Maxima and Minima Questions in Hindi

(A) माना कि दो शून्येतर संख्याएँ $x$ और $y$ हैं। दिया गया है कि $x + y = 4$,जिसका अर्थ है $y = 4 - x$.
हम उनके व्युत्क्रमों के योग $S = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ को न्यूनतम करना चाहते हैं।
$S$ के व्यंजक में $y = 4 - x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $S(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{4 - x}$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $S$ का अवकलन करते हैं: $S'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(4 - x)^2}$.
$S'(x) = 0$ रखने पर,हमें $\frac{1}{x^2} = \frac{1}{(4 - x)^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = (4 - x)^2$.
$x$ के लिए हल करने पर,$x^2 = 16 - 8x + x^2$,इसलिए $8x = 16$,जिससे $x = 2$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 2$ है,तो $y = 4 - 2 = 2$.
व्युत्क्रमों का योग $S = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ है।
चूंकि $S''(x) = \frac{2}{x^3} + \frac{2}{(4 - x)^3}$,$x = 2$ पर,$S''(2) = \frac{2}{8} + \frac{2}{8} = \frac{1}{2} > 0$,जो एक स्थानीय न्यूनतम मान की पुष्टि करता है।
अतः,न्यूनतम मान $1$ है।

(A) दिया गया फलन $y = \alpha \log x + \beta x^3 - x$ है।
फलन के $x = -1$ और $x = 1$ पर चरम मान होने के लिए,अवकलज $\frac{dy}{dx}$ इन बिंदुओं पर शून्य होना चाहिए।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = \frac{\alpha}{x} + 3\beta x^2 - 1$.
$x = 1$ पर: $\frac{dy}{dx} = \alpha + 3\beta - 1 = 0 \implies \alpha + 3\beta = 1$.
$x = -1$ पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{\alpha}{-1} + 3\beta(-1)^2 - 1 = 0 \implies -\alpha + 3\beta = 1$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(\alpha + 3\beta) + (-\alpha + 3\beta) = 1 + 1 \implies 6\beta = 2 \implies \beta = \frac{1}{3}$.
$\beta = \frac{1}{3}$ को $\alpha + 3\beta = 1$ में रखने पर: $\alpha + 3(\frac{1}{3}) = 1 \implies \alpha + 1 = 1 \implies \alpha = 0$.
अतः,$\alpha = 0$ और $\beta = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $R(x)$ राजस्व फलन है और $C(x)$ लागत फलन है।
राजस्व $R(x) = x \times \left(6 - \frac{x}{40}\right) = 6x - \frac{x^2}{40}$.
लागत $C(x) = \frac{x}{5} + 193$.
लाभ $P(x) = R(x) - C(x) = 6x - \frac{x^2}{40} - \frac{x}{5} - 193$.
$P(x) = -\frac{x^2}{40} + \frac{29x}{5} - 193$.
अधिकतम लाभ ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $P'(x)$ ज्ञात करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं।
$P'(x) = -\frac{2x}{40} + \frac{29}{5} = -\frac{x}{20} + 5.8$.
$P'(x) = 0$ रखने पर,हमें $\frac{x}{20} = 5.8$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 116$.
अब,द्वितीय अवकलज $P''(x) = -\frac{1}{20}$ ज्ञात करें। चूंकि $P''(x) < 0$,इसलिए $x = 116$ पर लाभ अधिकतम है।
अधिकतम लाभ $P(116) = -\frac{116^2}{40} + \frac{29(116)}{5} - 193$.
$P(116) = -\frac{13456}{40} + 672.8 - 193 = -336.4 + 672.8 - 193 = 143.4$.

(A) माना $f(x, y) = ax + by$ और प्रतिबंध $xy = c^2$ है,जहाँ $x, y > 0$ है।
$y = \frac{c^2}{x}$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = ax + \frac{bc^2}{x}$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = a - \frac{bc^2}{x^2}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $a = \frac{bc^2}{x^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = \frac{bc^2}{a}$,अतः $x = c\sqrt{\frac{b}{a}}$.
चूँकि $x, y > 0$ है,हम धनात्मक वर्गमूल लेते हैं।
तब $y = \frac{c^2}{x} = \frac{c^2}{c\sqrt{b/a}} = c\sqrt{\frac{a}{b}}$.
न्यूनतम मान $f = a(c\sqrt{\frac{b}{a}}) + b(c\sqrt{\frac{a}{b}}) = c\sqrt{ab} + c\sqrt{ab} = 2c\sqrt{ab}$ है।

(A) माना $f(x) = (\frac{1}{x})^x = x^{-x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(f(x)) = -x \ln(x)$ प्राप्त होता है।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{dx}(\ln(f(x))) = \frac{d}{dx}(-x \ln(x))$
$\frac{f'(x)}{f(x)} = -[\ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}] = -(\ln(x) + 1)$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $\ln(x) + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\ln(x) = -1$,अतः $x = e^{-1} = \frac{1}{e}$।
अब,हम $x = \frac{1}{e}$ के आसपास द्वितीय अवकलज या $f'(x)$ के चिह्न की जाँच करते हैं।
$x < \frac{1}{e}$ के लिए,$f'(x) > 0$ और $x > \frac{1}{e}$ के लिए,$f'(x) < 0$,अतः $x = \frac{1}{e}$ एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है।
अधिकतम मान $f(\frac{1}{e}) = (\frac{1}{1/e})^{1/e} = e^{1/e}$ है।

(B) माना $f(x, y) = x^2 y$ है। दिया गया है कि $x+y=6$,इसलिए $y = 6-x$ है।
$f$ में $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = x^2(6-x) = 6x^2 - x^3$ प्राप्त होता है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं $f'(x) = 12x - 3x^2$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $3x(4-x) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x=0$ या $x=4$ है।
चूंकि $x=0$ के लिए $f(0)=0$ है,इसलिए हम $x=4$ की जांच करते हैं।
$x=4$ के लिए,$y = 6-4 = 2$ है।
अतः,मान $f(4) = 4^2 \times 2 = 16 \times 2 = 32$ है।
इसलिए,अधिकतम मान $32$ है।

(B) वक्र $y=f(x)$ के स्पर्शरेखा की ढाल $m = \frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $y = x^3 - 3x^2 + 2x + 93$,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$m = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x + 2$.
ढाल $m$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $m$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dm}{dx} = 6x - 6$.
$\frac{dm}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $6x - 6 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 1$.
अब,न्यूनतम मान की पुष्टि करने के लिए हम द्वितीय अवकलज का उपयोग करते हैं:
$\frac{d^2m}{dx^2} = 6 > 0$,जो पुष्टि करता है कि $x = 1$ पर ढाल न्यूनतम है।
ढाल का न्यूनतम मान $m(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1$ है।

(D) दिया गया समुच्चय $S = \{x \in R : x^2+30 \leq 11x\}$ है।
असमिका को हल करने पर: $x^2-11x+30 \leq 0$.
$(x-5)(x-6) \leq 0$,जिसका अर्थ है $x \in [5, 6]$.
अब,फलन $f(x) = 3x^3-18x^2+27x-40$ पर विचार करें।
अवकलन करने पर: $f'(x) = 9x^2-36x+27 = 9(x^2-4x+3) = 9(x-1)(x-3)$.
अंतराल $x \in [5, 6]$ के लिए,$(x-1)$ और $(x-3)$ दोनों धनात्मक हैं,इसलिए $f'(x) > 0$.
चूंकि $f'(x) > 0$ है,इसलिए $f(x)$ अंतराल $[5, 6]$ पर निरंतर वर्धमान फलन है।
अधिकतम मान अंतिम बिंदु $x = 6$ पर प्राप्त होता है।
$f(6) = 3(6)^3 - 18(6)^2 + 27(6) - 40 = 3(216) - 18(36) + 162 - 40 = 648 - 648 + 162 - 40 = 122$.

(C) मान लीजिए $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जहाँ $AB = AC = x$ है।
मान लीजिए $\angle ABC = \angle ACB = \theta$ है।
बिंदु $D$ पर भुजा $BC$ पर लंब $AD$ खींचिए।
$\triangle ABD$ में,$AD = x \sin \theta$ और $BD = x \cos \theta$ है।
इसी प्रकार,$\triangle ACD$ में,$DC = x \cos \theta$ है।
अतः,$\triangle ABC$ में,ऊँचाई $AD = x \sin \theta$ है और आधार $BC = BD + DC = x \cos \theta + x \cos \theta = 2x \cos \theta$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$
$A = \frac{1}{2} \times (2x \cos \theta) \times (x \sin \theta)$
$A = x^2 \sin \theta \cos \theta = \frac{x^2}{2} \sin(2\theta)$।
चूँकि $\sin(2\theta)$ का अधिकतम मान $1$ है (जब $2\theta = 90^\circ$ या $\theta = 45^\circ$),इसलिए अधिकतम क्षेत्रफल $\frac{x^2}{2}$ वर्ग इकाई है।

(B) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि $a + b = 3$,इसलिए $b = 3 - a$ है।
माना कि गुणनफल $P = a \cdot b^2$ है।
$b$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $P = a(3 - a)^2 = a(9 - 6a + a^2) = a^3 - 6a^2 + 9a$।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $P$ का $a$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dP}{da} = 3a^2 - 12a + 9$।
$\frac{dP}{da} = 0$ रखने पर,हमें $3(a^2 - 4a + 3) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3(a - 1)(a - 3) = 0$।
अतः,$a = 1$ या $a = 3$ है।
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $\frac{d^2P}{da^2} = 6a - 12$।
$a = 1$ के लिए,$\frac{d^2P}{da^2} = 6(1) - 12 = -6 < 0$,इसलिए $a = 1$ पर $P$ अधिकतम है।
$a = 3$ के लिए,$\frac{d^2P}{da^2} = 6(3) - 12 = 6 > 0$,इसलिए $a = 3$ पर $P$ न्यूनतम है।
गुणनफल के सूत्र में $a = 1$ रखने पर: $P = 1(3 - 1)^2 = 1(2)^2 = 4$।
अतः,अधिकतम मान $4$ है।

(C) वर्ग का परिमाप $= 4x$.
वृत्त का परिमाप $= 2\pi r$.
तार की कुल लंबाई $2$ इकाई है,इसलिए $4x + 2\pi r = 2$.
$2$ से भाग देने पर,$2x + \pi r = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = \frac{1 - 2x}{\pi}$.
क्षेत्रफलों का योग $A = x^2 + \pi r^2$.
$r$ का मान $x$ के पदों में रखने पर: $A = x^2 + \pi \left( \frac{1 - 2x}{\pi} \right)^2 = x^2 + \frac{(1 - 2x)^2}{\pi}$.
$x$ के सापेक्ष $A$ का अवकलन करने पर: $\frac{dA}{dx} = 2x + \frac{2(1 - 2x)(-2)}{\pi} = 2x - \frac{4(1 - 2x)}{\pi}$.
न्यूनतम क्षेत्रफल के लिए,$\frac{dA}{dx} = 0$ रखने पर: $2x - \frac{4}{\pi} + \frac{8x}{\pi} = 0$.
$\pi$ से गुणा करने पर: $2\pi x - 4 + 8x = 0 \Rightarrow (2\pi + 8)x = 4 \Rightarrow (\pi + 4)x = 2$.
अतः,$x = \frac{2}{\pi + 4}$.
$x$ का मान परिमाप समीकरण में रखने पर: $2(\frac{2}{\pi + 4}) + \pi r = 1 \Rightarrow \pi r = 1 - \frac{4}{\pi + 4} = \frac{\pi + 4 - 4}{\pi + 4} = \frac{\pi}{\pi + 4}$.
इसलिए,$r = \frac{1}{\pi + 4}$.
$x$ और $r$ की तुलना करने पर,हमें $x = 2r$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$.
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$
चूँकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए:
$f(x) = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4}$ प्राप्त होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$f(x) = 1 - 2 \left(\frac{\sin^2 2x}{4}\right) = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x$.
$0 < x < \frac{\pi}{2}$ के लिए,$2x$ का परिसर $0 < 2x < \pi$ है। अतः,$\sin 2x$ का अधिकतम मान $1$ है जो $2x = \frac{\pi}{2}$ अर्थात $x = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है।
जब $\sin 2x = 1$ हो,तब $f(x) = 1 - \frac{1}{2}(1)^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
अतः,न्यूनतम मान $\frac{1}{2}$ है जो $x = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है।

(C) माना $f(x) = \frac{\log x}{x}$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$\frac{1 - \log x}{x^2} = 0 \Rightarrow 1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.
अधिकतम मान की पुष्टि करने के लिए,हम $x = e$ पर द्वितीय अवकलज $f''(x)$ की जाँच करते हैं:
$f''(x) = \frac{x^2(-\frac{1}{x}) - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x(1 - \log x)}{x^4}$.
$x = e$ पर,$f''(e) = \frac{-e - 2e(1 - 1)}{e^4} = \frac{-e}{e^4} = -\frac{1}{e^3} < 0$.
चूंकि $f''(e) < 0$,इसलिए फलन का $x = e$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अधिकतम मान $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x)=2x^3-15x^2+36x-48$ है।
सबसे पहले,असमिका $x^2-9x+20 \leq 0$ को हल करके समुच्चय $A$ निर्धारित करते हैं।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x-4)(x-5) \leq 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x \in [4, 5]$।
अब,$f'(x)=0$ रखकर $f(x)$ के क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं:
$f'(x)=6x^2-30x+36=6(x^2-5x+6)=6(x-2)(x-3)=0$।
क्रांतिक बिंदु $x=2$ और $x=3$ हैं।
चूंकि ये दोनों बिंदु अंतराल $[4, 5]$ के बाहर हैं,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $[4, 5]$ पर एकदिष्ट (monotonic) है।
अंतराल $A=[4, 5]$ के अंत बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$x=4$ के लिए: $f(4)=2(4)^3-15(4)^2+36(4)-48 = 128-240+144-48 = -16$।
$x=5$ के लिए: $f(5)=2(5)^3-15(5)^2+36(5)-48 = 250-375+180-48 = 7$।
मानों की तुलना करने पर,समुच्चय $A$ पर $f(x)$ का अधिकतम मान $7$ है।

(C) दिया गया फलन $y = a \log x + b x^2 + x$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} + 2bx + 1$.
चूंकि चरम मान $x = -1$ और $x = 2$ पर हैं,इसलिए इन बिंदुओं पर अवकलज शून्य होगा।
$x = -1$ के लिए: $\frac{a}{-1} + 2b(-1) + 1 = 0 \Rightarrow -a - 2b + 1 = 0 \Rightarrow a = 1 - 2b$.
$x = 2$ के लिए: $\frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \Rightarrow \frac{a}{2} + 4b + 1 = 0 \Rightarrow a + 8b + 2 = 0$.
दूसरे समीकरण में $a = 1 - 2b$ रखने पर: $(1 - 2b) + 8b + 2 = 0 \Rightarrow 6b + 3 = 0 \Rightarrow 6b = -3 \Rightarrow b = -\frac{1}{2}$.
अब,$a$ का मान ज्ञात करें: $a = 1 - 2(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2$.
अंत में,$\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) = \left(\frac{2}{-1/2} + \frac{-1/2}{2}\right) = (-4 - \frac{1}{4}) = -\frac{17}{4}$.

(B) माना वर्गाकार आधार की भुजा की लंबाई $x$ है और टंकी की ऊँचाई $h$ है।
दिया गया आयतन $V = x^2 h = 4000 \ cm^3 \dots (i)$.
खुली टंकी का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = x^2 + 4xh \dots (ii)$.
$(i)$ से,$h = \frac{4000}{x^2}$.
$h$ का मान $(ii)$ में रखने पर,$A = x^2 + 4x \left( \frac{4000}{x^2} \right) = x^2 + \frac{16000}{x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dA}{dx} = 2x - \frac{16000}{x^2}$.
न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए,$\frac{dA}{dx} = 0$ रखने पर,$2x = \frac{16000}{x^2} \Rightarrow x^3 = 8000 \Rightarrow x = 20 \ cm$.
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर,$\frac{d^2A}{dx^2} = 2 + \frac{32000}{x^3}$.
$x = 20$ पर,$\frac{d^2A}{dx^2} = 2 + \frac{32000}{8000} = 2 + 4 = 6 > 0$,अतः क्षेत्रफल न्यूनतम है।
ऊँचाई की गणना करने पर,$h = \frac{4000}{20^2} = \frac{4000}{400} = 10 \ cm$.

(B) दिया गया फलन $y=a \log x+b x^2+x$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} + 2bx + 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि फलन के चरम मान $x=-1$ और $x=2$ पर हैं,इसलिए इन बिंदुओं पर अवकलज शून्य होगा।
$x=-1$ के लिए: $\frac{a}{-1} + 2b(-1) + 1 = 0 \Rightarrow -a - 2b + 1 = 0 \Rightarrow a + 2b = 1$ (समीकरण $i$)।
$x=2$ के लिए: $\frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \Rightarrow \frac{a}{2} + 4b + 1 = 0 \Rightarrow a + 8b = -2$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $ii$ में से समीकरण $i$ को घटाने पर: $(a + 8b) - (a + 2b) = -2 - 1 \Rightarrow 6b = -3 \Rightarrow b = -\frac{1}{2}$।
$b = -\frac{1}{2}$ का मान समीकरण $i$ में रखने पर: $a + 2(-\frac{1}{2}) = 1 \Rightarrow a - 1 = 1 \Rightarrow a = 2$।
अतः,$a=2$ और $b=-\frac{1}{2}$ प्राप्त होते हैं।

(D) दी गई शर्त $x+2y=8$ है।
हम $y$ को $x$ के पदों में $2y = 8-x$ के रूप में लिख सकते हैं,जिससे $y = \frac{8-x}{2}$ प्राप्त होता है।
माना कि अधिकतम करने वाला फलन $f(x) = xy$ है।
$y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = x \cdot \frac{8-x}{2} = 4x - \frac{x^2}{2}$ प्राप्त होता है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(4x - \frac{x^2}{2}) = 4 - x$.
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के लिए अवकलन को शून्य के बराबर रखने पर:
$4 - x = 0 \implies x = 4$.
यह पुष्टि करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम द्वितीय अवकलज (second derivative) की जाँच करते हैं:
$f''(x) = -1$.
चूँकि $f''(4) = -1 < 0$ है,इसलिए फलन का $x = 4$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
$x = 4$ का मान $y$ के समीकरण में रखने पर:
$y = \frac{8-4}{2} = 2$.
अतः $xy$ का अधिकतम मान $4 \times 2 = 8$ है।

(A) सबसे पहले,असमिका $x^2 + 30 \leq 11x$ को हल करके समुच्चय $S$ निर्धारित करते हैं।
$x^2 - 11x + 30 \leq 0$
$(x - 5)(x - 6) \leq 0$
अतः,$x \in [5, 6]$।
अब,फलन $f(x) = 3x^3 - 18x^2 + 27x - 40$ पर विचार करें।
अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 9x^2 - 36x + 27 = 9(x^2 - 4x + 3) = 9(x - 1)(x - 3)$।
$x \in [5, 6]$ के लिए,$(x - 1)$ और $(x - 3)$ दोनों धनात्मक हैं,इसलिए $f'(x) > 0$ है।
चूंकि $x \in [5, 6]$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $[5, 6]$ में निरंतर वर्धमान है।
अधिकतम मान दाहिने अंतिम बिंदु $x = 6$ पर प्राप्त होता है।
$f(6) = 3(6)^3 - 18(6)^2 + 27(6) - 40$
$f(6) = 3(216) - 18(36) + 162 - 40$
$f(6) = 648 - 648 + 162 - 40 = 122$।

(B) माना वर्गाकार आधार की भुजा $x \,m$ और टंकी की ऊँचाई $y \,m$ है।
आयतन $V = x^2 y = 500$.
अतः,$y = \frac{500}{x^2}$.
खुली टंकी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = x^2 + 4xy$ है।
$y$ का मान रखने पर,$S = x^2 + 4x \left(\frac{500}{x^2}\right) = x^2 + \frac{2000}{x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dS}{dx} = 2x - \frac{2000}{x^2}$.
$\frac{dS}{dx} = 0$ रखने पर,$2x = \frac{2000}{x^2} \Rightarrow x^3 = 1000 \Rightarrow x = 10 \,m$.
द्वितीय अवकलज $\frac{d^2S}{dx^2} = 2 + \frac{4000}{x^3}$ है। $x = 10$ पर,$\frac{d^2S}{dx^2} = 2 + 4 = 6 > 0$,अतः क्षेत्रफल न्यूनतम है।
ऊँचाई $y = \frac{500}{10^2} = 5 \,m$.
अतः,विमाएँ $10 \,m, 10 \,m, 5 \,m$ हैं।

(A) दिया गया है $f(x) = \alpha \log x + \beta x^2 + x$.
चूंकि $x=1$ और $x=2$ चरम बिंदु हैं,इसलिए इन बिंदुओं पर अवकलज $f'(x)$ शून्य होना चाहिए।
$f'(x) = \frac{\alpha}{x} + 2\beta x + 1$.
$x=1$ पर,$f'(1) = \frac{\alpha}{1} + 2\beta(1) + 1 = 0 \implies \alpha + 2\beta = -1$ (समीकरण $1$).
$x=2$ पर,$f'(2) = \frac{\alpha}{2} + 2\beta(2) + 1 = 0 \implies \frac{\alpha}{2} + 4\beta = -1 \implies \alpha + 8\beta = -2$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $(\alpha + 8\beta) - (\alpha + 2\beta) = -2 - (-1) \implies 6\beta = -1 \implies \beta = -\frac{1}{6}$.
$\beta = -\frac{1}{6}$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $\alpha + 2(-\frac{1}{6}) = -1 \implies \alpha - \frac{1}{3} = -1 \implies \alpha = -\frac{2}{3}$.
अब,$\alpha^2 + 2\beta$ की गणना करने पर: $(-\frac{2}{3})^2 + 2(-\frac{1}{6}) = \frac{4}{9} - \frac{1}{3} = \frac{4-3}{9} = \frac{1}{9}$.

(A) दिया गया फलन: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) को ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$3(x^2 - 4x + 3) = 0$
$3(x - 1)(x - 3) = 0$
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = 3$ हैं।
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें:
$f''(x) = 6x - 12$
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करके क्रांतिक बिंदुओं पर फलन की प्रकृति की जाँच करें:
$x = 1$ पर: $f''(1) = 6(1) - 12 = -6$। चूँकि $f''(1) < 0$ है,इसलिए फलन का $x = 1$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
$x = 3$ पर: $f''(3) = 6(3) - 12 = 6$। चूँकि $f''(3) > 0$ है,इसलिए फलन का $x = 3$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
अतः,फलन का अधिकतम मान तब होता है जब $x = 1$ है।

(A) दिया गया फलन: $f(x) = 3x^3 - 18x^2 + 27x - 40$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 9x^2 - 36x + 27 = 9(x^2 - 4x + 3) = 9(x - 1)(x - 3)$ है।
क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = 3$ हैं।
अब,असमिका $x^2 + 30 \leq 11x$ को हल करके समुच्चय $S$ निर्धारित करें:
$x^2 - 11x + 30 \leq 0$
$(x - 5)(x - 6) \leq 0$
इससे $x \in [5, 6]$ प्राप्त होता है।
अब,अंतराल $[5, 6]$ पर $f(x)$ के व्यवहार का मूल्यांकन करें। चूंकि $f'(x) = 9(x - 1)(x - 3)$,किसी भी $x \geq 5$ के लिए,$(x - 1)$ और $(x - 3)$ दोनों धनात्मक हैं,इसलिए $f'(x) > 0$ है।
अतः,$f(x)$ अंतराल $[5, 6]$ पर निरंतर वर्धमान है।
समुच्चय $S = [5, 6]$ पर अधिकतम मान अंतिम बिंदु $x = 6$ पर प्राप्त होता है।
$f(6) = 3(6)^3 - 18(6)^2 + 27(6) - 40$
$f(6) = 3(216) - 18(36) + 162 - 40$
$f(6) = 648 - 648 + 162 - 40 = 122$ है।
इसलिए,अधिकतम मान $122$ है।

(B) दिया गया फलन: $f(x) = (x-1)(x+2)^2$.
गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = (1)(x+2)^2 + (x-1)(2)(x+2)$
$f'(x) = (x+2)[(x+2) + 2(x-1)]$
$f'(x) = (x+2)(x+2+2x-2) = 3x(x+2)$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$3x(x+2) = 0 \implies x = 0, x = -2$.
प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करें:
$x < -2$ के लिए,$f'(x) > 0$ (वर्धमान फलन).
$-2 < x < 0$ के लिए,$f'(x) < 0$ (ह्रासमान फलन).
$x > 0$ के लिए,$f'(x) > 0$ (वर्धमान फलन).
$x = -2$ पर,फलन वर्धमान से ह्रासमान में बदलता है,इसलिए $f(-2)$ एक स्थानीय उच्चतम मान है:
$f(-2) = (-2-1)(-2+2)^2 = (-3)(0) = 0$.
$x = 0$ पर,फलन ह्रासमान से वर्धमान में बदलता है,इसलिए $f(0)$ एक स्थानीय निम्नतम मान है:
$f(0) = (0-1)(0+2)^2 = (-1)(4) = -4$.
अतः,स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम मान क्रमशः $0$ और $-4$ हैं।

(C) दिया गया फलन: $f(x) = x \sqrt{1-x}$
स्थानीय उच्चतम ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime}(x) = (1) \cdot \sqrt{1-x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1)$
$f^{\prime}(x) = \sqrt{1-x} - \frac{x}{2\sqrt{1-x}}$
$f^{\prime}(x) = \frac{2(1-x) - x}{2\sqrt{1-x}} = \frac{2 - 3x}{2\sqrt{1-x}}$
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f^{\prime}(x) = 0$ रखें:
$\frac{2 - 3x}{2\sqrt{1-x}} = 0 \Rightarrow 2 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$
अब,$x = \frac{2}{3}$ के आसपास $f^{\prime}(x)$ का चिह्न जाँचें:
$x < \frac{2}{3}$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ (फलन वर्धमान है)।
$x > \frac{2}{3}$ के लिए,$f^{\prime}(x) < 0$ (फलन ह्रासमान है)।
चूँकि अवकलज $x = \frac{2}{3}$ पर धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए फलन का स्थानीय उच्चतम $x = \frac{2}{3}$ पर है।

(B) मान लीजिए बिंदु $M$ की $A$ से दूरी $x$ है। तब $AM = x$ और $MB = 10 - x$ होगा।
समकोण त्रिभुज $\triangle DAM$ और $\triangle CBM$ में:
$MD^2 = AM^2 + AD^2 = x^2 + 8^2 = x^2 + 64$
$MC^2 = MB^2 + BC^2 = (10 - x)^2 + 11^2 = (10 - x)^2 + 121$
मान लीजिए $f(x) = MD^2 + MC^2 = x^2 + 64 + (10 - x)^2 + 121$
$f(x) = x^2 + 64 + 100 - 20x + x^2 + 121$
$f(x) = 2x^2 - 20x + 285$
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 4x - 20$
क्रांतिक बिंदु के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$4x - 20 = 0 \Rightarrow x = 5$
चूंकि $f''(x) = 4 > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ का मान $x = 5$ मीटर पर न्यूनतम है।

(C) माना $f(x) = x^{25}(1-x)^{75}$ है।
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{75} + x^{25} \cdot 75(1-x)^{74} \cdot (-1)$
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{74} [(1-x) - 3x]$
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{74} (1-4x)$
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$,$x = 1$,और $x = \frac{1}{4}$ पर क्रांतिक बिंदु प्राप्त होते हैं।
चूंकि $f(0) = 0$ और $f(1) = 0$ है,और $x \in (0,1)$ के लिए $f(x) > 0$ है,इसलिए फलन अपना अधिकतम मान $x = \frac{1}{4}$ बिंदु पर प्राप्त करेगा।

(B) माना कि दो भाग $x$ और $y$ हैं। दिया गया है कि $x + y = 20$,इसलिए $y = 20 - x$ है।
माना फलन $f(x) = x(20 - x)^3$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = (20 - x)^3 + x \cdot 3(20 - x)^2(-1)$
$f'(x) = (20 - x)^2 [20 - x - 3x] = (20 - x)^2 (20 - 4x)$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 20$ या $x = 5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x=20$ पर $f(x)=0$ (न्यूनतम) प्राप्त होता है,इसलिए हम $x = 5$ की जाँच करते हैं।
$x = 5$ के लिए,$y = 20 - 5 = 15$ है।
अतः,दोनों भागों का गुणनफल $xy = 5 \times 15 = 75$ है।

(D) शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
तिर्यक ऊँचाई $\ell = 3 \text{ cm}$ दी गई है,इसलिए $\ell^2 = r^2 + h^2$,जिसका अर्थ है $r^2 = 9 - h^2$।
$r^2$ का मान आयतन के सूत्र में रखने पर: $V = \frac{1}{3} \pi (9 - h^2) h = 3 \pi h - \frac{\pi}{3} h^3$।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dV}{dh} = 3 \pi - \pi h^2$।
$\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर,हमें $3 \pi = \pi h^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h^2 = 3$,इसलिए $h = \sqrt{3} \text{ cm}$ (क्योंकि ऊँचाई धनात्मक होनी चाहिए)।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^2V}{dh^2} = -2 \pi h$।
$h = \sqrt{3}$ पर,$\frac{d^2V}{dh^2} = -2 \sqrt{3} \pi < 0$।
चूँकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए आयतन $h = \sqrt{3} \text{ cm}$ पर अधिकतम होता है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^2 + ax + b$ है।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम अवकलज निकालते हैं: $f'(x) = 2x + a$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = -a/2$ प्राप्त होता है।
चूंकि द्वितीय अवकलज $f''(x) = 2 > 0$ है,इसलिए फलन का $x = -a/2$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
प्रश्न के अनुसार,न्यूनतम मान $x = 3$ पर प्राप्त होता है।
अतः,$-a/2 = 3$,जिसका अर्थ है $a = -6$।
यह दिया गया है कि $x = 3$ पर फलन का न्यूनतम मान $5$ है,इसलिए हम इन मानों को मूल फलन में प्रतिस्थापित करते हैं:
$f(3) = (3)^2 + a(3) + b = 5$।
$a = -6$ रखने पर:
$9 + (-6)(3) + b = 5$।
$9 - 18 + b = 5$।
$-9 + b = 5$।
$b = 14$।
अतः,$a = -6$ और $b = 14$ प्राप्त होते हैं।

(A) माना आयत $ABCD$ मूल बिंदु पर केंद्रित $r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित है। शीर्ष $B$ के निर्देशांक $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ हैं।
अतः,लंबाई $AB = 2r \cos \theta$ और चौड़ाई $BC = 2r \sin \theta$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A(\theta) = AB \times BC = (2r \cos \theta)(2r \sin \theta) = 2r^2 \sin 2\theta$ है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A(\theta)$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$A'(\theta) = 4r^2 \cos 2\theta$.
$A'(\theta) = 0$ रखने पर,हमें $\cos 2\theta = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2\theta = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{4}$.
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $A''(\theta) = -8r^2 \sin 2\theta$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,$A''(\frac{\pi}{4}) = -8r^2 \sin(\frac{\pi}{2}) = -8r^2 < 0$.
चूँकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{4}$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर:
अधिकतम क्षेत्रफल $= 2r^2 \sin(2 \times \frac{\pi}{4}) = 2r^2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2r^2(1) = 2r^2$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया फलन $y=x^3-\alpha x^2-\beta x+5$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2\alpha x - \beta$.
चूंकि $x=-2$ और $x=4$ चरम बिंदु हैं,इसलिए इन मानों पर अवकलज शून्य होगा।
$x=-2$ के लिए:
$3(-2)^2 - 2\alpha(-2) - \beta = 0 \implies 12 + 4\alpha - \beta = 0 \implies 4\alpha - \beta = -12$ (समीकरण $1$)।
$x=4$ के लिए:
$3(4)^2 - 2\alpha(4) - \beta = 0 \implies 48 - 8\alpha - \beta = 0 \implies 8\alpha + \beta = 48$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर:
$(4\alpha - \beta) + (8\alpha + \beta) = -12 + 48 \implies 12\alpha = 36 \implies \alpha = 3$.
$\alpha = 3$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$4(3) - \beta = -12 \implies 12 - \beta = -12 \implies \beta = 24$.
अतः,$\alpha=3$ और $\beta=24$ है।

(A) माना कि $10$ के दो भाग $x$ और $(10-x)$ हैं।
फलन $f(x) = 2x + (10-x)^2$ को परिभाषित करें।
फलन का विस्तार करने पर: $f(x) = 2x + 100 - 20x + x^2 = x^2 - 18x + 100$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,प्रथम अवकलज निकालें: $f'(x) = 2x - 18$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $2x - 18 = 0 \implies x = 9$.
द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x) = 2$.
चूँकि $f''(9) = 2 > 0$ है,इसलिए फलन $x = 9$ पर न्यूनतम है।
पहला भाग $x = 9$ है और दूसरा भाग $10 - 9 = 1$ है।
अतः,वे संख्याएँ $9$ और $1$ हैं।

(A) हमारे पास $f(x)=\frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}$ है।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम का उपयोग करके अवकलज $f^{\prime}(x)$ की गणना करते हैं:
$f^{\prime}(x)=\frac{(1+x+x^2)(2x-1)-(1-x+x^2)(2x+1)}{(1+x+x^2)^2}$.
अंश का विस्तार करने पर:
$f^{\prime}(x)=\frac{(2x-1+2x^2-x+2x^3-x^2)-(2x+1-2x^2-x+2x^3+x^2)}{(1+x+x^2)^2}$.
$f^{\prime}(x)=\frac{(2x^3+x^2+x-1)-(2x^3-x^2+x+1)}{(1+x+x^2)^2}$.
$f^{\prime}(x)=\frac{2x^2-2}{(1+x+x^2)^2} = \frac{2(x^2-1)}{(1+x+x^2)^2}$.
$f^{\prime}(x)=0$ रखने पर,हमें $x^2-1=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x=1$ या $x=-1$.
इन बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करने पर:
$x=1$ के लिए,$f(1)=\frac{1-1+1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$.
$x=-1$ के लिए,$f(-1)=\frac{1-(-1)+(-1)^2}{1+(-1)+(-1)^2} = \frac{1+1+1}{1-1+1} = 3$.
मानों की तुलना करने पर,$f(x)$ का न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x \log x$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $f'(x) = x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \cdot \frac{d}{dx}(x) = x \cdot \frac{1}{x} + \log x = 1 + \log x$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$1 + \log x = 0 \implies \log x = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(1 + \log x) = \frac{1}{x}$.
$x = \frac{1}{e}$ पर $f''(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f''(\frac{1}{e}) = \frac{1}{1/e} = e$.
चूंकि $e > 0$,फलन का $x = \frac{1}{e}$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
न्यूनतम मान $f(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \log(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \log(e^{-1}) = \frac{1}{e} (-1) = -\frac{1}{e}$ है।

(C) माना $a, b, c$ त्रिभुज की भुजाएँ हैं। त्रिभुज का परिमाप $a+b+c = 10 \text{ cm}$ है।
दिया है $a = 4 \text{ cm}$,अतः $b+c = 6 \text{ cm}$,जिसका अर्थ है $c = 6-b$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{5(5-4)(5-b)(5-c)} = \sqrt{5(1)(5-b)(5-(6-b))} = \sqrt{5(5-b)(b-1)}$.
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,हम $f(b) = 5(5-b)(b-1) = 5(-b^2 + 6b - 5)$ को अधिकतम करते हैं।
$b$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(b) = 5(-2b + 6)$.
$f'(b) = 0$ रखने पर $b = 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f''(b) = -10 < 0$,इसलिए $b = 3 \text{ cm}$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।
तब $c = 6 - 3 = 3 \text{ cm}$.
अतः,शेष भुजाएँ $3 \text{ cm}$ और $3 \text{ cm}$ हैं।

(B) माना $f(x) = \frac{\log x}{x}$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.
अब,हम द्वितीय अवकलज परीक्षण (second derivative test) का उपयोग करते हैं:
$f''(x) = \frac{x^2 \cdot (-\frac{1}{x}) - (1 - \log x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{2 \log x - 3}{x^3}$.
$x = e$ पर,$f''(e) = \frac{2 \log e - 3}{e^3} = \frac{2(1) - 3}{e^3} = -\frac{1}{e^3} < 0$.
चूंकि $f''(e) < 0$ है,इसलिए फलन का $x = e$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अधिकतम मान $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ है।

(B) माना आयत की भुजाएँ $x$ और $y$ हैं।
परिमाप $108 \ m$ दिया गया है,इसलिए $2x + 2y = 108$,जो $x + y = 54$ या $y = 54 - x$ में सरल हो जाता है।
आयत का क्षेत्रफल $A = x \times y$ है।
$y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$A = x(54 - x) = 54x - x^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dA}{dx} = 54 - 2x$।
$\frac{dA}{dx} = 0$ रखने पर,$54 - 2x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 27$।
चूँकि $\frac{d^2A}{dx^2} = -2 < 0$ है,इसलिए $x = 27$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।
अतः $y = 54 - 27 = 27$।
इस प्रकार,विमाएँ $27 \ m$ और $27 \ m$ हैं।

(C) माना $r$ त्रिज्या है और $\ell$ चित्र में दिखाए गए वृत्ताकार सेक्टर की चाप की लंबाई है। सेक्टर का परिमाप $P = 2r + \ell = 20 \ m$ है।
अतः,$\ell = 20 - 2r$.
वृत्ताकार सेक्टर का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \ell r$ द्वारा दिया जाता है।
$\ell$ का मान रखने पर,हमें $A = \frac{1}{2}(20 - 2r)r = 10r - r^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dr} = 10 - 2r$.
$\frac{dA}{dr} = 0$ रखने पर,हमें $10 - 2r = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = 5 \ m$.
अधिकतम मान की पुष्टि करने के लिए,हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं: $\frac{d^2A}{dr^2} = -2$.
चूंकि $\frac{d^2A}{dr^2} < 0$ है,इसलिए $r = 5 \ m$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।

(D) माना $ABCD$ एक वृत्त में अंतर्निहित आयत है जिसकी त्रिज्या $r$ है।
चूंकि आयत वृत्त के अंदर है,इसका विकर्ण वृत्त का व्यास है।
$\Rightarrow AC = BD = 2r = \text{व्यास}$.
माना $x$ और $y$ आयत की लंबाई और चौड़ाई हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^{2} + y^{2} = (2r)^{2} = 4r^{2}$.
$\Rightarrow y = \sqrt{4r^{2} - x^{2}}$.
अब,आयत का क्षेत्रफल $A = xy = x\sqrt{4r^{2} - x^{2}}$.
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$A$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$\frac{dA}{dx} = \sqrt{4r^{2} - x^{2}} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{4r^{2} - x^{2}}} \cdot (-2x) = \sqrt{4r^{2} - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{4r^{2} - x^{2}}} = \frac{4r^{2} - 2x^{2}}{\sqrt{4r^{2} - x^{2}}}$.
अधिकतम क्षेत्रफल के लिए,$\frac{dA}{dx} = 0$ रखें:
$4r^{2} - 2x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} = 2r^{2} \Rightarrow x = \sqrt{2}r$.
$y$ के व्यंजक में $x = \sqrt{2}r$ रखने पर:
$y = \sqrt{4r^{2} - (\sqrt{2}r)^{2}} = \sqrt{4r^{2} - 2r^{2}} = \sqrt{2r^{2}} = \sqrt{2}r$.
अतः,आयत के आयाम $\sqrt{2}r$ इकाई और $\sqrt{2}r$ इकाई हैं।

(B) माना बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है। दिया गया है कि $r + h = 6$, इसलिए $h = 6 - r$ है।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
$h$ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें $V(r) = \pi r^2 (6 - r) = \pi (6r^2 - r^3)$ प्राप्त होता है।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए, हम $V$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dV}{dr} = \pi (12r - 3r^2) = 0$।
$3r(4 - r) = 0$, जिससे $r = 0$ (संभव नहीं) या $r = 4$ प्राप्त होता है।
जब $r = 4$ है, तो $h = 6 - 4 = 2$ होगा।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^2V}{dr^2} = \pi (12 - 6r)$। $r = 4$ पर, $\frac{d^2V}{dr^2} = \pi (12 - 24) = -12\pi < 0$, अतः $r = 4$ पर आयतन अधिकतम है।
अधिकतम आयतन $V = \pi (4)^2 (2) = 32\pi \text{ m}^3$ है।

(C) मान लीजिए $d(AP) = x$ है। तब $d(BP) = 12 - x$ होगा।
फलन $f(x) = AP^{2} + BP^{2} = x^{2} + (12 - x)^{2}$ को परिभाषित करें।
इसका विस्तार करने पर,हमें $f(x) = x^{2} + 144 - 24x + x^{2} = 2x^{2} - 24x + 144$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम अवकलज निकालते हैं: $f'(x) = 4x - 24$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $4x = 24$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 6$।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर,$f''(x) = 4$ है। चूँकि $f''(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ का मान $x = 6$ पर न्यूनतम है।
चूँकि $x = 6$ कुल लंबाई $12 \text{ cm}$ का ठीक आधा है,इसलिए $P$,रेखाखंड $AB$ का मध्यबिंदु है।

(B) दिया गया है $f(x) = x + \frac{1}{x}$,$x \neq 0$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
स्थानीय उच्चतम या निम्नतम के लिए,हम $f'(x) = 0$ रखते हैं।
$1 - \frac{1}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1, -1$।
अब,हम इन बिंदुओं के आसपास $f'(x)$ का चिह्न जाँचते हैं:
$x < -1$ के लिए,$f'(x) > 0$ है। $-1 < x < 0$ के लिए,$f'(x) < 0$ है। चूँकि $x = -1$ पर $f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक हो जाता है,इसलिए $x = -1$ स्थानीय उच्चतम बिंदु है।
स्थानीय उच्चतम मान $f(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -2$ है।
$0 < x < 1$ के लिए,$f'(x) < 0$ है। $x > 1$ के लिए,$f'(x) > 0$ है। चूँकि $x = 1$ पर $f'(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक हो जाता है,इसलिए $x = 1$ स्थानीय निम्नतम बिंदु है।
स्थानीय निम्नतम मान $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ है।
अतः,स्थानीय उच्चतम मान $-2$ और स्थानीय निम्नतम मान $2$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = 3x^3 - 9x^2 - 27x + 15$ है।
क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए,हम प्रथम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 9x^2 - 18x - 27$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $9(x^2 - 2x - 3) = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $9(x - 3)(x + 1) = 0$ हैं।
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 3$ और $x = -1$ हैं।
इन बिंदुओं की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं: $f''(x) = 18x - 18$।
$x = 3$ पर,$f''(3) = 18(3) - 18 = 36 > 0$,इसलिए $f(x)$ का $x = 3$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
$x = -1$ पर,$f''(-1) = 18(-1) - 18 = -36 < 0$,इसलिए $f(x)$ का $x = -1$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अधिकतम मान $f(-1) = 3(-1)^3 - 9(-1)^2 - 27(-1) + 15 = -3 - 9 + 27 + 15 = 30$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\log x}{x}$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$\frac{1 - \log x}{x^2} = 0 \Rightarrow 1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.
यह पुष्टि करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम द्वितीय अवकलज या $f'(x)$ के चिह्न परिवर्तन की जाँच करते हैं। चूँकि $x < e$ के लिए $f'(x) > 0$ और $x > e$ के लिए $f'(x) < 0$ है,इसलिए $x = e$ स्थानीय अधिकतम बिंदु है।
अधिकतम मान $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ है।

(B) माना $f(x) = x^{3} - 12x^{2} + 36x + 17$.
अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = 3x^{2} - 24x + 36$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $3(x^{2} - 8x + 12) = 0 \Rightarrow 3(x - 2)(x - 6) = 0$.
क्रांतिक बिंदु $x = 2$ और $x = 6$ हैं।
क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल के अंतिम बिंदुओं $[1, 10]$ पर फलन का मान ज्ञात करें:
$f(1) = (1)^{3} - 12(1)^{2} + 36(1) + 17 = 1 - 12 + 36 + 17 = 42$.
$f(2) = (2)^{3} - 12(2)^{2} + 36(2) + 17 = 8 - 48 + 72 + 17 = 49$.
$f(6) = (6)^{3} - 12(6)^{2} + 36(6) + 17 = 216 - 432 + 216 + 17 = 17$.
$f(10) = (10)^{3} - 12(10)^{2} + 36(10) + 17 = 1000 - 1200 + 360 + 17 = 177$.
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $177$ प्राप्त होता है।