Maxima and Minima Questions in Hindi

(C) दिया गया है $f(x) = 2\sqrt{2} \sin x - \tan x$,अंतराल $[0, \pi/3]$ पर।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 2\sqrt{2} \cos x - \sec^2 x$।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$2\sqrt{2} \cos x = \frac{1}{\cos^2 x} \implies \cos^3 x = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3$।
अतः,$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिससे $x = \pi/4$ प्राप्त होता है।
अब,क्रांतिक बिंदुओं और अंत बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(0) = 2\sqrt{2}(0) - 0 = 0$।
$f(\pi/4) = 2\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}) - 1 = 2 - 1 = 1$।
$f(\pi/3) = 2\sqrt{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \sqrt{3} = \sqrt{6} - \sqrt{3} \approx 0.72$।
मानों की तुलना करने पर: $m = 0$ और $M = 1$।
इसलिए,$m + M = 0 + 1 = 1$।

(B) टर्निंग पॉइंट्स ज्ञात करने के लिए,हमें वे बिंदु खोजने होंगे जहाँ अवकलज $f'(x) = 0$ हो।
दिया गया है $f(x) = 2 \cos x - \sin 2x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = -2 \sin x - 2 \cos 2x$।
$f'(x) = 0$ रखने पर:
$-2 \sin x - 2 \cos 2x = 0$
$\sin x + \cos 2x = 0$।
सर्वसमिका $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\sin x + 1 - 2 \sin^2 x = 0$
$2 \sin^2 x - \sin x - 1 = 0$।
माना $u = \sin x$,तो $2u^2 - u - 1 = 0$।
$(2u + 1)(u - 1) = 0$।
अतः,$\sin x = 1$ या $\sin x = -1/2$।
$[-\pi, \pi]$ में $\sin x = 1$ के लिए,$x = \pi/2$।
$[-\pi, \pi]$ में $\sin x = -1/2$ के लिए,$x = -\pi/6$ और $x = -5\pi/6$।
इस प्रकार,दिए गए अंतराल में कुल $3$ टर्निंग पॉइंट्स हैं।

(C) अंतराल $[-1, 4]$ पर $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x - 30$ के निरपेक्ष अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = 6x^2 - 30x + 36 = 6(x^2 - 5x + 6) = 6(x - 2)(x - 3)$.
क्रांतिक बिंदु $x = 2$ और $x = 3$ हैं,जो दोनों $[-1, 4]$ में स्थित हैं।
अब,हम क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल के अंतिम बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-1) = 2(-1)^3 - 15(-1)^2 + 36(-1) - 30 = -2 - 15 - 36 - 30 = -83$.
$f(2) = 2(8) - 15(4) + 36(2) - 30 = 16 - 60 + 72 - 30 = -2$.
$f(3) = 2(27) - 15(9) + 36(3) - 30 = 54 - 135 + 108 - 30 = -3$.
$f(4) = 2(64) - 15(16) + 36(4) - 30 = 128 - 240 + 144 - 30 = 2$.
निरपेक्ष अधिकतम मान $2$ है और निरपेक्ष न्यूनतम मान $-83$ है।
अंतर $2 - (-83) = 85$ है।

(A) माना $y = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$.
चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x-1)(x^2+x+1) - (2x+1)(x^2-x+1)}{(x^2+x+1)^2} = 0$.
अंश को सरल करने पर:
$(2x^3 + 2x^2 + 2x - x^2 - x - 1) - (2x^3 - 2x^2 + 2x + x^2 - x + 1) = 0$.
$(2x^3 + x^2 + x - 1) - (2x^3 - x^2 + x + 1) = 0$.
$2x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
$x = -1$ के लिए,$y = \frac{(-1)^2 - (-1) + 1}{(-1)^2 + (-1) + 1} = \frac{1+1+1}{1-1+1} = \frac{3}{1} = 3$.
$x = 1$ के लिए,$y = \frac{1^2 - 1 + 1}{1^2 + 1 + 1} = \frac{1}{3}$.
अतः,अधिकतम मान $\alpha = 3$ और न्यूनतम मान $\beta = \frac{1}{3}$ है।
इसलिए,$\alpha + \beta = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.

(B) माना आयताकार भाग की लंबाई $x$ है और अर्धवृत्ताकार सिरों की त्रिज्या $r$ है। ट्रैक का कुल परिमाप $P = 2x + 2\pi r = 500 \ ft$. द्वारा दिया गया है।
इससे,हमें $x + \pi r = 250$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 250 - \pi r$ है।
आयताकार भाग का क्षेत्रफल $A = x \times (2r) = (250 - \pi r)(2r) = 500r - 2\pi r^2$ है।
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,हम $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dA}{dr} = 500 - 4\pi r = 0 \Rightarrow r = \frac{125}{\pi}$।
अब,$r$ का मान $x$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = 250 - \pi \left(\frac{125}{\pi}\right) = 250 - 125 = 125 \ ft$।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल के लिए आयताकार भाग की लंबाई $125 \ ft$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = px^3 + qx^2 + rx + t$.
अवकलज $f'(x) = 3px^2 + 2qx + r$ ... $(i)$
चूंकि $f(x)$ का $x = -2$ और $x = 2$ पर स्थानीय चरम मान है,इसलिए $f'(x) = k(x+2)(x-2) = k(x^2 - 4)$ ... (ii)
$(i)$ और (ii) की तुलना करने पर,हमें $3p = k$,$2q = 0$,और $r = -4k$ प्राप्त होता है।
अतः,$q = 0$ और $r = -4(3p) = -12p$.
द्वितीय अवकलज $f''(x) = 6px + 2q = 6px$.
$x = -2$ पर स्थानीय न्यूनतम के लिए,$f''(-2) = -12p > 0$,जिसका अर्थ है $p < 0$.
दिया गया है कि $p$,$9x^2 - 1 = 0$ का मूल है,इसलिए $x = \pm \frac{1}{3}$.
चूंकि $p < 0$,इसलिए $p = -\frac{1}{3}$.
अब $r = -12(-\frac{1}{3}) = 4$.
अतः,$p + q + r = -\frac{1}{3} + 0 + 4 = \frac{11}{3}$.

(D) माना आयत की लंबाई $l$ और चौड़ाई $b$ है।
दिया गया है कि परिमाप $48 \text{ cm}$ है।
$2(l + b) = 48 \Rightarrow l + b = 24 \Rightarrow b = 24 - l$ ... $(i)$
जब आयत को भुजा $b$ के परितः घुमाया जाता है,तो बेलन की त्रिज्या $r = l$ और ऊँचाई $h = b$ होती है।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h = \pi l^2 b$ है।
$(i)$ से $b$ का मान रखने पर: $V = \pi l^2(24 - l) = 24\pi l^2 - \pi l^3$.
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,$l$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dl} = 48\pi l - 3\pi l^2$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{dV}{dl} = 0$ रखने पर:
$3\pi l(16 - l) = 0 \Rightarrow l = 0$ या $l = 16$.
चूँकि $l$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $l = 16$.
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^2V}{dl^2} = 48\pi - 6\pi l$.
$l = 16$ पर,$\frac{d^2V}{dl^2} = 48\pi - 96\pi = -48\pi < 0$.
चूँकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए $l = 16$ पर आयतन अधिकतम है।
अतः $b = 24 - 16 = 8$.
इस प्रकार,आयत की विमाएँ $8 \text{ cm}$ और $16 \text{ cm}$ हैं।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{4}{3}x^3 - 4x$ अंतराल $[0, 2]$ पर है।
सबसे पहले,अवकलज को शून्य के बराबर रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें:
$f'(x) = 4x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
चूंकि हम अंतराल $[0, 2]$ पर विचार कर रहे हैं,इसलिए हम केवल $x = 1$ को ही क्रांतिक बिंदु के रूप में लेंगे।
अब,क्रांतिक बिंदु और अंतराल के अंतिम बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करें:
$f(0) = \frac{4}{3}(0)^3 - 4(0) = 0$.
$f(1) = \frac{4}{3}(1)^3 - 4(1) = \frac{4}{3} - 4 = -\frac{8}{3}$.
$f(2) = \frac{4}{3}(2)^3 - 4(2) = \frac{32}{3} - 8 = \frac{32 - 24}{3} = \frac{8}{3}$.
इन मानों की तुलना करने पर,वैश्विक न्यूनतम मान $-\frac{8}{3}$ है और वैश्विक अधिकतम मान $\frac{8}{3}$ है।
वैश्विक न्यूनतम और वैश्विक अधिकतम मानों का योग $\frac{8}{3} + (-\frac{8}{3}) = 0$ है।

(C) दिया गया है कि $A(1,15), B(3,-12), C(6,12)$ एक सतत वक्र $y=f(x)$ के तीन क्रमिक टर्निंग पॉइंट्स हैं और वक्र $x$-अक्ष को $x=\alpha$ और $x=\beta$ पर काटता है।
दिए गए ग्राफ से यह स्पष्ट है कि:
$1 < \alpha < 3$ और $3 < \beta < 6$.
हम $|\beta-\alpha|$ के लिए सीमा ज्ञात करना चाहते हैं।
चूंकि $1 < \alpha < 3$,इसलिए हमारे पास $-3 < -\alpha < -1$ है।
साथ ही,$3 < \beta < 6$.
इन असमानताओं को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3 - 3 < \beta - \alpha < 6 - 1$
$0 < \beta - \alpha < 5$.
अतः,$|\beta-\alpha| < 5$.

(B) दिया गया है $f(x) = x^2 + \frac{54}{x}$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 2x - \frac{54}{x^2}$.
$x \in (-\infty, 0)$ के लिए,$x^2 > 0$ और $x < 0$ है,इसलिए $2x < 0$ और $-\frac{54}{x^2} < 0$ होगा। अतः,$f'(x) < 0$,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ में ह्रासमान है।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखें: $2x - \frac{54}{x^2} = 0 \Rightarrow 2x^3 = 54 \Rightarrow x^3 = 27 \Rightarrow x = 3$.
चूंकि एकमात्र क्रांतिक बिंदु $x = 3$ अंतराल $(0, \infty)$ में स्थित है,इसलिए $(-\infty, 0)$ में कोई क्रांतिक बिंदु नहीं है।
अतः,$f(x)$ का $(-\infty, 0)$ में न तो कोई अधिकतम और न ही कोई न्यूनतम मान है।

(B) दो धनात्मक पदों $a^2 x^4$ और $b^2 y^4$ के लिए $AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{a^2 x^4 + b^2 y^4}{2} \ge \sqrt{(a^2 x^4)(b^2 y^4)}$
दिया गया है कि $a^2 x^4 + b^2 y^4 = c^6$,अतः:
$\frac{c^6}{2} \ge \sqrt{a^2 b^2 x^4 y^4}$
$\frac{c^6}{2} \ge ab x^2 y^2$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{c^{12}}{4} \ge a^2 b^2 x^4 y^4$
$x^4 y^4 \le \frac{c^{12}}{4 a^2 b^2}$
अतः,अधिकतम मान $\frac{c^{12}}{4 a^2 b^2}$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = 3x + \frac{12}{x}$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 3 - \frac{12}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$3 - \frac{12}{x^2} = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = 2, -2$.
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x) = \frac{24}{x^3}$.
$x = 2$ पर,$f''(2) = \frac{24}{8} = 3 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
$x = -2$ पर,$f''(-2) = \frac{24}{-8} = -3 < 0$ (स्थानीय अधिकतम)।
स्थानीय अधिकतम मान $M = f(-2) = 3(-2) + \frac{12}{-2} = -6 - 6 = -12$.
हमें $\lim_{x \rightarrow M} f(x) = \lim_{x \rightarrow -12} (3x + \frac{12}{x})$ का मान ज्ञात करना है।
$x = -12$ प्रतिस्थापित करने पर: $3(-12) + \frac{12}{-12} = -36 - 1 = -37$.

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{4}{\sin x} + \frac{1}{1-\sin x}$.
चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = -\frac{4 \cos x}{\sin^2 x} + \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2}$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$-\frac{4 \cos x}{\sin^2 x} + \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} = 0$.
चूंकि $x \in (0, \pi/2)$,$\cos x \neq 0$,इसलिए हम $\cos x$ से विभाजित कर सकते हैं:
$-\frac{4}{\sin^2 x} + \frac{1}{(1-\sin x)^2} = 0$.
$\frac{1}{(1-\sin x)^2} = \frac{4}{\sin^2 x}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{1-\sin x} = \frac{2}{\sin x}$ (क्योंकि दिए गए अंतराल में $\sin x > 0$ और $1-\sin x > 0$ है)।
$\sin x = 2 - 2 \sin x$.
$3 \sin x = 2 \Rightarrow \sin x = \frac{2}{3}$.
अब,$f(x)$ में $\sin x = \frac{2}{3}$ रखने पर:
$f(x) = \frac{4}{2/3} + \frac{1}{1-2/3} = 4 \times \frac{3}{2} + \frac{1}{1/3} = 6 + 3 = 9$.

(A) माना शंकु की ऊँचाई $h$ है और उसके आधार की त्रिज्या $r$ है। गोले की त्रिज्या $R$ है। गोले में अंतर्निहित शंकु की ज्यामिति से,हमें संबंध प्राप्त होता है $r^2 = R^2 - (h - R)^2 = 2hR - h^2$.
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2hR - h^2) h = \frac{1}{3} \pi (2Rh^2 - h^3)$ है।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dV}{dh} = \frac{1}{3} \pi (4Rh - 3h^2) = 0$.
चूँकि $h \neq 0$,हमें $4R - 3h = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $h = \frac{4R}{3}$ मिलता है।
अतः,$k = \frac{4}{3}$.
$h = \frac{4R}{3}$ पर शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi (2R(\frac{4R}{3})^2 - (\frac{4R}{3})^3) = \frac{1}{3} \pi (\frac{32R^3}{9} - \frac{64R^3}{27}) = \frac{1}{3} \pi (\frac{96R^3 - 64R^3}{27}) = \frac{32}{81} \pi R^3$ है।
गोले का आयतन $V_{sphere} = \frac{4}{3} \pi R^3$ है।
शंकु के आयतन और गोले के आयतन का अनुपात $\frac{\frac{32}{81} \pi R^3}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{32}{81} \times \frac{3}{4} = \frac{8}{27}$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{4 + x + x^2}$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{(4 + x + x^2)(1) - x(1 + 2x)}{(4 + x + x^2)^2}$
$f'(x) = \frac{4 + x + x^2 - x - 2x^2}{(4 + x + x^2)^2} = \frac{4 - x^2}{(4 + x + x^2)^2}$.
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के लिए,$f'(x) = 0$ रखें,जिसका अर्थ है $4 - x^2 = 0$,इसलिए $x = \pm 2$.
चूंकि $x = \pm 2$ अंतराल $[-1, 1]$ में नहीं हैं,इसलिए दिए गए अंतराल में फलन का कोई क्रांतिक बिंदु नहीं है।
चूंकि सभी $x \in [-1, 1]$ के लिए $4 - x^2 > 0$ है,इसलिए $f'(x) > 0$,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर निरंतर वर्धमान (strictly increasing) है।
अतः,अधिकतम मान अंतिम बिंदु $x = 1$ पर प्राप्त होता है:
$f(1) = \frac{1}{4 + 1 + 1^2} = \frac{1}{6}$.

(D) दिया गया फलन: $f(x) = x + \frac{4}{x + 2}$,जहाँ $x > -2$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं:
$f'(x) = 1 - \frac{4}{(x + 2)^2}$
$f'(x) = 0$ रखने पर:
$1 = \frac{4}{(x + 2)^2} \implies (x + 2)^2 = 4$
चूंकि $x > -2$,इसलिए $x + 2 = 2$,जिससे हमें $x = 0$ प्राप्त होता है।
अब,हम द्वितीय अवकलज $f''(x) = \frac{8}{(x + 2)^3}$ की जाँच करते हैं।
$x = 0$ पर,$f''(0) = \frac{8}{2^3} = 1 > 0$.
चूंकि $f''(0) > 0$ है,इसलिए फलन का $x = 0$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
न्यूनतम मान $f(0) = 0 + \frac{4}{0 + 2} = \frac{4}{2} = 2$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है।
चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.
किसी फलन का कोई चरम मान नहीं होता है यदि उसका अवकलज $f'(x)$ अपना चिह्न नहीं बदलता है,जिसका अर्थ है कि $f'(x) = 0$ के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं या समान मूल हैं जिससे चिह्न नहीं बदलता है।
द्विघात समीकरण $3ax^2 + 2bx + c = 0$ के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए,इसका विविक्तकर (discriminant) $D < 0$ होना चाहिए।
$D = (2b)^2 - 4(3a)(c) < 0$.
$4b^2 - 12ac < 0$.
$4$ से भाग देने पर,हमें $b^2 - 3ac < 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b^2 < 3ac$।

(A) माना कि बंद बेलन की ऊँचाई $h$ है और आधार की त्रिज्या $r$ है।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ है,जिसका अर्थ है $h = \frac{V}{\pi r^2}$।
बंद बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र में $h$ का मान रखने पर: $S = 2 \pi r (\frac{V}{\pi r^2}) + 2 \pi r^2 = \frac{2V}{r} + 2 \pi r^2$।
न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $S$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dS}{dr} = -\frac{2V}{r^2} + 4 \pi r = 0$।
इससे हमें $4 \pi r = \frac{2V}{r^2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $V = 2 \pi r^3$।
इस समीकरण में $V = \pi r^2 h$ रखने पर: $\pi r^2 h = 2 \pi r^3$।
दोनों पक्षों को $\pi r^2$ से विभाजित करने पर,हमें $h = 2r$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि अनुपात $h : r = 2 : 1$ है।

(A) कणों के निर्देशांक $P(t, t^3 - 16t - 3)$ और $Q(t + 1, t^3 - 6t - 6)$ हैं।
दो कणों के बीच की दूरी $PQ$ दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है:
$PQ = \sqrt{((t + 1) - t)^2 + ((t^3 - 6t - 6) - (t^3 - 16t - 3))^2}$
$PQ = \sqrt{(1)^2 + (t^3 - 6t - 6 - t^3 + 16t + 3)^2}$
$PQ = \sqrt{1 + (10t - 3)^2}$
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम दूरी के वर्ग $y = PQ^2 = 1 + (10t - 3)^2$ को न्यूनतम करते हैं।
न्यूनतम मान के लिए,हम $t$ के सापेक्ष अवकलन को शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dy}{dt} = 2(10t - 3) \times 10 = 20(10t - 3) = 0$
इससे $10t - 3 = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $t = \frac{3}{10}$।
$t = \frac{3}{10}$ को $PQ$ के व्यंजक में रखने पर:
$PQ_{min} = \sqrt{1 + (10(\frac{3}{10}) - 3)^2} = \sqrt{1 + (3 - 3)^2} = \sqrt{1 + 0} = 1$।
अतः,न्यूनतम दूरी $1$ है।

(A) दिया गया फलन $y = \frac{b^2}{a-x} + \frac{a^2}{x}$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{b^2}{(a-x)^2} - \frac{a^2}{x^2}$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $\frac{b^2}{(a-x)^2} = \frac{a^2}{x^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{b}{a-x} = \pm \frac{a}{x}$.
चूंकि $0 < x < a$ और $a, b > 0$ है,हम धनात्मक मूल लेते हैं: $\frac{b}{a-x} = \frac{a}{x} \Rightarrow bx = a^2 - ax \Rightarrow x(a+b) = a^2 \Rightarrow x = \frac{a^2}{a+b}$.
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2b^2}{(a-x)^3} + \frac{2a^2}{x^3}$.
चूंकि $x = \frac{a^2}{a+b}$ अंतराल $(0, a)$ में स्थित है,दोनों पद धनात्मक हैं,इसलिए $\frac{d^2y}{dx^2} > 0$,जो न्यूनतम मान की पुष्टि करता है।
$x = \frac{a^2}{a+b}$ को $y$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y_{\min} = \frac{b^2}{a - \frac{a^2}{a+b}} + \frac{a^2}{\frac{a^2}{a+b}} = \frac{b^2}{\frac{a^2+ab-a^2}{a+b}} + (a+b) = \frac{b^2(a+b)}{ab} + (a+b) = \frac{b(a+b)}{a} + (a+b) = (a+b)(\frac{b}{a} + 1) = (a+b)(\frac{a+b}{a}) = \frac{(a+b)^2}{a}$.

(A) माना समकोण त्रिभुज $ABC$ है जिसका कर्ण $AC = h$ है। माना $\angle A = \theta$ है।
तब भुजाएँ $AB = h \cos \theta$ और $BC = h \sin \theta$ होंगी।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} (h \cos \theta)(h \sin \theta)$ है।
$A = \frac{h^2}{2} \sin \theta \cos \theta = \frac{h^2}{4} (2 \sin \theta \cos \theta) = \frac{h^2}{4} \sin 2\theta$।
क्षेत्रफल को अधिकतम होने के लिए,$\sin 2\theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए,जो $2\theta = 90^{\circ}$ या $\theta = 45^{\circ}$ पर $1$ होता है।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $\frac{h^2}{4} \times 1 = \frac{h^2}{4}$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x)=a \sin x+\frac{1}{3} \sin 3 x$ है।
चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(a \sin x + \frac{1}{3} \sin 3x) = a \cos x + \frac{1}{3} \cdot 3 \cos 3x = a \cos x + \cos 3x$.
चूंकि फलन का $x = \frac{\pi}{3}$ पर चरम मान है,इसलिए $f'(\frac{\pi}{3}) = 0$ होना चाहिए।
अवकलज में $x = \frac{\pi}{3}$ रखने पर:
$a \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(3 \cdot \frac{\pi}{3}) = 0$.
$a(\frac{1}{2}) + \cos(\pi) = 0$.
चूंकि $\cos(\pi) = -1$,इसलिए:
$\frac{a}{2} - 1 = 0$.
$\frac{a}{2} = 1 \implies a = 2$.

(D) मान लीजिए कि त्रिभुज की दो दी गई भुजाएँ $a$ और $b$ हैं,और उनके बीच का कोण $\theta$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A$ सूत्र $A = \frac{1}{2} ab \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि भुजाएँ $a$ और $b$ निश्चित हैं,इसलिए क्षेत्रफल $A$ केवल $\sin \theta$ पर निर्भर करता है।
क्षेत्रफल को अधिकतम होने के लिए,$\sin \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = 90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2} \text{ रेडियन}$ पर प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल के लिए दी गई भुजाओं के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(B) कण का वेग $V$,समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है:
$V = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(6t - \frac{t^3}{2}) = 6 - \frac{3}{2}t^2$
अधिकतम वेग ज्ञात करने के लिए,हम समय के सापेक्ष वेग का अवकलन करते हैं:
$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(6 - \frac{3}{2}t^2) = -3t$
$\frac{dV}{dt} = 0$ रखने पर,हमें $t = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{d^2V}{dt^2} = -3 < 0$ है,इसलिए $t = 0$ पर वेग अधिकतम है।
वेग समीकरण में $t = 0$ रखने पर:
$V_{max} = 6 - \frac{3}{2}(0)^2 = 6$.

(B) दिया गया है कि $f(x)=x^2+\frac{1}{x^2}$ और $g(x)=x-\frac{1}{x}$ है।
हम $f(x)$ को $g(x)$ के पदों में $f(x)=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $t=x-\frac{1}{x}$ है। तब $f(x)=t^2+2$ और $g(x)=t$ होगा।
हम $h(t)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{t^2+2}{t}=t+\frac{2}{t}$ परिभाषित करते हैं।
स्थानीय न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं $h'(t)=1-\frac{2}{t^2}$।
$h'(t)=0$ रखने पर,हमें $1-\frac{2}{t^2}=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t^2=2$,इसलिए $t=\pm \sqrt{2}$।
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हुए,$h''(t)=\frac{4}{t^3}$ है।
$t=\sqrt{2}$ के लिए,$h''(\sqrt{2})=\frac{4}{(\sqrt{2})^3} > 0$,इसलिए $t=\sqrt{2}$ स्थानीय न्यूनतम का बिंदु है।
स्थानीय न्यूनतम मान $h(\sqrt{2})=\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ है।

(D) मान लीजिए $r$ त्रिज्या है और $\theta$ रेडियन में सेक्टर का कोण है। सेक्टर का परिमाप $P = 2r + r\theta = r(2 + \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि परिमाप स्थिर है,मान लीजिए $P = k$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
अतः,$r(2 + \theta) = k$,जिसका अर्थ है $r = \frac{k}{2 + \theta}$।
सेक्टर का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $A = \frac{1}{2} \left(\frac{k}{2 + \theta}\right)^2 \theta = \frac{k^2}{2} \cdot \frac{\theta}{(2 + \theta)^2}$।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $\theta$ के सापेक्ष $A$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{d\theta} = \frac{k^2}{2} \left[ \frac{(2 + \theta)^2(1) - \theta(2)(2 + \theta)}{(2 + \theta)^4} \right] = \frac{k^2}{2} \cdot \frac{(2 + \theta) - 2\theta}{(2 + \theta)^3} = \frac{k^2}{2} \cdot \frac{2 - \theta}{(2 + \theta)^3}$।
$\frac{dA}{d\theta} = 0$ रखने पर,हमें $2 - \theta = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\theta = 2$।
$\theta = 2$ के लिए,द्वितीय अवकलज $\frac{d^2A}{d\theta^2}$ ऋणात्मक है,जो पुष्टि करता है कि $\theta = 2^c$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।

(B) दिया गया फलन $f(x)=2 x^3-9 a x^2+12 a^2 x+1$ है जहाँ $a>0$ है।
सबसे पहले,अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime}(x)=6 x^2-18 a x+12 a^2$
$f^{\prime}(x)=6(x^2-3 a x+2 a^2)=6(x-a)(x-2 a)$
स्थानीय उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ के लिए,$f^{\prime}(x)=0$ रखें:
$6(x-a)(x-2 a)=0 \Rightarrow x=a, 2 a$
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हुए,$f^{\prime\prime}(x)=12 x-18 a$:
$x=a$ पर,$f^{\prime\prime}(a)=12 a-18 a=-6 a < 0$ (चूंकि $a>0$),इसलिए $x=a$ स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है।
$x=2 a$ पर,$f^{\prime\prime}(2 a)=24 a-18 a=6 a > 0$ (चूंकि $a>0$),इसलिए $x=2 a$ स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु है।
अतः,$p=a$ और $q=2 a$ है।
शर्त $p^2=q$ के अनुसार:
$a^2=2 a$
$a^2-2 a=0$
$a(a-2)=0$
चूंकि $a>0$,हमें $a=2$ प्राप्त होता है।

(A) माना वक्र पर स्थित बिंदु $P(x, y) = (x, x^2-4)$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से दूरी का वर्ग $D^2 = S = x^2 + y^2 = x^2 + (x^2-4)^2$ है।
$S = x^2 + x^4 - 8x^2 + 16 = x^4 - 7x^2 + 16$।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$S$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें और इसे शून्य के बराबर रखें:
$\frac{dS}{dx} = 4x^3 - 14x = 0$।
$2x(2x^2 - 7) = 0$।
इससे $x = 0$ या $x^2 = \frac{7}{2}$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 0$,तो $S = 16$। यदि $x^2 = \frac{7}{2}$,तो $S = (\frac{7}{2})^2 - 7(\frac{7}{2}) + 16 = \frac{49}{4} - \frac{49}{2} + 16 = 16 - \frac{49}{4} = \frac{64-49}{4} = \frac{15}{4}$।
न्यूनतम दूरी $\sqrt{S} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ है।

(A) मान लीजिए आधार की त्रिज्या $R$ है और ऊँचाई $H$ है। एक खुले बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2\pi RH + \pi R^2$ होता है।
इससे,हम $H$ को $H = \frac{A - \pi R^2}{2\pi R}$ के रूप में लिख सकते हैं।
आयतन $V = \pi R^2 H = \pi R^2 \left( \frac{A - \pi R^2}{2\pi R} \right) = \frac{R}{2}(A - \pi R^2) = \frac{AR}{2} - \frac{\pi R^3}{2}$ है।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $R$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dV}{dR} = \frac{A}{2} - \frac{3\pi R^2}{2}$।
$\frac{dV}{dR} = 0$ रखने पर,हमें $A = 3\pi R^2$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर,$\frac{d^2V}{dR^2} = -3\pi R$,जो $R > 0$ के लिए ऋणात्मक है,जो अधिकतम मान की पुष्टि करता है।
$A = 3\pi R^2$ को पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर: $3\pi R^2 = 2\pi RH + \pi R^2$।
इसे सरल करने पर $2\pi R^2 = 2\pi RH$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $R = H$।
अतः,त्रिज्या बेलन की ऊँचाई के बराबर है।

(C) दिया गया है कि $x+y=k$,जहाँ $x>0$ और $y>0$ है।
हम $y=k-x$ लिख सकते हैं।
माना $f(x) = x^2+y^2 = x^2+(k-x)^2$ है।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $f(x) = x^2+k^2-2kx+x^2 = 2x^2-2kx+k^2$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$f'(x) = 4x-2k = 0 \Rightarrow x = \frac{k}{2}$।
अब,द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं:
$f''(x) = 4 > 0$।
चूँकि द्वितीय अवकलज धनात्मक है,फलन का मान $x = \frac{k}{2}$ पर न्यूनतम है।
$x = \frac{k}{2}$ को $y = k-x$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = k - \frac{k}{2} = \frac{k}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x=y=\frac{k}{2}$ पर $x^2+y^2$ का मान न्यूनतम होता है।

(B) मान लीजिए कि आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $x$ और $y$ है। आयत $R = 10 \text{ cm}$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंकित है।
आयत का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है,इसलिए $x^2 + y^2 = (2R)^2 = (20)^2 = 400$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A = xy$ है। क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,हम $A^2 = x^2y^2$ को अधिकतम करते हैं।
मान लीजिए $u = x^2$ और $v = y^2$,तो $u + v = 400$ है। हम $uv$ को अधिकतम करना चाहते हैं।
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{u+v}{2} \geq \sqrt{uv}$,इसलिए $\sqrt{uv} \leq \frac{400}{2} = 200$ है।
अतः,$uv \leq (200)^2 = 40000$ है।
वैकल्पिक रूप से,वृत्त में अंकित आयत का क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब वह एक वर्ग हो।
यदि यह $a$ भुजा वाला एक वर्ग है,तो $a^2 + a^2 = (20)^2 \Rightarrow 2a^2 = 400 \Rightarrow a^2 = 200$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $a^2 = 200 \text{ cm}^2$ है।

(C) दिया गया है $f(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}$.
सबसे पहले,प्रथम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = -\sin x + x - x^2$.
इसके बाद,द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें:
$f''(x) = -\cos x + 1 - 2x$.
$x=0$ पर मान ज्ञात करें:
$f'(0) = -\sin(0) + 0 - 0^2 = 0$.
$f''(0) = -\cos(0) + 1 - 2(0) = -1 + 1 = 0$.
चूंकि $f'(0)=0$ और $f''(0)=0$ है,हम तृतीय अवकलज $f'''(x)$ की जाँच करते हैं:
$f'''(x) = \sin x - 2$.
$x=0$ पर मान ज्ञात करें:
$f'''(0) = \sin(0) - 2 = -2$.
चूंकि $x=0$ पर पहला गैर-शून्य अवकलज विषम क्रम (तृतीय अवकलज) का है,इसलिए $x=0$ एक नति परिवर्तन बिंदु (point of inflection) है और चरम बिंदु नहीं है।
अतः,$x=0$ पर $f(x)$ का कोई चरम मान नहीं है।

(B) दिया गया है,$a > 0$.
$f(x) = 2 x^3 - 9 a x^2 + 12 a^2 x + 1$.
अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 6 x^2 - 18 a x + 12 a^2$.
अवकलज का गुणनखंड करें: $f'(x) = 6 (x^2 - 3 a x + 2 a^2) = 6 (x - 2 a) (x - a)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर क्रांतिक बिंदु $x = a$ और $x = 2 a$ प्राप्त होते हैं।
द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x) = 6 (2 x - 3 a) = 12 x - 18 a$.
स्थानीय उच्चतम और निम्नतम के लिए जाँच करें:
$x = a$ पर,$f''(a) = 6 (2 a - 3 a) = -6 a < 0$ (चूँकि $a > 0$),इसलिए $\alpha = a$ स्थानीय उच्चतम बिंदु है।
$x = 2 a$ पर,$f''(2 a) = 6 (4 a - 3 a) = 6 a > 0$ (चूँकि $a > 0$),इसलिए $\beta = 2 a$ स्थानीय निम्नतम बिंदु है।
शर्त $2 \alpha + \beta = 8$ दी गई है,$\alpha = a$ और $\beta = 2 a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2(a) + 2 a = 8$.
$4 a = 8$.
$a = 2$.

(B) दिया गया है: $xy = 6$
$\implies y = \frac{6}{x}$
मान लीजिए $f(x) = 2x + 3y = 2x + 3 \left( \frac{6}{x} \right) = 2x + \frac{18}{x}$
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$f'(x) = 2 - \frac{18}{x^2}$
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$2 - \frac{18}{x^2} = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3$ (मान लीजिए $x > 0$)
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें:
$f''(x) = \frac{36}{x^3}$
$x = 3$ पर,$f''(3) = \frac{36}{27} > 0$,जो स्थानीय न्यूनतम मान की पुष्टि करता है।
न्यूनतम मान $f(3) = 2(3) + \frac{18}{3} = 6 + 6 = 12$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$.
$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2$ प्राप्त होता है।
उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान के लिए,$f'(x) = 0$ रखने पर:
$6(x^2 - 3ax + 2a^2) = 0$
$6(x - a)(x - 2a) = 0$
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = a$ और $x = 2a$ हैं।
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x) = 12x - 18a$ ज्ञात करते हैं।
$x = a$ पर,$f''(a) = 12a - 18a = -6a$। चूँकि $a > 0$,इसलिए $f''(a) < 0$,अतः $f(x)$ का उच्चिष्ठ मान $p = a$ पर है।
$x = 2a$ पर,$f''(2a) = 12(2a) - 18a = 6a$। चूँकि $a > 0$,इसलिए $f''(2a) > 0$,अतः $f(x)$ का निम्निष्ठ मान $q = 2a$ पर है।
शर्त $p^2 = q$ के अनुसार:
$a^2 = 2a$
$a^2 - 2a = 0$
$a(a - 2) = 0$
चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 2$ प्राप्त होता है।

(B) माना $f(x) = x^4-x^2-2x+5$.
अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = 4x^3-2x-2$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $4x^3-2x-2 = 0 \Rightarrow 2x^3-x-1 = 0$.
त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2x^3-2x^2+2x^2-2x+x-1 = 0 \Rightarrow 2x^2(x-1) + 2x(x-1) + 1(x-1) = 0 \Rightarrow (x-1)(2x^2+2x+1) = 0$.
वास्तविक मूल $x = 1$ है। द्विघात गुणनखंड $2x^2+2x+1$ का विविक्तकर ऋणात्मक $(D = 4-8 = -4)$ है,इसलिए इसका कोई वास्तविक मूल नहीं है।
द्वितीय अवकलज की जाँच करें: $f''(x) = 12x^2-2$.
$x = 1$ पर,$f''(1) = 12(1)^2-2 = 10 > 0$.
चूँकि $f''(1) > 0$,फलन का $x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
जैसे $x \to \pm \infty$,$f(x) \to \infty$,इसलिए यह स्थानीय न्यूनतम मान ही निरपेक्ष न्यूनतम मान है।
मान की गणना: $f(1) = (1)^4-(1)^2-2(1)+5 = 1-1-2+5 = 3$.
अतः,निरपेक्ष न्यूनतम मान $3$ है।

(B) दिया गया है कि वृत्तीय त्रिज्यखंड का परिमाप $P = 60 \ m$ है।
माना त्रिज्या $r \ m$ है और चाप की लंबाई $l \ m$ है।
वृत्तीय त्रिज्यखंड का परिमाप $P = l + 2r$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए परिमाप को प्रतिस्थापित करने पर,$60 = l + 2r$,जिसका अर्थ है $l = 60 - 2r$.
वृत्तीय त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2}lr$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल के सूत्र में $l = 60 - 2r$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = \frac{1}{2}(60 - 2r)r = 30r - r^2$.
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(30r - r^2) = 30 - 2r$.
$\frac{dA}{dr} = 0$ रखने पर,$30 - 2r = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $2r = 30$,जिसका अर्थ है $r = 15 \ m$.
यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $\frac{d^2A}{dr^2} = -2$,जो $0$ से कम है,अतः $r = 15 \ m$ अधिकतम क्षेत्रफल प्रदान करता है।

(D) दिया गया है $y = x(\log x)^2$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = x \cdot (2 \log x \cdot \frac{1}{x}) + (\log x)^2 \cdot 1 = 2 \log x + (\log x)^2$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर:
$\log x (2 + \log x) = 0$.
इससे $\log x = 0$ या $\log x = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = e^0 = 1$ या $x = e^{-2}$.
अब,द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हुए:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2}{x} + 2 \log x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 + 2 \log x}{x}$.
$x = 1$ पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2 + 0}{1} = 2 > 0$,इसलिए $x = 1$ स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
$x = e^{-2}$ पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2 + 2(-2)}{e^{-2}} = \frac{-2}{e^{-2}} < 0$,इसलिए $x = e^{-2}$ स्थानीय अधिकतम बिंदु है।
अधिकतम मान $y(e^{-2}) = e^{-2}(\log e^{-2})^2 = e^{-2}(-2)^2 = 4e^{-2}$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 - 12x - 3$ है।
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर: $f'(x) = 3x^2 - 12x - 12$.
द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर: $f''(x) = 6x - 12$.
$x = 2$ पर द्वितीय अवकलज का मान: $f''(2) = 6(2) - 12 = 12 - 12 = 0$.
चूंकि $x=2$ पर $f''(x)$ अपना चिह्न बदलता है (जब $x < 2$ तब $f''(x) < 0$ और जब $x > 2$ तब $f''(x) > 0$),इसलिए $x=2$ एक नति परिवर्तन बिंदु (point of inflection) है।

(B) माना $f(x) = x^{40} - x^{20}$ अंतराल $[0, 1]$ पर है।
निरपेक्ष अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = 40x^{39} - 20x^{19} = 20x^{19}(2x^{20} - 1)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$ या $2x^{20} = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^{20} = \frac{1}{2}$,इसलिए $x = (\frac{1}{2})^{1/20}$.
अब,क्रांतिक बिंदु और अंत बिंदुओं $x=0$ और $x=1$ पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(0) = 0^{40} - 0^{20} = 0$.
$f(1) = 1^{40} - 1^{20} = 1 - 1 = 0$.
$f((\frac{1}{2})^{1/20}) = ((\frac{1}{2})^{1/20})^{40} - ((\frac{1}{2})^{1/20})^{20} = (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.
मानों $f(0)=0$,$f(1)=0$,और $f((\frac{1}{2})^{1/20}) = -\frac{1}{4}$ की तुलना करने पर,निरपेक्ष अधिकतम मान $0$ है।

(B) मान लीजिए कि आयत की भुजाएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि परिधि $20$ इकाई है।
$2(x + y) = 20 \Rightarrow x + y = 10 \Rightarrow y = 10 - x$.
आयत का क्षेत्रफल $A = xy$ द्वारा दिया जाता है।
$y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A = x(10 - x) = 10x - x^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dx} = 10 - 2x$.
$\frac{dA}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $10 - 2x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 5$.
अब,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $\frac{d^2A}{dx^2} = -2$.
चूँकि $\frac{d^2A}{dx^2} < 0$ है,इसलिए $x = 5$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।
जब $x = 5$ है,तो $y = 10 - 5 = 5$.
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $A = 5 \times 5 = 25$ वर्ग इकाई है।

(A) दिया गया है $f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 10$.
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2$.
स्थानीय उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$5x^2(x^2 - 4x + 3) = 0
\Rightarrow 5x^2(x - 1)(x - 3) = 0$.
क्रांतिक बिंदु $x = 0, 1, 3$ हैं।
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें:
$f''(x) = 20x^3 - 60x^2 + 30x$.
क्रांतिक बिंदुओं की प्रकृति की जाँच करें:
$x = 1$ के लिए: $f''(1) = 20(1)^3 - 60(1)^2 + 30(1) = 20 - 60 + 30 = -10 < 0$. अतः,$x = 1$ स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है। इसलिए,$a = 1$.
$x = 3$ के लिए: $f''(3) = 20(27) - 60(9) + 30(3) = 540 - 540 + 90 = 90 > 0$. अतः,$x = 3$ स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु है। इसलिए,$b = 3$.
$x = 0$ के लिए: $f''(0) = 0$,जो नति परिवर्तन बिंदु है।
अंत में,$2a + b$ की गणना करें:
$2a + b = 2(1) + 3 = 5$.

(C) दिया गया फलन: $f(x) = a \sin(x) + \frac{1}{3} \sin(3x)$.
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = a \cos(x) + \frac{1}{3} \cos(3x) \cdot 3 = a \cos(x) + \cos(3x)$.
चूंकि फलन $x = \frac{\pi}{3}$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है,इसलिए इस बिंदु पर प्रथम अवकलज शून्य होना चाहिए:
$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0$.
$x = \frac{\pi}{3}$ को अवकलज में रखने पर:
$a \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right) = 0$.
$a \cdot \frac{1}{2} + \cos(\pi) = 0$.
चूंकि $\cos(\pi) = -1$,इसलिए:
$\frac{a}{2} - 1 = 0$.
$\frac{a}{2} = 1$.
$a = 2$.

(B) दिया गया है,$y = \frac{ax - b}{(x - 1)(x - 4)} . . . . . . (i)$ का एक टर्निंग पॉइंट $P(2, -1)$ है।
चूंकि बिंदु $P$ वक्र पर स्थित है,यह समीकरण $(i)$ को संतुष्ट करेगा:
$-1 = \frac{2a - b}{(2 - 1)(2 - 4)} = \frac{2a - b}{-2}$
$2a - b = 2 . . . . . . (ii)$
टर्निंग पॉइंट पर,अवकलज $\frac{dy}{dx} = 0$ होता है।
समीकरण $(i)$ से,$y(x^2 - 5x + 4) = ax - b$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y(2x - 5) + (x^2 - 5x + 4) \frac{dy}{dx} = a$।
$x = 2$ और $y = -1$ पर,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर:
$-1(2(2) - 5) + (2^2 - 5(2) + 4)(0) = a$
$-1(4 - 5) = a$
$a = 1$।
समीकरण $(ii)$ में $a = 1$ रखने पर:
$2(1) - b = 2$
$b = 0$।
अतः,$a = 1$ और $b = 0$ है।

(B) माना $R = 22 \ cm$ गोले की त्रिज्या है और $h$ बेलन की ऊँचाई है। माना $r$ बेलन की त्रिज्या है।
गोले की ज्यामिति से,$r^2 + (h/2)^2 = R^2$,जिसका अर्थ है $r^2 = R^2 - h^2/4$.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2\pi rh = 2\pi h \sqrt{R^2 - h^2/4} = \pi h \sqrt{4R^2 - h^2}$ है।
$A$ को अधिकतम करने के लिए,हम $A^2 = \pi^2 h^2 (4R^2 - h^2) = \pi^2 (4R^2h^2 - h^4)$ को अधिकतम करते हैं।
माना $f(h) = 4R^2h^2 - h^4$. $h$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(h) = 8R^2h - 4h^3$ प्राप्त होता है।
$f'(h) = 0$ रखने पर,$4h(2R^2 - h^2) = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $h > 0$,इसलिए $h^2 = 2R^2$,अतः $h = R\sqrt{2}$ होगा।
यहाँ $R = 22 \ cm$ दिया गया है,इसलिए ऊँचाई $h = 22\sqrt{2} \ cm$ होगी।

(A) दिया गया फलन $f(x) = -x + \sin 2x$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ पर है।
सबसे पहले,$f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें।
$f'(x) = -1 + 2 \cos 2x = 0$
$\cos 2x = \frac{1}{2}$
चूंकि $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,इसलिए $2x \in [-\pi, \pi]$ है।
अतः,$2x = \pm \frac{\pi}{3}$,जिससे $x = \pm \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
अब,क्रांतिक बिंदुओं और अंत बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(-\frac{\pi}{2}) = -(-\frac{\pi}{2}) + \sin(-\pi) = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$
$f(-\frac{\pi}{6}) = -(-\frac{\pi}{6}) + \sin(-\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$
$f(\frac{\pi}{6}) = -(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$
$f(\frac{\pi}{2}) = -(\frac{\pi}{2}) + \sin(\pi) = -\frac{\pi}{2} + 0 = -\frac{\pi}{2}$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $M = \frac{\pi}{2}$ और न्यूनतम मान $m = -\frac{\pi}{2}$ है।
अतः अंतर $M - m = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$ है।

(C) माना कि दो धनात्मक संख्याएँ $x$ और $y$ हैं। दिया गया है कि $x + y = t$,इसलिए $y = t - x$ है।
हम उनके वर्गों के योग $S = x^2 + y^2$ को न्यूनतम करना चाहते हैं।
$y = t - x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $S(x) = x^2 + (t - x)^2 = x^2 + t^2 - 2tx + x^2 = 2x^2 - 2tx + t^2$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dS}{dx} = 4x - 2t$।
$\frac{dS}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $4x = 2t$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{t}{2}$।
चूंकि $\frac{d^2S}{dx^2} = 4 > 0$,इसलिए फलन $x = \frac{t}{2}$ पर न्यूनतम है।
तब $y = t - \frac{t}{2} = \frac{t}{2}$।
अतः,दो संख्याएँ $\frac{t}{2}$ और $\frac{t}{2}$ हैं।

(B) अंतराल $[0, 1]$ पर $f(x) = x^{40} - x^{20}$ का निरपेक्ष न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = 40x^{39} - 20x^{19} = 20x^{19}(2x^{20} - 1)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$ या $2x^{20} = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^{20} = 1/2$,इसलिए $x = (1/2)^{1/20}$.
चूंकि $(1/2)^{1/20}$ अंतराल $(0, 1)$ में स्थित है,हम क्रांतिक बिंदु और अंत बिंदुओं $x = 0$ तथा $x = 1$ पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं।
$f(0) = 0^{40} - 0^{20} = 0$.
$f(1) = 1^{40} - 1^{20} = 0$.
$f((1/2)^{1/20}) = ((1/2)^{1/20})^{40} - ((1/2)^{1/20})^{20} = (1/2)^2 - (1/2)^1 = 1/4 - 1/2 = -1/4$.
$0, 0,$ और $-1/4$ मानों की तुलना करने पर,निरपेक्ष न्यूनतम मान $-1/4$ है।