Area bounded by region of multi curve Questions in Gujarati

(B) આ પ્રદેશ $x = \frac{1}{2}$ અને $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ વચ્ચે ઘેરાયેલો છે. આ અંતરાલમાં,$f(x) = 1-x$ અને $g(x) = (x-\frac{1}{2})^2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1/2}^{\sqrt{3}/2} (f(x) - g(x)) dx$
$A = \int_{1/2}^{\sqrt{3}/2} ((1-x) - (x-\frac{1}{2})^2) dx$
ધારો કે $u = x - \frac{1}{2}$,તેથી $du = dx$. જ્યારે $x = 1/2, u = 0$. જ્યારે $x = \sqrt{3}/2, u = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
$A = \int_{0}^{(\sqrt{3}-1)/2} (1/2 - u - u^2) du$
$A = [\frac{1}{2}u - \frac{u^2}{2} - \frac{u^3}{3}]_{0}^{(\sqrt{3}-1)/2}$
ઉપરની સીમા મૂકતા:
$A = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{3}$.

(A) વક્ર $x^{2}=4y$ અને રેખા $x=4y-2$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છેદબિંદુઓ નક્કી કરીને મેળવવામાં આવે છે.
રેખાના સમીકરણ પરથી,$4y = x+2$. આને પરવલયના સમીકરણ $x^{2}=4y$ માં મૂકતા,આપણને $x^{2} = x+2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^{2}-x-2=0$ થાય છે.
$(x-2)(x+1)=0$ ઉકેલતા,આપણને $x=2$ અને $x=-1$ પર છેદબિંદુઓ મળે છે.
$x=2$ માટે,$y = (2^{2})/4 = 1$. બિંદુ $B$ એ $(2, 1)$ છે.
$x=-1$ માટે,$y = ((-1)^{2})/4 = 1/4$. બિંદુ $A$ એ $(-1, 1/4)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x=-1$ થી $x=2$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવેલ સંકલન છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-1}^{2} \left( \frac{x+2}{4} - \frac{x^{2}}{4} \right) dx$
$= \frac{1}{4} \left[ \frac{x^{2}}{2} + 2x - \frac{x^{3}}{3} \right]_{-1}^{2}$
$= \frac{1}{4} \left( \left( \frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 - \frac{-1}{3} \right) \right)$
$= \frac{1}{4} \left( \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right) \right)$
$= \frac{1}{4} \left( \frac{10}{3} - \left( \frac{3-12+2}{6} \right) \right)$
$= \frac{1}{4} \left( \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{20+7}{6} \right) = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(A) બે પરવલયો $y=x^{2}$ અને $y^{2}=x$ ના છેદબિંદુઓ $y=x^{2}$ ને $y^{2}=x$ માં મૂકતા મળે છે,જે $(x^{2})^{2}=x$ આપે છે,અથવા $x^{4}-x=0$. આના અવયવ પાડતા $x(x^{3}-1)=0$ મળે છે,જે $x=0$ અને $x=1$ આપે છે. આમ,છેદબિંદુઓ $O(0, 0)$ અને $A(1, 1)$ છે.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં,વક્ર $y=\sqrt{x}$ એ વક્ર $y=x^{2}$ ની ઉપર આવેલો છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્રના તફાવતનું સંકલન છે:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{2}) dx$
$= \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{1}$
$= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{1}$
$= (\frac{2}{3}(1) - \frac{1}{3}(1)) - (0 - 0)$
$= \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો છે:
$x^{2}+y^{2}=4$ ........ $(1)$
$(x-2)^{2}+y^{2}=4$ ........ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ એ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર કેન્દ્ર અને $2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. સમીકરણ $(2)$ એ $C(2,0)$ પર કેન્દ્ર અને $2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા:
$(x-2)^{2}+y^{2}=x^{2}+y^{2}$
$x^{2}-4x+4+y^{2}=x^{2}+y^{2}$
$4x=4 \implies x=1$
$x=1$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$1+y^{2}=4 \implies y^{2}=3 \implies y=\pm \sqrt{3}$.
છેદબિંદુઓ $A(1, \sqrt{3})$ અને $A'(1, -\sqrt{3})$ છે.
માગેલ ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \text{પ્રથમ ચરણમાં } OACA'O \text{ નું ક્ષેત્રફળ}$.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \int_{0}^{1} \sqrt{4-(x-2)^{2}} dx + \int_{1}^{2} \sqrt{4-x^{2}} dx \right]$
સૂત્ર $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \left( \frac{x-2}{2}\sqrt{4-(x-2)^{2}} + 2\sin^{-1}(\frac{x-2}{2}) \right)_{0}^{1} + \left( \frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}} + 2\sin^{-1}(\frac{x}{2}) \right)_{1}^{2} \right]$
$= 2 \left[ \left( (-\frac{1}{2}\sqrt{3} + 2\sin^{-1}(-\frac{1}{2})) - (-\sqrt{3} + 2\sin^{-1}(-1)) \right) + \left( (0 + 2\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2}\sqrt{3} + 2\sin^{-1}(\frac{1}{2})) \right) \right]$
$= 2 \left[ (-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} + \sqrt{3} + \pi) + (\pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3}) \right]$
$= 2 \left[ \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3} \right] = \frac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3}$.

(A) જરૂરી ક્ષેત્રફળ વક્રો $y=x$ અને $y=x^{2}$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
પ્રથમ,$x = x^{2}$ લઈને છેદબિંદુઓ શોધો,જે $x^{2} - x = 0$ આપે છે,તેથી $x(x-1) = 0$. આમ,છેદબિંદુઓ $x=0$ અને $x=1$ છે.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં,રેખા $y=x$ એ પરવલય $y=x^{2}$ ની ઉપર આવેલી છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \left[ \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{1}$
$A = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$ ચોરસ એકમ.

(A) પરવલય $4y = 3x^{2}$ અને રેખા $2y = 3x + 12$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ છેદબિંદુઓ વચ્ચે ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવેલા સંકલન દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો:
$2y = 3x + 12 \implies y = \frac{3x + 12}{2}$
આ કિંમતને પરવલયના સમીકરણ $4y = 3x^{2}$ માં મૂકતા:
$4\left(\frac{3x + 12}{2}\right) = 3x^{2}$
$2(3x + 12) = 3x^{2}$
$6x + 24 = 3x^{2}$
$x^{2} - 2x - 8 = 0$
$(x - 4)(x + 2) = 0$
તેથી,$x = -2$ અને $x = 4$.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{-2}^{4} \left( \frac{3x + 12}{2} - \frac{3x^{2}}{4} \right) dx$
$A = \left[ \frac{3x^{2}}{4} + 6x - \frac{3x^{3}}{12} \right]_{-2}^{4}$
$A = \left[ \frac{3x^{2}}{4} + 6x - \frac{x^{3}}{4} \right]_{-2}^{4}$
$A = \left( \frac{3(16)}{4} + 6(4) - \frac{64}{4} \right) - \left( \frac{3(4)}{4} + 6(-2) - \frac{-8}{4} \right)$
$A = (12 + 24 - 16) - (3 - 12 + 2)$
$A = (20) - (-7)$
$A = 27 \text{ ચોરસ એકમ}$

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો છે:
$2x + y = 4$ ....... $(1)$
$3x - 2y = 6$ ....... $(2)$
$x - 3y + 5 = 0$ ....... $(3)$
પ્રથમ,સમીકરણોને જોડીમાં ઉકેલીને ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધો:
$(1)$ અને $(2)$ નું છેદબિંદુ: $2x + y = 4$ અને $3x - 2y = 6$. ઉકેલતા $B = (2, 0)$ મળે છે.
$(1)$ અને $(3)$ નું છેદબિંદુ: $2x + y = 4$ અને $x - 3y = -5$. ઉકેલતા $A = (1, 2)$ મળે છે.
$(2)$ અને $(3)$ નું છેદબિંદુ: $3x - 2y = 6$ અને $x - 3y = -5$. ઉકેલતા $C = (4, 3)$ મળે છે.
રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $(\Delta ABC) = AC$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ $- AB$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ $- BC$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ
ક્ષેત્રફળ $= \int_{1}^{4} \frac{x+5}{3} dx - \int_{1}^{2} (4-2x) dx - \int_{2}^{4} \frac{3x-6}{2} dx$
$= \frac{1}{3} [\frac{x^2}{2} + 5x]_1^4 - [4x - x^2]_1^2 - \frac{1}{2} [\frac{3x^2}{2} - 6x]_2^4$
$= 7.5 - 1 - 3 = 3.5 = \frac{7}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) વક્રો $\{(x, y): y^{2} \leq 4 x, 4 x^{2}+4 y^{2} \leq 9\}$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ પરવલય $y^{2}=4 x$ અને વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=\frac{9}{4}$ ના છેદબિંદુઓ શોધીને નક્કી કરવામાં આવે છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y^{2}=4 x$ મૂકતા: $4 x^{2}+4(4 x)=9 \Rightarrow 4 x^{2}+16 x-9=0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(2 x-1)(2 x+9)=0$,આપણને $x=\frac{1}{2}$ મળે છે (કારણ કે પરવલય માટે $x \geq 0$ છે).
$x=\frac{1}{2}$ માટે,$y^{2}=4(\frac{1}{2})=2 \Rightarrow y=\pm \sqrt{2}$. છેદબિંદુઓ $(\frac{1}{2}, \sqrt{2})$ અને $(\frac{1}{2}, -\sqrt{2})$ છે.
ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,તેથી કુલ ક્ષેત્રફળ $2 \times$ (પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ) છે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \int_{0}^{1/2} \sqrt{4x} \, dx + \int_{1/2}^{3/2} \sqrt{\frac{9}{4}-x^2} \, dx \right]$.
$= 2 \left[ \int_{0}^{1/2} 2\sqrt{x} \, dx + \frac{1}{2} \int_{1/2}^{3/2} \sqrt{(3/2)^2-x^2} \, dx \right]$.
$= 2 \left[ 2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} \Big|_0^{1/2} + \frac{1}{2} \left( \frac{x}{2} \sqrt{\frac{9}{4}-x^2} + \frac{9}{8} \sin^{-1}(\frac{2x}{3}) \right) \Big|_{1/2}^{3/2} \right]$.
$= 2 \left[ \frac{4}{3} (\frac{1}{2\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \left( (0 + \frac{9}{8} \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{4} \sqrt{2} + \frac{9}{8} \sin^{-1}(\frac{1}{3})) \right) \right]$.
$= 2 \left[ \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{9\pi}{16} - \frac{\sqrt{2}}{8} - \frac{9}{16} \sin^{-1}(\frac{1}{3}) \right] = 2 \left[ \frac{5\sqrt{2}}{24} + \frac{9\pi}{16} - \frac{9}{16} \sin^{-1}(\frac{1}{3}) \right] = \frac{5\sqrt{2}}{12} + \frac{9\pi}{8} - \frac{9}{8} \sin^{-1}(\frac{1}{3}) \text{ ચોરસ એકમ.}$

(B) આપેલ સમીકરણો $\frac{|x|}{2}+\frac{|y|}{3}=1$ (સમબાજુ ચતુષ્કોણ) અને $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ (ઉપવલય) છે.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $A_{e} = \pi ab = \pi \times 2 \times 3 = 6\pi$ છે.
$\frac{|x|}{2}+\frac{|y|}{3}=1$ પ્રદેશ એ $(\pm 2, 0)$ અને $(0, \pm 3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
આ સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $A_{r} = \frac{1}{2} \times d_{1} \times d_{2} = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ ઉપવલયની અંદર પરંતુ સમબાજુ ચતુષ્કોણની બહારનો ભાગ છે,જે $A = A_{e} - A_{r} = 6\pi - 12 = 6(\pi - 2)$ છે.

(C) પ્રદેશ $\frac{1}{2} \leq x \leq 2$ માટે $0 \leq y \leq \min(x^{2}+1, x+1)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
સૌ પ્રથમ,$y = x^{2}+1$ અને $y = x+1$ નું છેદબિંદુ શોધો:
$x^{2}+1 = x+1 \implies x^{2}-x = 0 \implies x(x-1) = 0$.
તેથી,વક્રો $x = 0$ અને $x = 1$ પર છેદે છે.
$\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ માટે,$x+1 \geq x^{2}+1$,તેથી ક્ષેત્રફળ $\int_{1/2}^{1} (x^{2}+1) dx$ છે.
$1 \leq x \leq 2$ માટે,$x^{2}+1 \geq x+1$,તેથી ક્ષેત્રફળ $\int_{1}^{2} (x+1) dx$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{1/2}^{1} (x^{2}+1) dx + \int_{1}^{2} (x+1) dx$.
$= [\frac{x^{3}}{3} + x]_{1/2}^{1} + [\frac{x^{2}}{2} + x]_{1}^{2}$.
$= ((\frac{1}{3} + 1) - (\frac{1}{24} + \frac{1}{2})) + ((2 + 2) - (\frac{1}{2} + 1))$.
$= (\frac{4}{3} - \frac{13}{24}) + (4 - \frac{3}{2}) = \frac{32-13}{24} + \frac{5}{2} = \frac{19}{24} + \frac{60}{24} = \frac{79}{24}$.

(B) વક્રો $y=x^{2}-1$ અને $y=1-x^{2}$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ,જેના માટે $x^{2}-1 = 1-x^{2}$ લઈએ.
આનાથી $2x^{2} = 2$ મળે છે,તેથી $x^{2} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $x = -1$ અને $x = 1$.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને $x = -1$ થી $x = 1$ સુધીના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$A = \int_{-1}^{1} ((1-x^{2}) - (x^{2}-1)) dx$
$A = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^{2}) dx$
કારણ કે વિધેય $f(x) = 2 - 2x^{2}$ એ યુગ્મ વિધેય છે,આપણે લખી શકીએ:
$A = 2 \int_{0}^{1} (2 - 2x^{2}) dx = 4 \int_{0}^{1} (1 - x^{2}) dx$
$A = 4 [x - \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$
$A = 4 (1 - \frac{1}{3}) = 4 (\frac{2}{3}) = \frac{8}{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) આ પ્રદેશ $|x|+|y| \leq 1$ અને $2y^{2} \geq |x|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
બંને અક્ષોની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,આપણે પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ ગણીશું અને તેને $4$ વડે ગુણીશું.
પ્રથમ ચરણમાં $(x \geq 0, y \geq 0)$,પ્રદેશ $x+y=1$ અને $2y^{2}=x$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
છેદબિંદુ $2y^{2} = 1-y$ છે,જે $2y^{2}+y-1=0$ આપે છે.
$(2y-1)(y+1)=0$ ઉકેલતા,આપણને $y=\frac{1}{2}$ મળે છે (કારણ કે $y \geq 0$).
$y=\frac{1}{2}$ પર,$x=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ મળે છે.
પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ એ રેખા $x+y=1$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ અને વક્ર $x=2y^{2}$ ની નીચેના ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે,જ્યાં $y=0$ થી $y=\frac{1}{2}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{1/2} (1-y) dy - \int_{0}^{1/2} 2y^{2} dy = [y - \frac{y^{2}}{2}]_{0}^{1/2} - [\frac{2y^{3}}{3}]_{0}^{1/2} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{8}) - (\frac{2}{3} \times \frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - \frac{1}{12} = \frac{9-2}{24} = \frac{7}{24}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 4 \times \frac{7}{24} = \frac{7}{6}$ ચોરસ એકમ.

(B) વક્ર $C_{1}$ માટે: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2} - x^{2}}{2xy}$.
$y = vx$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ મળે.
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v^{2} - 1}{2v} \Rightarrow x\frac{dv}{dx} = \frac{-(v^{2} + 1)}{2v}$.
ચલ અલગ કરતા: $\frac{2v}{v^{2} + 1} dv = -\frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln(v^{2} + 1) = -\ln x + C$.
$\ln(\frac{x^{2} + y^{2}}{x}) = C$. $(1, 1)$ માંથી પસાર થતા,$C = \ln 2$.
તેથી,$x^{2} + y^{2} - 2x = 0$ (કેન્દ્ર $(1, 0)$ અને ત્રિજ્યા $1$ વાળું વર્તુળ).
વક્ર $C_{2}$ માટે: $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^{2} - y^{2}}$.
તે જ રીતે ઉકેલતા $x^{2} + y^{2} - 2y = 0$ (કેન્દ્ર $(0, 1)$ અને ત્રિજ્યા $1$ વાળું વર્તુળ) મળે.
આ બે વર્તુળો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $2 \int_{0}^{1} (\sqrt{1 - (x-1)^{2}} - x) dx = \frac{\pi}{2} - 1$ થાય.

(B) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} \min \{(x+6), x^{2}\}, & -3 \leq x \leq 0 \\ \max \{\sqrt{x}, x^{2}\}, & 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$
$-3 \leq x \leq 0$ માટે,આપણે $x+6$ અને $x^2$ ની સરખામણી કરીએ છીએ. તેઓ $x^2 = x+6 \implies x^2 - x - 6 = 0 \implies (x-3)(x+2) = 0$ પર છેદે છે. $x \in [-3, 0]$ હોવાથી,છેદબિંદુ $x = -2$ છે.
$x \in [-3, -2]$ માટે,$x^2 \geq x+6$,તેથી $\min \{(x+6), x^2\} = x+6$.
$x \in [-2, 0]$ માટે,$x^2 \leq x+6$,તેથી $\min \{(x+6), x^2\} = x^2$.
$0 \leq x \leq 1$ માટે,આપણે $\sqrt{x}$ અને $x^2$ ની સરખામણી કરીએ છીએ. તેઓ $\sqrt{x} = x^2 \implies x = x^4 \implies x(x^3-1) = 0$ પર છેદે છે,તેથી $x=0, 1$.
$x \in [0, 1]$ માટે,$\sqrt{x} \geq x^2$,તેથી $\max \{\sqrt{x}, x^2\} = \sqrt{x}$.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \int_{-3}^{-2} (x+6) dx + \int_{-2}^{0} x^2 dx + \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx$
$A = \left[ \frac{x^2}{2} + 6x \right]_{-3}^{-2} + \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1}$
$A = \left( (2 - 12) - (4.5 - 18) \right) + \left( 0 - (-8/3) \right) + \left( 2/3 - 0 \right)$
$A = (-10 + 13.5) + 8/3 + 2/3 = 3.5 + 10/3 = 7/2 + 10/3 = (21+20)/6 = 41/6$.
તેથી,$6A = 6 \times (41/6) = 41$.

(C) સૌ પ્રથમ,$x^{2} + y^{2} = 36$ અને $y^{2} = 9x$ ના છેદબિંદુઓ શોધો.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y^{2} = 9x$ મૂકતા: $x^{2} + 9x - 36 = 0$.
$(x + 12)(x - 3) = 0$,તેથી $x = 3$ (કારણ કે પરવલય માટે $x \geq 0$ છે).
$x = 3$ પર,$y^{2} = 27$,તેથી $y = \pm 3 \sqrt{3}$.
વર્તુળની અંદર અને પરવલયની બહારનું ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળનું કુલ ક્ષેત્રફળ માઈનસ વર્તુળ અને પરવલય બંનેની અંદરનું ક્ષેત્રફળ છે.
બંનેની અંદરનું ક્ષેત્રફળ $2 \int_{0}^{3} \sqrt{9x} \, dx + 2 \int_{3}^{6} \sqrt{36 - x^{2}} \, dx$ છે.
$= 6 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{3} + 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{36 - x^{2}} + 18 \sin^{-1} \left( \frac{x}{6} \right) \right]_{3}^{6}$.
$= 12 \sqrt{3} + 2 [9 \pi - \frac{9 \sqrt{3}}{2} - 3 \pi] = 12 \pi + 3 \sqrt{3}$.
વર્તુળનું કુલ ક્ષેત્રફળ = $36 \pi$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ = $36 \pi - (12 \pi + 3 \sqrt{3}) = 24 \pi - 3 \sqrt{3}$.

(B) આપેલ વક્ર $y = ||x - 1| - 2|$ અને $y = 2$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $||x - 1| - 2| = 2$ લઈએ છીએ.
આનો અર્થ એ છે કે $|x - 1| - 2 = 2$ અથવા $|x - 1| - 2 = -2$.
કિસ્સો $1$: $|x - 1| = 4 \implies x - 1 = 4$ અથવા $x - 1 = -4$,તેથી $x = 5$ અથવા $x = -3$.
કિસ્સો $2$: $|x - 1| = 0 \implies x = 1$.
આલેખ જોતા,પ્રદેશ $x = -3$ અને $x = 5$ ની વચ્ચે ઘેરાયેલો છે,જેમાં ઉપરની સીમા $y = 2$ અને નીચેની સીમા $y = ||x - 1| - 2|$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-3}^{5} (2 - ||x - 1| - 2|) \, dx$ દ્વારા મળે છે.
$x = 1$ ની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,આપણે $2 \times \int_{1}^{5} (2 - ||x - 1| - 2|) \, dx$ ની ગણતરી કરી શકીએ છીએ.
$1 \le x \le 5$ માટે,$|x - 1| = x - 1$,તેથી $y = |x - 1 - 2| = |x - 3|$.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{1}^{5} (2 - |x - 3|) \, dx = 2 \left[ \int_{1}^{3} (2 - (3 - x)) \, dx + \int_{3}^{5} (2 - (x - 3)) \, dx \right]$.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \int_{1}^{3} (x - 1) \, dx + \int_{3}^{5} (5 - x) \, dx \right] = 2 \left[ \left( \frac{x^2}{2} - x \right)_{1}^{3} + \left( 5x - \frac{x^2}{2} \right)_{3}^{5} \right]$.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ (4.5 - 3) - (0.5 - 1) + (25 - 12.5) - (15 - 4.5) \right] = 2 [2 + 2] = 8$ ચોરસ એકમ.

(B) પ્રદેશ $R = \{(x, y) : 5x^2 \leq y \leq 2x^2 + 9\}$ નું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, આપણે સૌ પ્રથમ વક્રો $y = 5x^2$ અને $y = 2x^2 + 9$ ના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$5x^2 = 2x^2 + 9$ લેતા, આપણને $3x^2 = 9$ મળે છે, જેનો અર્થ છે $x^2 = 3$, તેથી $x = \pm \sqrt{3}$.
આ પ્રદેશ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} ((2x^2 + 9) - 5x^2) dx$
$= 2 \int_{0}^{\sqrt{3}} (9 - 3x^2) dx$
$= 2 [9x - x^3]_{0}^{\sqrt{3}}$
$= 2 [9\sqrt{3} - (\sqrt{3})^3]$
$= 2 [9\sqrt{3} - 3\sqrt{3}]$
$= 2 [6\sqrt{3}] = 12\sqrt{3} \text{ square units.}$

(A) વક્રો $y = \sin x$ અને $y = \cos x$ પ્રથમ ચરણમાં $x = \frac{\pi}{4}$ આગળ છેદે છે.
$A_{1}$ એ $x = 0$ થી $x = \frac{\pi}{4}$ સુધી $y = \cos x$,$y = \sin x$ અને $y$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે:
$A_{1} = \int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{0}^{\pi/4} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$.
$A_{2}$ એ $x = 0$ થી $x = \frac{\pi}{4}$ સુધી $y = \sin x$ અને $x = \frac{\pi}{4}$ થી $x = \frac{\pi}{2}$ સુધી $y = \cos x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે:
$A_{2} = \int_{0}^{\pi/4} \sin x dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x dx = [-\cos x]_{0}^{\pi/4} + [\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$
$A_{2} = (-\frac{1}{\sqrt{2}} - (-1)) + (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 - \frac{2}{\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)$.
હવે,$A_{1} : A_{2} = (\sqrt{2} - 1) : \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1) = 1 : \sqrt{2}$.
અને $A_{1} + A_{2} = (\sqrt{2} - 1) + (2 - \sqrt{2}) = 1$.

(C) આ પ્રદેશ પરવલય $y = \frac{3}{4}x^{2}$ અને રેખા $y = \frac{3}{2}x + 6$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
છેદબિંદુઓ $A$ અને $B$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણોને સરખાવીએ:
$\frac{3}{4}x^{2} = \frac{3}{2}x + 6$
$4$ વડે ગુણતા:
$3x^{2} = 6x + 24$
$3x^{2} - 6x - 24 = 0$
$x^{2} - 2x - 8 = 0$
$(x - 4)(x + 2) = 0$
તેથી,$x = -2$ અને $x = 4$.
ક્ષેત્રફળ એ ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવેલા સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \int_{-2}^{4} \left( (\frac{3}{2}x + 6) - \frac{3}{4}x^{2} \right) dx$
$= \left[ \frac{3x^{2}}{4} + 6x - \frac{x^{3}}{4} \right]_{-2}^{4}$
$= \left( \frac{3(16)}{4} + 6(4) - \frac{64}{4} \right) - \left( \frac{3(4)}{4} + 6(-2) - \frac{-8}{4} \right)$
$= (12 + 24 - 16) - (3 - 12 + 2)$
$= 20 - (-7) = 27$.

(C) પ્રથમ,$f^{\prime}(x)=0$ લઈને $f(x)=2 x^{3}-3 x^{2}-12 x$ ના ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધો.
$f^{\prime}(x)=6 x^{2}-6 x-12=6(x-2)(x+1)$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ $x=-1$ અને $x=2$ છે.
દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા,$f^{\prime\prime}(x)=12 x-6$.
$f^{\prime\prime}(-1)=-18 < 0$,તેથી $a=-1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
$f^{\prime\prime}(2)=18 > 0$,તેથી $b=2$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} |f(x)| dx = \int_{-1}^{2} |2 x^{3}-3 x^{2}-12 x| dx$ દ્વારા મળે છે.
વિધેય $f(x)=x(2 x^{2}-3 x-12)$ એ અંતરાલ $[-1, 2]$ માં $x=0$ આગળ $x$-અક્ષને છેદે છે.
તેથી,$A = \int_{-1}^{0} (2 x^{3}-3 x^{2}-12 x) dx + \int_{0}^{2} -(2 x^{3}-3 x^{2}-12 x) dx$.
$A = \left[ \frac{x^{4}}{2} - x^{3} - 6 x^{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ 6 x^{2} + x^{3} - \frac{x^{4}}{2} \right]_{0}^{2}$.
$A = (0 - (\frac{1}{2} + 1 - 6)) + ((24 + 8 - 8) - 0) = -(\frac{1-10}{2}) + 24 = \frac{9}{2} + 24 = \frac{57}{2}$.
તેથી,$4 A = 4 \times \frac{57}{2} = 114$.

(A) આપેલ પરવલય: $(y-2)^{2} = x-1 \Rightarrow x = (y-2)^{2} + 1$.
યામ $y=3$ માટે,$x = (3-2)^{2} + 1 = 2$. તેથી,બિંદુ $(2, 3)$ છે.
$(y-2)^{2} = x-1$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2(y-2) = \frac{dx}{dy}$ મળે છે.
$y=3$ આગળ,$\frac{dx}{dy} = 2(3-2) = 2$.
$(2, 3)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x - 2 = 2(y - 3) \Rightarrow x = 2y - 4$ છે.
આ પ્રદેશ પરવલય $x = (y-2)^{2} + 1$,સ્પર્શક $x = 2y - 4$ અને $x$-અક્ષ $(y=0)$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
$y=0$ થી $y=3$ સુધી $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{3} [((y-2)^{2} + 1) - (2y - 4)] dy$
$= \int_{0}^{3} (y^{2} - 4y + 4 + 1 - 2y + 4) dy = \int_{0}^{3} (y^{2} - 6y + 9) dy$
$= \int_{0}^{3} (y-3)^{2} dy = \left[ \frac{(y-3)^{3}}{3} \right]_{0}^{3} = 0 - (\frac{-27}{3}) = 9 \text{ ચોરસ એકમ.}$

(A) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $A = \int_{0}^{\pi/2} |(\sin x + \cos x) - |\cos x - \sin x|| dx$ દ્વારા મળે છે.
જ્યારે $0 \le x \le \pi/4$ હોય ત્યારે $|\cos x - \sin x| = \cos x - \sin x$ અને જ્યારે $\pi/4 \le x \le \pi/2$ હોય ત્યારે $\sin x - \cos x$ થાય છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ:
$A = \int_{0}^{\pi/4} ((\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x)) dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} ((\sin x + \cos x) - (\sin x - \cos x)) dx$.
પદાવલિઓને સરળ બનાવતા:
$A = \int_{0}^{\pi/4} 2 \sin x dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} 2 \cos x dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = 2[-\cos x]_{0}^{\pi/4} + 2[\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$.
$A = 2(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) + 2(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
$A = 4(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 4 - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)$.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $E: x^{2}+4 y^{2}=5$ છે. બિંદુ $P(1,1)$ આગળ સ્પર્શક $T$ નું સમીકરણ $x(1)+4y(1)=5$ એટલે કે $x+4y=5$ અથવા $y = \frac{5-x}{4}$ છે.
સ્પર્શક $T$,ઉપવલય $E$ અને રેખાઓ $x=1$ તથા $x=\sqrt{5}$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{\sqrt{5}} \left( \frac{5-x}{4} - \frac{\sqrt{5-x^{2}}}{2} \right) dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \left[ \frac{5x}{4} - \frac{x^{2}}{8} - \frac{1}{2} \left( \frac{x}{2} \sqrt{5-x^{2}} + \frac{5}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{5}} \right) \right) \right]_{1}^{\sqrt{5}}$
$A = \left[ \frac{5x}{4} - \frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{4} \sqrt{5-x^{2}} - \frac{5}{4} \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{5}} \right) \right]_{1}^{\sqrt{5}}$
$x=\sqrt{5}$ માટે: $\frac{5\sqrt{5}}{4} - \frac{5}{8} - 0 - \frac{5}{4} \sin^{-1}(1) = \frac{10\sqrt{5}-5}{8} - \frac{5\pi}{8}$
$x=1$ માટે: $\frac{5}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{4} \sqrt{4} - \frac{5}{4} \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{10-1-4}{8} - \frac{5}{4} \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{5}{8} - \frac{5}{4} \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$
$\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$ મળે.
$A = \left( \frac{10\sqrt{5}-5}{8} - \frac{5\pi}{8} \right) - \left( \frac{5}{8} - \frac{5}{4} \left( \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \right) \right)$
$A = \frac{10\sqrt{5}-10}{8} - \frac{5\pi}{8} + \frac{5\pi}{8} - \frac{5}{4} \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{5\sqrt{5}}{4} - \frac{5}{4} - \frac{5}{4} \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$
આને $\alpha \sqrt{5} + \beta + \gamma \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = \frac{5}{4}$,$\beta = -\frac{5}{4}$,$\gamma = -\frac{5}{4}$ મળે.
$|\alpha + \beta + \gamma| = |\frac{5}{4} - \frac{5}{4} - \frac{5}{4}| = |-\frac{5}{4}| = 1.25$.

(B) વક્રો $x^2 = 1 - 2y$,$x = \frac{4-y^2}{4}$ અને $x = \frac{y^2-4}{4}$ છે.
ઉપરના અર્ધ-તલ $(y \ge 0)$ માટે,પ્રદેશ જમણી બાજુએ $x = \frac{4-y^2}{4}$,ડાબી બાજુએ $x = \frac{y^2-4}{4}$ અને નીચેની બાજુએ $y = \frac{1-x^2}{2}$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
$y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,ક્ષેત્રફળ $2 \int_{0}^{2} \left( \frac{4-y^2}{4} \right) dy - 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{1-x^2}{2} \right) dx$ છે.
$= 2 \left[ y - \frac{y^3}{12} \right]_{0}^{2} - 2 \left[ \frac{x}{2} - \frac{x^3}{6} \right]_{0}^{1}$
$= 2 \left( 2 - \frac{8}{12} \right) - 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right)$
$= 2 \left( \frac{4}{3} \right) - 2 \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{8}{3} - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2 \, sq. \, units$.

(D) પ્રદેશ $R$ એ $\frac{1}{2} \leq x \leq 2$ અને $x \in [\frac{1}{2}, 1]$ માટે $0 \leq y \leq 2^x$,તથા $x \in [1, 2]$ માટે $\log_e x \leq y \leq 2^x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{1/2}^{1} 2^x \, dx + \int_{1}^{2} (2^x - \log_e x) \, dx$
$A = \int_{1/2}^{2} 2^x \, dx - \int_{1}^{2} \log_e x \, dx$
$A = \left[ \frac{2^x}{\log_e 2} \right]_{1/2}^{2} - [x \log_e x - x]_{1}^{2}$
$A = \frac{2^2 - 2^{1/2}}{\log_e 2} - ((2 \log_e 2 - 2) - (1 \log_e 1 - 1))$
$A = \frac{4 - \sqrt{2}}{\log_e 2} - (2 \log_e 2 - 2 + 1)$
$A = (4 - \sqrt{2})(\log_e 2)^{-1} - 2(\log_e 2) + 1$
$\alpha(\log_e 2)^{-1} + \beta(\log_e 2) + \gamma$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 4 - \sqrt{2}$,$\beta = -2$,$\gamma = 1$ મળે છે.
હવે,$(\alpha + \beta - 2\gamma)^2 = (4 - \sqrt{2} - 2 - 2(1))^2 = (4 - \sqrt{2} - 2 - 2)^2 = (-\sqrt{2})^2 = 2$.

(B) આપેલ વક્રો $y = x+2$ અને $y = x^2$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x^2 = x+2$ લો.
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x-2)(x+1) = 0$
તેથી,$x = 2$ અને $x = -1$.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -1$ થી $x = 2$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_{-1}^{2} (x+2 - x^2) \, dx$
$A = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}$
$A = \left( \frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 - \frac{-1}{3} \right)$
$A = \left( 2 + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right)$
$A = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3 - 12 + 2}{6} \right)$
$A = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

(B) આપેલ સમીકરણો $y^{2}=2x$ અને $x+y=4$ છે.
રેખાના સમીકરણ પરથી,$x=4-y$.
આ કિંમતને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $y^{2}=2(4-y) \implies y^{2}=8-2y \implies y^{2}+2y-8=0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(y+4)(y-2)=0$,તેથી $y=-4$ અને $y=2$.
છેદબિંદુઓ $(8, -4)$ અને $(2, 2)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-4}^{2} [(4-y) - \frac{y^{2}}{2}] dy$ દ્વારા મળે છે.
પદવાર સંકલન કરતા: $\left[ 4y - \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{3}}{6} \right]_{-4}^{2}$.
સીમાઓ મૂકતા: $\left( 4(2) - \frac{2^{2}}{2} - \frac{2^{3}}{6} \right) - \left( 4(-4) - \frac{(-4)^{2}}{2} - \frac{(-4)^{3}}{6} \right)$.
$= (8 - 2 - \frac{4}{3}) - (-16 - 8 + \frac{32}{3}) = (6 - \frac{4}{3}) - (-24 + \frac{32}{3}) = \frac{14}{3} - (\frac{-72+32}{3}) = \frac{14}{3} + \frac{40}{3} = \frac{54}{3} = 18$ ચોરસ એકમ.

(B) પ્રદેશ $S$ એ પ્રથમ ચરણમાં $y=x^{3}$ અને $y^{2}=x$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે. છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(1,1)$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{3}) dx$
$= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}$.
વક્ર $y=2x$ (જ્યાં $x>0$) એ $y^{2}=x$ ને $4x^{2}=x$ પર છેદે છે,તેથી $x=1/4$ (કારણ કે $x \neq 0$).
ક્ષેત્રફળ $R_{1}$ એ $x=0$ થી $x=1/4$ સુધી $y=\sqrt{x}$ અને $y=2x$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે:
$R_{1} = \int_{0}^{1/4} (\sqrt{x} - 2x) dx$
$= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - x^{2} \right]_{0}^{1/4} = \frac{2}{3}(\frac{1}{8}) - \frac{1}{16} = \frac{1}{12} - \frac{1}{16} = \frac{4-3}{48} = \frac{1}{48}$.
કારણ કે $S = R_{1} + R_{2}$,તેથી $R_{2} = S - R_{1} = \frac{5}{12} - \frac{1}{48} = \frac{20-1}{48} = \frac{19}{48}$.
તેથી,$\frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{19/48}{1/48} = 19$.

(A) પરવલયો $y^{2}=2x-1$ અને $y^{2}=4x-3$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$x$ માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$y^{2}=2x-1$ પરથી,$x = \frac{y^{2}+1}{2}$ મળે.
$y^{2}=4x-3$ પરથી,$x = \frac{y^{2}+3}{4}$ મળે.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{y^{2}+1}{2} = \frac{y^{2}+3}{4} \implies 2y^{2}+2 = y^{2}+3 \implies y^{2}=1 \implies y = \pm 1$.
ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,તેથી આપણે $y \in [0, 1]$ માટે ક્ષેત્રફળ ગણીને તેને $2$ વડે ગુણીશું.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{y^{2}+3}{4} - \frac{y^{2}+1}{2} \right) dy$
$= 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{y^{2}+3 - 2y^{2}-2}{4} \right) dy$
$= 2 \int_{0}^{1} \frac{1-y^{2}}{4} dy$
$= \frac{1}{2} \left[ y - \frac{y^{3}}{3} \right]_{0}^{1}$
$= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

(C) $y^{2}=8x$ અને $y^{2}=16(3-x)$ પરવલયો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$y^{2}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$8x = 16(3-x)$
$8x = 48 - 16x$
$24x = 48$
$x = 2$
$x=2$ ને $y^{2}=8x$ માં મૂકતા,આપણને $y^{2}=16$ મળે છે,તેથી $y = \pm 4$.
આ પ્રદેશ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે. ક્ષેત્રફળ $y$ ની સાપેક્ષમાં $-4$ થી $4$ સુધી સંકલન કરીને મેળવી શકાય છે:
$\text{Area} = \int_{-4}^{4} (x_{R} - x_{L}) dy$
$y^{2}=8x$ પરથી,$x_{L} = \frac{y^{2}}{8}$.
$y^{2}=16(3-x)$ પરથી,$x_{R} = 3 - \frac{y^{2}}{16}$.
$\text{Area} = \int_{-4}^{4} \left(3 - \frac{y^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{8}\right) dy = 2 \int_{0}^{4} \left(3 - \frac{3y^{2}}{16}\right) dy$
$= 2 \left[ 3y - \frac{3y^{3}}{16 \times 3} \right]_{0}^{4} = 2 \left[ 3y - \frac{y^{3}}{16} \right]_{0}^{4}$
$= 2 \left( 3(4) - \frac{4^{3}}{16} \right) = 2 (12 - 4) = 2(8) = 16$.

(C) વક્ર $y = |x^{2}-9|$ છે. $y = |x^{2}-9|$ અને $y = 3$ ના છેદબિંદુઓ $|x^{2}-9| = 3$ ઉકેલીને મળે છે.
આનાથી $x^{2}-9 = 3 \implies x^{2} = 12 \implies x = \pm 2\sqrt{3}$ અને $x^{2}-9 = -3 \implies x^{2} = 6 \implies x = \pm \sqrt{6}$ મળે છે.
$y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,ક્ષેત્રફળ $2 \times \int_{0}^{2\sqrt{3}} (3 - |x^{2}-9|) dx$ છે.
અંતરાલ $[0, \sqrt{6}]$ માં,$x^{2}-9 \le 0$,તેથી $|x^{2}-9| = 9-x^{2}$.
અંતરાલ $[\sqrt{6}, 2\sqrt{3}]$ માં,$x^{2}-9 \ge 0$,તેથી $|x^{2}-9| = x^{2}-9$.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \int_{0}^{\sqrt{6}} (3 - (9-x^{2})) dx + \int_{\sqrt{6}}^{2\sqrt{3}} (3 - (x^{2}-9)) dx \right]$
$= 2 \left[ \int_{0}^{\sqrt{6}} (x^{2}-6) dx + \int_{\sqrt{6}}^{2\sqrt{3}} (12-x^{2}) dx \right]$
$= 2 \left[ \left( \frac{x^{3}}{3} - 6x \right)_{0}^{\sqrt{6}} + \left( 12x - \frac{x^{3}}{3} \right)_{\sqrt{6}}^{2\sqrt{3}} \right]$
$= 2 \left[ (\frac{6\sqrt{6}}{3} - 6\sqrt{6}) + (24\sqrt{3} - \frac{24\sqrt{3}}{3}) - (12\sqrt{6} - \frac{6\sqrt{6}}{3}) \right]$
$= 2 \left[ -4\sqrt{6} + 16\sqrt{3} - 10\sqrt{6} \right] = 32\sqrt{3} - 28\sqrt{6}$.

(A) આ પ્રદેશ એસ્ટ્રોઇડ $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$,રેખા $x + y = 0$,અને $x$-અક્ષ $(y=0)$ દ્વારા પ્રથમ અને દ્વિતીય ચરણમાં ઘેરાયેલો છે.
આપેલ છે કે $y \geq 0$ અને $x+y \geq 0$,તેથી પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં અને દ્વિતીય ચરણના ભાગમાં આવેલો છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-1}^{0} (1 - (-x)^{2/3})^{3/2} dx + \int_{0}^{1} (1 - x^{2/3})^{3/2} dx$.
સંમિતિને કારણે,$A = 2 \int_{0}^{1} (1 - x^{2/3})^{3/2} dx$.
ધારો કે $x = \sin^3 \theta$,તો $dx = 3 \sin^2 \theta \cos \theta d\theta$.
$A = 2 \int_{0}^{\pi/2} (1 - \sin^2 \theta)^{3/2} \cdot 3 \sin^2 \theta \cos \theta d\theta = 6 \int_{0}^{\pi/2} \cos^3 \theta \cdot \sin^2 \theta \cos \theta d\theta = 6 \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 \theta \cos^4 \theta d\theta$.
વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\int_{0}^{\pi/2} \sin^m \theta \cos^n \theta d\theta = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \cdot \frac{\pi}{2}$.
$A = 6 \cdot \frac{(1) \cdot (3 \cdot 1)}{(6 \cdot 4 \cdot 2)} \cdot \frac{\pi}{2} = 6 \cdot \frac{3}{48} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{64}$.
તેથી,$\frac{256A}{\pi} = \frac{256}{\pi} \cdot \frac{9\pi}{64} = 4 \cdot 9 = 36$.

(A) પ્રદેશ $A_{1}$ એ $|x| \leq y^{2}$ અને $|x|+2y \leq 8$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. બંને અસમતાઓ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણ $(x \geq 0)$ માં રહેલા ક્ષેત્રફળના $2$ ગણું થશે.
પ્રથમ ચરણમાં,પ્રદેશ $x = y^{2}$ અને $x = 8 - 2y$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$y^{2} = 8 - 2y \implies y^{2} + 2y - 8 = 0 \implies (y+4)(y-2) = 0$. $y \geq 0$ હોવાથી,$y = 2$ મળે.
Area $(A_{1}) = 2 \left[ \int_{0}^{2} y^{2} dy + \int_{2}^{4} (8-2y) dy \right]$
$= 2 \left[ \left( \frac{y^{3}}{3} \right)_{0}^{2} + \left( 8y - y^{2} \right)_{2}^{4} \right]$
$= 2 \left[ \frac{8}{3} + (32 - 16) - (16 - 4) \right] = 2 \left[ \frac{8}{3} + 16 - 12 \right] = 2 \left[ \frac{8}{3} + 4 \right] = 2 \left( \frac{20}{3} \right) = \frac{40}{3}$.
પ્રદેશ $A_{2}$ એ $|x|+|y| \leq k$ છે,જે $(\pm k, 0)$ અને $(0, \pm k)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ચોરસ છે. આ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $2k^{2}$ છે.
આપેલ છે કે $27 \times \text{Area}(A_{1}) = 5 \times \text{Area}(A_{2})$:
$27 \times \frac{40}{3} = 5 \times 2k^{2}$
$9 \times 40 = 10k^{2}$
$360 = 10k^{2} \implies k^{2} = 36 \implies k = 6$.

(B) પ્રદેશ $S$ એ પરવલય $y^{2} = 8x$ અને રેખા $y = \sqrt{2}x$ દ્વારા $x \geq 1$ માટે ઘેરાયેલો છે.
પ્રથમ,$y^{2} = 8x$ અને $y = \sqrt{2}x$ ના છેદબિંદુઓ શોધો:
$(\sqrt{2}x)^{2} = 8x \Rightarrow 2x^{2} = 8x \Rightarrow 2x(x - 4) = 0$.
આમ,વક્રો $x = 0$ અને $x = 4$ પર છેદે છે.
પ્રદેશ $x \geq 1$ માટે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,સંકલનની સીમાઓ $x = 1$ થી $x = 4$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \int_{1}^{4} (\sqrt{8x} - \sqrt{2}x) \, dx$
$A = \int_{1}^{4} (2\sqrt{2}\sqrt{x} - \sqrt{2}x) \, dx$
$A = 2\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4} - \sqrt{2} \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} (4^{3/2} - 1^{3/2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} (4^{2} - 1^{2})$
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} (8 - 1) - \frac{\sqrt{2}}{2} (16 - 1)$
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} (7) - \frac{\sqrt{2}}{2} (15)$
$A = \frac{28\sqrt{2}}{3} - \frac{15\sqrt{2}}{2} = \frac{56\sqrt{2} - 45\sqrt{2}}{6} = \frac{11\sqrt{2}}{6}$.

(C) પ્રથમ,$y^{2}=8x$ અને $y=\sqrt{2}x$ ના છેદબિંદુઓ શોધો:
$(\sqrt{2}x)^{2}=8x \implies 2x^{2}=8x \implies 2x(x-4)=0$.
તેથી,$x=0$ અને $x=4$. છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(4,4\sqrt{2})$ છે.
પરવલય $y^{2}=8x$ અને રેખા $y=\sqrt{2}x$ દ્વારા ઘેરાયેલું કુલ ક્ષેત્રફળ:
$A_{total} = \int_{0}^{4} (\sqrt{8x} - \sqrt{2}x) dx = \int_{0}^{4} (2\sqrt{2}\sqrt{x} - \sqrt{2}x) dx$
$= 2\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{4} - \sqrt{2} \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{4} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 8 - \sqrt{2} \cdot \frac{16}{2} = \frac{32\sqrt{2}}{3} - 8\sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$.
ત્રિકોણ $y=\sqrt{2}x$,$x=1$ અને $y=2\sqrt{2}$ દ્વારા બને છે.
$x=1$ આગળ,રેખા $y=\sqrt{2}x$ પર $y=\sqrt{2}$ મળે. બિંદુ $(1, \sqrt{2})$ છે.
આડી રેખા $y=2\sqrt{2}$ એ $y=\sqrt{2}x$ ને $2\sqrt{2}=\sqrt{2}x \implies x=2$ પર છેદે છે.
ઊભી રેખા $x=1$ એ $y=2\sqrt{2}$ ને $(1, 2\sqrt{2})$ પર છેદે છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(1, \sqrt{2})$,$(2, 2\sqrt{2})$ અને $(1, 2\sqrt{2})$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2-1) \times (2\sqrt{2}-\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ કુલ ક્ષેત્રફળમાંથી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે:
$Area = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{16\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{6} = \frac{13\sqrt{2}}{6}$.

(B) પ્રદેશ $A = \{(x, y) : x^{2} \leq y \leq \min \{x+2, 4-3x\}\}$ નું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે વક્રોના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$1$. $y = x^2$ અને $y = x+2$ નું છેદબિંદુ: $x^2 = x+2 \implies x = -1$ અને $x = 2$.
$2$. $y = x^2$ અને $y = 4-3x$ નું છેદબિંદુ: $x^2 = 4-3x \implies x = -4$ અને $x = 1$.
$3$. $y = x+2$ અને $y = 4-3x$ નું છેદબિંદુ: $x+2 = 4-3x \implies x = \frac{1}{2}$.
ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$Area = \int_{-1}^{\frac{1}{2}} (x+2 - x^2) dx + \int_{\frac{1}{2}}^{1} (4-3x - x^2) dx$
પ્રથમ સંકલન: $\int_{-1}^{\frac{1}{2}} (x+2 - x^2) dx = [\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{4}$.
બીજું સંકલન: $\int_{\frac{1}{2}}^{1} (4-3x - x^2) dx = [4x - \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{\frac{1}{2}}^{1} = \frac{7}{12}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $\frac{9}{4} + \frac{7}{12} = \frac{17}{6}$.

(D) વક્રો $y = |x^{2} - 1|$ અને $y = 1$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$|x^{2} - 1| = 1$ લો.
આનો અર્થ એ છે કે $x^{2} - 1 = 1$ અથવા $x^{2} - 1 = -1$.
$x^{2} = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$ અને $x^{2} = 0 \implies x = 0$.
$y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 \times$ (પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ).
પ્રથમ ચરણમાં,પ્રદેશ $x = 0$ થી $x = \sqrt{2}$ સુધી ઘેરાયેલ છે.
$0 \le x \le 1$ માટે,$y = |x^{2} - 1| = 1 - x^{2}$. ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{1} (1 - (1 - x^{2})) dx = \int_{0}^{1} x^{2} dx = [\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$ છે.
$1 \le x \le \sqrt{2}$ માટે,$y = |x^{2} - 1| = x^{2} - 1$. ક્ષેત્રફળ $\int_{1}^{\sqrt{2}} (1 - (x^{2} - 1)) dx = \int_{1}^{\sqrt{2}} (2 - x^{2}) dx = [2x - \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{\sqrt{2}} = (2\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3}) - (2 - \frac{1}{3}) = \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{5}{3}$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\frac{1}{3} + \frac{4\sqrt{2} - 5}{3}) = 2 \times (\frac{4\sqrt{2} - 4}{3}) = \frac{8}{3}(\sqrt{2} - 1)$.

(D) આ પ્રદેશ $y = 4x^{2}$ (અથવા $x^{2} = y/4$),$x^{2} = 9y$ અને $y = 4$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
આલેખ પરથી,ક્ષેત્રફળ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
ચોક્કસ $y$ માટે,વક્રના $x$-યામ $x = \pm \sqrt{y}/2$ અને $x = \pm 3\sqrt{y}$ છે.
$y$ ઊંચાઈએ છાયાંકિત પ્રદેશની પહોળાઈ $(3\sqrt{y} - \sqrt{y}/2) + (3\sqrt{y} - \sqrt{y}/2) = 2(5\sqrt{y}/2) = 5\sqrt{y}$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y$ ની સાપેક્ષમાં $0$ થી $4$ સુધીના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{4} 5\sqrt{y} \, dy$
$A = 5 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{4}$
$A = 5 \cdot \frac{2}{3} \cdot [4^{3/2} - 0]$
$A = \frac{10}{3} \cdot 8 = \frac{80}{3}$.

(C) આપેલ વક્રો $y^{2}=8x+4$ (પરવલય) અને $x^{2}+y^{2}+4\sqrt{3}x-4=0$ (વર્તુળ) છે.
પ્રથમ,આપણે વર્તુળના સમીકરણમાં $y^{2}=8x+4$ મૂકીને છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$x^{2}+(8x+4)+4\sqrt{3}x-4=0$
$x^{2}+8x+4\sqrt{3}x=0$
$x(x+8+4\sqrt{3})=0$
તેથી,$x=0$ અથવા $x=-(8+4\sqrt{3})$.
$x=0$ માટે,$y^{2}=4 \implies y=\pm 2$. છેદબિંદુઓ $(0, 2)$ અને $(0, -2)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x+2\sqrt{3})^{2}+y^{2}=16$ તરીકે લખી શકાય,જેનું કેન્દ્ર $(-2\sqrt{3}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $4$ છે.
પ્રદેશ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \int_{0}^{2} (x_{circle} - x_{parabola}) dy$ થશે.
વર્તુળ પરથી: $x = -2\sqrt{3} + \sqrt{16-y^{2}}$.
પરવલય પરથી: $x = \frac{y^{2}-4}{8}$.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{0}^{2} ((-2\sqrt{3} + \sqrt{16-y^{2}}) - (\frac{y^{2}-4}{8})) dy$
$= 2 [ -2\sqrt{3}y + \frac{y}{2}\sqrt{16-y^{2}} + \frac{16}{2}\sin^{-1}(\frac{y}{4}) - \frac{y^{3}}{24} + \frac{y}{2} ]_{0}^{2}$
$= 2 [ (-4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 8(\frac{\pi}{6}) - \frac{1}{3} + 1) ]$
$= 2 [ -2\sqrt{3} + \frac{4\pi}{3} + \frac{2}{3} ] = \frac{1}{3} (4 - 12\sqrt{3} + 8\pi)$.

(B) વક્રો $y=\ln(x+e^{2})$ અને $y=2e^{-x}$ છે.
$y=\ln(x+e^{2})$ માટે,$y=1$ આગળ,$1=\ln(x+e^{2}) \implies x+e^{2}=e \implies x=e-e^{2}$.
$y=2e^{-x}$ માટે,$y=1$ આગળ,$1=2e^{-x} \implies e^{x}=2 \implies x=\ln 2$.
છેદબિંદુ પર,$\ln(x+e^{2})=2e^{-x}$. અવલોકન કરતા,$x=0$ આગળ,$y=\ln(e^{2})=2$ અને $y=2e^{0}=2$. તેથી તેઓ $(0, 2)$ પર છેદે છે.
ક્ષેત્રફળ વક્રો દ્વારા ઉપરથી અને $y=1$ દ્વારા નીચેથી ઘેરાયેલું છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{e-e^{2}}^{0} (\ln(x+e^{2})-1) dx + \int_{0}^{\ln 2} (2e^{-x}-1) dx$.
પ્રથમ સંકલન માટે,$u=x+e^{2}$ લો,$du=dx$. જ્યારે $x=e-e^{2}$,$u=e$. જ્યારે $x=0$,$u=e^{2}$.
$\int_{e}^{e^{2}} (\ln u - 1) du = [u \ln u - u - u]_{e}^{e^{2}} = [u \ln u - 2u]_{e}^{e^{2}} = (e^{2} \cdot 2 - 2e^{2}) - (e \cdot 1 - 2e) = 0 - (-e) = e$.
બીજા સંકલન માટે,$\int_{0}^{\ln 2} (2e^{-x}-1) dx = [-2e^{-x}-x]_{0}^{\ln 2} = (-2e^{-\ln 2} - \ln 2) - (-2e^{0} - 0) = (-2(1/2) - \ln 2) + 2 = -1 - \ln 2 + 2 = 1 - \ln 2$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= e + 1 - \ln 2$.

(D) આ પ્રદેશ $y = |x-1|$ અને $y = \sqrt{5-x^2}$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$|x-1| = \sqrt{5-x^2}$ લો.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x-1)^2 = 5-x^2 \implies x^2 - 2x + 1 = 5 - x^2 \implies 2x^2 - 2x - 4 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0$.
અવયવ પાડતા $(x-2)(x+1) = 0$ મળે,તેથી $x = 2$ અને $x = -1$.
$x = 2$ માટે $y = 1$ અને $x = -1$ માટે $y = 2$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $\int_{-1}^{2} (\sqrt{5-x^2} - |x-1|) dx$ દ્વારા મળે છે.
આને વર્તુળ નીચેના ક્ષેત્રફળ અને ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-1}^{2} \sqrt{5-x^2} dx - \int_{-1}^{2} |x-1| dx$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\int_{-1}^{2} |x-1| dx = 2.5$ થાય છે.
ભૌમિતિક રીતે ગણતરી કરતા,અંતિમ ક્ષેત્રફળ $\frac{5 \pi}{4} - \frac{1}{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ વક્રો:
$x(y-e^x)=\sin x \implies y = \frac{\sin x}{x} + e^x$
$2xy = 2\sin x + x^3 \implies y = \frac{\sin x}{x} + \frac{x^2}{2}$
$x \in [1, 2]$ માટે,$e^x > \frac{x^2}{2}$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \int_{1}^{2} \left( \left( \frac{\sin x}{x} + e^x \right) - \left( \frac{\sin x}{x} + \frac{x^2}{2} \right) \right) dx$
$A = \int_{1}^{2} \left( e^x - \frac{x^2}{2} \right) dx$
$A = \left[ e^x - \frac{x^3}{6} \right]_{1}^{2}$
$A = \left( e^2 - \frac{8}{6} \right) - \left( e^1 - \frac{1}{6} \right)$
$A = e^2 - e - \frac{7}{6}$

(C) પ્રદેશ $A_1$ એ $x \geq 0, y \geq 0$ અને $2x + 2y - x^2 - y^2 > 1 > x + y$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
અસમતા $2x + 2y - x^2 - y^2 > 1$ ને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $x^2 - 2x + y^2 - 2y < -1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $(x-1)^2 + (y-1)^2 < 1$ થાય છે. આ $(1, 1)$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનો અંદરનો ભાગ છે. શરત $x + y < 1$ એ પ્રથમ ચરણમાં રેખા $x + y = 1$ ની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$A_2$ માટે,પ્રદેશ $x \geq 0, y \geq 0$ અને $x + y > 1 > x^2 + y^2$ છે. આ પ્રથમ ચરણમાં રેખા $x + y = 1$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
$A_3$ માટે,પ્રદેશ $x \geq 0, y \geq 0$ અને $x + y > 1 > x^3 + y^3$ છે. આ પ્રથમ ચરણમાં રેખા $x + y = 1$ અને વક્ર $x^3 + y^3 = 1$ વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
સંમિતિ અને ભૌમિતિક રૂપાંતરણ દ્વારા,$|A_1| = |A_2|$.
પ્રથમ ચરણમાં વક્રો $x^2 + y^2 = 1$ અને $x^3 + y^3 = 1$ ની સરખામણી કરતા,$0 < x < 1$ માટે,$x^3 < x^2$ અને $y^3 < y^2$ હોવાથી,$x^3 + y^3 < x^2 + y^2$ થાય છે. આમ,$x^3 + y^3 = 1$ અને $x + y = 1$ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ એ $x^2 + y^2 = 1$ અને $x + y = 1$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશ કરતા મોટો છે.
તેથી,$|A_3| > |A_2| = |A_1|$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ અને નાભિલંબ $x = a$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશ $T$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area}(T) = 2 \int_0^a \sqrt{4ax} \, dx = 4\sqrt{a} \int_0^a x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{a} \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^a = \frac{8}{3} a^2$.
ધારો કે $R$ ના યામ $(x, y)$ છે,જ્યાં $y = \sqrt{4ax}$. લંબચોરસ $PQRS$ માટે પહોળાઈ $(a - x)$ અને ઊંચાઈ $2y$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = 2y(a - x) = 4\sqrt{a}(ax^{1/2} - x^{3/2})$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dx} = 4\sqrt{a} \left( \frac{a}{2\sqrt{x}} - \frac{3}{2}\sqrt{x} \right) = 0 \implies a = 3x \implies x = \frac{a}{3}$.
તેથી $y = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.
લંબચોરસનું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = 2 \left( \frac{2a}{\sqrt{3}} \right) \left( a - \frac{a}{3} \right) = \frac{8a^2}{3\sqrt{3}}$.
ગુણોત્તર $\frac{\text{area}(PQRS)}{\text{area}(T)} = \frac{8a^2 / 3\sqrt{3}}{8a^2 / 3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) આપેલ વક્રો $y=\frac{1}{4}|4-x^2|$ અને $y=7-|x|$ છે. બંને વક્રો $y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત છે.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{0}^{4} (y_{upper} - y_{lower}) dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x \in [0, 4]$ માટે,$y_{upper} = 7-x$ અને $y_{lower} = \frac{1}{4}|4-x^2|$ છે.
તેથી,$A = 2 \int_{0}^{4} (7-x - \frac{1}{4}|4-x^2|) dx = 2 \left[ \int_{0}^{4} (7-x) dx - \frac{1}{4} \int_{0}^{4} |4-x^2| dx \right]$.
પ્રથમ સંકલન ગણતા: $\int_{0}^{4} (7-x) dx = [7x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{4} = 28 - 8 = 20$.
બીજું સંકલન ગણતા: $\int_{0}^{4} |4-x^2| dx = \int_{0}^{2} (4-x^2) dx + \int_{2}^{4} (x^2-4) dx$.
$= [4x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2} + [\frac{x^3}{3} - 4x]_{2}^{4} = (8 - \frac{8}{3}) + ((\frac{64}{3} - 16) - (\frac{8}{3} - 8)) = \frac{16}{3} + (\frac{16}{3} - (-\frac{16}{3})) = \frac{16}{3} + \frac{32}{3} = \frac{48}{3} = 16$.
આ કિંમતોને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$A = 2 [20 - \frac{1}{4}(16)] = 2 [20 - 4] = 2 [16] = 32$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $32$ ચોરસ એકમ છે.

(B) આપેલ પરવલય $y^2=4x+1$ અને વર્તુળ $x^2+y^2=1$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે $y^2=4x+1$ ને $x^2+y^2=1$ માં મૂકતા:
$x^2 + (4x+1) = 1 \Rightarrow x^2 + 4x = 0 \Rightarrow x(x+4) = 0$.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $x = -1/4$ પર હોવાથી,છેદબિંદુ $x=0$ (જ્યાં $y = \pm 1$) મળે છે.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A_1$ નીચે મુજબ છે:
$A_1 = 2 \left( \int_{-1/4}^{0} \sqrt{4x+1} \, dx + \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx \right)$
સંકલન ગણતા:
$2 \int_{-1/4}^{0} (4x+1)^{1/2} \, dx = 2 \left[ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} (4x+1)^{3/2} \right]_{-1/4}^{0} = \frac{1}{3} [1 - 0] = \frac{1}{3}$.
$2 \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx = 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1}(x) \right]_{0}^{1} = 2 \left[ 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \right] = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$A_1 = \frac{1}{3} + \frac{\pi}{2}$.
વર્તુળનું કુલ ક્ષેત્રફળ $\pi$ છે. તેથી,$A_2 = \pi - A_1 = \pi - (\frac{1}{3} + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}$.
અંતે,$|A_1 - A_2| = |(\frac{1}{3} + \frac{\pi}{2}) - (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{3})| = |\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$.

(A) આપેલ વક્ર $y=2x-4x^3$ છે. ધારો કે $2x-4x^3=c$ ના બીજ $a, b$ અને $\alpha$ છે.
$4x^3-2x+c=0$ હોવાથી,$a+b+\alpha=0$,$ab+a\alpha+b\alpha=-\frac{1}{2}$,અને $ab\alpha=-\frac{c}{4}$ મળે.
આકૃતિ પરથી,પ્રદેશ $I$ નું ક્ષેત્રફળ $\int_a^b (2x-4x^3-c) dx$ છે અને પ્રદેશ $II$ નું ક્ષેત્રફળ $c(b-a)$ છે.
આપેલ છે કે $\int_a^b (2x-4x^3-c) dx = c(b-a)$,તેથી $\int_a^b (2x-4x^3) dx = 2c(b-a)$.
સંકલન કરતા: $[x^2-x^4]_a^b = 2c(b-a) \Rightarrow (b^2-a^2)-(b^4-a^4) = 2c(b-a)$.
$(b-a)$ વડે ભાગતા,$(b+a)(1-(b^2+a^2)) = 2c$ મળે.
$a+b=-\alpha$ હોવાથી,$-\alpha(1-(a^2+b^2)) = 2c$ મળે.
$a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab = \alpha^2-2(\alpha^2-\frac{1}{2}) = 1-\alpha^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$-\alpha(1-(1-\alpha^2)) = 2c \Rightarrow -\alpha^3 = 2c$ મળે.
વળી $ab\alpha = -c/4 \Rightarrow c = -4ab\alpha = -4\alpha(\alpha^2-1/2) = -4\alpha^3+2\alpha$.
$2c = -2\alpha^3$ અને $2c = -8\alpha^3+4\alpha$ ને સરખાવતા,$6\alpha^3=4\alpha$ મળે.
$\alpha \neq 0$ હોવાથી,$\alpha^2 = 2/3$. વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ $\frac{2}{\sqrt{7}}$ છે.

(A) આપેલ છે,$y=\cos x$.
$(-\pi/4, 1/\sqrt{2})$ અને $(0,2)$ ને જોડતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 2 = \frac{2 - 1/\sqrt{2}}{0 - (-\pi/4)} (x - 0)$
$y = \frac{2\sqrt{2}-8}{\pi} x + 2$.
સંમિતિને કારણે,છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ રેખા $y = \frac{2\sqrt{2}-8}{\pi} x + 2$ અને વક્ર $y = \cos x$ વચ્ચેના $x=0$ થી $x=\pi/4$ સુધીના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું છે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{0}^{\pi/4} (2 + \frac{2\sqrt{2}-8}{\pi} x - \cos x) dx$
$= 2 [2x + \frac{2\sqrt{2}-8}{\pi} \frac{x^2}{2} - \sin x]_0^{\pi/4}$
$= 2 [2(\pi/4) + \frac{\sqrt{2}-4}{\pi} \frac{\pi^2}{16} - 1/\sqrt{2}]$
$= 2 [\pi/2 + \frac{(\sqrt{2}-4)\pi}{16} - 1/\sqrt{2}]$
$= \pi + \frac{(\sqrt{2}-4)\pi}{8} - \sqrt{2}$
$= \frac{8\pi + \sqrt{2}\pi - 4\pi}{8} - \sqrt{2} = \frac{4+\sqrt{2}}{8}\pi - \sqrt{2}$.

(A) આપેલ બિંદુઓ $A(1,1), B(3,2), C(2,3)$ છે.
$A(1,1)$ અને $B(3,2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $l_2$ નો ઢાળ $m = \frac{2-1}{3-1} = \frac{1}{2}$ છે.
રેખા $l_1$ એ $l_2$ ને સમાંતર છે અને વક્રને $C(2,3)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તેથી રેખા $l_1$ નું સમીકરણ $y - 3 = \frac{1}{2}(x - 2)$ થશે,જેનું સાદું રૂપ $y = \frac{x}{2} + 2$ મળે છે.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ $x=1$ થી $x=3$ સુધી રેખા $l_1$ અને વક્ર $f(x)$ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{1}^{3} (l_1(x) - f(x)) dx = \int_{1}^{3} (\frac{x}{2} + 2) dx - \int_{1}^{3} f(x) dx$.
આપેલ છે કે $\int_{1}^{3} f(x) dx = 4$.
ક્ષેત્રફળ $= [\frac{x^2}{4} + 2x]_{1}^{3} - 4 = (\frac{9}{4} + 6) - (\frac{1}{4} + 2) - 4 = (2 + 4) - 4 = 2$ ચોરસ એકમ.

(B) ધારો કે $I = \int \limits_0^{2 \pi} \min \{|x-\pi|, \cos ^{-1}(\cos x)\} d x$.
વિધેય $f(x) = \cos^{-1}(\cos x)$ આ મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(x) = x$,જ્યારે $x \in [0, \pi]$
$f(x) = 2\pi - x$,જ્યારે $x \in [\pi, 2\pi]$
વિધેય $g(x) = |x-\pi|$ આ મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$g(x) = \pi - x$,જ્યારે $x \in [0, \pi]$
$g(x) = x - \pi$,જ્યારે $x \in [\pi, 2\pi]$
આ વિધેયોનો આલેખ દોરતા,સંકલન એ $0$ થી $2\pi$ સુધીના આ બે વક્રોના ન્યૂનતમ ભાગ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે. આ વક્રો $x = \pi/2$ અને $x = 3\pi/2$ પર છેદે છે.
આલેખ મુજબ,છાયાંકિત પ્રદેશ બે ત્રિકોણનો બનેલો છે,જેનું કુલ ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \pi \times \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \times \pi \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2}$ થાય છે.