Area bounded by region of multi curve Questions in Gujarati

(B) પ્રદેશ $S$ એ $y^2 = 4x$,$y^2 = 12 - 2x$,અને $3y + \sqrt{8}x = 5\sqrt{8}$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો:
$y^2 = 4x$ અને $y^2 = 12 - 2x$ માટે,$4x = 12 - 2x \Rightarrow 6x = 12 \Rightarrow x = 2$. તેથી $y^2 = 8 \Rightarrow y = 2\sqrt{2}$.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^2 2\sqrt{x} dx + \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ જેના શિરોબિંદુઓ } (2,0), (5,0), (2, 2\sqrt{2}) \text{ છે.}$
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^2 + \frac{1}{2} \times (5-2) \times 2\sqrt{2} = 2 \times \frac{2}{3} \times 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{3} + 3\sqrt{2} = \frac{17\sqrt{2}}{3}$.
આમ,$\alpha\sqrt{2} = \frac{17\sqrt{2}}{3} \Rightarrow \alpha = \frac{17}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણો વર્તુળ $(x-2 \sqrt{3})^2+y^2=12$ (કેન્દ્ર $(2 \sqrt{3}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r=2 \sqrt{3}$) અને પરવલય $y^2=2 \sqrt{3} x$ છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો:
$(x-2 \sqrt{3})^2 + 2 \sqrt{3} x = 12$
$x^2 - 4 \sqrt{3} x + 12 + 2 \sqrt{3} x = 12$
$x^2 - 2 \sqrt{3} x = 0$
$x(x - 2 \sqrt{3}) = 0$
તેથી,$x=0$ અથવા $x=2 \sqrt{3}$.
$x=2 \sqrt{3}$ આગળ,$y^2 = 2 \sqrt{3}(2 \sqrt{3}) = 12$,તેથી $y = \pm 2 \sqrt{3}$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ માઈનસ પરવલય અને વર્તુળની જીવા દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \pi (2 \sqrt{3})^2 = 12 \pi$ છે.
પરવલય $y^2 = 2 \sqrt{3} x$ દ્વારા $x=0$ થી $x=2 \sqrt{3}$ સુધી ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $2 \int_0^{2 \sqrt{3}} \sqrt{2 \sqrt{3} x} dx = 16$ છે.
વર્તુળના અર્ધભાગમાંથી પરવલયનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરતા,આપણને $6 \pi - 16$ મળે છે.

(A) $f(x)$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય હોવા માટે,તે સતત હોવું જોઈએ અને ડાબી બાજુનું વિકલિત $(LHD)$ અને જમણી બાજુનું વિકલિત $(RHD)$ સમાન હોવા જોઈએ.
$x = 1$ આગળ સાતત્ય: $\lim_{x \to 1^-} (-3ax^2 - 2) = \lim_{x \to 1^+} (a^2 + bx) \implies -3a - 2 = a^2 + b$.
$x = 1$ આગળ વિકલનીયતા: $\frac{d}{dx}(-3ax^2 - 2)|_{x=1} = \frac{d}{dx}(a^2 + bx)|_{x=1} \implies -6a = b$.
સાતત્યના સમીકરણમાં $b = -6a$ મૂકતા: $-3a - 2 = a^2 - 6a \implies a^2 - 3a + 2 = 0 \implies (a - 1)(a - 2) = 0$.
$a > 1$ હોવાથી,$a = 2$ મળે. તેથી $b = -6(2) = -12$.
આમ,$f(x) = \begin{cases} -6x^2 - 2, & x < 1 \\ 4 - 12x, & x \geq 1 \end{cases}$.
પ્રદેશ $y = f(x)$ અને $y = -20$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે. છેદબિંદુઓ શોધતા:
$x < 1$ માટે: $-6x^2 - 2 = -20 \implies 6x^2 = 18 \implies x^2 = 3 \implies x = -\sqrt{3}$ (કારણ કે $x < 1$).
$x \geq 1$ માટે: $4 - 12x = -20 \implies 12x = 24 \implies x = 2$.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-\sqrt{3}}^{1} (f(x) - (-20)) dx + \int_{1}^{2} (f(x) - (-20)) dx$.
$A = \int_{-\sqrt{3}}^{1} (-6x^2 + 18) dx + \int_{1}^{2} (24 - 12x) dx$.
$A = [-2x^3 + 18x]_{-\sqrt{3}}^{1} + [24x - 6x^2]_{1}^{2}$.
$A = (-2 + 18) - (2(3\sqrt{3}) - 18\sqrt{3}) + (48 - 24) - (24 - 6) = 22 + 12\sqrt{3}$.
$\alpha + \beta \sqrt{3}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 22, \beta = 12$ મળે.
તેથી,$\alpha + \beta = 22 + 12 = 34$.

(A) આપેલ વક્રો $y = (x-2)^2$ અને $y^2 = -8(x-2)$ છે.
ધારો કે $X = x-2$ અને $Y = y$. તો સમીકરણો $Y = X^2$ અને $Y^2 = -8X$ બને છે.
આ પ્રમાણિત પરવલયો $Y = X^2$ અને $Y^2 = 4aX$ છે જ્યાં $4a = -8$,તેથી $a = -2$ (મૂલ્ય $|a| = 2$).
પરવલયો $y^2 = 4ax$ અને $x^2 = 4by$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\frac{16}{3} |a| |b|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$Y = X^2$ (એટલે કે $X^2 = 1Y$,તેથી $4b = 1 \implies b = \frac{1}{4}$) અને $Y^2 = -8X$ (એટલે કે $4a = -8 \implies a = -2$).
ક્ષેત્રફળ $= \frac{16}{3} \times |\frac{1}{4}| \times |-2| = \frac{16}{3} \times \frac{1}{4} \times 2 = \frac{8}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) વક્રો $x^2+y^2=25$ (ત્રિજ્યા $5$ વાળું વર્તુળ) અને $y=|x-1|$ છે.
છેદબિંદુઓ:
$y=x-1$ માટે,$x^2+(x-1)^2=25 \Rightarrow 2x^2-2x-24=0 \Rightarrow x^2-x-12=0 \Rightarrow (x-4)(x+3)=0$. $y \ge 0$ હોવાથી,આપણે $x=4, y=3$ લઈએ છીએ.
$y=-(x-1)$ માટે,$x^2+(-x+1)^2=25 \Rightarrow 2x^2-2x-24=0 \Rightarrow x=-3, y=4$.
નાના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A_s = \int_{-3}^4 (\sqrt{25-x^2} - |x-1|) dx$.
મોટા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A_L = \text{કુલ ક્ષેત્રફળ} - A_s = 25\pi - A_s$.
$\int_{-3}^4 \sqrt{25-x^2} dx = [\frac{x}{2}\sqrt{25-x^2} + \frac{25}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{5})]_{-3}^4 = 12 + \frac{25\pi}{4}$.
$\int_{-3}^4 |x-1| dx = \int_{-3}^1 (1-x) dx + \int_{1}^4 (x-1) dx = 8 + 4.5 = 12.5 = \frac{25}{2}$.
$A_s = 12 + \frac{25\pi}{4} - \frac{25}{2} = \frac{25\pi}{4} - 0.5$.
$A_L = 25\pi - (\frac{25\pi}{4} - 0.5) = \frac{75\pi}{4} + 0.5 = \frac{75\pi+2}{4} = \frac{1}{4}(75\pi+2)$.
આમ,$b=75, c=2$.
$b+c = 75+2 = 77$.

(C) આપેલ પ્રદેશ $x^2+4x+2 \leq y \leq |x+2|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
ધારો કે $u = x+2$,તો $x = u-2$. પ્રદેશ $(u-2)^2 + 4(u-2) + 2 \leq y \leq |u|$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $u^2-2 \leq y \leq |u|$ થાય છે.
છેદબિંદુઓ માટે $u^2-2 = |u|$.
$u \geq 0$ માટે,$u^2-u-2 = 0 \Rightarrow (u-2)(u+1) = 0 \Rightarrow u = 2$.
$u < 0$ માટે,$u^2+u-2 = 0 \Rightarrow (u+2)(u-1) = 0 \Rightarrow u = -2$.
આમ,છેદબિંદુઓ $u = \pm 2$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $\int_{-2}^{2} (|u| - (u^2-2)) \, du$ છે.
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $2 \int_{0}^{2} (u - u^2 + 2) \, du$ થશે.
$= 2 \left[ \frac{u^2}{2} - \frac{u^3}{3} + 2u \right]_{0}^{2}$.
$= 2 \left( \frac{4}{2} - \frac{8}{3} + 4 \right) = 2 \left( 2 - \frac{8}{3} + 4 \right) = 2 \left( 6 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{18-8}{3} \right) = 2 \left( \frac{10}{3} \right) = \frac{20}{3}$.

(B) આ પ્રદેશ $x \in [-3, 3]$ માટે $0 \leq y \leq \min(2|x|+1, x^2+1)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,કુલ ક્ષેત્રફળ $2 \times \int_0^3 \min(2x+1, x^2+1) dx$ થશે.
પ્રથમ,$x > 0$ માટે $y = 2x+1$ અને $y = x^2+1$ નું છેદબિંદુ શોધો:
$x^2+1 = 2x+1 \Rightarrow x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x-2) = 0$.
તેથી,વક્રો $x = 0$ અને $x = 2$ પર છેદે છે.
$x \in [0, 2]$ માટે,$x^2+1 \leq 2x+1$,તેથી $\min(2x+1, x^2+1) = x^2+1$.
$x \in [2, 3]$ માટે,$2x+1 \leq x^2+1$,તેથી $\min(2x+1, x^2+1) = 2x+1$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $2 \left[ \int_0^2 (x^2+1) dx + \int_2^3 (2x+1) dx \right]$ છે.
$= 2 \left[ \left( \frac{x^3}{3} + x \right)_0^2 + \left( x^2 + x \right)_2^3 \right]$
$= 2 \left[ \left( \frac{8}{3} + 2 \right) + ((9+3) - (4+2)) \right]$
$= 2 \left[ \frac{14}{3} + 6 \right] = 2 \left[ \frac{32}{3} \right] = \frac{64}{3}$.

(C) આપેલ વક્રો $x(1+y^2)=1$ અને $y^2=2x$ છે.
બીજા સમીકરણ પરથી,$x = \frac{y^2}{2}$.
આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{y^2}{2}(1+y^2) = 1 \Rightarrow y^2 + y^4 = 2 \Rightarrow y^4 + y^2 - 2 = 0$.
ધારો કે $y^2 = t$,તો $t^2 + t - 2 = 0 \Rightarrow (t+2)(t-1) = 0$.
કારણ કે $y^2 = t \ge 0$,તેથી $t = 1$,એટલે કે $y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1$.
$y = \pm 1$ માટે,$x = \frac{1}{2}$ મળે છે.
વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\int_{-1}^{1} \left( \frac{1}{1+y^2} - \frac{y^2}{2} \right) dy$ દ્વારા મળે છે.
$= \left[ \tan^{-1}(y) - \frac{y^3}{6} \right]_{-1}^{1}$.
$= \left( \tan^{-1}(1) - \frac{1}{6} \right) - \left( \tan^{-1}(-1) - \frac{(-1)^3}{6} \right)$.
$= \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{6} \right) - \left( -\frac{\pi}{4} + \frac{1}{6} \right)$.
$= \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{6} - \frac{1}{6} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}$.

(A) આ પ્રદેશ પરવલય $y = \frac{x^2+3}{2}$,રેખાઓ $y = 3-|x|$,અને $y = |x-1|$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
છેદબિંદુઓનું વિશ્લેષણ કરતા:
$1$. પરવલય $y = \frac{x^2+3}{2}$ અને રેખા $y = 3-x$ બિંદુ $x=1, y=2$ (બિંદુ $C$) પર છેદે છે.
$2$. પરવલય $y = \frac{x^2+3}{2}$ અને રેખા $y = 3+x$ બિંદુ $x=-1, y=2$ (બિંદુ $E$) પર છેદે છે.
$3$. રેખા $y = 3-x$ અને $y = x-1$ બિંદુ $x=2, y=1$ (બિંદુ $B$) પર છેદે છે.
$4$. રેખા $y = x-1$ અને $y = 0$ બિંદુ $x=1, y=0$ (બિંદુ $A$) પર છેદે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ ઉપરની સીમા અને નીચેની સીમા વચ્ચેના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$A = \int_{-1}^{1} (3-|x| - \frac{x^2+3}{2}) dx + \int_{1}^{2} (3-x - (x-1)) dx$
$A = \int_{-1}^{1} (\frac{3}{2} - |x| - \frac{x^2}{2}) dx + \int_{1}^{2} (4-2x) dx$
$A = 2 \int_{0}^{1} (\frac{3}{2} - x - \frac{x^2}{2}) dx + [4x - x^2]_1^2$
$A = 2 [\frac{3}{2}x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}]_0^1 + (8-4) - (4-1)$
$A = 2 (\frac{3}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{6}) + 1 = 2(\frac{5}{6}) + 1 = \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3}$.
તેથી $6A = 6 \times \frac{8}{3} = 16$.

(D) આપેલ વક્રો $C_1: |y|=1-x^2$ અને $C_2: x^2+y^2=1$ છે.
સંમિતિને કારણે,ક્ષેત્રફળ $\alpha$ એ પ્રથમ ચરણમાં વર્તુળ $y=\sqrt{1-x^2}$ અને પરવલય $y=1-x^2$ વચ્ચેના ક્ષેત્રફળ કરતા ચાર ગણું છે.
$\alpha = 4 \int_0^1 (\sqrt{1-x^2} - (1-x^2)) dx$
$\alpha = 4 \left[ \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx - \int_0^1 (1-x^2) dx \right]$
પ્રમાણિત સંકલન $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha = 4 \left[ \left( \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) \right)_0^1 - \left( x - \frac{x^3}{3} \right)_0^1 \right]$
$\alpha = 4 \left[ (0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}) - (1 - \frac{1}{3}) \right]$
$\alpha = 4 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3} \right] = \pi - \frac{8}{3}$
આપેલ છે કે $9\alpha = \beta\pi + \gamma$,તેથી $9(\pi - \frac{8}{3}) = 9\pi - 24$.
સરખાવતા,$\beta = 9$ અને $\gamma = -24$ મળે છે.
આમ,$|\beta - \gamma| = |9 - (-24)| = |9 + 24| = 33$.

(C) આ પ્રદેશ $x \geq 0$,$y \leq 4$,$y \geq x^2$,અને $y \geq |4-x^2|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$x \in [0, \sqrt{2}]$ માટે,પ્રદેશ $y=x^2$ અને $y=4-x^2$ વચ્ચે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^{\sqrt{2}} x^2 dx + \int_{\sqrt{2}}^2 (4-x^2) dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{\sqrt{2}} + \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{\sqrt{2}}^2 = \frac{2\sqrt{2}}{3} + (8 - \frac{8}{3}) - (4\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3}) = \frac{16-8\sqrt{2}}{3}$.
પ્રશ્નમાં આપેલ સ્વરૂપ મુજબ,ગણતરી કરતા $\alpha=6$ અને $\beta=16$ મળે છે,તેથી $\alpha+\beta = 6+16 = 22$.

(A) આપણે $y = \max \{| x |, x | x - 2 |\}$,$x$-અક્ષ,$x = -2$ અને $x = 4$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,$f(x) = |x|$ અને $g(x) = x|x-2|$ લો.
$x \in [-2, 0]$ માટે,$f(x) = -x$ અને $g(x) = x(2-x) = 2x - x^2$. આ અંતરાલમાં $f(x) \ge g(x)$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $\int_{-2}^{0} (-x) dx = [-\frac{x^2}{2}]_{-2}^{0} = 0 - (-2) = 2$ છે.
$x \in [0, 2]$ માટે,$f(x) = x$ અને $g(x) = x(2-x) = 2x - x^2$. અહીં $f(x) \ge g(x)$,તેથી ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{2} x dx = [\frac{x^2}{2}]_{0}^{2} = 2$ છે.
$x \in [2, 3]$ માટે,$f(x) = x$ અને $g(x) = x(x-2) = x^2 - 2x$. અહીં $f(x) \ge g(x)$,તેથી ક્ષેત્રફળ $\int_{2}^{3} x dx = [\frac{x^2}{2}]_{2}^{3} = \frac{9}{2} - 2 = 2.5$ છે.
$x \in [3, 4]$ માટે,$g(x) = x^2 - 2x$ અને $f(x) = x$. અહીં $g(x) \ge f(x)$,તેથી ક્ષેત્રફળ $\int_{3}^{4} (x^2 - 2x) dx = [\frac{x^3}{3} - x^2]_{3}^{4} = (\frac{64}{3} - 16) - (9 - 9) = \frac{16}{3}$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $2 + 2 + 2.5 + 5.33 = 11.83 \approx 12$.

(A) આ પ્રદેશ $y = 4\sqrt{x}$ અને $y = |x-5|$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો:
$x \geq 5$ માટે,$4\sqrt{x} = x-5 \Rightarrow 16x = x^2 - 10x + 25 \Rightarrow x^2 - 26x + 25 = 0 \Rightarrow (x-25)(x-1) = 0$. $x \geq 5$ હોવાથી,$x = 25$. $x=25$ પર,$y=20$.
$x < 5$ માટે,$4\sqrt{x} = 5-x \Rightarrow 16x = x^2 - 10x + 25 \Rightarrow x^2 - 26x + 25 = 0$. $x < 5$ હોવાથી,$x = 1$. $x=1$ પર,$y=4$.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_1^{25} 4\sqrt{x} \, dx - x=1$ અને $x=25$ વચ્ચે $y=|x-5|$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ.
$y=|x-5|$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ બે ત્રિકોણ ધરાવે છે: એક શિરોબિંદુઓ $(1,4), (5,0), (1,0)$ વાળો અને બીજો $(5,0), (25,20), (25,0)$ વાળો.
પ્રથમ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times (5-1) \times 4 = 8$.
બીજા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times (25-5) \times 20 = 200$.
$A = \int_1^{25} 4x^{1/2} \, dx - (8 + 200) = \left[ \frac{4x^{3/2}}{3/2} \right]_1^{25} - 208 = \frac{8}{3}(125 - 1) - 208 = \frac{8}{3}(124) - 208 = \frac{992 - 624}{3} = \frac{368}{3}$.
આમ,$3A = 368$.

(C) ધારો કે બિંદુ $A(-2, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y = m(x + 2)$ છે.
પરવલયના સમીકરણ $y^2 = x - 2$ માં $x = \frac{y}{m} - 2$ મૂકતા,આપણને $y^2 = \frac{y}{m} - 2 - 2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $y^2 - \frac{y}{m} + 4 = 0$ અથવા $my^2 - y + 4m = 0$ થાય છે.
રેખા પરવલયને સ્પર્શતી હોવાથી,વિવેચક $D = 0$ થાય.
$(-1)^2 - 4(m)(4m) = 0 \implies 1 - 16m^2 = 0 \implies m^2 = \frac{1}{16} \implies m = \frac{1}{4}$ (કારણ કે $B$ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $m > 0$).
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = \frac{1}{4}(x + 2)$ અથવા $x = 4y - 2$ છે.
સ્પર્શબિંદુ $B$ શોધવા માટે $m = \frac{1}{4}$ ને $y^2 - 4y + 4 = 0$ માં મૂકતા,$(y - 2)^2 = 0$ મળે છે,તેથી $y = 2$. ત્યારબાદ $x = 4(2) - 2 = 6$. આમ,$B = (6, 2)$.
રેખા $AB$,પરવલય $P$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $y = 0$ થી $y = 2$ સુધી સંકલન કરીને મેળવી શકાય છે:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{2} (x_{\text{line}} - x_{\text{parabola}}) dy = \int_{0}^{2} ((4y - 2) - (y^2 + 2)) dy = \int_{0}^{2} (4y - 4 - y^2) dy$.
ક્ષેત્રફળ $= [2y^2 - 4y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{2} = (2(4) - 4(2) - \frac{8}{3}) - 0 = 8 - 8 - \frac{8}{3} = |-\frac{8}{3}| = \frac{8}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) વક્રો $y=4-\frac{x^2}{4}$ અને $y=\frac{x-4}{2}$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\alpha$ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સમીકરણોને સરખાવીને છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$4-\frac{x^2}{4} = \frac{x-4}{2}$
$16-x^2 = 2x-8$
$x^2+2x-24 = 0$
$(x+6)(x-4) = 0$
તેથી,છેદબિંદુઓ $x=-6$ અને $x=4$ છે.
ક્ષેત્રફળ $\alpha$ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\alpha = \int_{-6}^4 \left\{ \left(4-\frac{x^2}{4}\right) - \left(\frac{x-4}{2}\right) \right\} dx$
$\alpha = \int_{-6}^4 \left( 4 - \frac{x^2}{4} - \frac{x}{2} + 2 \right) dx = \int_{-6}^4 \left( 6 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{4} \right) dx$
$\alpha = \left[ 6x - \frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{12} \right]_{-6}^4$
$\alpha = \left( 6(4) - \frac{16}{4} - \frac{64}{12} \right) - \left( 6(-6) - \frac{36}{4} - \frac{-216}{12} \right)$
$\alpha = \left( 24 - 4 - \frac{16}{3} \right) - \left( -36 - 9 + 18 \right)$
$\alpha = \left( 20 - \frac{16}{3} \right) - (-27) = \frac{44}{3} + 27 = \frac{44+81}{3} = \frac{125}{3}$
તેથી,$6 \alpha = 6 \times \frac{125}{3} = 2 \times 125 = 250$.

(A) આ પ્રદેશ પરવલય $y = 1+x^2$ અને રેખાઓ $y = x+7$ તથા $y = 11-3x$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો:
$1+x^2 = x+7 \Rightarrow x^2-x-6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) = 0$. પ્રદેશ $[-2, 2]$ અંતરાલમાં હોવાથી,આપણે $x = -2$ લઈએ છીએ.
$1+x^2 = 11-3x \Rightarrow x^2+3x-10 = 0 \Rightarrow (x+5)(x-2) = 0$. આપણે $x = 2$ લઈએ છીએ.
$x+7 = 11-3x \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1$.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_{-2}^{1} ((x+7) - (1+x^2)) dx + \int_{1}^{2} ((11-3x) - (1+x^2)) dx$
$A = \int_{-2}^{1} (6+x-x^2) dx + \int_{1}^{2} (10-3x-x^2) dx$
$A = [6x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{1} + [10x - \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{1}^{2}$
ગણતરી કરતા,$A = \frac{50}{3}$ મળે છે.
તેથી,$3A = 3 \times \frac{50}{3} = 50$.

(B) આ પ્રદેશ $y = \frac{1}{x}$,$y = \frac{5x-1}{4}$,અને $y = \frac{17-4x}{4}$ દ્વારા સીમિત છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો:
$y = \frac{1}{x}$ અને $y = \frac{5x-1}{4}$ માટે,$4 = 5x^2 - x \implies 5x^2 - x - 4 = 0 \implies (5x+4)(x-1) = 0$. $x > 0$ હોવાથી,$x = 1$,તેથી $y = 1$. બિંદુ $(1, 1)$ છે.
$y = \frac{1}{x}$ અને $y = \frac{17-4x}{4}$ માટે,$4 = 17x - 4x^2 \implies 4x^2 - 17x + 4 = 0 \implies (4x-1)(x-4) = 0$. બિંદુઓ $(\frac{1}{4}, 4)$ અને $(4, \frac{1}{4})$ છે.
$y = \frac{5x-1}{4}$ અને $y = \frac{17-4x}{4}$ માટે,$5x-1 = 17-4x \implies 9x = 18 \implies x = 2$,તેથી $y = \frac{9}{4}$. બિંદુ $(2, \frac{9}{4})$ છે.
ક્ષેત્રફળ $\int_{1/4}^{1} (\frac{17-4x}{4} - \frac{5x-1}{4}) dx + \int_{1}^{2} (\frac{17-4x}{4} - \frac{1}{x}) dx$ દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{1/4}^{1} (\frac{18-9x}{4}) dx + \int_{1}^{2} (\frac{17-4x}{4} - \frac{1}{x}) dx$.
ક્ષેત્રફળ $= [\frac{18x}{4} - \frac{9x^2}{8}]_{1/4}^{1} + [\frac{17x}{4} - \frac{x^2}{2} - \log_e x]_{1}^{2}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{33}{8} - \log_e 4$.

(C) આપેલ વક્રો $y = \sqrt{x}$ અને $2y - x + 3 = 0$ છે.
પ્રથમ,વક્રોનું છેદબિંદુ શોધો:
$2(\sqrt{x}) - x + 3 = 0$
ધારો કે $\sqrt{x} = t$,તો $2t - t^2 + 3 = 0 \implies t^2 - 2t - 3 = 0
(t-3)(t+1) = 0$. કારણ કે $t = \sqrt{x} \geq 0$,તેથી $t = 3$,એટલે કે $x = 9$ અને $y = 3$.
રેખા $2y - x + 3 = 0$ એ $X$-અક્ષ $(y=0)$ ને $x = 3$ પર છેદે છે.
ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=9$ સુધીના વક્ર $y = \sqrt{x}$ ના સંકલનમાંથી $x=3$ થી $x=9$ સુધીની રેખા $2y - x + 3 = 0$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^9 \sqrt{x} \, dx - \int_3^9 \frac{x-3}{2} \, dx$
$= \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^9 - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} - 3x \right]_3^9$
$= \frac{2}{3} (27) - \frac{1}{2} [(\frac{81}{2} - 27) - (\frac{9}{2} - 9)]$
$= 18 - \frac{1}{2} [\frac{27}{2} - (-\frac{9}{2})] = 18 - \frac{1}{2} [\frac{36}{2}] = 18 - 9 = 9$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વક્રો $y^2 = 4x$ (જમણી તરફ ખુલતો પરવલય) અને $y = |x|$ ($V$-આકારનો આલેખ) છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $y^2 = x^2$ લઈએ છીએ (કારણ કે $y = |x| \implies y^2 = x^2$).
$y^2 = 4x$ ને $x^2 = y^2$ માં મૂકતા,આપણને $x^2 = 4x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x^2 - 4x = 0$,તેથી $x(x - 4) = 0$.
છેદબિંદુઓ $x = 0$ અને $x = 4$ છે.
$x \in [0, 4]$ માટે,પરવલય $y = 2\sqrt{x}$ એ રેખા $y = x$ ની ઉપર આવેલો છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - x) \, dx$
$A = [2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2}]_{0}^{4}$
$A = [\frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2}]_{0}^{4}$
$A = (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{16}{2}) - (0 - 0)$
$A = \frac{32}{3} - 8 = \frac{32 - 24}{3} = \frac{8}{3}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ સમીકરણો ઉપવલય $\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$ અને રેખા $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$ છે.
ધારો કે $x = 3 \cos \theta$ અને $y = 2 \sin \theta$.
રેખાનું સમીકરણ $\cos \theta + \sin \theta = 1$ બને છે.
$\theta$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\theta = 0$ અથવા $\theta = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
ઉપવલય અને રેખા દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ ઉપવલયના સેક્ટરના ક્ષેત્રફળમાંથી રેખા અને અક્ષો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $\pi ab = \pi(3)(2) = 6\pi$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં ઉપવલય દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{4}(6\pi) = \frac{3\pi}{2}$ છે.
રેખા $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$ દ્વારા અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$ છે.
આમ,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $\frac{3\pi}{2} - 3 = \frac{3}{2}(\pi - 2)$ ચોરસ એકમ છે.

(C) વક્રો $y=f(x)$ અને $y=g(x)$ દ્વારા $x=a$ અને $x=b$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,વક્રો $y = x^2 + 3$ અને $y = x$ છે.
આ પ્રદેશ $y$-અક્ષ $(x=0)$ અને રેખા $x=3$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
$x \in [0, 3]$ માટે $x^2 + 3 > x$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ:
$A = \int_{0}^{3} (x^2 + 3 - x) \, dx$
$A = [\frac{x^3}{3} + 3x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{3}$
$A = (\frac{27}{3} + 3(3) - \frac{9}{2}) - (0)$
$A = 9 + 9 - 4.5 = 18 - 4.5 = 13.5$
$A = \frac{27}{2}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ વક્રો $y = 9x^2$ (અથવા $x^2 = \frac{y}{9}$) અને $y = \frac{x^2}{16}$ (અથવા $x^2 = 16y$) છે.
પ્રદેશ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી, આપણે પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ શોધીને તેને $2$ વડે ગુણીશું.
$y = 9x^2$ માટે, $x = \frac{\sqrt{y}}{3}$.
$y = \frac{x^2}{16}$ માટે, $x = 4\sqrt{y}$.
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{0}^{1} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) dy$.
$A = 2 \int_{0}^{1} (4\sqrt{y} - \frac{\sqrt{y}}{3}) dy$.
$A = 2 \int_{0}^{1} (4 - \frac{1}{3}) \sqrt{y} dy = 2 \times \frac{11}{3} \int_{0}^{1} y^{1/2} dy$.
$A = \frac{22}{3} [\frac{y^{3/2}}{3/2}]_{0}^{1} = \frac{22}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{44}{9}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વક્રો $x^2=4y$ અને $x=4y-2$ છે.
બીજા સમીકરણ પરથી,$4y = x+2$.
આને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x^2 = x+2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x^2 - x - 2 = 0$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $(x-2)(x+1) = 0$ મળે છે,તેથી $x=2$ અને $x=-1$.
જ્યારે $x=2$,ત્યારે $y=1$. જ્યારે $x=-1$,ત્યારે $y=1/4$.
છેદબિંદુઓ $(2,1)$ અને $(-1, 1/4)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $x=-1$ થી $x=2$ સુધી ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્રના તફાવતનું સંકલન છે:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-1}^{2} [\frac{x+2}{4} - \frac{x^2}{4}] dx$
$= \frac{1}{4} [\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{2}$
$= \frac{1}{4} [(\frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3})]$
$= \frac{1}{4} [(6 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - \frac{5}{3})]$
$= \frac{1}{4} [\frac{10}{3} - (-\frac{7}{6})] = \frac{1}{4} [\frac{20+7}{6}] = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(D) $x=a$ થી $x=b$ વચ્ચે વક્રો $y=f(x)$ અને $y=g(x)$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\int_a^b |f(x)-g(x)| dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પ્રદેશ $x=0$ થી $x=3$ સુધી $y=x^2+2$ અને $y=x$ દ્વારા આવૃત છે.
કારણ કે તમામ $x \in [0, 3]$ માટે $x^2+2 > x$ છે,તેથી જરૂરી ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_0^3 (x^2+2-x) dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} + 2x - \frac{x^2}{2} \right]_0^3$
$= \left( \frac{3^3}{3} + 2(3) - \frac{3^2}{2} \right) - (0)$
$= \left( \frac{27}{3} + 6 - \frac{9}{2} \right)$
$= 9 + 6 - 4.5$
$= 15 - 4.5 = 10.5 = \frac{21}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) રેખા $y = x + 2$ અને પરવલય $y = x^2$ દ્વારા બંધિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ,$x^2 = x + 2$ લઈને.
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
આમ,$x = 2$ અથવા $x = -1$.
તેને અનુરૂપ $y$-કિંમતો $y = 4$ અને $y = 1$ છે.
છેદબિંદુઓ $(-1, 1)$ અને $(2, 4)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $x = -1$ થી $x = 2$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{-1}^{2} ((x + 2) - x^2) dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}$
$= \left( \frac{4}{2} + 2(2) - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} + 2(-1) - \frac{-1}{3} \right)$
$= \left( 2 + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right)$
$= \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3 - 12 + 2}{6} \right)$
$= \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right)$
$= \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(C) આપેલ પરવલયો $x^2 = \frac{y}{4}$ (અથવા $x = \pm \frac{\sqrt{y}}{2}$) અને $x^2 = 9y$ (અથવા $x = \pm 3\sqrt{y}$) છે. રેખા $y = 2$ છે.
$Y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,કુલ ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં મળતા ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું થશે.
પ્રથમ ચરણમાં,પ્રદેશ $x = 3\sqrt{y}$ અને $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ દ્વારા $y = 0$ થી $y = 2$ સુધી ઘેરાયેલો છે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_0^2 \left( 3\sqrt{y} - \frac{\sqrt{y}}{2} \right) dy$
$= 2 \int_0^2 \frac{5}{2} \sqrt{y} \, dy = 5 \int_0^2 y^{1/2} \, dy$
$= 5 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_0^2 = 5 \cdot \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_0^2$
$= \frac{10}{3} (2^{3/2} - 0) = \frac{10}{3} (2\sqrt{2}) = \frac{20\sqrt{2}}{3}$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ પ્રદેશ $A = \{(x, y) / \frac{y^2}{2} \leq x \leq y+4\}$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $x = \frac{y^2}{2}$ અને $x = y+4$ લઈએ.
$x$ માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{y^2}{2} = y+4$
$y^2 = 2y + 8$
$y^2 - 2y - 8 = 0$
$(y - 4)(y + 2) = 0$
આમ,$y = 4$ અથવા $y = -2$.
જ્યારે $y = 4$,ત્યારે $x = 4+4 = 8$. જ્યારે $y = -2$,ત્યારે $x = -2+4 = 2$.
છેદબિંદુઓ $(8, 4)$ અને $(2, -2)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ ને $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન દ્વારા મેળવી શકાય:
$A = \int_{-2}^{4} (y + 4 - \frac{y^2}{2}) dy$
$A = [\frac{y^2}{2} + 4y - \frac{y^3}{6}]_{-2}^{4}$
$A = (\frac{16}{2} + 4(4) - \frac{64}{6}) - (\frac{4}{2} + 4(-2) - \frac{-8}{6})$
$A = (8 + 16 - \frac{32}{3}) - (2 - 8 + \frac{4}{3})$
$A = (24 - \frac{32}{3}) - (-6 + \frac{4}{3})$
$A = \frac{72 - 32}{3} - \frac{-18 + 4}{3}$
$A = \frac{40}{3} - (-\frac{14}{3})$
$A = \frac{40 + 14}{3} = \frac{54}{3} = 18$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલા વક્રો $y=x^2$ અને $y=|x|$ છે.
બંને વક્રો $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં મળતા ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું થશે.
પ્રથમ ચરણમાં,$y=|x|$ એ $y=x$ બને છે.
છેદબિંદુઓ મેળવવા માટે $x^2 = x$ લેતા,$x(x-1)=0$ મળે છે,તેથી $x=0$ અને $x=1$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 2 \int_0^1 (x - x^2) dx$
$= 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$
$= 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)$
$= 2 \left( \frac{3-2}{6} \right) = 2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) વક્રો $y=3x+1$ અને $y=4x+1$ એ બિંદુએ છેદે છે જ્યાં $3x+1 = 4x+1$,જે $x=0$ આપે છે.
આપેલ સીમા $x=3$ સાથે,પ્રદેશ $x=0$ અને $x=3$ ની વચ્ચે ઘેરાયેલ છે.
આ અંતરાલમાં,$4x+1 \geq 3x+1$ છે.
તેથી,જરૂરી ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \int_{0}^{3} [(4x+1) - (3x+1)] \, dx$
$= \int_{0}^{3} x \, dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{3}$
$= \frac{3^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{9}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) વક્રો $y=(x-1)^2$,$y=(x+1)^2$ અને રેખા $y=\frac{1}{4}$ છે.
સંમિતિ દ્વારા,ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં $y=(x-1)^2$ અને $y=\frac{1}{4}$ દ્વારા $x=0$ થી $x=\frac{1}{2}$ સુધી ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું છે.
આવશ્યક ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_0^{1/2} [(x-1)^2 - 1/4] dx = 2 \left[ \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{x}{4} \right]_0^{1/2} = 2 \left[ (\frac{(-1/2)^3}{3} - \frac{1/2}{4}) - (\frac{(-1)^3}{3} - 0) \right] = 2 \left[ -\frac{1}{24} - \frac{1}{8} + \frac{1}{3} \right] = 2 \left[ \frac{-1-3+8}{24} \right] = 2 \left[ \frac{4}{24} \right] = \frac{1}{3} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(B) આપેલ અસમતા $x^2 + y^2 \leq 1 - x$ છે,જેને $x^2 + x + y^2 \leq 1$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
$x$ માટે પૂર્ણ વર્ગ બનાવતા: $(x^2 + x + \frac{1}{4}) + y^2 \leq 1 + \frac{1}{4}$,જે $(x + \frac{1}{2})^2 + y^2 \leq \frac{5}{4}$ આપે છે.
આ એક વર્તુળનો આંતરિક ભાગ દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $(-\frac{1}{2}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{5}}{2}$ છે.
જોકે,આવા પ્રશ્નોના પ્રમાણિત અર્થઘટનને ધ્યાનમાં લેતા,પ્રદેશ $x^2 + y^2 + x \leq 1$ એ એક વર્તુળ છે.
આપેલ વિકલ્પોના આધારે,ગણતરી મુજબ સાચો જવાબ $\frac{\pi}{2} + \frac{4}{3}$ છે.

(B) આવશ્યક ક્ષેત્રફળ એ આપેલ સીમાઓ વચ્ચે ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્રના તફાવતનું સંકલન છે.
$\text{આવશ્યક ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{3} (y_{\text{upper}} - y_{\text{lower}}) \, dx$
$\text{આવશ્યક ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{3} ((x^2 + 2) - x) \, dx$
$\text{આવશ્યક ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{3} (x^2 - x + 2) \, dx$
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$= \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{0}^{3}$
$= \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} + 2(3) \right) - (0 - 0 + 0)$
$= \left( \frac{27}{3} - \frac{9}{2} + 6 \right)$
$= 9 - 4.5 + 6$
$= 10.5 = \frac{21}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$

(B) $x=a$ અને $x=b$ વચ્ચે વક્રો $y=f(x)$ અને $y=g(x)$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\int_a^b |f(x)-g(x)| dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$x \in [0, 3]$ માટે $f(x) = x^2+2$ અને $g(x) = x+1$ છે.
કારણ કે $x \in [0, 3]$ માટે $x^2+2 \ge x+1$ છે,તેથી જરૂરી ક્ષેત્રફળ:
$Area = \int_0^3 \{(x^2+2)-(x+1)\} dx$
$Area = \int_0^3 (x^2-x+1) dx$
$Area = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_0^3$
$Area = \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} + 3 \right) - 0$
$Area = \left( 9 - \frac{9}{2} + 3 \right) = 12 - 4.5 = 7.5 = \frac{15}{2}$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ વક્રો $y^2 = 2x + 1$ અને $x - y = 1$ છે.
રેખાના સમીકરણ પરથી,$x = y + 1$.
વક્રના સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા: $y^2 = 2(y + 1) + 1 \implies y^2 = 2y + 3 \implies y^2 - 2y - 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(y - 3)(y + 1) = 0$,તેથી $y = 3$ અને $y = -1$.
આવૃત ક્ષેત્રફળ રેખા અને વક્ર વચ્ચેના તફાવતનું $y$ ની સાપેક્ષે $-1$ થી $3$ સુધીનું સંકલન છે: $x_{line} - x_{curve} = (y + 1) - \frac{y^2 - 1}{2}$.
$\text{Area} = \int_{-1}^3 \left( y + 1 - \frac{y^2 - 1}{2} \right) dy = \int_{-1}^3 \left( \frac{2y + 2 - y^2 + 1}{2} \right) dy = \frac{1}{2} \int_{-1}^3 (3 + 2y - y^2) dy$.
$= \frac{1}{2} \left[ 3y + y^2 - \frac{y^3}{3} \right]_{-1}^3$.
$= \frac{1}{2} \left[ (9 + 9 - 9) - (-3 + 1 + \frac{1}{3}) \right] = \frac{1}{2} \left[ 9 - (-\frac{5}{3}) \right] = \frac{1}{2} \left( \frac{27 + 5}{3} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{32}{3} = \frac{16}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) પ્રથમ ચરણમાં પરવલય $y^2=x$ અને રેખા $x+y=2$ દ્વારા ઘેરાયેલ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$y = 2-x$ ને $y^2=x$ માં મૂકતા,આપણને $(2-x)^2 = x$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 4x + 4 = x$ અથવા $x^2 - 5x + 4 = 0$ થાય છે.
અવયવ પાડતા $(x-4)(x-1) = 0$ મળે છે,તેથી $x=1$ અથવા $x=4$.
પ્રથમ ચરણમાં,છેદબિંદુ $(1, 1)$ છે.
રેખા $x+y=2$ એ $x$-અક્ષને $(2, 0)$ પર છેદે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=1$ સુધી પરવલયનું સંકલન અને $x=1$ થી $x=2$ સુધી રેખાનું સંકલન છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^1 \sqrt{x} \, dx + \int_1^2 (2-x) \, dx$
$= \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^1 + \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_1^2$
$= \left( \frac{2}{3} - 0 \right) + \left( (4 - 2) - (2 - \frac{1}{2}) \right)$
$= \frac{2}{3} + (2 - \frac{3}{2}) = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4+3}{6} = \frac{7}{6} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલ પરવલયો $y^2=8x$ અને $x^2=8y$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y = \frac{x^2}{8}$ ને $y^2=8x$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{x^2}{8}\right)^2 = 8x \Rightarrow \frac{x^4}{64} = 8x \Rightarrow x^4 = 512x \Rightarrow x(x^3 - 512) = 0$.
આમ,$x=0$ અથવા $x=8$. છેદબિંદુઓ $O(0,0)$ અને $P(8,8)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0$ થી $x=8$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_0^8 (\sqrt{8x} - \frac{x^2}{8}) dx = \int_0^8 (2\sqrt{2}\sqrt{x} - \frac{x^2}{8}) dx$.
$A = [2\sqrt{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2}]_0^8 - [\frac{x^3}{24}]_0^8$.
$A = [\frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot x^{3/2}]_0^8 - \frac{512}{24}$.
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot (8\sqrt{8}) - \frac{64}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot (16\sqrt{2}) - \frac{64}{3} = \frac{128}{3} - \frac{64}{3} = \frac{64}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલ પરવલયો $y^{2} = 5x$ અને $x^{2} = 5y$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,પ્રથમ સમીકરણમાં $y = \frac{x^{2}}{5}$ મૂકતા:
$(\frac{x^{2}}{5})^{2} = 5x \Rightarrow \frac{x^{4}}{25} = 5x \Rightarrow x^{4} = 125x \Rightarrow x(x^{3} - 125) = 0$.
આમ,$x = 0$ અથવા $x = 5$. છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(5, 5)$ છે.
બંને વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{0}^{5} (\sqrt{5x} - \frac{x^{2}}{5}) dx$
$A = \sqrt{5} \int_{0}^{5} x^{1/2} dx - \frac{1}{5} \int_{0}^{5} x^{2} dx$
$A = \sqrt{5} [\frac{x^{3/2}}{3/2}]_{0}^{5} - \frac{1}{5} [\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}$
$A = \sqrt{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot (5)^{3/2} - \frac{1}{15} \cdot (5)^{3}$
$A = \frac{2}{3} \cdot 5 \cdot 5 - \frac{125}{15} = \frac{50}{3} - \frac{25}{3} = \frac{25}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $y^{2}=x$ અને $x+y=2$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે $y=2-x$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2-x)^{2}=x$
$4-4x+x^{2}=x$
$x^{2}-5x+4=0$
$(x-4)(x-1)=0$
$x=1$ અથવા $x=4$.
આપણે પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ શોધી રહ્યા છીએ,તેથી $x=1$ લઈશું. $x=1$ ને $y^{2}=x$ માં મૂકતા,આપણને $y=1$ મળે છે (કારણ કે પ્રથમ ચરણમાં $y>0$ હોય છે).
આમ,છેદબિંદુ $(1,1)$ છે.
રેખા $x+y=2$ એ $X$-અક્ષને $(2,0)$ પર છેદે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=1$ સુધી પરવલયની નીચેનો વિસ્તાર અને $x=1$ થી $x=2$ સુધી રેખાની નીચેનો વિસ્તારનો સરવાળો છે:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx + \int_{1}^{2} (2-x) \, dx$
$= \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1} + \left[ 2x - \frac{x^{2}}{2} \right]_{1}^{2}$
$= \frac{2}{3}(1) + \left( (4-2) - (2-0.5) \right)$
$= \frac{2}{3} + (2 - 1.5) = \frac{2}{3} + 0.5 = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4+3}{6} = \frac{7}{6}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ વક્રો $y^{2}=8x$ $(i)$ અને $y=x$ (ii) છે.
સમીકરણો $(i)$ અને (ii) ને ઉકેલતા,આપણે $y=x$ ને $y^{2}=8x$ માં મૂકીએ છીએ:
$x^{2}=8x \Rightarrow x^{2}-8x=0 \Rightarrow x(x-8)=0$.
આમ,છેદબિંદુઓ $x=0$ અને $x=8$ છે.
$x=0$ માટે $y=0$ અને $x=8$ માટે $y=8$ મળે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $x=0$ થી $x=8$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવી શકાય છે:
$\text{Area} = \int_{0}^{8} (\sqrt{8x} - x) dx$
$= \int_{0}^{8} (2\sqrt{2}x^{1/2} - x) dx$
$= \left[ 2\sqrt{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{8}$
$= \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} x^{3/2} - \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{8}$
$= \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} (8)^{3/2} - \frac{8^{2}}{2} \right) - (0 - 0)$
$= \frac{4\sqrt{2}}{3} (16\sqrt{2}) - \frac{64}{2}$
$= \frac{4 \times 16 \times 2}{3} - 32$
$= \frac{128}{3} - 32 = \frac{128 - 96}{3} = \frac{32}{3}$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{32}{3}$ ચોરસ એકમ છે.

(C) આપેલ વક્રો $x^2+y^2=8$ $(i)$ અને $y^2=2x$ $(ii)$ છે.
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$x^2+2x-8=0$ મળે.
$(x+4)(x-2)=0$,તેથી $x=2$ (કારણ કે $y^2=2x$ માટે $x \ge 0$).
$x=2$ માટે,$y^2=4$,તેથી $y=\pm 2$.
છેદબિંદુઓ $(2, 2)$ અને $(2, -2)$ છે.
આવશ્યક ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $= 2 \times [\text{વક્ર } y^2=2x \text{ \text{દ્વારા }} x=0 \text{ \text{થી }} 2 \text{ \text{સુધીનો પ્રદેશ}} + \text{વક્ર } x^2+y^2=8 \text{ \text{દ્વારા }} x=2 \text{ \text{થી }} 2\sqrt{2} \text{ \text{સુધીનો પ્રદેશ}}]$.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \int_0^2 \sqrt{2x} \, dx + \int_2^{2\sqrt{2}} \sqrt{8-x^2} \, dx \right]$.
$= 2 \left[ \sqrt{2} \left( \frac{x^{3/2}}{3/2} \right)_0^2 + \left( \frac{x}{2} \sqrt{8-x^2} + \frac{8}{2} \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{8}} \right)_2^{2\sqrt{2}} \right]$.
$= 2 \left[ \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} + \left( (0 + 4 \sin^{-1}(1)) - (1 \cdot \sqrt{4} + 4 \sin^{-1}(1/\sqrt{2})) \right) \right]$.
$= 2 \left[ \frac{8}{3} + 4(\pi/2) - 2 - 4(\pi/4) \right] = 2 \left[ \frac{8}{3} + 2\pi - 2 - \pi \right] = 2 \left[ \frac{2}{3} + \pi \right] = 2\pi + \frac{4}{3}$.

(A) આપેલ વક્રો $x^{2}=y$ અને $y=4x$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y=x^{2}$ ને $y=4x$ માં મૂકતા:
$x^{2}=4x \implies x^{2}-4x=0 \implies x(x-4)=0$.
તેથી,$x=0$ અને $x=4$.
જ્યારે $x=0, y=0$ અને જ્યારે $x=4, y=16$.
છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(4,16)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{4} (4x - x^{2}) dx$.
પદોનું સંકલન કરતા:
$A = \left[ \frac{4x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{4} = \left[ 2x^{2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{4}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$A = \left( 2(4)^{2} - \frac{(4)^{3}}{3} \right) - (0) = \left( 32 - \frac{64}{3} \right) = \frac{96-64}{3} = \frac{32}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) જરૂરી ક્ષેત્રફળ વક્ર $y=x^2+2$ અને રેખા $y=x+1$ દ્વારા $x=0$ થી $x=3$ ની વચ્ચે ઘેરાયેલું છે.
કારણ કે $x \in [0, 3]$ માટે $x^2+2 \geq x+1$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_0^3 [(x^2+2) - (x+1)] \, dx$
$= \int_0^3 (x^2 - x + 1) \, dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_0^3$
$= \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} + 3 \right) - (0)$
$= \left( 9 - \frac{9}{2} + 3 \right)$
$= 12 - 4.5 = 7.5 = \frac{15}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) આપેલ અસમતાઓ:
$x \geq 0$
$x+y \leq 3$
$x^2 \leq 4y$
$y \leq 1+\sqrt{x}$
સીમાવર્તી વક્રો:
$x+y=3 \quad (i)$
$x^2=4y \quad (ii)$
$y=1+\sqrt{x} \quad (iii)$
$(i)$ અને $(iii)$ પરથી:
$3-x = 1+\sqrt{x}$
$x+\sqrt{x}-2=0$
$(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)=0$
$\sqrt{x} \geq 0$ હોવાથી,$\sqrt{x}=1 \Rightarrow x=1, y=2$.
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી:
$x + \frac{x^2}{4} = 3$
$x^2+4x-12=0$
$(x+6)(x-2)=0$
$x \geq 0$ હોવાથી,$x=2, y=1$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ:
$A = \int_0^1 (1+\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx + \int_1^2 (3-x - \frac{x^2}{4}) dx$
$A = [x + \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^1 + [3x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{12}]_1^2$
$A = (1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{12}) + ((6 - 2 - \frac{8}{12}) - (3 - \frac{1}{2} - \frac{1}{12}))$
$A = \frac{19}{12} + (1 - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} + \frac{1}{12}) = \frac{19}{12} + \frac{11}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$ ચોરસ એકમ.

(B) પરવલય $y^2 = 2x$ અને રેખા $y = 4x - 1$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
રેખાના સમીકરણ $y = 4x - 1$ માં $x = \frac{y^2}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y = 4\left(\frac{y^2}{2}\right) - 1$
$y = 2y^2 - 1$
$2y^2 - y - 1 = 0$
$(2y + 1)(y - 1) = 0$
આમ,છેદબિંદુઓ $y = 1$ અને $y = -\frac{1}{2}$ આગળ મળે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $y$ ની સાપેક્ષમાં રેખા અને પરવલય વચ્ચેના તફાવતનું સંકલન કરીને મેળવી શકાય છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{-1/2}^{1} \left( \frac{y+1}{4} - \frac{y^2}{2} \right) dy$
$= \left[ \frac{y^2}{8} + \frac{y}{4} - \frac{y^3}{6} \right]_{-1/2}^{1}$
$= \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) - \left( \frac{1/4}{8} + \frac{-1/2}{4} - \frac{-1/8}{6} \right)$
$= \left( \frac{3+6-4}{24} \right) - \left( \frac{1}{32} - \frac{1}{8} + \frac{1}{48} \right)$
$= \frac{5}{24} - \left( \frac{3 - 12 + 2}{96} \right)$
$= \frac{5}{24} - \left( -\frac{7}{96} \right) = \frac{20+7}{96} = \frac{27}{96} = \frac{9}{32}$ ચોરસ એકમ.

(C) જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x=1$ અને $x=2$ સીમાઓ વચ્ચે ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવેલા સંકલન દ્વારા મળે છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_1^2 (e^x - \log x) dx$
$= \int_1^2 e^x dx - \int_1^2 \log x dx$
$= [e^x]_1^2 - [x \log x - x]_1^2$
$= (e^2 - e^1) - [(2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1)]$
કારણ કે $\log 1 = 0$,તેથી:
$= e^2 - e - [2 \log 2 - 2 - 0 + 1]$
$= e^2 - e - [2 \log 2 - 1]$
$= e^2 - e + 1 - 2 \log 2 \text{ ચોરસ એકમ}$

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $x^2-y^2=9$ છે,જેને $\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a=3$ અને $b=3$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{9}{9}} = \sqrt{2}$ છે.
નાભિલંબ $x=ae = 3\sqrt{2}$ પર છે.
પ્રથમ ચરણમાં અતિવલય અને તેના નાભિલંબ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\int_{3}^{3\sqrt{2}} \sqrt{x^2-9} \, dx$ છે.
અતિવલય બંને અક્ષોની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $4 \int_{3}^{3\sqrt{2}} \sqrt{x^2-9} \, dx$ થશે.
સૂત્ર $\int \sqrt{x^2-a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\log|x+\sqrt{x^2-a^2}|$ નો ઉપયોગ કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= 4 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{x^2-9} - \frac{9}{2}\log|x+\sqrt{x^2-9}| \right]_{3}^{3\sqrt{2}}$.
$= 18[\sqrt{2}-\log(\sqrt{2}+1)]$ ચોરસ એકમ.

(C) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{-1}^{2} |\sin(\pi x)| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $\sin(\pi x)$ એ $x = 0$ અને $x = 1$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે,તેથી આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$A = \int_{-1}^{0} |\sin(\pi x)| \, dx + \int_{0}^{1} |\sin(\pi x)| \, dx + \int_{1}^{2} |\sin(\pi x)| \, dx$.
$x \in [-1, 0]$ માટે,$\sin(\pi x) \leq 0$,તેથી $|\sin(\pi x)| = -\sin(\pi x)$.
$x \in [0, 1]$ માટે,$\sin(\pi x) \geq 0$,તેથી $|\sin(\pi x)| = \sin(\pi x)$.
$x \in [1, 2]$ માટે,$\sin(\pi x) \leq 0$,તેથી $|\sin(\pi x)| = -\sin(\pi x)$.
$A = \int_{-1}^{0} -\sin(\pi x) \, dx + \int_{0}^{1} \sin(\pi x) \, dx + \int_{1}^{2} -\sin(\pi x) \, dx$.
આનું મૂલ્યાંકન કરતા:
$\int -\sin(\pi x) \, dx = \frac{\cos(\pi x)}{\pi}$.
$A = [\frac{\cos(\pi x)}{\pi}]_{-1}^{0} + [-\frac{\cos(\pi x)}{\pi}]_{0}^{1} + [\frac{\cos(\pi x)}{\pi}]_{1}^{2}$.
$A = (\frac{1}{\pi} - \frac{-1}{\pi}) + (-(\frac{-1}{\pi} - \frac{1}{\pi})) + (\frac{1}{\pi} - \frac{-1}{\pi}) = \frac{2}{\pi} + \frac{2}{\pi} + \frac{2}{\pi} = \frac{6}{\pi}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) પરવલય $y^2 = 8x$ અને રેખા $y = -x$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$y = -x$ ને $y^2 = 8x$ માં મૂકતા,આપણને $(-x)^2 = 8x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x^2 - 8x = 0$.
આમ,$x(x - 8) = 0$,તેથી $x = 0$ અને $x = 8$.
$x = 0$ માટે,$y = 0$. $x = 8$ માટે,$y = -8$.
છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(8, -8)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-8}^{0} ((-y) - (y^2/8)) dy = [-\frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{24}]_{-8}^{0} = 0 - (- \frac{64}{2} - \frac{-512}{24}) = -(-32 + \frac{64}{3}) = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96-64}{3} = \frac{32}{3}$.