Maxima and Minima Questions in Hindi

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{8} + \frac{2}{x}$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = \frac{1}{8} - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2 - 16}{8x^2}$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखें,जिससे $x^2 - 16 = 0$,अर्थात $x = 4$ या $x = -4$ प्राप्त होता है।
चूंकि अंतराल $[1, 6]$ है,हम केवल $x = 4$ पर विचार करेंगे।
अब,क्रांतिक बिंदु और अंतराल के अंतिम बिंदुओं $[1, 6]$ पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(1) = \frac{1}{8} + \frac{2}{1} = \frac{1}{8} + 2 = \frac{17}{8} = 2.125$.
$f(4) = \frac{4}{8} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
$f(6) = \frac{6}{8} + \frac{2}{6} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3} = \frac{9+4}{12} = \frac{13}{12} \approx 1.083$.
$f(1) = \frac{17}{8}$,$f(4) = 1$,और $f(6) = \frac{13}{12}$ की तुलना करने पर,अधिकतम मान $\frac{17}{8}$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^3 e^{-3x}$ है,जहाँ $x > 0$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) \cdot e^{-3x} + x^3 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-3x})$
$f'(x) = 3x^2 e^{-3x} + x^3 (-3 e^{-3x})$
$f'(x) = 3x^2 e^{-3x} (1 - x)$
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$3x^2 e^{-3x} (1 - x) = 0$
चूंकि $x > 0$ और $e^{-3x} \neq 0$ है,इसलिए $1 - x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 1$।
यह पुष्टि करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम $x = 1$ के आसपास $f'(x)$ का चिह्न जाँचते हैं। $x < 1$ के लिए $f'(x) > 0$ और $x > 1$ के लिए $f'(x) < 0$ है।
अतः,$f(x)$ का स्थानीय अधिकतम मान $x = 1$ पर है।
अधिकतम मान $f(1) = (1)^3 e^{-3(1)} = e^{-3}$ है।

(A) विस्थापन $x = t^4 - k t^3$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन का अवकलन है:
$v = \frac{dx}{dt} = 4t^3 - 3kt^2$.
न्यूनतम वेग की स्थिति ज्ञात करने के लिए,हम त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$ ज्ञात करते हैं:
$a = \frac{dv}{dt} = 12t^2 - 6kt$.
$t = 2$ पर वेग न्यूनतम होने के लिए,समय के सापेक्ष वेग का अवकलन $t = 2$ पर शून्य होना चाहिए:
$\frac{dv}{dt} \big|_{t=2} = 12(2)^2 - 6k(2) = 0$.
$12(4) - 12k = 0$.
$48 - 12k = 0$.
$12k = 48$.
$k = 4$.
अतः,$k$ का मान $4$ है।

(B) वह बिंदु ज्ञात करने के लिए जहाँ ढाल अधिकतम है,हमें $f'(x)$ को अधिकतम करना होगा। मान लीजिए $g(x) = f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$ है।
$g(x)$ के अधिकतम होने के लिए,हम $g'(x) = f''(x) = 0$ रखते हैं।
$f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$
$f''(x) = e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x) = 2e^x \cos x$ है।
$f''(x) = 0$ रखने पर $2e^x \cos x = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $e^x \neq 0$,इसलिए $\cos x = 0$ होगा।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\cos x = 0$ का मान $x = \frac{\pi}{2}$ और $x = \frac{3\pi}{2}$ पर होता है।
हम $g(x)$ का द्वितीय अवकलज जाँचते हैं,जो $g'(x) = f''(x) = 2e^x \cos x$ है।
$g''(x) = f'''(x) = 2e^x \cos x - 2e^x \sin x = 2e^x(\cos x - \sin x)$ है।
$x = \frac{\pi}{2}$ पर,$g''(\frac{\pi}{2}) = 2e^{\pi/2}(0 - 1) = -2e^{\pi/2} < 0$ (स्थानीय अधिकतम)।
$x = \frac{3\pi}{2}$ पर,$g''(\frac{3\pi}{2}) = 2e^{3\pi/2}(0 - (-1)) = 2e^{3\pi/2} > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
अतः,ढाल $x = \frac{\pi}{2}$ पर अधिकतम है।

(B) दिया गया है,$f(x) = x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + c$.
अंतराल $(1, 2)$ की सीमाओं पर मान ज्ञात करने पर:
$f(1) = 1^{4} - 4(1)^{3} + 4(1)^{2} + c = 1 - 4 + 4 + c = 1 + c$.
$f(2) = 2^{4} - 4(2)^{3} + 4(2)^{2} + c = 16 - 32 + 16 + c = c$.
इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,यदि $f(1) \cdot f(2) < 0$ है,तो अंतराल $(1, 2)$ में कम से कम एक शून्य मौजूद है।
$f(1) \cdot f(2) = (1 + c)c$.
$f(1) \cdot f(2) < 0$ के लिए,हमें $c(c + 1) < 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $c \in (-1, 0)$.
चूंकि $f'(x) = 4x^{3} - 12x^{2} + 8x = 4x(x - 1)(x - 2)$,हम देखते हैं कि $x = 0, 1, 2$ पर $f'(x) = 0$ है।
अंतराल $(1, 2)$ में,$f'(x) < 0$ है,जिसका अर्थ है कि फलन निरंतर घट रहा है।
अतः,यदि $c \in (-1, 0)$ है,तो $f(x)$ का $(1, 2)$ में ठीक एक शून्य है।

(A) दिया गया है $f(x)=1-2x+\int_{0}^{x}e^{(x-t)}f(t)dt$.
$e^{-x}$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है $e^{-x}f(x) = (1-2x)e^{-x} + \int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt$.
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$e^{-x}f'(x) - e^{-x}f(x) = -2e^{-x} - (1-2x)e^{-x} + e^{-x}f(x)$.
$f'(x) - f(x) = -2 - 1 + 2x + f(x) \Rightarrow f'(x) - 2f(x) = 2x - 3$.
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसका समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -2 dx} = e^{-2x}$ है।
$f(x)e^{-2x} = \int (2x-3)e^{-2x} dx = (2x-3)\frac{e^{-2x}}{-2} - \int 2 \cdot \frac{e^{-2x}}{-2} dx = -\frac{2x-3}{2}e^{-2x} - \frac{1}{2}e^{-2x} + C$.
$f(x) = -x + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} + Ce^{2x} = 1-x + Ce^{2x}$.
चूंकि $f(0) = 1-2(0) + 0 = 1$,इसलिए $1 = 1-0 + C \Rightarrow C=0$.
अतः,$f(x) = 1-x$.
अब,$g(x) = \int_{0}^{x} (1-t+2)^{15}(t-4)^6(t+12)^{17} dt = \int_{0}^{x} (3-t)^{15}(t-4)^6(t+12)^{17} dt$.
$g'(x) = (3-x)^{15}(x-4)^6(x+12)^{17} = -(x-3)^{15}(x-4)^6(x+12)^{17}$.
क्रांतिक बिंदुओं $-12, 3, 4$ के आसपास $g'(x)$ के चिह्न की जांच करने पर:
$x < -12$ के लिए,$g'(x) < 0$.
$-12 < x < 3$ के लिए,$g'(x) > 0$.
$3 < x < 4$ के लिए,$g'(x) < 0$.
$x > 4$ के लिए,$g'(x) < 0$.
स्थानीय निम्निष्ठ $p = -12$ पर और स्थानीय उच्चिष्ठ $q = 3$ पर प्राप्त होता है।
अतः,$|p+q| = |-12+3| = |-9| = 9$.

(C) दिया गया है $f(t) = \frac{|t+1|}{t^2}, t < 0$ के लिए।
$t \in (-1, 0)$ के लिए,$f(t) = \frac{t+1}{t^2} = \frac{1}{t} + \frac{1}{t^2}$. अतः $f'(t) = -\frac{1}{t^2} - \frac{2}{t^3} = -\frac{t+2}{t^3}$. चूँकि $t < 0$,इसलिए $t^3 < 0$,अतः $t \in (-1, 0)$ के लिए $f'(t) > 0$ है।
$t \in (-\infty, -1)$ के लिए,$f(t) = \frac{-(t+1)}{t^2} = -\frac{1}{t} - \frac{1}{t^2}$. अतः $f'(t) = \frac{1}{t^2} + \frac{2}{t^3} = \frac{t+2}{t^3}$.
$f(t)$ के निरंतर ह्रासमान होने के लिए,$f'(t) < 0$ होना चाहिए। चूँकि $t^3 < 0$,हमें $t+2 > 0$ की आवश्यकता है,अर्थात $t > -2$. अतः,$f(t)$ अंतराल $(-2, -1)$ पर निरंतर ह्रासमान है।
$(-2, -1)$ की तुलना $(2\alpha, \alpha)$ से करने पर,हमें $\alpha = -1$ प्राप्त होता है।
अब,$x > 2$ के लिए $g(x) = 2\log_e(x-2) - x^2 + 4x + 1$.
$g'(x) = \frac{2}{x-2} - 2x + 4 = \frac{2 - 2x(x-2) + 4(x-2)}{x-2} = \frac{-2x^2 + 8x - 6}{x-2} = \frac{-2(x-3)(x-1)}{x-2}$.
$x > 2$ के लिए,$x = 3$ पर $g'(x) = 0$ है।
$x \in (2, 3)$ के लिए,$g'(x) > 0$ और $x > 3$ के लिए,$g'(x) < 0$ है। अतः,$x = 3$ पर $g(x)$ का स्थानीय उच्चतम मान प्राप्त होता है।
स्थानीय उच्चतम मान $g(3) = 2\log_e(3-2) - 3^2 + 4(3) + 1 = 2\log_e(1) - 9 + 12 + 1 = 0 - 9 + 13 = 4$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = x^{2025} - x^{2000}$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं $f'(x) = 2025x^{2024} - 2000x^{1999}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें मिलता है $x^{1999}(2025x^{25} - 2000) = 0$.
चूंकि $x \in [0, 1]$,क्रांतिक बिंदु $x = (\frac{2000}{2025})^{1/25} = (\frac{80}{81})^{1/25} = \alpha$ है।
$f(\alpha) = (\frac{80}{81})^{2025/25} - (\frac{80}{81})^{2000/25} = (\frac{80}{81})^{81} - (\frac{80}{81})^{80}$ का मान निकालने पर.
$f(\alpha) = (\frac{80}{81})^{80} (\frac{80}{81} - 1) = (\frac{80}{81})^{80} (-\frac{1}{81}) = 80^{80} \cdot 81^{-80} \cdot (-81)^{-1} = 80^{80} \cdot (-81)^{-81}$.
इसकी तुलना $(80)^{80}(n)^{-81}$ से करने पर,हमें $n = -81$ प्राप्त होता है।

(A) अंतराल $[0, 9]$ पर फलन $f(x) = x^3 - 18x^2 + 96x$ का निरपेक्ष न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = 3x^2 - 36x + 96$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखते हैं:
$3(x^2 - 12x + 32) = 0$
$3(x - 4)(x - 8) = 0$
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 4$ और $x = 8$ हैं।
अब,हम क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल $[0, 9]$ के अंतिम बिंदुओं पर फलन $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(0) = 0^3 - 18(0)^2 + 96(0) = 0$
$f(4) = 4^3 - 18(4)^2 + 96(4) = 64 - 288 + 384 = 160$
$f(8) = 8^3 - 18(8)^2 + 96(8) = 512 - 1152 + 768 = 128$
$f(9) = 9^3 - 18(9)^2 + 96(9) = 729 - 1458 + 864 = 135$
इन मानों $(0, 160, 128, 135)$ की तुलना करने पर,निरपेक्ष न्यूनतम मान $0$ है।

(C) हम जानते हैं कि मापांक फलन $|x+1|$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,जिसका अर्थ है कि सभी $x \in R$ के लिए $|x+1| \ge 0$ है।
$-1$ से गुणा करने पर असमिका बदल जाती है: $-|x+1| \le 0$।
दोनों पक्षों में $3$ जोड़ने पर: $-|x+1| + 3 \le 0 + 3$,जो सरल होकर $f(x) \le 3$ हो जाता है।
अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब पद $-|x+1| = 0$ हो,जो $x = -1$ पर होता है।
अतः,फलन का अधिकतम मान $3$ है।