Area bounded by region of multi curve Questions in Gujarati

(A) આપેલ પરવલયો $y=x^{2}$ અને $x=y^{2}$ છે.
પ્રથમ,આપણે $y=x^{2}$ ને $x=y^{2}$ માં મૂકીને છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$x=(x^{2})^{2} \implies x=x^{4} \implies x^{4}-x=0 \implies x(x^{3}-1)=0$.
આનાથી $x=0$ અને $x=1$ મળે છે.
$x=0$ માટે $y=0$ અને $x=1$ માટે $y=1$ મળે છે. છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(1,1)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0$ થી $x=1$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{2}) dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = [\frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} = [\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^{3}]_{0}^{1}$.
$A = (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{1}{3}$ ચોરસ એકમ.

(D) રેખા $y=x$ અને વક્ર $y=x^3$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $x^3 = x$ લઈને છેદબિંદુઓ શોધીએ છીએ.
આનાથી $x^3 - x = 0$ મળે છે,તેથી $x(x^2 - 1) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = -1, 0, 1$.
આ પ્રદેશ ઉગમબિંદુની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_0^1 (x - x^3) dx$
$= 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1$
$= 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right)$
$= 2 \left( \frac{1}{4} \right) = 0.5 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) વક્રો $y = \tan x$ અને $y = \cot x$ છે. તેઓ જ્યાં $\tan x = \cot x$ થાય ત્યાં છેદે છે,જેનો અર્થ છે કે $\tan^2 x = 1$,તેથી $\tan x = 1$ (કારણ કે $x \in (0, \pi / 2)$),જે $x = \pi / 4$ આપે છે.
અંતરાલ $(0, \pi / 2)$ માં વક્રો $y = \tan x$,$y = \cot x$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ બે ભાગોનો સરવાળો છે:
$1$. $x = 0$ થી $x = \pi / 4$ સુધી,ક્ષેત્રફળ $y = \tan x$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
$2$. $x = \pi / 4$ થી $x = \pi / 2$ સુધી,ક્ષેત્રફળ $y = \cot x$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= \int_0^{\pi / 4} \tan x \, dx + \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \cot x \, dx$
$= [\log |\sec x|]_0^{\pi / 4} + [\log |\sin x|]_{\pi / 4}^{\pi / 2}$
$= (\log \sec(\pi / 4) - \log \sec 0) + (\log \sin(\pi / 2) - \log \sin(\pi / 4))$
$= (\log \sqrt{2} - \log 1) + (\log 1 - \log(1 / \sqrt{2}))$
$= \log \sqrt{2} + \log \sqrt{2} = 2 \log \sqrt{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} \log 2 = \log 2 \text{ ચોરસ એકમ.}$

(B) આપેલ સમીકરણો $y^{2}=x$ (પરવલય) અને $x^{2}+y^{2}=2x$ (વર્તુળ) છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ તરીકે લખી શકાય,જેનું કેન્દ્ર $(1,0)$ અને ત્રિજ્યા $1$ છે.
બંને સમીકરણો ઉકેલતા: $x^{2}+x=2x \implies x^{2}-x=0 \implies x(x-1)=0$. આમ,$x=0$ અને $x=1$ મળે છે.
છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(1,1)$ છે.
આપણે $X$-અક્ષની ઉપરનું ક્ષેત્રફળ જોઈએ છે,તેથી પરવલય માટે $y = \sqrt{x}$ અને ઉપરના અર્ધવર્તુળ માટે $y = \sqrt{1-(x-1)^{2}}$ લઈશું.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{1} (\sqrt{1-(x-1)^{2}} - \sqrt{x}) dx$ છે.
$= \left[ \frac{x-1}{2}\sqrt{1-(x-1)^{2}} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x-1) \right]_{0}^{1} - \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{0}^{1}$
$= \left( 0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(0) \right) - \left( 0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1) \right) - \frac{2}{3}$
$= 0 - (-\frac{\pi}{4}) - \frac{2}{3} = \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વક્રો $y^{2}=2x$ અને $y=x$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y=x$ ને $y^{2}=2x$ માં મૂકતા:
$x^{2}=2x \implies x^{2}-2x=0 \implies x(x-2)=0$.
તેથી,$x=0$ અને $x=2$ મળે છે.
જ્યારે $x=0, y=0$ અને જ્યારે $x=2, y=2$. છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(2,2)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=2$ સુધીના ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્ર વચ્ચેનો તફાવત છે:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{2} (\sqrt{2x} - x) dx$
$= \int_{0}^{2} (\sqrt{2}x^{1/2} - x) dx$
$= \left[ \sqrt{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{2}$
$= \left[ \frac{2\sqrt{2}}{3} x^{3/2} - \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{2}$
$= \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} (2)^{3/2} - \frac{2^{2}}{2} \right) - (0 - 0)$
$= \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 2\sqrt{2} - \frac{4}{2} \right)$
$= \left( \frac{4 \cdot 2}{3} - 2 \right)$
$= \frac{8}{3} - 2 = \frac{8-6}{3} = \frac{2}{3} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(NONE) આપેલ વક્રો $y=m x^{2}$ અને $x=m y^{2}$ છે,જ્યાં $m>0$.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y=m x^{2}$ ને $x=m y^{2}$ માં મૂકતા:
$x=m(m x^{2})^{2} = m^{3} x^{4}$
$m^{3} x^{4}-x=0 \Rightarrow x(m^{3} x^{3}-1)=0$
છેદબિંદુઓ $x=0$ અને $x=1/m$ છે.
વક્રો વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_{0}^{1/m} (\sqrt{x/m} - m x^{2}) dx$
$A = [\frac{1}{\sqrt{m}} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - m \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1/m}$
$A = [\frac{2}{3 \sqrt{m}} \cdot (1/m)^{3/2} - \frac{m}{3} \cdot (1/m)^{3}]$
$A = \frac{2}{3 m^{2}} - \frac{1}{3 m^{2}} = \frac{1}{3 m^{2}}$
આપેલ છે કે $A = 1/4$,તેથી $\frac{1}{3 m^{2}} = \frac{1}{4}$
$3 m^{2} = 4 \Rightarrow m^{2} = 4/3$
$m>0$ હોવાથી,$m = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ ગણતરી કરેલ પરિણામ સાથે મેળ ખાતું નથી. સાચી કિંમત $m = 2/\sqrt{3}$ છે.

(C) વક્ર $x < 0$ માટે $y = x^2$ અને $x \geq 0$ માટે $y = x$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. રેખા $y = 4$ છે.
$x < 0$ માટે,વક્ર $y = x^2$ છે,જેનો અર્થ છે $x = -\sqrt{y}$ (કારણ કે $x$ ઋણ છે). $y=4$ સાથેનું છેદબિંદુ $x = -2$ છે. બીજા ચરણમાં ક્ષેત્રફળ $A_1$ એ $y=0$ થી $y=4$ સુધી $|x|$ નું $y$ ની સાપેક્ષ સંકલન છે:
$A_1 = \int_{0}^{4} |-\sqrt{y}| dy = \int_{0}^{4} y^{1/2} dy = \left[ \frac{2}{3} y^{3/2} \right]_{0}^{4} = \frac{2}{3}(8) = \frac{16}{3}$.
$x \geq 0$ માટે,વક્ર $y = x$ છે. $y=4$ સાથેનું છેદબિંદુ $x = 4$ છે. પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ $A_2$ એ $(0,0)$,$(4,0)$,અને $(4,4)$ શિરોબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે,અથવા $y=0$ થી $y=4$ સુધી $x$ નું $y$ ની સાપેક્ષ સંકલન છે:
$A_2 = \int_{0}^{4} x dy = \int_{0}^{4} y dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{4} = \frac{16}{2} = 8$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A_1 + A_2 = \frac{16}{3} + 8 = \frac{16 + 24}{3} = \frac{40}{3}$ ચોરસ એકમ છે.

(B) આપેલ વક્ર અને રેખાના સમીકરણો $y^{2}=8x$ અને $y=2x$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y=2x$ ને $y^{2}=8x$ માં મૂકતા:
$(2x)^{2}=8x$
$4x^{2}=8x$
$4x^{2}-8x=0$
$4x(x-2)=0$
તેથી,$x=0$ અને $x=2$ મળે છે.
જ્યારે $x=0$,ત્યારે $y=0$. જ્યારે $x=2$,ત્યારે $y=4$.
છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(2,4)$ છે.
આવૃત પ્રદેશનું જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0$ થી $x=2$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેની રેખા બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_{0}^{2} (\sqrt{8x} - 2x) dx$
$A = \int_{0}^{2} (2\sqrt{2}x^{1/2} - 2x) dx$
$A = 2\sqrt{2} \int_{0}^{2} x^{1/2} dx - 2 \int_{0}^{2} x dx$
$A = 2\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} - 2 \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{2}$
$A = 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} [x^{3/2}]_{0}^{2} - [x^{2}]_{0}^{2}$
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} (2^{3/2}) - (2^{2})$
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} (2\sqrt{2}) - 4$
$A = \frac{4 \cdot 2 \cdot 2}{3} - 4 = \frac{16}{3} - 4 = \frac{16-12}{3} = \frac{4}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{-1}^{1} | |x| - [x] | dx$ દ્વારા મળે છે.
આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજીત કરીએ: $\int_{-1}^{0} | |x| - [x] | dx + \int_{0}^{1} | |x| - [x] | dx$.
$x \in [-1, 0)$ માટે,$|x| = -x$ અને $[x] = -1$ થાય. તેથી,$| |x| - [x] | = | -x - (-1) | = | 1 - x | = 1 - x$.
$x \in [0, 1)$ માટે,$|x| = x$ અને $[x] = 0$ થાય. તેથી,$| |x| - [x] | = | x - 0 | = x$.
$x=1$ આગળ,$|x|=1$ અને $[x]=1$ હોવાથી તફાવત $0$ થાય છે.
આમ,$A = \int_{-1}^{0} (1 - x) dx + \int_{0}^{1} x dx$.
$A = [x - \frac{x^2}{2}]_{-1}^{0} + [\frac{x^2}{2}]_{0}^{1}$.
$A = (0 - (-1 - \frac{1}{2})) + (\frac{1}{2} - 0) = (0 - (-\frac{3}{2})) + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ વક્રો $y = \sqrt{4-x^2}$ (જે $y \ge 0$ માટે $x^2 + y^2 = 4$ છે) અને $y^2 = 3x$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$x = \frac{y^2}{3}$ ને $x^2 + y^2 = 4$ માં મૂકતા:
$(\frac{y^2}{3})^2 + y^2 = 4 \implies \frac{y^4}{9} + y^2 - 4 = 0$.
ધારો કે $u = y^2$,તો $u^2 + 9u - 36 = 0 \implies (u+12)(u-3) = 0$.
$u = y^2 \ge 0$ હોવાથી,$y^2 = 3$,તેથી $y = \sqrt{3}$ (પ્રથમ ચરણમાં).
$y = \sqrt{3}$ પર,$x = \frac{3}{3} = 1$.
વક્રો અને $Y$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલ ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{\sqrt{3}} (x_{circle} - x_{parabola}) dy = \int_{0}^{\sqrt{3}} (\sqrt{4-y^2} - \frac{y^2}{3}) dy$ દ્વારા મળે છે.
$= [\frac{y}{2}\sqrt{4-y^2} + 2\sin^{-1}(\frac{y}{2}) - \frac{y^3}{9}]_{0}^{\sqrt{3}}$.
$= (\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1} + 2(\frac{\pi}{3}) - \frac{3\sqrt{3}}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{2\pi}{3} + \frac{1}{2\sqrt{3}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0$ થી $x=\frac{\pi}{2}$ સુધીના બે વિધેયો વચ્ચેના તફાવતના માનાંકનું સંકલન છે.
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| \, dx$.
વક્રો $\sin x$ અને $\cos x$ અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{2}]$ માં $x=\frac{\pi}{4}$ પર છેદે છે.
$0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ માટે,$\cos x \ge \sin x$ છે. $\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}$ માટે,$\sin x \ge \cos x$ છે.
તેથી,$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) \, dx$.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $[\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $[-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-0 - 1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = -1 + \sqrt{2}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2(\sqrt{2} - 1)$ ચોરસ એકમ.

(C) $y=x^2$ અને $y=8-x^2$ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ,$x^2 = 8-x^2$ લઈને.
$2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
વક્રો $x = -2$ અને $x = 2$ પર છેદે છે.
$[-2, 2]$ અંતરાલમાં,વક્ર $y=8-x^2$ એ $y=x^2$ ની ઉપર છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{-2}^{2} ((8-x^2) - x^2) \, dx = \int_{-2}^{2} (8-2x^2) \, dx$.
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,$A = 2 \int_{0}^{2} (8-2x^2) \, dx$.
$A = 2 [8x - \frac{2x^3}{3}]_{0}^{2} = 2 [8(2) - \frac{2(8)}{3}] = 2 [16 - \frac{16}{3}] = 2 [\frac{48-16}{3}] = 2 [\frac{32}{3}] = \frac{64}{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ વક્રો વર્તુળ $x^2+y^2=16$ (કેન્દ્ર $(0,0)$,ત્રિજ્યા $r=4$) અને પરવલય $y^2=6x$ (શિરોબિંદુ $(0,0)$) છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2=6x$ ને $x^2+y^2=16$ માં મૂકતા:
$x^2+6x-16=0 \implies (x+8)(x-2)=0$.
પરવલય માટે $x \ge 0$ હોવાથી,$x=2$ મળે.
તેથી $y^2=12 \implies y = \pm 2\sqrt{3}$.
ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{0}^{2} \sqrt{6x} \, dx + 2 \int_{2}^{4} \sqrt{16-x^2} \, dx$.
પ્રથમ ભાગ: $2 \sqrt{6} [\frac{2}{3} x^{3/2}]_{0}^{2} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$.
બીજો ભાગ: $2 [\frac{x}{2} \sqrt{16-x^2} + 8 \sin^{-1}(\frac{x}{4})]_{2}^{4} = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= \frac{16\sqrt{3}}{3} + \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3} = \frac{4}{3}(4\pi+\sqrt{3})$.

(B) આ પ્રદેશ પરવલય $x = \frac{y^2}{2}$ અને રેખા $x = y + 4$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે।
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, $\frac{y^2}{2} = y + 4$ લો।
$y^2 = 2y + 8 \implies y^2 - 2y - 8 = 0$.
$(y - 4)(y + 2) = 0$, તેથી $y = 4$ અને $y = -2$.
ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન $\int_{-2}^{4} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) \, dy$ દ્વારા મળે છે।
$A = \int_{-2}^{4} (y + 4 - \frac{y^2}{2}) \, dy$.
$A = [\frac{y^2}{2} + 4y - \frac{y^3}{6}]_{-2}^{4}$.
$A = (\frac{16}{2} + 16 - \frac{64}{6}) - (\frac{4}{2} - 8 - \frac{-8}{6})$.
$A = (8 + 16 - \frac{32}{3}) - (2 - 8 + \frac{4}{3})$.
$A = (24 - \frac{32}{3}) - (-6 + \frac{4}{3}) = \frac{40}{3} - (-\frac{14}{3}) = \frac{54}{3} = 18$ ચોરસ એકમ।

(A) આપેલ વક્રો $x=y^2$ અને $x=3-2y^2$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, $y^2 = 3-2y^2$ લો, જે $3y^2 = 3$ આપે છે, તેથી $y^2 = 1$, એટલે કે $y = \pm 1$.
ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
$\text{જરૂરી ક્ષેત્રફળ} = 2 \int_{-1}^{1} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) dy = 2 \int_{-1}^{1} ((3-2y^2) - y^2) dy$
$= 2 \int_{-1}^{1} (3-3y^2) dy = 6 \int_{-1}^{1} (1-y^2) dy$
$= 6 \left[ y - \frac{y^3}{3} \right]_{-1}^{1} = 6 \left( (1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3}) \right)$
$= 6 \left( \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) \right) = 6 \left( \frac{4}{3} \right) = 8 \text{ ચોરસ એકમ.}$

(C) આપેલ વક્રો $x^2=9y$ અને $(x-6)^2=9y$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$9y = 9y$ લેતા:
$x^2 = (x-6)^2$
$x^2 = x^2 - 12x + 36$
$12x = 36 \implies x = 3$.
$x=3$ માટે,$y = \frac{3^2}{9} = 1$. તેથી,છેદબિંદુ $(3, 1)$ છે.
વક્રો અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલ ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=3$ અને $x=3$ થી $x=6$ સુધીના બે પરવલયો હેઠળના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે:
$\text{Required Area} = \int_0^3 \frac{x^2}{9} dx + \int_3^6 \frac{(x-6)^2}{9} dx$
$= \frac{1}{9} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^3 + \frac{1}{9} \left[ \frac{(x-6)^3}{3} \right]_3^6$
$= \frac{1}{27} [3^3 - 0^3] + \frac{1}{27} [(6-6)^3 - (3-6)^3]$
$= \frac{27}{27} + \frac{1}{27} [0 - (-27)]$
$= 1 + \frac{27}{27} = 1 + 1 = 2 \text{ ચોરસ એકમ.}$

(D) વક્રો $y=4|\cos x|$ અને $y=-|\cos x|$ આપેલા છે.
બધા $x$ માટે $|\cos x| \ge 0$ હોવાથી,ઉપરનો વક્ર $y=4|\cos x|$ છે અને નીચેનો વક્ર $y=-|\cos x|$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [4|\cos x| - (-|\cos x|)] dx$.
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 5|\cos x| dx$.
$x \in [-\pi/2, \pi/2]$ માટે $\cos x \ge 0$ હોવાથી,$|\cos x| = \cos x$ થાય.
$A = 5 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x dx$.
યુગ્મ વિધેયના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$A = 5 \times 2 \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx$.
$A = 10 [\sin x]_{0}^{\pi/2} = 10(1 - 0) = 10$ ચોરસ એકમ.

(D) વક્રો $y = \cos x + 1$ અને $y = \sin x$ છે. આપણે $x=0$ અને $x=\pi$ વચ્ચે આ વક્રો અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
આલેખ પરથી,$0 \le x \le \pi/2$ માટે,પ્રદેશ ઉપરની તરફ $y = \sin x$ અને નીચેની તરફ $X$-અક્ષ દ્વારા સીમિત છે.
$\pi/2 \le x \le \pi$ માટે,પ્રદેશ ઉપરની તરફ $y = \cos x + 1$ અને નીચેની તરફ $X$-અક્ષ દ્વારા સીમિત છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^{\pi/2} \sin x \, dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (\cos x + 1) \, dx$
$= [-\cos x]_0^{\pi/2} + [\sin x + x]_{\pi/2}^{\pi}$
$= (-\cos(\pi/2) - (-\cos 0)) + ((\sin \pi + \pi) - (\sin(\pi/2) + \pi/2))$
$= (0 + 1) + (0 + \pi - 1 - \pi/2)$
$= 1 + \pi - 1 - \pi/2 = \pi/2$.

(C) આપેલ વક્રો $y=x^2$ અને $y=6-|x|$ છે.
$y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં રહેલા ક્ષેત્રફળના $2$ ગણું છે.
પ્રથમ ચરણમાં $(x \ge 0)$,વક્રો $y=x^2$ અને $y=6-x$ છે.
છેદબિંદુ $A$ શોધવા માટે,આપણે $x^2 = 6-x$ લઈએ,જે $x^2+x-6=0$ આપે છે.
આને ઉકેલતા,$(x+3)(x-2)=0$ મળે છે. $x \ge 0$ હોવાથી,$x=2$ મળે છે.
$x=2$ પર,$y=2^2=4$. તેથી,છેદબિંદુ $A(2, 4)$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ $x=0$ થી $x=2$ ની વચ્ચે વક્રો $y=6-x$ અને $y=x^2$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^2 ((6-x) - x^2) dx = [6x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^2$
$= (12 - 2 - \frac{8}{3}) - 0 = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30-8}{3} = \frac{22}{3}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $2 \times \frac{22}{3} = \frac{44}{3}$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે વક્રો $y = \frac{8}{x}$ અને $y = 2x$ ના છેદબિંદુ શોધીએ.
$\frac{8}{x} = 2x$ લેતા,આપણને $x^2 = 4$ મળે છે,તેથી $x = 2$ (કારણ કે પ્રથમ ચરણમાં $x > 0$ છે).
આ પ્રદેશ $x = 2$ થી $x = 4$ સુધી ઘેરાયેલો છે.
આ અંતરાલમાં,$2x \geq \frac{8}{x}$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \int_2^4 \left( 2x - \frac{8}{x} \right) dx$
$= \left[ x^2 - 8 \log |x| \right]_2^4$
$= (4^2 - 8 \log 4) - (2^2 - 8 \log 2)$
$= (16 - 8 \log 4) - (4 - 8 \log 2)$
$= 12 - 8 \log 4 + 8 \log 2$
$= 12 - 8 \log (2^2) + 8 \log 2$
$= 12 - 16 \log 2 + 8 \log 2$
$= 12 - 8 \log 2$

(C) આપેલ વક્રો $x^2 = 2 - y$ (જે $y = 2 - x^2$ છે) અને $x^2 = y$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$2 - x^2 = x^2$ લો.
$2x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -1$ થી $x = 1$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે.
$A = \int_{-1}^{1} ((2 - x^2) - x^2) dx = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) dx$.
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,$A = 2 \int_{0}^{1} (2 - 2x^2) dx$.
$A = 4 \int_{0}^{1} (1 - x^2) dx = 4 [x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1}$.
$A = 4 (1 - \frac{1}{3}) = 4 (\frac{2}{3}) = \frac{8}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વક્રોના સમીકરણો $x^2+y^2=2$ અને $y=x^2$ છે.
છેદબિંદુ માટે,વર્તુળના સમીકરણમાં $x^2=y$ મૂકતા:
$y+y^2=2 \Rightarrow y^2+y-2=0$
$(y+2)(y-1)=0$
કારણ કે $y=x^2 \ge 0$,તેથી $y=1$. આમ,$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_{circle} = \pi r^2 = 2\pi$ છે.
નાના ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A_{small}$ એ $x=-1$ થી $x=1$ વચ્ચે વર્તુળની નીચેના ક્ષેત્રફળમાંથી પરવલયની નીચેનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે:
$A_{small} = \int_{-1}^{1} (\sqrt{2-x^2} - x^2) dx = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{2-x^2} dx - 2 \int_{0}^{1} x^2 dx$
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A_{small} = 2 [\frac{x}{2}\sqrt{2-x^2} + \frac{2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{\sqrt{2}})]_0^1 - 2[\frac{x^3}{3}]_0^1$
$A_{small} = 2 [(\frac{1}{2}\sqrt{1} + \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})) - 0] - \frac{2}{3} = 2(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}) - \frac{2}{3} = 1 + \frac{\pi}{2} - \frac{2}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}$.
મોટા ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A_{large} = A_{circle} - A_{small} = 2\pi - (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}) = \frac{3\pi}{2} - \frac{1}{3}$ ચોરસ એકમ.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) વક્રો $y = \tan^{-1} x$ અને $y = \cot^{-1} x$ જ્યાં $\tan^{-1} x = \cot^{-1} x$ હોય ત્યાં છેદે છે. કારણ કે $\cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x$,તેથી $2 \tan^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\tan^{-1} x = \frac{\pi}{4}$,તેથી $x = 1$.
વક્રો અને $Y$-અક્ષ $(x=0)$ દ્વારા $x=0$ થી $x=1$ સુધી ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્રના તફાવતનું સંકલન છે.
$x \in [0, 1]$ માટે,$\cot^{-1} x \ge \tan^{-1} x$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^1 (\cot^{-1} x - \tan^{-1} x) dx$
$= \int_0^1 (\frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x - \tan^{-1} x) dx = \int_0^1 (\frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1} x) dx$
$= \frac{\pi}{2} [x]_0^1 - 2 \int_0^1 \tan^{-1} x dx$
$= \frac{\pi}{2} - 2 [x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log_e(1+x^2)]_0^1$
$= \frac{\pi}{2} - 2 [ (1 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log_e 2) - (0 - 0) ]$
$= \frac{\pi}{2} - 2 [ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log_e 2 ]$
$= \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + \log_e 2 = \log_e 2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(B) એકમ ચોરસ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ $1 \text{ ચોરસ એકમ}$ છે. વક્રો $y^2=x$ અને $x^2=y$ એ $(0,0)$ અને $(1,1)$ પર છેદે છે.
ધારો કે $a_1, a_2, a_3$ એ ત્રણ ભાગોના ક્ષેત્રફળ છે. સંમિતિને કારણે,$a_1 = a_3$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $a_1 + a_2 + a_3 = 1 \quad \dots(i)$ છે.
સંમિતિને કારણે,$a_1 = a_3 \quad \dots(ii)$.
ક્ષેત્રફળ $a_2$ એ $x=0$ થી $x=1$ સુધીના વક્રો $y = \sqrt{x}$ અને $y = x^2$ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ છે:
$a_2 = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2) dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$.
સમીકરણ $(i)$ માં $a_2 = \frac{1}{3}$ મૂકતા:
$a_1 + \frac{1}{3} + a_3 = 1 \implies a_1 + a_3 = \frac{2}{3}$.
કારણ કે $a_1 = a_3$,તેથી $2a_1 = \frac{2}{3} \implies a_1 = \frac{1}{3}$ અને $a_3 = \frac{1}{3}$.
આમ,$a_1 = a_2 = a_3 = \frac{1}{3}$.
આપણે $a_1 + 2a_2 + 3a_3$ શોધવાનું છે:
$a_1 + 2a_2 + 3a_3 = \frac{1}{3} + 2\left(\frac{1}{3}\right) + 3\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1+2+3}{3} = \frac{6}{3} = 2$.

(D) આપેલ છે કે $y = \max \{x-[x], x+|x|\}$. $x \in [0, 2]$ માટે,$x \geq 0$,તેથી $x+|x| = 2x$ અને $x-[x] = \{x\}$.
કારણ કે $x \in [0, 2]$ માટે $2x \geq \{x\}$ છે,તેથી $y = 2x$ મળે.
આપણે $x = 0$ અને $x = 2$ ની વચ્ચે $y = 2x^2$ અને $y = 2x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
વક્રો જ્યાં છેદે છે ત્યાં $2x^2 = 2x$,એટલે કે $x^2 - x = 0$,તેથી $x = 0$ અને $x = 1$ મળે.
$x \in [0, 1]$ માટે,$2x \geq 2x^2$. $x \in [1, 2]$ માટે,$2x^2 \geq 2x$.
ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_0^1 (2x - 2x^2) dx + \int_1^2 (2x^2 - 2x) dx$
$A = \left[x^2 - \frac{2x^3}{3}\right]_0^1 + \left[\frac{2x^3}{3} - x^2\right]_1^2$
$A = \left(1 - \frac{2}{3}\right) - 0 + \left(\left(\frac{16}{3} - 4\right) - \left(\frac{2}{3} - 1\right)\right)$
$A = \frac{1}{3} + \left(\frac{4}{3} - (-\frac{1}{3})\right) = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{6}{3} = 2 \text{ ચોરસ એકમ.}$

(D) વક્રો $y = x \log x$ અને $y = 2x - 2x^2$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ: $x \log x = 2x - 2x^2$.
$x > 0$ માટે,$x$ વડે ભાગતા: $\log x = 2 - 2x$,જેનો અર્થ છે $\log x + 2x - 2 = 0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x = 1$ એ ઉકેલ છે કારણ કે $\log(1) + 2(1) - 2 = 0 + 2 - 2 = 0$.
અંતરાલ $x \in (0, 1]$ માટે,વક્ર $y = 2x - 2x^2$ એ $y = x \log x$ ની ઉપર આવેલો છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2 - x \log x) dx$.
સંકલન કરતા: $\int_{0}^{1} 2x dx = [x^2]_{0}^{1} = 1$.
$\int_{0}^{1} 2x^2 dx = [\frac{2}{3}x^3]_{0}^{1} = \frac{2}{3}$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરીને $\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}$.
$0$ થી $1$ સુધીની સીમાઓ લેતા: $[\frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}]_{0}^{1} = (0 - \frac{1}{4}) - (0) = -\frac{1}{4}$.
તેથી,$A = 1 - \frac{2}{3} - (-\frac{1}{4}) = 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{12 - 8 + 3}{12} = \frac{7}{12}$.

(C) આપેલ પરવલયો $y^2 = 4x$ અને $y^2 = 4(4-x)$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$4x = 4(4-x)$ લેતા,જે $x = 4-x$ આપે છે,તેથી $2x = 4$,એટલે કે $x = 2$.
$x = 2$ માટે,$y^2 = 4(2) = 8$,તેથી $y = \pm 2\sqrt{2}$.
ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,તેથી આપણે પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ શોધીને તેને $2$ વડે ગુણીશું.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{0}^{2} \sqrt{4x} \, dx + 2 \int_{2}^{4} \sqrt{4(4-x)} \, dx$.
ક્ષેત્રફળ $= 4 \int_{0}^{2} \sqrt{x} \, dx + 4 \int_{2}^{4} \sqrt{4-x} \, dx$.
ક્ષેત્રફળ $= 4 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} + 4 \left[ \frac{-(4-x)^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4}$.
ક્ષેત્રફળ $= 4 \times \frac{2}{3} [2^{3/2} - 0] + 4 \times \frac{2}{3} [-(0) - (-(4-2)^{3/2})]$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{8}{3} [2\sqrt{2}] + \frac{8}{3} [2\sqrt{2}] = \frac{16\sqrt{2}}{3} + \frac{16\sqrt{2}}{3} = \frac{32\sqrt{2}}{3}$.

(A) સમીકરણો $x^2+y^2=16a^2$ અને $y^2=6ax$ છે. વર્તુળના સમીકરણમાં $y^2=6ax$ મૂકતા: $x^2+6ax-16a^2=0$.
અવયવ પાડતા $(x+8a)(x-2a)=0$ મળે છે. પરવલય માટે $x \ge 0$ હોવાથી,આપણે $x=2a$ લઈએ છીએ.
$x=2a$ પર,$y^2=6a(2a)=12a^2$,તેથી $y=\pm 2a\sqrt{3}$.
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{0}^{2a} \sqrt{6ax} \, dx + 2 \int_{2a}^{4a} \sqrt{16a^2-x^2} \, dx$.
પ્રથમ સંકલન: $2\sqrt{6a} \int_{0}^{2a} x^{1/2} \, dx = 2\sqrt{6a} [\frac{2}{3}x^{3/2}]_{0}^{2a} = \frac{16a^2\sqrt{3}}{3}$.
બીજું સંકલન: $2 [\frac{x}{2}\sqrt{16a^2-x^2} + 8a^2 \sin^{-1}(\frac{x}{4a})]_{2a}^{4a} = \frac{16\pi a^2}{3} - 4a^2\sqrt{3}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $\frac{16\pi a^2}{3} + \frac{4a^2\sqrt{3}}{3} = \frac{4a^2}{3}(4\pi+\sqrt{3})$.

(C) આપેલ વક્રો $y=x^2$ $(i)$ અને $y=|x|$ $(ii)$ છે.
બંને વક્રો $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં જ્યાં $x \ge 0$ હોય ત્યાંના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું થશે.
$x \ge 0$ માટે,$y=|x|=x$.
$y=x^2$ અને $y=x$ ને ઉકેલતા,આપણને $x^2=x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x(x-1)=0$,તેથી $x=0$ અથવા $x=1$.
પ્રથમ ચરણમાં છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(1,1)$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ $\int_0^1 (x - x^2) dx$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_0^1 (x - x^2) dx$
$= 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$
$= 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) ક્ષેત્રફળ $A$ એ અંતરાલ $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$ પર બે વક્રો વચ્ચેના તફાવતના માનાંકનું સંકલન છે.
$A = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} |\sin x - \cos x| \, dx$.
અંતરાલ $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$ માં,$\sin x \geq \cos x$ છે.
તેથી,$A = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) \, dx$.
$A = [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}$.
$A = (-(\cos \frac{5\pi}{4} + \sin \frac{5\pi}{4})) - (-(\cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4}))$.
$A = (-(-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})) - (-(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}))$.
$A = (\frac{2}{\sqrt{2}}) - (-\frac{2}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ વક્રો $y=\frac{x^2}{4 a}$ અને $y=\frac{8 a^3}{x^2+4 a^2}$ છે.
છેદબિંદુ માટે,બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{x^2}{4 a} = \frac{8 a^3}{x^2+4 a^2}$
$x^2(x^2+4 a^2) = 32 a^4$
$x^4+4 a^2 x^2 - 32 a^4 = 0$
$(x^2+8 a^2)(x^2-4 a^2) = 0$
અહીં $x^2 = -8 a^2$ શક્ય નથી,તેથી $x^2 = 4 a^2$,એટલે કે $x = \pm 2 a$.
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_0^{2 a} (\frac{8 a^3}{x^2+4 a^2} - \frac{x^2}{4 a}) dx$.
$A = 2 [8 a^3 \int_0^{2 a} \frac{1}{x^2+(2 a)^2} dx - \frac{1}{4 a} \int_0^{2 a} x^2 dx]$
$A = 2 [8 a^3 \cdot \frac{1}{2 a} \tan^{-1}(\frac{x}{2 a}) |_0^{2 a} - \frac{1}{4 a} \cdot \frac{x^3}{3} |_0^{2 a}]$
$A = 2 [4 a^2 \tan^{-1}(1) - \frac{1}{4 a} \cdot \frac{8 a^3}{3}]$
$A = 2 [4 a^2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{2 a^2}{3}]$
$A = 2 a^2 (\pi - \frac{2}{3}) = a^2(2 \pi - \frac{4}{3})$.

(C) આ પ્રદેશ વર્તુળ $x^2+y^2=1$ અને પરવલય $y^2=1-x$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2=1-x$ ને $x^2+y^2=1$ માં મૂકતા:
$x^2 + (1-x) = 1 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$.
તેથી,$x=0$ અથવા $x=1$.
$x=0$ માટે,$y^2=1 \implies y=\pm 1$. $x=1$ માટે,$y^2=0 \implies y=0$.
ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \int_{-1}^0 \sqrt{1-x^2} dx + \int_0^1 \sqrt{1-x} dx \right]$.
સંકલન કરતા:
$2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1} x \right]_{-1}^0 = 2 \left[ (0 + 0) - (0 - \frac{\pi}{4}) \right] = \frac{\pi}{2}$.
$2 \int_0^1 (1-x)^{1/2} dx = 2 \left[ \frac{-2}{3} (1-x)^{3/2} \right]_0^1 = 2 \left[ 0 - (-\frac{2}{3}) \right] = \frac{4}{3}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= \frac{\pi}{2} + \frac{4}{3}$.

(C) આપેલ વક્રો $x = -2y^2$ અને $x = 1 - 3y^2$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$-2y^2 = 1 - 3y^2$
$y^2 = 1$
$y = \pm 1$
જ્યારે $y = 1$,ત્યારે $x = -2(1)^2 = -2$. જ્યારે $y = -1$,ત્યારે $x = -2(-1)^2 = -2$.
છેદબિંદુઓ $(-2, 1)$ અને $(-2, -1)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y$ ની સાપેક્ષમાં $-1$ થી $1$ સુધીના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{-1}^{1} ((1 - 3y^2) - (-2y^2)) \, dy$
$A = \int_{-1}^{1} (1 - y^2) \, dy$
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,$A = 2 \int_{0}^{1} (1 - y^2) \, dy$
$A = 2 [y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{1}$
$A = 2 (1 - \frac{1}{3}) = 2 (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ વક્રો $x^2+y^2=2ax$ (જે $(x-a)^2+y^2=a^2$ છે) અને $y^2=ax$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2=ax$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2+ax=2ax \Rightarrow x^2-ax=0 \Rightarrow x(x-a)=0$. તેથી,$x=0$ અથવા $x=a$.
$x=a$ માટે,$y^2=a^2 \Rightarrow y=a$ (કારણ કે આપણે $X$-અક્ષની ઉપરનો પ્રદેશ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ).
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=a$ સુધી વર્તુળની નીચેના ક્ષેત્રફળમાંથી પરવલયની નીચેનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^a (y_{circle} - y_{parabola}) dx = \int_0^a (\sqrt{a^2-(x-a)^2} - \sqrt{ax}) dx$.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^a \sqrt{a^2-(x-a)^2} dx - \int_0^a \sqrt{ax} dx$.
પ્રથમ સંકલન એ $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના ચોથા ભાગનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે,જે $\frac{\pi a^2}{4}$ છે.
બીજું સંકલન $\sqrt{a} \int_0^a x^{1/2} dx = \sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^a = \sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} a^{3/2} = \frac{2a^2}{3}$ છે.
તેથી,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi a^2}{4} - \frac{2a^2}{3} = a^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}\right)$ ચોરસ એકમ છે.

(C) આપેલ વક્રો $y^2=8(x+2)$ અને $y^2=4(1-x)$ છે.
પ્રથમ,બંને પરવલયોનું છેદબિંદુ શોધો:
$8(x+2) = 4(1-x)$
$2(x+2) = 1-x$
$2x+4 = 1-x$
$3x = -3 \implies x = -1$.
$x=-1$ આગળ,$y^2 = 8(-1+2) = 8$,તેથી $y = \pm 2\sqrt{2}$.
પ્રદેશ બે પરવલયો અને $Y$-અક્ષ $(x=0)$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{-2}^{0} |y| dx$ દ્વારા મળે છે. ખાસ કરીને,$x=-2$ થી $x=-1$ સુધી,સીમા $y^2=8(x+2)$ છે,અને $x=-1$ થી $x=0$ સુધી,સીમા $y^2=4(1-x)$ છે.
$A = 2 \left[ \int_{-2}^{-1} \sqrt{8(x+2)} dx + \int_{-1}^{0} \sqrt{4(1-x)} dx \right]$
$A = 2 \left[ 2\sqrt{2} \int_{-2}^{-1} (x+2)^{1/2} dx + 2 \int_{-1}^{0} (1-x)^{1/2} dx \right]$
$A = 2 \left[ 2\sqrt{2} \left[ \frac{2}{3}(x+2)^{3/2} \right]_{-2}^{-1} + 2 \left[ -\frac{2}{3}(1-x)^{3/2} \right]_{-1}^{0} \right]$
$A = 2 \left[ 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{4}{3} \left( (1-0)^{3/2} - (1-(-1))^{3/2} \right) \right]$
$A = 2 \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3} (1 - 2\sqrt{2}) \right]$
$A = 2 \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3} + \frac{8\sqrt{2}}{3} \right] = 2 \left[ \frac{12\sqrt{2}-4}{3} \right] = \frac{8}{3}(3\sqrt{2}-1)$.

(C) આપેલ વક્ર $y=2x-x^2$ છે.
સ્થિર બિંદુ માટે,આપણે $\frac{dy}{dx}=0$ લઈએ છીએ.
$\frac{dy}{dx} = 2-2x = 0 \Rightarrow x=1$.
તેથી,$\alpha = 1$.
ક્ષેત્રફળ $y=2^x, y=2x-x^2, x=0$ અને $x=1$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= \int_0^1 (2^x - (2x-x^2)) dx$.
$= \int_0^1 2^x dx - \int_0^1 (2x-x^2) dx$.
$= \left[ \frac{2^x}{\log 2} \right]_0^1 - \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$.
$= \left( \frac{2^1}{\log 2} - \frac{2^0}{\log 2} \right) - \left( (1^2 - \frac{1^3}{3}) - (0) \right)$.
$= \frac{2-1}{\log 2} - (1 - \frac{1}{3}) = \frac{1}{\log 2} - \frac{2}{3}$.
$= \frac{3 - 2 \log 2}{3 \log 2} = \frac{3 - \log 4}{3 \log 2}$.

(C) આપેલા સમીકરણો $y = 1 - |x|$ અને $y = |x| - 1$ છે.
આ સમીકરણો $A(0, 1)$,$C(1, 0)$,$B(0, -1)$,અને $D(-1, 0)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો એક ચોરસ દર્શાવે છે.
આ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ ચોરસ $ACBD$ નું ક્ષેત્રફળ છે.
$(0, 1)$,$(1, 0)$,$(0, -1)$,અને $(-1, 0)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેને ચાર સમાન કાટકોણ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરીને શોધી શકાય છે,જેમાં દરેકનો પાયો $1$ અને વેધ $1$ છે.
એક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (દા.ત.,$\triangle AOC$) $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 4 \times \triangle AOC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 4 \times \frac{1}{2} = 2$.
આમ,જરૂરી ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $2$ ચોરસ એકમ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ અને $x^2 + y^2 = 4$ છે.
તેમને ઉકેલતા,આપણને પ્રથમ ચરણમાં છેદબિંદુ $A$ મળે છે: $x^2 + (\frac{x}{\sqrt{3}})^2 = 4 \implies x^2 + \frac{x^2}{3} = 4 \implies \frac{4x^2}{3} = 4 \implies x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}$.
તેથી $y = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$. આમ,$A = (\sqrt{3}, 1)$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ ત્રિકોણ $OAB$ (જ્યાં $B$ એ $(\sqrt{3}, 0)$ છે) અને $x = \sqrt{3}$ થી $x = 2$ સુધી વર્તુળની નીચેના ભાગનું ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
વર્તુળની નીચેનું ક્ષેત્રફળ $= \int_{\sqrt{3}}^{2} \sqrt{4 - x^2} dx = [\frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2})]_{\sqrt{3}}^{2}$.
$= [0 + 2 \sin^{-1}(1)] - [\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{4 - 3} + 2 \sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})]$.
$= [2 \times \frac{\pi}{2}] - [\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \times \frac{\pi}{3}] = \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલ વક્ર $y = -x^2 - 2x + 3$ છે.
વક્ર $Y$-અક્ષને મળે તે બિંદુ શોધવા માટે,$x = 0$ મૂકતા: $y = 3$. તેથી,બિંદુ $(0, 3)$ છે.
વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = -2x - 2$.
$(0, 3)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -2(0) - 2 = -2$ છે.
$(0, 3)$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 3 = -2(x - 0)$ એટલે કે $y = -2x + 3$ છે.
વક્ર $X$-અક્ષને $y = 0$ પર મળે છે: $-x^2 - 2x + 3 = 0 \implies x^2 + 2x - 3 = 0 \implies (x+3)(x-1) = 0$. તેથી,$x = -3$ અને $x = 1$.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને $y = 0$ પર મળે છે: $0 = -2x + 3 \implies x = 1.5$.
વક્ર,$X$-અક્ષ અને સ્પર્શક દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\frac{7}{12}$ છે.

(D) આપેલ વક્રો $x^2+y^2-4x=0 \Rightarrow (x-2)^2+y^2=4$ અને $y^2=x$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,વર્તુળના સમીકરણમાં $y^2=x$ મૂકતા: $x^2+x-4x=0 \Rightarrow x^2-3x=0 \Rightarrow x(x-3)=0$. તેથી,$x=0$ અથવા $x=3$.
$x=0$ માટે,$y=0$. $x=3$ માટે,$y^2=3 \Rightarrow y=\sqrt{3}$ (પ્રથમ ચરણમાં).
પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0$ થી $x=3$ સુધી પરવલય દ્વારા અને $x=3$ થી $x=4$ સુધી વર્તુળ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
$A = \int_0^3 \sqrt{x} \, dx + \int_3^4 \sqrt{4-(x-2)^2} \, dx$
$A = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^3 + \left[ \frac{x-2}{2} \sqrt{4-(x-2)^2} + 2 \sin^{-1} \left( \frac{x-2}{2} \right) \right]_3^4$
$A = \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) + \left[ (0 + 2 \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{3} + 2 \sin^{-1}(1/2)) \right]$
$A = 2\sqrt{3} + \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{3}$.
તેથી,$6A - 9\sqrt{3} = 6(\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{3}) - 9\sqrt{3} = 9\sqrt{3} + 4\pi - 9\sqrt{3} = 4\pi$.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ વક્રો વચ્ચેના તફાવતના માનાંકનું સંકલન છે: $A = \int_{0}^{2} |x^3 - x^2| \, dx$.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો: $x^3 = x^2 \implies x^2(x-1) = 0$,તેથી $x=0$ અને $x=1$.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં,$x^2 \ge x^3$,તેથી $|x^3 - x^2| = x^2 - x^3$.
અંતરાલ $[1, 2]$ માં,$x^3 \ge x^2$,તેથી $|x^3 - x^2| = x^3 - x^2$.
આમ,$A = \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) \, dx + \int_{1}^{2} (x^3 - x^2) \, dx$.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $[\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3}]_{1}^{2} = (\frac{16}{4} - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{3}) = (4 - \frac{8}{3}) - (-\frac{1}{12}) = \frac{4}{3} + \frac{1}{12} = \frac{17}{12}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{12} + \frac{17}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.

(D) વક્રો $y^2=4(x+7)$ અને $y^2=5(2-x)$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$y^2$ માટેના પદોને સરખાવતા:
$4(x+7) = 5(2-x)$
$4x + 28 = 10 - 5x$
$9x = -18$
$x = -2$
$x = -2$ ને $y^2 = 4(x+7)$ માં મૂકતા,આપણને $y^2 = 4(-2+7) = 4(5) = 20$ મળે છે,તેથી $y = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}$.
છેદબિંદુઓ $(-2, 2\sqrt{5})$ અને $(-2, -2\sqrt{5})$ છે.
બંને વક્રો માટે $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$y^2 = 4(x+7)$ માટે,$x = \frac{y^2}{4} - 7$.
$y^2 = 5(2-x)$ માટે,$x = 2 - \frac{y^2}{5}$.
ક્ષેત્રફળ એ $y$ ની સાપેક્ષમાં $-2\sqrt{5}$ થી $2\sqrt{5}$ સુધીનું સંકલન છે:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-2\sqrt{5}}^{2\sqrt{5}} \left[ (2 - \frac{y^2}{5}) - (\frac{y^2}{4} - 7) \right] dy$
$= \int_{-2\sqrt{5}}^{2\sqrt{5}} (9 - \frac{9y^2}{20}) dy$
$= \left[ 9y - \frac{9y^3}{60} \right]_{-2\sqrt{5}}^{2\sqrt{5}} = \left[ 9y - \frac{3y^3}{20} \right]_{-2\sqrt{5}}^{2\sqrt{5}}$
$= \left( 9(2\sqrt{5}) - \frac{3(2\sqrt{5})^3}{20} \right) - \left( 9(-2\sqrt{5}) - \frac{3(-2\sqrt{5})^3}{20} \right)$
$= 2 \left( 18\sqrt{5} - \frac{3(8 \times 5\sqrt{5})}{20} \right)$
$= 2 \left( 18\sqrt{5} - 6\sqrt{5} \right) = 2(12\sqrt{5}) = 24\sqrt{5}$.

(D) આપેલ વક્રો $y^2 = 4(x+1)$ અને $y^2 = 5(x-4)$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, $x$ ની કિંમતો સરખાવો:
$x = \frac{y^2}{4} - 1$ અને $x = \frac{y^2}{5} + 4$.
$\frac{y^2}{4} - 1 = \frac{y^2}{5} + 4$
$\frac{y^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 5$
$\frac{y^2}{20} = 5 \implies y^2 = 100 \implies y = \pm 10$.
જ્યારે $y = 10$, ત્યારે $x = \frac{100}{4} - 1 = 24$. તેથી, છેદબિંદુઓ $(24, 10)$ અને $(24, -10)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $\int_{-10}^{10} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) dy$ દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-10}^{10} [(\frac{y^2}{4} - 1) - (\frac{y^2}{5} + 4)] dy = \int_{-10}^{10} (\frac{y^2}{20} - 5) dy = 2 \int_{0}^{10} (\frac{y^2}{20} - 5) dy = 2 [\frac{y^3}{60} - 5y]_0^{10} = 2 [\frac{1000}{60} - 50] = 2 [\frac{50}{3} - 50] = 2 [-\frac{100}{3}] = -200/3$. નિરપેક્ષ મૂલ્ય લેતા, ક્ષેત્રફળ $= 200/3$.

(B) આપેલ સમીકરણો $ay = x^2$ અને $x + y = 2a$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$y = \frac{x^2}{a}$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $x + \frac{x^2}{a} = 2a$.
$a$ વડે ગુણતા,આપણને $ax + x^2 = 2a^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + ax - 2a^2 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x + 2a)(x - a) = 0$.
આમ,છેદબિંદુઓ $x = -2a$ અને $x = a$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્ર વચ્ચેના તફાવતનું સંકલન છે:
$A = \int_{-2a}^{a} (2a - x - \frac{x^2}{a}) dx$.
પદવાર સંકલન કરતા:
$A = [2ax - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3a}]_{-2a}^{a}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$A = (2a^2 - \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{3}) - (-4a^2 - 2a^2 + \frac{8a^2}{3}) = \frac{9}{2}a^2$.
ક્ષેત્રફળ $ka^2$ હોવાથી,$k = \frac{9}{2}$ મળે છે.

(A) વક્ર $y=2x-x^2$ અને રેખા $y=-x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ,$2x-x^2 = -x$ લઈને.
$2x-x^2+x = 0$
$3x-x^2 = 0$
$x(3-x) = 0$
તેથી,છેદબિંદુઓ $x=0$ અને $x=3$ છે.
અંતરાલ $[0, 3]$ માં,વક્ર $y=2x-x^2$ એ રેખા $y=-x$ ની ઉપર આવેલું છે.
ક્ષેત્રફળ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \int_0^3 ((2x-x^2) - (-x)) dx$
$= \int_0^3 (3x-x^2) dx$
$= \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^3$
$= \left( \frac{3(3)^2}{2} - \frac{(3)^3}{3} \right) - (0 - 0)$
$= \frac{27}{2} - \frac{27}{3}$
$= \frac{27}{2} - 9$
$= \frac{27-18}{2} = \frac{9}{2} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(A) છેદબિંદુ માટે,$y^2=6ax$ ને $x^2+y^2=16a^2$ માં મૂકતા:
$x^2+6ax-16a^2=0$
$(x+8a)(x-2a)=0$
પરવલય માટે $x \ge 0$ હોવાથી,$x=2a$ મળે.
નાના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = 2 \left[ \int_0^{2a} \sqrt{6ax} \, dx + \int_{2a}^{4a} \sqrt{16a^2-x^2} \, dx \right]$ છે.
સંકલન ગણતા:
$2 \int_0^{2a} \sqrt{6a} \sqrt{x} \, dx = 2 \sqrt{6a} \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^{2a} = 2 \sqrt{6a} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2a \sqrt{2a} = \frac{8a^2 \sqrt{12}}{3} = \frac{16a^2 \sqrt{3}}{3}$.
$2 \int_{2a}^{4a} \sqrt{(4a)^2-x^2} \, dx = 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{16a^2-x^2} + \frac{16a^2}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{4a} \right) \right]_{2a}^{4a}$
$= 2 \left[ (0 + 8a^2 \cdot \frac{\pi}{2}) - (a \sqrt{12a^2} + 8a^2 \cdot \frac{\pi}{6}) \right] = 2 \left[ 4\pi a^2 - 2a^2 \sqrt{3} - \frac{4\pi a^2}{3} \right] = 2 \left[ \frac{8\pi a^2}{3} - 2a^2 \sqrt{3} \right] = \frac{16\pi a^2}{3} - 4a^2 \sqrt{3}$.
કુલ નાનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \frac{16a^2 \sqrt{3}}{3} + \frac{16\pi a^2}{3} - 4a^2 \sqrt{3} = \frac{16\pi a^2}{3} + \frac{4a^2 \sqrt{3}}{3} = \frac{4a^2}{3}(4\pi + \sqrt{3})$.
મોટું ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળના કુલ ક્ષેત્રફળમાંથી નાનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે:
$A_2 = \pi(4a)^2 - A_1 = 16\pi a^2 - \left( \frac{16\pi a^2}{3} + \frac{4a^2 \sqrt{3}}{3} \right) = \frac{32\pi a^2}{3} - \frac{4a^2 \sqrt{3}}{3} = \frac{4a^2}{3}(8\pi - \sqrt{3})$ ચોરસ એકમ.

(A) આ પ્રદેશ $x = \pm 2$ અને $y = \pm 2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ચોરસ દ્વારા ઘેરાયેલ છે,જેનું કુલ ક્ષેત્રફળ $4 \times 4 = 16$ છે. શરત $xy \leq \frac{1}{2}$ એ $xy > \frac{1}{2}$ વાળા પ્રદેશને બાકાત રાખે છે.
આ પ્રદેશ $xy > \frac{1}{2}$ બે ભાગોનો બનેલો છે: એક પ્રથમ ચરણમાં જ્યાં $y > \frac{1}{2x}$ અને બીજો ત્રીજા ચરણમાં જ્યાં $y < \frac{1}{2x}$.
સમાનતાને કારણે,આ બંને ભાગોનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે. ચાલો પ્રથમ ચરણમાં $x=2, y=2, x=1/4$ (કારણ કે $2x=1/2 \implies x=1/4$ જ્યારે $y=2$) અને વક્ર $y=1/(2x)$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધીએ.
પ્રથમ ચરણમાં જ્યાં $xy > 1/2$ હોય ત્યાંનું ક્ષેત્રફળ $\int_{1/4}^{2} (2 - \frac{1}{2x}) dx = [2x - \frac{1}{2} \log x]_{1/4}^{2} = (4 - \frac{1}{2} \log 2) - (1/2 - \frac{1}{2} \log(1/4)) = 4 - 0.5 \log 2 - 0.5 + 0.5 \log(2^{-2}) = 3.5 - 0.5 \log 2 - \log 2 = 3.5 - 1.5 \log 2$ છે.
બાકાત રાખવાનું કુલ ક્ષેત્રફળ = $2 \times (3.5 - 1.5 \log 2) = 7 - 3 \log 2$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ = ચોરસનું કુલ ક્ષેત્રફળ - બાકાત રાખેલ ક્ષેત્રફળ = $16 - (7 - 3 \log 2) = 9 + 3 \log 2$.

(C) $y=\sin x$ અને $y=\cos x$ દ્વારા $x=\frac{\pi}{4}$ થી $x=\pi$ સુધી ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે. અંતરાલ $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ માં,$\sin x \ge \cos x$ છે,અને $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ માં પણ $\sin x \ge \cos x$ છે (કારણ કે $\cos x$ ઋણ છે). આમ,કુલ ક્ષેત્રફળ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} (\sin x - \cos x) dx$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,રેખા $x=a$ આ ક્ષેત્રફળને દુભાગે છે,તેથી:
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{a} (\sin x - \cos x) dx = \int_{a}^{\pi} (\sin x - \cos x) dx$
સંકલનનું મૂલ્યાંકન કરતા:
$[-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{a} = [-\cos x - \sin x]_{a}^{\pi}$
$(-\cos a - \sin a) - (-\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4}) = (-\cos \pi - \sin \pi) - (-\cos a - \sin a)$
$-\cos a - \sin a + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = -(-1) - 0 + \cos a + \sin a$
$-\cos a - \sin a + \frac{2}{\sqrt{2}} = 1 + \cos a + \sin a$
$\sqrt{2} - 1 = 2(\sin a + \cos a)$
$\sin a + \cos a = \frac{\sqrt{2}-1}{2}$
બંને બાજુને $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin a + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos a = \frac{\sqrt{2}-1}{2 \sqrt{2}}$
$\sin a \cos \frac{\pi}{4} + \cos a \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}-1}{2 \sqrt{2}}$
$\sin \left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}-1}{2 \sqrt{2}}$

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2=2x$ $\dots(i)$ અને રેખાનું સમીકરણ $y=4x-1$ $\dots(ii)$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$(ii)$ માંથી $x = \frac{y+1}{4}$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$y^2 = 2\left(\frac{y+1}{4}\right) \implies y^2 = \frac{y+1}{2} \implies 2y^2 - y - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(2y+1)(y-1) = 0$,તેથી $y = -\frac{1}{2}$ અને $y = 1$.
અનુરૂપ $x$ કિંમતો $x = \frac{(-1/2)+1}{4} = \frac{1}{8}$ અને $x = \frac{1+1}{4} = \frac{1}{2}$ છે.
છેદબિંદુઓ $(\frac{1}{8}, -\frac{1}{2})$ અને $(\frac{1}{2}, 1)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન દ્વારા મળે છે:
$Area = \int_{-1/2}^{1} (x_{line} - x_{parabola}) dy = \int_{-1/2}^{1} (\frac{y+1}{4} - \frac{y^2}{2}) dy$.
$= \frac{1}{4} \int_{-1/2}^{1} (y+1) dy - \frac{1}{2} \int_{-1/2}^{1} y^2 dy$.
$= \frac{1}{4} [\frac{y^2}{2} + y]_{-1/2}^{1} - \frac{1}{2} [\frac{y^3}{3}]_{-1/2}^{1}$.
$= \frac{1}{4} [(\frac{1}{2} + 1) - (\frac{1}{8} - \frac{1}{2})] - \frac{1}{6} [1 - (-\frac{1}{8})]$.
$= \frac{1}{4} [\frac{3}{2} + \frac{3}{8}] - \frac{1}{6} [\frac{9}{8}] = \frac{1}{4} [\frac{15}{8}] - \frac{3}{16} = \frac{15}{32} - \frac{6}{32} = \frac{9}{32}$ ચોરસ એકમ.