Maxima and Minima Questions in Hindi

(B) मान लीजिए कि $AB$ पर एक बिंदु $R$ इस प्रकार है कि $AR=x \, m$ है।
तब $RB=(20-x) \, m$ (चूंकि $AB=20 \, m$ है)।
समस्या की ज्यामिति से,हमारे पास समकोण त्रिभुज $\triangle PAR$ और $\triangle QBR$ हैं।
$RP^2 = AR^2 + AP^2 = x^2 + 16^2 = x^2 + 256$
$RQ^2 = RB^2 + BQ^2 = (20-x)^2 + 22^2 = (400 - 40x + x^2) + 484 = x^2 - 40x + 884$
मान लीजिए $S(x) = RP^2 + RQ^2 = (x^2 + 256) + (x^2 - 40x + 884) = 2x^2 - 40x + 1140.$
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $S(x)$ का अवकलन करते हैं:
$S'(x) = 4x - 40.$
$S'(x) = 0$ रखने पर,$4x - 40 = 0 \implies x = 10$ प्राप्त होता है।
अब,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $S''(x) = 4.$
चूंकि $S''(10) = 4 > 0$ है,इसलिए फलन $S(x)$ का $x = 10$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
अतः,$AB$ पर बिंदु $R$ की $A$ से दूरी $10 \, m$ है।

(A) मान लीजिए समलंब चतुर्भुज $ABCD$ है जहाँ $AD = DC = CB = 10 \ cm$ है। आधार $AB$ पर लंब $DP$ और $CQ$ खींचिए। मान लीजिए $AP = x \ cm$ है। चूँकि समलंब चतुर्भुज समद्विबाहु है,$QB = x \ cm$ होगा। लंबाई $PQ = DC = 10 \ cm$ है। अतः,आधार $AB = x + 10 + x = 2x + 10 \ cm$ है।
$\Delta APD$ में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,ऊँचाई $h = DP = \sqrt{10^2 - x^2} = \sqrt{100 - x^2}$ है।
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई}$ द्वारा दिया जाता है।
$A(x) = \frac{1}{2} (AB + DC) \times h = \frac{1}{2} (2x + 10 + 10) \sqrt{100 - x^2} = (x + 10) \sqrt{100 - x^2}$ है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $A'(x)$ निकालते हैं:
$A'(x) = (1) \sqrt{100 - x^2} + (x + 10) \frac{-2x}{2\sqrt{100 - x^2}} = \frac{100 - x^2 - x^2 - 10x}{\sqrt{100 - x^2}} = \frac{100 - 10x - 2x^2}{\sqrt{100 - x^2}}$ है।
$A'(x) = 0$ रखने पर,हमें $2x^2 + 10x - 100 = 0 \implies x^2 + 5x - 50 = 0 \implies (x + 10)(x - 5) = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x$ एक लंबाई है,इसलिए $x = 5 \ cm$ होगा।
द्वितीय अवकलज परीक्षण यह पुष्टि करता है कि यह अधिकतम मान है।
क्षेत्रफल के सूत्र में $x = 5$ रखने पर:
$A(5) = (5 + 10) \sqrt{100 - 5^2} = 15 \sqrt{75} = 15 \times 5\sqrt{3} = 75\sqrt{3} \ cm^2$ प्राप्त होता है।

(N/A) माना $OC = r$ शंकु की त्रिज्या है और $OA = h$ इसकी ऊँचाई है। माना $OE = x$ त्रिज्या वाला एक बेलन दिए गए शंकु के अंतर्गत है। बेलन की ऊँचाई $QE$ इस प्रकार दी गई है:
$\frac{QE}{OA} = \frac{EC}{OC}$ (क्योंकि $\Delta QEC \sim \Delta AOC$)
$\frac{QE}{h} = \frac{r - x}{r}$
$QE = \frac{h(r - x)}{r}$
माना $S$ बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है। तब:
$S(x) = 2 \pi x \cdot QE = 2 \pi x \cdot \frac{h(r - x)}{r} = \frac{2 \pi h}{r}(rx - x^2)$
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $S'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$S'(x) = \frac{2 \pi h}{r}(r - 2x)$
$S'(x) = 0$ रखने पर,$r - 2x = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = \frac{r}{2}$.
अब,द्वितीय अवकलज $S''(x)$ ज्ञात करें:
$S''(x) = \frac{2 \pi h}{r}(-2) = -\frac{4 \pi h}{r}$
चूँकि सभी $x$ के लिए $S''(x) < 0$ है,इसलिए फलन $S(x)$ का मान $x = \frac{r}{2}$ पर अधिकतम है।
अतः,अधिकतम वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल वाले बेलन की त्रिज्या शंकु की त्रिज्या की आधी होती है।

(A) हमारे पास $f(x) = 2x^{3} - 15x^{2} + 36x + 1$ है।
अवकलन करने पर,$f'(x) = 6x^{2} - 30x + 36 = 6(x - 2)(x - 3)$ प्राप्त होता है।
$f'(x) = 0$ रखने पर,क्रांतिक बिंदु $x = 2$ और $x = 3$ प्राप्त होते हैं।
अब हम क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल $[1, 5]$ के अंत बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$f(1) = 2(1)^{3} - 15(1)^{2} + 36(1) + 1 = 2 - 15 + 36 + 1 = 24$.
$f(2) = 2(2)^{3} - 15(2)^{2} + 36(2) + 1 = 16 - 60 + 72 + 1 = 29$.
$f(3) = 2(3)^{3} - 15(3)^{2} + 36(3) + 1 = 54 - 135 + 108 + 1 = 28$.
$f(5) = 2(5)^{3} - 15(5)^{2} + 36(5) + 1 = 250 - 375 + 180 + 1 = 56$.
इन मानों की तुलना करने पर,निरपेक्ष उच्चतम मान $56$ है जो $x = 5$ पर प्राप्त होता है और निरपेक्ष निम्नतम मान $24$ है जो $x = 1$ पर प्राप्त होता है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = 12x^{\frac{4}{3}} - 6x^{\frac{1}{3}}$ है।
सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 12 \cdot \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} - 6 \cdot \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = 16x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{16x - 2}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{2(8x - 1)}{x^{\frac{2}{3}}}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$8x - 1 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = \frac{1}{8}$.
साथ ही,$x = 0$ पर $f'(x)$ अपरिभाषित है। अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 0$ और $x = \frac{1}{8}$ हैं।
अब,हम क्रांतिक बिंदुओं और अंत बिंदुओं $x = -1$ तथा $x = 1$ पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-1) = 12(-1)^{\frac{4}{3}} - 6(-1)^{\frac{1}{3}} = 12(1) - 6(-1) = 12 + 6 = 18$.
$f(0) = 12(0)^{\frac{4}{3}} - 6(0)^{\frac{1}{3}} = 0$.
$f(\frac{1}{8}) = 12(\frac{1}{8})^{\frac{4}{3}} - 6(\frac{1}{8})^{\frac{1}{3}} = 12(\frac{1}{16}) - 6(\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} - 3 = \frac{3 - 12}{4} = -\frac{9}{4}$.
$f(1) = 12(1)^{\frac{4}{3}} - 6(1)^{\frac{1}{3}} = 12 - 6 = 6$.
इन मानों की तुलना करने पर,निरपेक्ष उच्चतम मान $18$ है जो $x = -1$ पर प्राप्त होता है और निरपेक्ष निम्नतम मान $-\frac{9}{4}$ है जो $x = \frac{1}{8}$ पर प्राप्त होता है।

(A) $x$ के प्रत्येक मान के लिए,हेलीकॉप्टर की स्थिति $(x, x^{2} + 7)$ बिंदु पर है।
इसलिए,हेलीकॉप्टर और $(3, 7)$ पर स्थित सैनिक के बीच की दूरी $d = \sqrt{(x - 3)^{2} + (x^{2} + 7 - 7)^{2}} = \sqrt{(x - 3)^{2} + x^{4}}$ है।
माना $f(x) = (x - 3)^{2} + x^{4}$। दूरी को न्यूनतम करने के लिए,हम $f(x)$ को न्यूनतम करते हैं।
अवकलन करने पर,$f'(x) = 2(x - 3) + 4x^{3} = 2(x - 1)(2x^{2} + 2x + 3)$ प्राप्त होता है।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है (क्योंकि $2x^{2} + 2x + 3 = 0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है क्योंकि इसका विविक्तकर $D = 4 - 24 = -20 < 0$ है)।
$x = 1$ पर $f(x)$ का मान $f(1) = (1 - 3)^{2} + (1)^{4} = 4 + 1 = 5$ है।
अतः,न्यूनतम दूरी $\sqrt{f(1)} = \sqrt{5}$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x)=(2x-1)^{2}+3$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,एक वास्तविक संख्या का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,अर्थात $(2x-1)^{2} \geq 0$।
दोनों पक्षों में $3$ जोड़ने पर,हमें $(2x-1)^{2}+3 \geq 0+3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x) \geq 3$ है।
$f(x)$ का न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $(2x-1)^{2} = 0$ हो।
$2x-1 = 0$ रखने पर,हमें $x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,न्यूनतम मान $f\left(\frac{1}{2}\right) = (2 \cdot \frac{1}{2} - 1)^{2} + 3 = 0 + 3 = 3$ है।
चूंकि जैसे-जैसे $x \to \infty$ या $x \to -\infty$ होता है,फलन $(2x-1)^{2}$ अनिश्चित रूप से बढ़ता है,इसलिए फलन $f(x)$ का कोई अधिकतम मान नहीं है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = -(x-1)^{2} + 10$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$(x-1)^{2} \geq 0$ होता है।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $-(x-1)^{2} \leq 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $10$ जोड़ने पर,हमें $-(x-1)^{2} + 10 \leq 10$ प्राप्त होता है।
अतः,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) \leq 10$ है।
अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $(x-1)^{2} = 0$ हो,जिसका अर्थ है $x = 1$।
इसलिए,अधिकतम मान $f(1) = -(1-1)^{2} + 10 = 10$ है।
चूंकि फलन $f(x) = -(x-1)^{2} + 10$ एक नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है,जैसे-जैसे $x \to \infty$ या $x \to -\infty$ होता है,$f(x) \to -\infty$ हो जाता है।
अतः,इस फलन का कोई न्यूनतम मान नहीं है।

(NONE) दिया गया फलन $g(x) = x^{3} + 1$ है।
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम अवकलज निकालते हैं: $g'(x) = 3x^{2}$।
$g'(x) = 0$ रखने पर,हमें $3x^{2} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 0$।
$x < 0$ के लिए,$g'(x) > 0$ और $x > 0$ के लिए,$g'(x) > 0$ है।
चूंकि $x$ के $0$ से गुजरने पर $g'(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है,इसलिए $x = 0$ एक नतिपरिवर्तन बिंदु (point of inflection) है।
जैसे $x \to \infty$,$g(x) \to \infty$ और जैसे $x \to -\infty$,$g(x) \to -\infty$।
अतः,फलन $g(x) = x^{3} + 1$ का न तो कोई स्थानीय अधिकतम मान है और न ही कोई स्थानीय न्यूनतम मान।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = |x + 2| - 1$ है।
हम जानते हैं कि प्रत्येक $x \in \mathbb{R}$ के लिए $|x + 2| \geq 0$ होता है।
इसलिए,प्रत्येक $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x) = |x + 2| - 1 \geq -1$ होगा।
फलन $f$ का न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $|x + 2| = 0$ हो।
$|x + 2| = 0$ रखने पर,हमें $x = -2$ प्राप्त होता है।
फलन $f$ का न्यूनतम मान $f(-2) = |-2 + 2| - 1 = 0 - 1 = -1$ है।
चूंकि जैसे-जैसे $x \to \infty$ या $x \to -\infty$ होता है,$|x + 2|$ का मान स्वेच्छ रूप से बड़ा हो सकता है,इसलिए फलन $f(x)$ का कोई अधिकतम मान नहीं है।

(A) दिया गया फलन $g(x)=-|x+1|+3$ है।
हम जानते हैं कि निरपेक्ष मान फलन $|x+1| \geq 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए होता है।
$-1$ से गुणा करने पर,$-|x+1| \leq 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $3$ जोड़ने पर,$g(x) = -|x+1|+3 \leq 3$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए प्राप्त होता है।
$g(x)$ का अधिकतम मान $3$ है,जो तब प्राप्त होता है जब $|x+1|=0$,अर्थात $x=-1$ पर।
चूंकि निरपेक्ष मान फलन $|x+1|$ का परिसर $[0, \infty)$ है,इसलिए $-|x+1|$ का परिसर $(-\infty, 0]$ है।
अतः,$g(x) = -|x+1|+3$ का परिसर $(-\infty, 3]$ है।
जैसे-जैसे $x \to \infty$ या $x \to -\infty$ होता है,फलन का मान अनंत तक घटता जाता है,इसलिए इसका कोई न्यूनतम मान नहीं है।
अतः,अधिकतम मान $3$ है और न्यूनतम मान का अस्तित्व नहीं है।

(NONE) दिया गया फलन $h(x) = x + 1$ विवृत अंतराल $(-1, 1)$ पर परिभाषित है।
किसी भी $x \in (-1, 1)$ के लिए,हमारे पास $-1 < x < 1$ है।
असमिका के सभी भागों में $1$ जोड़ने पर,हमें $-1 + 1 < x + 1 < 1 + 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $0 < h(x) < 2$ हो जाता है।
जैसे-जैसे $x$ दाईं ओर से $-1$ के करीब पहुंचता है,$h(x)$ का मान $0$ के करीब पहुंचता है,लेकिन $h(x)$ कभी भी $0$ के बराबर नहीं होता क्योंकि $-1$ प्रांत में शामिल नहीं है।
जैसे-जैसे $x$ बाईं ओर से $1$ के करीब पहुंचता है,$h(x)$ का मान $2$ के करीब पहुंचता है,लेकिन $h(x)$ कभी भी $2$ के बराबर नहीं होता क्योंकि $1$ प्रांत में शामिल नहीं है।
चूंकि फलन निरंतर वर्धमान है और अंतराल विवृत है,इसलिए $(-1, 1)$ में ऐसा कोई बिंदु $c$ नहीं है जिसके लिए $h(c)$ अधिकतम या न्यूनतम मान हो।
अतः,फलन $h(x)$ का अंतराल $(-1, 1)$ में न तो कोई अधिकतम मान है और न ही कोई न्यूनतम मान।

(N/A) $f(x) = x^{2}$
$\therefore f'(x) = 2x$
अब,क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$2x = 0 \Rightarrow x = 0$
अतः,$x = 0$ एकमात्र क्रांतिक बिंदु है।
हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं: $f''(x) = 2$।
चूँकि $f''(0) = 2 > 0$,द्वितीय अवकलज परीक्षण के अनुसार,$x = 0$ स्थानीय न्यूनतम का बिंदु है।
$x = 0$ पर $f$ का स्थानीय न्यूनतम मान $f(0) = (0)^{2} = 0$ है।
इस फलन के लिए कोई स्थानीय उच्चतम मान नहीं है क्योंकि जैसे-जैसे $x \to \pm \infty$ होता है,$f(x) \to \infty$ होता है।

(A) दिया गया फलन: $g(x) = x^{3} - 3x$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $g'(x) = 3x^{2} - 3$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$g'(x) = 0$ रखें:
$3x^{2} - 3 = 0 \Rightarrow 3(x^{2} - 1) = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $g''(x) = 6x$.
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करें:
$x = 1$ के लिए: $g''(1) = 6(1) = 6 > 0$. चूँकि $g''(1) > 0$,इसलिए $x = 1$ स्थानीय निम्नतम का बिंदु है।
स्थानीय निम्नतम मान $g(1) = (1)^{3} - 3(1) = 1 - 3 = -2$ है।
$x = -1$ के लिए: $g''(-1) = 6(-1) = -6 < 0$. चूँकि $g''(-1) < 0$,इसलिए $x = -1$ स्थानीय उच्चतम का बिंदु है।
स्थानीय उच्चतम मान $g(-1) = (-1)^{3} - 3(-1) = -1 + 3 = 2$ है।

(A) दिया गया फलन: $h(x) = \sin x + \cos x$,जहाँ $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $h'(x) = \cos x - \sin x$।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $h'(x) = 0$ रखें:
$\cos x - \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = \cos x \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$।
द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $h''(x) = -\sin x - \cos x$।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर $h''(x)$ का मान ज्ञात करें:
$h''(\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$।
चूंकि $h''(\frac{\pi}{4}) < 0$ है,इसलिए $x = \frac{\pi}{4}$ स्थानीय उच्चतम का बिंदु है।
स्थानीय उच्चतम मान $h(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।
चूंकि फलन अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में पूरी तरह से अवतल (concave down) है,इसलिए दिए गए विवृत अंतराल में कोई स्थानीय न्यूनतम मान नहीं है।

दिया गया है $f(x) = \sin x - \cos x$,जहाँ $0 < x < 2\pi$ है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x) = \cos x + \sin x$ ज्ञात करें।
क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $\cos x + \sin x = 0 \Rightarrow \tan x = -1$।
अंतराल $(0, 2\pi)$ में,$\tan x = -1$ का मान $x = \frac{3\pi}{4}$ और $x = \frac{7\pi}{4}$ पर होता है।
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x) = -\sin x + \cos x$ ज्ञात करें।
$x = \frac{3\pi}{4}$ पर मान रखने पर: $f''(\frac{3\pi}{4}) = -\sin(\frac{3\pi}{4}) + \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} < 0$। अतः,$x = \frac{3\pi}{4}$ स्थानीय उच्चतम का बिंदु है।
स्थानीय उच्चतम मान $f(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{4}) - \cos(\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}$ है।
$x = \frac{7\pi}{4}$ पर मान रखने पर: $f''(\frac{7\pi}{4}) = -\sin(\frac{7\pi}{4}) + \cos(\frac{7\pi}{4}) = -(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} > 0$। अतः,$x = \frac{7\pi}{4}$ स्थानीय न्यूनतम का बिंदु है।
स्थानीय न्यूनतम मान $f(\frac{7\pi}{4}) = \sin(\frac{7\pi}{4}) - \cos(\frac{7\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$ है।

(N/A) दिया गया है $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 15$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें $f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 12x + 9$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f^{\prime}(x) = 0$ रखें: $3(x^{2} - 4x + 3) = 0 \Rightarrow 3(x - 1)(x - 3) = 0$.
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = 3$ हैं।
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें $f^{\prime \prime}(x) = 6x - 12 = 6(x - 2)$.
$x = 1$ के लिए,$f^{\prime \prime}(1) = 6(1 - 2) = -6 < 0$. चूँकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,$x = 1$ स्थानीय उच्चतम का बिंदु है।
स्थानीय उच्चतम मान $f(1) = (1)^{3} - 6(1)^{2} + 9(1) + 15 = 1 - 6 + 9 + 15 = 19$ है।
$x = 3$ के लिए,$f^{\prime \prime}(3) = 6(3 - 2) = 6 > 0$. चूँकि द्वितीय अवकलज धनात्मक है,$x = 3$ स्थानीय निम्नतम का बिंदु है।
स्थानीय निम्नतम मान $f(3) = (3)^{3} - 6(3)^{2} + 9(3) + 15 = 27 - 54 + 27 + 15 = 15$ है।

(A) दिया गया है $g(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$,जहाँ $x > 0$ है।
सबसे पहले,अवकलज $g'(x)$ ज्ञात करें:
$g'(x) = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,$g'(x) = 0$ रखें:
$\frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = 0 \implies \frac{2}{x^2} = \frac{1}{2} \implies x^2 = 4$.
चूँकि $x > 0$,इसलिए $x = 2$ प्राप्त होता है।
अब,द्वितीय अवकलज $g''(x)$ ज्ञात करें:
$g''(x) = \frac{4}{x^3}$.
$x = 2$ पर $g''(x)$ का मान ज्ञात करें:
$g''(2) = \frac{4}{2^3} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
चूँकि $g''(2) > 0$,द्वितीय अवकलज परीक्षण के अनुसार,$x = 2$ स्थानीय निम्नतम का बिंदु है।
स्थानीय निम्नतम मान $g(2) = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 1 + 1 = 2$ है।
इस फलन का कोई स्थानीय उच्चतम मान नहीं है क्योंकि $x > 0$ है।

(A) दिया गया फलन: $g(x) = \frac{1}{x^{2}+2}$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके अवकलज $g'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$g'(x) = \frac{d}{dx}(x^{2}+2)^{-1} = -1(x^{2}+2)^{-2} \cdot (2x) = \frac{-2x}{(x^{2}+2)^{2}}$.
$g'(x) = 0$ रखने पर:
$\frac{-2x}{(x^{2}+2)^{2}} = 0 \Rightarrow -2x = 0 \Rightarrow x = 0$.
अब,हम प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हैं:
$x < 0$ के लिए,$x = -1$ लें: $g'(-1) = \frac{-2(-1)}{((-1)^{2}+2)^{2}} = \frac{2}{9} > 0$.
$x > 0$ के लिए,$x = 1$ लें: $g'(1) = \frac{-2(1)}{(1^{2}+2)^{2}} = \frac{-2}{9} < 0$.
चूंकि $x = 0$ पर $g'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए $x = 0$ स्थानीय उच्चतम का बिंदु है।
स्थानीय उच्चतम मान $g(0) = \frac{1}{0^{2}+2} = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि हर $(x^{2}+2)^{2}$ हमेशा धनात्मक है और अंश $-2x$ इस तरह से चिह्न नहीं बदलता है कि स्थानीय निम्नतम प्राप्त हो,इसलिए इस फलन के लिए कोई स्थानीय निम्नतम मान नहीं है।

(N/A) दिया गया है $f(x) = x\sqrt{1 - x}$ जहाँ $0 < x < 1$ है।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = (1)\sqrt{1 - x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - x}}(-1) = \sqrt{1 - x} - \frac{x}{2\sqrt{1 - x}}$.
सरल करने पर,$f'(x) = \frac{2(1 - x) - x}{2\sqrt{1 - x}} = \frac{2 - 3x}{2\sqrt{1 - x}}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $2 - 3x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{2}{3}$.
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2 - 3x}{2(1 - x)^{1/2}} \right)$ ज्ञात करें।
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f''(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{-3(1 - x)^{1/2} - (2 - 3x) \cdot \frac{1}{2}(1 - x)^{-1/2}(-1)}{1 - x} \right] = \frac{-6(1 - x) + (2 - 3x)}{4(1 - x)^{3/2}} = \frac{3x - 4}{4(1 - x)^{3/2}}$.
$x = \frac{2}{3}$ पर,$f''\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{3(2/3) - 4}{4(1 - 2/3)^{3/2}} = \frac{2 - 4}{4(1/3)^{3/2}} = \frac{-2}{4(1/3)^{3/2}} < 0$.
चूँकि $f''\left(\frac{2}{3}\right) < 0$ है,इसलिए $x = \frac{2}{3}$ स्थानीय उच्चतम का बिंदु है।
स्थानीय उच्चतम मान $f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3}\sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$ है।
अंतराल $(0, 1)$ में कोई स्थानीय निम्नतम मान नहीं है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = e^{x}$ है।
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष फलन का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(e^{x}) = e^{x}$.
किसी फलन के स्थानीय उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ होने के लिए,प्रथम अवकलज $f^{\prime}(x)$ का डोमेन के किसी बिंदु $c$ पर $0$ होना आवश्यक है।
$f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$e^{x} = 0$.
हालाँकि,चरघातांकी फलन $e^{x}$ सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के लिए सदैव धनात्मक होता है ($x \in \mathbb{R}$ के लिए $e^{x} > 0$)।
चूँकि $e^{x}$ कभी भी $0$ के बराबर नहीं हो सकता,इसलिए ऐसा कोई मान $c \in \mathbb{R}$ मौजूद नहीं है जिसके लिए $f^{\prime}(c) = 0$ हो।
अतः,फलन $f(x) = e^{x}$ का कोई स्थानीय उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान नहीं है।

(N/A) दिया गया फलन $g(x) = \log x$ है।
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष फलन का अवकलन ज्ञात करते हैं:
$g'(x) = \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$.
चूंकि लघुगणकीय फलन $g(x) = \log x$ का प्रांत $x > 0$ है,इसलिए इसका अवकलज $g'(x) = \frac{1}{x}$ अपने प्रांत के सभी $x$ के लिए हमेशा धनात्मक रहता है ($x > 0$ के लिए $g'(x) > 0$)।
किसी फलन का स्थानीय उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान होने के लिए,प्रांत में एक ऐसा बिंदु $c$ होना चाहिए जिसके लिए $g'(c) = 0$ हो या $g'(c)$ का अस्तित्व न हो।
यहाँ,$\frac{1}{x}$ का मान $x$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए कभी भी $0$ नहीं होता है।
अतः,प्रांत के किसी भी $x$ के लिए $g'(x) \neq 0$ होने के कारण,फलन $g(x) = \log x$ का कोई स्थानीय उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान नहीं है।

(N/A) दिया गया फलन $h(x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$ है।
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष फलन का अवकलन ज्ञात करते हैं:
$h'(x) = \frac{d}{dx}(x^{3} + x^{2} + x + 1) = 3x^{2} + 2x + 1$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम $h'(x) = 0$ रखते हैं:
$3x^{2} + 2x + 1 = 0$.
इस द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D$ का मान $D = b^{2} - 4ac$ होता है।
यहाँ,$a = 3$,$b = 2$,और $c = 1$ है।
$D = (2)^{2} - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8$.
चूंकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए समीकरण $3x^{2} + 2x + 1 = 0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है।
इसका अर्थ है कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $h'(x)$ हमेशा धनात्मक रहता है (क्योंकि $x^{2}$ का गुणांक धनात्मक है)।
चूंकि किसी भी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $h'(x) \neq 0$ है,इसलिए फलन $h(x)$ का कोई स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान नहीं है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^{3}$ है।
$\therefore f^{\prime}(x) = 3x^{2}$.
अब,$f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर $3x^{2} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 0$.
हम क्रांतिक बिंदु $x = 0$ और अंतराल $[-2, 2]$ के अंत बिंदुओं पर $f$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(0) = 0^{3} = 0$.
$f(-2) = (-2)^{3} = -8$.
$f(2) = (2)^{3} = 8$.
इन मानों की तुलना करने पर,$[-2, 2]$ पर $f$ का निरपेक्ष अधिकतम मान $8$ ($x = 2$ पर) है और निरपेक्ष न्यूनतम मान $-8$ ($x = -2$ पर) है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \sin x + \cos x$ है।
सबसे पहले,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \cos x - \sin x$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$\cos x - \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = \cos x \Rightarrow \tan x = 1$.
चूंकि $x \in [0, \pi]$,एकमात्र क्रांतिक बिंदु $x = \frac{\pi}{4}$ है।
अब,हम अंतराल $[0, \pi]$ के अंतिम बिंदुओं और क्रांतिक बिंदु पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
$f(0) = \sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$.
$f(\pi) = \sin(\pi) + \cos(\pi) = 0 - 1 = -1$.
इन मानों की तुलना करने पर,निरपेक्ष अधिकतम मान $x = \frac{\pi}{4}$ पर $\sqrt{2}$ है और निरपेक्ष न्यूनतम मान $x = \pi$ पर $-1$ है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = 4x - \frac{1}{2}x^2$ है।
सबसे पहले,हम फलन का अवकलन ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(4x - \frac{1}{2}x^2) = 4 - x$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम $f'(x) = 0$ रखते हैं:
$4 - x = 0 \implies x = 4$.
चूंकि $x = 4$ अंतराल $\left[-2, \frac{9}{2}\right]$ के भीतर स्थित है,इसलिए हम क्रांतिक बिंदु और अंतराल के अंतिम बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$f(4) = 4(4) - \frac{1}{2}(4)^2 = 16 - 8 = 8$.
$f(-2) = 4(-2) - \frac{1}{2}(-2)^2 = -8 - 2 = -10$.
$f\left(\frac{9}{2}\right) = 4\left(\frac{9}{2}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{9}{2}\right)^2 = 18 - \frac{81}{8} = 18 - 10.125 = 7.875$.
इन मानों की तुलना करने पर,निरपेक्ष उच्चतम मान $8$ है जो $x = 4$ पर प्राप्त होता है और निरपेक्ष निम्नतम मान $-10$ है जो $x = -2$ पर प्राप्त होता है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = (x - 1)^{2} + 3$ है जो अंतराल $[-3, 1]$ पर परिभाषित है।
सबसे पहले,हम फलन का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 2(x - 1)$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम $f'(x) = 0$ रखते हैं:
$2(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 1$.
अब,हम फलन $f(x)$ का मान क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और अंतराल के अंतिम बिंदुओं $x = -3$ और $x = 1$ पर ज्ञात करते हैं:
$f(1) = (1 - 1)^{2} + 3 = 0 + 3 = 3$.
$f(-3) = (-3 - 1)^{2} + 3 = (-4)^{2} + 3 = 16 + 3 = 19$.
इन मानों की तुलना करने पर,निरपेक्ष अधिकतम मान $x = -3$ पर $19$ है और निरपेक्ष न्यूनतम मान $x = 1$ पर $3$ है।

(A) लाभ फलन $p(x) = 41 - 72x - 18x^{2}$ दिया गया है।
अधिकतम लाभ ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम अवकलज $p'(x)$ निकालते हैं:
$p'(x) = \frac{d}{dx}(41 - 72x - 18x^{2}) = -72 - 36x$.
क्रांतिक बिंदु (critical point) ज्ञात करने के लिए $p'(x) = 0$ रखते हैं:
$-72 - 36x = 0 \Rightarrow 36x = -72 \Rightarrow x = -2$.
अब,उच्चिष्ठ (maxima) की जाँच करने के लिए द्वितीय अवकलज $p''(x)$ निकालते हैं:
$p''(x) = \frac{d}{dx}(-72 - 36x) = -36$.
चूँकि $p''(-2) = -36 < 0$ है,इसलिए फलन का $x = -2$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ मान है।
अब,$x = -2$ को $p(x)$ में रखकर अधिकतम लाभ की गणना करते हैं:
$p(-2) = 41 - 72(-2) - 18(-2)^{2}$
$p(-2) = 41 + 144 - 18(4)$
$p(-2) = 41 + 144 - 72$
$p(-2) = 113$.
अतः,कंपनी द्वारा अर्जित अधिकतम लाभ $113$ इकाइयाँ है।

(A) माना $f(x) = 3x^{4}-8x^{3}+12x^{2}-48x+25$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें $f'(x) = 12x^{3}-24x^{2}+24x-48$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $12(x^{3}-2x^{2}+2x-4) = 0$.
त्रिघात बहुपद का गुणनखंड करने पर: $12[x^{2}(x-2)+2(x-2)] = 0$,जो $12(x-2)(x^{2}+2) = 0$ देता है।
अंतराल $[0,3]$ में एकमात्र वास्तविक क्रांतिक बिंदु $x=2$ है।
अब,क्रांतिक बिंदु और अंतराल के अंतिम बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$x=0$ पर: $f(0) = 3(0)^{4}-8(0)^{3}+12(0)^{2}-48(0)+25 = 25$.
$x=2$ पर: $f(2) = 3(2)^{4}-8(2)^{3}+12(2)^{2}-48(2)+25 = 3(16)-8(8)+12(4)-96+25 = 48-64+48-96+25 = -39$.
$x=3$ पर: $f(3) = 3(3)^{4}-8(3)^{3}+12(3)^{2}-48(3)+25 = 3(81)-8(27)+12(9)-144+25 = 243-216+108-144+25 = 16$.
इन मानों की तुलना करने पर: $25, -39, 16$.
अधिकतम मान $25$ ($x=0$ पर) है और न्यूनतम मान $-39$ ($x=2$ पर) है।

(A) माना $f(x) = \sin 2x$.
तब,$f'(x) = 2 \cos 2x$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखने पर,जिसका अर्थ है $2 \cos 2x = 0$,इसलिए $\cos 2x = 0$.
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$2x$ का मान $[0, 4\pi]$ में है। अतः,$2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$.
इससे हमें $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
इन बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
$f(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$
$f(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\frac{5\pi}{2}) = 1$
$f(\frac{7\pi}{4}) = \sin(\frac{7\pi}{2}) = -1$
साथ ही,अंतिम बिंदुओं पर $f(0) = 0$ और $f(2\pi) = 0$.
अधिकतम मान $1$ है,जो $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{5\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है।

(N/A) माना $f(x) = 2x^{3}-24x+107$.
$\therefore f'(x) = 6x^{2}-24 = 6(x^{2}-4)$.
अब,$f'(x) = 0 \Rightarrow 6(x^{2}-4) = 0 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
स्थिति $1$: अंतराल $[1,3]$.
हम क्रांतिक बिंदु $x = 2 \in [1,3]$ और अंत बिंदुओं $x = 1$ और $x = 3$ पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं।
$f(2) = 2(8) - 24(2) + 107 = 16 - 48 + 107 = 75$.
$f(1) = 2(1) - 24(1) + 107 = 2 - 24 + 107 = 85$.
$f(3) = 2(27) - 24(3) + 107 = 54 - 72 + 107 = 89$.
अतः,अंतराल $[1,3]$ में $f(x)$ का निरपेक्ष अधिकतम मान $89$ है जो $x = 3$ पर प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: अंतराल $[-3,-1]$.
हम क्रांतिक बिंदु $x = -2 \in [-3,-1]$ और अंत बिंदुओं $x = -3$ और $x = -1$ पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं।
$f(-3) = 2(-27) - 24(-3) + 107 = -54 + 72 + 107 = 125$.
$f(-1) = 2(-1) - 24(-1) + 107 = -2 + 24 + 107 = 129$.
$f(-2) = 2(-8) - 24(-2) + 107 = -16 + 48 + 107 = 139$.
अतः,अंतराल $[-3,-1]$ में $f(x)$ का निरपेक्ष अधिकतम मान $139$ है जो $x = -2$ पर प्राप्त होता है।

(A) माना कि $f(x) = x^{4}-62x^{2}+ax+9.$
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष फलन $f(x)$ का अवकलन ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{4}-62x^{2}+ax+9) = 4x^{3}-124x+a.$
यह दिया गया है कि फलन $f(x)$ अंतराल $[0,2]$ पर $x=1$ पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।
चूंकि $x=1$ अंतराल $[0,2]$ का एक आंतरिक बिंदु है,इसलिए इस बिंदु पर अवकलन शून्य होना चाहिए,अर्थात $f'(1) = 0.$
अवकलन समीकरण में $x=1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f'(1) = 4(1)^{3}-124(1)+a = 0.$
$4-124+a = 0.$
$-120+a = 0.$
$a = 120.$
अतः,$a$ का मान $120$ है।

माना $f(x) = x + \sin 2x$.
$\therefore f'(x) = 1 + 2 \cos 2x$.
अब,$f'(x) = 0 \Rightarrow \cos 2x = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ और $\cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$,इसलिए $x \in [0, 2\pi]$ के लिए $2x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ हैं।
क्रांतिक बिंदुओं और अंत बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f(0) = 0 + \sin(0) = 0$.
$f(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$f(\frac{2\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} + \sin(\frac{4\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$f(\frac{4\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3} + \sin(\frac{8\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$f(\frac{5\pi}{3}) = \frac{5\pi}{3} + \sin(\frac{10\pi}{3}) = \frac{5\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$f(2\pi) = 2\pi + \sin(4\pi) = 2\pi$.
इन मानों की तुलना करने पर,निरपेक्ष अधिकतम मान $x = 2\pi$ पर $2\pi$ है और निरपेक्ष न्यूनतम मान $x = 0$ पर $0$ है।

(A) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं। दिया गया है कि उनका योग $x + y = 24$ है,इसलिए हम $y$ को $y = 24 - x$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना कि $P$ दोनों संख्याओं का गुणनफल है,तो $P = x \cdot y = x(24 - x) = 24x - x^2$ है।
अधिकतम गुणनफल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $P$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dP}{dx} = 24 - 2x$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए अवकलज को शून्य के बराबर रखने पर:
$24 - 2x = 0 \Rightarrow x = 12$.
यह पुष्टि करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{d^2P}{dx^2} = -2$.
चूंकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक $(-2 < 0)$ है,इसलिए फलन का $x = 12$ पर स्थानीय उच्चतम मान है।
यदि $x = 12$ है,तो $y = 24 - 12 = 12$ होगा।
अतः,वे दो संख्याएँ $12$ और $12$ हैं।

(A) दिया गया है कि $x+y=60$,इसलिए $y=60-x$.
मान लीजिए $f(x) = x y^3 = x(60-x)^3$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = (60-x)^3 + x \cdot 3(60-x)^2(-1) = (60-x)^2 [60-x - 3x] = (60-x)^2 (60-4x)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x=60$ या $x=15$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ और $y$ धनात्मक संख्याएँ हैं और $x+y=60$,इसलिए $x$ का मान $60$ नहीं हो सकता (क्योंकि इससे $y=0$ हो जाएगा)।
अतः,$x=15$.
अब,$y = 60 - 15 = 45$.
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर $f''(x) = 2(60-x)(-1)(60-4x) + (60-x)^2(-4) = -2(60-x)(60-4x + 2(60-x)) = -2(60-x)(180-6x)$.
$x=15$ के लिए,$f''(15) = -2(45)(180-90) = -2(45)(90) < 0$.
चूंकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए $x=15$ स्थानीय उच्चतम बिंदु है।
अतः,अभीष्ट संख्याएँ $x=15$ और $y=45$ हैं।

(A) माना एक संख्या $x$ है। तो दूसरी संख्या $y = 35 - x$ होगी।
माना $P(x) = x^{2} y^{5}$ है। $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$P(x) = x^{2} (35 - x)^{5}$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $P(x)$ का अवकलन करते हैं:
$P'(x) = 2x(35 - x)^{5} + x^{2} \cdot 5(35 - x)^{4} \cdot (-1)$
$P'(x) = x(35 - x)^{4} [2(35 - x) - 5x]$
$P'(x) = x(35 - x)^{4} (70 - 2x - 5x)$
$P'(x) = x(35 - x)^{4} (70 - 7x) = 7x(35 - x)^{4} (10 - x)$.
$P'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$,$x = 35$,या $x = 10$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ और $y$ धनात्मक संख्याएँ हैं,इसलिए $x = 0$ और $x = 35$ को अस्वीकार कर दिया जाता है क्योंकि वे गुणनफल को $0$ बना देते हैं।
अब,$x = 10$ पर द्वितीय अवकलज $P''(x)$ की जाँच करते हैं:
$P''(x) = \frac{d}{dx} [7x(35 - x)^{4} (10 - x)]$.
गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$x = 10$ पर $(10 - x)$ पद $0$ हो जाता है,इसलिए:
$P''(10) = 7(10)(35 - 10)^{4} (-1) = -70(25)^{4} < 0$.
चूंकि $P''(10) < 0$ है,इसलिए $x = 10$ पर $P(x)$ अधिकतम है।
अतः,$x = 10$ और $y = 35 - 10 = 25$ है।

(A) माना एक संख्या $x$ है। तब,दूसरी संख्या $(16-x)$ होगी।
माना इन संख्याओं के घनों का योग $S(x)$ है। तब,
$S(x) = x^3 + (16-x)^3$
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम अवकलज निकालते हैं:
$S'(x) = 3x^2 - 3(16-x)^2$
$S'(x) = 0$ रखने पर:
$3x^2 - 3(16-x)^2 = 0$
$x^2 - (256 - 32x + x^2) = 0$
$32x - 256 = 0$
$x = 8$
अब,न्यूनतम की जाँच करने के लिए हम द्वितीय अवकलज निकालते हैं:
$S''(x) = 6x + 6(16-x)$
$S''(8) = 6(8) + 6(16-8) = 48 + 48 = 96$
चूँकि $S''(8) > 0$ है,इसलिए फलन का $x = 8$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
अतः,वे दो संख्याएँ $8$ और $16-8 = 8$ हैं।

(A) माना काटे जाने वाले वर्ग की भुजा $x \, cm$ है।
तब,बक्से की लंबाई और चौड़ाई प्रत्येक $(18-2x) \, cm$ होगी और बक्से की ऊंचाई $x \, cm$ होगी।
अतः,बक्से का आयतन $V(x)$ इस प्रकार है:
$V(x) = x(18-2x)^2 = 4x^3 - 72x^2 + 324x$.
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $V'(x)$ निकालते हैं:
$V'(x) = 12x^2 - 144x + 324$.
$V'(x) = 0$ रखने पर:
$12(x^2 - 12x + 27) = 0
\Rightarrow 12(x-9)(x-3) = 0$.
अतः,$x = 9$ या $x = 3$.
यदि $x = 9$ है,तो बक्से की भुजा $(18-2x)$ शून्य हो जाएगी,जो संभव नहीं है।
इसलिए,$x = 3$.
अब,हम द्वितीय अवकलज $V''(x) = 24x - 144$ की जाँच करते हैं।
$V''(3) = 24(3) - 144 = 72 - 144 = -72 < 0$.
चूँकि $V''(3) < 0$ है,इसलिए $x = 3 \, cm$ पर आयतन अधिकतम है।

(A) माना कि काटे जाने वाले वर्ग की भुजा $x \, cm$ है। तब,बक्से की ऊँचाई $x$,लंबाई $45-2x$ और चौड़ाई $24-2x$ होगी।
अतः,बक्से का आयतन $V(x)$ इस प्रकार है:
$V(x) = x(45-2x)(24-2x) = x(1080 - 90x - 48x + 4x^2) = 4x^3 - 138x^2 + 1080x$.
अब,प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
$V'(x) = 12x^2 - 276x + 1080 = 12(x^2 - 23x + 90) = 12(x-18)(x-5)$.
$V'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 18$ या $x = 5$ प्राप्त होता है।
चूँकि चौड़ाई $24 \, cm$ है,$x = 18$ संभव नहीं है (क्योंकि $2x = 36 > 24$)। अतः,$x = 5$ है।
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर:
$V''(x) = 24x - 276$.
$x = 5$ पर,$V''(5) = 24(5) - 276 = 120 - 276 = -156 < 0$.
चूँकि $V''(5) < 0$ है,इसलिए $x = 5 \, cm$ पर आयतन अधिकतम है।

(N/A) माना $R$ त्रिज्या वाले दिए गए वृत्त के अंतर्गत $l$ लंबाई और $b$ चौड़ाई वाला एक आयत है।
आयत का विकर्ण वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है और यह व्यास $2R$ के बराबर होता है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2R)^{2} = l^{2} + b^{2}$
$\Rightarrow b^{2} = 4R^{2} - l^{2}$
$\Rightarrow b = \sqrt{4R^{2} - l^{2}}$
आयत का क्षेत्रफल,$A = l \times b = l \sqrt{4R^{2} - l^{2}}$
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,हम $A^{2}$ को अधिकतम करते हैं। माना $S = A^{2} = l^{2}(4R^{2} - l^{2}) = 4R^{2}l^{2} - l^{4}$ है।
$l$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dS}{dl} = 8R^{2}l - 4l^{3}$
$\frac{dS}{dl} = 0$ रखने पर:
$4l(2R^{2} - l^{2}) = 0$
चूंकि $l \neq 0$,इसलिए $l^{2} = 2R^{2} \Rightarrow l = R\sqrt{2}$ है।
अब,$b = \sqrt{4R^{2} - (R\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{4R^{2} - 2R^{2}} = \sqrt{2R^{2}} = R\sqrt{2}$ है।
चूंकि $l = b = R\sqrt{2}$ है,इसलिए आयत एक वर्ग है।
द्वितीय अवकलज परीक्षण:
$\frac{d^{2}S}{dl^{2}} = 8R^{2} - 12l^{2}$
$l^{2} = 2R^{2}$ पर,$\frac{d^{2}S}{dl^{2}} = 8R^{2} - 12(2R^{2}) = 8R^{2} - 24R^{2} = -16R^{2} < 0$ है।
चूंकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए क्षेत्रफल $l = b = R\sqrt{2}$ पर अधिकतम है।
अतः,यह सिद्ध होता है कि एक निश्चित वृत्त के अंतर्गत सभी आयतों में से,वर्ग का क्षेत्रफल अधिकतम होता है।

(N/A) माना बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ द्वारा दिया जाता है।
इससे,हम $h$ को $r$ और $S$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$h = \frac{S - 2\pi r^2}{2\pi r} = \frac{S}{2\pi r} - r$.
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ है।
$h$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \pi r^2 \left( \frac{S}{2\pi r} - r \right) = \frac{Sr}{2} - \pi r^3$.
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dV}{dr} = \frac{S}{2} - 3\pi r^2$.
$\frac{dV}{dr} = 0$ रखने पर,$\frac{S}{2} = 3\pi r^2$,अतः $S = 6\pi r^2$.
अब,अधिकतम मान की जाँच करने के लिए द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{d^2V}{dr^2} = -6\pi r$.
चूँकि $r > 0$,इसलिए $\frac{d^2V}{dr^2} < 0$,जो यह पुष्टि करता है कि $S = 6\pi r^2$ पर आयतन अधिकतम है।
$h$ के समीकरण में $S = 6\pi r^2$ रखने पर:
$h = \frac{6\pi r^2 - 2\pi r^2}{2\pi r} = \frac{4\pi r^2}{2\pi r} = 2r$.
चूँकि $2r$ आधार का व्यास है,इसलिए बेलन की ऊँचाई उसके व्यास के बराबर है।

(A) माना बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
दिया गया आयतन $V = \pi r^2 h = 100 \text{ cm}^3$ है।
अतः,$h = \frac{100}{\pi r^2}$।
बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ है।
$h$ का मान रखने पर,$S = 2\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{100}{\pi r^2}\right) = 2\pi r^2 + \frac{200}{r}$।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dS}{dr} = 4\pi r - \frac{200}{r^2}$।
$\frac{dS}{dr} = 0$ रखने पर,$4\pi r = \frac{200}{r^2} \Rightarrow r^3 = \frac{50}{\pi} \Rightarrow r = \left(\frac{50}{\pi}\right)^{1/3}$।
द्वितीय अवकलज परीक्षण के अनुसार,$\frac{d^2S}{dr^2} = 4\pi + \frac{400}{r^3}$। चूँकि $r > 0$,इसलिए $\frac{d^2S}{dr^2} > 0$,अतः $r = \left(\frac{50}{\pi}\right)^{1/3}$ पर $S$ न्यूनतम है।
तब $h = \frac{100}{\pi (50/\pi)^{2/3}} = 2 \left(\frac{50}{\pi}\right)^{1/3}$।
अतः,न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए विमाएँ $r = \left(\frac{50}{\pi}\right)^{1/3} \text{ cm}$ और $h = 2\left(\frac{50}{\pi}\right)^{1/3} \text{ cm}$ हैं।

(A) माना वर्ग बनाने के लिए उपयोग किए गए तार की लंबाई $l \, m$ है। तब वृत्त बनाने के लिए उपयोग किए गए तार की लंबाई $(28-l) \, m$ होगी।
वर्ग की भुजा $s = \frac{l}{4}$ है। वर्ग का क्षेत्रफल $A_s = s^2 = \frac{l^2}{16}$ है।
वृत्त के लिए,परिधि $2\pi r = 28-l$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{28-l}{2\pi}$ है। वृत्त का क्षेत्रफल $A_c = \pi r^2 = \pi \left( \frac{28-l}{2\pi} \right)^2 = \frac{(28-l)^2}{4\pi}$ है।
कुल क्षेत्रफल $A = A_s + A_c = \frac{l^2}{16} + \frac{(28-l)^2}{4\pi}$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $l$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dA}{dl} = \frac{2l}{16} + \frac{2(28-l)(-1)}{4\pi} = \frac{l}{8} - \frac{28-l}{2\pi}$ है।
$\frac{dA}{dl} = 0$ रखने पर,हमें $\frac{l}{8} = \frac{28-l}{2\pi} \Rightarrow \pi l = 4(28-l) \Rightarrow \pi l = 112 - 4l \Rightarrow l(\pi+4) = 112 \Rightarrow l = \frac{112}{\pi+4}$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज $\frac{d^2A}{dl^2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{2\pi} > 0$ है,जो न्यूनतम मान की पुष्टि करता है।
अतः,वर्ग के लिए लंबाई $\frac{112}{\pi+4} \, m$ और वृत्त के लिए लंबाई $28 - \frac{112}{\pi+4} = \frac{28\pi}{\pi+4} \, m$ है।

(N/A) माना $r$ और $h$ क्रमशः $R$ त्रिज्या वाले गोले के अंतर्गत शंकु की त्रिज्या और ऊँचाई हैं।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ है।
शंकु की ऊँचाई $h = R + \sqrt{R^{2} - r^{2}}$ है।
$V = \frac{1}{3} \pi r^{2} (R + \sqrt{R^{2} - r^{2}})$.
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dr} = \frac{2}{3} \pi r R + \frac{1}{3} \pi \left( 2r \sqrt{R^{2} - r^{2}} - \frac{r^{3}}{\sqrt{R^{2} - r^{2}}} \right)$.
$\frac{dV}{dr} = 0$ रखने पर:
$2R\sqrt{R^{2} - r^{2}} = 3r^{2} - 2R^{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4R^{2}(R^{2} - r^{2}) = (3r^{2} - 2R^{2})^{2}$.
$9r^{4} = 8R^{2}r^{2} \Rightarrow r^{2} = \frac{8}{9}R^{2}$.
अतः $h = R + \frac{R}{3} = \frac{4}{3}R$.
अधिकतम आयतन $V = \frac{1}{3} \pi (\frac{8}{9}R^{2}) (\frac{4}{3}R) = \frac{32}{81} \pi R^{3}$.
गोले का आयतन $V_{s} = \frac{4}{3} \pi R^{3}$.
अनुपात $\frac{V}{V_{s}} = \frac{32/81}{4/3} = \frac{8}{27}$.
अतः,सबसे बड़े शंकु का आयतन गोले के आयतन का $\frac{8}{27}$ है।

(N/A) माना शंकु की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
शंकु का आयतन $(V) = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ है,जिसका अर्थ है $h = \frac{3V}{\pi r^{2}}$.
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(S) = \pi r l = \pi r \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ है।
$h$ का मान रखने पर,$S = \pi r \sqrt{r^{2} + \frac{9V^{2}}{\pi^{2} r^{4}}} = \frac{1}{r} \sqrt{\pi^{2} r^{6} + 9V^{2}}$.
$S$ को न्यूनतम करने के लिए,हम $S^{2} = \frac{\pi^{2} r^{6} + 9V^{2}}{r^{2}} = \pi^{2} r^{4} + 9V^{2} r^{-2}$ को न्यूनतम करेंगे।
माना $f(r) = S^{2}$. तब $f'(r) = 4 \pi^{2} r^{3} - 18V^{2} r^{-3}$.
$f'(r) = 0$ रखने पर,$4 \pi^{2} r^{3} = \frac{18V^{2}}{r^{3}}$,अतः $r^{6} = \frac{18V^{2}}{4 \pi^{2}} = \frac{9V^{2}}{2 \pi^{2}}$.
$V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ को $r^{6} = \frac{9V^{2}}{2 \pi^{2}}$ में रखने पर,$r^{6} = \frac{9}{2 \pi^{2}} \cdot (\frac{1}{9} \pi^{2} r^{4} h^{2}) = \frac{1}{2} r^{4} h^{2}$.
इस प्रकार,$r^{2} = \frac{1}{2} h^{2}$,जिसका अर्थ है $h^{2} = 2r^{2}$,या $h = \sqrt{2} r$.
चूँकि $f''(r) = 12 \pi^{2} r^{2} + 54V^{2} r^{-4} > 0$ है,इसलिए $h = \sqrt{2} r$ पर पृष्ठीय क्षेत्रफल न्यूनतम होता है।

(A) माना $\theta$ शंकु का अर्ध-शीर्ष कोण है।
यह स्पष्ट है कि $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ है।
माना $r$,$h$ और $l$ क्रमशः शंकु की त्रिज्या,ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई हैं।
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ अचर दी गई है।
अब,$r = l \sin \theta$ और $h = l \cos \theta$ है।
शंकु का आयतन $(V) = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ और $h$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \frac{1}{3} \pi (l^2 \sin^2 \theta)(l \cos \theta) = \frac{1}{3} \pi l^3 \sin^2 \theta \cos \theta$ प्राप्त होता है।
$\theta$ के सापेक्ष $V$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{d\theta} = \frac{\pi l^3}{3} [\sin^2 \theta(-\sin \theta) + \cos \theta(2 \sin \theta \cos \theta)]$
$= \frac{\pi l^3}{3} [-\sin^3 \theta + 2 \sin \theta \cos^2 \theta]$ प्राप्त होता है।
अधिकतम या न्यूनतम आयतन के लिए,$\frac{dV}{d\theta} = 0$ रखने पर:
$\sin^3 \theta = 2 \sin \theta \cos^2 \theta \Rightarrow \tan^2 \theta = 2 \Rightarrow \tan \theta = \sqrt{2} \Rightarrow \theta = \tan^{-1} \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अब,द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर:
$\frac{d^2V}{d\theta^2} = \frac{\pi l^3}{3} [-3 \sin^2 \theta \cos \theta + 2 \cos^3 \theta - 4 \sin^2 \theta \cos \theta] = \frac{\pi l^3}{3} [2 \cos^3 \theta - 7 \sin^2 \theta \cos \theta]$ प्राप्त होता है।
$\tan \theta = \sqrt{2}$ पर $\sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta$ रखने पर:
$\frac{d^2V}{d\theta^2} = \frac{\pi l^3}{3} [2 \cos^3 \theta - 7(2 \cos^2 \theta) \cos \theta] = \frac{\pi l^3}{3} [2 \cos^3 \theta - 14 \cos^3 \theta] = -4 \pi l^3 \cos^3 \theta$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ है,इसलिए $\cos \theta > 0$,अतः $\frac{d^2V}{d\theta^2} < 0$ है।
अतः,आयतन अधिकतम है जब $\theta = \tan^{-1} \sqrt{2}$ हो।

(N/A) माना $r, h, l$ क्रमशः लंबवृत्तीय शंकु की त्रिज्या,ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई हैं। माना $S$ शंकु का दिया गया पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
हम जानते हैं,$l^{2}=r^{2}+h^{2} \quad \dots (1)$
$S=\pi r l+\pi r^{2}$
$S-\pi r^{2}=\pi r l$
$\Rightarrow l=\frac{S-\pi r^{2}}{\pi r}$
$V=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$
$\Rightarrow V=\frac{1}{3} \pi r^{2} \sqrt{l^{2}-r^{2}} \quad (\text{समीकरण } (1) \text{ से})$
$\Rightarrow V^{2}=\frac{1}{9} \pi^{2} r^{4}\left(l^{2}-r^{2}\right)$
$\Rightarrow V^{2}=\frac{1}{9} \pi^{2} r^{4}\left[\left(\frac{S-\pi r^{2}}{\pi r}\right)^{2}-r^{2}\right]$
$\Rightarrow V^{2}=\frac{1}{9} \pi^{2} r^{4}\left[\frac{\left(S-\pi r^{2}\right)^{2}-\pi^{2} r^{4}}{\pi^{2} r^{2}}\right]$
$\Rightarrow V^{2}=\frac{1}{9} r^{2}\left[\left(S-\pi r^{2}\right)^{2}-\pi^{2} r^{4}\right]$
$\Rightarrow V^{2}=\frac{1}{9} r^{2}\left[S^{2}-2 \pi S r^{2}+\pi^{2} r^{4}-\pi^{2} r^{4}\right]$
$\Rightarrow V^{2}=\frac{1}{9}\left(r^{2} S^{2}-2 \pi S r^{4}\right)$
$2 V \frac{d V}{d r}=\frac{S^{2}}{9} (2 r)-\frac{2 \pi S}{9} (4 r^{3})$
$2 V \frac{d V}{d r}=\frac{2 r S}{9}\left(S-4 \pi r^{2}\right)$
अधिकतम आयतन के लिए,$\frac{d V}{d r}=0$
$\Rightarrow \frac{2 r S}{9}\left(S-4 \pi r^{2}\right)=0$
चूँकि $r \neq 0$,इसलिए $S=4 \pi r^{2}$
$\Rightarrow r^{2}=\frac{S}{4 \pi}$
$S=\pi r l+\pi r^{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $4 \pi r^{2}=\pi r l+\pi r^{2}$
$\Rightarrow 3 \pi r^{2}=\pi r l$
$\Rightarrow l=3 r$
माना $\alpha$ अर्ध-शीर्ष कोण है।
$\sin \alpha=\frac{r}{l}=\frac{r}{3 r}=\frac{1}{3}$
$\Rightarrow \alpha=\sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$

(D) माना $f(x) = \frac{1-x+x^{2}}{1+x+x^{2}}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f^{\prime}(x) = \frac{(1+x+x^{2})(-1+2x) - (1-x+x^{2})(1+2x)}{(1+x+x^{2})^{2}}$.
अंश को सरल करने पर: $(2x^{2}+x-1) - (2x^{3}+x^{2}-x+1) = 2x^{2}-2 = 2(x^{2}-1)$.
अतः,$f^{\prime}(x) = \frac{2(x^{2}-1)}{(1+x+x^{2})^{2}}$.
$f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर,हमें $x^{2}-1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 1$ या $x = -1$.
इन क्रांतिक बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f(1) = \frac{1-1+1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$.
$f(-1) = \frac{1-(-1)+(-1)^{2}}{1+(-1)+(-1)^{2}} = \frac{1+1+1}{1-1+1} = 3$.
चूंकि जैसे $x \to \pm \infty$ होता है,$f(x) \to 1$ होता है,इसलिए न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है.

(A) माना $f(x) = [x(x-1)+1]^{\frac{1}{3}} = [x^2-x+1]^{\frac{1}{3}}$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन $f'(x)$ की गणना करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{3}[x^2-x+1]^{-\frac{2}{3}} \cdot (2x-1) = \frac{2x-1}{3(x^2-x+1)^{\frac{2}{3}}}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $2x-1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{1}{2}$.
चूंकि $x = \frac{1}{2}$ अंतराल $[0, 1]$ के भीतर स्थित है,हम क्रांतिक बिंदु और अंत बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(0) = [0(0-1)+1]^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} = 1$.
$f(1) = [1(1-1)+1]^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} = 1$.
$f(\frac{1}{2}) = [\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)+1]^{\frac{1}{3}} = [\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})+1]^{\frac{1}{3}} = [-\frac{1}{4}+1]^{\frac{1}{3}} = (\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}}$.
$1$,$1$,और $(\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}}$ मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $1$ है।
अतः,सही उत्तर $A$ है।

$ (A) $ माना काटे गए वर्गों की भुजा की लंबाई $x$ मीटर है। बॉक्स की ऊँचाई $x$, लंबाई $8-2x$ और चौड़ाई $3-2x$ है।
चूँकि आयाम धनात्मक होने चाहिए, $x > 0$, $8-2x > 0$, और $3-2x > 0$, जिसका अर्थ है $0 < x < 1.5$।
आयतन $V(x)$ इस प्रकार है:
$V(x) = x(3-2x)(8-2x) = 4x^3 - 22x^2 + 24x$।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए, हम अवकलज $V'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$V'(x) = 12x^2 - 44x + 24$।
$V'(x) = 0$ रखने पर:
$12x^2 - 44x + 24 = 0 \implies 4(3x-2)(x-3) = 0$।
क्रांतिक बिंदु $x = 2/3$ और $x = 3$ हैं।
चूँकि $x < 1.5$, हम $x = 3$ को छोड़ देते हैं।
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर: $V''(x) = 24x - 44$।
$V''(2/3) = 24(2/3) - 44 = 16 - 44 = -28 < 0$।
अतः, $x = 2/3$ उच्चिष्ठ बिंदु है।
अधिकतम आयतन:
$V(2/3) = (2/3)(3 - 4/3)(8 - 4/3) = (2/3)(5/3)(20/3) = 200/27 \text{ m}^3$।