Maxima and Minima Questions in Hindi

(B) दिया गया है,$f(x) = x^{25}(1-x)^{75}$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{75} - 75x^{25}(1-x)^{74}$.
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर:
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{74} [ (1-x) - 3x ]$.
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{74} (1-4x)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर हमें क्रांतिक बिंदु $x = 0, 1, 1/4$ प्राप्त होते हैं।
$x \in (0, 1/4)$ के लिए,$f'(x) > 0$ (फलन वर्धमान है)।
$x \in (1/4, 1)$ के लिए,$f'(x) < 0$ (फलन ह्रासमान है)।
चूंकि $x = 1/4$ पर अवकलज का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए फलन $x = 1/4$ पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।

(C) दिया गया है,$f(x)=2 x^{3}-9 a x^{2}+12 a^{2} x+1$. अवकलन करने पर क्रांतिक बिंदु प्राप्त होते हैं: $f^{\prime}(x) = 6x^{2} - 18ax + 12a^{2} = 6(x-a)(x-2a) = 0$.
अतः,क्रांतिक बिंदु $x=a$ और $x=2a$ हैं।
द्वितीय अवकलज $f^{\prime \prime}(x) = 12x - 18a$ है।
$p$ पर अधिकतम मान के लिए,$f^{\prime \prime}(p) < 0 \Rightarrow 12p - 18a < 0 \Rightarrow p < \frac{3}{2}a$.
$q$ पर न्यूनतम मान के लिए,$f^{\prime \prime}(q) > 0 \Rightarrow 12q - 18a > 0 \Rightarrow q > \frac{3}{2}a$.
इन शर्तों के अनुसार,$p=a$ और $q=2a$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $p^{2}=q$,इसलिए $a^{2} = 2a$.
$a^{2} - 2a = 0 \Rightarrow a(a-2) = 0$.
अतः,$a=0$ या $a=2$.
यदि $a=0$ है,तो $f(x)=2x^{3}+1$ एक वर्धमान फलन है और इसका कोई स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं है।
इसलिए,$a=2$ सही उत्तर है।

(C) दिया गया है $f(x)=x^3-3(a-2)x^2+3ax+7$.
चूंकि $f(x)$ अंतराल $(0,1]$ में वर्धमान और $[1,5)$ में ह्रासमान है,इसलिए $x=1$ पर $f(x)$ का स्थानीय उच्चिष्ठ मान होगा।
अतः,$f'(1)=0$.
$f'(x)=3x^2-6(a-2)x+3a$.
$x=1$ रखने पर: $3(1)^2-6(a-2)(1)+3a=0$.
$3-6a+12+3a=0 \Rightarrow -3a+15=0 \Rightarrow a=5$.
अब,$f(x)$ में $a=5$ रखने पर: $f(x)=x^3-3(5-2)x^2+3(5)x+7 = x^3-9x^2+15x+7$.
हमें $\frac{f(x)-14}{(x-1)^2}=0$ को हल करना है।
$f(x)-14 = x^3-9x^2+15x+7-14 = x^3-9x^2+15x-7$.
बहुपद विभाजन द्वारा,$x^3-9x^2+15x-7 = (x-1)^2(x-7)$.
अतः,$\frac{(x-1)^2(x-7)}{(x-1)^2} = 0 \Rightarrow x-7=0 \Rightarrow x=7$.

(A) दिया गया है कि $x+y=60$,इसलिए $x=60-y$.
माना $f(y) = x y^3 = (60-y) y^3 = 60 y^3 - y^4$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(y)$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(y) = \frac{d}{dy}(60 y^3 - y^4) = 180 y^2 - 4 y^3$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(y) = 0$ रखने पर:
$4 y^2(45 - y) = 0$.
चूंकि $y$ एक धनात्मक संख्या है,इसलिए $y=45$.
अब,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं:
$f''(y) = 360 y - 12 y^2$.
$y=45$ पर,$f''(45) = 360(45) - 12(45)^2 = 45(360 - 540) = 45(-180) < 0$.
चूंकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए फलन $y=45$ पर अधिकतम है।
अतः $x = 60 - 45 = 15$.
इस प्रकार,संख्याएँ $x=15$ और $y=45$ हैं।

(B) माना $y = \frac{1-x+x^{2}}{1+x+x^{2}}$.
हम इस व्यंजक को $y = \frac{(x^{2}+x+1) - 2x}{x^{2}+x+1} = 1 - \frac{2x}{x^{2}+x+1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हमें $\frac{2x}{x^{2}+x+1}$ पद को अधिकतम करना होगा।
माना $f(x) = \frac{x}{x^{2}+x+1}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर और इसे $0$ के बराबर रखने पर:
$f'(x) = \frac{(x^{2}+x+1)(1) - x(2x+1)}{(x^{2}+x+1)^{2}} = \frac{x^{2}+x+1-2x^{2}-x}{(x^{2}+x+1)^{2}} = \frac{1-x^{2}}{(x^{2}+x+1)^{2}}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर $1-x^{2} = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 1$ या $x = -1$ है।
$x = 1$ के लिए,$f(1) = \frac{1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$.
$x = -1$ के लिए,$f(-1) = \frac{-1}{1-1+1} = -1$.
चूंकि हम $y = 1 - 2f(x)$ को न्यूनतम करना चाहते हैं,इसलिए हम $f(x)$ का अधिकतम मान $1/3$ चुनेंगे।
अतः,$y$ का न्यूनतम मान $1 - 2(1/3) = 1 - 2/3 = 1/3$ है।

(A) दिया गया फलन $y=a \log x+b x^2+x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d y}{d x}=\frac{a}{x}+2 b x+1$ प्राप्त होता है।
चूंकि फलन का चरम मान $x=-1$ और $x=2$ पर है,इसलिए इन बिंदुओं पर अवकलज शून्य होगा।
$x=-1$ पर: $\frac{a}{-1}+2 b(-1)+1=0 \Rightarrow -a-2 b+1=0 \Rightarrow a+2 b=1$ (समीकरण $i$)।
$x=2$ पर: $\frac{a}{2}+2 b(2)+1=0 \Rightarrow \frac{a}{2}+4 b+1=0 \Rightarrow a+8 b=-2$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $ii$ से समीकरण $i$ को घटाने पर: $(a+8 b)-(a+2 b)=-2-1 \Rightarrow 6 b=-3 \Rightarrow b=-\frac{1}{2}$।
$b=-\frac{1}{2}$ का मान समीकरण $i$ में रखने पर: $a+2(-\frac{1}{2})=1 \Rightarrow a-1=1 \Rightarrow a=2$।
अतः,$a+b=2+(-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$।

(C) माना $f(x) = \frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}$.
भागफल नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = \frac{(1+x+x^2)(-1+2x) - (1-x+x^2)(1+2x)}{(1+x+x^2)^2}$.
अंश का विस्तार करने पर: $(1+x+x^2)(-1+2x) = 2x^3+x^2+x-1$.
$(1-x+x^2)(1+2x) = 2x^3-x^2+x+1$.
घटाने पर: $(2x^3+x^2+x-1) - (2x^3-x^2+x+1) = 2x^2-2$.
अतः,$f'(x) = \frac{2x^2-2}{(1+x+x^2)^2}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर $2x^2-2 = 0$,जिससे $x^2 = 1$,अर्थात $x = 1$ या $x = -1$.
इन बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f(1) = \frac{1-1+1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$.
$f(-1) = \frac{1-(-1)+(-1)^2}{1+(-1)+(-1)^2} = \frac{3}{1} = 3$.
इसलिए,$f(x)$ का न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 - 3(a - 2)x^2 + 3ax + 7$.
अवकलज $f'(x) = 3x^2 - 6(a - 2)x + 3a$ है।
फलन $x = 1$ पर व्यवहार बदलता है,इसलिए $f'(1) = 0$.
$3(1)^2 - 6(a - 2)(1) + 3a = 0$
$3 - 6a + 12 + 3a = 0$
$-3a + 15 = 0 \Rightarrow a = 5$.
$a = 5$ रखने पर,$f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x + 7$.
अब,$\frac{f(x) - 14}{(x - 1)^2} = 0$ को हल करने पर,$x \neq 1$.
$f(x) - 14 = 0 \Rightarrow x^3 - 9x^2 + 15x - 7 = 0$.
गुणनखंड करने पर $(x - 1)^2(x - 7) = 0$.
मूल $x = 1$ और $x = 7$ प्राप्त होते हैं।
चूँकि $x \neq 1$,इसलिए मूल $x = 7$ है।

(D) माना $f(\theta) = a \sec \theta - b \tan \theta$.
तब $f'(\theta) = a \sec \theta \tan \theta - b \sec^2 \theta = \sec \theta (a \tan \theta - b \sec \theta)$.
$f'(\theta) = 0$ रखने पर,$a \tan \theta - b \sec \theta = 0$ प्राप्त होता है (क्योंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ के लिए $\sec \theta \neq 0$).
इसका अर्थ है $a \sin \theta = b$,या $\sin \theta = \frac{b}{a}$.
चूंकि $\sin \theta = \frac{b}{a}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$ है।
अतः $\sec \theta = \frac{a}{\sqrt{a^2 - b^2}}$ और $\tan \theta = \frac{b}{\sqrt{a^2 - b^2}}$.
द्वितीय अवकलज $f''(\theta) > 0$ है,जो $\sin \theta = \frac{b}{a}$ पर न्यूनतम मान सुनिश्चित करता है।
न्यूनतम मान $f(\theta) = a \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 - b^2}} \right) - b \left( \frac{b}{\sqrt{a^2 - b^2}} \right) = \frac{a^2 - b^2}{\sqrt{a^2 - b^2}} = \sqrt{a^2 - b^2}$.

(B) $f(x) = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = \begin{vmatrix} x & -2 & 3 \\ -2 & x & -1 \\ 7 & -2 & x \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$f(x) = x(x^2 - 2) + 2(-2x + 7) + 3(4 - 7x)$
$f(x) = x^3 - 2x - 4x + 14 + 12 - 21x$
$f(x) = x^3 - 27x + 26$
स्थानीय न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखने पर:
$f'(x) = 3x^2 - 27 = 0$
$3(x^2 - 9) = 0 \Rightarrow x = \pm 3$
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर:
$f''(x) = 6x$
$f''(3) = 18 > 0$,अतः $x_0 = 3$ स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
$x = 3$ पर:
$\bar{a} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$
$\bar{b} = -2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$
$\bar{a} \cdot \bar{b} = (3)(-2) + (-2)(3) + (3)(-1)$
$\bar{a} \cdot \bar{b} = -6 - 6 - 3 = -15$

(B) फलन $f(x)$ सदिशों $\overline{a}, \overline{b}, \text{ और } \overline{c}$ का अदिश त्रिक गुणनफल है:
$f(x) = \begin{vmatrix} x & -2 & 3 \\ -2 & x & -1 \\ 7 & -2 & x \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$f(x) = x(x^2 - 2) + 2(-2x + 7) + 3(4 - 7x)$
$f(x) = x^3 - 2x - 4x + 14 + 12 - 21x$
$f(x) = x^3 - 27x + 26$
स्थानीय न्यूनतम बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखते हैं:
$f'(x) = 3x^2 - 27 = 0$
$3(x^2 - 9) = 0 \Rightarrow x = \pm 3$
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर,$f''(x) = 6x$:
$x = 3$ पर,$f''(3) = 18 > 0$,अतः $x_0 = 3$ स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
$x = 3$ पर,$\overline{a} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $\overline{b} = -2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$ है।
अदिश गुणनफल $\overline{a} \cdot \overline{b}$ की गणना करने पर:
$\overline{a} \cdot \overline{b} = (3)(-2) + (-2)(3) + (3)(-1) = -6 - 6 - 3 = -15$.

(D) अंतराल $[0, \pi]$ पर $f(x) = \sin x + \cos x$ का निरपेक्ष अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज को शून्य के बराबर रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \cos x - \sin x$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $\cos x = \sin x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan x = 1$.
$x \in [0, \pi]$ के लिए,हल $x = \pi/4$ है।
अब,हम क्रांतिक बिंदु और अंतराल के अंतिम बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $x = 0$ पर: $f(0) = \sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$.
$2$. $x = \pi/4$ पर: $f(\pi/4) = \sin(\pi/4) + \cos(\pi/4) = 1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{2} = 2/\sqrt{2} = \sqrt{2}$.
$3$. $x = \pi$ पर: $f(\pi) = \sin(\pi) + \cos(\pi) = 0 - 1 = -1$.
इन मानों की तुलना करने पर,निरपेक्ष अधिकतम मान $\sqrt{2}$ है।

(B) अंतराल $[0, 1]$ पर फलन $f(x) = [x(x-1) + 1]^{\frac{1}{3}}$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
माना $g(x) = x(x-1) + 1 = x^2 - x + 1$.
तब $f(x) = [g(x)]^{\frac{1}{3}}$.
$f'(x) = \frac{1}{3} [g(x)]^{-\frac{2}{3}} \cdot g'(x) = \frac{1}{3} [x^2 - x + 1]^{-\frac{2}{3}} (2x - 1)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $2x - 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{1}{2}$.
अब,हम क्रांतिक बिंदु और अंतिम बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(0) = [0(0-1) + 1]^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} = 1$.
$f(1) = [1(1-1) + 1]^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} = 1$.
$f(\frac{1}{2}) = [\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1) + 1]^{\frac{1}{3}} = [-\frac{1}{4} + 1]^{\frac{1}{3}} = (\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}}$.
मानों $1$,$1$,और $(\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}}$ की तुलना करने पर,अधिकतम मान $1$ है।

(A) $f(x) = x + \frac{1}{x}$ का स्थानीय अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$ निकालते हैं।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $1 = \frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = 1$,इसलिए $x = 1$ या $x = -1$ है।
हम द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हैं: $f''(x) = \frac{2}{x^3}$।
$x = 1$ के लिए,$f''(1) = 2 > 0$,इसलिए $x = 1$ एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
$x = -1$ के लिए,$f''(-1) = \frac{2}{(-1)^3} = -2 < 0$,इसलिए $x = -1$ एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है।
स्थानीय अधिकतम मान $f(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -1 - 1 = -2$ है।

(A) माना वक्र $x^2 = 2y$ पर स्थित बिंदु $(x, y)$ है। अतः $y = \frac{x^2}{2}$ है।
बिंदु $(x, y)$ और $(0, 5)$ के बीच की दूरी $D$ के लिए $D^2 = (x - 0)^2 + (y - 5)^2$ होगा।
$y = \frac{x^2}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$f(x) = D^2 = x^2 + (\frac{x^2}{2} - 5)^2$ प्राप्त होता है।
$f(x) = x^2 + \frac{x^4}{4} - 5x^2 + 25 = \frac{x^4}{4} - 4x^2 + 25$ है।
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके उसे शून्य के बराबर रखें:
$f'(x) = x^3 - 8x = 0$ है।
$x(x^2 - 8) = 0$,जिससे $x = 0$ या $x^2 = 8$ (अर्थात $x = \pm 2\sqrt{2}$) प्राप्त होता है।
यदि $x = 0$ है,तो $y = 0$ है। दूरी का वर्ग $(0-0)^2 + (0-5)^2 = 25$ है।
यदि $x^2 = 8$ है,तो $y = \frac{8}{2} = 4$ है। दूरी का वर्ग $8 + (4-5)^2 = 8 + 1 = 9$ है।
चूंकि $9 < 25$,इसलिए बिंदु $(\pm 2\sqrt{2}, 4)$ सबसे निकटतम बिंदु हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$(2\sqrt{2}, 4)$ सही विकल्प है।

(A) माना $x$ और $y$ दो धनात्मक संख्याएँ हैं।
दिया गया है कि उनका योग अचर है,$x + y = a$।
माना $z = x^3 + y^3$।
$y = a - x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $z = x^3 + (a - x)^3$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dz}{dx} = 3x^2 - 3(a - x)^2 = 3(x^2 - (a^2 - 2ax + x^2)) = 3(2ax - a^2) = 3a(2x - a)$।
$\frac{dz}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $2x - a = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{a}{2}$।
चूंकि $y = a - x$,हमें $y = a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^2z}{dx^2} = 6a$। चूँकि $a > 0$,$\frac{d^2z}{dx^2} > 0$,जो $x = \frac{a}{2}$ पर न्यूनतम मान की पुष्टि करता है।
अतः,$x = y$,जिसका अर्थ है कि संख्याएँ बराबर हैं।

(D) माना $r$ त्रिज्या है और $\theta$ रेडियन में त्रिज्यखंड का कोण है। परिमाप $P = 2r + r\theta = k$ (स्थिर)।
अतः,$r = \frac{k}{2+\theta}$।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2}r^{2}\theta$ है।
$r$ का मान रखने पर,$A = \frac{1}{2} \left( \frac{k}{2+\theta} \right)^{2} \theta = \frac{k^{2}}{2} \frac{\theta}{(2+\theta)^{2}}$।
$A$ को अधिकतम करने के लिए,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{d\theta} = \frac{k^{2}}{2} \left[ \frac{(2+\theta)^{2}(1) - \theta(2)(2+\theta)}{(2+\theta)^{4}} \right] = \frac{k^{2}}{2} \frac{2-\theta}{(2+\theta)^{3}}$।
$\frac{dA}{d\theta} = 0$ रखने पर,$2-\theta = 0$,अतः $\theta = 2^{c}$।
चूंकि द्वितीय अवकलज $\theta = 2$ पर ऋणात्मक है,इसलिए क्षेत्रफल अधिकतम है।

(B) माना त्रिज्यखंड की त्रिज्या $r$ है और चाप की लंबाई $s$ है। त्रिज्यखंड का परिमाप $P = 2r + s = 20 \text{ cm}$ है।
अतः,$s = 20 - 2r$.
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} s r$ द्वारा दिया जाता है।
$s$ का मान रखने पर,हमें $A = \frac{1}{2} (20 - 2r) r = 10r - r^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dA}{dr} = 10 - 2r = 0 \Rightarrow r = 5 \text{ cm}$.
$r = 5$ का मान क्षेत्रफल के समीकरण में रखने पर:
$A = 10(5) - (5)^2 = 50 - 25 = 25 \text{ cm}^2$.

(C) दिया गया विस्थापन समीकरण: $s = 22t - 11t^{2}$ है।
अधिकतम ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हम $s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करके वेग $v = \frac{ds}{dt}$ प्राप्त करते हैं।
$\frac{ds}{dt} = 22 - 22t$।
अधिकतम ऊँचाई पर वेग शून्य होता है, इसलिए $22 - 22t = 0$, जिससे $t = 1 \text{ सेकंड}$ प्राप्त होता है।
$t = 1$ को विस्थापन समीकरण में रखने पर:
$s = 22(1) - 11(1)^{2} = 22 - 11 = 11 \text{ इकाई}$।
चूँकि गेंद $s=0$ से शुरू होती है और $11 \text{ इकाई}$ की अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचती है, इसलिए गेंद द्वारा तय की गई कुल दूरी $11 \text{ इकाई}$ है।

(C) दिया गया है कि टॉवर के शीर्ष से विस्थापन $s=48t-16t^{2}$ है।
वेग $v = \frac{ds}{dt} = 48-32t$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग $v=0$ होता है।
$48-32t=0 \Rightarrow t = \frac{48}{32} = 1.5 \ s$.
टॉवर के शीर्ष से अधिकतम विस्थापन $s = 48(1.5) - 16(1.5)^{2} = 72 - 36 = 36 \ m$ है।
जमीन से कुल ऊँचाई टॉवर की ऊँचाई और अधिकतम विस्थापन का योग है: $H = 64 + 36 = 100 \ m$।

(B) दिया गया ऊँचाई फलन: $x = 80t - 16t^2$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचने का समय ज्ञात करने के लिए,हम $x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dx}{dt} = 80 - 32t$।
अधिकतम ऊँचाई पर,पत्थर का वेग शून्य होता है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = 0$।
अवकलन को शून्य के बराबर रखने पर: $80 - 32t = 0$।
$32t = 80$।
$t = \frac{80}{32} = 2.5 \text{ s}$।

(B) दिया गया फलन $f(x)=x^3-6x^2+12x-3$ है। \\ सबसे पहले,प्रथम अवकलज ज्ञात करें: $f'(x)=3x^2-12x+12$। \\ क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x)=0$ रखें: $3(x^2-4x+4)=0 \Rightarrow 3(x-2)^2=0 \Rightarrow x=2$। \\ अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x)=6x-12$। \\ $x=2$ पर द्वितीय अवकलज का मान ज्ञात करें: $f''(2)=6(2)-12=0$। \\ चूंकि $f''(2)=0$ है,हम तृतीय अवकलज की जाँच करते हैं: $f'''(x)=6$। \\ चूंकि $f'''(2)=6 \neq 0$,इसलिए $x=2$ पर वक्रता बदलती है। \\ अतः,$x=2$ एक नतिपरिवर्तन बिंदु (point of inflexion) है।

(B) $\because$ शंकु की तिर्यक ऊँचाई $L = 6$ इकाई है।
माना त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
आयतन $(V) = \frac{1}{3} \pi r^2 h$।
चूँकि $L^2 = r^2 + h^2$,इसलिए $r^2 = L^2 - h^2 = 36 - h^2$।
इसे आयतन के सूत्र में रखने पर: $V = \frac{1}{3} \pi (36 - h^2) h = \frac{1}{3} \pi (36h - h^3)$।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,$V$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dh} = \frac{1}{3} \pi (36 - 3h^2)$।
$\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर,$36 - 3h^2 = 0 \Rightarrow h^2 = 12 \Rightarrow h = 2 \sqrt{3}$ इकाई।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^2 V}{dh^2} = \frac{1}{3} \pi (-6h) = -2 \pi h$।
$h = 2 \sqrt{3}$ पर,$\frac{d^2 V}{dh^2} = -4 \sqrt{3} \pi < 0$,अतः आयतन अधिकतम है।
अधिकतम आयतन $V = \frac{1}{3} \pi (36 - (2 \sqrt{3})^2) (2 \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \pi (36 - 12) (2 \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \pi (24) (2 \sqrt{3}) = 16 \sqrt{3} \pi$ घन इकाई।

(C) मान लीजिए जेट की स्थिति $P(x, y)$ है और सैनिक $A(3, 2)$ पर स्थित है।
दूरी $AP = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 2)^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि जेट $y = x^2 + 2$ वक्र का अनुसरण करता है,इसलिए $y - 2 = x^2$ है।
इसे दूरी के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,मान लीजिए $z = (AP)^2 = (x - 3)^2 + (x^2)^2 = (x - 3)^2 + x^4$ है।
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $z$ का अवकलन करते हैं: $\frac{dz}{dx} = 2(x - 3) + 4x^3$।
$\frac{dz}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $4x^3 + 2x - 6 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2x^3 + x - 3 = 0$ हो जाता है।
निरीक्षण द्वारा,$x = 1$ एक मूल है क्योंकि $2(1)^3 + 1 - 3 = 0$ है।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^2z}{dx^2} = 12x^2 + 2$। $x = 1$ पर,$\frac{d^2z}{dx^2} = 14 > 0$,इसलिए $x = 1$ पर न्यूनतम मान प्राप्त होता है।
$x = 1$ के लिए,$y = (1)^2 + 2 = 3$ है।
न्यूनतम दूरी $\sqrt{(1 - 3)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ इकाई है।

(C) दिया गया वक्र $y = -x^{3} + 3x^{2} + 2x - 27$ है।
वक्र की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = -3x^{2} + 6x + 2$.
माना ढाल $m = -3x^{2} + 6x + 2$ है।
अधिकतम ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $m$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dm}{dx} = -6x + 6$.
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के लिए $\frac{dm}{dx} = 0$ रखने पर:
$-6x + 6 = 0 \implies x = 1$.
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर:
$\frac{d^{2}m}{dx^{2}} = -6 < 0$.
चूँकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए $x = 1$ पर ढाल अधिकतम है।
$m$ के व्यंजक में $x = 1$ रखने पर:
$m_{\text{max}} = -3(1)^{2} + 6(1) + 2 = -3 + 6 + 2 = 5$.

(D) माना आयत की लंबाई $a$ और चौड़ाई $b$ है। आयत का विकर्ण वृत्त का व्यास है,इसलिए $d = 2r = 2(2) = 4$.
विकर्ण द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,$a^2 + b^2 = d^2 = 4^2 = 16$.
आयत का क्षेत्रफल $A = a \cdot b$ है।
चूंकि $b = \sqrt{16 - a^2}$,इसलिए $A = a \sqrt{16 - a^2}$.
$A$ को अधिकतम करने के लिए,हम $A^2 = f(a) = a^2(16 - a^2) = 16a^2 - a^4$ को अधिकतम करते हैं।
$a$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f'(a) = 32a - 4a^3$.
$f'(a) = 0$ रखने पर,हमें $4a(8 - a^2) = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $a > 0$,इसलिए $a^2 = 8$,अतः $a = 2\sqrt{2}$.
तब $b = \sqrt{16 - 8} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
अधिकतम क्षेत्रफल $A = (2\sqrt{2})(2\sqrt{2}) = 8 \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(B) माना $y = x e^{-x}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = x \cdot (-e^{-x}) + e^{-x} \cdot (1) = e^{-x}(1 - x)$।
अधिकतम या न्यूनतम मान के लिए,हम $\frac{dy}{dx} = 0$ रखते हैं:
$e^{-x}(1 - x) = 0$।
चूंकि किसी भी वास्तविक $x$ के लिए $e^{-x} \neq 0$ होता है,इसलिए $1 - x = 0$,जिसका अर्थ है $x = 1$।
अब,उच्चिष्ठ (maxima) की जांच करने के लिए द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{d^2y}{dx^2} = e^{-x}(-1) + (1 - x)(-e^{-x}) = -e^{-x} - e^{-x} + x e^{-x} = e^{-x}(x - 2)$।
$x = 1$ पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = e^{-1}(1 - 2) = -\frac{1}{e} < 0$।
चूंकि द्वितीय अवकलज $x = 1$ पर ऋणात्मक है,इसलिए फलन का $x = 1$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ मान है।
अधिकतम मान $y(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$ है।

(C) माना कि आयत की भुजाएँ $x$ और $y$ हैं जो $r = 2 \text{ unit}$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित हैं।
आयत का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है,इसलिए $d = 2r = 2 \times 2 = 4 \text{ unit}$.
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = d^2 = 4^2 = 16$.
आयत का क्षेत्रफल $A = xy$ है।
$A$ को अधिकतम करने के लिए,हम $A^2 = x^2 y^2$ को अधिकतम करते हैं।
चूंकि $y^2 = 16 - x^2$,इसलिए $A^2 = x^2(16 - x^2) = 16x^2 - x^4$ प्राप्त होता है।
माना $f(x) = 16x^2 - x^4$. अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 32x - 4x^3 = 0$ रखें।
$4x(8 - x^2) = 0$,जिससे $x^2 = 8$ प्राप्त होता है (क्योंकि $x > 0$)।
तब $y^2 = 16 - 8 = 8$,अर्थात $x = y = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
यह आयत एक वर्ग है जिसकी भुजा की लंबाई $2\sqrt{2}$ है।
अधिकतम क्षेत्रफल $A = x \times y = \sqrt{8} \times \sqrt{8} = 8 \text{ sq unit}$ है।

(C) माना $y = \frac{\log x}{x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
उच्चिष्ठ (maxima) के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर:
$\frac{1 - \log x}{x^2} = 0 \implies 1 - \log x = 0 \implies \log x = 1 \implies x = e$.
चूंकि $e \approx 2.718$,इसलिए $x = e$ अंतराल $(2, \infty)$ में स्थित है।
अब,द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x^2(-\frac{1}{x}) - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{2x \log x - 3x}{x^4}$.
$x = e$ पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2e(1) - 3e}{e^4} = \frac{-e}{e^4} = -\frac{1}{e^3} < 0$.
चूंकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,फलन का मान $x = e$ पर अधिकतम है।
अतः अधिकतम मान $y = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ है।

(C) माना $f(x) = \frac{\log _{e} x}{x}$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log _{e} x) - \log _{e} x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^{2}} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log _{e} x \cdot 1}{x^{2}} = \frac{1 - \log _{e} x}{x^{2}}$.
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$1 - \log _{e} x = 0 \Rightarrow \log _{e} x = 1 \Rightarrow x = e$.
अब,अधिकतम मान की पुष्टि करने के लिए हम द्वितीय अवकलज $f''(x)$ की जाँच करते हैं:
$f''(x) = \frac{x^{2}(-\frac{1}{x}) - (1 - \log _{e} x)(2x)}{x^{4}} = \frac{-x - 2x(1 - \log _{e} x)}{x^{4}}$.
$x = e$ पर,$f''(e) = \frac{-e - 2e(1 - 1)}{e^{4}} = \frac{-e}{e^{4}} = -\frac{1}{e^{3}} < 0$.
चूंकि $f''(e) < 0$ है,इसलिए फलन का $x = e$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अधिकतम मान $f(e) = \frac{\log _{e} e}{e} = \frac{1}{e}$ है।

(C) दिया गया है $x+y=20$। हम $f(x, y) = x^3 y$ को अधिकतम करना चाहते हैं।
$\frac{x}{3}, \frac{x}{3}, \frac{x}{3}, y$ पदों के लिए $AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + y}{4} \geq \sqrt[4]{\left(\frac{x}{3}\right)^3 y}$
$\frac{x+y}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{x^3 y}{27}}$
$\frac{20}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{x^3 y}{27}} \Rightarrow 5 \geq \sqrt[4]{\frac{x^3 y}{27}}$
$5^4 \geq \frac{x^3 y}{27} \Rightarrow x^3 y \leq 27 \times 625 = 16875$.
अतः,$k = 16875$।
अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\frac{x}{3} = y$ हो।
चूंकि $x+y=20$,हमारे पास $3y+y=20$ $\Rightarrow 4y=20$ $\Rightarrow y=5=\beta$ और $x=15=\alpha$ है।
अब,$\frac{k}{\alpha^2 \beta^2} = \frac{27 \times 625}{15^2 \times 5^2} = 3$।
चूंकि $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{15}{5} = 3$,सही विकल्प $\frac{\alpha}{\beta}$ है।

(B) दिया गया समीकरण $a^2 x^4 + b^2 y^4 = c^6$ है।
$AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{a^2 x^4 + b^2 y^4}{2} \geq \sqrt{(a^2 x^4)(b^2 y^4)}$
मान रखने पर:
$\frac{c^6}{2} \geq ab x^2 y^2$
$x^2 y^2 \leq \frac{c^6}{2ab}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$xy \leq \frac{c^3}{\sqrt{2ab}}$
अतः,$xy$ का अधिकतम मान $\frac{c^3}{\sqrt{2ab}}$ है।

(C) फलन $f(x) = \sin (x)$ है।
दिए गए अंतराल $[-\pi / 2, \pi / 2]$ में,साइन फलन निरंतर वर्धमान है।
निम्न सीमा पर मान $f(-\pi / 2) = \sin(-\pi / 2) = -1$ है।
उच्च सीमा पर मान $f(\pi / 2) = \sin(\pi / 2) = 1$ है।
अतः,अंतराल $[-\pi / 2, \pi / 2]$ में फलन का अधिकतम मान $1$ है।

(B) मान लीजिए कि आयत की आसन्न भुजाओं की लंबाई $x \ cm$ और $y \ cm$ है।
आयत की परिधि $p = 2(x + y)$ है,जिसका अर्थ है $y = \frac{p}{2} - x$।
आयत का क्षेत्रफल $A = x y$ है।
$y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A = x(\frac{p}{2} - x) = \frac{px}{2} - x^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dA}{dx} = \frac{p}{2} - 2x = 0$।
इससे $x = \frac{p}{4} \ cm$ प्राप्त होता है।
परिणामस्वरूप,$y = \frac{p}{2} - \frac{p}{4} = \frac{p}{4} \ cm$।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $A = \frac{p}{4} \times \frac{p}{4} = \frac{p^2}{16} \ cm^2$ है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(A) दिया गया है $f(x) = \sin x - x$.
$f(A)$ का परिसर ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन $f'(x) = \cos x - 1$ की जाँच करते हैं।
चूँकि $x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ के लिए $\cos x < 1$ है,इसलिए $f'(x) < 0$ है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ एक ह्रासमान फलन है।
अतः,न्यूनतम मान $x = \frac{\pi}{3}$ पर और अधिकतम मान $x = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है।
$f(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3}$.
$f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\pi}{4}$.
अतः,$f(A) = [\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3}, \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\pi}{4}]$.

(B) दिया गया है $A=\{x : 9x \geq x^2+20\}$.
असमिका $x^2-9x+20 \leq 0$ को हल करने पर,हमें $(x-4)(x-5) \leq 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x \in [4, 5]$.
अतः,$A=[4, 5]$.
दिया गया है $f(x)=2x^3-15x^2+36x-48$.
अवकलन करने पर,$f'(x)=6x^2-30x+36=6(x^2-5x+6)=6(x-3)(x-2)$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x)=0$ रखने पर,$x=2$ और $x=3$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि दोनों क्रांतिक बिंदु $x=2$ और $x=3$ अंतराल $A=[4, 5]$ के बाहर हैं,इसलिए फलन $f(x)$ इस अंतराल में एकदिष्ट है।
अंतराल $[4, 5]$ के लिए $f'(x)$ का चिह्न जाँचने पर: $f'(4)=6(4-3)(4-2)=12 > 0$.
चूंकि $x \in [4, 5]$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए $f(x)$ अंतराल $[4, 5]$ पर एक वर्धमान फलन है।
अतः,अधिकतम मान अंतिम बिंदु $x=5$ पर प्राप्त होगा।
$f(5)=2(5)^3-15(5)^2+36(5)-48 = 2(125)-15(25)+180-48 = 250-375+180-48 = 7$.

(C) माना रेखा के $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $a$ और $b$ हैं। रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
दिया गया है कि अंतःखंडों का योग $a + b = 12$ है,इसलिए $b = 12 - a$ है।
रेखा द्वारा निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2}ab$ है।
$b = 12 - a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A = \frac{1}{2}a(12 - a) = 6a - \frac{1}{2}a^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $a$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dA}{da} = 6 - a = 0 \Rightarrow a = 6$।
चूंकि $a = 6$,इसलिए $b = 12 - 6 = 6$ है।
रेखा का समीकरण $\frac{x}{6} + \frac{y}{6} = 1$ है,जो सरल होकर $x + y = 6$ हो जाता है।

(B) दिया गया वक्र $y=2x^3-15x^2+36x+c$ है।
स्थिर बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ $\frac{dy}{dx} = 0$ हो।
$\frac{dy}{dx} = 6x^2 - 30x + 36 = 6(x^2 - 5x + 6) = 6(x-2)(x-3)$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $x=2$ और $x=3$ प्राप्त होते हैं।
चूँकि $(2, a)$ वक्र पर एक बिंदु है,$a = 2(2)^3 - 15(2)^2 + 36(2) + c = 16 - 60 + 72 + c = 28 + c$.
चूँकि $(b, 19)$ वक्र पर एक बिंदु है,$b$ दूसरा $x$-निर्देशांक होना चाहिए,इसलिए $b=3$.
$x=3$ और $y=19$ को वक्र के समीकरण में रखने पर: $19 = 2(3)^3 - 15(3)^2 + 36(3) + c$.
$19 = 54 - 135 + 108 + c \Rightarrow 19 = 27 + c \Rightarrow c = -8$.
अब,$a = 28 + (-8) = 20$.
अतः,$a+b+c = 20 + 3 - 8 = 15$.

(C) दिया गया वक्र $y = \tan^{-1}(\sin \sqrt{x})$ है।
उन बिंदुओं को खोजने के लिए जहाँ स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समांतर है,हम अवकलज $\frac{dy}{dx} = 0$ रखते हैं।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (\sin \sqrt{x})^2} \cdot \cos \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर $\cos \sqrt{x} = 0$ प्राप्त होता है (क्योंकि अवकलज परिभाषित होने के लिए $x > 0$ होना चाहिए)।
अतः,$\sqrt{x} = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ है।
दिया गया है कि $0 \leq x \leq 8\pi^2$,इसलिए $0 \leq \sqrt{x} \leq 2\sqrt{2}\pi \approx 8.88$ है।
$\sqrt{x}$ के लिए संभावित मान $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$ हैं।
इन बिंदुओं पर,$\sin \sqrt{x} = \sin((2n+1)\frac{\pi}{2}) = \pm 1$ है।
इसलिए,$y = \tan^{-1}(\pm 1) = \pm \frac{\pi}{4}$।

(D) माना $s = x^2 + y^2$.
दिया गया है कि $x + y = 32$,इसलिए हम $y = 32 - x$ लिख सकते हैं।
इस मान को $s$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$s = x^2 + (32 - x)^2$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $s$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{ds}{dx} = 2x + 2(32 - x)(-1) = 2x - 64 + 2x = 4x - 64$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{ds}{dx} = 0$ रखने पर:
$4x - 64 = 0 \implies x = 16$.
अतः $y = 32 - 16 = 16$.
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर:
$\frac{d^2s}{dx^2} = 4 > 0$,जो यह पुष्टि करता है कि $x = 16$ पर $s$ का मान न्यूनतम है।
न्यूनतम मान $s = 16^2 + 16^2 = 256 + 256 = 512$ है।

(B) दिया गया है: $f(x) = e^x \sin x$।
स्पर्श रेखा की ढाल $m(x) = f'(x)$ द्वारा दी जाती है।
$f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)$।
मान लीजिए $g(x) = f'(x) = e^x (\sin x + \cos x)$।
अधिकतम ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $g'(x) = 0$ रखते हैं।
$g'(x) = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) = 2 e^x \cos x$।
$g'(x) = 0$ रखने पर,हमें $2 e^x \cos x = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी $x$ के लिए $e^x \neq 0$,इसलिए $\cos x = 0$।
अंतराल $[0, 2 \pi]$ में,$x = \frac{\pi}{2}$ या $x = \frac{3 \pi}{2}$।
अब,हम द्वितीय अवकलज $g''(x) = 2 e^x \cos x - 2 e^x \sin x = 2 e^x (\cos x - \sin x)$ की जांच करते हैं।
$x = \frac{\pi}{2}$ पर,$g''(\frac{\pi}{2}) = 2 e^{\frac{\pi}{2}} (0 - 1) = -2 e^{\frac{\pi}{2}} < 0$,जो स्थानीय अधिकतम मान को दर्शाता है।
$x = \frac{3 \pi}{2}$ पर,$g''(\frac{3 \pi}{2}) = 2 e^{\frac{3 \pi}{2}} (0 - (-1)) = 2 e^{\frac{3 \pi}{2}} > 0$,जो स्थानीय न्यूनतम मान को दर्शाता है।
अतः,$x = \frac{\pi}{2}$ पर ढाल अधिकतम है।

(B) माना शंकु की त्रिज्या $R = 10 \ cm$ है और इसकी ऊँचाई $H$ है। माना अंतर्निहित बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म से,$\frac{H-h}{r} = \frac{H}{R}$,जिसका अर्थ है $h = H(1 - \frac{r}{R})$।
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 2\pi rh = 2\pi r H(1 - \frac{r}{R}) = 2\pi H(r - \frac{r^2}{R})$ है।
$S$ को अधिकतम करने के लिए,हम $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dS}{dr} = 2\pi H(1 - \frac{2r}{R}) = 0$।
इससे $1 - \frac{2r}{R} = 0$ प्राप्त होता है,अतः $r = \frac{R}{2}$।
चूँकि $R = 10 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $r = \frac{10}{2} = 5 \ cm$ होगा।

(A) दिया गया वक्र $y = 8x^2 - x^4 - 4$ है।
स्थिर बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम फलन का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 16x - 4x^3$.
स्थिर बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ $\frac{dy}{dx} = 0$ हो:
$16x - 4x^3 = 0$
$4x(4 - x^2) = 0$
इससे $x = 0$ या $x^2 = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 0, 2, -2$।
अब,हम संगत $y$-मान ज्ञात करते हैं:
$x = 0$ के लिए: $y = 8(0)^2 - (0)^4 - 4 = -4$।
$x = 2$ के लिए: $y = 8(2)^2 - (2)^4 - 4 = 8(4) - 16 - 4 = 32 - 20 = 12$।
$x = -2$ के लिए: $y = 8(-2)^2 - (-2)^4 - 4 = 8(4) - 16 - 4 = 32 - 20 = 12$।
अतः,स्थिर बिंदु $(0, -4), (2, 12), (-2, 12)$ हैं।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^3 + 3x^2 - 2$ है।
स्थिर बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम फलन का $x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलज (derivative) निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 - 2) = 3x^2 + 6x$.
स्थिर बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ प्रथम अवकलज शून्य के बराबर होता है:
$f'(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 + 6x = 0$.
व्यंजक का गुणनखंड करने पर हमें प्राप्त होता है:
$3x(x + 2) = 0$.
इससे $x = 0$ और $x = -2$ प्राप्त होते हैं।
अतः,स्थिर बिंदुओं पर $x$ के मान $0$ और $-2$ हैं।

(C) दिया गया विस्थापन फलन $S(t) = t^3 - 16t^2 + 64t - 16$ है।
अधिकतम विस्थापन ज्ञात करने के लिए,हम $S$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करके वेग $v(t)$ ज्ञात करते हैं:
$v(t) = \frac{dS}{dt} = 3t^2 - 32t + 64$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $v(t) = 0$ रखने पर:
$3t^2 - 32t + 64 = 0$.
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$t = \frac{32 \pm \sqrt{(-32)^2 - 4(3)(64)}}{2(3)} = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 768}}{6} = \frac{32 \pm \sqrt{256}}{6} = \frac{32 \pm 16}{6}$.
इससे दो मान प्राप्त होते हैं: $t_1 = \frac{48}{6} = 8$ और $t_2 = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$.
अब,अधिकतम मान की जाँच करने के लिए हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$a(t) = \frac{d^2S}{dt^2} = 6t - 32$.
$t = 8$ के लिए: $a(8) = 6(8) - 32 = 48 - 32 = 16 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
$t = \frac{8}{3}$ के लिए: $a(\frac{8}{3}) = 6(\frac{8}{3}) - 32 = 16 - 32 = -16 < 0$ (स्थानीय अधिकतम)।
अतः,$t = \frac{8}{3}$ पर विस्थापन अधिकतम है।

(C) माना $u = \sin x$ है। चूँकि $x \in (0, \frac{\pi}{2})$,इसलिए $u \in (0, 1)$ है।
फलन $g(u) = \frac{4}{u} + \frac{1}{1-u}$ को परिभाषित करें।
चरम मान ज्ञात करने के लिए,$g(u)$ का $u$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$g'(u) = -\frac{4}{u^2} + \frac{1}{(1-u)^2}$।
क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए $g'(u) = 0$ रखें:
$\frac{1}{(1-u)^2} = \frac{4}{u^2} \implies u^2 = 4(1-u)^2 \implies u^2 = 4(1 - 2u + u^2)$।
$u^2 = 4 - 8u + 4u^2 \implies 3u^2 - 8u + 4 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(3u - 2)(u - 2) = 0$।
चूँकि $u \in (0, 1)$,इसलिए $u = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः $\sin k = \frac{2}{3}$ है।
तब $\cos^2 k = 1 - \sin^2 k = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$,जिससे $\cos k = \frac{\sqrt{5}}{3}$ प्राप्त होता है।
मान $m = f(k) = g(\frac{2}{3}) = \frac{4}{2/3} + \frac{1}{1-2/3} = 6 + 3 = 9$ है।
हमें $m=9$ के पदों में $\cos k$ ज्ञात करना है।
$\cos k = \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{m}}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $x$ और $y$ हैं,और कर्ण $h = 5$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2}xy$ है।
$A$ को अधिकतम करने के लिए,हम $A^2 = \frac{1}{4}x^2y^2$ को अधिकतम करते हैं।
मान लीजिए $x^2 = 25 \cos^2 \theta$ और $y^2 = 25 \sin^2 \theta$,जहाँ $\theta \in (0, \pi/2)$ है।
तब $A = \frac{1}{2} (5 \cos \theta)(5 \sin \theta) = \frac{25}{4} \sin(2\theta)$ है।
क्षेत्रफल $A$ तब अधिकतम होता है जब $\sin(2\theta) = 1$ हो,जिसका अर्थ है $2\theta = \pi/2$,इसलिए $\theta = \pi/4$ है।
अतः,$x = 5 \cos(\pi/4) = \frac{5}{\sqrt{2}}$ और $y = 5 \sin(\pi/4) = \frac{5}{\sqrt{2}}$ है।
यह एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।
परिमाप $P = x + y + h = \frac{5}{\sqrt{2}} + \frac{5}{\sqrt{2}} + 5 = \frac{10}{\sqrt{2}} + 5 = 5\sqrt{2} + 5 = 5(\sqrt{2} + 1)$ है।

(A) दिया गया है $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$.
तब $P'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx + c$.
यह दिया गया है कि $x = 0$,$P'(x) = 0$ का एकमात्र वास्तविक मूल है।
चूंकि $P'(x)$ एक त्रिघात बहुपद है,इसका कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए।
यदि $x = 0$ एकमात्र वास्तविक मूल है,तो $P'(x)$ को $k x^3$ के रूप में होना चाहिए।
गुणांकों की तुलना करने पर,$4x^3 = k x^3 \implies k = 4$,और $3a = 0, 2b = 0, c = 0$.
अतः,$a = 0, b = 0, c = 0$.
इसलिए,$P(x) = x^4 + d$.
$P'(x) = 4x^3$.
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$P'(x) < 0$,इसलिए $P(x)$ घटता हुआ फलन है।
$x \in (0, 1]$ के लिए,$P'(x) > 0$,इसलिए $P(x)$ बढ़ता हुआ फलन है।
अतः,$P(x)$ का न्यूनतम मान $x = 0$ पर प्राप्त होता है।
अंतराल $[-1, 1]$ में,न्यूनतम मान $P(0) = d$ है।
अधिकतम मान अंतिम बिंदुओं $x = -1$ या $x = 1$ पर प्राप्त होता है।
$P(-1) < P(1)$ शर्त के अनुसार,$P(-1)$ न्यूनतम नहीं है और $P(1)$ अधिकतम है।

(A) फलन $f(x) = x e^{-x}$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले x के सापेक्ष इसका अवकलज ज्ञात करते हैं।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए, $f'(x) = (1)e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$
क्रांतिक बिंदुओं के लिए, $f'(x) = 0 \text{ रखें।}$
$e^{-x}(1 - x) = 0।$
चूंकि किसी भी $x$ के लिए $e^{-x} \neq 0$, इसलिए हमारे पास $1 - x = 0$ है, जो $x = 1$ देता है।
यह पुष्टि करने के लिए कि यह एक अधिकतम है, हम द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हैं।
$f''(x) = -e^{-x}(1 - x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(x - 1 - 1) = e^{-x}(x - 2)\text{।}$
$x = 1 \text{ पर}, f''(1) = e^{-1}(1 - 2) = -e^{-1} < 0।$
चूंकि $x = 1$ पर द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है, इसलिए फलन $x = 1$ पर स्थानीय अधिकतम मान प्राप्त करता है।
अतः, $k = 1$।