Maxima and Minima Questions in Hindi

(B) दिया गया फलन $f(x)=a x^3+b x^2-\frac{18}{5} x+\frac{19}{10}$ है।
अवकलन करने पर,$f^{\prime}(x)=3 a x^2+2 b x-\frac{18}{5}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(x)$ का $x=-3$ पर अधिकतम मान है,इसलिए $f^{\prime}(-3)=0$:
$3 a(-3)^2+2 b(-3)-\frac{18}{5}=0 \Rightarrow 27 a-6 b=\frac{18}{5} \Rightarrow 9 a-2 b=\frac{6}{5} \cdots (1)$.
चूंकि $f(x)$ का $x=2$ पर न्यूनतम मान है,इसलिए $f^{\prime}(2)=0$:
$3 a(2)^2+2 b(2)-\frac{18}{5}=0 \Rightarrow 12 a+4 b=\frac{18}{5} \Rightarrow 6 a+2 b=\frac{9}{5} \cdots (2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(9 a-2 b)+(6 a+2 b)=\frac{6}{5}+\frac{9}{5} \Rightarrow 15 a=\frac{15}{5} \Rightarrow 15 a=3 \Rightarrow a=\frac{1}{5}$.
$a=\frac{1}{5}$ को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$6(\frac{1}{5})+2 b=\frac{9}{5} \Rightarrow 2 b=\frac{9}{5}-\frac{6}{5}=\frac{3}{5} \Rightarrow b=\frac{3}{10}$.
अतः,$f(x)=\frac{1}{5} x^3+\frac{3}{10} x^2-\frac{18}{5} x+\frac{19}{10}$ प्राप्त होता है।
$f(1)$ की गणना करने पर:
$f(1)=\frac{1}{5}(1)^3+\frac{3}{10}(1)^2-\frac{18}{5}(1)+\frac{19}{10} = \frac{2}{10}+\frac{3}{10}-\frac{36}{10}+\frac{19}{10} = \frac{2+3-36+19}{10} = \frac{-12}{10} = \frac{-6}{5}$.
इसलिए,$f(1)=\frac{-6}{5}$.

(A) माना $y = \frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2-x+1)(2x+1) - (x^2+x+1)(2x-1)}{(x^2-x+1)^2}$
$= \frac{(2x^3 - 2x^2 + 2x + x^2 - x + 1) - (2x^3 + 2x^2 + 2x - x^2 - x - 1)}{(x^2-x+1)^2}$
$= \frac{(2x^3 - x^2 + x + 1) - (2x^3 + x^2 + x - 1)}{(x^2-x+1)^2}$
$= \frac{-2x^2 + 2}{(x^2-x+1)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(x^2-x+1)^2}$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $1-x^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 1$ या $x = -1$.
$x = 1$ के लिए,$y = \frac{1+1+1}{1-1+1} = 3$ (अधिकतम मान).
$x = -1$ के लिए,$y = \frac{1-1+1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$ (न्यूनतम मान).
अतः,न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$,$l = -1$ पर और अधिकतम मान $3$,$m = 1$ पर प्राप्त होता है।
इसलिए,$l+m = -1 + 1 = 0$.

(A) दिया गया है,$f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x + 3$ अंतराल $[-1, 3]$ पर।
सबसे पहले,$f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें।
$f'(x) = 3x^2 - 8x + 4 = 0$.
$(3x - 2)(x - 2) = 0$,जिससे $x = \frac{2}{3}$ और $x = 2$ प्राप्त होता है।
दोनों बिंदु $[-1, 3]$ अंतराल के भीतर हैं।
अब,क्रांतिक बिंदुओं और अंत बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + 4(-1) + 3 = -1 - 4 - 4 + 3 = -6$.
$f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 - 4(\frac{2}{3})^2 + 4(\frac{2}{3}) + 3 = \frac{8}{27} - \frac{16}{9} + \frac{8}{3} + 3 = \frac{113}{27} \approx 4.18$.
$f(2) = (2)^3 - 4(2)^2 + 4(2) + 3 = 8 - 16 + 8 + 3 = 3$.
$f(3) = (3)^3 - 4(3)^2 + 4(3) + 3 = 27 - 36 + 12 + 3 = 6$.
इन मानों की तुलना करने पर: $\{-6, 4.18, 3, 6\}$,न्यूनतम मान $-6$ है जो $x = -1$ पर प्राप्त होता है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = 2x^2 - \ln|x|$ है,जहाँ $x \geq 1$ है।
चूँकि $x \geq 1$,इसलिए $|x| = x$ होगा,अतः $f(x) = 2x^2 - \ln x$।
अवकलन करने पर: $f'(x) = 4x - \frac{1}{x}$।
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$4x - \frac{1}{x} = 0 \implies 4x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm \frac{1}{2}$।
यहाँ प्रांत (domain) $x \geq 1$ है,इसलिए अंतराल $(1, \infty)$ में कोई क्रांतिक बिंदु नहीं है।
फलन के व्यवहार की जाँच करने पर: $f'(x) = \frac{4x^2 - 1}{x}$। $x > 1$ के लिए,$4x^2 - 1 > 3$,इसलिए $f'(x) > 0$ है।
चूँकि $x \geq 1$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $[1, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान है।
अतः,न्यूनतम मान सीमा बिंदु $x = 1$ पर प्राप्त होता है।
$f(1) = 2(1)^2 - \ln(1) = 2 - 0 = 2$।

(A) मान लीजिए $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है।
तब $P'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ होगा।
चूंकि $P(x)$ का $x=1$ पर चरम मान है,इसलिए $P'(1) = 0$ होगा,जिसका अर्थ है $3a + 2b + c = 0$ ... $(i)$।
दिया गया है $\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{P(x)+4}{x^2} + 2\right) = 6$,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{P(x)+4}{x^2} = 4$ होगा।
$P(x)$ का मान रखने पर,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ax^3 + bx^2 + cx + d + 4}{x^2} = 4$ प्राप्त होता है।
सीमा (limit) के परिमित होने के लिए,$x^{-2}$ और $x^{-1}$ के गुणांक शून्य होने चाहिए।
अतः,$d+4 = 0 \Rightarrow d = -4$ और $c = 0$ होगा।
तब $\lim_{x \rightarrow 0} (ax + b) = 4 \Rightarrow b = 4$ होगा।
समीकरण $(i)$ में $b=4$ और $c=0$ रखने पर,$3a + 2(4) + 0 = 0 \Rightarrow 3a = -8 \Rightarrow a = -\frac{8}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(x) = -\frac{8}{3}x^3 + 4x^2 - 4$ है।
अवकलन $P'(x) = -8x^2 + 8x$ है।
$x = \frac{1}{2}$ पर मान ज्ञात करने पर,$P'(\frac{1}{2}) = -8(\frac{1}{4}) + 8(\frac{1}{2}) = -2 + 4 = 2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = (x - 3)^{2018}(x - 2)^{2019}$ है।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = 2018(x - 3)^{2017}(x - 2)^{2019} + 2019(x - 3)^{2018}(x - 2)^{2018}$.
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर,$f'(x) = (x - 3)^{2017}(x - 2)^{2018} \{2018(x - 2) + 2019(x - 3)\}$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर,$2018x - 4036 + 2019x - 6057 = 4037x - 10093$.
अतः,$f'(x) = (x - 3)^{2017}(x - 2)^{2018} \cdot 4037 \left( x - \frac{10093}{4037} \right)$.
क्रांतिक बिंदु $x = 3, 2, \frac{10093}{4037}$ हैं।
$x = \alpha = \frac{10093}{4037}$ के आसपास $f'(x)$ के चिह्न की जांच करने पर,अवकलज धनात्मक से ऋणात्मक हो जाता है,जो स्थानीय अधिकतम को दर्शाता है।
$x = \alpha = \frac{10093}{4037}$ पर,$x - 3 = -\frac{2018}{4037}$ और $x - 2 = \frac{2019}{4037}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$f(\alpha) = \left( -\frac{2018}{4037} \right)^{2018} \left( \frac{2019}{4037} \right)^{2019} = \left( \frac{2018}{4037} \right)^{2018} \left( \frac{2019}{4037} \right)^{2019}$.
अतः,$2\alpha + 3f(\alpha) = 2 \left( \frac{10093}{4037} \right) + 3 \left( \frac{2018}{4037} \right)^{2018} \left( \frac{2019}{4037} \right)^{2019} = \frac{20186}{4037} + 3 \left( \frac{2018}{4037} \right)^{2018} \left( \frac{2019}{4037} \right)^{2019}$.

(A) माना अर्धवृत्त की त्रिज्या $R = 2$ है। माना आयत की लंबाई $2x$ और चौड़ाई $y$ है जो अर्धवृत्त के भीतर अंकित है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = R^2 = 2^2 = 4$ है।
अतः,$x = \sqrt{4 - y^2}$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A = (2x) \times y = 2y \sqrt{4 - y^2}$ है।
$A$ को अधिकतम करने के लिए,हम $A^2 = 4y^2(4 - y^2) = 16y^2 - 4y^4$ को अधिकतम करते हैं।
माना $f(y) = 16y^2 - 4y^4$ है। $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(y) = 32y - 16y^3$ प्राप्त होता है।
$f'(y) = 0$ रखने पर,हमें $16y(2 - y^2) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y > 0$ है,इसलिए $y^2 = 2$,जिससे $y = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
तब $x = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$ है।
आयत की भुजाएं $2x = 2\sqrt{2}$ और $y = \sqrt{2}$ हैं।
अतः,छोटी भुजा की लंबाई $\sqrt{2}$ है।

(B) माना ठोस बेलन की ऊँचाई $h$ और त्रिज्या $r$ है।
आयतन $V = \pi r^2 h$ है,जिसका अर्थ है $h = \frac{V}{\pi r^2}$।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 2\pi rh + 2\pi r^2$ है।
$h$ का मान रखने पर: $S = 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2}\right) + 2\pi r^2 = \frac{2V}{r} + 2\pi r^2$।
न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए,$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dS}{dr} = -\frac{2V}{r^2} + 4\pi r$।
$\frac{dS}{dr} = 0$ रखने पर,$4\pi r = \frac{2V}{r^2}$,जिसका अर्थ है $V = 2\pi r^3$।
$V = \pi r^2 h$ का मान रखने पर: $\pi r^2 h = 2\pi r^3$,जो सरल होकर $h = 2r$ देता है।
चूँकि $2r$ व्यास है,इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल तब न्यूनतम होता है जब ऊँचाई व्यास के बराबर हो।

(C) एक अवकलनीय फलन $f$ का चरम बिंदु $c$,$f'(c) = 0$ को संतुष्ट करता है।
कथन $Y$ के लिए: मान लीजिए $g(x) = rf(x)$ है। तब $g'(x) = rf'(x)$ होगा। $x=c$ पर,$g'(c) = rf'(c) = r(0) = 0$ है। अतः,$c$,$rf$ का एक चरम बिंदु है।
कथन $M$ के लिए: मान लीजिए $h(x) = r + f(x)$ है। तब $h'(x) = f'(x)$ होगा। $x=c$ पर,$h'(c) = f'(c) = 0$ है। अतः,$c$,$r+f$ का एक चरम बिंदु है।
इसलिए,दोनों कथन सत्य हैं।

(B) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x - 8$ है।
मोड़ बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं:
$f'(x) = 6x^2 - 30x + 36 = 0$.
$6$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2 - 5x + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 2)(x - 3) = 0$.
अतः,मोड़ बिंदुओं के $x$-निर्देशांक $x = 2$ और $x = 3$ हैं।
$x = 2$ के लिए,$f(2) = 2(8) - 15(4) + 36(2) - 8 = 16 - 60 + 72 - 8 = 20$.
$x = 3$ के लिए,$f(3) = 2(27) - 15(9) + 36(3) - 8 = 54 - 135 + 108 - 8 = 19$.
दिया गया है कि $\alpha < \gamma$,इसलिए $\alpha = 2$ और $\gamma = 3$ है।
तदनुसार,$\beta = 20$ और $\delta = 19$ है।
अब,$\alpha - \gamma - \beta + \delta = 2 - 3 - 20 + 19 = -2$.

(B) माना $R$ गोले की त्रिज्या है और $r$ तथा $h$ बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई हैं।
गोले और अंतर्निहित बेलन की ज्यामिति से,हमारे पास संबंध है: $R^2 = r^2 + (h/2)^2$.
अतः,$r^2 = R^2 - h^2/4$.
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h = \pi (R^2 - h^2/4) h = \pi R^2 h - \pi h^3/4$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dV}{dh} = \pi R^2 - \frac{3\pi h^2}{4}$.
$\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर,हमें $\pi R^2 = \frac{3\pi h^2}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h^2 = \frac{4R^2}{3}$,इसलिए $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.
यहाँ $R = 3 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $h = \frac{2 \times 3}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{3} \ cm$.
चूँकि $\frac{d^2V}{dh^2} = -\frac{6\pi h}{4} < 0$ है,इसलिए $h = 2 \sqrt{3} \ cm$ पर आयतन अधिकतम है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = x^2 e^{-2x}$ है,जहाँ $x > 0$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot e^{-2x} + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-2x})$
$f'(x) = 2x e^{-2x} + x^2(-2)e^{-2x}$
$f'(x) = 2x e^{-2x}(1 - x)$
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$2x e^{-2x}(1 - x) = 0$
चूंकि $x > 0$ और $e^{-2x} \neq 0$ है,इसलिए $1 - x = 0$,जिससे $x = 1$ प्राप्त होता है।
प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर:
$0 < x < 1$ के लिए,$f'(x) > 0$ (फलन वर्धमान है)।
$x > 1$ के लिए,$f'(x) < 0$ (फलन ह्रासमान है)।
अतः,$x = 1$ पर $f(x)$ का स्थानीय अधिकतम मान है।
अधिकतम मान $f(1) = (1)^2 e^{-2(1)} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$ है।

(A) दिया गया है,$y=x^3-3 x^2+5$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x$ प्राप्त होता है।
स्थानीय उच्चिष्ठ (local maxima) या स्थानीय निम्निष्ठ (local minima) के लिए,हम $\frac{dy}{dx} = 0$ रखते हैं।
$3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x-2) = 0 \Rightarrow x = 0$ या $x = 2$.
अब,$\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,हमें $\frac{d^2y}{dx^2} = 6x - 6$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = 6(0) - 6 = -6 < 0$.
चूंकि द्वितीय अवकलज $x = 0$ पर ऋणात्मक है,इसलिए $x = 0$ स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है।
$x = 2$ पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = 6(2) - 6 = 6 > 0$.
चूंकि द्वितीय अवकलज $x = 2$ पर धनात्मक है,इसलिए $x = 2$ स्थानीय निम्निष्ठ का बिंदु है।
अतः,स्थानीय अधिकतम मान $x = 0$ पर प्राप्त होता है।

(C) माना शंकु की ऊँचाई $h$ है और शंकु की त्रिज्या $r$ है। दिया गया है कि गोले की त्रिज्या $R$ है।
$\triangle OPB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$R^2 = r^2 + (h - R)^2$
$\Rightarrow r^2 = R^2 - (h - R)^2 = R^2 - (h^2 - 2Rh + R^2) = 2Rh - h^2$.
शंकु का आयतन $V$ इस प्रकार है:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2Rh - h^2) h = \frac{\pi}{3} (2Rh^2 - h^3)$.
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,$V$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{3} (4Rh - 3h^2)$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर:
$\frac{\pi}{3} h(4R - 3h) = 0$.
चूँकि $h \neq 0$,इसलिए $h = \frac{4R}{3}$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर:
$\frac{d^2V}{dh^2} = \frac{\pi}{3} (4R - 6h)$.
$h = \frac{4R}{3}$ पर,$\frac{d^2V}{dh^2} = \frac{\pi}{3} (4R - 6(\frac{4R}{3})) = \frac{\pi}{3} (4R - 8R) = -\frac{4\pi R}{3} < 0$.
चूँकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए $h = \frac{4R}{3}$ पर आयतन अधिकतम है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ है।
चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$.
चरम मानों के लिए,हम $f'(x) = 0$ रखते हैं:
$3x^2 + 2ax + b = 0$.
इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D = (2a)^2 - 4(3)(b) = 4a^2 - 12b = 4(a^2 - 3b)$ है।
दी गई शर्त $a^2 \leq 3b$ के अनुसार,$a^2 - 3b \leq 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि $D \leq 0$ है।
यदि $D < 0$ है,तो द्विघात समीकरण $f'(x) = 0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है,जिसका अर्थ है कि $f'(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है और फलन पूरी तरह से एकदिष्ट है।
यदि $D = 0$ है,तो $f'(x) = 3(x + a/3)^2$,जो हमेशा $\geq 0$ है,इसलिए फलन निरंतर वर्धमान है और इसमें नति परिवर्तन बिंदु है,कोई चरम मान नहीं है।
अतः,फलन का कोई चरम मान नहीं है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = (x-1)^2 + 3$ है,जो अंतराल $x \in [-3, 1]$ पर परिभाषित है।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 2(x-1)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $2(x-1) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 1$.
चूंकि $x = 1$ अंतराल $[-3, 1]$ का एक अंतिम बिंदु है,इसलिए हम क्रांतिक बिंदु और सीमाओं पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$x = 1$ पर,$f(1) = (1-1)^2 + 3 = 3$.
$x = -3$ पर,$f(-3) = (-3-1)^2 + 3 = (-4)^2 + 3 = 16 + 3 = 19$.
मानों की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $m = 3$ और अधिकतम मान $M = 19$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(m, M)$ का मान $(3, 19)$ है।

(A) दिया गया है,$f(x)=x e^{-x}$।
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime}(x) = (1)e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1-x)$।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f^{\prime}(x) = 0$ रखें:
$e^{-x}(1-x) = 0 \Rightarrow x = 1$।
इसके बाद,द्वितीय अवकलज $f^{\prime \prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime \prime}(x) = -e^{-x}(1-x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(x-1-1) = e^{-x}(x-2)$।
$x=1$ पर मान ज्ञात करें:
$f^{\prime \prime}(1) = e^{-1}(1-2) = -e^{-1} = -\frac{1}{e} < 0$।
चूंकि $f^{\prime}(1) = 0$ और $f^{\prime \prime}(1) < 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ का $x=1$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अतः,$(A)$ और $(R)$ दोनों सत्य हैं और $(R)$,$(A)$ का सही स्पष्टीकरण है।

(C) माना $y = 2x^2 + x - 1$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं $y' = 4x + 1$।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $y' = 0$ रखने पर,$4x + 1 = 0$,जिसका अर्थ है $x = -\frac{1}{4}$।
द्वितीय अवकलज $y'' = 4$ है,जो धनात्मक $(> 0)$ है,जो यह पुष्टि करता है कि फलन का मान $x = -\frac{1}{4}$ पर न्यूनतम है।
$x = -\frac{1}{4}$ को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = 2(-\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{4}) - 1$
$y = 2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{4} - 1$
$y = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{9}{8}$।
अतः,न्यूनतम मान $-\frac{9}{8}$ है।

(A) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि $x + y = 20$,इसलिए $y = 20 - x$।
माना कि गुणनफल $P = x^2 y^3$ है।
$y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P(x) = x^2(20 - x)^3$ प्राप्त होता है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,$P$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dP}{dx} = 2x(20 - x)^3 + x^2 \cdot 3(20 - x)^2(-1) = x(20 - x)^2 [2(20 - x) - 3x] = x(20 - x)^2 (40 - 5x)$।
$\frac{dP}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$,$x = 20$,या $x = 8$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ और $y$ धनात्मक होने चाहिए,इसलिए हम $x = 8$ लेते हैं।
यदि $x = 8$ है,तो $y = 20 - 8 = 12$ होगा।
अतः,वे संख्याएँ $8$ और $12$ हैं।

(C) माना $M = xy$ है।
दिया गया है कि $x + y = 7$,इसलिए हम $y = 7 - x$ लिख सकते हैं।
इस मान को $M$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,$M = x(7 - x) = 7x - x^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,$M$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dM}{dx} = 7 - 2x$।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{dM}{dx} = 0$ रखने पर,$7 - 2x = 0$,जिसका अर्थ है $x = \frac{7}{2}$।
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर: $\frac{d^2M}{dx^2} = -2$।
चूंकि $\frac{d^2M}{dx^2} < 0$ है,इसलिए फलन $M$ का मान $x = \frac{7}{2}$ पर अधिकतम है।
अतः अधिकतम मान $M = \frac{7}{2}(7 - \frac{7}{2}) = \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} = \frac{49}{4}$ है।

(B) माना $f(x) = x \log x + x - 3$.
$f'(x) = x \cdot \frac{1}{x} + \log x + 1 = 1 + \log x + 1 = \log x + 2$.
$x \in (1, 3)$ के लिए,$\log x > 0$,इसलिए $f'(x) = \log x + 2 > 2 > 0$.
अतः,$f(x)$ अंतराल $(1, 3)$ में निरंतर वर्धमान है।
$f(1) = 1 \cdot \log(1) + 1 - 3 = -2$.
$f(3) = 3 \log 3 + 3 - 3 = 3 \log 3 > 0$.
चूंकि $f(1) < 0$ और $f(3) > 0$ है और $f(x)$ सतत और वर्धमान है,इसलिए इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,$(1, 3)$ में ठीक एक मूल विद्यमान है।

(C) दिया गया ऊँचाई फलन: $x(t) = 100t - \frac{25}{2}t^2$ है।
अधिकतम ऊँचाई ज्ञात करने के लिए,हम $x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dx}{dt} = 100 - 25t$।
अधिकतम ऊँचाई के लिए,प्रथम अवकलज को शून्य के बराबर रखें:
$100 - 25t = 0 \implies t = 4 \text{ s}$।
अब,यह पुष्टि करने के लिए कि यह अधिकतम है,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{d^2x}{dt^2} = -25$।
चूँकि $\frac{d^2x}{dt^2} < 0$ है,इसलिए फलन $t = 4 \text{ s}$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है।
$t = 4$ को मूल समीकरण में रखने पर:
$x_{\text{max}} = 100(4) - \frac{25}{2}(4)^2 = 400 - \frac{25}{2}(16) = 400 - 200 = 200 \text{ m}$।

(B, C) दिया गया त्वरण $f = \frac{dv}{dt} = 6 - \sqrt{1.2t}$ है।
$t = 0$ पर,$v = 0$ है।
वेग अधिकतम तब होता है जब त्वरण $f = 0$ हो।
$f = 0$ रखने पर,$6 - \sqrt{1.2t} = 0 \Rightarrow \sqrt{1.2t} = 6 \Rightarrow 1.2t = 36 \Rightarrow t = \frac{36}{1.2} = 30 \text{ sec}$।
अतः,समय $T = 30 \text{ sec}$ है।
अधिकतम वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $t = 0$ से $t = 30$ तक त्वरण का समय के सापेक्ष समाकलन करते हैं:
$v = \int_{0}^{30} (6 - \sqrt{1.2} \cdot t^{1/2}) dt$
$v = [6t - \sqrt{1.2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2}]_{0}^{30}$
$v = 6(30) - \frac{2}{3} \sqrt{1.2} \cdot (30)^{3/2}$
$v = 180 - \frac{2}{3} \sqrt{1.2} \cdot 30 \sqrt{30} = 180 - 20 \sqrt{36} = 180 - 20(6) = 180 - 120 = 60 \text{ ft/sec}$।
इसलिए,अधिकतम वेग $v = 60 \text{ ft/sec}$ और समय $T = 30 \text{ sec}$ है।

(A) दिया गया त्वरण $v'(t) = a - kt^2$ है। चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए $v(0) = 0$ है।
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $v(t) = \int (a - kt^2) dt = at - \frac{k}{3}t^3 + C$ प्राप्त होता है।
$v(0) = 0$ का उपयोग करने पर,हमें $C = 0$ मिलता है,इसलिए $v(t) = at - \frac{k}{3}t^3$।
अधिकतम वेग ज्ञात करने के लिए,हम त्वरण को शून्य के बराबर रखते हैं: $a - kt^2 = 0$,जिससे $t^2 = \frac{a}{k}$ प्राप्त होता है,या $t = \sqrt{\frac{a}{k}}$ ($t > 0$ होने के कारण)।
$t$ के इस मान को वेग समीकरण में रखने पर:
$v_{\max} = a \sqrt{\frac{a}{k}} - \frac{k}{3} \left(\sqrt{\frac{a}{k}}\right)^3$
$v_{\max} = a \sqrt{\frac{a}{k}} - \frac{k}{3} \cdot \frac{a}{k} \sqrt{\frac{a}{k}}$
$v_{\max} = a \sqrt{\frac{a}{k}} - \frac{a}{3} \sqrt{\frac{a}{k}} = \frac{2a}{3} \sqrt{\frac{a}{k}} = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{a^3}{k}}$।

(C) दिया गया है $f^{\prime}(x)=(x-1)^{2}(4-x).$
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $f^{\prime}(x)=0$ रखते हैं।
$(x-1)^{2}(4-x)=0 \implies x=1, 4.$
हम अंतरालों $(-\infty, 1), (1, 4),$ और $(4, \infty)$ में $f^{\prime}(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं।
$x \in (-\infty, 1)$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0.$
$x \in (1, 4)$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0.$
$x \in (4, \infty)$ के लिए,$f^{\prime}(x) < 0.$
चूंकि $x \in (-\infty, 4)$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ है,इसलिए फलन $(-\infty, 4)$ में वर्धमान है।
चूंकि $x \in (4, \infty)$ के लिए $f^{\prime}(x) < 0$ है,इसलिए फलन $(4, \infty)$ में ह्रासमान है।
$x=4$ पर,$f^{\prime}(x)=0$ है,अतः $x=4$ एक क्रांतिक बिंदु है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = e^{(x^4 - x^3 + x^2)}$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = e^{(x^4 - x^3 + x^2)} \cdot \frac{d}{dx}(x^4 - x^3 + x^2)$
$f'(x) = e^{(x^4 - x^3 + x^2)} \cdot (4x^3 - 3x^2 + 2x)$
$f'(x) = e^{(x^4 - x^3 + x^2)} \cdot x(4x^2 - 3x + 2)$.
द्विघात व्यंजक $4x^2 - 3x + 2$ के लिए,विविक्तकर $D = (-3)^2 - 4(4)(2) = 9 - 32 = -23 < 0$ है।
चूंकि गुणांक $4 > 0$ और $D < 0$ है,इसलिए $4x^2 - 3x + 2$ हमेशा धनात्मक रहता है।
अतः,$f'(x)$ का चिह्न केवल $x$ पर निर्भर करता है।
$x < 0$ के लिए,$f'(x) < 0$,इसलिए फलन ह्रासमान (decreasing) है।
$x > 0$ के लिए,$f'(x) > 0$,इसलिए फलन वर्धमान (increasing) है।
अतः,फलन का न्यूनतम मान $x = 0$ पर प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान $f(0) = e^{(0^4 - 0^3 + 0^2)} = e^0 = 1$ है।

(B) चूंकि $p(x)$ का $x=1$ पर स्थानीय उच्चतम और $x=3$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है,इसलिए इसके अवकलज $p^{\prime}(x)$ के मूल $x=1$ और $x=3$ होने चाहिए। अतः,$p^{\prime}(x) = a(x-1)(x-3)$ जहाँ $a \neq 0$ एक स्थिरांक है।
$p^{\prime}(x)$ का समाकलन करने पर,हमें $p(x) = a(\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x) + b$ प्राप्त होता है।
$p(1) = 6$ का उपयोग करने पर: $a(\frac{1}{3} - 2 + 3) + b = 6 \implies \frac{4a}{3} + b = 6 \implies 4a + 3b = 18$.
$p(3) = 2$ का उपयोग करने पर: $a(\frac{27}{3} - 2(9) + 3(3)) + b = 2 \implies a(9 - 18 + 9) + b = 2 \implies b = 2$.
$b = 2$ को $4a + 3b = 18$ में रखने पर,हमें $4a + 6 = 18 \implies 4a = 12 \implies a = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$p^{\prime}(x) = 3(x-1)(x-3)$.
$x=0$ पर मान ज्ञात करने पर,$p^{\prime}(0) = 3(0-1)(0-3) = 3(-1)(-3) = 9$.

(C) स्थानीय उच्चतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले फलन $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4$ का अवकलन करते हैं।
$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$6(x^2 - x - 2) = 0 \Rightarrow 6(x - 2)(x + 1) = 0$.
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 2$ और $x = -1$ हैं।
अब,हम द्वितीय अवकलज $f''(x) = 12x - 6$ ज्ञात करते हैं।
$x = -1$ के लिए,$f''(-1) = 12(-1) - 6 = -18 < 0$,इसलिए $x = -1$ एक स्थानीय उच्चतम बिंदु है।
$x = 2$ के लिए,$f''(2) = 12(2) - 6 = 18 > 0$,इसलिए $x = 2$ एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
अतः,फलन के पास एक स्थानीय उच्चतम और एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।

(C) फलन $f(x) = |x^2 - 1|$ के रूप में परिभाषित है।
हम इसके ग्राफ को देखकर या इसके क्रांतिक बिंदुओं की जांच करके फलन के व्यवहार का विश्लेषण कर सकते हैं।
$1$. फलन $f(x) = |x^2 - 1|$ सभी $x \in R$ के लिए अ-ऋणात्मक है।
$2$. $x = 1$ और $x = -1$ पर,$f(x) = |1^2 - 1| = 0$ होता है। चूंकि सभी $x$ के लिए $f(x) \ge 0$ है,इसलिए बिंदु $x = 1$ और $x = -1$ स्थानीय निम्निष्ठ के बिंदु हैं जहाँ न्यूनतम मान $0$ है।
$3$. $x = 0$ पर,$f(0) = |0^2 - 1| = |-1| = 1$ होता है। $0$ के आसपास एक छोटे अंतराल (जैसे $x \in (-1, 1)$) में,$f(x) = |x^2 - 1| = 1 - x^2$ होता है। इस अंतराल में $x \neq 0$ के लिए $1 - x^2 < 1$ होने के कारण,$x = 0$ स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है।
अतः,$f$ का $x = \pm 1$ पर स्थानीय निम्निष्ठ और $x = 0$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ है।

(B) फलन $f(x) = x(x - 1)(x - 2) \dots (x - 100)$ है।
यह $101$ घात वाला एक बहुपद है।
फलन के शून्य $x = 0, 1, 2, \dots, 100$ हैं।
चूंकि अग्रणी गुणांक धनात्मक है और घात विषम है,इसलिए ग्राफ $-\infty$ से शुरू होकर $+\infty$ तक जाता है।
किन्हीं दो क्रमागत शून्यों $x = k$ और $x = k+1$ के बीच,रोले के प्रमेय के अनुसार कम से कम एक स्थानीय चरम बिंदु (extremum) होना चाहिए।
यहाँ $(k, k+1)$ रूप के $100$ अंतराल हैं,जहाँ $k = 0, 1, \dots, 99$ है।
प्रत्येक अंतराल में ठीक एक स्थानीय चरम बिंदु होता है।
चूंकि फलन $(0, 1)$ में धनात्मक,$(1, 2)$ में ऋणात्मक,$(2, 3)$ में धनात्मक है,इसलिए स्थानीय चरम बिंदु स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ के बीच बदलते रहते हैं।
अंतराल $(0, 1), (1, 2), (2, 3), \dots, (99, 100)$ हैं।
स्थानीय उच्चिष्ठ $(0, 1), (2, 3), \dots, (98, 99)$ अंतरालों में प्राप्त होते हैं।
ऐसे अंतरालों की संख्या $50$ है (अर्थात $k = 0, 2, \dots, 98$)।
अतः,$50$ स्थानीय उच्चिष्ठ हैं।

(C) दिया गया फलन $f(x) = e^{\sin x} + e^{\cos x}$ है।
क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए,हम अवकलज $f'(x) = 0$ रखते हैं:
$f'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x + e^{\cos x} \cdot (-\sin x) = 0$
$e^{\sin x} \cos x = e^{\cos x} \sin x$
$\frac{e^{\sin x}}{e^{\cos x}} = \frac{\sin x}{\cos x}$
$e^{\sin x - \cos x} = \tan x$
चूंकि $f(x)$ एक $2\pi$ आवर्तकाल वाला आवर्ती फलन है,इसलिए $x$ के हल आवर्ती रूप से प्राप्त होते हैं।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$e^{\sin(\pi/4) - \cos(\pi/4)} = e^0 = 1$ और $\tan(\pi/4) = 1$ होता है। अतः,$x = \frac{\pi}{4}$ एक क्रांतिक बिंदु है।
$\sin x$ और $\cos x$ की आवर्तिता के कारण,फलन $f(x)$ अपने मानों को हर $2\pi$ के अंतराल पर दोहराता है।
इसलिए,वैश्विक अधिकतम मान सभी पूर्णांक $n$ के लिए $x = 2n\pi + \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है।
चूंकि ऐसे अनंत बिंदु हैं,इसलिए वैश्विक अधिकतम मान अनंत बिंदुओं पर मौजूद है।

(B) दिया गया है $f(x) = 3x^{2/3} - x^2$.
चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{-1/3} - 2x = 2x^{-1/3} - 2x = 2 \left( \frac{1 - x^{4/3}}{x^{1/3}} \right)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $1 - x^{4/3} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^{4/3} = 1$,इसलिए $x = 1$ या $x = -1$.
साथ ही,$x = 0$ पर $f'(x)$ अपरिभाषित है।
हम क्रांतिक बिंदुओं $x = -1, 0, 1$ के आसपास $f'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं:
$x < -1$ के लिए,$f'(x) > 0$.
$-1 < x < 0$ के लिए,$f'(x) < 0$.
$0 < x < 1$ के लिए,$f'(x) > 0$.
$x > 1$ के लिए,$f'(x) < 0$.
$x = -1$ पर,$f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए $f$ का $x = -1$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
$x = 0$ पर,$f'(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए $f$ का $x = 0$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
$x = 1$ पर,$f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए $f$ का $x = 1$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अतः,$f$ दो बिंदुओं $x = 1$ और $x = -1$ पर अधिकतम है।

(C) दिया गया है $f(x)=(x-2)^{17}(x+5)^{24}$।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = 17(x-2)^{16}(x+5)^{24} + 24(x-2)^{17}(x+5)^{23}$
$f'(x) = (x-2)^{16}(x+5)^{23} [17(x+5) + 24(x-2)]$
$f'(x) = (x-2)^{16}(x+5)^{23} [17x + 85 + 24x - 48]$
$f'(x) = (x-2)^{16}(x+5)^{23} (41x + 37)$
क्रांतिक बिंदु $x=2, x=-5, x=-\frac{37}{41}$ हैं।
अब,$x=2$ के आसपास $f'(x)$ का चिह्न जाँचते हैं:
चूंकि $(x-2)^{16}$ हमेशा गैर-ऋणात्मक है,$f'(x)$ का चिह्न $(x+5)^{23}(41x+37)$ पर निर्भर करता है।
जब $x$ का मान $2$ से थोड़ा कम होता है,तो $(x+5)^{23} > 0$ और $(41x+37) > 0$,इसलिए $f'(x) > 0$।
जब $x$ का मान $2$ से थोड़ा अधिक होता है,तो $(x+5)^{23} > 0$ और $(41x+37) > 0$,इसलिए $f'(x) > 0$।
चूंकि $x$ के $2$ से गुजरने पर $f'(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है,इसलिए $x=2$ पर $f(x)$ का न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम मान है।

(C) दिया गया है $f(x) = e^{\sin x} + e^{\cos x}$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका या अवकलन का उपयोग कर सकते हैं।
मान लीजिए $u = \sin x$ और $v = \cos x$ है। हम जानते हैं कि $u^2 + v^2 = 1$ होता है।
$f(x) = e^{\sin x} + e^{\cos x}$ के लिए,फलन अपना अधिकतम मान तब प्राप्त करता है जब $\sin x = \cos x$ हो।
$\sin x = \cos x$ रखने पर,हमें $\tan x = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$।
$x = \frac{\pi}{4}$ के लिए,$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
इन मानों को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = e^{1/\sqrt{2}} + e^{1/\sqrt{2}} = 2e^{1/\sqrt{2}}$।
अतः,अधिकतम मान $2e^{1/\sqrt{2}}$ है।

(C) माना वृत्ताकार सेक्टर की त्रिज्या $r$ है और चाप की लंबाई $\ell$ है।
यह दिया गया है कि तार की कुल लंबाई $20 \ m$ है,इसलिए सेक्टर का परिमाप $2r + \ell = 20$ है।
अतः,$\ell = 20 - 2r$.
वृत्ताकार सेक्टर का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} r \ell$ द्वारा दिया जाता है।
$\ell$ का मान रखने पर,हमें $A = \frac{1}{2} r (20 - 2r) = 10r - r^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dA}{dr} = 10 - 2r = 0$.
$r$ के लिए हल करने पर,हमें $2r = 10$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $r = 5 \ m$.
यह सत्यापित करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $\frac{d^2A}{dr^2} = -2$,जो $0$ से कम है,यह पुष्टि करता है कि $r = 5 \ m$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।

(C) फलन $f(x) = |x^{2} - 1|$ के रूप में परिभाषित है।
हम इसके ग्राफ को देखकर या बिंदुओं का परीक्षण करके फलन के व्यवहार का विश्लेषण कर सकते हैं।
$x = \pm 1$ पर,$f(x) = |(\pm 1)^{2} - 1| = |1 - 1| = 0$ है। चूंकि निरपेक्ष मान फलन हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f(x) \geq 0$ है। इस प्रकार,$x = \pm 1$ पर $f(x) = 0$ फलन का निरपेक्ष न्यूनतम मान दर्शाता है,जो एक स्थानीय न्यूनतम भी है।
$x = 0$ पर,$f(0) = |0^{2} - 1| = |-1| = 1$ है। $x = 0$ के करीब के मानों के लिए,जैसे $x = 0.1$ या $x = -0.1$,$f(0.1) = |(0.1)^{2} - 1| = |0.01 - 1| = 0.99$ प्राप्त होता है। चूंकि $f(0) = 1 > 0.99$,इसलिए $x = 0$ स्थानीय अधिकतम का बिंदु है।
अतः,$f$ का $x = \pm 1$ पर स्थानीय न्यूनतम और $x = 0$ पर स्थानीय अधिकतम है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \ln x$ अंतराल $x \in \left[\frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}\right]$ पर है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{2x} = \frac{2x - (1+x^2)}{2x(1+x^2)} = \frac{-(x-1)^2}{2x(1+x^2)}$.
चूंकि $-(x-1)^2 \leq 0$ और $2x(1+x^2) > 0$ है,इसलिए $f'(x) \leq 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ दिए गए अंतराल पर एक ह्रासमान फलन है।
अधिकतम मान बाएं छोर $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ पर प्राप्त होता है:
$f_{\max} = f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{4} \ln 3$.
न्यूनतम मान दाएं छोर $x = \sqrt{3}$ पर प्राप्त होता है:
$f_{\min} = f(\sqrt{3}) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) - \frac{1}{2} \ln(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} - \frac{1}{4} \ln 3$.

(C) दिया गया फलन $f(x) = 1 - \sqrt{x^2}$ है।
चूंकि $\sqrt{x^2} = |x|$,फलन को $f(x) = 1 - |x|$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x = 0$ पर,$f(0) = 1 - |0| = 1$ होता है।
किसी भी $x \neq 0$ के लिए,$|x| > 0$ होता है,इसलिए $f(x) = 1 - |x| < 1$ होता है।
चूंकि सभी $x$ के लिए $f(x) \leq f(0)$ है,इसलिए फलन $x = 0$ पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।
अतः,$f$ का $x = 0$ पर अधिकतम मान (maxima) है।

(A) दिया गया फलन $f(x)=2x^{3}-9ax^{2}+12a^{2}x+1$ है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 6x^{2}-18ax+12a^{2}$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए $f'(x)=0$ रखें:
$6(x^{2}-3ax+2a^{2})=0 \Rightarrow 6(x-a)(x-2a)=0$.
अतः,क्रांतिक बिंदु $x=a$ और $x=2a$ हैं।
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें:
$f''(x) = 12x-18a$.
क्रांतिक बिंदुओं की प्रकृति की जाँच करें:
$x=a$ के लिए: $f''(a) = 12a-18a = -6a$. चूँकि $a>0$,इसलिए $f''(a) < 0$,अतः $f(x)$ का $p=a$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
$x=2a$ के लिए: $f''(2a) = 12(2a)-18a = 6a$. चूँकि $a>0$,इसलिए $f''(2a) > 0$,अतः $f(x)$ का $q=2a$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
शर्त $p^{2}=q$ दी गई है,मान रखने पर:
$a^{2} = 2a$.
चूँकि $a>0$,$a$ से विभाजित करने पर:
$a = 2$.

(B, C) मान लीजिए कि समय $t$ पर पहले कण का विस्थापन $S_1$ है और दूसरे कण का विस्थापन $S_2$ है।
पहले कण के लिए: $S_1 = u t$.
दूसरे कण के लिए: $S_2 = \frac{1}{2} f t^2$.
उनके बीच की दूरी $D(t) = |S_1 - S_2| = |u t - \frac{1}{2} f t^2|$ है।
सबसे अधिक दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $D(t)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dD}{dt} = u - f t = 0$.
इससे $t = \frac{u}{f}$ प्राप्त होता है।
$t = \frac{u}{f}$ पर,दूरी $D = u(\frac{u}{f}) - \frac{1}{2} f(\frac{u}{f})^2 = \frac{u^2}{f} - \frac{u^2}{2f} = \frac{u^2}{2f}$ है।
अतः,कण $t = \frac{u}{f}$ पर सबसे अधिक दूरी पर होंगे और अधिकतम दूरी $\frac{u^2}{2f}$ है।
इसलिए,विकल्प $B$ और $C$ सही हैं।

(C) दिया गया है $f(x) = \exp\left(x^{\frac{1}{x}}\right)$। मान लीजिए $g(x) = x^{\frac{1}{x}}$। चूँकि $\exp(u)$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $f(x)$ का न्यूनतम मान वहाँ होगा जहाँ $g(x)$ न्यूनतम है।
$g(x)$ का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(g(x)) = \frac{\ln x}{x}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{x(\frac{1}{x}) - \ln x(1)}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$।
$g'(x) = 0$ रखने पर $1 - \ln x = 0$,अतः $x = e \approx 2.718$।
$x < e$ के लिए $g'(x) > 0$ (वर्धमान) और $x > e$ के लिए $g'(x) < 0$ (ह्रासमान)।
चूँकि $e \in [2, 5]$,फलन $g(x)$ अंतराल $[2, e]$ में बढ़ता है और $[e, 5]$ में घटता है।
$[2, 5]$ पर $g(x)$ का न्यूनतम मान अंतिम बिंदुओं $x = 2$ या $x = 5$ पर प्राप्त होगा।
$g(2) = 2^{1/2} = \sqrt{2} \approx 1.414$ और $g(5) = 5^{1/5} \approx 1.3797$ की तुलना करने पर।
चूँकि $g(5) < g(2)$,इसलिए $g(x)$ का न्यूनतम मान $5^{1/5}$ है।
अतः,$f(x)$ का न्यूनतम मान $\exp\left(5^{\frac{1}{5}}\right)$ है।

(B) दिया गया है,$f(x) = 2|x-1| + |x-2|$.
हम विभिन्न अंतरालों में फलन का विश्लेषण करते हैं:
स्थिति $1$: यदि $x < 1$,तो $f(x) = -2(x-1) - (x-2) = -2x + 2 - x + 2 = -3x + 4$। चूँकि ढाल $-3$ है,फलन इस अंतराल में घट रहा है।
स्थिति $2$: यदि $1 \leq x < 2$,तो $f(x) = 2(x-1) - (x-2) = 2x - 2 - x + 2 = x$। चूँकि ढाल $1$ है,फलन इस अंतराल में बढ़ रहा है।
स्थिति $3$: यदि $x \geq 2$,तो $f(x) = 2(x-1) + (x-2) = 2x - 2 + x - 2 = 3x - 4$। चूँकि ढाल $3$ है,फलन इस अंतराल में बढ़ रहा है।
इस प्रकार,फलन $x=1$ तक घटता है और फिर बढ़ना शुरू कर देता है।
इसलिए,न्यूनतम मान $x=1$ पर प्राप्त होता है।
$f(1) = 2|1-1| + |1-2| = 2(0) + |-1| = 0 + 1 = 1$.

(C) दिया गया है,$f(x)=\sin x+2 \cos ^{2} x$,जहाँ $x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$.
अवकलन करने पर,$f'(x) = \cos x - 2 \sin 2x = \cos x(1 - 4 \sin x)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$\cos x = 0$ या $\sin x = \frac{1}{4}$.
अंतराल $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$ में,$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}$.
$\sin x = \frac{1}{4}$ इस अंतराल में संभव नहीं है क्योंकि $\sin x \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अंतिम बिंदुओं और क्रांतिक बिंदु पर मानों की जाँच करने पर:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + 1$,$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$,$f\left(\frac{3 \pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + 1$.
अतः,$f(x)$ का न्यूनतम मान $x = \frac{\pi}{2}$ पर प्राप्त होता है।