frac{1}{4} \cdot \frac{4R^2}{3}) \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} = \pi (R^2 - \frac{R^2}{3}) \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} = \pi (\frac{2R^2}{3}) \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{4\pi R^3}{3\sqrt{3}}$ है।

(N/A) माना शंकु की ऊँचाई $h$ है और अर्ध-शीर्ष कोण $\alpha$ है। शंकु के आधार की त्रिज्या $r = h \tan \alpha$ है।
माना अंतर्गत बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई क्रमशः $R$ और $H$ हैं।
समरूप त्रिभुजों द्वारा,$\frac{H}{r-R} = \frac{h}{r}$ प्राप्त होता है।
$r = h \tan \alpha$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{H}{h \tan \alpha - R} = \frac{h}{h \tan \alpha} = \frac{1}{\tan \alpha}$ प्राप्त होता है।
अतः,$H = \frac{h \tan \alpha - R}{\tan \alpha} = h - \frac{R}{\tan \alpha}$।
बेलन का आयतन $V = \pi R^{2} H = \pi R^{2} (h - \frac{R}{\tan \alpha}) = \pi h R^{2} - \frac{\pi R^{3}}{\tan \alpha}$ है।
$V$ को अधिकतम करने के लिए,हम $\frac{dV}{dR} = 2 \pi h R - \frac{3 \pi R^{2}}{\tan \alpha}$ ज्ञात करते हैं।
$\frac{dV}{dR} = 0$ रखने पर,$2 \pi h R = \frac{3 \pi R^{2}}{\tan \alpha}$ प्राप्त होता है,जिससे $R = \frac{2}{3} h \tan \alpha$ मिलता है।
तब $H = h - \frac{\frac{2}{3} h \tan \alpha}{\tan \alpha} = h - \frac{2}{3} h = \frac{1}{3} h$।
चूँकि $\frac{d^{2}V}{dR^{2}} = 2 \pi h - \frac{6 \pi R}{\tan \alpha} = 2 \pi h - 4 \pi h = -2 \pi h < 0$,अतः $H = \frac{1}{3} h$ पर आयतन अधिकतम है।
अधिकतम आयतन $V = \pi (\frac{2}{3} h \tan \alpha)^{2} (\frac{1}{3} h) = \pi (\frac{4}{9} h^{2} \tan^{2} \alpha) (\frac{1}{3} h) = \frac{4}{27} \pi h^{3} \tan^{2} \alpha$ है।

(N/A) माना $ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कर्ण $AC = h$,आधार $AB = x$ और लंब $BC = y$ है। माना $\angle CAB = \theta$ है।
दिया गया है कि कर्ण और एक भुजा का योग अचर है,माना $h + x = k$,जहाँ $k$ एक अचर है।
त्रिभुज से,$\cos \theta = \frac{x}{h}$,इसलिए $x = h \cos \theta$ है।
इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर,$h + h \cos \theta = k$,जिससे $h(1 + \cos \theta) = k$ प्राप्त होता है,या $h = \frac{k}{1 + \cos \theta}$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} x y$ है।
चूंकि $x = h \cos \theta$ और $y = h \sin \theta$ है,इसलिए $A = \frac{1}{2} (h \cos \theta) (h \sin \theta) = \frac{1}{2} h^2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} h^2 \sin 2\theta$ है।
$h = \frac{k}{1 + \cos \theta}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A = \frac{k^2}{4} \cdot \frac{\sin 2\theta}{(1 + \cos \theta)^2}$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$A$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{d\theta} = \frac{k^2}{4} \left[ \frac{(1 + \cos \theta)^2 (2 \cos 2\theta) - \sin 2\theta \cdot 2(1 + \cos \theta)(-\sin \theta)}{(1 + \cos \theta)^4} \right]$ है।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $\frac{dA}{d\theta} = \frac{k^2}{2(1 + \cos \theta)^3} (2 \cos^2 \theta + \cos \theta - 1)$ प्राप्त होता है।
$\frac{dA}{d\theta} = 0$ रखने पर $2 \cos^2 \theta + \cos \theta - 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड करने पर $(2 \cos \theta - 1)(\cos \theta + 1) = 0$ होता है।
त्रिभुज के लिए $\cos \theta = -1$ संभव नहीं है,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{2}$ है,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करके,यह दिखाया जा सकता है कि $\theta = \frac{\pi}{3}$ पर $\frac{d^2A}{d\theta^2} < 0$ है,जो पुष्टि करता है कि क्षेत्रफल अधिकतम है।

(B) दिया गया है $f(x)=(4 a-3)\left(x+\log _{e} 5\right)+2(a-7) \cot \left(\frac{x}{2}\right) \sin ^{2}\left(\frac{x}{2}\right)$.
चूंकि $\cot \left(\frac{x}{2}\right) \sin ^{2}\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} \cdot \sin^2(x/2) = \sin(x/2)\cos(x/2) = \frac{1}{2} \sin x$,फलन सरल होकर निम्न हो जाता है:
$f(x)=(4 a-3)\left(x+\log _{e} 5\right)+(a-7) \sin x$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,हम $f'(x) = 0$ रखते हैं:
$f'(x)=(4 a-3)(1)+(a-7) \cos x = 0$.
यह इंगित करता है कि $\cos x = \frac{3-4 a}{a-7}$.
चूंकि $-1 \leq \cos x \leq 1$ और $x \neq 2n\pi$ (जिसका अर्थ है $\cos x \neq 1$),हमारे पास है:
$-1 \leq \frac{3-4 a}{a-7} < 1$.
स्थिति $1$: $\frac{3-4 a}{a-7} \geq -1 \Rightarrow \frac{3-4 a + a - 7}{a-7} \geq 0 \Rightarrow \frac{-3 a - 4}{a-7} \geq 0 \Rightarrow \frac{3 a + 4}{a-7} \leq 0$.
इससे $a \in [-\frac{4}{3}, 7)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $\frac{3-4 a}{a-7} < 1 \Rightarrow \frac{3-4 a - a + 7}{a-7} < 0 \Rightarrow \frac{-5 a + 10}{a-7} < 0 \Rightarrow \frac{5(a-2)}{a-7} > 0$.
इससे $a \in (-\infty, 2) \cup (7, \infty)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$ और स्थिति $2$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $a \in [-\frac{4}{3}, 2)$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,सीमा $a=2$ की जाँच करने पर,$\cos x = \frac{3-8}{2-7} = \frac{-5}{-5} = 1$,जिसे बाहर रखा गया है क्योंकि $x \neq 2n\pi$ है। अतः,परिसर $[-\frac{4}{3}, 2)$ है।

(D) चूंकि $p(x)$ के सापेक्ष चरम बिंदु $x=1$ और $x=2$ पर हैं,इसलिए $x=1$ और $x=2$ पर $p'(x) = 0$ है।
अतः,$p'(x) = A(x-1)(x-2) = A(x^2 - 3x + 2)$ है।
$p'(x)$ का समाकलन करने पर,हमें $p(x) = A(\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x) + C$ प्राप्त होता है।
दिया है कि $p(1) = 8$,इसलिए $8 = A(\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2) + C = A(\frac{2-9+12}{6}) + C = \frac{5A}{6} + C$,अर्थात $48 = 5A + 6C$ (समीकरण $1$)।
दिया है कि $p(2) = 4$,इसलिए $4 = A(\frac{8}{3} - 6 + 4) + C = A(\frac{8-6}{3}) + C = \frac{2A}{3} + C$,अर्थात $12 = 2A + 3C$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ को $2$ से गुणा करने पर,हमें $24 = 4A + 6C$ प्राप्त होता है।
समीकरण $1$ में से इसे घटाने पर,$48 - 24 = (5A - 4A) + (6C - 6C)$,जिससे $A = 24$ प्राप्त होता है।
$A = 24$ को समीकरण $2$ में रखने पर,$12 = 2(24) + 3C$,इसलिए $12 = 48 + 3C$,जिसका अर्थ है कि $3C = -36$,अर्थात $C = -12$ है।
चूंकि $p(0) = C$,इसलिए $p(0) = -12$ है।

(C) चूंकि $f(x)$ चार घात का बहुपद है,इसका अवकलज $f'(x)$ तीन घात का बहुपद है।
दिया गया है कि क्रांतिक बिंदु $-1, 0, 1$ हैं,इसलिए $f'(x) = k(x+1)(x)(x-1) = k(x^3 - x)$ जहाँ $k \neq 0$ एक स्थिरांक है।
$f'(x)$ का समाकलन करने पर,हमें $f(x) = k(\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}) + C$ प्राप्त होता है।
हमें $T = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) = f(0)\}$ ज्ञात करना है।
$f(x) = f(0)$ रखने पर,हमें $k(\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}) + C = C$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2(\frac{x^2}{4} - \frac{1}{2}) = 0$।
अतः,$x^2 = 0$ या $x^2 = 2$।
$T$ के तत्व $0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ हैं।
इन तत्वों के वर्गों का योग $0^2 + (\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2 = 0 + 2 + 2 = 4$ है।

(A) माना शीर्ष $C$ के निर्देशांक $(t, t^{2}-1)$ हैं जहाँ $0 < t < 1$ है। चूँकि परवलय $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,शीर्ष $D$ के निर्देशांक $(-t, t^{2}-1)$ होंगे।
आयत की लंबाई $2t$ है और ऊँचाई $|t^{2}-1| = 1-t^{2}$ है (क्योंकि आयत $x$-अक्ष के नीचे है)।
आयत का क्षेत्रफल $A = (2t)(1-t^{2}) = 2t - 2t^{3}$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dt} = 2 - 6t^{2}$.
$\frac{dA}{dt} = 0$ रखने पर,हमें $6t^{2} = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t^{2} = \frac{1}{3}$,अतः $t = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अधिकतम क्षेत्रफल $A = 2(\frac{1}{\sqrt{3}}) - 2(\frac{1}{\sqrt{3}})^{3} = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{6-2}{3\sqrt{3}} = \frac{4}{3\sqrt{3}}$ वर्ग इकाई है।

(A) दिया गया है $f(x) = (3x^{2} + ax - 2 - a)e^{x}$।
गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = (6x + a)e^{x} + (3x^{2} + ax - 2 - a)e^{x}$
$f'(x) = e^{x}(3x^{2} + (6 + a)x - 2)$
चूँकि $x = 1$ एक क्रांतिक बिंदु है,$f'(1) = 0$:
$e^{1}(3(1)^{2} + (6 + a)(1) - 2) = 0$
$3 + 6 + a - 2 = 0$
$7 + a = 0 \implies a = -7$
$a = -7$ को $f'(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f'(x) = e^{x}(3x^{2} + (6 - 7)x - 2)$
$f'(x) = e^{x}(3x^{2} - x - 2)$
$f'(x) = e^{x}(3x + 2)(x - 1)$
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = -\frac{2}{3}$ प्राप्त होते हैं।
प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर:
$x < -\frac{2}{3}$ के लिए,$f'(x) > 0$ है।
$-\frac{2}{3} < x < 1$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
$x > 1$ के लिए,$f'(x) > 0$ है।
चूँकि $x = -\frac{2}{3}$ पर $f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,यह स्थानीय उच्चतम का बिंदु है।
चूँकि $x = 1$ पर $f'(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,यह स्थानीय निम्नतम का बिंदु है।

(D) दिया गया है $f(x) = (1 - \cos^2 x)(\lambda + \sin x) = \sin^2 x(\lambda + \sin x) = \lambda \sin^2 x + \sin^3 x$.
अवकलन करने पर: $f'(x) = 2\lambda \sin x \cos x + 3 \sin^2 x \cos x = \sin x \cos x (2\lambda + 3 \sin x)$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखें। चूँकि $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ के लिए $\cos x \neq 0$,इसलिए $\sin x = 0$ या $\sin x = -\frac{2\lambda}{3}$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ हमेशा एक क्रांतिक बिंदु है। फलन के ठीक एक उच्चिष्ठ और एक निम्निष्ठ होने के लिए,अंतराल $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ में एक और क्रांतिक बिंदु होना चाहिए।
अतः,$-1 < -\frac{2\lambda}{3} < 1$ और $-\frac{2\lambda}{3} \neq 0$.
$-1 < -\frac{2\lambda}{3} < 1$ को हल करने पर $-\frac{3}{2} < \lambda < \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 0$ को छोड़कर (जहाँ दोनों क्रांतिक बिंदु $x=0$ पर संपाती हो जाते हैं),मानों का समुच्चय $(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}) - \{0\}$ है।

(A) मान लीजिए बिंदु $A$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है। चूँकि $AB = 10 \ m$ है,निर्देशांक $A(0, 0)$ और $B(10, 0)$ हैं।
खंभे ऊर्ध्वाधर हैं,इसलिए $D$ के निर्देशांक $(0, 8)$ और $C$ के निर्देशांक $(10, 11)$ हैं।
मान लीजिए $M$,$AB$ पर स्थित एक बिंदु है जो $A$ से $h$ दूरी पर है,इसलिए $M$ के निर्देशांक $(h, 0)$ हैं जहाँ $0 \le h \le 10$ है।
दूरी के वर्ग $MD^{2} = (h-0)^{2} + (0-8)^{2} = h^{2} + 64$ और $MC^{2} = (h-10)^{2} + (0-11)^{2} = (h-10)^{2} + 121$ हैं।
मान लीजिए $f(h) = MD^{2} + MC^{2} = h^{2} + 64 + (h-10)^{2} + 121$ है।
$f(h) = h^{2} + 64 + h^{2} - 20h + 100 + 121 = 2h^{2} - 20h + 285$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं $f'(h) = 4h - 20$।
$f'(h) = 0$ रखने पर $4h = 20$ प्राप्त होता है,इसलिए $h = 5$ है।
चूँकि $f''(h) = 4 > 0$ है,फलन $h = 5 \ m$ पर न्यूनतम है।

(C) दिया गया है $f(x) = ax^2 + bx + c$.
$f(-1) = a - b + c = 2$ --- $(1)$
$f^{\prime}(x) = 2ax + b \Rightarrow f^{\prime}(-1) = -2a + b = 1$ --- $(2)$
$f^{\prime\prime}(x) = 2a$.
$f^{\prime\prime}(x)$ का अधिकतम मान $\frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $2a = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \frac{1}{4}$.
समीकरण $(2)$ में $a = \frac{1}{4}$ रखने पर: $-2(\frac{1}{4}) + b = 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} + b = 1 \Rightarrow b = \frac{3}{2}$.
समीकरण $(1)$ में $a$ और $b$ का मान रखने पर: $\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + c = 2 \Rightarrow \frac{1-6}{4} + c = 2 \Rightarrow c = 2 + \frac{5}{4} = \frac{13}{4}$.
अतः,$f(x) = \frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{13}{4}$.
$[-1, 1]$ पर $f(x)$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अंतिम बिंदुओं और क्रांतिक बिंदुओं की जाँच करते हैं।
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$. $f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर $x = -3$ प्राप्त होता है,जो $[-1, 1]$ के बाहर है।
चूँकि $x \in [-1, 1]$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ है,इसलिए $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।
अतः,अधिकतम मान $x = 1$ पर प्राप्त होता है।
$f(1) = \frac{1}{4}(1)^2 + \frac{3}{2}(1) + \frac{13}{4} = \frac{1}{4} + \frac{6}{4} + \frac{13}{4} = \frac{20}{4} = 5$.
चूँकि $f(x) \leq \alpha$ है,इसलिए $\alpha$ का न्यूनतम मान $5$ है।

(B) मान लीजिए $P'(x) = k(x - 1)(x + 1) = k(x^2 - 1)$ किसी स्थिरांक $k$ के लिए।
$P'(x)$ का समाकलन करने पर,हमें $P(x) = k(\frac{x^3}{3} - x) + C$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $P(-3) = 0$,इसलिए $k(\frac{-27}{3} - (-3)) + C = 0$,जो सरल होकर $k(-9 + 3) + C = 0$ हो जाता है,अर्थात $-6k + C = 0$,या $C = 6k$।
दिया गया है कि $\int_{-1}^{1} P(x) dx = 18$,हम $\int_{-1}^{1} (k(\frac{x^3}{3} - x) + C) dx = 18$ की गणना करते हैं।
चूंकि $k(\frac{x^3}{3} - x)$ एक विषम फलन है,इसलिए $[-1, 1]$ पर इसका समाकलन $0$ होता है। अतः,$\int_{-1}^{1} C dx = 18$,जो $2C = 18$ देता है,इसलिए $C = 9$।
$C = 6k$ का उपयोग करके,हमें $9 = 6k$ प्राप्त होता है,इसलिए $k = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$।
इस प्रकार,$P(x) = \frac{3}{2}(\frac{x^3}{3} - x) + 9 = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x + 9$।
$P(x)$ के गुणांकों का योग $P(1) = \frac{1}{2}(1)^3 - \frac{3}{2}(1) + 9 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 9 = -1 + 9 = 8$ है।

(B) माना $f(x) = \frac{4}{\sin x} + \frac{1}{1-\sin x}$.
माना $t = \sin x$. चूँकि $x \in (0, \frac{\pi}{2})$,इसलिए $t \in (0, 1)$.
तब $f(t) = \frac{4}{t} + \frac{1}{1-t}$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(t)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(t) = -\frac{4}{t^2} + \frac{1}{(1-t)^2}$.
$f'(t) = 0$ रखने पर,हमें $\frac{1}{(1-t)^2} = \frac{4}{t^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(1-t)^2 = \frac{t^2}{4}$.
वर्गमूल लेने पर,$1-t = \frac{t}{2}$ (चूँकि $t \in (0, 1)$),इसलिए $1 = \frac{3t}{2}$,जिससे $t = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $t = \frac{2}{3}$ अंतराल $(0, 1)$ में है,इसलिए न्यूनतम मान $f(\frac{2}{3}) = \frac{4}{2/3} + \frac{1}{1-2/3} = 6 + 3 = 9$ है।
अतः,$\alpha$ का न्यूनतम मान जिसके लिए समीकरण का कम से कम एक हल हो,$9$ है।

(A) माना वक्र का ढाल $m(x) = \frac{dy}{dx}$ है।
$m(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} x^{4} - 5 x^{3} + 18 x^{2} - 19 x \right) = 2x^{3} - 15x^{2} + 36x - 19$.
अधिकतम ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $m(x)$ का अवकलन शून्य के बराबर रखकर इसके क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं:
$m'(x) = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 6x^{2} - 30x + 36 = 0$.
$6$ से भाग देने पर,हमें $x^{2} - 5x + 6 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $(x-2)(x-3) = 0$ हैं।
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 2$ और $x = 3$ हैं।
अधिकतम मान की जाँच करने के लिए,हम $m(x)$ पर द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हैं:
$m''(x) = \frac{d^{3}y}{dx^{3}} = 12x - 30$.
$x = 2$ पर,$m''(2) = 12(2) - 30 = 24 - 30 = -6 < 0$। चूंकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए $m(x)$ का $x = 2$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ मान है।
$x = 3$ पर,$m''(3) = 12(3) - 30 = 36 - 30 = 6 > 0$। चूंकि द्वितीय अवकलज धनात्मक है,इसलिए $m(x)$ का $x = 3$ पर स्थानीय निम्निष्ठ मान है।
इसलिए,अधिकतम ढाल $x = 2$ पर प्राप्त होता है।
मूल समीकरण $y = \frac{1}{2} x^{4} - 5 x^{3} + 18 x^{2} - 19 x$ में $x = 2$ रखने पर:
$y = \frac{1}{2}(16) - 5(8) + 18(4) - 19(2) = 8 - 40 + 72 - 38 = 2$.
बिंदु $(2, 2)$ है।

(C) $r$ त्रिज्या और $O$ केंद्र वाले वृत्त में अंतर्निहित त्रिभुज $\Delta ABC$ मानिए।
माना $\theta = \angle OBP$ है,जहाँ $P$,$BC$ का मध्य बिंदु है।
त्रिभुज की ऊँचाई $h = r \sin \theta + r$ है।
त्रिभुज का आधार $BC = 2r \cos \theta$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} (2r \cos \theta) (r \sin \theta + r) = r^2 \cos \theta (1 + \sin \theta)$ है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$\Delta$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d\Delta}{d\theta} = r^2 [-\sin \theta (1 + \sin \theta) + \cos \theta (\cos \theta)] = r^2 [-\sin \theta - \sin^2 \theta + \cos^2 \theta] = r^2 [1 - \sin \theta - 2 \sin^2 \theta]$ प्राप्त होता है।
$\frac{d\Delta}{d\theta} = 0$ रखने पर,$2 \sin^2 \theta + \sin \theta - 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 1) = 0$ हैं।
चूँकि $\theta \in [0, \pi/2)$,इसलिए $\sin \theta = 1/2$,अतः $\theta = \pi/6$ है।
$\theta = \pi/6$ पर,त्रिभुज की भुजा की लंबाई $s = 2r \cos(\pi/6) = 2r (\sqrt{3}/2) = \sqrt{3}r$ है।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल वाला त्रिभुज $\sqrt{3}r$ भुजा की लंबाई वाला एक समबाहु त्रिभुज है।

(B) माना वर्ग के लिए उपयोग किए गए तार की लंबाई $x$ है और वृत्त के लिए उपयोग की गई लंबाई $y$ है। अतः $x + y = 36$,जिससे $y = 36 - x$ प्राप्त होता है।
वर्ग की भुजा $s = \frac{x}{4}$ है,इसलिए वर्ग का क्षेत्रफल $A_1 = \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16}$ है।
वृत्त की परिधि $y = 2\pi r$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{y}{2\pi} = \frac{36-x}{2\pi}$ है। वृत्त का क्षेत्रफल $A_2 = \pi r^2 = \pi \left(\frac{36-x}{2\pi}\right)^2 = \frac{(36-x)^2}{4\pi}$ है।
कुल क्षेत्रफल $A(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(36-x)^2}{4\pi}$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $A'(x) = \frac{2x}{16} + \frac{2(36-x)(-1)}{4\pi} = \frac{x}{8} - \frac{36-x}{2\pi}$।
$A'(x) = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{x}{8} = \frac{36-x}{2\pi} \Rightarrow \pi x = 4(36-x) \Rightarrow \pi x = 144 - 4x \Rightarrow x(\pi + 4) = 144 \Rightarrow x = \frac{144}{\pi + 4}$।
वृत्त की परिधि $k = y = 36 - x = 36 - \frac{144}{\pi + 4} = \frac{36\pi + 144 - 144}{\pi + 4} = \frac{36\pi}{\pi + 4}$ है।
हमें $\left(\frac{4}{\pi} + 1\right) k = \left(\frac{4+\pi}{\pi}\right) \left(\frac{36\pi}{\pi + 4}\right) = 36$ ज्ञात करना है।

(C) दिया गया है $f(x) = \left(\frac{2}{x}\right)^{x^{2}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln f(x) = x^{2} (\ln 2 - \ln x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = 2x(\ln 2 - \ln x) + x^{2} \left(-\frac{1}{x}\right) = 2x \ln 2 - 2x \ln x - x = x(2 \ln 2 - 2 \ln x - 1)$.
$f'(x) = f(x) \cdot x \cdot (2 \ln 2 - 2 \ln x - 1)$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखने पर। चूंकि $f(x) > 0$ और $x > 0$,इसलिए:
$2 \ln 2 - 2 \ln x - 1 = 0$
$2 \ln \left(\frac{2}{x}\right) = 1$
$\ln \left(\frac{2}{x}\right) = \frac{1}{2}$
$\frac{2}{x} = e^{1/2} = \sqrt{e}$
$x = \frac{2}{\sqrt{e}}$.
$x = \frac{2}{\sqrt{e}}$ पर फलन का स्थानीय अधिकतम मान प्राप्त होता है।
स्थानीय अधिकतम मान $f\left(\frac{2}{\sqrt{e}}\right) = \left(\frac{2}{2/\sqrt{e}}\right)^{(2/\sqrt{e})^{2}} = (\sqrt{e})^{4/e} = (e^{1/2})^{4/e} = e^{2/e}$ है।

(D) मान लीजिए कि तार को $x$ और $20-x$ लंबाई के दो टुकड़ों में काटा जाता है।
वर्ग की भुजा $s_1 = \frac{x}{4}$ है,इसलिए वर्ग का क्षेत्रफल $A_1 = \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16}$ है।
नियमित षट्भुज की भुजा $s_2 = \frac{20-x}{6}$ है,इसलिए नियमित षट्भुज का क्षेत्रफल $A_2 = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{20-x}{6}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \frac{(20-x)^2}{36} = \frac{\sqrt{3}}{24} (20-x)^2$ है।
कुल क्षेत्रफल $A(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{\sqrt{3}}{24} (20-x)^2$ है।
न्यूनतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं:
$A'(x) = \frac{2x}{16} + \frac{\sqrt{3}}{24} \times 2(20-x)(-1) = \frac{x}{8} - \frac{\sqrt{3}}{12}(20-x) = 0$.
$24$ से गुणा करने पर $3x - 2\sqrt{3}(20-x) = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $3x - 40\sqrt{3} + 2\sqrt{3}x = 0$ हो जाता है।
अतः,$x(3 + 2\sqrt{3}) = 40\sqrt{3}$,इसलिए $x = \frac{40\sqrt{3}}{3 + 2\sqrt{3}}$।
षट्भुज की भुजा $s_2 = \frac{20-x}{6} = \frac{1}{6} \left( 20 - \frac{40\sqrt{3}}{3 + 2\sqrt{3}} \right)$ है।
$s_2 = \frac{1}{6} \left( \frac{60 + 40\sqrt{3} - 40\sqrt{3}}{3 + 2\sqrt{3}} \right) = \frac{1}{6} \left( \frac{60}{3 + 2\sqrt{3}} \right) = \frac{10}{3 + 2\sqrt{3}}$।

(C) माना $f(x) = 3x^{4} + 4x^{3} - 12x^{2} + 4$ है।
क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए,हम अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 12x^{3} + 12x^{2} - 24x = 12x(x^{2} + x - 2) = 12x(x + 2)(x - 1)$।
क्रांतिक बिंदु $x = -2, 0, 1$ हैं।
अब,इन क्रांतिक बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-2) = 3(-2)^{4} + 4(-2)^{3} - 12(-2)^{2} + 4 = 3(16) + 4(-8) - 12(4) + 4 = 48 - 32 - 48 + 4 = -28$।
$f(0) = 3(0)^{4} + 4(0)^{3} - 12(0)^{2} + 4 = 4$।
$f(1) = 3(1)^{4} + 4(1)^{3} - 12(1)^{2} + 4 = 3 + 4 - 12 + 4 = -1$।
जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$ और जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to \infty$।
चिह्न परिवर्तनों का विश्लेषण:
$1$. $(-\infty, -2)$ में,$f(x)$,$\infty$ से $-28$ तक घटता है। चूंकि $f(-2) = -28 < 0$,इसलिए $(-\infty, -2)$ में एक मूल है।
$2$. $(-2, 0)$ में,$f(x)$,$-28$ से $4$ तक बढ़ता है। चूंकि $f(-2) < 0$ और $f(0) > 0$,इसलिए $(-2, 0)$ में एक मूल है।
$3$. $(0, 1)$ में,$f(x)$,$4$ से $-1$ तक घटता है। चूंकि $f(0) > 0$ और $f(1) < 0$,इसलिए $(0, 1)$ में एक मूल है।
$4$. $(1, \infty)$ में,$f(x)$,$-1$ से $\infty$ तक बढ़ता है। चूंकि $f(1) < 0$ और $f(x) \to \infty$,इसलिए $(1, \infty)$ में एक मूल है।
अतः,कुल $4$ भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(C) बने हुए बक्से के आयाम $(a-2x)$,$(b-2x)$,और $x$ हैं।
बक्से का आयतन $V$ इस प्रकार है:
$V(x) = (a-2x)(b-2x)x = (ab - 2ax - 2bx + 4x^2)x = 4x^3 - 2(a+b)x^2 + abx$.
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dV}{dx} = 12x^2 - 4(a+b)x + ab$.
$\frac{dV}{dx} = 0$ रखने पर:
$12x^2 - 4(a+b)x + ab = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{4(a+b) \pm \sqrt{16(a+b)^2 - 48ab}}{24} = \frac{4(a+b) \pm \sqrt{16(a^2 + 2ab + b^2 - 3ab)}}{24} = \frac{4(a+b) \pm 4\sqrt{a^2 - ab + b^2}}{24} = \frac{(a+b) \pm \sqrt{a^2 - ab + b^2}}{6}$.
मान लीजिए $\alpha = \frac{(a+b) + \sqrt{a^2 - ab + b^2}}{6}$ और $\beta = \frac{(a+b) - \sqrt{a^2 - ab + b^2}}{6}$.
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर:
$\frac{d^2V}{dx^2} = 24x - 4(a+b)$.
$x = \beta$ के लिए,$\frac{d^2V}{dx^2} = 24\left(\frac{a+b - \sqrt{a^2 - ab + b^2}}{6}\right) - 4(a+b) = 4(a+b) - 4\sqrt{a^2 - ab + b^2} - 4(a+b) = -4\sqrt{a^2 - ab + b^2} < 0$.
चूंकि $x = \beta$ पर द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए आयतन $x = \beta = \frac{a+b - \sqrt{a^2 - ab + b^2}}{6}$ पर अधिकतम है।

(C) माना $e^{x} = t$ है। चूँकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{x} > 0$ होता है,इसलिए $t > 0$ होना चाहिए।
दिया गया समीकरण $f(t) = t^{4} + 2t^{3} - t - 6 = 0$ बन जाता है।
वास्तविक मूलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $t > 0$ के लिए फलन $f(t)$ का विश्लेषण करते हैं।
अवकलन ज्ञात करें: $f'(t) = 4t^{3} + 6t^{2} - 1$.
द्वितीय अवकलन ज्ञात करें: $f''(t) = 12t^{2} + 12t$. $t > 0$ के लिए,$f''(t) > 0$,जिसका अर्थ है कि $t > 0$ के लिए $f'(t)$ निरंतर वर्धमान फलन है।
$f'(0) = -1$ और $f'(1) = 4 + 6 - 1 = 9$. चूँकि $f'(t)$ निरंतर है और अंतराल $(0, 1)$ में ऋणात्मक से धनात्मक की ओर चिह्न बदलता है,इसलिए एक अद्वितीय मूल $\alpha \in (0, 1)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(\alpha) = 0$ है।
इस प्रकार,$f(t)$ अंतराल $(0, \alpha)$ पर घटता है और $(\alpha, \infty)$ पर बढ़ता है।
मुख्य बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करें:
$f(0) = -6$
$f(1) = 1 + 2 - 1 - 6 = -4$
$f(2) = 16 + 16 - 2 - 6 = 24$
चूँकि $f(1) = -4 < 0$ और $f(2) = 24 > 0$,'इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम' के अनुसार,अंतराल $(1, 2)$ में $t$ का ठीक एक मूल है।
चूँकि $t = e^{x} > 0$ है,और फलन $f(t)$ $t > 1$ के लिए निरंतर वर्धमान है,इसलिए $x$ का केवल एक वास्तविक हल प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है। तब $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ और $f''(x) = 6ax + 2b$ होगा।
चूंकि $f'(x)$ का $x = -1$ पर स्थानीय न्यूनतम है,इसलिए $f''(-1) = 0$,जिससे $6a(-1) + 2b = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $b = 3a$।
अतः,$f'(x) = 3ax^2 + 6ax + c = 3a(x^2 + 2x) + c = 3a(x+1)^2 + (c - 3a)$।
चूंकि $f(x)$ का $x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम है,इसलिए $f'(1) = 0$,जिससे $3a(1+1)^2 + (c - 3a) = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $12a + c - 3a = 0$,जिससे $c = -9a$ मिलता है।
अब,$f'(x) = 3ax^2 + 6ax - 9a = 3a(x^2 + 2x - 3) = 3a(x+3)(x-1)$।
$f'(x)$ का समाकलन करने पर,$f(x) = a(x^3 + 3x^2 - 9x) + k$ प्राप्त होता है।
$f(1) = -10$ का उपयोग करने पर: $a(1 + 3 - 9) + k = -10 \Rightarrow -5a + k = -10$।
$f(-1) = 6$ का उपयोग करने पर: $a(-1 + 3 + 9) + k = 6 \Rightarrow 11a + k = 6$।
समीकरणों को घटाने पर: $(11a + k) - (-5a + k) = 6 - (-10) \Rightarrow 16a = 16 \Rightarrow a = 1$।
तब $k = 6 - 11(1) = -5$।
अतः,$f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 5$।
अंत में,$f(3) = (3)^3 + 3(3)^2 - 9(3) - 5 = 27 + 27 - 27 - 5 = 22$।

(D) दिया गया है $f(x) = ax^2 + 6x - 15$.
$f'(x) = 2ax + 6$.
चूंकि $f(x)$ अंतराल $(-\infty, \frac{3}{4})$ में वर्धमान और $(\frac{3}{4}, \infty)$ में ह्रासमान है,इसलिए क्रांतिक बिंदु $x = \frac{3}{4}$ है।
$x = \frac{3}{4}$ पर,$f'(x) = 0$,इसलिए $2a(\frac{3}{4}) + 6 = 0 \Rightarrow \frac{3a}{2} = -6 \Rightarrow a = -4$.
अब,$g(x) = ax^2 - 6x + 15$ पर विचार करें। $a = -4$ रखने पर,हमें $g(x) = -4x^2 - 6x + 15$ प्राप्त होता है।
$g'(x) = -8x - 6$.
$g'(x) = 0$ रखने पर,हमें $-8x = 6 \Rightarrow x = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
स्थानीय उच्चतम या निम्नतम की जांच करने के लिए,हम द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हैं: $g''(x) = -8$.
चूंकि $g''(x) < 0$ है,इसलिए फलन $g(x)$ का $x = -\frac{3}{4}$ पर स्थानीय उच्चतम मान है।

(C) दिया गया है $f(x)=x^{3}-3 x^{2}-\frac{3}{2} f^{\prime \prime}(2) x+f^{\prime \prime}(1) \quad \dots(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-6 x-\frac{3}{2} f^{\prime \prime}(2) \quad \dots(ii)$
$f^{\prime \prime}(x)=6 x-6 \quad \dots(iii)$
$(iii)$ से,$f^{\prime \prime}(2)=6(2)-6=6$ और $f^{\prime \prime}(1)=6(1)-6=0$.
$f^{\prime \prime}(2)=6$ को $(ii)$ में रखने पर:
$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-6 x-\frac{3}{2}(6) = 3 x^{2}-6 x-9$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f^{\prime}(x)=0$ रखने पर:
$3(x^{2}-2 x-3)=0 \Rightarrow 3(x-3)(x+1)=0 \Rightarrow x=3, -1$.
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर:
$f^{\prime \prime}(-1)=6(-1)-6=-12 < 0$ ($x=-1$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ है)।
$f^{\prime \prime}(3)=6(3)-6=12 > 0$ ($x=3$ पर स्थानीय निम्निष्ठ है)।
$f^{\prime \prime}(2)=6$ और $f^{\prime \prime}(1)=0$ को $(i)$ में रखने पर:
$f(x)=x^{3}-3 x^{2}-9 x$.
स्थानीय न्यूनतम मान $f(3)=3^{3}-3(3^{2})-9(3) = 27-27-27 = -27$ है।

(C) माना समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $a = 2 \sqrt{2}$ है।
माना आयत की लंबाई $\ell$ और चौड़ाई $b$ है।
ऊपरी भाग में बनने वाले समरूप त्रिभुजों से,छोटे त्रिभुज की ऊँचाई और उसके आधार का अनुपात बड़े त्रिभुज की ऊँचाई और उसके आधार के अनुपात के बराबर होता है।
समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई $H = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} (2 \sqrt{2}) = \sqrt{6}$ है।
समरूप त्रिभुजों द्वारा,$\frac{H-b}{H} = \frac{\ell}{a}$.
$\frac{\sqrt{6}-b}{\sqrt{6}} = \frac{\ell}{2 \sqrt{2}}$.
$b = \sqrt{6} (1 - \frac{\ell}{2 \sqrt{2}}) = \sqrt{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \ell$.
क्षेत्रफल $A = \ell \times b = \ell (\sqrt{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \ell) = \sqrt{6} \ell - \frac{\sqrt{3}}{2} \ell^2$.
$A$ को अधिकतम करने के लिए,$\frac{dA}{d\ell} = 0$ रखें।
$\sqrt{6} - \sqrt{3} \ell = 0 \Rightarrow \ell = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$.
अधिकतम क्षेत्रफल $A = \sqrt{2} (\sqrt{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{2}) = \sqrt{12} - \frac{\sqrt{6}}{2} \sqrt{2} = 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
अधिकतम क्षेत्रफल का वर्ग $A^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$ है।

(D) माना $f(x) = x^{7}-7x$. हमें $f(x) = 2$ के वास्तविक मूलों की संख्या ज्ञात करनी है।
सबसे पहले,अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = 7x^{6}-7 = 7(x^{6}-1) = 7(x-1)(x^{2}+x+1)(x+1)(x^{2}-x+1)$.
क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = -1$ हैं।
इन बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(1) = 1^{7}-7(1) = 1-7 = -6$.
$f(-1) = (-1)^{7}-7(-1) = -1+7 = 6$.
जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$,और जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to -\infty$.
फलन $(-\infty, -1)$ पर बढ़ता है,$(-1, 1)$ पर घटता है,और $(1, \infty)$ पर बढ़ता है।
चूंकि $f(-1) = 6 > 2$ और $f(1) = -6 < 2$,क्षैतिज रेखा $y = 2$,$f(x)$ के ग्राफ को तीन भिन्न बिंदुओं पर काटती है।
अतः,$3$ भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(B) दिया गया है $f(x) = |2x^2 + 3x - 2| + \sin x \cos x = |(2x-1)(x+2)| + \frac{1}{2} \sin(2x)$.
अंतराल $[0, 1]$ में,$2x-1$ का मान $x = 1/2$ पर चिन्ह बदलता है। चूंकि $x \in [0, 1]$ के लिए $x+2 > 0$ है,हमारे पास है:
$f(x) = \begin{cases} -(2x^2 + 3x - 2) + \frac{1}{2} \sin(2x), & 0 \leq x < 1/2 \\ (2x^2 + 3x - 2) + \frac{1}{2} \sin(2x), & 1/2 \leq x \leq 1 \end{cases}$.
$0 \leq x < 1/2$ के लिए,$f'(x) = -(4x+3) + \cos(2x)$। चूंकि $4x+3 > 3$ और $\cos(2x) \leq 1$ है,इसलिए $f'(x) < 0$,अतः $f(x)$ निरंतर ह्रासमान है।
$1/2 < x < 1$ के लिए,$f'(x) = 4x+3 + \cos(2x) > 0$,अतः $f(x)$ निरंतर वर्धमान है।
इस प्रकार,निरपेक्ष न्यूनतम मान $x = 1/2$ पर प्राप्त होता है: $f(1/2) = |0| + \frac{1}{2} \sin(1) = \frac{1}{2} \sin(1)$.
निरपेक्ष अधिकतम मान अंत बिंदुओं $x=0$ या $x=1$ पर प्राप्त होता है।
$f(0) = |-2| + 0 = 2$.
$f(1) = |2+3-2| + \frac{1}{2} \sin(2) = 3 + \frac{1}{2} \sin(2)$.
$f(0)=2$ और $f(1)=3 + \frac{1}{2} \sin(2)$ की तुलना करने पर,चूंकि $\sin(2) > 0$,इसलिए $f(1) > f(0)$।
निरपेक्ष अधिकतम मान $3 + \frac{1}{2} \sin(2) = 3 + \sin(1) \cos(1)$ है।
योग = $f(1/2) + f(1) = \frac{1}{2} \sin(1) + 3 + \sin(1) \cos(1) = 3 + \frac{1}{2} \sin(1) (1 + 2 \cos(1))$.

(C) दिया गया है $f(x) = |(x-1)(x-3)(x+1)| + x - 3$.
अंतराल $(0, 4)$ के लिए,हम $(x-1)(x-3)(x+1)$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं।
क्रांतिक बिंदु $x = -1, 1, 3$ हैं।
$(0, 1)$ में,$(x-1)(x-3)(x+1) < 0$,इसलिए $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 6$.
$(1, 3)$ में,$(x-1)(x-3)(x+1) > 0$,इसलिए $f(x) = x^3 - 3x^2$.
$(3, 4)$ में,$(x-1)(x-3)(x+1) > 0$,इसलिए $f(x) = x^3 - 3x^2$.
अतः,$f(x) = \begin{cases} -x^3 + 3x^2 - 6, & x \in (0, 1] \\ x^3 - 3x^2, & x \in (1, 4) \end{cases}$.
$f'(x) = \begin{cases} -3x^2 + 6x, & x \in (0, 1) \\ 3x^2 - 6x, & x \in (1, 4) \end{cases}$.
$x=1$ पर,$f'(1^-) = 3$ और $f'(1^+) = -3$ है। अतः $x=1$ एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है।
$x \in (1, 4)$ के लिए,$f'(x) = 3x(x-2) = 0 \Rightarrow x=2$ है। $x=2$ एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
इस प्रकार,$m=1$ और $M=1$,अतः $m+M=2$ है। हालाँकि,विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $3$ है।

(B) घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल $2(2x \cdot 4x + 4x \cdot 5x + 5x \cdot 2x) = 2(8x^2 + 20x^2 + 10x^2) = 2(38x^2) = 76x^2$ है।
एक बंद अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $3\pi r^2$ है।
दिया गया है कि $76x^2 + 3\pi r^2 = k$,इसलिए $r^2 = \frac{k - 76x^2}{3\pi}$।
कुल आयतन $V = 40x^3 + \frac{2}{3}\pi r^3$ है।
$r = \left(\frac{k - 76x^2}{3\pi}\right)^{1/2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = 40x^3 + \frac{2}{3}\pi \left(\frac{k - 76x^2}{3\pi}\right)^{3/2}$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने और $\frac{dV}{dx} = 0$ रखने पर:
$120x^2 + \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{3}{2} \left(\frac{k - 76x^2}{3\pi}\right)^{1/2} \cdot \left(\frac{-152x}{3\pi}\right) = 0$।
$120x^2 = \frac{152x}{3} \left(\frac{k - 76x^2}{3\pi}\right)^{1/2}$।
चूंकि $x \neq 0$,इसलिए $120x = \frac{152}{3} \cdot r$।
$\frac{x}{r} = \frac{152}{360} = \frac{19}{45}$।

(A) सबसे पहले,हम मापांक के अंदर के व्यंजक का विश्लेषण करते हैं: $g(x) = -x^2 + 3x + 2$. $g(x) = 0$ के मूल $x = \frac{3 \mp \sqrt{17}}{2}$ हैं।
अंतराल $[-1, 2]$ में,$f(x) = -x^2 + 2x + 2$ जब $x \in [\frac{3-\sqrt{17}}{2}, 2]$ और $f(x) = x^2 - 4x - 2$ जब $x \in [-1, \frac{3-\sqrt{17}}{2}]$ है।
अंतिम बिंदुओं और क्रांतिक बिंदुओं पर मान:
$f(-1) = 3$,$f(2) = 2$,$f(1) = 3$,और $f(\frac{3-\sqrt{17}}{2}) = \frac{\sqrt{17}-3}{2}$ है।
निरपेक्ष अधिकतम मान $= 3$ और निरपेक्ष न्यूनतम मान $= \frac{\sqrt{17}-3}{2}$ है।
योग $= 3 + \frac{\sqrt{17}-3}{2} = \frac{\sqrt{17}+3}{2}$।

(B) दिया गया है $f(x) = 2 \cos^{-1} x + 4 \cot^{-1} x - 3x^2 - 2x + 10$,जहाँ $x \in [-1, 1]$ है।
सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = -2 \left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{2}{1+x^2} + 3x + 1 \right)$.
$x \in [-1, 1]$ के लिए,$f'(x) < 0$ है,अतः $f(x)$ एक ह्रासमान (decreasing) फलन है।
अंत बिंदुओं पर मान:
$f(1) = 2(0) + 4(\frac{\pi}{4}) - 3 - 2 + 10 = \pi + 5$.
$f(-1) = 2(\pi) + 4(\frac{3\pi}{4}) - 3 + 2 + 10 = 5\pi + 9$.
यहाँ $a = \pi + 5$ और $b = 5\pi + 9$ है।
अतः,$4a - b = 4(\pi + 5) - (5\pi + 9) = 4\pi + 20 - 5\pi - 9 = 11 - \pi$.

(B) दिया गया है $f(x) = \int_{0}^{x^{2}} \frac{t^{2}-5t+4}{2+e^{t}} dt$.
लेबनीज़ नियम का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$f'(x) = \frac{(x^{2})^{2}-5(x^{2})+4}{2+e^{x^{2}}} \cdot \frac{d}{dx}(x^{2})$
$f'(x) = \frac{x^{4}-5x^{2}+4}{2+e^{x^{2}}} \cdot (2x)$
$f'(x) = \frac{2x(x^{2}-1)(x^{2}-4)}{2+e^{x^{2}}}$
$f'(x) = \frac{2x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}{2+e^{x^{2}}}$
क्रांतिक बिंदु $x = -2, -1, 0, 1, 2$ हैं।
इन बिंदुओं के आसपास $f'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करने पर:
$x < -2$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
$-2 < x < -1$ के लिए,$f'(x) > 0$ है।
$-1 < x < 0$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
$0 < x < 1$ के लिए,$f'(x) > 0$ है।
$1 < x < 2$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
$x > 2$ के लिए,$f'(x) > 0$ है।
स्थानीय न्यूनतम बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ $f'(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक हो जाता है: $x = -2, 0, 2$ पर। अतः,$n = 3$ है।
स्थानीय उच्चतम बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ $f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक हो जाता है: $x = -1, 1$ पर। अतः,$m = 2$ है।
इसलिए,क्रमित युग्म $(m, n)$ का मान $(2, 3)$ है।

(D) माना $f(x) = x^{4}-4x+1$.
अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = 4x^{3}-4$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $4x^{3}-4 = 0 \Rightarrow x^{3} = 1 \Rightarrow x = 1$.
चूंकि $f''(x) = 12x^{2}$,इसलिए $f''(1) = 12 > 0$,अतः $x = 1$ स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
न्यूनतम मान $f(1) = 1^{4}-4(1)+1 = 1-4+1 = -2$ है।
जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$ और जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to \infty$.
चूंकि न्यूनतम मान $-2$ है (जो $0$ से कम है) और फलन सतत है,इसलिए ग्राफ $x$-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है: एक $(-\infty, 1)$ अंतराल में और दूसरा $(1, \infty)$ अंतराल में।
अतः,$2$ भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 20-2x^2$,$b = 10+x^2$,और $c = 10+x^2$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s$ इस प्रकार है:
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{(20-2x^2) + (10+x^2) + (10+x^2)}{2} = \frac{40}{2} = 20$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta$ हेरॉन के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\Delta = \sqrt{20(20-(20-2x^2))(20-(10+x^2))(20-(10+x^2))}$
$\Delta = \sqrt{20(2x^2)(10-x^2)(10-x^2)}$
$\Delta = \sqrt{40x^2(10-x^2)^2} = 2\sqrt{10}|x(10-x^2)| = 2\sqrt{10}|10x-x^3|$.
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,हम $f(x) = 10x-x^3$ को अधिकतम करते हैं (भुजाओं की लंबाई धनात्मक होने के कारण $x>0$ लेते हुए)।
$f'(x) = 10-3x^2$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $10-3x^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = \frac{10}{3}$.
अतः,$x=k$ पर,$k^2 = \frac{10}{3}$.
इसलिए,$3k^2 = 3 \times \frac{10}{3} = 10$.

(C) फलन का अवकलन $f'(x) = n_{1}(x-3)^{n_{1}-1}(x-5)^{n_{2}} + n_{2}(x-3)^{n_{1}}(x-5)^{n_{2}-1}$ है।
इसे सरल करने पर,$f'(x) = (x-3)^{n_{1}-1}(x-5)^{n_{2}-1} [(n_{1}+n_{2})x - (5n_{1}+3n_{2})]$ प्राप्त होता है।
$(3, 5)$ में क्रांतिक बिंदु $x = \frac{5n_{1}+3n_{2}}{n_{1}+n_{2}}$ है।
$n_{1}=3, n_{2}=5$ के लिए,$f'(x) = (x-3)^{2}(x-5)^{4} [8x - 30] = 8(x-3)^{2}(x-5)^{4} (x - 3.75)$ है।
चूंकि $(x-3)^{2}$ और $(x-5)^{4}$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होते हैं,$x = 3.75$ पर $f'(x)$ का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,जिसका अर्थ है कि यह एक स्थानीय निम्निष्ठ है,उच्चिष्ठ नहीं। अतः,विकल्प $C$ सत्य नहीं है।

(B) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के लिए उपयोग किए गए तार की लंबाई $x \; m$ है। तो वर्ग के लिए उपयोग किए गए तार की लंबाई $(22-x) \; m$ होगी।
समबाहु त्रिभुज के लिए,भुजा की लंबाई $a = \frac{x}{3}$ है। इसका क्षेत्रफल $A_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{x}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3} x^2}{36}$ है।
वर्ग के लिए,भुजा की लंबाई $b = \frac{22-x}{4}$ है। इसका क्षेत्रफल $A_2 = b^2 = \left(\frac{22-x}{4}\right)^2 = \frac{(22-x)^2}{16}$ है।
कुल क्षेत्रफल $A = A_1 + A_2 = \frac{\sqrt{3} x^2}{36} + \frac{(22-x)^2}{16}$ है।
न्यूनतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$A$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें और इसे शून्य के बराबर रखें:
$\frac{dA}{dx} = \frac{2 \sqrt{3} x}{36} + \frac{2(22-x)(-1)}{16} = 0$
$\frac{\sqrt{3} x}{18} - \frac{22-x}{8} = 0$
$\frac{\sqrt{3} x}{18} = \frac{22-x}{8}$
$8 \sqrt{3} x = 18(22-x) = 396 - 18x$
$x(8 \sqrt{3} + 18) = 396$
$x = \frac{396}{18 + 8 \sqrt{3}} = \frac{198}{9 + 4 \sqrt{3}}$
समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $a = \frac{x}{3} = \frac{198}{3(9 + 4 \sqrt{3})} = \frac{66}{9 + 4 \sqrt{3}} \; m$ होगी।

(B) दिया गया है $f(x) = |5x - 7| + [x^2 + 2x]$.
अंतराल $x \in [\frac{5}{4}, 2]$ के लिए,हम फलन का विश्लेषण करते हैं।
$x = \frac{5}{4} = 1.25$ पर,$f(1.25) = |5(1.25) - 7| + [1.25^2 + 2(1.25)] = |6.25 - 7| + [1.5625 + 2.5] = |-0.75| + [4.0625] = 0.75 + 4 = 4.75$.
$x = \frac{7}{5} = 1.4$ पर,$f(1.4) = |5(1.4) - 7| + [1.4^2 + 2(1.4)] = 0 + [1.96 + 2.8] = [4.76] = 4$.
चूँकि $|5x - 7|$ और $x^2 + 2x$ दोनों $x > 1.4$ के लिए वर्धमान फलन हैं,इसलिए $f(x)$ अंतराल $[1.4, 2]$ पर वर्धमान है।
$x = 2$ पर,$f(2) = |5(2) - 7| + [2^2 + 2(2)] = |10 - 7| + [4 + 4] = 3 + 8 = 11$.
न्यूनतम मान $4$ है और अधिकतम मान $11$ है।
अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग $4 + 11 = 15$ है।

(B) माना $f(x) = (x^2 - 2x + 7) e^{g(x)}$,जहाँ $g(x) = 4x^3 - 12x^2 - 180x + 31$.
सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = (2x - 2) e^{g(x)} + (x^2 - 2x + 7) e^{g(x)} \cdot g'(x)$
$g'(x) = 12x^2 - 24x - 180 = 12(x - 5)(x + 3)$.
$g'(x)$ को $f'(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f'(x) = e^{g(x)} [2(x - 1) + (x^2 - 2x + 7) \cdot 12(x - 5)(x + 3)]$.
अंतराल $x \in [-3, 0]$ के लिए,हम $f'(x)$ का चिह्न देखते हैं:
चूँकि $x \in [-3, 0]$,$(x - 5) < 0$ और $(x + 3) \ge 0$.
अतः,$(x - 5)(x + 3) \le 0$.
साथ ही,$(x^2 - 2x + 7)$ हमेशा धनात्मक है क्योंकि इसका विविक्तकर $D = 4 - 28 = -24 < 0$ है।
इसलिए,$(x^2 - 2x + 7) \cdot 12(x - 5)(x + 3) \le 0$.
$x \in [-3, 0]$ के लिए,$2(x - 1)$ भी ऋणात्मक है।
चूँकि दोनों पद ऋणात्मक हैं,$x \in (-3, 0]$ के लिए $f'(x) < 0$ है।
चूँकि $f'(x) < 0$,फलन $f(x)$ अंतराल $[-3, 0]$ पर निरंतर ह्रासमान है।
इसलिए,निरपेक्ष अधिकतम मान अंतराल के बाएँ छोर $x = -3$ पर प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = -3$.

(A) दिया गया है $y(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + 5$।
चूंकि वक्र $(-2, 0)$ से गुजरता है,हमारे पास $y(-2) = a(-8) + b(4) - 2c + 5 = 0$ है,जो $-8a + 4b - 2c = -5$ या $8a - 4b + 2c = 5$ (समीकरण $1$) में सरल होता है।
चूंकि वक्र $x$-अक्ष को $(-2, 0)$ पर स्पर्श करता है,ढाल $y'(-2) = 0$ है।
$y'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c$।
$y'(-2) = 3a(4) + 2b(-2) + c = 12a - 4b + c = 0$ (समीकरण $2$)।
दिया गया है $y'(0) = 3$,इसलिए $c = 3$ (समीकरण $3$)।
$c=3$ को समीकरण $1$ और $2$ में रखने पर:
$8a - 4b + 6 = 5 \implies 8a - 4b = -1$।
$12a - 4b + 3 = 0 \implies 12a - 4b = -3$।
दूसरे समीकरण से पहले को घटाने पर: $(12a - 4b) - (8a - 4b) = -3 - (-1) \implies 4a = -2 \implies a = -\frac{1}{2}$।
$a = -\frac{1}{2}$ को $12a - 4b = -3$ में रखने पर: $12(-\frac{1}{2}) - 4b = -3 \implies -6 - 4b = -3 \implies -4b = 3 \implies b = -\frac{3}{4}$।
अतः,$y(x) = -\frac{1}{2}x^{3} - \frac{3}{4}x^{2} + 3x + 5$।
$y'(x) = -\frac{3}{2}x^{2} - \frac{3}{2}x + 3$।
$y'(x) = 0$ रखने पर: $-\frac{3}{2}(x^{2} + x - 2) = 0 \implies (x+2)(x-1) = 0$।
क्रांतिक बिंदु $x = -2$ और $x = 1$ हैं।
$y''(x) = -3x - \frac{3}{2}$।
$x = 1$ पर,$y''(1) = -3 - 1.5 = -4.5 < 0$,इसलिए $x = 1$ स्थानीय अधिकतम है।
$y(1) = -\frac{1}{2}(1)^{3} - \frac{3}{4}(1)^{2} + 3(1) + 5 = -0.5 - 0.75 + 3 + 5 = 6.75 = \frac{27}{4}$।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \tan^{-1}(\sin x - \cos x)$ है।
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sin x - \cos x)^2} \cdot (\cos x + \sin x)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $\cos x + \sin x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan x = -1$.
अंतराल $[0, \pi]$ में,एकमात्र हल $x = \frac{3\pi}{4}$ है।
अब,हम क्रांतिक बिंदु और अंतराल $[0, \pi]$ के अंत बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $x = 0$ पर: $f(0) = \tan^{-1}(\sin 0 - \cos 0) = \tan^{-1}(0 - 1) = \tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
$2$. $x = \frac{3\pi}{4}$ पर: $f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \tan^{-1}\left(\sin\frac{3\pi}{4} - \cos\frac{3\pi}{4}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})\right) = \tan^{-1}(\sqrt{2})$.
$3$. $x = \pi$ पर: $f(\pi) = \tan^{-1}(\sin \pi - \cos \pi) = \tan^{-1}(0 - (-1)) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
इन मानों की तुलना करने पर:
निरपेक्ष अधिकतम मान = $\tan^{-1}(\sqrt{2})$.
निरपेक्ष न्यूनतम मान = $-\frac{\pi}{4}$.
अतः,निरपेक्ष अधिकतम और निरपेक्ष न्यूनतम मानों का योग $\tan^{-1}(\sqrt{2}) - \frac{\pi}{4}$ है।

(C) $AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करने पर: $\frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + \frac{\alpha}{2x^5} + \frac{\alpha}{2x^5} \geq 7 \sqrt[7]{\left(\frac{x^2}{2}\right)^5 \cdot \left(\frac{\alpha}{2x^5}\right)^2}$.
सरल करने पर: $7 \sqrt[7]{\frac{\alpha^2}{2^7}} = \frac{7 \cdot \alpha^{2/7}}{2}$.
न्यूनतम मान $14$ दिया गया है,अतः $\frac{7 \cdot \alpha^{2/7}}{2} = 14$.
$\alpha^{2/7} = 4 = 2^2$.
इसलिए,$\alpha = (2^2)^{7/2} = 2^7 = 128$.