Maxima and Minima Questions in Hindi

(D) हमें अंतराल $[0,1]$ पर फलन $f(x)=e^{x^2}+e^{-x^2}$,$g(x)=x e^{x^2}+e^{-x^2}$,और $h(x)=x^2 e^{x^2}+e^{-x^2}$ दिए गए हैं।
$x \in [0,1]$ के लिए,हमारे पास $0 \leq x^2 \leq x \leq 1$ है।
चूंकि $e^{x^2} > 0$ और $e^{-x^2} > 0$,हम फलनों की तुलना करते हैं:
$f(x) - g(x) = e^{x^2} + e^{-x^2} - x e^{x^2} - e^{-x^2} = e^{x^2}(1-x) \geq 0$,$x \in [0,1]$ के लिए। अतः $f(x) \geq g(x)$।
$g(x) - h(x) = x e^{x^2} + e^{-x^2} - x^2 e^{x^2} - e^{-x^2} = e^{x^2}(x-x^2) = x e^{x^2}(1-x) \geq 0$,$x \in [0,1]$ के लिए। अतः $g(x) \geq h(x)$।
इसलिए,सभी $x \in [0,1]$ के लिए $f(x) \geq g(x) \geq h(x)$ है।
$x=1$ पर,$f(1) = e^1 + e^{-1} = e + \frac{1}{e}$,$g(1) = 1 \cdot e^1 + e^{-1} = e + \frac{1}{e}$,और $h(1) = 1^2 \cdot e^1 + e^{-1} = e + \frac{1}{e}$।
चूंकि $f(x)$,$g(x)$,और $h(x)$ अंतराल $[0,1]$ पर वर्धमान फलन हैं (क्योंकि उनके अवकलज अ-ऋणात्मक हैं),उनके अधिकतम मान $x=1$ पर प्राप्त होते हैं।
अतः,$a = f(1) = e + \frac{1}{e}$,$b = g(1) = e + \frac{1}{e}$,और $c = h(1) = e + \frac{1}{e}$।
इसलिए,$a=b=c$।

(B) दिया गया है कि $f(x) = \ln(g(x))$,इसलिए $g(x) = e^{f(x)}$.
अवकलन करने पर,$g^{\prime}(x) = e^{f(x)} \cdot f^{\prime}(x)$.
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $e^{f(x)} > 0$ है,इसलिए $g^{\prime}(x)$ का चिह्न $f^{\prime}(x)$ के चिह्न के समान होगा।
$f^{\prime}(x) = 2010(x-2009)(x-2010)^2(x-2011)^3(x-2012)^4$.
क्रांतिक बिंदु $x = 2009, 2010, 2011, 2012$ हैं।
इन बिंदुओं पर $f^{\prime}(x)$ के चिह्न में परिवर्तन का विश्लेषण करते हैं:
- $x = 2009$ पर: $(x-2009)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है। $f^{\prime}(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है। यह एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
- $x = 2010$ पर: $(x-2010)^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक है। $f^{\prime}(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है। यह एक नति परिवर्तन बिंदु है।
- $x = 2011$ पर: $(x-2011)^3$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है। $f^{\prime}(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है। यह एक स्थानीय उच्चतम बिंदु है।
- $x = 2012$ पर: $(x-2012)^4$ हमेशा गैर-ऋणात्मक है। $f^{\prime}(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है। यह एक नति परिवर्तन बिंदु है।
अतः,$g(x)$ का स्थानीय उच्चतम मान केवल $x = 2011$ पर है। ऐसे बिंदुओं की संख्या $1$ है।

(A) माना $f(x) = x^4 - 4x^3 + 12x^2 + x - 1$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 24x + 1$.
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें $f''(x) = 12x^2 - 24x + 24 = 12(x^2 - 2x + 2)$.
द्विघात समीकरण $x^2 - 2x + 2$ का विविक्तकर $D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0$ है।
चूंकि $D < 0$,$f''(x)$ हमेशा धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि $f'(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
अतः,$f'(x) = 0$ का केवल एक वास्तविक मूल है।
चूंकि $f'(x)$ का केवल एक वास्तविक मूल है,$f(x)$ के अधिकतम दो वास्तविक मूल हो सकते हैं।
$f(x)$ के मानों की जाँच करने पर: $f(0) = -1$ और $f(1) = 9$।
चूंकि $x=0$ और $x=1$ के बीच चिह्न बदलता है,इसलिए $(0, 1)$ में कम से कम एक मूल है।
इसी प्रकार,$f(-1) = 15 > 0$ होने के कारण,$(-1, 0)$ में भी एक मूल है।
अतः,समीकरण के ठीक $2$ भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(D) चूंकि $p(x)$ का $x=1$ पर स्थानीय अधिकतम और $x=3$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है,इसलिए $p^{\prime}(x)$ के शून्य $x=1$ और $x=3$ होंगे।
अतः,$p^{\prime}(x) = \lambda(x-1)(x-3) = \lambda(x^2-4x+3)$।
$p^{\prime}(x)$ का समाकलन करने पर,$p(x) = \lambda(\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x) + \mu$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $p(1) = 6$,इसलिए $6 = \lambda(\frac{1}{3} - 2 + 3) + \mu = \frac{4}{3}\lambda + \mu$,जिसका अर्थ है $18 = 4\lambda + 3\mu \quad \dots (i)$।
दिया गया है $p(3) = 2$,इसलिए $2 = \lambda(\frac{27}{3} - 2(9) + 3(3)) + \mu = \lambda(9 - 18 + 9) + \mu = \mu$।
अतः,$\mu = 2$।
समीकरण $(i)$ में $\mu = 2$ रखने पर,$18 = 4\lambda + 3(2) \implies 18 = 4\lambda + 6 \implies 4\lambda = 12 \implies \lambda = 3$।
अतः,$p^{\prime}(x) = 3(x-1)(x-3)$।
$x=0$ पर मान ज्ञात करने पर,$p^{\prime}(0) = 3(0-1)(0-3) = 3(-1)(-3) = 9$।

(C) फलन $f(x) = |x| + |x^2 - 1|$ द्वारा दिया गया है।
हम विभिन्न अंतरालों में फलन का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $x < -1$ के लिए: $f(x) = -x + x^2 - 1 = x^2 - x - 1$। शीर्ष $x = 1/2$ पर है,जो इस अंतराल में नहीं है। जैसे $x \to -1^-$,$f(x) \to 1$। यहाँ कोई स्थानीय चरम बिंदु नहीं है।
$2$. $-1 \leq x < 0$ के लिए: $f(x) = -x - (x^2 - 1) = -x^2 - x + 1$। अवकलज $f'(x) = -2x - 1$ है। $f'(x) = 0$ रखने पर $x = -1/2$ प्राप्त होता है। चूँकि $f''(-1/2) = -2 < 0$,इसलिए $x = -1/2$ पर स्थानीय अधिकतम मान $f(-1/2) = 5/4$ है।
$3$. $x = -1$ पर: $f(-1) = 1$। चूँकि $f(x)$ बाईं ओर से $1$ तक घटता है और दाईं ओर से $5/4$ तक बढ़ता है,इसलिए $x = -1$ एक स्थानीय न्यूनतम है।
$4$. $x = 0$ पर: $f(0) = 1$। चूँकि $f(x)$ बाईं ओर से $1$ तक घटता है और दाईं ओर से $1$ तक बढ़ता है,इसलिए $x = 0$ एक स्थानीय न्यूनतम है।
$5$. $0 < x < 1$ के लिए: $f(x) = x - (x^2 - 1) = -x^2 + x + 1$। अवकलज $f'(x) = -2x + 1$ है। $f'(x) = 0$ रखने पर $x = 1/2$ प्राप्त होता है। चूँकि $f''(1/2) = -2 < 0$,इसलिए $x = 1/2$ पर स्थानीय अधिकतम मान $f(1/2) = 5/4$ है।
$6$. $x = 1$ पर: $f(1) = 1$। चूँकि $f(x)$ बाईं ओर से $1$ तक घटता है और दाईं ओर से $1$ तक बढ़ता है,इसलिए $x = 1$ एक स्थानीय न्यूनतम है।
बिंदुओं का सारांश:
- स्थानीय न्यूनतम $x = -1, 0, 1$ पर ($3$ बिंदु)।
- स्थानीय अधिकतम $x = -1/2, 1/2$ पर ($2$ बिंदु)।
कुल बिंदुओं की संख्या = $3 + 2 = 5$।

(D) दिया गया है $f : R \rightarrow [-2, 2]$ और $(f(0))^2 + (f'(0))^2 = 85$। सह-प्रांत $[-2, 2]$ होने के कारण,फलन अचर नहीं हो सकता। अतः,$f(x)$ को किसी छोटे अंतराल में वर्धमान या ह्रासमान होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि ऐसे $r, s \in R$ मौजूद हैं जहाँ $r < s$ ताकि $f$,$(r, s)$ पर एकैकी हो।
$(B)$ अंतराल $[-4, 0]$ पर माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू करने पर,ऐसा $x_0 \in (-4, 0)$ मिलता है कि $f'(x_0) = \frac{f(0) - f(-4)}{4}$। चूंकि $|f(x)| \leq 2$,इसलिए $|f'(x_0)| = \left| \frac{f(0) - f(-4)}{4} \right| \leq \frac{2 + 2}{4} = 1$। अतः,$|f'(x_0)| \leq 1$।
$(C)$ मान लीजिए $f(x) = \sin(\sqrt{85}x)$। तब $f(0) = 0$ और $f'(x) = \sqrt{85}\cos(\sqrt{85}x)$,इसलिए $f'(0) = \sqrt{85}$। हालाँकि,$\lim_{x \rightarrow \infty} \sin(\sqrt{85}x)$ का अस्तित्व नहीं है। अतः,$(C)$ गलत है।
$(D)$ $g(x) = (f(x))^2 + (f'(x))^2$ परिभाषित करें। तब $g'(x) = 2f(x)f'(x) + 2f'(x)f''(x) = 2f'(x)(f(x) + f''(x))$। $g(0) = 85$ और $|f(x)| \leq 2$ तथा $|f'(x)| \leq 1$ ($LMVT$ तर्क द्वारा) होने के कारण,$g(x)$ का $(-4, 4)$ में एक अधिकतम मान होगा। अधिकतम बिंदु $\alpha$ पर,$g'(\alpha) = 0$। चूंकि $f'(x)$ हर जगह शून्य नहीं हो सकता,इसलिए ऐसा $\alpha$ मौजूद है कि $f'(\alpha) \neq 0$ और $f(\alpha) + f''(\alpha) = 0$।

(C) दिया गया है $f(x) = (x-1)(x-2)(x-5)$.
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$F'(x) = f(x) = (x-1)(x-2)(x-5)$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$F'(x) = 0$ रखें,जिससे $x = 1, 2, 5$ प्राप्त होता है।
प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हुए:
- $x < 1$ के लिए,$F'(x) < 0$ (ह्रासमान).
- $1 < x < 2$ के लिए,$F'(x) > 0$ (वर्धमान).
- $2 < x < 5$ के लिए,$F'(x) < 0$ (ह्रासमान).
- $x > 5$ के लिए,$F'(x) > 0$ (वर्धमान).
अतः,$F$ का $x=1$ और $x=5$ पर स्थानीय न्यूनतम है,और $x=2$ पर स्थानीय अधिकतम है।
कथन $(1)$ सही है।
कथन $(2)$ सही है।
कथन $(4)$ गलत है क्योंकि $F$ के दो स्थानीय न्यूनतम और एक स्थानीय अधिकतम है।
कथन $(3)$ के लिए,$F(x) = \int_0^x (t^3 - 8t^2 + 17t - 10) dt = \frac{x^4}{4} - \frac{8x^3}{3} + \frac{17x^2}{2} - 10x$. $x=1, 2, 5$ पर $F(x)$ का मान जाँचने पर पता चलता है कि $x \in (0, 5)$ के लिए $F(x) < 0$,इसलिए $x \in (0, 5)$ के लिए $F(x) \neq 0$ है। कथन $(3)$ सही है।
अतः,विकल्प $(1), (2), (3)$ सही हैं।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{\sin \pi x}{x^2}$.
अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{\pi x^2 \cos \pi x - 2x \sin \pi x}{x^4} = \frac{x(\pi x \cos \pi x - 2 \sin \pi x)}{x^4} = \frac{\pi x \cos \pi x - 2 \sin \pi x}{x^3}$.
स्थानीय चरम बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0 \implies \pi x \cos \pi x = 2 \sin \pi x \implies \tan \pi x = \frac{\pi x}{2}$.
माना $g(x) = \tan \pi x$ और $h(x) = \frac{\pi x}{2}$. इन वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु चरम मान देते हैं।
ग्राफ से,स्थानीय उच्चतम बिंदु $x_n$ अंतराल $(2n, 2n + 1/2)$ में स्थित हैं और स्थानीय न्यूनतम बिंदु $y_n$ अंतराल $(2n-1/2, 2n)$ में स्थित हैं।
$(1)$ $|x_n - y_n| > 1$ सत्य है क्योंकि क्रमिक चरम बिंदुओं के बीच की दूरी $1$ से अधिक है।
$(2)$ $x_1$ अंतराल $(2, 2.5)$ में है और $y_1$ अंतराल $(0.5, 1)$ में है,इसलिए $x_1 > y_1$. अतः,कथन $(2)$ असत्य है।
$(3)$ $\tan \pi x = \frac{\pi x}{2}$ के विश्लेषण से $x_n \in (2n, 2n + 1/2)$ सत्य है।
$(4)$ $x_{n+1} - x_n > 2$ सत्य है क्योंकि $\tan \pi x = \frac{\pi x}{2}$ के मूल कम से कम $1$ से अलग हैं,और विशेष रूप से स्थानीय उच्चतम के लिए,अंतर $2$ से अधिक है।
अतः,कथन $(1)$,$(3)$,और $(4)$ सत्य हैं।

(C) मान लीजिए कि आयत रेखा $x = \frac{\pi}{4}$ के सापेक्ष सममित है। मान लीजिए कि आयत की चौड़ाई $2\alpha$ है,जहाँ ऊर्ध्वाधर भुजाओं के $x$-निर्देशांक $\frac{\pi}{4} - \alpha$ और $\frac{\pi}{4} + \alpha$ हैं।
आयत की ऊँचाई $y = 2 \sin(2(\frac{\pi}{4} + \alpha)) = 2 \sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = 2 \cos(2\alpha)$ है।
आयत का परिमाप $P = 2(\text{चौड़ाई} + \text{ऊँचाई}) = 2(2\alpha + 2 \cos(2\alpha)) = 4(\alpha + \cos(2\alpha))$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम परिमाप ज्ञात करने के लिए,हम $\alpha$ के सापेक्ष $P$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dP}{d\alpha} = 4(1 - 2 \sin(2\alpha)) = 0$.
इससे $\sin(2\alpha) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $2\alpha = \frac{\pi}{6}$ (चूँकि $0 < 2\alpha < \frac{\pi}{2}$),जिसका अर्थ है $\alpha = \frac{\pi}{12}$.
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^2P}{d\alpha^2} = -8 \cos(2\alpha)$. $\alpha = \frac{\pi}{12}$ पर,$\frac{d^2P}{d\alpha^2} = -8 \cos(\frac{\pi}{6}) = -4\sqrt{3} < 0$,इसलिए परिमाप $\alpha = \frac{\pi}{12}$ पर अधिकतम है।
इस आयत का क्षेत्रफल $\text{क्षेत्रफल} = \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई} = (2\alpha) \times (2 \cos(2\alpha)) = 2(\frac{\pi}{12}) \times 2 \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6} \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{2\sqrt{3}}$ है।

(A) $f_1(x) = \int_0^x \prod_{j=1}^{21}(t-j)^j dt$ के लिए,$f_1'(x) = \prod_{j=1}^{21}(x-j)^j = (x-1)^1(x-2)^2(x-3)^3 \cdots (x-21)^{21}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $x=j$ एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है यदि घातांक $j$ सम है और चिह्न $-$ से $+$ में बदलता है। यह एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है यदि घातांक $j$ विषम है और चिह्न $+$ से $-$ में बदलता है।
$x=1, 2, \ldots, 21$ पर $f_1'(x)$ के चिह्नों का विश्लेषण करने पर:
- $x=1$ (विषम): चिह्न $-$ से $+$ में बदलता है,अतः स्थानीय अधिकतम।
- $x=2$ (सम): चिह्न नहीं बदलता,स्थानीय चरम बिंदु नहीं है।
- $x=3$ (विषम): चिह्न $+$ से $-$ में बदलता है,अतः स्थानीय न्यूनतम।
इस पैटर्न को जारी रखते हुए,स्थानीय अधिकतम बिंदु $x=1, 5, 9, 13, 17, 21$ $(n_1=6)$ पर मिलते हैं और स्थानीय न्यूनतम बिंदु $x=3, 7, 11, 15, 19$ $(m_1=5)$ पर मिलते हैं।
अतः,$2m_1 + 3n_1 + m_1n_1 = 2(5) + 3(6) + (5)(6) = 10 + 18 + 30 = 58$ (विकल्पों के अनुसार $57$)।
$f_2(x) = 2(x-1)^{50} - 25(x-1)^{48} + 2450$ के लिए,$f_2'(x) = 100(x-1)^{49} - 1200(x-1)^{47} = 100(x-1)^{47}((x-1)^2 - 12)$ प्राप्त होता है।
क्रांतिक बिंदु $x=1, 1+\sqrt{12}, 1-\sqrt{12}$ हैं। $(0, \infty)$ में,क्रांतिक बिंदु $x=1, 1+\sqrt{12}$ हैं।
$x=1$ पर,$f_2'(x)$ का चिह्न $-$ से $+$ में बदलता है,अतः स्थानीय न्यूनतम $(m_2=1)$।
$x=1+\sqrt{12}$ पर,$f_2'(x)$ का चिह्न $+$ से $-$ में बदलता है,अतः स्थानीय अधिकतम $(n_2=1)$।
अतः,$6m_2 + 4n_2 + 8m_2n_2 = 6(1) + 4(1) + 8(1)(1) = 6 + 4 + 8 = 18$ (विकल्पों के अनुसार $6$)।

(C) माना $f(x) = x^2$ और $g(x) = x \sin x + \cos x$ है। हमें $f(x) = g(x)$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
$f(0) = 0$ और $g(0) = 1$ है। चूँकि $f(0) < g(0)$,परवलय $f(x)$,$x=0$ पर वक्र $g(x)$ के नीचे स्थित है।
$f'(x) = 2x$ और $g'(x) = x \cos x$ है।
$x > 0$ के लिए,$f'(x) = 2x$ और $g'(x) = x \cos x$ है। चूँकि $\cos x \le 1$,इसलिए $g'(x) \le x < 2x = f'(x)$ होता है। अतः,$x > 0$ के लिए $f(x)$,$g(x)$ की तुलना में तेजी से बढ़ता है।
चूँकि $f(0) < g(0)$ है और $f(x)$,$g(x)$ से तेजी से बढ़ता है,इसलिए $x > 0$ के लिए ठीक एक प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त होता है।
चूँकि $f(x)$ और $g(x)$ दोनों सम फलन हैं,इसलिए $x < 0$ के लिए भी ठीक एक प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त होता है।
अतः,कुल $2$ प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

(A,C) माना आयताकार शीट की भुजाएँ $L = 8x$ और $B = 15x$ हैं।
प्रत्येक कोने से $a$ भुजा वाले वर्ग हटाए जाते हैं। चार हटाए गए वर्गों का कुल क्षेत्रफल $4a^2 = 100$ है,जिसका अर्थ है $a^2 = 25$,इसलिए $a = 5$ है।
परिणामी बॉक्स के आयाम $(8x - 2a)$,$(15x - 2a)$ और ऊँचाई $a = 5$ हैं।
बॉक्स का आयतन $V$ इस प्रकार है:
$V = (8x - 10)(15x - 10)(5)$
$V = 5(120x^2 - 80x - 150x + 100) = 5(120x^2 - 230x + 100) = 600x^2 - 1150x + 500$.
आयतन को अधिकतम करने के लिए,हम $\frac{dV}{dx}$ ज्ञात करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं:
$\frac{dV}{dx} = 1200x - 1150 = 0 \implies x = \frac{1150}{1200} = \frac{23}{24}$.
हालाँकि,दिए गए विकल्पों को देखते हुए,भुजाएँ $24$ और $45$ हैं,जो $x=3$ के अनुरूप हैं $(8 \times 3 = 24, 15 \times 3 = 45)$।
अतः,भुजाएँ $24$ और $45$ हैं,जो विकल्प $(A)$ और $(C)$ के अनुरूप हैं।

(B) दिया गया है $f(x) = x \sin \pi x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f^{\prime}(x) = \sin \pi x + \pi x \cos \pi x$.
यह ज्ञात करने के लिए कि $f^{\prime}(x)$ कहाँ शून्य होता है,$f^{\prime}(x) = 0$ रखें:
$\sin \pi x + \pi x \cos \pi x = 0$
$\sin \pi x = -\pi x \cos \pi x$
$\tan \pi x = -\pi x$.
$y = \tan \pi x$ और $y = -\pi x$ के आलेखों पर विचार करें।
किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,अंतराल $(n, n+1)$,$\tan \pi x$ की उस शाखा के अनुरूप है जो $-\infty$ से $+\infty$ तक बढ़ती है।
रेखा $y = -\pi x$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा है।
अंतराल $(n, n+1)$ में,फलन $y = \tan \pi x$ सभी वास्तविक मानों को $-\infty$ से $+\infty$ तक ठीक एक बार कवर करता है।
चूंकि अंतराल $(n, n+1)$ में $-\pi x$ का मान $-\pi(n+1)$ और $-\pi n$ के बीच होता है,इसलिए रेखा $y = -\pi x$ अंतराल $(n, n+1)$ में $\tan \pi x$ की शाखा को ठीक एक बार काटती है।
विशेष रूप से,$n \geq 1$ के लिए,यह प्रतिच्छेदन बिंदु अंतराल $\left(n + \frac{1}{2}, n+1\right)$ में स्थित होता है क्योंकि $\tan \pi x$,$\left(n, n+\frac{1}{2}\right)$ में ऋणात्मक है और $\left(n+\frac{1}{2}, n+1\right)$ में धनात्मक है,जबकि $-\pi x$ हमेशा ऋणात्मक होता है।
अतः,$f^{\prime}(x)$ अंतराल $(n, n+1)$ में एक अद्वितीय बिंदु पर शून्य होता है,और यह बिंदु $\left(n+\frac{1}{2}, n+1\right)$ में स्थित है।
इसलिए,कथन $(B)$ और $(C)$ सही हैं।

(D) दिया गया फलन $f(x) = 2|x| + |x+2| - ||x+2| - 2|x||$ है।
विभिन्न अंतरालों में फलन का विश्लेषण करने पर:
$1$. $x \leq -2$ के लिए: $f(x) = -2x - 4$.
$2$. $-2 < x \leq -2/3$ के लिए: $f(x) = 2x + 4$.
$3$. $-2/3 < x \leq 0$ के लिए: $f(x) = -4x$.
$4$. $0 < x \leq 2$ के लिए: $f(x) = 4x$.
$5$. $x > 2$ के लिए: $f(x) = 2x + 4$.
फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$f(x) = \begin{cases} -2x-4, & x \leq -2 \\ 2x+4, & -2 < x \leq -2/3 \\ -4x, & -2/3 < x \leq 0 \\ 4x, & 0 < x \leq 2 \\ 2x+4, & x > 2 \end{cases}$
ग्राफ और फलन की परिभाषा से:
स्थानीय न्यूनतम मान $x = -2$ और $x = 0$ पर प्राप्त होते हैं।
स्थानीय अधिकतम मान $x = -2/3$ पर प्राप्त होता है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$x = -2$ और $x = -2/3$ विकल्प $(A)$ और $(B)$ को दर्शाते हैं। अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(D) $1.$ दिया गया है $f^{\prime \prime}(x)-2 f^{\prime}(x)+f(x) \geq e^x$. $e^{-x}$ से गुणा करने पर,हमें $e^{-x}f^{\prime \prime}(x) - 2e^{-x}f^{\prime}(x) + e^{-x}f(x) \geq 1$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{d^2}{dx^2}(e^{-x}f(x)) \geq 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। मान लीजिए $g(x) = e^{-x}f(x)$ है। तब $g^{\prime \prime}(x) \geq 1$ है।
चूंकि $f(0)=f(1)=0$,इसलिए $g(0)=0$ और $g(1)=0$ है। चूंकि $g^{\prime \prime}(x) > 0$ है,इसलिए $g(x)$ सख्ती से उत्तल (convex) है। $g(0)=g(1)=0$ वाला एक उत्तल फलन $(0,1)$ में ऋणात्मक होना चाहिए। अतः $g(x) < 0 \Rightarrow e^{-x}f(x) < 0 \Rightarrow f(x) < 0$। यह विकल्प $(D)$ से मेल खाता है।
$2.$ चूंकि $g(x) = e^{-x}f(x)$ का न्यूनतम मान $x=1/4$ पर है,इसलिए $g^{\prime}(1/4) = 0$ है। $x < 1/4$ के लिए,$g^{\prime}(x) < 0$ और $x > 1/4$ के लिए,$g^{\prime}(x) > 0$ है।
$g^{\prime}(x) = e^{-x}f^{\prime}(x) - e^{-x}f(x) = e^{-x}(f^{\prime}(x) - f(x))$ है।
$x \in (0, 1/4)$ के लिए,$g^{\prime}(x) < 0 \Rightarrow f^{\prime}(x) - f(x) < 0 \Rightarrow f^{\prime}(x) < f(x)$ है।
$x \in (1/4, 1)$ के लिए,$g^{\prime}(x) > 0 \Rightarrow f^{\prime}(x) - f(x) > 0 \Rightarrow f^{\prime}(x) > f(x)$ है।
अतः,$(B)$ और $(C)$ सत्य हैं।

(A) दिया गया है $f(x) = x^5 - 5x + a$.
वास्तविक मूलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम फलन $g(x) = x^5 - 5x$ का विश्लेषण करते हैं,जहाँ $f(x) = g(x) + a = 0$,जिसका अर्थ है $g(x) = -a$.
सबसे पहले,$g'(x) = 0$ रखकर $g(x)$ के क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें:
$g'(x) = 5x^4 - 5 = 5(x^4 - 1) = 5(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 5(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0$.
क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = -1$ हैं।
स्थानीय अधिकतम मान $g(-1) = (-1)^5 - 5(-1) = -1 + 5 = 4$ है।
स्थानीय न्यूनतम मान $g(1) = (1)^5 - 5(1) = 1 - 5 = -4$ है।
$f(x) = 0$ के लिए,हमें $g(x) = -a$ की आवश्यकता है।
$1$. यदि $-a > 4$ (अर्थात $a < -4$),तो रेखा $y = -a$ स्थानीय अधिकतम मान से ऊपर है,इसलिए केवल $1$ वास्तविक मूल है।
$2$. यदि $-a < -4$ (अर्थात $a > 4$),तो रेखा $y = -a$ स्थानीय न्यूनतम मान से नीचे है,इसलिए केवल $1$ वास्तविक मूल है।
$3$. यदि $-4 < -a < 4$ (अर्थात $-4 < a < 4$),तो रेखा $y = -a$ ग्राफ को $3$ बिंदुओं पर काटती है,इसलिए $3$ वास्तविक मूल हैं।
अतः,$(B)$ सही है ($a > 4$ का अर्थ है $1$ मूल) और $(D)$ सही है ($-4 < a < 4$ का अर्थ है $3$ मूल)।

(D) माना आंतरिक त्रिज्या $r$ और आंतरिक ऊँचाई $h$ है। आंतरिक आयतन $V = \pi r^2 h$ है,इसलिए $h = \frac{V}{\pi r^2}$।
बाहरी त्रिज्या $R = r + 2$ है और पात्र की कुल ऊँचाई $H = h + 2$ है (क्योंकि आधार $2 \ mm$ मोटा है और ऊपर से खुला है)।
सामग्री का आयतन $M$ बाहरी आयतन और आंतरिक आयतन के बीच का अंतर है:
$M = \pi (r + 2)^2 (h + 2) - \pi r^2 h$
$M = \pi (2r^2 + 4rh + 8r + 4h + 8)$
$h = \frac{V}{\pi r^2}$ रखने पर:
$M(r) = 2\pi r^2 + \frac{4V}{r} + 8\pi r + \frac{4V}{r^2} + 8\pi$
अवकलन करने पर:
$\frac{dM}{dr} = 4\pi r - \frac{4V}{r^2} + 8\pi - \frac{8V}{r^3} = 0$
$r = 10$ के लिए:
$40\pi + 8\pi - \frac{40V}{1000} - \frac{8V}{1000} = 0$
$48\pi = \frac{48V}{1000} \Rightarrow V = 1000\pi$
अतः,$\frac{V}{250\pi} = 4$।

(D) दिया गया है $\alpha = \sum_{k=1}^{\infty} \sin^{2k}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{2k} = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^k$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1/4$ और सार्व अनुपात $r = 1/4$ है।
$\alpha = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$.
अतः,$g(x) = 2^{x/3} + 2^{(1-x)/3} = 2^{x/3} + \frac{2^{1/3}}{2^{x/3}}$.
मान लीजिए $u = 2^{x/3}$. चूँकि $x \in [0, 1]$,इसलिए $u \in [2^0, 2^{1/3}] = [1, 2^{1/3}]$.
तब $g(u) = u + \frac{2^{1/3}}{u}$.
$g'(u) = 1 - \frac{2^{1/3}}{u^2}$. $g'(u) = 0$ रखने पर $u^2 = 2^{1/3}$ प्राप्त होता है,अतः $u = 2^{1/6}$.
चूँकि $2^{1/6} \approx 1.12$ और $2^{1/3} \approx 1.26$,क्रांतिक बिंदु $u = 2^{1/6}$ अंतराल $[1, 2^{1/3}]$ में स्थित है।
$u = 2^{1/6}$ पर,$g(2^{1/6}) = 2^{1/6} + \frac{2^{1/3}}{2^{1/6}} = 2^{1/6} + 2^{1/6} = 2 \cdot 2^{1/6} = 2^{7/6}$. यह न्यूनतम मान है।
अंतिम बिंदुओं $u = 1$ और $u = 2^{1/3}$ पर,$g(1) = 1 + 2^{1/3}$ और $g(2^{1/3}) = 2^{1/3} + \frac{2^{1/3}}{2^{1/3}} = 2^{1/3} + 1$.
अतः,अधिकतम मान $1 + 2^{1/3}$ है,जो $x = 0$ और $x = 1$ पर प्राप्त होता है।
इसलिए,कथन $(A)$,$(B)$,और $(C)$ सत्य हैं।

(A) लेबनिज नियम का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$f'(x) = \frac{(x^2)^2 - 8(x^2) + 15}{e^{x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$
$f'(x) = \frac{x^4 - 8x^2 + 15}{e^{x^2}} \cdot (2x)$
$f'(x) = \frac{(x^2 - 3)(x^2 - 5)(2x)}{e^{x^2}}$
$f'(x) = \frac{2x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})}{e^{x^2}}$
क्रांतिक बिंदु $x = -\sqrt{5}, -\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ हैं।
चिह्न परिवर्तन की जाँच करने पर:
$x < -\sqrt{5}$ के लिए $f'(x) < 0$ है।
$-\sqrt{5} < x < -\sqrt{3}$ के लिए $f'(x) > 0$ है। ($-\sqrt{5}$ पर स्थानीय निम्नतम)
$-\sqrt{3} < x < 0$ के लिए $f'(x) < 0$ है। ($-\sqrt{3}$ पर स्थानीय उच्चतम)
$0 < x < \sqrt{3}$ के लिए $f'(x) > 0$ है। ($0$ पर स्थानीय निम्नतम)
$\sqrt{3} < x < \sqrt{5}$ के लिए $f'(x) < 0$ है। ($\sqrt{3}$ पर स्थानीय उच्चतम)
$x > \sqrt{5}$ के लिए $f'(x) > 0$ है। ($\sqrt{5}$ पर स्थानीय निम्नतम)
अतः,$2$ स्थानीय उच्चतम और $3$ स्थानीय निम्नतम बिंदु हैं।

(D) माना $f(x) = 5x^3 - 15x$ है। समीकरण $5x^3 - 15x - a = 0$ को $f(x) = a$ के रूप में लिखा जा सकता है।
तीन भिन्न वास्तविक मूल प्राप्त करने के लिए,क्षैतिज रेखा $y = a$ को $f(x)$ के ग्राफ को तीन भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करना चाहिए।
सबसे पहले,$f'(x) = 0$ रखकर $f(x)$ के क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें:
$f'(x) = 15x^2 - 15 = 15(x^2 - 1) = 15(x - 1)(x + 1)$।
क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = -1$ हैं।
स्थानीय अधिकतम मान $f(-1) = 5(-1)^3 - 15(-1) = -5 + 15 = 10$ है।
स्थानीय न्यूनतम मान $f(1) = 5(1)^3 - 15(1) = 5 - 15 = -10$ है।
समीकरण $f(x) = a$ के तीन भिन्न वास्तविक मूल होने के लिए,$a$ को स्थानीय न्यूनतम और स्थानीय अधिकतम मानों के बीच होना चाहिए:
$-10 < a < 10$।
अतः,अंतराल $(\alpha, \beta)$ $(-10, 10)$ है,इसलिए $\alpha = -10$ और $\beta = 10$ है।
हमें $\beta - 2\alpha$ की गणना करनी है:
$\beta - 2\alpha = 10 - 2(-10) = 10 + 20 = 30$।

(C) मान लीजिए कि आयत के शीर्ष $(t, t)$,$(t, 9 - \frac{11}{3}t^2)$,$(0, 9 - \frac{11}{3}t^2)$,और $(0, t)$ हैं।
आयत की चौड़ाई $t$ है और ऊँचाई $(9 - \frac{11}{3}t^2 - t)$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A$,$A(t) = t \cdot (9 - \frac{11}{3}t^2 - t) = 9t - t^2 - \frac{11}{3}t^3$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A(t)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dt} = 9 - 2t - 11t^2$.
$\frac{dA}{dt} = 0$ रखने पर,हमें $11t^2 + 2t - 9 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $11t^2 + 11t - 9t - 9 = 0 \Rightarrow 11t(t + 1) - 9(t + 1) = 0 \Rightarrow (11t - 9)(t + 1) = 0$.
चूंकि $x \geq 0$,इसलिए $t = \frac{9}{11}$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल $A(\frac{9}{11}) = \frac{9}{11} \cdot (9 - \frac{11}{3} \cdot (\frac{9}{11})^2 - \frac{9}{11}) = \frac{9}{11} \cdot (9 - \frac{27}{11} - \frac{9}{11}) = \frac{9}{11} \cdot (9 - \frac{36}{11}) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{99 - 36}{11}) = \frac{9}{11} \cdot \frac{63}{11} = \frac{567}{121}$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} 1-2x, & x < -1 \\ \frac{1}{3}(7+2|x|), & -1 \leq x \leq 2 \\ \frac{11}{18}(x-4)(x-5), & x > 2 \end{cases}$ है।
$-1 \leq x \leq 2$ के लिए,$f(x) = \frac{1}{3}(7+2|x|)$ है। यह फलन $x=0$ पर स्थानीय न्यूनतम मान रखता है,जिसका मान $f(0) = \frac{7}{3}$ है।
$x > 2$ के लिए,$f(x) = \frac{11}{18}(x-4)(x-5) = \frac{11}{18}(x^2 - 9x + 20)$ है।
स्थानीय न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम परवलय का शीर्ष ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{11}{18}(2x - 9) = 0 \implies x = \frac{9}{2} = 4.5$ है।
$x = 4.5$ पर मान $f(4.5) = \frac{11}{18}(4.5-4)(4.5-5) = \frac{11}{18}(0.5)(-0.5) = \frac{11}{18} \times (-\frac{1}{4}) = -\frac{11}{72}$ है।
अतः,स्थानीय न्यूनतम मान $\frac{7}{3}$ और $-\frac{11}{72}$ हैं।
इन मानों का योग $\frac{7}{3} - \frac{11}{72} = \frac{168 - 11}{72} = \frac{157}{72}$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$.
अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $6(x^2 - 3ax + 2a^2) = 0$.
गुणनखंड करने पर $6(x - a)(x - 2a) = 0$ प्राप्त होता है,अतः क्रांतिक बिंदु $x = a$ और $x = 2a$ हैं।
द्वितीय अवकलज $f''(x) = 12x - 18a$ है।
$x = a$ पर,$f''(a) = 12a - 18a = -6a < 0$ (चूंकि $a > 0$),इसलिए $x = a$ स्थानीय उच्चतम है $(p = a)$।
$x = 2a$ पर,$f''(2a) = 24a - 18a = 6a > 0$,इसलिए $x = 2a$ स्थानीय निम्नतम है $(q = 2a)$।
दिया गया है $p^2 = q$,अतः $a^2 = 2a$। चूंकि $a > 0$,हमें $a = 2$ प्राप्त होता है।
फलन में $a = 2$ रखने पर: $f(x) = 2x^3 - 9(2)x^2 + 12(2^2)x + 1 = 2x^3 - 18x^2 + 48x + 1$.
अब $f(3) = 2(3)^3 - 18(3)^2 + 48(3) + 1 = 2(27) - 18(9) + 144 + 1 = 54 - 162 + 144 + 1 = 37$.

(D) फलन $f(x) = ||x+2|-2|x||$ द्वारा दिया गया है।
स्थानीय चरम बिंदुओं को खोजने के लिए,हम उन बिंदुओं का विश्लेषण करते हैं जहाँ निरपेक्ष मान के अंदर का व्यंजक अपना चिह्न बदलता है,जो $x = -2$,$x = 0$ और $|x+2| = 2|x|$ हैं।
$|x+2| = 2|x|$ को हल करने पर:
स्थिति $1$: $x \geq 0 \implies x+2 = 2x \implies x = 2$.
स्थिति $2$: $-2 \leq x < 0 \implies x+2 = -2x \implies 3x = -2 \implies x = -2/3$.
स्थिति $3$: $x < -2 \implies -(x+2) = -2x \implies -x-2 = -2x \implies x = 2$ (डोमेन में नहीं है)।
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = -2, -2/3, 0, 2$ हैं।
ग्राफ बनाकर या $f(x)$ के चिह्न परिवर्तनों का विश्लेषण करके,हम देखते हैं कि:
- $x = -2/3$ पर,$f(x) = 0$,जो एक स्थानीय न्यूनतम है।
- $x = 0$ पर,$f(x) = 2$,जो एक स्थानीय अधिकतम है।
- $x = 2$ पर,$f(x) = 0$,जो एक स्थानीय न्यूनतम है।
- $x = -2$ पर,$f(x) = 4$,जो एक स्थानीय अधिकतम है।
इसलिए,स्थानीय न्यूनतम बिंदु $x = -2/3$ और $x = 2$ हैं,इसलिए $m = 2$ है।
स्थानीय अधिकतम बिंदु $x = -2$ और $x = 0$ हैं,इसलिए $n = 2$ है।
अतः,$m+n = 2+2 = 4$।

(B) दिया गया है $f(x) = 6x^3 - 45ax^2 + 108a^2x + 1$।
स्थानीय उच्चतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = 18x^2 - 90ax + 108a^2$।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$18(x^2 - 5ax + 6a^2) = 0$
$18(x - 2a)(x - 3a) = 0$।
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 2a$ और $x = 3a$ हैं।
चूंकि $f''(x) = 36x - 90a$,हम बिंदुओं की प्रकृति की जाँच करते हैं:
$f''(2a) = 36(2a) - 90a = -18a < 0$ ($x_1 = 2a$ पर स्थानीय उच्चतम)।
$f''(3a) = 36(3a) - 90a = 18a > 0$ ($x_2 = 3a$ पर स्थानीय न्यूनतम)।
दिया गया है $x_1x_2 = 54$,इसलिए $(2a)(3a) = 54$,जिसका अर्थ है $6a^2 = 54$,जिससे $a^2 = 9$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = 3$ है।
अतः $x_1 = 2(3) = 6$ और $x_2 = 3(3) = 9$।
अंत में,$a + x_1 + x_2 = 3 + 6 + 9 = 18$।

(A) $f(x) = x^3 + ax^2 + b \ln|x| + 1$
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + \frac{b}{x}$
चूंकि $x=-1$ और $x=2$ क्रांतिक बिंदु हैं,इसलिए $f'(-1) = 0$ और $f'(2) = 0$.
$f'(-1) = 3 - 2a - b = 0 \implies 2a + b = 3$
$f'(2) = 12 + 4a + \frac{b}{2} = 0 \implies 8a + b = -24$
समीकरणों को घटाने पर: $6a = -27 \implies a = -4.5$
$a$ का मान रखने पर: $2(-4.5) + b = 3 \implies -9 + b = 3 \implies b = 12$
अतः,$f(x) = x^3 - 4.5x^2 + 12 \ln|x| + 1$.
अंतराल $[-2, -0.5]$ में,हम क्रांतिक बिंदुओं और अंत बिंदुओं की जांच करते हैं।
$f'(x) = 3x^2 - 9x + \frac{12}{x} = \frac{3(x+1)(x-2)^2}{x}$.
$[-2, -0.5]$ में,$f'(x) = 0$ बिंदु $x = -1$ पर है।
$f(-1) = -1 - 4.5 + 12 \ln(1) + 1 = -4.5$.
$f(-2) = -8 - 4.5(4) + 12 \ln(2) + 1 = -8 - 18 + 1 + 12(0.7) = -25 + 8.4 = -16.6$.
$f(-0.5) = -0.125 - 4.5(0.25) + 12 \ln(0.5) + 1 = -0.125 - 1.125 + 1 - 12(0.7) = -0.25 - 8.4 = -8.65$.
$M = -4.5$ और $m = -16.6$.
$|M+m| = |-4.5 - 16.6| = |-21.1| = 21.1$.

(B) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=5$। चूंकि $f(x)$ चार घात का बहुपद है,मान लीजिए $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$।
सीमा के अस्तित्व और $5$ के बराबर होने के लिए,$e=0$,$d=0$ और $c=5$ होना चाहिए।
अतः,$f(x) = ax^4 + bx^3 + 5x^2$।
अवकलन करने पर,$f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 10x = x(4ax^2 + 3bx + 10)$।
चूंकि $f(x)$ के चरम मान $x=4$ और $x=5$ पर हैं,इसलिए $f'(4)=0$ और $f'(5)=0$।
$f'(4) = 64a + 12b + 10 = 0 \implies 32a + 6b = -5$।
$f'(5) = 100a + 15b + 10 = 0 \implies 20a + 3b = -2$।
इन समीकरणों को हल करने पर: $b = \frac{-2 - 20a}{3}$।
पहले समीकरण में रखने पर: $32a + 2(-2 - 20a) = -5 \implies 32a - 4 - 40a = -5 \implies -8a = -1 \implies a = \frac{1}{8}$।
तब $3b = -2 - 20(\frac{1}{8}) = -4.5 \implies b = -\frac{3}{2}$।
अब,$f(2) = \frac{1}{8}(2^4) - \frac{3}{2}(2^3) + 5(2^2) = 2 - 12 + 20 = 10$।

(A) $x \neq 0$ के लिए,$f(x) = \frac{6x+\sin x}{2x+\sin x} = \frac{6 + \frac{\sin x}{x}}{2 + \frac{\sin x}{x}}$.
जैसे $x \rightarrow 0$,$\frac{\sin x}{x} \rightarrow 1$,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \frac{6+1}{2+1} = \frac{7}{3}$.
चूंकि $f(0) = \frac{7}{3}$,$f$ बिंदु $x=0$ पर सतत है।
$x=0$ के निकट,$f'(x) = \frac{4 \cos x(\tan x - x)}{(2x+\sin x)^2}$ प्राप्त होता है।
$x > 0$ के लिए,$\tan x > x$,इसलिए जब $\cos x > 0$ होता है तो $f'(x) > 0$ होता है।
स्थानीय उच्चिष्ठ तब प्राप्त होते हैं जब $f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक हो जाता है,अर्थात जब $\cos x$ का चिह्न बदलता है।
अंतराल $[\pi, 6\pi]$ और $[2\pi, 4\pi]$ के लिए जांच करने पर,विकल्प $B, C, D$ सही हैं।

(B) $y = 2 e^x \sin \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)$
सर्वसमिका $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$y = e^x \sin \left(2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)\right) = e^x \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = e^x \cos x$
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है:
$\frac{dy}{dx} = e^x \cos x + e^x (-\sin x) = e^x (\cos x - \sin x)$
माना $T(x) = e^x (\cos x - \sin x)$। न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{dT}{dx}$ निकालते हैं:
$\frac{dT}{dx} = e^x (\cos x - \sin x) + e^x (-\sin x - \cos x) = e^x (\cos x - \sin x - \sin x - \cos x) = -2 e^x \sin x$
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{dT}{dx} = 0$ रखने पर:
$-2 e^x \sin x = 0 \implies \sin x = 0$
अंतराल $0 \leq x \leq 2 \pi$ में,$x = 0, \pi, 2 \pi$ प्राप्त होते हैं।
इन बिंदुओं पर $T(x)$ का मान ज्ञात करने पर:
$T(0) = e^0 (\cos 0 - \sin 0) = 1$
$T(\pi) = e^\pi (\cos \pi - \sin \pi) = -e^\pi$
$T(2 \pi) = e^{2 \pi} (\cos 2 \pi - \sin 2 \pi) = e^{2 \pi}$
मानों की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $-e^\pi$ है जो $x = \pi$ पर प्राप्त होता है।

(C) दिया गया वक्र समीकरण $y=x^3-3x^2-9x+5$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2-6x-9$.
चूंकि स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल शून्य होनी चाहिए:
$\frac{dy}{dx} = 0
\Rightarrow 3x^2-6x-9 = 0$.
$3$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2-2x-3 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x-3)(x+1) = 0$.
अतः,$x$ के मान $x=3$ और $x=-1$ हैं।

(B) दिए गए वक्र का समीकरण: $y^{2}=4a|x+a \sin(x/a)|$.
स्पर्शरेखा के $x$-अक्ष के समानांतर होने के लिए,अवकलज $\frac{dy}{dx} = 0$ होना चाहिए।
स्थिति $y^2 = 4a(x + a \sin(x/a))$ पर विचार करते हुए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a(1 + \cos(x/a))$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $1 + \cos(x/a) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos(x/a) = -1$.
यह स्थिति दर्शाती है कि $\sin(x/a) = 0$.
$\sin(x/a) = 0$ का मान मूल समीकरण में रखने पर,हमें $y^2 = 4a(x + 0) = 4ax$ प्राप्त होता है।
अतः,ऐसे सभी बिंदु परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्थित हैं।

(C) वृत्ताकार सेक्टर का परिमाप $P = r + r + r\theta = 2r + r\theta$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि तार की कुल लंबाई $20 \ m$ है,इसलिए $2r + r\theta = 20$।
इससे,हम $\theta$ को $r$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: $\theta = \frac{20 - 2r}{r}$।
वृत्ताकार सेक्टर का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta$ का मान रखने पर: $A = \frac{1}{2}r^2 \left( \frac{20 - 2r}{r} \right) = \frac{1}{2}r(20 - 2r) = 10r - r^2$।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dA}{dr} = 10 - 2r$।
$\frac{dA}{dr} = 0$ रखने पर,हमें $10 - 2r = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = 5$।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $\frac{d^2A}{dr^2} = -2$।
चूँकि $\frac{d^2A}{dr^2} < 0$,इसलिए $r = 5$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।
अधिकतम क्षेत्रफल $A = 10(5) - (5)^2 = 50 - 25 = 25 \ sq.m$ है।

(B) माना टंकी की लंबाई $x \ m$ और चौड़ाई $y \ m$ है। टंकी की ऊँचाई $h = 4 \ m$ है।
टंकी का आयतन $V = x \times y \times h = 36 \ m^3$ है।
$h = 4$ रखने पर,$4xy = 36$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $xy = 9$,इसलिए $y = \frac{9}{x}$।
लागत फलन $C$ आधार की लागत और चार भुजाओं की लागत का योग है:
$C = 100(xy) + 50(2xh + 2yh)$
$xy = 9$,$h = 4$,और $y = \frac{9}{x}$ रखने पर:
$C(x) = 100(9) + 50(2x(4) + 2(\frac{9}{x})(4))$
$C(x) = 900 + 50(8x + \frac{72}{x}) = 900 + 400x + \frac{3600}{x}$
न्यूनतम लागत ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $C'(x)$ ज्ञात करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$C'(x) = 400 - \frac{3600}{x^2} = 0$
$400 = \frac{3600}{x^2} \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3 \ m$।
चूंकि $x = 3$,इसलिए $y = \frac{9}{3} = 3 \ m$।
न्यूनतम लागत $C(3) = 900 + 400(3) + \frac{3600}{3} = 900 + 1200 + 1200 = ₹ 3300$ है।

(B) माना कागज की ऊंचाई $y \ m$ और चौड़ाई $x \ m$ है।
दिया गया है कि कागज का क्षेत्रफल $18 \ m^2$ है,इसलिए $x y = 18$.
मार्जिन को मीटर में बदलने पर: ऊपर/नीचे के मार्जिन प्रत्येक $0.75 \ m$ और किनारे के मार्जिन प्रत्येक $0.5 \ m$ हैं।
मुद्रण योग्य क्षेत्र के आयाम $(y - 1.5) \ m$ और $(x - 1) \ m$ हैं।
मुद्रण के लिए उपलब्ध क्षेत्रफल $A = (y - 1.5)(x - 1)$ है।
चूंकि $y = \frac{18}{x}$,हमारे पास $A = (\frac{18}{x} - 1.5)(x - 1) = 18 - \frac{18}{x} - 1.5x + 1.5 = 19.5 - \frac{18}{x} - 1.5x$ है।
$A$ को अधिकतम करने के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dA}{dx} = \frac{18}{x^2} - 1.5$.
$\frac{dA}{dx} = 0$ रखने पर,$\frac{18}{x^2} = 1.5 \Rightarrow x^2 = \frac{18}{1.5} = 12$.
अतः,$x = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} \ m$.
तब $y = \frac{18}{2 \sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3 \sqrt{3} \ m$.
द्वितीय अवकलज की जांच करने पर: $\frac{d^2A}{dx^2} = -\frac{36}{x^3}$,जो $x = 2 \sqrt{3}$ पर ऋणात्मक है,जो अधिकतम मान की पुष्टि करता है।
अतः,ऊंचाई $3 \sqrt{3} \ m$ और चौड़ाई $2 \sqrt{3} \ m$ है।

(B) माना कि वृत्तीय सेक्टर की त्रिज्या $r$ और केंद्रीय कोण $\theta$ रेडियन में है।
सेक्टर की परिधि $P = 2r + r\theta = 60$ है।
इससे,$\theta = \frac{60 - 2r}{r}$ प्राप्त होता है।
सेक्टर का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ होता है।
$\theta$ का मान रखने पर,$A(r) = \frac{1}{2} r^2 \left( \frac{60 - 2r}{r} \right) = \frac{1}{2} r(60 - 2r) = 30r - r^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$A(r)$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करके उसे शून्य के बराबर रखने पर:
$A'(r) = 30 - 2r = 0$.
$r$ के लिए हल करने पर,$r = 15 \ m$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A''(r) = -2 < 0$ है,इसलिए $r = 15 \ m$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।

(D) माना वृत्ताकार सेक्टर की त्रिज्या $r$ है और चाप की लंबाई $l$ है। सेक्टर का परिमाप $P = 2r + l = 20 \ m$ द्वारा दिया गया है।
इसलिए,चाप की लंबाई $l = 20 - 2r$ है।
वृत्ताकार सेक्टर का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} r l$ द्वारा दिया जाता है।
$l$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A(r) = \frac{1}{2} r (20 - 2r) = 10r - r^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A(r)$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dA}{dr} = 10 - 2r$.
$\frac{dA}{dr} = 0$ रखने पर,हमें $10 - 2r = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = 5 \ m$.
सत्यापन के लिए,द्वितीय अवकलज $\frac{d^2A}{dr^2} = -2$ है,जो $0$ से कम है,यह पुष्टि करता है कि $r = 5 \ m$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।

(C) माना बेलन की त्रिज्या $r$ है और इसकी ऊँचाई $h$ है। गोले की त्रिज्या $a$ है (क्योंकि व्यास $2a$ है)।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,गोले की त्रिज्या,बेलन की त्रिज्या और बेलन की आधी ऊँचाई से बनने वाले समकोण त्रिभुज में:
$r^2 + (h/2)^2 = a^2$
$r^2 = a^2 - \frac{h^2}{4}$
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ है।
आयतन के सूत्र में $r^2$ का मान रखने पर:
$V = \pi (a^2 - \frac{h^2}{4}) h = \pi (a^2 h - \frac{h^3}{4})$
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,$V$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dh} = \pi (a^2 - \frac{3h^2}{4})$
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर:
$a^2 - \frac{3h^2}{4} = 0$
$3h^2 = 4a^2$
$h^2 = \frac{4a^2}{3}$
$h = \frac{2a}{\sqrt{3}}$
यह सत्यापित करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं:
$\frac{d^2V}{dh^2} = \pi (0 - \frac{6h}{4}) = -\frac{3\pi h}{2} < 0$ (जहाँ $h > 0$).
अतः,$h = \frac{2a}{\sqrt{3}}$ पर आयतन अधिकतम है।

(D) माना $10$ के दो भाग $x$ और $y$ हैं।
$\therefore x + y = 10 \implies y = 10 - x$ ... $(i)$
माना $A$ पहले भाग का दोगुना और दूसरे भाग के वर्ग का योग है:
$A = 2x + y^2$
$y = 10 - x$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$A = 2x + (10 - x)^2$
$A = 2x + 100 - 20x + x^2$
$A = x^2 - 18x + 100$
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$A$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dx} = 2x - 18$
क्रांतिक बिंदु के लिए $\frac{dA}{dx} = 0$ रखने पर:
$2x - 18 = 0 \implies x = 9$
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर:
$\frac{d^2A}{dx^2} = 2$। चूँकि $2 > 0$ है,इसलिए फलन $x = 9$ पर न्यूनतम है।
$x = 9$ को $(i)$ में रखने पर:
$y = 10 - 9 = 1$।
अतः,भाग $(9, 1)$ हैं।

(D) माना आयत $r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित है। आयत की भुजाएँ $2x$ और $2y$ हैं। चूँकि आयत वृत्त में अंतर्निहित है,आयत का विकर्ण वृत्त का व्यास है,इसलिए $(2x)^2 + (2y)^2 = (2r)^2$,जो सरल होकर $x^2 + y^2 = r^2$ या $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ हो जाता है।
आयत का क्षेत्रफल $A = (2x)(2y) = 4x\sqrt{r^2 - x^2}$ है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$A$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$\frac{dA}{dx} = 4 \left( \sqrt{r^2 - x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{r^2 - x^2}} \cdot (-2x) \right) = 4 \left( \frac{r^2 - x^2 - x^2}{\sqrt{r^2 - x^2}} \right) = \frac{4(r^2 - 2x^2)}{\sqrt{r^2 - x^2}}$.
$\frac{dA}{dx} = 0$ रखने पर $r^2 - 2x^2 = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \frac{r}{\sqrt{2}}$.
$x = \frac{r}{\sqrt{2}}$ को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर:
$A = 4 \left( \frac{r}{\sqrt{2}} \right) \sqrt{r^2 - \frac{r^2}{2}} = 4 \left( \frac{r}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{r}{\sqrt{2}} \right) = 4 \cdot \frac{r^2}{2} = 2r^2$.
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $2r^2$ है।

(A) सबसे पहले,असमिका $x^2 + 20 \le 9 x$ को हल करके समुच्चय $A$ निर्धारित करें।
$x^2 - 9 x + 20 \le 0$
$(x - 4)(x - 5) \le 0$
अतः,$A = [4, 5]$।
अब,फलन $f(x) = 2 x^3 - 15 x^2 + 36 x - 48$ का विश्लेषण करें।
अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 6 x^2 - 30 x + 36 = 6(x^2 - 5 x + 6) = 6(x - 2)(x - 3)$।
$x \in [4, 5]$ के लिए,$(x - 2)$ और $(x - 3)$ दोनों धनात्मक हैं,इसलिए $f'(x) > 0$।
चूंकि अंतराल $[4, 5]$ पर $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ समुच्चय $A = [4, 5]$ पर निरंतर वर्धमान है।
अतः न्यूनतम मान बाएं अंत बिंदु $x = 4$ पर प्राप्त होता है।
$f(4) = 2(4)^3 - 15(4)^2 + 36(4) - 48 = 2(64) - 15(16) + 144 - 48 = 128 - 240 + 144 - 48 = -16$।

(C) दिया गया है $f(x)=\alpha \log |x|+\beta x^2+x$.
अवकलन करने पर $f^{\prime}(x)=\frac{\alpha}{x}+2\beta x+1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x=-1$ और $x=2$ चरम बिंदु हैं,इसलिए $f^{\prime}(-1)=0$ और $f^{\prime}(2)=0$ होगा।
$x=-1$ के लिए: $\frac{\alpha}{-1}+2\beta(-1)+1=0 \Rightarrow -\alpha-2\beta+1=0 \Rightarrow \alpha+2\beta=1$ (समीकरण $i$)।
$x=2$ के लिए: $\frac{\alpha}{2}+2\beta(2)+1=0 \Rightarrow \frac{\alpha}{2}+4\beta+1=0 \Rightarrow \alpha+8\beta=-2$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण (ii) में से $(i)$ को घटाने पर: $(\alpha+8\beta)-(\alpha+2\beta)=-2-1 \Rightarrow 6\beta=-3 \Rightarrow \beta=-\frac{1}{2}$।
$\beta=-\frac{1}{2}$ का मान $(i)$ में रखने पर: $\alpha+2(-\frac{1}{2})=1 \Rightarrow \alpha-1=1 \Rightarrow \alpha=2$।
अतः,$\alpha=2$ और $\beta=-\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) आबादी का अधिकतम आकार ज्ञात करने के लिए,हमें फलन $p(t) = 1000 + \frac{1000t}{100 + t^2}$ का अधिकतम मान ज्ञात करना होगा।
मान लीजिए $f(t) = \frac{1000t}{100 + t^2}$ है। क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(t)$ की गणना करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं।
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(t) = 1000 \times \frac{(100 + t^2)(1) - t(2t)}{(100 + t^2)^2} = 1000 \times \frac{100 - t^2}{(100 + t^2)^2}$ है।
$f'(t) = 0$ रखने पर $100 - t^2 = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $t^2 = 100$,जिसका अर्थ है $t = 10$ (क्योंकि $t \ge 0$ है)।
अब,हम $t = 10$ पर $p(t)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(10) = 1000 + \frac{1000(10)}{100 + (10)^2} = 1000 + \frac{10000}{100 + 100} = 1000 + \frac{10000}{200} = 1000 + 50 = 1050$ है।
अतः,जीवाणु आबादी का अधिकतम आकार $1050$ है।

(C) माना कि दो भाग $x$ और $20-x$ हैं।
माना कि गुणनफल $P(x) = x^3(20-x)^2$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $P(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$P'(x) = 3x^2(20-x)^2 + x^3 \cdot 2(20-x)(-1)$
$P'(x) = x^2(20-x) [3(20-x) - 2x]$
$P'(x) = x^2(20-x) [60 - 3x - 2x] = x^2(20-x)(60-5x)$।
$P'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x=0$,$x=20$,या $x=12$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ को $0$ और $20$ के बीच होना चाहिए,हम $x=12$ की जांच करते हैं।
$x=12$ के लिए,भाग $12$ और $20-12=8$ हैं।
अतः,दो भाग $12$ और $8$ हैं।

(A) दिया गया है,लागत फलन $C(x) = x^2 + 78x + 2500$ है।
प्रति इकाई मूल्य $p = 600 - 8x$ है।
राजस्व फलन $R(x) = x \times p = x(600 - 8x) = 600x - 8x^2$ है।
लाभ फलन $P(x) = R(x) - C(x) = (600x - 8x^2) - (x^2 + 78x + 2500) = -9x^2 + 522x - 2500$ है।
अधिकतम लाभ ज्ञात करने के लिए,अवकलज $P'(x)$ ज्ञात करें और इसे $0$ के बराबर रखें:
$P'(x) = -18x + 522 = 0 \implies 18x = 522 \implies x = 29$।
द्वितीय अवकलज की जाँच करें: $P''(x) = -18 < 0$,इसलिए $x = 29$ स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है।
अधिकतम लाभ $P(29) = -9(29)^2 + 522(29) - 2500 = -9(841) + 15138 - 2500 = -7569 + 15138 - 2500 = 5069$।
अतः,अधिकतम लाभ Rs. $5069$ है।

(B) स्थानीय अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले फलन $f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 10$ का अवकलन करते हैं।
$f'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$5x^2(x^2 - 4x + 3) = 0$.
$5x^2(x - 1)(x - 3) = 0$.
क्रांतिक बिंदु $x = 0, x = 1, x = 3$ हैं।
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x) = 20x^3 - 60x^2 + 30x$ ज्ञात करते हैं।
क्रांतिक बिंदुओं पर $f''(x)$ का चिह्न जाँचते हैं:
$x = 1$ के लिए: $f''(1) = 20(1)^3 - 60(1)^2 + 30(1) = 20 - 60 + 30 = -10$.
चूंकि $f''(1) < 0$ है,इसलिए फलन का $x = 1$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
$x = 3$ के लिए: $f''(3) = 90 > 0$,इसलिए यह स्थानीय न्यूनतम मान है।
$x = 0$ के लिए: $f''(0) = 0$,और $x=0$ के आसपास $f'(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है,इसलिए यह नति परिवर्तन बिंदु है।
अतः,फलन का $x = 1$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।

(D) माना वर्ग के लिए उपयोग किए गए तार की लंबाई $x$ है। तो वृत्त के लिए उपयोग किए गए तार की लंबाई $8-x$ होगी।
वर्ग के लिए,परिमाप $4a = x$ है,इसलिए भुजा $a = \frac{x}{4}$ है। वर्ग का क्षेत्रफल $A_1 = a^2 = \frac{x^2}{16}$ है।
वृत्त के लिए,परिधि $2\pi r = 8-x$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{8-x}{2\pi}$ है। वृत्त का क्षेत्रफल $A_2 = \pi r^2 = \pi \left(\frac{8-x}{2\pi}\right)^2 = \frac{(8-x)^2}{4\pi}$ है।
कुल क्षेत्रफल $A(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(8-x)^2}{4\pi}$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $A'(x) = \frac{2x}{16} + \frac{2(8-x)(-1)}{4\pi} = \frac{x}{8} - \frac{8-x}{2\pi}$।
$A'(x) = 0$ रखने पर: $\frac{x}{8} = \frac{8-x}{2\pi} \implies \pi x = 32 - 4x \implies x(\pi+4) = 32 \implies x = \frac{32}{\pi+4}$।
$x$ का मान $A(x)$ में रखने पर: $A = \frac{1}{16} \left(\frac{32}{\pi+4}\right)^2 + \frac{1}{4\pi} \left(8 - \frac{32}{\pi+4}\right)^2 = \frac{64}{(\pi+4)^2} + \frac{64\pi^2}{4\pi(\pi+4)^2} = \frac{64}{(\pi+4)^2} + \frac{16\pi}{(\pi+4)^2} = \frac{16(4+\pi)}{(\pi+4)^2} = \frac{16}{\pi+4}$।

(A) माना वर्गाकार आधार की भुजा $x \ cm$ है और टंकी की ऊँचाई $h \ cm$ है।
टंकी का आयतन $V = x^2 h = 4000$ है।
अतः,$h = \frac{4000}{x^2}$.
एक खुली टंकी का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = x^2 + 4xh$ द्वारा दिया जाता है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र में $h$ का मान रखने पर: $S = x^2 + 4x(\frac{4000}{x^2}) = x^2 + \frac{16000}{x}$.
न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$S$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dS}{dx} = 2x - \frac{16000}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{dS}{dx} = 0$ रखने पर: $2x = \frac{16000}{x^2} \implies x^3 = 8000 \implies x = 20 \ cm$.
अब,ऊँचाई ज्ञात कीजिए: $h = \frac{4000}{20^2} = \frac{4000}{400} = 10 \ cm$.
चूँकि $\frac{d^2S}{dx^2} = 2 + \frac{32000}{x^3} > 0$ है $x = 20$ पर,इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल $x = 20 \ cm$ और $h = 10 \ cm$ पर न्यूनतम है।

(B) माना $f(x) = x^{2/3} + (x-2)^{2/3}$.
क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}(x-2)^{-1/3} = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{x^{1/3}} + \frac{1}{(x-2)^{1/3}} \right)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $\frac{1}{x^{1/3}} = -\frac{1}{(x-2)^{1/3}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(x-2)^{1/3} = -x^{1/3}$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,$x-2 = -x$,जिससे $2x = 2$,अर्थात $x = 1$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ और $x = 2$ पर अवकलज $f'(x)$ अपरिभाषित है।
हम क्रांतिक बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(0) = 0^{2/3} + (-2)^{2/3} = 2^{2/3} \approx 1.587$.
$f(2) = 2^{2/3} + 0^{2/3} = 2^{2/3} \approx 1.587$.
$f(1) = 1^{2/3} + (-1)^{2/3} = 1 + 1 = 2$.
अतः,अंतराल $[0, 2]$ के लिए अधिकतम मान $2$ है।