फलन $f(x) = \begin{cases} (2+x)^3, & -3 < x \leq -1 \\ x^{2/3}, & -1 < x < 2 \end{cases}$ के स्थानीय उच्चिष्ठ (local maxima) और स्थानीय निम्निष्ठ (local minima) की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $M$ और $m$ अंतराल $[0, 3]$ में फलन $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 5$ के क्रमशः स्थानीय उच्चतम और स्थानीय न्यूनतम मान हैं। तो $M - m$ का मान ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि दिए गए पृष्ठीय क्षेत्रफल और अधिकतम आयतन वाले लंब वृत्तीय बेलन की ऊँचाई उसके आधार के व्यास के बराबर होती है।

वक्र $y=-x^{3}+3x^{2}+2x-27$ की अधिकतम ढाल (slope) क्या है?

$18 \ m^2$ क्षेत्रफल वाले एक आयताकार कागज पर एक पोस्टर छापा जाना है। ऊपर और नीचे $75 \ cm$ और किनारों पर $50 \ cm$ का मार्जिन छोड़ा जाना है। तो कागज के आयाम,यानी ऊंचाई और चौड़ाई,ताकि छपाई के लिए उपलब्ध स्थान अधिकतम हो,क्रमशः क्या हैं?

मान लीजिए $f(x) = \int_0^{x^2} \frac{t^2-8t+15}{e^t} dt$,$x \in R$ है। तो $f$ के स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम बिंदुओं की संख्या क्रमशः क्या है?