Maxima and Minima Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $f(x) = 3^{(x^2-2)^3+4} = 81 \cdot 3^{(x^2-2)^3}$.
પ્રથમ વિકલન: $f'(x) = 81 \cdot 3^{(x^2-2)^3} \cdot \ln 3 \cdot 3(x^2-2)^2 \cdot 2x = (486 \ln 3) \cdot 3^{(x^2-2)^3} \cdot x(x^2-2)^2$.
$P$ માટે: $x=0$ અને $x=\pm \sqrt{2}$ આગળ $f'(x) = 0$ થાય છે. $x=0$ ની આસપાસ,$x(x^2-2)^2$ નું ચિહ્ન ઋણથી ધન થાય છે,તેથી $x=0$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમનું બિંદુ છે. આમ,$P$ સાચું છે.
$Q$ માટે: $x=\sqrt{2}$ આગળ $f''(x) = 0$ થાય છે. કારણ કે $x=\sqrt{2}$ આગળ $f''(x)$ નું ચિહ્ન બદલાય છે (કારણ કે $(x^2-2)$ એક અવયવ છે),તેથી $x=\sqrt{2}$ એ નતિપરિવર્તન બિંદુ છે. આમ,$Q$ સાચું છે.
$R$ માટે: $x > \sqrt{2}$ માટે,$f'(x) > 0$ છે. $f''(x)$ નું વિશ્લેષણ કરતા,$x > \sqrt{2}$ માટે $f''(x) > 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f'(x)$ વધતું વિધેય છે. આમ,$R$ સાચું છે.
તેથી,બધા જ વિધાનો $P, Q$ અને $R$ સાચા છે.

(B) અંતરાલ $[1, 2]$ પર આપેલ વિધેય $f(x) = e^x + x \ln x$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે વિધેયનું વિકલન શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x + x \ln x) = e^x + (1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = e^x + \ln x + 1$.
$x \in [1, 2]$ માટે,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $e^x > 0$,$\ln x \geq 0$,અને $1 > 0$ છે. તેથી,તમામ $x \in [1, 2]$ માટે $f'(x) > 0$ થાય છે.
જેহেতু વિકલન $f'(x)$ અંતરાલ પર હંમેશા ધન છે,તેથી વિધેય $f(x)$ એ $[1, 2]$ પર સતત વધતું વિધેય છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત અંતરાલના જમણા અંતિમ બિંદુ $x = 2$ પર મળે છે.
$f(2)$ ની ગણતરી કરતા:
$f(2) = e^2 + 2 \ln 2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) વક્રો $y_1 = x^2-4$ અને $y_2 = \frac{4-x^2}{2}$ છે.
ધારો કે લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ ઉપરના વક્ર પર $C(h, y_2)$ અને $D(-h, y_2)$ છે,અને નીચેના વક્ર પર $B(h, y_1)$ અને $A(-h, y_1)$ છે,જ્યાં $h > 0$.
લંબચોરસની પહોળાઈ $2h$ છે અને ઊંચાઈ $y_2 - y_1 = \frac{4-x^2}{2} - (x^2-4) = 6 - \frac{3x^2}{2}$ છે.
$x$ ની જગ્યાએ $h$ મૂકતા,ક્ષેત્રફળ $A(h) = 2h \times (6 - \frac{3h^2}{2}) = 12h - 3h^3$ મળે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,$h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dA}{dh} = 12 - 9h^2$.
$\frac{dA}{dh} = 0$ લેતા,$9h^2 = 12$,તેથી $h^2 = \frac{4}{3}$,એટલે કે $h = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = 12(\frac{2}{\sqrt{3}}) - 3(\frac{2}{\sqrt{3}})^3 = \frac{24}{\sqrt{3}} - \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ છે.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા,$A \approx \frac{16 \times 1.732}{3} \approx 9.237$.
$9.237$ ની સૌથી નજીકનો પૂર્ણાંક $9$ છે.

(B) ધારો કે ધાતુની તકતીની ત્રિજ્યા $R$ છે. જ્યારે એક વૃત્તાંશ દૂર કરવામાં આવે અને બાકીના ભાગને વાળીને શંકુ બનાવવામાં આવે,ત્યારે તકતીની ત્રિજ્યા $R$ એ શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ બને છે.
ધારો કે શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા $x$ છે અને તેની ઊંચાઈ $h$ છે.
આપણને સંબંધ મળે છે $R^2 = x^2 + h^2$,જ્યાં $R = l$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi x^2 h = 2 \sqrt{3} \pi$ આપેલું છે.
તેથી,$x^2 h = 6 \sqrt{3}$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = \frac{6 \sqrt{3}}{h}$.
આ કિંમતને $R^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$R^2 = \frac{6 \sqrt{3}}{h} + h^2$.
લઘુત્તમ વ્યાસ શોધવા માટે,આપણે $h$ ની સાપેક્ષમાં $R^2$ નું ન્યૂનતમીકરણ કરીએ:
$\frac{d(R^2)}{dh} = -\frac{6 \sqrt{3}}{h^2} + 2h$.
$\frac{d(R^2)}{dh} = 0$ લેતા,આપણને $2h = \frac{6 \sqrt{3}}{h^2}$ મળે,તેથી $h^3 = 3 \sqrt{3}$.
આનાથી $h = \sqrt{3}$ મળે છે.
ત્યારબાદ $x^2 = \frac{6 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$.
તેથી,$R^2 = 6 + (\sqrt{3})^2 = 6 + 3 = 9$,એટલે કે $R = 3$.
તકતીનો વ્યાસ $2R = 2 \times 3 = 6$ થાય.

(A) ધારો કે $r$ એ સામાન્ય ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ નળાકારની ઊંચાઈ છે.
નક્કર પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ $S$ એ અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(2\pi r^2)$,નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(2\pi rh)$ અને નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ $(\pi r^2)$ નો સરવાળો છે.
$S = 2\pi r^2 + 2\pi rh + \pi r^2 = 3\pi r^2 + 2\pi rh$
આના પરથી,આપણે $h$ ને $S$ અને $r$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ છીએ:
$h = \frac{S - 3\pi r^2}{2\pi r}$
નક્કર પદાર્થનું ઘનફળ $V$ એ અર્ધગોલકનું ઘનફળ $(\frac{2}{3}\pi r^3)$ અને નળાકારનું ઘનફળ $(\pi r^2 h)$ નો સરવાળો છે:
$V = \pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3$
$h$ માટેનું પદ મૂકતા:
$V = \pi r^2 \left( \frac{S - 3\pi r^2}{2\pi r} \right) + \frac{2}{3}\pi r^3$
$V = \frac{1}{2} (Sr - 3\pi r^3) + \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{1}{2} Sr - \frac{3}{2}\pi r^3 + \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{1}{2} Sr - \frac{5}{6}\pi r^3$
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,$V$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો અને તેને $0$ ની બરાબર લો:
$\frac{dV}{dr} = \frac{S}{2} - \frac{5}{2}\pi r^2 = 0$
$S = 5\pi r^2$
હવે,$S = 5\pi r^2$ ને $h$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$h = \frac{5\pi r^2 - 3\pi r^2}{2\pi r} = \frac{2\pi r^2}{2\pi r} = r$
આમ,નળાકારની ઊંચાઈ અને સામાન્ય ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $h:r = 1:1$ છે.

(D) ધારો કે વૃત્તાંશની ત્રિજ્યા $r$ છે અને કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો $\theta$ (રેડિયનમાં) છે.
ચાપની લંબાઈ $l = r\theta$ છે.
વૃત્તાંશની પરિમિતિ $P = 2r + l = 2r + r\theta = r(2 + \theta)$ છે.
આના પરથી,આપણે ત્રિજ્યાને $r = \frac{P}{2 + \theta}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ છે.
$P$ અને $\theta$ ના પદોમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$A = \frac{1}{2} \left(\frac{P}{2 + \theta}\right)^2 \theta = \frac{P^2}{2} \cdot \frac{\theta}{(2 + \theta)^2}$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dA}{d\theta} = \frac{P^2}{2} \cdot \frac{(2 + \theta)^2(1) - \theta(2)(2 + \theta)}{(2 + \theta)^4} = 0$.
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$(2 + \theta)^2 - 2\theta(2 + \theta) = 0$.
$(2 + \theta)$ સામાન્ય લેતા:
$(2 + \theta)(2 + \theta - 2\theta) = 0$.
$(2 + \theta)(2 - \theta) = 0$.
કારણ કે $\theta > 0$,તેથી $\theta = 2$ રેડિયન મળે છે.
આમ,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ માટે કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $2$ રેડિયન છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \alpha x^2 - 2 + \frac{1}{x} = \frac{\alpha x^3 - 2x + 1}{x}$.
તમામ $x > 0$ માટે $f(x) \geq 0$ હોવાથી,$g(x) = \alpha x^3 - 2x + 1 \geq 0$ થવું જોઈએ.
$g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$g'(x) = 3\alpha x^2 - 2$ મેળવીએ.
$g'(x) = 0$ લેતા,$x^2 = \frac{2}{3\alpha}$,તેથી $x = \sqrt{\frac{2}{3\alpha}}$ (કારણ કે $x > 0$).
દ્વિતીય વિકલન $g''(x) = 6\alpha x > 0$ હોવાથી,આ બિંદુએ ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
$x = \sqrt{\frac{2}{3\alpha}}$ ને $g(x)$ માં મૂકતા:
$g\left(\sqrt{\frac{2}{3\alpha}}\right) = \alpha \left(\frac{2}{3\alpha}\right) \sqrt{\frac{2}{3\alpha}} - 2\sqrt{\frac{2}{3\alpha}} + 1 \geq 0$.
$\sqrt{\frac{2}{3\alpha}} \left( \frac{2}{3} - 2 \right) + 1 \geq 0$.
$1 - \frac{4}{3} \sqrt{\frac{2}{3\alpha}} \geq 0 \Rightarrow 1 \geq \frac{4}{3} \sqrt{\frac{2}{3\alpha}}$.
$\frac{3}{4} \geq \sqrt{\frac{2}{3\alpha}} \Rightarrow \frac{9}{16} \geq \frac{2}{3\alpha}$.
$27\alpha \geq 32 \Rightarrow \alpha \geq \frac{32}{27} = \frac{2^5}{3^3}$.
આમ,$\alpha$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{2^5}{3^3}$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = 3x^3 - 25x + n$.
ત્રણ વાસ્તવિક બીજ મેળવવા માટે,સ્થાનિક મહત્તમ અને સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્યો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
$f'(x) = 9x^2 - 25$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$x^2 = \frac{25}{9}$,તેથી $x = \pm \frac{5}{3}$.
$x_1 = -\frac{5}{3}$ અને $x_2 = \frac{5}{3}$ લેતા.
$f(x_1) = n + \frac{250}{9}$ અને $f(x_2) = n - \frac{250}{9}$.
ત્રણ વાસ્તવિક બીજ માટે,$f(x_1) \cdot f(x_2) < 0$,તેથી $(n + \frac{250}{9})(n - \frac{250}{9}) < 0$.
આથી $-\frac{250}{9} < n < \frac{250}{9}$.
$\frac{250}{9} \approx 27.77$ હોવાથી,$n$ ની કિંમતો $-27$ થી $27$ સુધીની છે.
આવા પૂર્ણાંકોની કુલ સંખ્યા $27 - (-27) + 1 = 55$ છે.

(A) આપણી પાસે $f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}$ છે.
નોંધો કે $f'(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} = f(x) - \frac{x^4}{4!}$.
વળી,$f''(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} = \frac{1}{2}(x+1)^2 + \frac{1}{2} > 0$ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે.
$f''(x) > 0$ હોવાથી,$f'(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
જેમ $x \to -\infty$,$f'(x) \to -\infty$ અને જેમ $x \to \infty$,$f'(x) \to \infty$. તેથી,$f'(x) = 0$ ને બરાબર એક વાસ્તવિક બીજ $x_0$ છે.
$f'(x)$ વધતું હોવાથી,$f(x)$ ને $x = x_0$ પર વૈશ્વિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે છે.
આપણે જોઈએ છીએ કે $f'(-2) = -0.33 < 0$ અને $f'(-1) = 0.33 > 0$. તેથી $x_0 \in (-2, -1)$.
ન્યૂનતમ બિંદુ $x_0$ પર,$f(x_0) = 1 + x_0 + \frac{x_0^2}{2} + \frac{x_0^3}{6} + \frac{x_0^4}{24}$.
$f'(x_0) = 0$ હોવાથી,$1 + x_0 + \frac{x_0^2}{2} + \frac{x_0^3}{6} = 0$ થાય.
તેથી $f(x_0) = 0 + \frac{x_0^4}{24} = \frac{x_0^4}{24}$.
$x_0 \neq 0$ હોવાથી,$f(x_0) = \frac{x_0^4}{24} > 0$.
$f(x)$ નું વૈશ્વિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધન હોવાથી,$f(x) = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(B) ધારો કે $f(x) = 3^x + 5^x - (3^x)^2 + (3^x)(5^x) - (5^x)^2$.
ધારો કે $a = 3^x$ અને $b = 5^x$,જ્યાં $a, b > 0$.
તેથી $f(x) = a + b - a^2 + ab - b^2$.
આને $f(x) = a + b - (a^2 - ab + b^2)$ તરીકે લખી શકાય.
$x=0$ મુકતા,$f(0) = 3^0 + 5^0 - 9^0 + 15^0 - 25^0 = 1 + 1 - 1 + 1 - 1 = 1$.
આમ,મહત્તમ કિંમત $M = 1$ મળે છે,જે $0 < M < 2$ ની શરત સંતોષે છે.

(B) વક્રો $y=e^x$ અને $y=\log_e x$ એકબીજાના વ્યસ્ત વિધેયો છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ રેખા $y=x$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
ધારો કે $A$ એ $y=e^x$ પરનું બિંદુ છે જેના યામ $(h, e^h)$ છે. બિંદુ $A$ થી રેખા $y=x$ (અથવા $x-y=0$) સુધીનું અંતર $AB = \frac{|h-e^h|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|h-e^h|}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વક્રો $y=x$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,બે વક્રો વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $AC = 2AB$ થાય,જ્યાં $B$ એ રેખા $y=x$ પર $A$ નો પ્રક્ષેપ છે.
$AB$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $f(h) = e^h - h$ ને ન્યૂનતમ કરીએ છીએ (કારણ કે તમામ $h$ માટે $e^h > h$ છે).
$f'(h) = e^h - 1$. $f'(h) = 0$ લેતા $e^h = 1$ મળે,તેથી $h=0$.
$h=0$ પર,લઘુત્તમ અંતર $AB = \frac{|0-e^0|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,વક્રો વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $AC = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$.
$f(2) = 0$ હોવાથી,$8 + 4a + 2b + c = 0$ ... $(i)$.
વિકલન કરતા $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ મળે.
$f(x)$ ને $x = 1$ અને $x = -\frac{1}{3}$ આગળ ક્રાંતિક બિંદુઓ હોવાથી,$f'(1) = 0$ અને $f'(-\frac{1}{3}) = 0$.
$f'(1) = 3 + 2a + b = 0$ ... (ii).
$f'(-\frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{3})^2 + 2a(-\frac{1}{3}) + b = \frac{1}{3} - \frac{2a}{3} + b = 0$,જેનો અર્થ છે કે $1 - 2a + 3b = 0$ ... (iii).
(ii) અને (iii) ઉકેલતા: $b = -2a - 3$. (iii) માં મૂકતા: $1 - 2a + 3(-2a - 3) = 0 \Rightarrow 1 - 2a - 6a - 9 = 0 \Rightarrow -8a = 8 \Rightarrow a = -1$.
તેથી $b = -2(-1) - 3 = -1$.
$(i)$ પરથી,$8 + 4(-1) + 2(-1) + c = 0 \Rightarrow 8 - 4 - 2 + c = 0 \Rightarrow c = -2$.
આમ,$f(x) = x^3 - x^2 - x - 2$.
આપણે $\int_{-1}^1 (x^3 - x^2 - x - 2) dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$x^3$ અને $-x$ એ અયુગ્મ વિધેયો હોવાથી,$[-1, 1]$ પર તેમનું સંકલન $0$ થાય.
તેથી,$\int_{-1}^1 f(x) dx = \int_{-1}^1 (-x^2 - 2) dx = -2 \int_0^1 (x^2 + 2) dx$.
$= -2 [\frac{x^3}{3} + 2x]_0^1 = -2 (\frac{1}{3} + 2) = -2 (\frac{7}{3}) = -\frac{14}{3}$.

(C) આપેલ $f'(x)$ ના આલેખ પરથી,આપણે જોઈએ છીએ કે જ્યાં $f'(x) = 0$ થાય તે બિંદુઓ $x=a, b, c$ છે.
$1$. $x=a$ આગળ: વિકલિત $f'(x)$ નું ચિહ્ન ઋણથી ધન તરફ બદલાય છે (જેમ તે x-અક્ષને નીચેથી ઉપર તરફ ઓળંગે છે). તેથી,$f(x)$ ને $x=a$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત છે.
$2$. $x=b$ આગળ: વિકલિત $f'(x)$ નું ચિહ્ન ધનથી ઋણ તરફ બદલાય છે (જેમ તે x-અક્ષને ઉપરથી નીચે તરફ ઓળંગે છે). તેથી,$f(x)$ ને $x=b$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત છે.
$3$. $x=c$ આગળ: વિકલિત $f'(x)$ નું ચિહ્ન ઋણથી ધન તરફ બદલાય છે (જેમ તે x-અક્ષને નીચેથી ઉપર તરફ ઓળંગે છે). તેથી,$f(x)$ ને $x=c$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત છે.
તેથી,$f(x)$ ને $x=a, c$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ અને $x=b$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત છે. સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે $g(x) = \frac{f(x)}{x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$g'(x) = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2}$.
$f(x)$ ના આપેલા આલેખ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $f(x)$ એ અંતર્મુખ વિધેય છે જેનું મહત્તમ મૂલ્ય $x=c$ પર છે,જ્યાં $a < c < b$. તેથી,$f'(c) = 0$.
$x=c$ પર,$g'(c) = \frac{c f'(c) - f(c)}{c^2} = \frac{c(0) - f(c)}{c^2} = -\frac{f(c)}{c^2}$.
કારણ કે $f(c) > 0$ અને $c > 0$ છે (કારણ કે અંતરાલમાં $0$ નો સમાવેશ થતો નથી),તેથી $g'(c) < 0$.
આ સૂચવે છે કે વિધેય $g(x)$ એ $x=c$ પર ઘટતું વિધેય છે. આપેલા વિકલ્પો જોતા,આકૃતિ $2$ એવો વક્ર દર્શાવે છે જે અંતર્મુખ છે અને $f(x) > 0$ તથા $x > 0$ માટે $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ ના વર્તન સાથે સુસંગત છે. તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(C) ધારો કે આપેલા શંકુ $V_1$ ની ઊંચાઈ $H$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે. તેનું ઘનફળ $V_1 = \frac{1}{3} \pi R^2 H$ છે.
ધારો કે અંતર્ગત શંકુ $V_2$ ની ઊંચાઈ $h$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે. આ શંકુનું શિરોબિંદુ $O$ પર છે અને તેનો પાયો $O$ થી $h$ અંતરે છે. અંતર્ગત શંકુના પાયાની શિરોબિંદુ $A$ થી ઊંચાઈ $H-h$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણો દ્વારા,$\frac{r}{R} = \frac{H-h}{H} = 1 - \frac{h}{H}$.
તેથી,$\frac{h}{H} = 1 - \frac{r}{R} \Rightarrow h = H(1 - \frac{r}{R})$.
અંતર્ગત શંકુનું ઘનફળ $V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 H(1 - \frac{r}{R}) = \frac{\pi H}{3} (r^2 - \frac{r^3}{R})$ છે.
$V_2$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dV_2}{dr} = \frac{\pi H}{3} (2r - \frac{3r^2}{R}) = 0$.
આનાથી $r(2 - \frac{3r}{R}) = 0$ મળે છે. $r \neq 0$ હોવાથી,આપણને $r = \frac{2R}{3}$ મળે છે.
$r = \frac{2R}{3}$ ને $h$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $h = H(1 - \frac{2R/3}{R}) = H(1 - \frac{2}{3}) = \frac{H}{3}$.
હવે,$V_2 = \frac{1}{3} \pi (\frac{2R}{3})^2 (\frac{H}{3}) = \frac{1}{3} \pi (\frac{4R^2}{9}) (\frac{H}{3}) = \frac{4}{27} (\frac{1}{3} \pi R^2 H) = \frac{4}{27} V_1$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{V_2}{V_1} = \frac{4}{27}$ થાય છે.

(C) ધારો કે સમાંતર બાજુઓ $a = 30$ અને $b = 30 + 2(30 \cos \theta) = 30 + 60 \cos \theta$ છે. સમલંબ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ $h = 30 \sin \theta$ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \frac{1}{2}(a + b)h = \frac{1}{2}(30 + 30 + 60 \cos \theta)(30 \sin \theta)$
$A = \frac{1}{2}(60 + 60 \cos \theta)(30 \sin \theta) = 900(1 + \cos \theta) \sin \theta = 900(\sin \theta + \sin \theta \cos \theta) = 900(\sin \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta)$.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ કરવા માટે,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $0$ સાથે સરખાવો:
$\frac{dA}{d\theta} = 900(\cos \theta + \cos 2\theta) = 0$.
કારણ કે $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$,આપણને મળે છે:
$2 \cos^2 \theta + \cos \theta - 1 = 0$.
$(2 \cos \theta - 1)(\cos \theta + 1) = 0$.
આનાથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$ અથવા $\cos \theta = -1$ મળે છે.
$\theta$ એ ત્રિકોણનો ખૂણો હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$ (કારણ કે $\theta = \pi$ શક્ય નથી).
આમ,સૌથી નાનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે.

(A) $x \leq 0$ માટે,$f(x) = \int \limits_0^2 e^{t-x} dt = e^{-x}(e^2-1)$.
$0 < x < 2$ માટે,$f(x) = \int \limits_0^x e^{x-t} dt + \int \limits_x^2 e^{t-x} dt = (e^x - 1) + (e^{2-x} - 1) = e^x + e^{2-x} - 2$.
$x \geq 2$ માટે,$f(x) = \int \limits_0^2 e^{x-t} dt = e^{x-2}(e^2-1)$.
$x \leq 0$ માટે $f(x)$ ઘટતું વિધેય છે અને $x \geq 2$ માટે $f(x)$ વધતું વિધેય છે.
તેથી,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત અંતરાલ $x \in (0, 2)$ માં મળે છે.
અંતરાલ $(0, 2)$ માં,$f(x) = e^x + e^{2-x} - 2$.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યકની અસમતા $(AM \geq GM)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$e^x + e^{2-x} \geq 2 \sqrt{e^x \cdot e^{2-x}} = 2 \sqrt{e^2} = 2e$.
આમ,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2e - 2 = 2(e-1)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = 2x^4 - 18x^2 + 8x + 12$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો $f'(x) = 8x^3 - 36x + 8$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $8x^3 - 36x + 8 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2x^3 - 9x + 2 = 0$ થાય છે.
આપણને આપેલ છે કે $x=2$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે,તેથી $(x-2)$ એ $2x^3 - 9x + 2$ નો અવયવ છે.
$2x^3 - 9x + 2$ ને $(x-2)$ વડે ભાગતા,આપણને $(x-2)(2x^2 + 4x - 1) = 0$ મળે છે.
બીજ $x=2$ અને $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{4} = -1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x=2$,$x = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$,અને $x = -1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$ છે.
દ્વિતીય વિકલન કસોટી $f''(x) = 24x^2 - 36$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x=2$ માટે,$f''(2) = 24(4) - 36 = 60 > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
$x = -1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$ માટે,$f''(x) > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
$x = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$ માટે,$f''(x) < 0$ (સ્થાનિક મહત્તમ).
આમ,સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $x = \frac{\sqrt{6}-2}{2}$ પર મળે છે.
$x = \frac{\sqrt{6}-2}{2}$ ને $f(x)$ માં મૂકતા,આપણે $M = f\left(\frac{\sqrt{6}-2}{2}\right) = 12\sqrt{6} - \frac{33}{2}$ મેળવીએ છીએ.

(C) આપેલ વિધેય $f(x)=2 x^3+(2 p-7) x^2+3(2 p-9) x-6$ છે.
પ્રથમ,વિકલિત $f'(x) = 6x^2 + 2(2p-7)x + 3(2p-9)$ મેળવો.
વિધેયને $x < 0$ પર સ્થાનિક મહત્તમ અને $x > 0$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવવા માટે,દ્વિઘાત સમીકરણ $f'(x) = 0$ ના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ હોવા જોઈએ,જેમાંથી એક ઋણ અને એક ધન હોય.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે જેથી $\alpha < 0 < \beta$ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ વિરુદ્ધ ચિહ્નના હોય તે માટે,બીજનો ગુણાકાર ઋણ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\frac{c}{a} < 0$.
અહીં,$a = 6$ અને $c = 3(2p-9)$ છે.
તેથી,$\frac{3(2p-9)}{6} < 0$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{2p-9}{2} < 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $2p - 9 < 0$,અથવા $p < \frac{9}{2}$.
તેથી,$p$ ના તમામ મૂલ્યોનો ગણ $\left(-\infty, \frac{9}{2}\right)$ છે.

(D) વિધેયને અંતિમ બિંદુ હોવા માટે,તે બિંદુએ તેનું વિકલન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$f'(x) = x^2 + ax + 2b$
$g'(x) = x^2 + 2bx + a$
ધારો કે $x_0$ એ સામાન્ય અંતિમ બિંદુ છે. તેથી $f'(x_0) = 0$ અને $g'(x_0) = 0$.
$x_0^2 + ax_0 + 2b = 0$ ---$(1)$
$x_0^2 + 2bx_0 + a = 0$ ---$(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ માંથી બાદ કરતા:
$(a - 2b)x_0 + (2b - a) = 0$
$(a - 2b)x_0 - (a - 2b) = 0$
$(a - 2b)(x_0 - 1) = 0$
કારણ કે $a \neq 2b$,તેથી $x_0 - 1 = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x_0 = 1$.
$x_0 = 1$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$1^2 + a(1) + 2b = 0$
$1 + a + 2b = 0$
$a + 2b = -1$
આપણે $a + 2b + 7$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$a + 2b = -1$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$-1 + 7 = 6$.

(A) આપેલ છે કે તારની કુલ લંબાઈ $\ell_1 + \ell_2 = 20$ છે.
$\ell_1$ દ્વારા બનતા ચોરસની બાજુ $s = \frac{\ell_1}{4}$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $A_1 = (\frac{\ell_1}{4})^2 = \frac{\ell_1^2}{16}$ થાય.
$\ell_2$ દ્વારા બનતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{\ell_2}{2\pi}$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi(\frac{\ell_2}{2\pi})^2 = \frac{\ell_2^2}{4\pi}$ થાય.
ધારો કે $S = 2A_1 + 3A_2 = 2(\frac{\ell_1^2}{16}) + 3(\frac{\ell_2^2}{4\pi}) = \frac{\ell_1^2}{8} + \frac{3\ell_2^2}{4\pi}$.
$\ell_2 = 20 - \ell_1$ મૂકતા,$S = \frac{\ell_1^2}{8} + \frac{3(20 - \ell_1)^2}{4\pi}$ મળે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$\ell_1$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $\frac{dS}{d\ell_1} = \frac{2\ell_1}{8} + \frac{6(20 - \ell_1)(-1)}{4\pi} = 0$.
$\frac{\ell_1}{4} = \frac{6(20 - \ell_1)}{4\pi} = \frac{6\ell_2}{4\pi}$.
$\frac{\pi \ell_1}{4} = \frac{6\ell_2}{4} \Rightarrow \frac{\pi \ell_1}{\ell_2} = 6$.

(A) ધારો કે $g(x) = x^2 - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.
$x \in [-1, 2]$ માટે,$g(x)$ નો વિસ્તાર $[\frac{3}{4}, 3]$ છે.
$g(x) \ge \frac{3}{4}$ હોવાથી,$|g(x)| = g(x)$ થાય.
તેથી,$f(x) = g(x) + [g(x)]$.
$f(x)$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $[\frac{3}{4}, 3]$ વિસ્તારમાં $g(x)$ ના મૂલ્યો વિચારીએ.
જો $\frac{3}{4} \le g(x) < 1$ હોય,તો $[g(x)] = 0$,તેથી $f(x) = g(x) + 0 = g(x)$. આ ઉપ-અંતરાલમાં ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\frac{3}{4}$ છે.
જો $1 \le g(x) < 2$ હોય,તો $[g(x)] = 1$,તેથી $f(x) = g(x) + 1$. ન્યૂનતમ મૂલ્ય $1 + 1 = 2$ છે.
જો $2 \le g(x) \le 3$ હોય,તો $[g(x)] = 2$,તેથી $f(x) = g(x) + 2$. ન્યૂનતમ મૂલ્ય $2 + 2 = 4$ છે.
આમ,નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\frac{3}{4}$ છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = |x^2 - 5x + 6| - 3x + 2$. $x^2 - 5x + 6 = 0$ ના બીજ $x = 2$ અને $x = 3$ છે.
$x \in [-1, 2]$ માટે,$x^2 - 5x + 6 \ge 0$,તેથી $f(x) = x^2 - 5x + 6 - 3x + 2 = x^2 - 8x + 8$.
$x \in [2, 3]$ માટે,$x^2 - 5x + 6 \le 0$,તેથી $f(x) = -(x^2 - 5x + 6) - 3x + 2 = -x^2 + 2x - 4$.
હવે,નિર્ણાયક બિંદુઓ અને અંતિમ બિંદુઓ તપાસો:
$1$. $x \in [-1, 2]$ માટે,$f'(x) = 2x - 8$. $f'(x) = 0$ લેતા $x = 4$ મળે છે,જે અંતરાલની બહાર છે. તેથી,અંતિમ બિંદુઓ તપાસો: $f(-1) = (-1)^2 - 8(-1) + 8 = 1 + 8 + 8 = 17$ અને $f(2) = 2^2 - 8(2) + 8 = 4 - 16 + 8 = -4$.
$2$. $x \in [2, 3]$ માટે,$f'(x) = -2x + 2$. $f'(x) = 0$ લેતા $x = 1$ મળે છે,જે અંતરાલની બહાર છે. તેથી,અંતિમ બિંદુઓ તપાસો: $f(2) = -4$ અને $f(3) = -(3)^2 + 2(3) - 4 = -9 + 6 - 4 = -7$.
નિરપેક્ષ મહત્તમ કિંમત $17$ છે અને નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમત $-7$ છે.
નિરપેક્ષ મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતોનો સરવાળો $17 + (-7) = 10$ થાય છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^5-20x^3+50x+2$.
વક્ર $x$-અક્ષને ક્યાં છેદે છે તે શોધવા માટે,આપણે વિકલન શોધીને સ્થાનિક મહત્તમ અને ન્યૂનતમ બિંદુઓનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$f'(x) = 5x^4-60x^2+50 = 5(x^4-12x^2+10)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x^4-12x^2+10 = 0$ મળે છે.
$x^2$ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x^2 = \frac{12 \pm \sqrt{144-40}}{2} = 6 \pm \sqrt{26} \approx 6 \pm 5.1$.
તેથી,$x^2 \approx 11.1$ અથવા $x^2 \approx 0.9$.
આનાથી $x \approx \pm 3.3$ અને $x \approx \pm 0.95$ પર ક્રાંતિક બિંદુઓ મળે છે.
આ બિંદુઓ પર વિધેયની કિંમત તપાસતા:
$f(-3.3) \approx -100 < 0$
$f(-0.95) \approx -28 < 0$
$f(0.95) \approx 32 > 0$
$f(3.3) \approx 104 > 0$
વધુમાં,$f(-4) < 0$,$f(-2) > 0$,$f(0) = 2$,$f(2) = -14$,$f(4) > 0$.
ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ (Intermediate Value Theorem) મુજબ,વિધેય $(-4, -2)$,$(-2, 0)$,$(0, 2)$,અને $(2, 4)$ ની વચ્ચે ચિહ્ન બદલે છે.
આમ,વક્ર $x$-અક્ષને $5$ બિંદુઓ પર છેદે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = \frac{x^3}{x^4+147}$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ ગણીએ:
$f'(x) = \frac{(x^4+147)(3x^2) - (x^3)(4x^3)}{(x^4+147)^2}$
$f'(x) = \frac{3x^6 + 441x^2 - 4x^6}{(x^4+147)^2} = \frac{441x^2 - x^6}{(x^4+147)^2} = \frac{x^2(441 - x^4)}{(x^4+147)^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x^2 = 0$ અથવા $x^4 = 441$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x^2 = 21$ (કારણ કે $x > 0$),તેથી $x = \sqrt{21} \approx 4.58$.
જેમ કે $f(x)$ એ $x < \sqrt{21}$ માટે વધતું વિધેય છે અને $x > \sqrt{21}$ માટે ઘટતું વિધેય છે,તેથી શ્રેણી $a_n$ નું મહત્તમ પદ $\sqrt{21}$ ની નજીકની $n$ ની કિંમત પર મળશે.
આપણે $a_4$ અને $a_5$ ની સરખામણી કરીએ:
$a_4 = \frac{4^3}{4^4+147} = \frac{64}{256+147} = \frac{64}{403} \approx 0.1588$.
$a_5 = \frac{5^3}{5^4+147} = \frac{125}{625+147} = \frac{125}{772} \approx 0.1619$.
$a_5 > a_4$ હોવાથી,સૌથી મોટું પદ $n = 5$ પર મળે છે.

(C) ધારો કે દરેક ખૂણેથી કાપેલા ચોરસની બાજુ $x\,cm$ છે.
પરિણામી બોક્સના પરિમાણો લંબાઈ $= (30-2x)\,cm$,પહોળાઈ $= (30-2x)\,cm$ અને ઊંચાઈ $= x\,cm$ થશે.
બોક્સનું ઘનફળ $V = x(30-2x)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,આપણે $V$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$V = x(900 - 120x + 4x^2) = 4x^3 - 120x^2 + 900x$.
$\frac{dV}{dx} = 12x^2 - 240x + 900$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $\frac{dV}{dx} = 0$ લેતા:
$12(x^2 - 20x + 75) = 0$
$12(x-5)(x-15) = 0$.
આમ,$x = 5$ અથવા $x = 15$. કારણ કે $x=15$ લેવાથી બાજુની લંબાઈ $0$ થઈ જશે,તેથી આપણે $x = 5\,cm$ લઈએ છીએ.
ખુલ્લા બોક્સનું પૃષ્ઠફળ $S$ એ મૂળ ચોરસના ક્ષેત્રફળમાંથી ચાર કાપેલા ચોરસના ક્ષેત્રફળને બાદ કરવાથી મળે છે:
$S = (30)^2 - 4x^2 = 900 - 4(5)^2 = 900 - 100 = 800\,cm^2$.

(C) આપેલ અસમતા: $(x \ln x) f'(x) + (\ln x + 1) f(x) \geq 1$.
આને $\frac{d}{dx} (x \ln x \cdot f(x)) \geq 1$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $g(x) = x \ln x \cdot f(x) - x$. તો $g'(x) = \frac{d}{dx} (x \ln x \cdot f(x)) - 1 \geq 0$.
આમ,$g(x)$ એ $[2,4]$ પર વધતું વિધેય છે.
અંતિમ બિંદુઓ પર કિંમતો:
$g(2) = 2 \ln 2 \cdot f(2) - 2 = 2 \ln 2 \cdot \frac{1}{2} - 2 = \ln 2 - 2$.
$g(4) = 4 \ln 4 \cdot f(4) - 4 = 4 \ln 4 \cdot \frac{1}{4} - 4 = \ln 4 - 4 = 2 \ln 2 - 4$.
$g(x)$ વધતું હોવાથી,$g(2) \leq g(x) \leq g(4)$ માટે $x \in [2,4]$.
$\ln 2 - 2 \leq x \ln x \cdot f(x) - x \leq 2 \ln 2 - 4$.
$x$ ઉમેરીને $x \ln x$ વડે ભાગતા:
$\frac{\ln 2 - 2}{x \ln x} + \frac{1}{\ln x} \leq f(x) \leq \frac{2 \ln 2 - 4}{x \ln x} + \frac{1}{\ln x}$.
$x \in [2,4]$ માટે,ઉપલી સીમા $\leq \frac{2 \ln 2 - 4}{2 \ln 2} + \frac{1}{\ln 2} = 1 - \frac{2}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 2} = 1 - \frac{1}{\ln 2} < 1$. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
$x \in [2,4]$ માટે,નીચલી સીમા $\geq \frac{\ln 2 - 2}{4 \ln 4} + \frac{1}{\ln 4} = \frac{\ln 2 - 2}{8 \ln 2} + \frac{1}{2 \ln 2} = \frac{\ln 2 - 2 + 4}{8 \ln 2} = \frac{\ln 2 + 2}{8 \ln 2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{4 \ln 2} > \frac{1}{8}$. તેથી,$(B)$ સાચું છે.

(C) ધારો કે $y=\left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right)^{\sin ^2 x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln y = \sin^2 x \cdot \ln \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 \sin x \cos x \ln \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right) + \sin^2 x \cdot \frac{2 \sin x}{\sqrt{3 e}} \cdot \frac{\sqrt{3 e}}{2} \cdot (-\csc x \cot x)$.
વિકલનને સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sin x \cos x \left[ 2 \ln \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right) - 1 \right]$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $2 \ln \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right) = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\ln \left(\frac{3 e}{4 \sin^2 x}\right) = 1$.
તેથી,$\frac{3 e}{4 \sin^2 x} = e$,એટલે કે $\sin^2 x = \frac{3}{4}$.
$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $f(x) = \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)^{3/4} = (\sqrt{e})^{3/4} = e^{3/8}$.
આપેલ છે કે $e^{3/8} = \frac{k}{e}$,તેથી $k = e^{1 + 3/8} = e^{11/8}$.
તેથી $k^8 = (e^{11/8})^8 = e^{11}$.
આ કિંમતો મુકતા: $\left(\frac{k}{e}\right)^8 + \frac{k^8}{e^5} + k^8 = (e^{3/8})^8 + \frac{e^{11}}{e^5} + e^{11} = e^3 + e^6 + e^{11}$.

(A) ધારો કે $f(x) = x - 2 \sin x \cos x + \frac{1}{3} \sin 3x = x - \sin 2x + \frac{1}{3} \sin 3x$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = 1 - 2 \cos 2x + \cos 3x$.
$f'(x) = 0$ લેતા:
$1 - 2(2 \cos^2 x - 1) + (4 \cos^3 x - 3 \cos x) = 0$
$4 \cos^3 x - 4 \cos^2 x - 3 \cos x + 3 = 0$
$(4 \cos^2 x - 3)(\cos x - 1) = 0$.
આથી $\cos x = 1$ અથવા $\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે.
$x \in [0, \pi]$ માટે,$x = 0, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \pi$.
આ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધતા:
$f(0) = 0$.
$f(\pi) = \pi$.
$f(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi + 2 - 3\sqrt{3}}{6}$.
$f(\frac{5\pi}{6}) = \frac{5\pi + 3\sqrt{3} + 2}{6}$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $\frac{5\pi + 2 + 3\sqrt{3}}{6}$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x + 3x^{\frac{2}{3}}$ છે.
પ્રથમ,વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = 2 + 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} = 2 + 2x^{-\frac{1}{3}} = 2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 2 \left( \frac{x^{\frac{1}{3}} + 1}{x^{\frac{1}{3}}} \right)$.
ક્રિટિકલ બિંદુઓ ત્યાં મળે છે જ્યાં $f'(x) = 0$ હોય અથવા $f'(x)$ અવ્યાખ્યાયિત હોય.
$f'(x) = 0 \implies x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0 \implies x = -1$.
$x = 0$ આગળ $f'(x)$ અવ્યાખ્યાયિત છે.
હવે,આ બિંદુઓની આસપાસ $f'(x)$ ની નિશાની તપાસો:
$x < -1$ માટે,$f'(x) > 0$.
$-1 < x < 0$ માટે,$f'(x) < 0$.
$x > 0$ માટે,$f'(x) > 0$.
$x = -1$ આગળ $f'(x)$ ધનમાંથી ઋણ થાય છે,તેથી $x = -1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ છે.
$x = 0$ આગળ $f'(x)$ ઋણમાંથી ધન થાય છે,તેથી $x = 0$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે.
આમ,વિધેયને સ્થાનિક મહત્તમનું બરાબર એક બિંદુ અને સ્થાનિક ન્યૂનતમનું બરાબર એક બિંદુ છે.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(x, y)$,અને $(-x, y)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નિશ્ચાયક સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |0(y - y) + x(y - 0) + (-x)(0 - y)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |xy + xy| = |xy|$
વક્ર $y = -2x^2 + 54$ આપેલ છે,તેથી ક્ષેત્રફળના પદમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$A(x) = |x(-2x^2 + 54)| = |-2x^3 + 54x|$
$y > 0$ હોવાથી,$-2x^2 + 54 > 0$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 < 27$,તેથી $x \in (-\sqrt{27}, \sqrt{27})$.
$x > 0$ માટે,$A(x) = -2x^3 + 54x$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,$A(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dx} = -6x^2 + 54$
$\frac{dA}{dx} = 0$ લેતા:
$-6x^2 + 54 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ ($x > 0$ હોવાથી).
હવે,$x = 3$ પર મહત્તમ ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરતા:
$A(3) = |3(-2(3)^2 + 54)| = |3(-18 + 54)| = |3(36)| = 108$.
આમ,ત્રિકોણનું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $108$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=(x+3)^2(x-2)^3$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}[(x+3)^2(x-2)^3]$
$f^{\prime}(x) = 2(x+3)(x-2)^3 + 3(x-2)^2(x+3)^2$
$f^{\prime}(x) = (x+3)(x-2)^2 [2(x-2) + 3(x+3)]$
$f^{\prime}(x) = (x+3)(x-2)^2 [2x - 4 + 3x + 9]$
$f^{\prime}(x) = (x+3)(x-2)^2 (5x + 5)$
$f^{\prime}(x) = 5(x+3)(x-2)^2 (x+1)$
$f^{\prime}(x) = 0$ લેતા,આપણને ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = -3, -1, 2$ મળે છે.
હવે,આપણે અંતરાલ $[-4, 4]$ ના ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ અને અંતિમ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(-4) = (-4+3)^2(-4-2)^3 = (-1)^2(-6)^3 = 1 \times (-216) = -216$
$f(-3) = (-3+3)^2(-3-2)^3 = 0$
$f(-1) = (-1+3)^2(-1-2)^3 = (2)^2(-3)^3 = 4 \times (-27) = -108$
$f(2) = (2+3)^2(2-2)^3 = 0$
$f(4) = (4+3)^2(4-2)^3 = (7)^2(2)^3 = 49 \times 8 = 392$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $M = 392$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $m = -216$ મળે છે.
તેથી,$M - m = 392 - (-216) = 392 + 216 = 608$.

(B) કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$f'(x) = (e^x-1)^{11}(2x-1)^5(x-2)^7(x-3)^{12}(2x-10)^{61}$.
સ્થાનિક બિંદુઓ શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 0, \frac{1}{2}, 2, 3, 5$ મળે છે.
આ બિંદુઓની આસપાસ $f'(x)$ ની નિશાની તપાસતા:
- $x=0$ પર: $f'(x)$ ની નિશાની $+$ થી $-$ માં બદલાય છે,તેથી $f(x)$ ને $x=0$ પર સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે.
- $x=\frac{1}{2}$ પર: $f'(x)$ ની નિશાની $-$ થી $+$ માં બદલાય છે,તેથી $f(x)$ ને $x=\frac{1}{2}$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
- $x=2$ પર: $f'(x)$ ની નિશાની $+$ થી $-$ માં બદલાય છે,તેથી $f(x)$ ને $x=2$ પર સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે.
- $x=3$ પર: $f'(x)$ ની નિશાની બદલાતી નથી (ઘાત $12$ છે),તેથી તે નતિપરિવર્તન બિંદુ છે.
- $x=5$ પર: $f'(x)$ ની નિશાની $-$ થી $+$ માં બદલાય છે,તેથી $f(x)$ ને $x=5$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્યો $x=0$ અને $x=2$ પર મળે છે. તેથી,$p = 0^2 + 2^2 = 4$.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્યો $x=\frac{1}{2}$ અને $x=5$ પર મળે છે. તેથી,$q = \frac{1}{2} + 5 = \frac{11}{2}$.
અંતે,$p^2 + 2q = 4^2 + 2(\frac{11}{2}) = 16 + 11 = 27$.

(D) ધારો કે $y = \frac{2x^2 - 3x + 8}{2x^2 + 3x + 8}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $y(2x^2 + 3x + 8) = 2x^2 - 3x + 8$.
$x^2(2y - 2) + x(3y + 3) + 8y - 8 = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = (3y + 3)^2 - 4(2y - 2)(8y - 8) \geq 0$.
$9(y^2 + 2y + 1) - 64(y^2 - 2y + 1) \geq 0$.
$-55y^2 + 146y - 55 \geq 0 \Rightarrow 55y^2 - 146y + 55 \leq 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{146 \pm 96}{110}$.
તેથી,વિસ્તાર $[\frac{5}{11}, \frac{11}{5}]$ છે.
મહત્તમ કિંમત $\frac{11}{5}$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{5}{11}$ છે.
સરવાળો $= \frac{11}{5} + \frac{5}{11} = \frac{146}{55}$.
અહીં $m = 146$ અને $n = 55$,તેથી $m + n = 201$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x)=3 \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$ છે.
વિધેયનો પ્રદેશ $x-2 \geq 0$ અને $4-x \geq 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $x \in [2, 4]$.
વિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે કોશી-શ્વાર્ટઝ અસમતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ધારો કે $u = \sqrt{x-2}$ અને $v = \sqrt{4-x}$. તો $u^2 + v^2 = (x-2) + (4-x) = 2$.
વિધેય $f(x) = 3u + v$ છે. કોશી-શ્વાર્ટઝ અસમતા મુજબ,$(3u + v)^2 \leq (3^2 + 1^2)(u^2 + v^2) = (9+1)(2) = 20$.
આમ,$f(x)^2 \leq 20$,તેથી $f(x) \leq \sqrt{20} = \beta$.
પ્રદેશની સીમાઓ પર:
જો $x=2$,તો $f(2) = 3(0) + \sqrt{2} = \sqrt{2}$.
જો $x=4$,તો $f(4) = 3\sqrt{2} + 0 = 3\sqrt{2} = \sqrt{18}$.
કારણ કે $\sqrt{2} < \sqrt{18} < \sqrt{20}$,ન્યૂનતમ કિંમત $\alpha = \sqrt{2}$ છે.
તેથી,$\alpha^2 + 2\beta^2 = (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{20})^2 = 2 + 2(20) = 2 + 40 = 42$.

(A) ધારો કે $\theta$ એ લંબચોરસ $ABCD$ ની બાજુ $AB$ અને લંબચોરસ $PQRS$ ની બાજુ $PQ$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,લંબચોરસ $PQRS$ ની બાજુઓ $a = 4 \cos \theta + 2 \sin \theta$ અને $b = 4 \sin \theta + 2 \cos \theta$ છે.
લંબચોરસ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ $A = a \times b = (4 \cos \theta + 2 \sin \theta)(4 \sin \theta + 2 \cos \theta)$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$A = 16 \sin \theta \cos \theta + 8 \cos^2 \theta + 8 \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 8(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + 20 \sin \theta \cos \theta$ મળે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$A = 8 + 10 \sin 2\theta$ મળે.
ક્ષેત્રફળ ત્યારે મહત્તમ થાય જ્યારે $\sin 2\theta = 1$ હોય,જે $\theta = 45^{\circ}$ પર મળે છે.
$\theta = 45^{\circ}$ પર,બાજુઓ $a = 4(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ અને $b = 3\sqrt{2}$ થાય.
તેથી $(a+b)^2 = (3\sqrt{2} + 3\sqrt{2})^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72$.

(C) ધારો કે $f(x) = (\frac{1}{x})^{2x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(f(x)) = 2x \ln(\frac{1}{x}) = -2x \ln(x)$ મળે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = -2(1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}) = -2(\ln(x) + 1)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$\ln(x) = -1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{1}{e}$.
$x < \frac{1}{e}$ માટે $f'(x) > 0$ અને $x > \frac{1}{e}$ માટે $f'(x) < 0$ હોવાથી,વિધેય $x = \frac{1}{e}$ આગળ મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે.
આમ,તમામ $x > 0$ માટે $f(x) \leq f(\frac{1}{e})$.
$f(\frac{1}{e}) = (\frac{1}{1/e})^{2(1/e)} = e^{2/e}$.
કોઈપણ $x$ માટે,$(\frac{1}{x})^{2x} \leq e^{2/e}$.
$x = \frac{1}{\pi}$ લેતા,$(\frac{1}{1/\pi})^{2(1/\pi)} \leq e^{2/e}$.
$\pi^{2/\pi} \leq e^{2/e}$.
બંને બાજુ $\frac{\pi e}{2}$ ઘાત લેતા,$(\pi^{2/\pi})^{\pi e/2} \leq (e^{2/e})^{\pi e/2}$.
$\pi^e \leq e^\pi$.
$\pi \neq e$ હોવાથી,$e^\pi > \pi^e$ મળે.

(A) આપેલ વિધેય: $f(x) = (x-2)^{2/3}(2x+1)$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}[(x-2)^{2/3}] \cdot (2x+1) + (x-2)^{2/3} \cdot \frac{d}{dx}[2x+1]$
$f'(x) = \frac{2}{3}(x-2)^{-1/3}(2x+1) + 2(x-2)^{2/3}$
$2(x-2)^{-1/3}$ સામાન્ય લેતા:
$f'(x) = 2(x-2)^{-1/3} [\frac{1}{3}(2x+1) + (x-2)]$
$f'(x) = \frac{2}{3(x-2)^{1/3}} [2x + 1 + 3x - 6]$
$f'(x) = \frac{2(5x-5)}{3(x-2)^{1/3}} = \frac{10(x-1)}{3(x-2)^{1/3}}$
ક્રાંતિક બિંદુઓ ત્યારે મળે છે જ્યારે $f'(x) = 0$ હોય અથવા $f'(x)$ અવ્યાખ્યાયિત હોય.
$f'(x) = 0 \implies x-1 = 0 \implies x = 1$.
$f'(x)$ અવ્યાખ્યાયિત છે જ્યારે છેદ શૂન્ય હોય,એટલે કે $x-2 = 0 \implies x = 2$.
આમ,ક્રાંતિક બિંદુઓ $x=1$ અને $x=2$ છે.
કુલ $2$ ક્રાંતિક બિંદુઓ છે.

(B) આપેલ છે $f(x)=4 \cos ^3 x+3 \sqrt{3} \cos ^2 x-10$,જ્યાં $x \in(0, 2 \pi)$.
પ્રથમ,વિકલન $f^{\prime}(x)$ શોધો:
$f^{\prime}(x) = 4(3 \cos ^2 x)(-\sin x) + 3 \sqrt{3}(2 \cos x)(-\sin x)$
$f^{\prime}(x) = -12 \cos ^2 x \sin x - 6 \sqrt{3} \cos x \sin x$
$f^{\prime}(x) = -6 \sin x \cos x (2 \cos x + \sqrt{3})$
$f^{\prime}(x) = -3 \sin(2x) (2 \cos x + \sqrt{3})$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$f^{\prime}(x) = 0$ લો:
$-3 \sin(2x) = 0 \Rightarrow 2x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi \Rightarrow x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$
$2 \cos x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$
$(0, 2\pi)$ માં ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \pi, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$ છે.
$f^{\prime}(x)$ ની નિશાની તપાસતા:
$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ માટે,$f^{\prime}(x) < 0$.
$x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6})$ માટે,$f^{\prime}(x) > 0$.
$x \in (\frac{5\pi}{6}, \pi)$ માટે,$f^{\prime}(x) < 0$.
$x \in (\pi, \frac{7\pi}{6})$ માટે,$f^{\prime}(x) > 0$.
$x \in (\frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2})$ માટે,$f^{\prime}(x) < 0$.
$x \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ માટે,$f^{\prime}(x) > 0$.
સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુઓ ત્યાં મળે છે જ્યાં $f^{\prime}(x)$ ધનમાંથી ઋણ થાય છે. આ $x = \frac{5\pi}{6}$ અને $x = \frac{3\pi}{2}$ પર થાય છે.
આમ,સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુઓની સંખ્યા $2$ છે.

(A) આપેલ છે $f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x+1$.
વિકલન કરતા: $f'(x)=6x^2-18ax+12a^2$.
સ્થાનિક અંતિમ બિંદુઓ માટે $f'(x)=0$ લેતા,$6(x^2-3ax+2a^2)=0$,જેનું અવયવીકરણ $6(x-a)(x-2a)=0$ થાય છે.
બીજ $x=a$ અને $x=2a$ છે.
$x=\alpha$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ અને $x=\alpha^2$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ હોવાથી,બે કિસ્સાઓ મળે:
કિસ્સો $1$: $\alpha=a$ અને $\alpha^2=2a$. તેથી $a^2=2a \Rightarrow a(a-2)=0$. $a>0$ હોવાથી,$a=2$.
જો $a=2$ હોય,તો બીજ $\alpha=2$ અને $\alpha^2=4$ મળે. સમીકરણ $(x-2)(x-4)=x^2-6x+8=0$ થાય.
કિસ્સો $2$: $\alpha=2a$ અને $\alpha^2=a$. તેથી $(2a)^2=a \Rightarrow 4a^2-a=0 \Rightarrow a(4a-1)=0$. $a>0$ હોવાથી,$a=1/4$.
જો $a=1/4$ હોય,તો બીજ $\alpha=1/2$ અને $\alpha^2=1/4$ મળે. સમીકરણ $(x-1/2)(x-1/4)=x^2-(3/4)x+1/8=0$ એટલે કે $8x^2-6x+1=0$ થાય.
દ્વિતીય વિકલન $f''(x)=12x-18a$ ચકાસતા:
$a=2$ માટે,$f''(2)=-12 < 0$ (મહત્તમ) અને $f''(4)=12 > 0$ (ન્યૂનતમ). આ શરત સંતોષાય છે.
$a=1/4$ માટે,$f''(1/2)=1.5 > 0$ (ન્યૂનતમ) અને $f''(1/4)=-1.5 < 0$ (મહત્તમ). આ પ્રશ્ન સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
તેથી,સાચું સમીકરણ $x^2-6x+8=0$ છે.

(A) ધારો કે લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(x, b)$,$(24, b)$,$(24, -b)$,અને $(x, -b)$ છે.
શિરોબિંદુ $(x, b)$ એ પરવલય $y^2=2x$ પર આવેલું હોવાથી,આપણી પાસે $b^2=2x$ છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{b^2}{2}$.
લંબચોરસની પહોળાઈ $(24 - x) = (24 - \frac{b^2}{2})$ છે અને ઊંચાઈ $2b$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ $A = 2b(24 - \frac{b^2}{2}) = 48b - b^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $b$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dA}{db} = 48 - 3b^2$.
$\frac{dA}{db} = 0$ લેતા,આપણને $3b^2 = 48$ મળે છે,તેથી $b^2 = 16$,જે $b = 4$ આપે છે (કારણ કે $b > 0$).
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = 48(4) - (4)^3 = 192 - 64 = 128$ છે.

(C) પ્રથમ,અસમતા $\frac{x^2+x+2}{x^2+5x+6} < 0$ ઉકેલો.
અંશ $x^2+x+2$ માટે વિવેચક $D = 1^2 - 4(1)(2) = -7 < 0$ હોવાથી,તે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે હંમેશા ધન છે.
તેથી,અસમતા $\frac{1}{(x+2)(x+3)} < 0$ માં પરિણમે છે,જેનો અર્થ છે કે $(x+2)(x+3) < 0$.
આથી $x \in (-3, -2)$ મળે છે.
હવે,વિધેય $f(x) = 1 + x\lambda^2 - x^3$ લો.
વિકલન કરતા: $f'(x) = \lambda^2 - 3x^2$.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લેતા: $3x^2 = \lambda^2 \Rightarrow x = \pm \frac{\lambda}{\sqrt{3}}$.
દ્વિતીય વિકલન કસોટી મુજબ: $f''(x) = -6x$.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ માટે $f''(x) > 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $-6x > 0 \Rightarrow x < 0$.
આમ,સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ $x = -\frac{\lambda}{\sqrt{3}}$ છે.
આ બિંદુ $x \in (-3, -2)$ માં હોવાથી:
$-3 < -\frac{\lambda}{\sqrt{3}} < -2$
$-1$ વડે ગુણતા અસમતા બદલાશે:
$2 < \frac{\lambda}{\sqrt{3}} < 3$
$2\sqrt{3} < \lambda < 3\sqrt{3}$.
તેથી,$\alpha = 2\sqrt{3}$ અને $\beta = 3\sqrt{3}$.
પરિણામે $\alpha^2 + \beta^2 = (2\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2 = 12 + 27 = 39$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = (p^2 - 6p + 8)(\sin^2 2x - \cos^2 2x) + 2(2 - p)x + 7$.
$\cos 4x = \cos^2 2x - \sin^2 2x$ નો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = -(p^2 - 6p + 8)\cos 4x + 2(2 - p)x + 7$ મળે.
$f(x)$ ને કોઈ ક્રાંતિક બિંદુ ન હોય તે માટે,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) \neq 0$ હોવું જોઈએ.
$f'(x) = 4(p^2 - 6p + 8)\sin 4x + 2(2 - p)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$4(p - 4)(p - 2)\sin 4x = 2(p - 2)$ મળે.
જો $p = 2$ હોય,તો તમામ $x$ માટે $f'(x) = 0$ થાય,તેથી $p \neq 2$.
$p \neq 2$ માટે,$\sin 4x = \frac{2(p - 2)}{4(p - 4)(p - 2)} = \frac{1}{2(p - 4)}$.
કોઈ ક્રાંતિક બિંદુ ન હોય તે માટે,સમીકરણ $\sin 4x = \frac{1}{2(p - 4)}$ નો કોઈ ઉકેલ ન હોવો જોઈએ.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જો $\left| \frac{1}{2(p - 4)} \right| > 1$ હોય.
$|2(p - 4)| < 1 \implies -1 < 2p - 8 < 1 \implies 7 < 2p < 9 \implies p \in (3.5, 4.5)$.
આમ,$a = 3.5 = \frac{7}{2}$ અને $b = 4.5 = \frac{9}{2}$.
$16ab = 16 \times \frac{7}{2} \times \frac{9}{2} = 4 \times 7 \times 9 = 252$.

(B, A, A) $1.$ $k \leq 0$ માટે,ધારો કે $g(x) = ke^x - x$. $k \leq 0$ હોવાથી,$g'(x) = ke^x - 1 < 0$ તમામ $x \in R$ માટે. આમ,$g(x)$ એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે. જેમ $x \to -\infty$,$g(x) \to \infty$,અને જેમ $x \to \infty$,$g(x) \to -\infty$. ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,$g(x)=0$ ને બરાબર એક બીજ છે. તેથી,રેખા $y=x$ એ $y=ke^x$ ને એક બિંદુએ મળે છે. સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.
$2.$ ધારો કે $f(x) = ke^x - x$. $k>0$ માટે,$f'(x) = ke^x - 1$. $f'(x)=0$ લેતા $e^x = 1/k$ મળે,તેથી $x = -\ln k$. ન્યૂનતમ કિંમત $f(-\ln k) = k(1/k) - (-\ln k) = 1 + \ln k$ છે. માત્ર એક બીજ માટે,ન્યૂનતમ કિંમત $0$ હોવી જોઈએ. તેથી,$1 + \ln k = 0 \Rightarrow \ln k = -1 \Rightarrow k = 1/e$. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.
$3.$ બે ભિન્ન બીજ માટે,ન્યૂનતમ કિંમત ઋણ હોવી જોઈએ,એટલે કે $1 + \ln k < 0$. આનો અર્થ એ છે કે $\ln k < -1$,તેથી $k < 1/e$. $k>0$ હોવાથી,કિંમતોનો ગણ $(0, 1/e)$ છે. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(C) સ્થાનિક મહત્તમ અને સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્યો શોધવા માટે,આપણે આપેલ અંતરાલોમાં વિધેય $f(x)$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $-3 < x \leq -1$ માટે,$f(x) = (2+x)^3$. વિકલન $f'(x) = 3(2+x)^2$ છે. $f'(x) \geq 0$ હોવાથી,વિધેય $(-3, -1]$ પર વધતું વિધેય છે. $x = -1$ આગળ,$f(-1) = (2-1)^3 = 1$. વિધેય $x = -1$ સુધી વધતું હોવાથી,આ બિંદુ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
$2$. $-1 < x < 2$ માટે,$f(x) = x^{2/3}$. વિકલન $f'(x) = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ છે.
$3$. $x = 0$ આગળ,$f'(x)$ અવ્યાખ્યાયિત છે. $x < 0$ માટે,$f'(x) < 0$ (ઘટતું વિધેય) અને $x > 0$ માટે,$f'(x) > 0$ (વધતું વિધેય). આમ,$x = 0$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે જ્યાં $f(0) = 0$.
$4$. મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણને $x = -1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ અને $x = 0$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે છે.
તેથી,સ્થાનિક મહત્તમ અને સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્યોની કુલ સંખ્યા $2$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = 4 \alpha x^2 + \frac{1}{x}$,જ્યાં $x > 0$.
$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = 8 \alpha x - \frac{1}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$8 \alpha x = \frac{1}{x^2}$ $\Rightarrow x^3 = \frac{1}{8 \alpha}$ $\Rightarrow x = \frac{1}{2 \alpha^{1/3}}$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે આ કિંમત $f(x)$ માં મૂકતા:
$f\left(\frac{1}{2 \alpha^{1/3}}\right) = 4 \alpha \left(\frac{1}{4 \alpha^{2/3}}\right) + 2 \alpha^{1/3} = \alpha^{1/3} + 2 \alpha^{1/3} = 3 \alpha^{1/3}$.
આપેલ છે કે $f(x) \geq 1$,તેથી $3 \alpha^{1/3} \geq 1$ $\Rightarrow \alpha^{1/3} \geq \frac{1}{3}$ $\Rightarrow \alpha \geq \frac{1}{27}$.
આમ,$\alpha$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{27}$ છે.

(A) ધારો કે $S$ એ $R \rightarrow R$ પરના તમામ બે વાર વિકલનીય વિધેયો $f$ નો ગણ છે,જેથી દરેક $x \in (-1, 1)$ માટે $\frac{d^2 f}{dx^2} > 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $f$ નો આલેખ અંતરાલ $(-1, 1)$ પર ચુસ્તપણે અંતર્મુખ (concave upward/convex) છે.
ધારો કે $\phi(x) = f(x) - x$. તો $\phi''(x) = f''(x) - 0 = f''(x) > 0$,દરેક $x \in (-1, 1)$ માટે.
કારણ કે $\phi''(x) > 0$ છે,વિધેય $\phi(x)$ ચુસ્તપણે બહિર્મુખ (strictly convex) છે.
ચુસ્તપણે બહિર્મુખ વિધેય $x$-અક્ષને વધુમાં વધુ બે બિંદુઓમાં છેદી શકે છે.
તેથી,સમીકરણ $\phi(x) = 0$,જે $f(x) = x$ ને સમાન છે,તેને અંતરાલ $(-1, 1)$ માં વધુમાં વધુ બે ઉકેલો હોઈ શકે છે.
આમ,દરેક $f \in S$ માટે $X_f \leq 2$ થાય છે,જે વિધાન $(B)$ ને સાચું ઠેરવે છે.
યોગ્ય બહિર્મુખ વિધેયો પસંદ કરીને,આપણે એવા ઉદાહરણો બનાવી શકીએ છીએ જ્યાં $X_f = 0$ (દા.ત.,$f(x) = x^2 + 2$),$X_f = 1$ (દા.ત.,$f(x) = x^2 + x + 0.1$),અને $X_f = 2$ (દા.ત.,$f(x) = x^2 + 0.1$).
કારણ કે $X_f$ ની કિંમત $0, 1,$ અથવા $2$ હોઈ શકે છે,વિધાન $(A)$ સાચું છે,વિધાન $(C)$ સાચું છે,અને વિધાન $(D)$ ખોટું છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(A)$,$(B)$,અને $(C)$ છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = x \cos \frac{1}{x}, x \geq 1$.
પ્રથમ,વિકલિત $f^{\prime}(x)$ શોધો:
$f^{\prime}(x) = \cos \frac{1}{x} + x \left( -\sin \frac{1}{x} \right) \left( -\frac{1}{x^2} \right) = \cos \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$.
હવે,$\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)$ ની કિંમત શોધો:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \left( \cos \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x} \right) = \cos(0) + 0 \cdot \sin(0) = 1 + 0 = 1$. આમ,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત $f^{\prime \prime}(x)$ શોધો:
$f^{\prime \prime}(x) = -\sin \frac{1}{x} \left( -\frac{1}{x^2} \right) + \left( -\frac{1}{x^2} \right) \sin \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cos \frac{1}{x} \left( -\frac{1}{x^2} \right) = -\frac{1}{x^3} \cos \frac{1}{x}$.
$x \in [1, \infty)$ માટે,$\frac{1}{x} \in (0, 1]$. કારણ કે $\cos \theta > 0$ જ્યારે $\theta \in (0, 1]$,તેથી $f^{\prime \prime}(x) = -\frac{1}{x^3} \cos \frac{1}{x} < 0$. આમ,$f^{\prime}(x)$ ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય છે,તેથી વિધાન $(D)$ સાચું છે.
અંતરાલ $[x, x+2]$ પર મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ મુજબ,એવો $c \in (x, x+2)$ મળે કે જેથી $\frac{f(x+2)-f(x)}{2} = f^{\prime}(c)$.
કારણ કે $f^{\prime}(x)$ ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય છે અને $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x) = 1$,તેથી બધા $x \in [1, \infty)$ માટે $f^{\prime}(x) > 1$ થાય.
તેથી,$f^{\prime}(c) > 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{f(x+2)-f(x)}{2} > 1$,અથવા $f(x+2)-f(x) > 2$. આમ,વિધાન $(C)$ સાચું છે અને $(A)$ ખોટું છે.
સાચું સંયોજન $(B, C, D)$ છે.

(B) આપેલ ગણ $A = \{x \mid x^2+20 \leq 9x\}$ છે.
અસમતા $x^2-9x+20 \leq 0$ ઉકેલતા:
$(x-4)(x-5) \leq 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \in [4, 5]$.
હવે,વિધેય $f(x) = 2x^3-15x^2+36x-48$ ધ્યાનમાં લો.
વિકલન કરતા $f'(x) = 6x^2-30x+36 = 6(x^2-5x+6) = 6(x-2)(x-3)$.
અંતરાલ $x \in [4, 5]$ માટે,$f'(x) > 0$ છે કારણ કે $(x-2)$ અને $(x-3)$ બંને આ અંતરાલમાં ધન છે.
તેથી,$f(x)$ એ અંતરાલ $[4, 5]$ પર સતત વધતું વિધેય છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત અંતિમ બિંદુ $x = 5$ પર મળે છે.
$f(5) = 2(5)^3 - 15(5)^2 + 36(5) - 48$
$f(5) = 250 - 375 + 180 - 48 = 7$.

(B) ધારો કે $p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$.
$\lim_{x \rightarrow 0} (1 + \frac{p(x)}{x^2}) = 2$ હોવાથી,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{p(x)}{x^2} = 1$ મળે. આનો અર્થ એ છે કે $e = 0$ અને $d = 0$,અને $c = 1$.
તેથી,$p(x) = ax^4 + bx^3 + x^2$.
વિકલન કરતા,$p'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2x$.
$x=1$ અને $x=2$ આગળ અંતિમ મૂલ્યો હોવાથી,$p'(1) = 0$ અને $p'(2) = 0$.
$p'(1) = 4a + 3b + 2 = 0 \implies 4a + 3b = -2$ (સમીકરણ $1$).
$p'(2) = 4a(8) + 3b(4) + 2(2) = 32a + 12b + 4 = 0 \implies 8a + 3b = -1$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(8a - 4a) = -1 - (-2) \implies 4a = 1 \implies a = \frac{1}{4}$.
$a = \frac{1}{4}$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $4(\frac{1}{4}) + 3b = -2 \implies 1 + 3b = -2 \implies 3b = -3 \implies b = -1$.
તેથી,$p(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2$.
$p(2)$ ની ગણતરી કરતા: $p(2) = \frac{1}{4}(16) - (8) + (4) = 4 - 8 + 4 = 0$.