Maxima and Minima Questions in Hindi

(B) दिया गया है,$f(x)=a \log |x|+b x^2+x$.
अवकलन करने पर,$f^{\prime}(x) = \frac{a}{x} + 2bx + 1$.
चूंकि फलन के चरम मान $x=-1$ और $x=2$ पर हैं,इसलिए $f^{\prime}(-1)=0$ और $f^{\prime}(2)=0$ होगा।
$x=-1$ के लिए: $f^{\prime}(-1) = \frac{a}{-1} + 2b(-1) + 1 = 0 \Rightarrow -a - 2b + 1 = 0 \Rightarrow a + 2b = 1$ $(i)$.
$x=2$ के लिए: $f^{\prime}(2) = \frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \Rightarrow \frac{a}{2} + 4b + 1 = 0 \Rightarrow a + 8b = -2$ (ii).
समीकरण (ii) में से $(i)$ को घटाने पर: $(a + 8b) - (a + 2b) = -2 - 1 \Rightarrow 6b = -3 \Rightarrow b = -\frac{1}{2}$.
$b = -\frac{1}{2}$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर: $a + 2(-\frac{1}{2}) = 1 \Rightarrow a - 1 = 1 \Rightarrow a = 2$.
अतः,क्रमित युग्म $(a, b) = \left(2, -\frac{1}{2}\right)$ है।

(C) दिया गया है,$f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $6(x^2 - 3ax + 2a^2) = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $6(x - a)(x - 2a) = 0$ हैं।
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = a$ और $x = 2a$ हैं।
हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं: $f''(x) = 12x - 18a$.
$x = a$ के लिए,$f''(a) = 12a - 18a = -6a$. चूँकि $a > 0$,$f''(a) < 0$,इसलिए $f(x)$ का अधिकतम मान $p = a$ पर है।
$x = 2a$ के लिए,$f''(2a) = 12(2a) - 18a = 6a$. चूँकि $a > 0$,$f''(2a) > 0$,इसलिए $f(x)$ का न्यूनतम मान $q = 2a$ पर है।
शर्त $p^2 = q$ दी गई है,मान रखने पर: $a^2 = 2a$.
चूँकि $a > 0$,$a$ से भाग देने पर हमें $a = 2$ प्राप्त होता है।

(C) अंतराल $[-2, 2]$ पर फलन $f(x) = x^2 e^{2x}$ दिया गया है।
सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = 2x e^{2x} + x^2 (2 e^{2x}) = 2x e^{2x} (1 + x)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
अब,हम क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल $[-2, 2]$ के अंत बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-2) = (-2)^2 e^{2(-2)} = 4 e^{-4}$.
$f(-1) = (-1)^2 e^{2(-1)} = 1 e^{-2} = e^{-2}$.
$f(0) = (0)^2 e^{2(0)} = 0$.
$f(2) = (2)^2 e^{2(2)} = 4 e^4$.
इन मानों की तुलना करने पर,वैश्विक अधिकतम $p = 4 e^4$ और वैश्विक न्यूनतम $q = 0$ प्राप्त होता है।
अंत में,हम $p e^{-4} + q e^4 = (4 e^4) e^{-4} + (0) e^4 = 4 e^0 + 0 = 4(1) = 4$ की गणना करते हैं।

(A) मान लीजिए कि $R = 3$ इकाई त्रिज्या वाले गोले में अंतर्निहित बेलन की ऊँचाई $h$ और त्रिज्या $r$ है।
अंतर्निहित बेलन की ज्यामिति से,हमारे पास संबंध $r^2 + (h/2)^2 = R^2$ है।
$R = 3$ रखने पर,हमें $r^2 + h^2/4 = 9$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r^2 = 9 - h^2/4$।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
$r^2$ का मान रखने पर,हमें $V = \pi (9 - h^2/4) h = \pi (9h - h^3/4)$ प्राप्त होता है।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dV}{dh} = \pi (9 - 3h^2/4)$।
$\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर,हमें $9 - 3h^2/4 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3h^2/4 = 9$,इसलिए $h^2 = 12$ और $h = 2\sqrt{3}$ (क्योंकि ऊँचाई धनात्मक होनी चाहिए)।
तब $r^2 = 9 - (12/4) = 9 - 3 = 6$।
अधिकतम आयतन $V = \pi (6) (2\sqrt{3}) = 12\sqrt{3}\pi$ घन इकाई है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$ है।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,$6(x^2 - x - 2) = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $6(x + 1)(x - 2) = 0$ हैं।
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = -1$ और $x = 2$ हैं,जो दोनों अंतराल $[-2, 4]$ में स्थित हैं।
अब,हम क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल के अंतिम बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-2) = 2(-8) - 3(4) - 12(-2) + 5 = -16 - 12 + 24 + 5 = 1$।
$f(-1) = 2(-1) - 3(1) - 12(-1) + 5 = -2 - 3 + 12 + 5 = 12$।
$f(2) = 2(8) - 3(4) - 12(2) + 5 = 16 - 12 - 24 + 5 = -15$।
$f(4) = 2(64) - 3(16) - 12(4) + 5 = 128 - 48 - 48 + 5 = 37$।
इन मानों की तुलना करने पर,निरपेक्ष अधिकतम मान $37$ है,जो $x = 4$ पर प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) मान लीजिए $v$ जल के सापेक्ष मोटर बोट की गति है,जहाँ $v > C$ है। जल प्रवाह के विपरीत दिशा में चलते समय जमीन के सापेक्ष बोट की गति $(v - C)$ होगी।
यदि तय की जाने वाली दूरी $S$ है,तो लगा समय $t = \frac{S}{v - C}$ होगा।
प्रति घंटा पेट्रोल की खपत जल के सापेक्ष वेग के घन के समानुपाती है,अर्थात $k v^3$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
कुल पेट्रोल की खपत $f(v)$ इस प्रकार है:
$f(v) = (k v^3) \times \left( \frac{S}{v - C} \right) = k S \frac{v^3}{v - C}$.
न्यूनतम खपत ज्ञात करने के लिए,हम $f(v)$ का $v$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$f'(v) = k S \left[ \frac{(v - C)(3v^2) - v^3(1)}{(v - C)^2} \right] = 0$.
इसका अर्थ है $3v^2(v - C) - v^3 = 0$,जो सरल होकर $3v^3 - 3v^2C - v^3 = 0$ हो जाता है।
$2v^3 - 3v^2C = 0$.
चूंकि $v \neq 0$,हमें $2v - 3C = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = \frac{3C}{2}$.

(B) दिया गया फलन $f(x) = 3x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 6x + 4$ है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 12x^3 - 6x^2 - 12x + 6$
अवकलज का गुणनखंड करें:
$f'(x) = 6(2x^3 - x^2 - 2x + 1) = 6[x^2(2x - 1) - 1(2x - 1)] = 6(x^2 - 1)(2x - 1) = 6(x - 1)(x + 1)(2x - 1)$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$6(x - 1)(x + 1)(2x - 1) = 0$.
क्रांतिक बिंदु $x = 1, x = -1, x = 1/2$ हैं।
चूंकि हम अंतराल $(0, 2)$ पर विचार कर रहे हैं,इसलिए हम केवल $x = 1$ और $x = 1/2$ पर विचार करेंगे (क्योंकि $-1$ अंतराल के बाहर है)।
इन बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(1) = 3(1)^4 - 2(1)^3 - 6(1)^2 + 6(1) + 4 = 3 - 2 - 6 + 6 + 4 = 5$.
$f(1/2) = 3(1/16) - 2(1/8) - 6(1/4) + 6(1/2) + 4 = 3/16 - 4/16 - 24/16 + 48/16 + 64/16 = 87/16$.
मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $87/16$ है और न्यूनतम मान $5$ है।
अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग $87/16 + 5 = (87 + 80) / 16 = 167/16$ है।

(B) दिया गया है कि,$s = t^5 - 40t^3 + 30t^2 + 80t - 250$.
वेग $v = \frac{ds}{dt} = 5t^4 - 120t^2 + 60t + 80$.
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = 20t^3 - 240t + 60$.
माना $f(t) = 20t^3 - 240t + 60$.
न्यूनतम त्वरण ज्ञात करने के लिए,हम $f'(t) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं:
$f'(t) = 60t^2 - 240 = 0 \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow t = \pm 2$.
अब,द्वितीय अवकलज $f''(t) = 120t$ की जाँच करें।
$t = 2$ पर,$f''(2) = 120(2) = 240 > 0$,अतः $f(t)$ का मान $t = 2$ पर न्यूनतम है।
न्यूनतम त्वरण $a_{\min} = f(2) = 20(2)^3 - 240(2) + 60 = 160 - 480 + 60 = -260$.

(C) फलन $f(x) = 2x^6 - 3$ के स्थानीय चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले इसका अवकलज ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^6 - 3) = 12x^5$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए अवकलज को शून्य के बराबर रखने पर:
$12x^5 = 0 \implies x = 0$.
अब,$x = 0$ बिंदु की प्रकृति की जाँच करने के लिए प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हैं।
प्रथम अवकलज परीक्षण के अनुसार:
$x < 0$ के लिए,$f'(x) = 12x^5 < 0$ (फलन घट रहा है)।
$x > 0$ के लिए,$f'(x) = 12x^5 > 0$ (फलन बढ़ रहा है)।
चूंकि $x = 0$ पर अवकलज का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए फलन का $x = 0$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
स्थानीय न्यूनतम मान $f(0) = 2(0)^6 - 3 = -3$ है।
अतः,$-3$ $f$ का स्थानीय न्यूनतम मान है।

(C) $[0, 1]$ पर $f(x) = (x+1)^{1/3} - (x-1)^{1/3}$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं।
$f'(x) = \frac{1}{3}(x+1)^{-2/3} - \frac{1}{3}(x-1)^{-2/3} = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{(x+1)^{2/3}} - \frac{1}{(x-1)^{2/3}} \right]$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $(x-1)^{2/3} = (x+1)^{2/3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $|x-1| = |x+1|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x-1)^2 = (x+1)^2$,इसलिए $x^2 - 2x + 1 = x^2 + 2x + 1$,जिससे $4x = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $x = 0$.
अब,हम क्रांतिक बिंदु $x=0$ और अंत बिंदुओं $x=0$ तथा $x=1$ पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं।
$x=0$ पर,$f(0) = (0+1)^{1/3} - (0-1)^{1/3} = 1 - (-1) = 2$.
$x=1$ पर,$f(1) = (1+1)^{1/3} - (1-1)^{1/3} = 2^{1/3} - 0 = 2^{1/3}$.
$f(0) = 2$ और $f(1) = 2^{1/3} \approx 1.26$ की तुलना करने पर,अधिकतम मान $2$ है।

(A) $(0,0)$,$(x_1, y_1)$,और $(x_2, y_2)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,शीर्ष $(0,0)$,$(x, \cos x)$,और $(\sin^3 x, 0)$ हैं।
अतः,$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए $A(x) = \frac{1}{2} |x(0) - (\sin^3 x)(\cos x)| = \frac{1}{2} \sin^3 x \cos x$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $A(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$A'(x) = \frac{1}{2} [3 \sin^2 x \cos x \cdot \cos x + \sin^3 x (-\sin x)] = \frac{1}{2} [3 \sin^2 x \cos^2 x - \sin^4 x]$.
$A'(x) = 0$ रखने पर,हमें $3 \sin^2 x \cos^2 x = \sin^4 x$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin x \neq 0$,इसलिए $3 \cos^2 x = \sin^2 x$,जिसका अर्थ है $\tan^2 x = 3$,अतः $\tan x = \sqrt{3}$ (क्योंकि $x \in (0, \frac{\pi}{2})$)।
इस प्रकार,$x = \frac{\pi}{3}$ है।
$x = \frac{\pi}{3}$ पर,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos x = \frac{1}{2}$ है।
इन मानों को $A(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$A = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2})^3 (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} (\frac{3 \sqrt{3}}{8}) (\frac{1}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{32}$.

(C) दिया गया है कि बेलनाकार बर्तन का आयतन $V$ है और इसके ऊपर ढक्कन नहीं है।
मान लीजिए $r$ त्रिज्या है और $h$ बेलन की ऊँचाई है।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $h = \frac{V}{\pi r^2}$।
प्रयुक्त धातु की चादर का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$ (आधार सहित लेकिन ढक्कन के बिना) इस प्रकार है:
$S = 2\pi rh + \pi r^2$
$S$ के समीकरण में $h = \frac{V}{\pi r^2}$ रखने पर:
$S(r) = 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2}\right) + \pi r^2 = \frac{2V}{r} + \pi r^2$
न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $S(r)$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$S'(r) = -\frac{2V}{r^2} + 2\pi r = 0$
$2\pi r = \frac{2V}{r^2} \Rightarrow r^3 = \frac{V}{\pi} \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$
अब,$h$ के समीकरण में $r$ का मान रखने पर:
$h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{V}{\pi (V/\pi)^{2/3}} = \frac{V}{\pi} \cdot \left(\frac{\pi}{V}\right)^{2/3} = \left(\frac{V}{\pi}\right)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$
अतः,न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए त्रिज्या और ऊँचाई $r = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$ और $h = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$ है।

(B) मान लीजिए $R(x)$ राजस्व फलन है और $C(x)$ लागत फलन है।
राजस्व $R(x) = x \times \left(5 - \frac{x}{100}\right) = 5x - \frac{x^2}{100}$।
लाभ फलन $P(x) = R(x) - C(x) = \left(5x - \frac{x^2}{100}\right) - \left(\frac{x}{5} + 500\right)$।
$P(x) = 5x - \frac{x^2}{100} - \frac{x}{5} - 500 = 4.8x - \frac{x^2}{100} - 500$।
अधिकतम लाभ ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $P'(x)$ निकालते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं।
$P'(x) = 4.8 - \frac{2x}{100} = 4.8 - \frac{x}{50}$।
$P'(x) = 0$ रखने पर,हमें $4.8 = \frac{x}{50}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 4.8 \times 50 = 240$।
सत्यापन के लिए,हम द्वितीय अवकलज $P''(x) = -\frac{1}{50}$ की जाँच करते हैं।
चूंकि $P''(x) < 0$ है,इसलिए $x = 240$ पर लाभ अधिकतम है।

(B) दिया गया फलन $f(x)=x^3+a x^2+b x+c$ है।
चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f^{\prime}(x)=3 x^2+2 a x+b$.
चरम मानों के लिए,हम $f^{\prime}(x)=0$ रखते हैं:
$3 x^2+2 a x+b=0$.
इस द्विघात समीकरण के मूल द्विघात सूत्र द्वारा प्राप्त होते हैं:
$x = \frac{-2 a \pm \sqrt{(2 a)^2 - 4(3)(b)}}{2(3)} = \frac{-2 a \pm \sqrt{4 a^2 - 12 b}}{6} = \frac{-2 a \pm 2 \sqrt{a^2 - 3 b}}{6} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 3 b}}{3}$.
दी गई शर्त $a^2 \leq 3 b$ के अनुसार,पद $a^2 - 3 b \leq 0$ है।
यदि $a^2 - 3 b < 0$ है,तो मूल काल्पनिक हैं,जिसका अर्थ है कि किसी भी वास्तविक $x$ के लिए $f^{\prime}(x)$ शून्य नहीं होता है।
यदि $a^2 = 3 b$ है,तो $f^{\prime}(x) = 3(x + \frac{a}{3})^2$,जो हमेशा $\geq 0$ होता है,इसलिए फलन निरंतर वर्धमान है और इसका कोई स्थानीय चरम मान नहीं है।
अतः,फलन का कोई चरम मान नहीं है।

(D) माना $y = \frac{\log x}{x}$.
भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर:
$1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.
अधिकतम मान की जांच करने के लिए,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x^2(-\frac{1}{x}) - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{2 \log x - 3}{x^3}$.
$x = e$ पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2(1) - 3}{e^3} = -\frac{1}{e^3} < 0$,अतः $x = e$ स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है।
अधिकतम मान $y(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e} = e^{-1}$ है।

(A) माना $f(x) = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$ ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है
$f'(x) = \frac{(x^2+x+1)(2x-1) - (x^2-x+1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}$
उच्चतम या न्यूनतम मान के लिए,$f'(x) = 0$ रखें
$(x^2+x+1)(2x-1) - (x^2-x+1)(2x+1) = 0$
$(2x^3 - x^2 + 2x^2 - x + 2x - 1) - (2x^3 + x^2 - 2x^2 - x + 2x + 1) = 0$
$(2x^3 + x^2 + x - 1) - (2x^3 - x^2 + x + 1) = 0$
$2x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
अब,$f'(x) = \frac{2x^2-2}{(x^2+x+1)^2}$
पुनः अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $f''(x) = \frac{(x^2+x+1)^2(4x) - (2x^2-2) \cdot 2(x^2+x+1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^4}$
$x = 1$ पर,$f''(1) = \frac{(1+1+1)^2(4) - 0}{(1+1+1)^4} = \frac{9 \times 4}{81} = \frac{36}{81} > 0$
अतः,फलन का मान $x = 1$ पर न्यूनतम है।
समीकरण $(i)$ में $x = 1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है
$f(1) = \frac{1^2-1+1}{1^2+1+1} = \frac{1}{3}$
$\therefore$ न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है।

(C) दिया गया गति का समीकरण: $s = 490t - 4.9t^2$.
अधिकतम ऊँचाई ज्ञात करने के लिए,हम $s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और अवकलज को शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{ds}{dt} = 490 - 9.8t$.
अधिकतम ऊँचाई के लिए $\frac{ds}{dt} = 0$ रखने पर:
$490 - 9.8t = 0$
$9.8t = 490$
$t = \frac{490}{9.8} = 50 \text{ सेकंड}$.
अब,अधिकतम ऊँचाई $s$ ज्ञात करने के लिए $t = 50$ को मूल समीकरण में रखने पर:
$s = 490(50) - 4.9(50)^2$
$s = 24500 - 4.9(2500)$
$s = 24500 - 12250$
$s = 12250$.

(A) दिया गया फलन $f(x) = x e^{-x}$ है।
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करके प्रथम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = (1)e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$.
उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$e^{-x}(1 - x) = 0$.
चूंकि किसी भी $x \in R$ के लिए $e^{-x} \neq 0$,इसलिए $1 - x = 0$,जिससे $x = 1$ प्राप्त होता है।
अब,उच्चिष्ठ की जांच करने के लिए हम द्वितीय अवकलज $f''(x)$ निकालते हैं:
$f''(x) = \frac{d}{dx}[e^{-x} - x e^{-x}] = -e^{-x} - [e^{-x} - x e^{-x}] = e^{-x}(x - 2)$.
$x = 1$ पर मान रखने पर:
$f''(1) = e^{-1}(1 - 2) = -e^{-1} < 0$.
चूंकि $x = 1$ पर द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए फलन $x = 1$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है।

(D) दिया गया है,$x+y=60$.
$AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{x + \frac{y}{3} + \frac{y}{3} + \frac{y}{3}}{4} \geq \sqrt[4]{x \cdot \frac{y}{3} \cdot \frac{y}{3} \cdot \frac{y}{3}}$
$\frac{x+y}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{x y^3}{27}}$
$x+y=60$ रखने पर:
$\frac{60}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{x y^3}{27}}$
$15 \geq \sqrt[4]{\frac{x y^3}{27}}$
दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर:
$(15)^4 \geq \frac{x y^3}{27}$
$x y^3 \leq 27 \times (15)^4$
$x y^3 \leq 3^7 \times 5^4$
अतः,$x y^3$ का अधिकतम मान $\frac{(45)^4}{3}$ है.

(D) दिया गया है $x + 2y = 10$,जहाँ $x, y$ धनात्मक पूर्णांक हैं।
संभावित युग्म $(x, y)$ हैं:
$(8, 1) \implies x^2 y^3 = 8^2 \times 1^3 = 64$
$(6, 2) \implies x^2 y^3 = 6^2 \times 2^3 = 36 \times 8 = 288$
$(4, 3) \implies x^2 y^3 = 4^2 \times 3^3 = 16 \times 27 = 432$
$(2, 4) \implies x^2 y^3 = 2^2 \times 4^3 = 4 \times 64 = 256$
$x^2 y^3$ का अधिकतम मान $432$ है,जो $x = 4$ और $y = 3$ पर प्राप्त होता है।
हमें $x^2 + 2y^3 = 4^2 + 2(3^3) = 16 + 2(27) = 16 + 54 = 70$ ज्ञात करना है।

(D) दिया गया फलन $y = 2x^3 - 8x^2 + 10x - 4$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 6x^2 - 16x + 10$.
चूंकि स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल शून्य होनी चाहिए:
$\frac{dy}{dx} = 0 \implies 6x^2 - 16x + 10 = 0$.
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $3x^2 - 8x + 5 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$3x^2 - 3x - 5x + 5 = 0 \implies 3x(x - 1) - 5(x - 1) = 0$.
$(3x - 5)(x - 1) = 0$.
इससे $x = 1$ या $x = \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $(a, b)$ के लिए $a \in (1, 2)$ है,इसलिए हम $x = 1$ को छोड़ देते हैं और $a = \frac{5}{3}$ को स्वीकार करते हैं।

(D) माना $R = 3$ गोले की त्रिज्या है। माना $h$ शंकु की ऊँचाई है और $r$ शंकु के आधार की त्रिज्या है।
माना $x$ गोले के केंद्र से शंकु के आधार तक की दूरी है। तब $h = R + x = 3 + x$ है।
गोले की त्रिज्या,शंकु के आधार की त्रिज्या और दूरी $x$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,$r^2 + x^2 = R^2 = 3^2 = 9$,इसलिए $r^2 = 9 - x^2$ है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (9 - x^2)(3 + x)$ है।
$V = \frac{\pi}{3} (27 + 9x - 3x^2 - x^3)$ है।
$V$ को अधिकतम करने के लिए,हम $\frac{dV}{dx} = \frac{\pi}{3} (9 - 6x - 3x^2) = 0$ प्राप्त करते हैं।
$x^2 + 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x + 3)(x - 1) = 0$ है।
चूँकि $x$ एक दूरी है,इसलिए $x = 1$ (क्योंकि $x \neq -3$)।
$x = 1$ के लिए,$r^2 = 9 - 1^2 = 8$,इसलिए $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
ऊँचाई $h = 3 + 1 = 4$ है।
अर्ध-शीर्ष कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \frac{r}{h} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होता है।
अतः,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ है।

(C) संबंध स्थापित करें:
$\triangle ABC$ में,हमें $\angle B=90^{\circ}$ दिया गया है,जो इसे एक समकोण त्रिभुज बनाता है जहाँ $b$ कर्ण है और $a, c$ भुजाएँ हैं। पाइथागोरस प्रमेय से,$c=\sqrt{b^2-a^2}$। हमें दिया गया है कि $a+b=k$ (एक स्थिरांक),इसलिए $b=k-a$। क्षेत्रफल $A$ है:
$A=\frac{1}{2}ac=\frac{1}{2}a\sqrt{b^2-a^2}$
क्षेत्रफल को एक चर के रूप में व्यक्त करें:
क्षेत्रफल समीकरण में $b=k-a$ प्रतिस्थापित करें:
$A=\frac{1}{2}a\sqrt{(k-a)^2-a^2}=\frac{1}{2}a\sqrt{k^2-2ka+a^2-a^2}=\frac{1}{2}a\sqrt{k^2-2ka}$
$A$ को अधिकतम करने के लिए,हम $f(a)=4A^2=a^2(k^2-2ka)=k^2a^2-2ka^3$ को अधिकतम करते हैं।
अवकलन करें और चरम मान ज्ञात करें:
$f(a)$ का $a$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करें और इसे शून्य के बराबर रखें:
$f'(a)=2k^2a-6ka^2=0 \Longrightarrow 2ka(k-3a)=0$
चूंकि $a, k \neq 0$,इसलिए $a=\frac{k}{3}$।
तब $b=k-\frac{k}{3}=\frac{2k}{3}$।
कोण $C$ निर्धारित करें:
समकोण त्रिभुज में,$\cos C=\frac{a}{b}$।
$\cos C=\frac{a}{b}=\frac{k/3}{2k/3}=\frac{1}{2}$
चूंकि $\cos C=\frac{1}{2}$,इसलिए $C=\frac{\pi}{3}$।

(A) किसी फलन $f(x)$ का कोई चरम मान न होने के लिए,इसके अवकलज $f'(x)$ को अपना चिह्न नहीं बदलना चाहिए। इसका अर्थ है कि $f'(x)$ या तो हमेशा गैर-ऋणात्मक (non-negative) होना चाहिए या हमेशा गैर-धनात्मक (non-positive) होना चाहिए।
दिया गया है $f(x) = x^3 + px^2 + qx + r$.
इसका अवकलज $f'(x) = 3x^2 + 2px + q$ है।
यदि $f'(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है,तो द्विघात समीकरण $3x^2 + 2px + q = 0$ के कोई वास्तविक मूल नहीं होने चाहिए या समान मूल होने चाहिए।
इसका अर्थ है कि विविक्तकर (discriminant) $D \le 0$ होना चाहिए।
विविक्तकर $D = (2p)^2 - 4(3)(q) = 4p^2 - 12q$.
$D \le 0$ रखने पर,हमें $4p^2 - 12q \le 0$ प्राप्त होता है।
$4$ से विभाजित करने पर,$p^2 - 3q \le 0$ या $p^2 \le 3q$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,शर्त $p^2 < 3q$ सही विकल्प है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{x^2+2x+2}{x+1} = \frac{(x+1)^2+1}{x+1} = (x+1) + \frac{1}{x+1}$.
माना $u = x+1$. तो $f(u) = u + \frac{1}{u}$.
स्थानीय चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $f'(u) = 1 - \frac{1}{u^2}$.
$f'(u) = 0$ रखने पर,हमें $u^2 = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $u = 1$ या $u = -1$.
$u = 1$ के लिए,$x+1 = 1 \implies x = 0$. $f(0) = 0 + \frac{1}{1} = 2$. यह स्थानीय न्यूनतम मान $m = 2$ है जो $\beta = 0$ पर प्राप्त होता है.
$u = -1$ के लिए,$x+1 = -1 \implies x = -2$. $f(-2) = -2 + \frac{1}{-1} = -2 - 1 = -3$. चूँकि $x < -1$ के लिए $f(x) \le -2$ होता है,इसलिए स्थानीय अधिकतम मान $l = -2$ है जो $\alpha = -2$ पर प्राप्त होता है.
अतः,$l = -2, m = 2, \alpha = -2, \beta = 0$.
इसलिए $\frac{l+m}{\alpha+\beta} = \frac{-2+2}{-2+0} = \frac{0}{-2} = 0$.

(B) दिया गया है कि $xy = 4$,इसलिए हम $x = \frac{4}{y}$ लिख सकते हैं।
मान लीजिए $f(y) = \sqrt{x} + \frac{y^2}{2} = \sqrt{\frac{4}{y}} + \frac{y^2}{2} = 2y^{-1/2} + \frac{y^2}{2}$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(y)$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(y) = 2(-\frac{1}{2})y^{-3/2} + \frac{1}{2}(2y) = -y^{-3/2} + y$।
$f'(y) = 0$ रखने पर,$y = y^{-3/2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y^{5/2} = 1$,अतः $y = 1$।
जब $y = 1$ है,तो $x = \frac{4}{1} = 4$ होगा।
$y = 1$ पर व्यंजक का मान $f(1) = \sqrt{4} + \frac{1^2}{2} = 2 + 0.5 = 2.5 = \frac{5}{2}$ है।
चूँकि $f''(y) = \frac{3}{2}y^{-5/2} + 1 > 0$ सभी $y > 0$ के लिए सत्य है,इसलिए फलन का $y = 1$ पर न्यूनतम मान प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{ax + b}{x^2 - 5x + 4}$। चूँकि स्थानीय अधिकतम $(2, -1)$ पर है,इसलिए $f(2) = -1$ होगा।
$x = 2$ को फलन में रखने पर: $f(2) = \frac{2a + b}{(2 - 1)(2 - 4)} = \frac{2a + b}{(1)(-2)} = \frac{2a + b}{-2} = -1$।
इससे $2a + b = 2$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$x = 2$ पर स्थानीय अधिकतम के लिए,अवकलज $f'(2) = 0$ होगा।
भागफल नियम का उपयोग करते हुए $f'(x) = \frac{a(x^2 - 5x + 4) - (ax + b)(2x - 5)}{(x^2 - 5x + 4)^2}$।
$f'(2) = 0$ रखने पर: $a(4 - 10 + 4) - (2a + b)(4 - 5) = 0$।
$a(-2) - (2a + b)(-1) = 0 \implies -2a + 2a + b = 0 \implies b = 0$।
$b = 0$ को $2a + b = 2$ में रखने पर,$2a = 2$ प्राप्त होता है,अतः $a = 1$।
इस प्रकार,$a + b = 1 + 0 = 1$।

(B) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$ है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2$ ज्ञात करें।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $6(x^2 - 3ax + 2a^2) = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर $6(x - a)(x - 2a) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए क्रांतिक बिंदु $x = a$ और $x = 2a$ हैं।
द्वितीय अवकलज $f''(x) = 12x - 18a$ ज्ञात करें।
$x = a$ पर,$f''(a) = 12a - 18a = -6a < 0$ ($a > 0$ होने के कारण),इसलिए $x = a$ एक स्थानीय उच्चतम बिंदु है। अतः,$p = a$।
$x = 2a$ पर,$f''(2a) = 12(2a) - 18a = 6a > 0$ ($a > 0$ होने के कारण),इसलिए $x = 2a$ एक स्थानीय निम्नतम बिंदु है। अतः,$q = 2a$।
शर्त $p^2 = q$ दी गई है,मान रखने पर: $a^2 = 2a$।
चूंकि $a > 0$,$a$ से विभाजित करने पर $a = 2$ प्राप्त होता है।

(B) माना $f(x) = 4+3x-7x^2$.
अवकलन करने पर,$f'(x) = 3-14x$. $f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = \frac{3}{14} = \alpha$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f''(x) = -14 < 0$,$f(x)$ अपना अधिकतम मान $x = \alpha = \frac{3}{14}$ पर प्राप्त करता है।
अधिकतम मान $M = f(\frac{3}{14}) = 4 + 3(\frac{3}{14}) - 7(\frac{3}{14})^2 = 4 + \frac{9}{14} - \frac{63}{196} = 4 + \frac{126-63}{196} = 4 + \frac{63}{196} = 4 + \frac{9}{28} = \frac{112+9}{28} = \frac{121}{28}$.
अब,माना $g(x) = 5x^2-2x+1$.
अवकलन करने पर,$g'(x) = 10x-2$. $g'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = \frac{1}{5} = \beta$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g''(x) = 10 > 0$,$g(x)$ अपना न्यूनतम मान $x = \beta = \frac{1}{5}$ पर प्राप्त करता है।
न्यूनतम मान $m = g(\frac{1}{5}) = 5(\frac{1}{5})^2 - 2(\frac{1}{5}) + 1 = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} + 1 = \frac{4}{5}$.
अंत में,$\frac{28(M-\alpha)}{5(m+\beta)} = \frac{28(\frac{121}{28} - \frac{3}{14})}{5(\frac{4}{5} + \frac{1}{5})} = \frac{28(\frac{121-6}{28})}{5(1)} = \frac{115}{5} = 23$.

(C) दिया गया है $x+y=24$,इसलिए $y=24-x$.
मान लीजिए $P = x^3 y^5 = x^3(24-x)^5$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $P$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dP}{dx} = 3x^2(24-x)^5 + x^3 \cdot 5(24-x)^4(-1) = 0$.
$x^2(24-x)^4 [3(24-x) - 5x] = 0$.
$x^2(24-x)^4 [72 - 3x - 5x] = 0$.
$x^2(24-x)^4 (72 - 8x) = 0$.
चूंकि $x$ और $y$ धनात्मक पूर्णांक हैं,इसलिए $x \neq 0$ और $x \neq 24$.
अतः,$72 - 8x = 0 \Rightarrow x = 9$.
तब $y = 24 - 9 = 15$.
अंत में,$x^2 + y^2 = 9^2 + 15^2 = 81 + 225 = 306$.

(C) माना $y = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$.
तब $y(x^2+x+1) = x^2-x+1$,जिसका अर्थ है $(y-1)x^2 + (y+1)x + (y-1) = 0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \ge 0$ होना चाहिए।
$D = (y+1)^2 - 4(y-1)^2 \ge 0$.
$(y+1-2(y-1))(y+1+2(y-1)) \ge 0$.
$(-y+3)(3y-1) \ge 0$.
$(y-3)(3y-1) \le 0$.
अतः,$\frac{1}{3} \le y \le 3$.
अधिकतम मान $3$ है और न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है।
अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग $3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ है।

(A) अंतराल $[-3,0]$ पर दिया गया फलन $f(x)=2x^3+9x^2+12x+1$ है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x)=6x^2+18x+12=6(x^2+3x+2)=6(x+1)(x+2)$.
$f'(x)=0$ रखने पर,हमें क्रांतिक बिंदु $x=-1$ और $x=-2$ प्राप्त होते हैं।
अब,क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल $[-3,0]$ के अंत बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(-3)=2(-27)+9(9)+12(-3)+1 = -54+81-36+1 = -8$.
$f(-2)=2(-8)+9(4)+12(-2)+1 = -16+36-24+1 = -3$.
$f(-1)=2(-1)+9(1)+12(-1)+1 = -2+9-12+1 = -4$.
$f(0)=2(0)+9(0)+12(0)+1 = 1$.
इन मानों की तुलना करने पर,निरपेक्ष न्यूनतम $m = -8$ और निरपेक्ष अधिकतम $M = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$m+M = -8+1 = -7$.

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{5} + \frac{5}{x}$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें $f'(x) = \frac{1}{5} - \frac{5}{x^2}$।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $\frac{1}{5} = \frac{5}{x^2} \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5$।
द्वितीय अवकलज ज्ञात करें $f''(x) = \frac{10}{x^3}$।
$x = 5$ के लिए,$f''(5) = \frac{10}{125} > 0$,इसलिए $x = 5$ एक स्थानीय न्यूनतम है।
$x = -5$ के लिए,$f''(-5) = \frac{10}{-125} < 0$,इसलिए $x = -5$ एक स्थानीय अधिकतम है।
अतः,$a = -5$।
अब,$\sqrt{a^2 + 2a - 6} = \sqrt{(-5)^2 + 2(-5) - 6} = \sqrt{25 - 10 - 6} = \sqrt{9} = 3$।

(D) दिया गया है $2x + 3y = 50$। हमें $P = x^2 y^3$ को अधिकतम करना है।
प्रतिबंध से,$y = \frac{50 - 2x}{3}$।
$P$ में $y$ का मान रखने पर,$P = x^2 \left(\frac{50 - 2x}{3}\right)^3 = \frac{1}{27} x^2 (50 - 2x)^3$।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $P$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dP}{dx} = \frac{1}{27} [x^2 \cdot 3(50 - 2x)^2(-2) + 2x(50 - 2x)^3] = 0$।
$\Rightarrow 2x(50 - 2x)^2 [-3x + 50 - 2x] = 0$।
$\Rightarrow 2x(50 - 2x)^2 (50 - 5x) = 0$।
चूंकि $x, y$ धनात्मक पूर्णांक हैं,$x \neq 0$ और $x \neq 25$। अतः,$50 - 5x = 0 \Rightarrow x = 10$।
$x = 10$ के लिए,$y = \frac{50 - 2(10)}{3} = \frac{30}{3} = 10$।
इस प्रकार,$\alpha = 10$ और $\beta = 10$।
अंत में,$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{5} = \frac{10}{2} + \frac{10}{5} = 5 + 2 = 7$।

(A) दिया गया फलन: $[0, 2]$ अंतराल पर $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 3$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$।
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$3x^2 - 3x - x + 1 = 0$
$3x(x - 1) - 1(x - 1) = 0$
$(3x - 1)(x - 1) = 0$
अतः,$x = \frac{1}{3}$ और $x = 1$ है।
दोनों क्रांतिक बिंदु $[0, 2]$ अंतराल के भीतर स्थित हैं।
अब,क्रांतिक बिंदुओं और अंत बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करें:
$f(0) = 0^3 - 2(0)^2 + 0 - 3 = -3$
$f\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} - 3 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} - 3 = \frac{1 - 6 + 9 - 81}{27} = \frac{-77}{27}$
$f(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 - 3 = 1 - 2 + 1 - 3 = -3$
$f(2) = 2^3 - 2(2)^2 + 2 - 3 = 8 - 8 + 2 - 3 = -1$
इन मानों की तुलना करने पर: $\{-3, \frac{-77}{27}, -3, -1\}$।
निरपेक्ष अधिकतम मान $M = -1$ है।
निरपेक्ष न्यूनतम मान $m = -3$ है।
अतः,$M + m = -1 + (-3) = -4$।

(B) दिया गया फलन: $f(x) = x e^{-x}$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1-x)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$e^{-x}(1-x) = 0$. चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $e^{-x} \neq 0$,इसलिए $1-x = 0$,जिसका अर्थ है $x = 1$.
अब,उच्चिष्ठ (maxima) की जाँच करने के लिए हम द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f''(x) = \frac{d}{dx}[e^{-x} - x e^{-x}] = -e^{-x} - (e^{-x} - x e^{-x}) = e^{-x}(x-2)$.
$x = 1$ पर,$f''(1) = e^{-1}(1-2) = -e^{-1} = -\frac{1}{e} < 0$.
चूँकि $f''(1) < 0$,फलन $x = 1$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ मान प्राप्त करता है।
अतः,$\alpha = 1$.
अधिकतम मान $\beta = f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$.
इसलिए,$(\alpha, \beta) = \left(1, \frac{1}{e}\right)$.

(B) मान लीजिए कि $R = 12$ त्रिज्या वाले गोले में अंतर्निहित बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
गोले की ज्यामिति से,हमारे पास संबंध $R^2 = r^2 + (h/2)^2$ है,जो $12^2 = r^2 + \frac{h^2}{4}$ देता है।
अतः,$r^2 = 144 - \frac{h^2}{4}$।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
$r^2$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \pi (144 - \frac{h^2}{4}) h = 144 \pi h - \frac{\pi}{4} h^3$ प्राप्त होता है।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dV}{dh} = 144 \pi - \frac{3 \pi}{4} h^2$।
$\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर,हमें $144 \pi = \frac{3 \pi}{4} h^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h^2 = 144 \times \frac{4}{3} = 192$।
इसलिए,$h = \sqrt{192} = 8 \sqrt{3}$।
अब,$r^2 = 144 - \frac{192}{4} = 144 - 48 = 96$।
अधिकतम आयतन $V = \pi r^2 h = \pi \times 96 \times 8 \sqrt{3} = 768 \sqrt{3} \pi$ घन इकाई है।

(C) यह दिया गया है कि $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ में सतत है और प्रत्येक $\delta > 0$ के लिए $f(c - \delta) < f(c)$ और $f(c + \delta) < f(c)$ है,इसलिए स्थानीय उच्चिष्ठ की परिभाषा के अनुसार $f(x)$ का $x = c$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ है।
अब,सभी $\alpha \in (a, b)$ जहाँ $\alpha \neq c$ है,के लिए शर्त $(f(\alpha - \delta) - f(\alpha))(f(\alpha + \delta) - f(\alpha)) < 0$ पर विचार करें।
यह असमिका दर्शाती है कि दो गुणनखंडों $(f(\alpha - \delta) - f(\alpha))$ और $(f(\alpha + \delta) - f(\alpha))$ के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
स्थिति $1$: $f(\alpha - \delta) - f(\alpha) > 0$ और $f(\alpha + \delta) - f(\alpha) < 0$। इसका अर्थ है $f(\alpha - \delta) > f(\alpha)$ और $f(\alpha + \delta) < f(\alpha)$। यह दर्शाता है कि फलन $\alpha$ के पड़ोस में घट रहा है,इसलिए $\alpha$ एक नति परिवर्तन बिंदु (inflection point) है (न तो स्थानीय उच्चिष्ठ और न ही स्थानीय निम्निष्ठ)।
स्थिति $2$: $f(\alpha - \delta) - f(\alpha) < 0$ और $f(\alpha + \delta) - f(\alpha) > 0$। इसका अर्थ है $f(\alpha - \delta) < f(\alpha)$ और $f(\alpha + \delta) > f(\alpha)$। यह दर्शाता है कि फलन $\alpha$ के पड़ोस में बढ़ रहा है,इसलिए $\alpha$ भी एक नति परिवर्तन बिंदु है।
अतः,$f(x)$ का $c$ पर केवल एक स्थानीय उच्चिष्ठ है और $\alpha$ पर कोई स्थानीय चरम मान नहीं है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = -(x-2)^3(x+2)^2$ है।
स्थानीय अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = -[3(x-2)^2(x+2)^2 + (x-2)^3 \cdot 2(x+2)]$
$f'(x) = -(x-2)^2(x+2) [3(x+2) + 2(x-2)]$
$f'(x) = -(x-2)^2(x+2) [3x + 6 + 2x - 4]$
$f'(x) = -(x-2)^2(x+2)(5x + 2)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें क्रांतिक बिंदु $x = 2, x = -2, x = -\frac{2}{5}$ प्राप्त होते हैं।
प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हुए:
$x < -2$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
$-2 < x < -\frac{2}{5}$ के लिए,$f'(x) > 0$ है।
$-\frac{2}{5} < x < 2$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
$x > 2$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
चूंकि $x = -\frac{2}{5}$ पर $f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए यह स्थानीय अधिकतम का बिंदु है।
स्थानीय अधिकतम मान $f(-\frac{2}{5}) = -(-\frac{2}{5}-2)^3(-\frac{2}{5}+2)^2$ है।
$f(-\frac{2}{5}) = -(-\frac{12}{5})^3(\frac{8}{5})^2 = -(-\frac{1728}{125}) \cdot \frac{64}{25} = \frac{1728 \cdot 64}{3125} = \frac{12^3 \cdot 8^2}{5^5}$.

(B) दिया गया है,$f(x)=\frac{6 x^2-18 x+21}{6 x^2-18 x+17}$।
हम फलन को $f(x)=1+\frac{4}{6 x^2-18 x+17}$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $g(x)=6 x^2-18 x+17$ है। $f(x)$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हमें $g(x)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना होगा।
$g'(x)=12 x-18$। $g'(x)=0$ रखने पर,हमें $x=\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
$g(x)$ का न्यूनतम मान $g(\frac{3}{2}) = 6(\frac{9}{4}) - 18(\frac{3}{2}) + 17 = \frac{27}{2} - 27 + 17 = \frac{7}{2}$ है।
अतः,$f(x)$ का अधिकतम मान $m = 1 + \frac{4}{7/2} = 1 + \frac{8}{7} = \frac{15}{7}$ है।
जैसे $x \to \pm \infty$,$f(x) \to 1$ होता है। चूँकि सभी $x$ के लिए $g(x) > 0$ है,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f(x) > 1$ है। अतः,$n = 1$ है।
अंत में,$14 m - 7 n = 14(\frac{15}{7}) - 7(1) = 30 - 7 = 23$।

(D) मान लीजिए शंकु की त्रिज्या $R = \sqrt{3}$ और अर्ध-शीर्ष कोण $\alpha = \frac{\pi}{3}$ है।
शंकु की ऊँचाई $H = R \cot(\alpha) = \sqrt{3} \cot(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$ है।
मान लीजिए अंतर्निहित बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म से,$\frac{R-r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.
अतः,$h = \frac{R-r}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-r}{\sqrt{3}} = 1 - \frac{r}{\sqrt{3}}$.
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h = \pi r^2 (1 - \frac{r}{\sqrt{3}}) = \pi (r^2 - \frac{r^3}{\sqrt{3}})$.
$V$ को अधिकतम करने के लिए,$\frac{dV}{dr} = \pi (2r - \frac{3r^2}{\sqrt{3}}) = \pi (2r - \sqrt{3}r^2) = 0$.
चूँकि $r \neq 0$,इसलिए $2 - \sqrt{3}r = 0$,जिससे $r = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
बेलन की ऊँचाई $h = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} (\frac{2}{\sqrt{3}}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होती है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 9$ अंतराल $[-3, 3]$ पर है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 6x^2 - 6x - 36$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$6(x^2 - x - 6) = 0 \Rightarrow 6(x - 3)(x + 2) = 0$.
क्रांतिक बिंदु $x = 3$ और $x = -2$ हैं।
दोनों बिंदु अंतराल $[-3, 3]$ के भीतर स्थित हैं।
अब,क्रांतिक बिंदुओं और अंत बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(-3) = 2(-3)^3 - 3(-3)^2 - 36(-3) + 9 = -54 - 27 + 108 + 9 = 36$.
$f(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 36(-2) + 9 = -16 - 12 + 72 + 9 = 53$.
$f(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 36(3) + 9 = 54 - 27 - 108 + 9 = -72$.
अतः,निरपेक्ष अधिकतम मान $53$ है।

(A) माना $f(x) = -x^2 + 6x + 12$.
चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x) = -2x + 6$ प्राप्त करते हैं।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $-2x + 6 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 3$.
अतः,$\alpha = 3$.
चरम मान $\beta$ है $f(\alpha) = f(3) = -(3)^2 + 6(3) + 12 = -9 + 18 + 12 = 21$.
चूंकि $\alpha = 3$,हम लिख सकते हैं $\beta = 21 = 7 \times 3 = 7 \alpha$.
इसलिए,$\beta = 7 \alpha$.

(C) दिया गया फलन $f(x)=2 x^3-9 x^2+12 x+1$ अंतराल $[0,2]$ पर है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करके उसे $0$ के बराबर रखकर क्रांतिक बिंदु प्राप्त करें:
$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12$
$f'(x) = 0$ रखने पर:
$6(x^2 - 3x + 2) = 0$
$6(x-1)(x-2) = 0$
अतः,क्रांतिक बिंदु $x=1$ और $x=2$ हैं।
अब,क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल $[0,2]$ के अंतिम बिंदुओं पर फलन $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$x=0$ पर: $f(0) = 2(0)^3 - 9(0)^2 + 12(0) + 1 = 1$
$x=1$ पर: $f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) + 1 = 2 - 9 + 12 + 1 = 6$
$x=2$ पर: $f(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) + 1 = 16 - 36 + 24 + 1 = 5$
मानों ${1, 6, 5}$ की तुलना करने पर,निरपेक्ष अधिकतम मान $6$ है।