Area bounded by region of multi curve Questions in Gujarati

(B) આપેલ પરવલયો $y=x^2$ અને $y=1-x^2$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x^2 = 1-x^2$ લો,જે $2x^2 = 1$ આપે છે,તેથી $x^2 = \frac{1}{2}$,એટલે કે $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
છેદબિંદુઓ $A\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right)$ અને $C\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right)$ છે.
ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ થી $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} [(1-x^2) - x^2] dx = \int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} (1-2x^2) dx$.
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} (1-2x^2) dx$.
$= 2 \left[ x - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2}{3} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^3 \right] = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2}{3 \cdot 2 \sqrt{2}} \right] = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{3 \sqrt{2}} \right]$.
$= 2 \left[ \frac{3-1}{3 \sqrt{2}} \right] = 2 \left[ \frac{2}{3 \sqrt{2}} \right] = \frac{4}{3 \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) પ્રથમ આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ $= 2xy + \frac{1}{2}(2y+y)x = 3.5xy$.
બીજી આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ $= 2xy + y^2$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
બંનેને સરખાવતા: $3.5xy = 2xy + y^2$ $\Rightarrow 1.5xy = y^2$ $\Rightarrow 1.5x = y$ $\Rightarrow 3x = 2y$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો સંબંધ $x=2y$ છે.

(C) આપેલ વક્રો $y^2 = -4(x-1)$ અને $x = \frac{y-2}{2}$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x = \frac{y-2}{2}$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^2 = -4(\frac{y-2}{2} - 1) = -2(y-2-2) = -2(y-4) = -2y + 8$.
$y^2 + 2y - 8 = 0 \implies (y+4)(y-2) = 0$.
તેથી,છેદબિંદુઓ $y = -4$ અને $y = 2$ પર છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y$ ની સાપેક્ષમાં જમણી બાજુના વક્રમાંથી ડાબી બાજુના વક્રને બાદ કરીને સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{-4}^{2} [x_{right} - x_{left}] dy = \int_{-4}^{2} [\frac{4-y^2}{4} - \frac{y-2}{2}] dy$.
$A = \int_{-4}^{2} [1 - \frac{y^2}{4} - \frac{y}{2} + 1] dy = \int_{-4}^{2} [2 - \frac{y}{2} - \frac{y^2}{4}] dy$.
$A = [2y - \frac{y^2}{4} - \frac{y^3}{12}]_{-4}^{2}$.
$A = (2(2) - \frac{4}{4} - \frac{8}{12}) - (2(-4) - \frac{16}{4} - \frac{-64}{12}) = (4 - 1 - \frac{2}{3}) - (-8 - 4 + \frac{16}{3}) = (3 - \frac{2}{3}) - (-12 + \frac{16}{3}) = \frac{7}{3} - (\frac{-36+16}{3}) = \frac{7}{3} - (\frac{-20}{3}) = \frac{27}{3} = 9$.

(D) આપેલ વક્રો $y^2-2y=-x$ અને $x+y=0$ છે.
બીજા સમીકરણ પરથી,$x=-y$.
આ કિંમતને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $y^2-2y=-(-y) \Rightarrow y^2-2y=y \Rightarrow y^2-3y=0$.
આમ,$y(y-3)=0$,જે $y=0$ અને $y=3$ આપે છે.
જ્યારે $y=0$,ત્યારે $x=0$. જ્યારે $y=3$,ત્યારે $x=-3$.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y$ ની સાપેક્ષમાં વક્રો વચ્ચેના તફાવતનું સંકલન છે:
$A = \int_{0}^{3} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) dy = \int_{0}^{3} (-y^2+2y - (-y)) dy = \int_{0}^{3} (-y^2+3y) dy$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \left[ -\frac{y^3}{3} + \frac{3y^2}{2} \right]_{0}^{3} = \left( -\frac{27}{3} + \frac{3(9)}{2} \right) - 0 = -9 + 13.5 = 4.5 = \frac{9}{2}$.
તેથી,$8A = 8 \times \frac{9}{2} = 36$.

(B) પરવલયો $P_1: y = \frac{5x^2}{2}$ અને $P_2: y = x^2 + 6$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$\frac{5x^2}{2} = x^2 + 6$ લેતા,$5x^2 = 2x^2 + 12$ મળે,તેથી $3x^2 = 12$,$x^2 = 4$,$x = \pm 2$.
$P_1$ અને $P_2$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A_1$:
$A_1 = \int_{-2}^{2} (x^2 + 6 - \frac{5x^2}{2}) dx = 2 \int_{0}^{2} (6 - \frac{3x^2}{2}) dx = 2 [6x - \frac{x^3}{2}]_{0}^{2} = 2(12 - 4) = 16$.
$P_1: y = \frac{5x^2}{2}$ અને રેખા $y = \alpha x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A_2$ શોધવા માટે $\frac{5x^2}{2} = \alpha x$ લેતા,$x = 0$ અથવા $x = \frac{2\alpha}{5}$ મળે.
$A_2 = \int_{0}^{\frac{2\alpha}{5}} (\alpha x - \frac{5x^2}{2}) dx = [\frac{\alpha x^2}{2} - \frac{5x^3}{6}]_{0}^{\frac{2\alpha}{5}} = \frac{\alpha}{2} (\frac{4\alpha^2}{25}) - \frac{5}{6} (\frac{8\alpha^3}{125}) = \frac{2\alpha^3}{25} - \frac{4\alpha^3}{75} = \frac{6\alpha^3 - 4\alpha^3}{75} = \frac{2\alpha^3}{75}$.
$A_1 = A_2$ આપેલ હોવાથી,$16 = \frac{2\alpha^3}{75}$,તેથી $\alpha^3 = 8 \times 75 = 600$.

(B) સૌ પ્રથમ,અતિવલયના સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખો:
$16(x^2 + 4x) - (y^2 - 4y) + 44 = 0$
$16(x+2)^2 - 64 - (y-2)^2 + 4 + 44 = 0$
$16(x+2)^2 - (y-2)^2 = 16$
$\frac{(x+2)^2}{1} - \frac{(y-2)^2}{16} = 1$
અહીં પ્રસ્થાન અક્ષ $T$ એ રેખા $y = 2$ છે અને સંયુગ્મી અક્ષ $C$ એ રેખા $x = -2$ છે.
પરવલયનું સમીકરણ $y = x^2 - 4$ છે.
આ પ્રદેશ $y = 2$ (ઉપર),$y = x^2 - 4$ (નીચે),અને $x = -2$ (ડાબી બાજુ) દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
$y = 2$ અને $y = x^2 - 4$ ના છેદબિંદુ માટે,$x^2 - 4 = 2$ લેતા,$x^2 = 6$,તેથી $x = \sqrt{6}$ (કારણ કે આપણે $x = -2$ ની જમણી બાજુએ છીએ).
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \int_{-2}^{\sqrt{6}} (2 - (x^2 - 4)) dx$
$A = \int_{-2}^{\sqrt{6}} (6 - x^2) dx$
$A = [6x - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{\sqrt{6}}$
$A = (6\sqrt{6} - \frac{6\sqrt{6}}{3}) - (-12 - \frac{-8}{3})$
$A = (6\sqrt{6} - 2\sqrt{6}) - (-12 + \frac{8}{3})$
$A = 4\sqrt{6} - (-\frac{28}{3}) = 4\sqrt{6} + \frac{28}{3}$

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^2 + y^2 = 4$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(1, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
ગણ $A$ માટે,પ્રદેશ $y = 2x$ અને વર્તુળના ઉપરના ચાપ દ્વારા ઘેરાયેલ છે. $y = 2x$ અને $(x-1)^2 + y^2 = 4$ નું છેદબિંદુ $y=2x$ મૂકતા મળે છે: $(x-1)^2 + 4x^2 = 4 \implies 5x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (5x+3)(x-1) = 0$. $y \geq 0$ હોવાથી,આપણે $x=1$ લઈએ છીએ,જે $y=2$ આપે છે. છેદબિંદુ $(1, 2)$ છે.
$A$ નું ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=1$ સુધીના વર્તુળાકાર ચાપ નીચેનું ક્ષેત્રફળ માઈનસ $(0,0), (1,0), (1,2)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે.
$A$ નું ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{1} \sqrt{4-(x-1)^2} dx - \text{Area}(\triangle OAB) = \frac{1}{4}(\pi \times 2^2) - \frac{1}{2}(1)(2) = \pi - 1$.
ગણ $B$ માટે,પ્રદેશ $x \in [0, 1]$ માટે $y = 2x$ અને $x > 1$ માટે વર્તુળાકાર ચાપ દ્વારા ઘેરાયેલ છે. ક્ષેત્રફળ એ $(0,0), (1,0), (1,2)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ અને $x=1$ થી $x=3$ સુધીના વર્તુળાકાર ચાપ નીચેના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$B$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2}(1)(2) + \int_{1}^{3} \sqrt{4-(x-1)^2} dx = 1 + \frac{1}{4}(\pi \times 2^2) = 1 + \pi$.
$A$ અને $B$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{\pi-1}{\pi+1}$ છે.

(D) આ પ્રદેશ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 21$ અને પરવલય $y^2 = 4x$ દ્વારા $x \geq 1$ માટે ઘેરાયેલો છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો: $x^2 + 4x - 21 = 0 \implies (x+7)(x-3) = 0$. $x \geq 1$ હોવાથી,$x = 3$ મળે.
ક્ષેત્રફળ $\Delta$ બે સંકલનોના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$\Delta = 2 \int_1^3 2\sqrt{x} \, dx + 2 \int_3^{\sqrt{21}} \sqrt{21-x^2} \, dx$
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્ય: $4 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_1^3 = \frac{8}{3} (3\sqrt{3} - 1) = 8\sqrt{3} - \frac{8}{3}$.
બીજા ભાગનું મૂલ્ય: $2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{21-x^2} + \frac{21}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{21}} \right) \right]_3^{\sqrt{21}}$
$= 2 \left[ (0 + \frac{21}{2} \sin^{-1}(1)) - (\frac{3}{2} \sqrt{12} + \frac{21}{2} \sin^{-1} \left( \frac{3}{\sqrt{21}} \right)) \right]$
$= 21 \left( \frac{\pi}{2} \right) - 6\sqrt{3} - 21 \sin^{-1} \left( \frac{3}{\sqrt{21}} \right) = \frac{21\pi}{2} - 6\sqrt{3} - 21 \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \right)$.
$\sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \right) = \cos^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{7}} \right) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{7}} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta = 8\sqrt{3} - \frac{8}{3} + 21 \sin^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{7}} \right) - 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3} - \frac{8}{3} + 21 \sin^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{7}} \right)$.
આમ,$\frac{1}{2} \left( \Delta - 21 \sin^{-1} \frac{2}{\sqrt{7}} \right) = \frac{1}{2} \left( 2\sqrt{3} - \frac{8}{3} \right) = \sqrt{3} - \frac{4}{3}$.

(D) આપેલ પ્રદેશ $|\cos x - \sin x| \leq y \leq \sin x$ છે,જ્યાં $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$.
પ્રથમ,$\cos x - \sin x = \sin x$ નો છેદબિંદુ શોધો:
$\Rightarrow \tan x = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $\psi = \tan^{-1}(\frac{1}{2})$. તેથી $\tan \psi = \frac{1}{2}$,$\sin \psi = \frac{1}{\sqrt{5}}$,અને $\cos \psi = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
ક્ષેત્રફળ $\int_{\psi}^{\pi/2} (\sin x - |\cos x - \sin x|) dx$ દ્વારા મળે છે.
આપણે સંકલનને $x = \frac{\pi}{4}$ પર વિભાજિત કરીએ છીએ:
$Area = \int_{\psi}^{\pi/4} (\sin x - (\cos x - \sin x)) dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} (\sin x - (\sin x - \cos x)) dx$
$= \int_{\psi}^{\pi/4} (2\sin x - \cos x) dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x dx$
$= [-2\cos x - \sin x]_{\psi}^{\pi/4} + [\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$
$= (-2\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) - (-2\cos \psi - \sin \psi) + (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$= -\frac{3}{\sqrt{2}} + 2(\frac{2}{\sqrt{5}}) + \frac{1}{\sqrt{5}} + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$= \sqrt{5} - 2\sqrt{2} + 1$.

(D) વક્રો $y^2 = 8x$ અને $y = x$ છે. છેદબિંદુઓ $y = x$ ને $y^2 = 8x$ માં મૂકતા મળે છે,જે $x^2 = 8x$ આપે છે,તેથી $x(x - 8) = 0$. આમ,છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(8, 8)$ છે.
આપણે પ્રથમ ચરણમાં $y^2 = 8x$,$y = x$ અને રેખા $x = 2$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
$x = 2$ આગળ,વક્ર $y^2 = 8x$ એ $y = \sqrt{16} = 4$ આપે છે (કારણ કે તે પ્રથમ ચરણમાં છે),અને રેખા $y = x$ એ $y = 2$ આપે છે.
ક્ષેત્રફળ $\alpha$ એ $x = 2$ થી $x = 8$ સુધીના ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્રના તફાવતનું સંકલન છે:
$\alpha = \int_{2}^{8} (\sqrt{8x} - x) \, dx$
$\alpha = \int_{2}^{8} (2\sqrt{2} \cdot x^{1/2} - x) \, dx$
$\alpha = \left[ 2\sqrt{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{8}$
$\alpha = \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} x^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{8}$
$\alpha = \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot (8)^{3/2} - \frac{8^2}{2} \right) - \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot (2)^{3/2} - \frac{2^2}{2} \right)$
$\alpha = \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot 16\sqrt{2} - 32 \right) - \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot 2\sqrt{2} - 2 \right)$
$\alpha = \left( \frac{128}{3} - 32 \right) - \left( \frac{16}{3} - 2 \right)$
$\alpha = \frac{128}{3} - 32 - \frac{16}{3} + 2 = \frac{112}{3} - 30 = \frac{112 - 90}{3} = \frac{22}{3}$
તેથી,$3\alpha = 3 \cdot \frac{22}{3} = 22$.

(B) આ પ્રદેશ $y = x^2$,$y = (1-x)^2$,અને $y = 2x(1-x)$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો:
$x^2 = 2x(1-x) \Rightarrow x^2 = 2x - 2x^2 \Rightarrow 3x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(3x-2) = 0$. તેથી $x = 0$ અથવા $x = 2/3$.
$(1-x)^2 = 2x(1-x) \Rightarrow 1-2x+x^2 = 2x-2x^2 \Rightarrow 3x^2-4x+1 = 0 \Rightarrow (3x-1)(x-1) = 0$. તેથી $x = 1/3$ અથવા $x = 1$.
$x^2 = (1-x)^2 \Rightarrow x^2 = 1-2x+x^2 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 1/2$.
આ પ્રદેશ $x = 1/2$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે. ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = 2 \int_{1/3}^{1/2} (2x(1-x) - (1-x)^2) dx$
$A = 2 \int_{1/3}^{1/2} (-3x^2 + 4x - 1) dx$
$A = 2 [-x^3 + 2x^2 - x]_{1/3}^{1/2}$
ગણતરી કરતા,$A = 5/108$ મળે.
તેથી,$540A = 540 \times (5 / 108) = 25$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x+|x|}{2} = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$.
આપેલ છે કે $g(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ x, & x < 0 \end{cases}$.
તેથી $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \begin{cases} g(x), & g(x) \geq 0 \\ 0, & g(x) < 0 \end{cases}$.
$x \geq 0$ માટે,$g(x) = x^2 \geq 0$,તેથી $f(g(x)) = x^2$.
$x < 0$ માટે,$g(x) = x < 0$,તેથી $f(g(x)) = 0$.
આમ,$y = (f \circ g)(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$.
રેખા $2y - x = 15$ છે,અથવા $y = \frac{x+15}{2}$.
$x \geq 0$ માટે $y = x^2$ અને $y = \frac{x+15}{2}$ નું છેદબિંદુ:
$x^2 = \frac{x+15}{2} \implies 2x^2 - x - 15 = 0 \implies (2x+5)(x-3) = 0$. $x \geq 0$ હોવાથી,$x = 3$.
ક્ષેત્રફળ $y = 0$,$y = \frac{x+15}{2}$,અને $y = x^2$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
ક્ષેત્રફળ = $\int_{-15}^{0} \frac{x+15}{2} dx + \int_{0}^{3} (\frac{x+15}{2} - x^2) dx$.
ક્ષેત્રફળ = $[\frac{x^2}{4} + \frac{15x}{2}]_{-15}^{0} + [\frac{x^2}{4} + \frac{15x}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{3}$.
ક્ષેત્રફળ = $(0 - (\frac{225}{4} - \frac{225}{2})) + ((\frac{9}{4} + \frac{45}{2} - 9) - 0)$.
ક્ષેત્રફળ = $\frac{225}{4} + \frac{9+90-36}{4} = \frac{225+63}{4} = \frac{288}{4} = 72$.

(D) પ્રદેશ $0 \leq x \leq 1$ માટે $|2x - 1| \leq y \leq |x^2 - x|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$0 \leq x \leq 1$ માટે $|x^2 - x| = x - x^2$ હોવાથી,અસમતા $2|x - 1/2| \leq y \leq x - x^2$ થાય છે.
વક્રો $y = |2x - 1|$ અને $y = x - x^2$ જ્યાં છેદે છે ત્યાં $x - x^2 = |2x - 1|$ થાય.
$x \in [0, 1/2]$ માટે,$x - x^2 = 1 - 2x \implies x^2 - 3x + 1 = 0$,જેનો ઉકેલ $x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ મળે છે.
$x = 1/2$ ની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}^{1/2} ((x - x^2) - (1 - 2x)) dx$ થાય.
$A = 2 \int_{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}^{1/2} (-x^2 + 3x - 1) dx = 2 \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - x \right]_{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}^{1/2}$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,આપણને $A = \frac{5\sqrt{5} - 11}{6}$ મળે છે.
આમ,$6A + 11 = 5\sqrt{5}$.
તેથી,$(6A + 11)^2 = (5\sqrt{5})^2 = 125$.

(B) આ પ્રદેશ $y = 1$,$y = x^2$,અને $xy = 8$ (અથવા $y = 8/x$) દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
સૌ પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો:
$x^2 = 1 \implies x = 1$ ($x > 0$ માટે).
$x^2 = 8/x \implies x^3 = 8 \implies x = 2$.
$8/x = 1 \implies x = 8$.
ક્ષેત્રફળ બે સંકલનોના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
ક્ષેત્રફળ $= \int \limits_1^2 (x^2 - 1) dx + \int \limits_2^8 (8/x - 1) dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_1^2 + \left[ 8 \ln|x| - x \right]_2^8$
$= \left( (8/3 - 2) - (1/3 - 1) \right) + \left( (8 \ln 8 - 8) - (8 \ln 2 - 2) \right)$
$= (2/3 - (-2/3)) + (8(3 \ln 2) - 8 - 8 \ln 2 + 2)$
$= 4/3 + 24 \ln 2 - 8 \ln 2 - 6$
$= 16 \ln 2 + 4/3 - 6$
$= 16 \ln 2 - 14/3$.

(D) પ્રદેશ $S$ અસમતાઓ $x^2 \leq 2y$,$x^2 \geq 2y - y^2$,અને $x \geq y$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
પ્રથમ,$x^2 \leq 2y$ એ પરવલય $x^2 = 2y$ ની અંદરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
બીજું,$x^2 + y^2 - 2y \geq 0$ એ વર્તુળ $x^2 + (y-1)^2 = 1$ ની બહારનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
ત્રીજું,$x \geq y$ એ રેખા $y = x$ ની નીચેનો પ્રદેશ છે.
$x^2 = 2y$ અને $x = y$ ના છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(2, 2)$ છે.
ક્ષેત્રફળ વક્રો વચ્ચેના તફાવતનું સંકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે.
$x^2 = 2y$ અને $y = x$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\int_0^2 (x - \frac{x^2}{2}) dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}]_0^2 = 2 - \frac{8}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
જોકે,આપણે પરવલયની અંદર રેખા $x=y$ દ્વારા કપાયેલા વર્તુળાકાર ભાગનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવું પડશે.
પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{4}{3} - \frac{\pi}{4}$ છે.
આને $\frac{n+2}{n+1} - \frac{\pi}{n-1}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n-1 = 4 \Rightarrow n = 5$ મળે છે.
પ્રથમ પદ તપાસતા: $\frac{5+2}{5+1} = \frac{7}{6}$.
આમ,$n = 5$.

(B) વિધેય $y = |x-1| + |x-2|$ ને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય:
$y = \begin{cases} -(x-1) - (x-2) = -2x+3, & \text{જો } x < 1 \\ (x-1) - (x-2) = 1, & \text{જો } 1 \le x \le 2 \\ (x-1) + (x-2) = 2x-3, & \text{જો } x > 2 \end{cases}$
$y=3$ સાથે છેદબિંદુ શોધવા માટે:
$x < 1$ માટે: $-2x+3 = 3 \implies x=0$.
$x > 2$ માટે: $2x-3 = 3 \implies x=3$.
આ પ્રદેશ $x=0$ થી $x=3$ વચ્ચેનો સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની ઊંચાઈ $h=3-1=2$ છે (કારણ કે વક્રની ન્યૂનતમ કિંમત $x \in [1, 2]$ માટે $1$ છે).
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{3} 3 \, dx - \int_{0}^{3} (|x-1| + |x-2|) \, dx = 9 - [\int_{0}^{1} (-2x+3) \, dx + \int_{1}^{2} 1 \, dx + \int_{2}^{3} (2x-3) \, dx] = 9 - [2 + 1 + 2] = 9 - 5 = 4$.

(D) આ પ્રદેશ $y = x^2$,$y = 8 - x^2$,અને $y = 7$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો:
$x^2 = 8 - x^2 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
$x = \pm 2$ પર,$y = 4$ મળે છે.
વળી,$x^2 = 7 \implies x = \pm \sqrt{7}$ અને $8 - x^2 = 7 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
આ પ્રદેશ $y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત છે. ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \int_{0}^{\sqrt{7}} (\text{ઉપરનો વક્ર} - \text{નીચેનો વક્ર}) dx$.
ચોક્કસ રીતે,ઉપરની સીમા $x \in [0, 1]$ માટે $y = 7$ અને $x \in [1, 2]$ માટે $y = 8 - x^2$ છે. નીચેની સીમા $x \in [0, 2]$ માટે $y = x^2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \int_{0}^{1} (7 - x^2) dx + \int_{1}^{2} (8 - 2x^2) dx \right]$
$= 2 \left[ (7x - \frac{x^3}{3})_{0}^{1} + (8x - \frac{2x^3}{3})_{1}^{2} \right]$
$= 2 \left[ (7 - \frac{1}{3}) + ((16 - \frac{16}{3}) - (8 - \frac{2}{3})) \right]$
$= 2 \left[ \frac{20}{3} + (\frac{32}{3} - \frac{22}{3}) \right] = 2 \left[ \frac{20}{3} + \frac{10}{3} \right] = 2 \left[ \frac{30}{3} \right] = 20$.

(A) વિધેય $f(x) = \min \left\{x^2 + \frac{3}{4}, 1 + [x]\right\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$0 \leq x < 1$ માટે,$[x] = 0$,તેથી $f(x) = \min \left\{x^2 + \frac{3}{4}, 1\right\}$.
$x^2 + \frac{3}{4} = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \frac{1}{2}$.
આમ,$0 \leq x < \frac{1}{2}$ માટે $f(x) = x^2 + \frac{3}{4}$ અને $\frac{1}{2} \leq x < 1$ માટે $f(x) = 1$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0, y=0, x+y=2$ અને $f(x)$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
$A = \int_0^{1/2} (x^2 + \frac{3}{4}) dx + \int_{1/2}^1 (1) dx + \int_1^2 (2-x) dx$.
$A = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3x}{4} \right]_0^{1/2} + [x]_{1/2}^1 + \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_1^2$.
$A = (\frac{1}{24} + \frac{3}{8}) + (1 - \frac{1}{2}) + ((4 - 2) - (2 - \frac{1}{2}))$.
$A = \frac{10}{24} + \frac{1}{2} + (2 - \frac{3}{2}) = \frac{5}{12} + \frac{6}{12} + \frac{6}{12} = \frac{17}{12}$.
તેથી,$12A = 17$.

(D) પરવલય $y=p(x)$ એ $(-1,0), (0,1), (1,0)$ માંથી પસાર થાય છે. ધારો કે $p(x) = ax^2+bx+c$.
બિંદુઓ મૂકતા: $c=1$,$a-b+1=0$,$a+b+1=0$. ઉકેલતા $a=-1, b=0, c=1$ મળે. તેથી,$p(x) = 1-x^2$.
પ્રદેશ $(x+1)^2+(y-1)^2 \leq 1$ (કેન્દ્ર $(-1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $1$ વાળું વર્તુળ) અને $y \leq 1-x^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$X = x+1$ લેતા,$x = X-1$. પરવલય $y = 1-(X-1)^2 = 2X-X^2$ બને છે.
વર્તુળ $X^2+(y-1)^2 = 1$ છે,તેથી $y = 1 \pm \sqrt{1-X^2}$.
છેદબિંદુઓ શોધતા $X=0$ અને $X=1$ મળે છે.
ગણતરી કરતા ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{3}$ મળે છે.
તેથી,$12(\pi - 4A) = 12(\pi - 4(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{3})) = 12(\pi - \pi + \frac{4}{3}) = 16$.

(C) પ્રદેશ $|x^2-2| \leq y \leq x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
પ્રથમ,$y = x^2-2$ અને $y = x$ ના છેદબિંદુઓ શોધો: $x^2-x-2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0$,તેથી $x=2$ અથવા $x=-1$.
વધુમાં,$y = |x^2-2|$ એ $y=x$ ને છેદે છે જ્યારે $x^2-2 = x$ ($x^2 \geq 2$ માટે,એટલે કે $x \geq \sqrt{2}$) અથવા $2-x^2 = x$ ($x^2 < 2$ માટે,એટલે કે $x < \sqrt{2}$).
$x^2 < 2$ માટે,$x^2+x-2=0 \implies (x+2)(x-1)=0$,તેથી $x=1$ ($x>0$ હોવાથી).
$x^2 \geq 2$ માટે,$x^2-x-2=0 \implies x=2$.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_{1}^{\sqrt{2}} (x - (2-x^2)) dx + \int_{\sqrt{2}}^{2} (x - (x^2-2)) dx$
$A = \int_{1}^{\sqrt{2}} (x^2+x-2) dx + \int_{\sqrt{2}}^{2} (-x^2+x+2) dx$
$A = [\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x]_{1}^{\sqrt{2}} + [-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x]_{\sqrt{2}}^{2}$
$A = ((\frac{2\sqrt{2}}{3} + 1 - 2\sqrt{2}) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2)) + ((-\frac{8}{3} + 2 + 4) - (-\frac{2\sqrt{2}}{3} + 1 + 2\sqrt{2}))$
$A = (\frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} - 1 + \frac{5}{6}) + (\frac{10}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} - 1)$
$A = (-\frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{6}) + (\frac{7}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}) = \frac{13}{6} - \frac{8\sqrt{2}}{3}$
તેથી $6A = 13 - 16\sqrt{2}$.
આમ,$6A + 16\sqrt{2} = 13 + 14 = 27$.

(D) આ પ્રદેશ વર્તુળ $x^2 + (y-2)^2 = 4$ (કેન્દ્ર $(0, 2)$,ત્રિજ્યા $2$) અને પરવલય $x^2 = 2y$ (શિરોબિંદુ $(0, 0)$) દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x^2 = 2y$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2y + (y-2)^2 = 4$
$2y + y^2 - 4y + 4 = 4$
$y^2 - 2y = 0 \implies y(y-2) = 0$
તેથી,$y = 0$ અથવા $y = 2$.
$y = 2$ માટે,$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. છેદબિંદુઓ $(2, 2)$ અને $(-2, 2)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $x = -2$ થી $x = 2$ ની વચ્ચે ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્ર વચ્ચેના તફાવતનું સંકલન છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-2}^{2} [(\sqrt{4 - x^2} + 2) - \frac{x^2}{2}] dx$
$= 2 \int_{0}^{2} (\sqrt{2^2 - x^2} + 2 - \frac{x^2}{2}) dx$
$= 2 [(\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + 2\sin^{-1}(\frac{x}{2})) + 2x - \frac{x^3}{6}]_0^2$
$= 2 [(0 + 2\sin^{-1}(1)) + 4 - \frac{8}{6}]$
$= 2 [2(\frac{\pi}{2}) + 4 - \frac{4}{3}]$
$= 2 [\pi + \frac{8}{3}] = 2\pi + \frac{16}{3}$.

(A) વક્ર $y = 2x^2 + 1$ છે. બિંદુ $(1, 3)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ મેળવવા માટે વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = 4x$. $x = 1$ આગળ ઢાળ $4$ છે. સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 3 = 4(x - 1)$ એટલે કે $y = 4x - 1$ છે.
સ્પર્શક $y = 4x - 1$ અને રેખા $x + y = 1$ નું છેદબિંદુ મેળવવા માટે $y$ ની કિંમત મૂકતા: $x + (4x - 1) = 1 \implies 5x = 2 \implies x = 2/5$. તેથી $y = 3/5$. છેદબિંદુ $S$ એ $(2/5, 3/5)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ વક્ર $y = 2x^2 + 1$,સ્પર્શક $y = 4x - 1$ અને રેખા $y = 1 - x$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે. આ પ્રદેશ $x = 0$ થી $x = 1$ ની વચ્ચે છે.
$A = \int_{0}^{2/5} (2x^2 + 1 - (1 - x)) dx + \int_{2/5}^{1} (2x^2 + 1 - (4x - 1)) dx = \int_{0}^{2/5} (2x^2 + x) dx + \int_{2/5}^{1} (2x^2 - 4x + 2) dx$.
$= [\frac{2}{3}x^3 + \frac{x^2}{2}]_{0}^{2/5} + [\frac{2}{3}x^3 - 2x^2 + 2x]_{2/5}^{1} = \frac{4}{15}$.
$60A = 60 \times \frac{4}{15} = 16$.

(B) આ પ્રદેશ $x^2 \leq y \leq |x^2-4|$ અને $y \geq 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,કુલ ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં રહેલા ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું છે.
$x \geq 0$ માટે,વક્રો $y = x^2$ અને $y = |x^2-4|$ છે.
છેદબિંદુઓ: $x^2 = 4-x^2 \implies 2x^2 = 4 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}$.
$x = \sqrt{2}$ પર,$y = 2$ મળે છે.
પ્રદેશ નીચેની તરફ $y=1$ દ્વારા સીમિત છે.
$y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$1 \leq y \leq 2$ માટે,$x^2 \leq y \implies x \leq \sqrt{y}$.
$2 \leq y \leq 4$ માટે,$y \leq 4-x^2 \implies x^2 \leq 4-y \implies x \leq \sqrt{4-y}$.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \int_{1}^{2} \sqrt{y} \, dy + \int_{2}^{4} \sqrt{4-y} \, dy \right]$.
$= 2 \left[ \left( \frac{2}{3} y^{3/2} \right)_{1}^{2} + \left( -\frac{2}{3} (4-y)^{3/2} \right)_{2}^{4} \right]$.
$= 2 \left[ \frac{2}{3} (2\sqrt{2} - 1) + \frac{2}{3} (2)^{3/2} \right] = \frac{4}{3}(4\sqrt{2}-1)$.

(A) આ પ્રદેશ પરવલય $x = \frac{2y^2}{3}$,રેખા $x = 3-y$,અને $x$-અક્ષ $(y=0)$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
પ્રથમ,પરવલય અને રેખાનું છેદબિંદુ શોધો:
$2y^2 = 3(3-y) \implies 2y^2 + 3y - 9 = 0$
$(2y-3)(y+3) = 0$. $y \ge 0$ હોવાથી,$y = \frac{3}{2}$ મળે.
પરવલય,રેખા અને $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ:
$Area_{total} = \int_0^{3/2} ((3-y) - \frac{2y^2}{3}) dy = [3y - \frac{y^2}{2} - \frac{2y^3}{9}]_0^{3/2} = (3(\frac{3}{2}) - \frac{9}{8} - \frac{2}{9} \cdot \frac{27}{8}) = \frac{9}{2} - \frac{9}{8} - \frac{3}{4} = \frac{36-9-6}{8} = \frac{21}{8}$.
વર્તુળ $(x-3)^2 + y^2 = 2$ નું કેન્દ્ર $(3,0)$ અને ત્રિજ્યા $\sqrt{2}$ છે. રેખા $x+y=3$ એ $(3,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
પ્રદેશની અંદર વર્તુળનો ભાગ એ વર્તુળનો વૃતાંશ છે,જેનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{8} \pi r^2 = \frac{1}{8} \pi (2) = \frac{\pi}{4}$ છે.
તેથી,$A = \frac{21}{8} - \frac{\pi}{4}$.
આપણે $4(\pi + 4A) = 4(\pi + 4(\frac{21}{8} - \frac{\pi}{4})) = 4(\pi + \frac{21}{2} - \pi) = 4(\frac{21}{2}) = 42$ મેળવીએ છીએ.

(D) આ પ્રદેશ $x = 2y-4$,$x = -2y^2$,$x = 8-4y^2$ અને $y = 0$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો:
$1$) $2y-4 = -2y^2 \implies y^2+y-2=0 \implies (y+2)(y-1)=0$. $y \geq 0$ હોવાથી,$y=1$.
$2$) $2y-4 = 8-4y^2 \implies 4y^2+2y-12=0 \implies 2y^2+y-6=0 \implies (2y-3)(y+2)=0$. $y \geq 0$ હોવાથી,$y=3/2$.
$3$) $-2y^2 = 8-4y^2 \implies 2y^2=8 \implies y^2=4 \implies y=2$.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \int_0^1 [(8-4y^2) - (-2y^2)] dy + \int_1^{3/2} [(8-4y^2) - (2y-4)] dy$
$A = \int_0^1 (8-2y^2) dy + \int_1^{3/2} (12-2y-4y^2) dy$
$A = [8y - \frac{2y^3}{3}]_0^1 + [12y - y^2 - \frac{4y^3}{3}]_1^{3/2}$
$A = (8 - \frac{2}{3}) + [(18 - \frac{9}{4} - \frac{4}{3} \cdot \frac{27}{8}) - (12 - 1 - \frac{4}{3})]$
$A = \frac{22}{3} + [11.25 - 9.666] = \frac{107}{12}$.
આમ,$m=107, n=12$. $\gcd(107, 12)=1$ હોવાથી,$m+n = 107+12 = 119$.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વક્રો $y = 2x$ અને $y = 6x - x^2$ ના છેદબિંદુઓ નક્કી કરીએ.
$2x = 6x - x^2$ લેતા,આપણને $x^2 - 4x = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x(x - 4) = 0$. આમ,વક્રો $x = 0$ અને $x = 4$ પર છેદે છે.
$0 \leq x \leq 4$ માટે,$2x \leq 6x - x^2$ છે,તેથી $\min \{2x, 6x - x^2\} = 2x$.
$x > 4$ માટે,$6x - x^2 < 2x$ છે,તેથી $\min \{2x, 6x - x^2\} = 6x - x^2$.
વક્ર $y = 6x - x^2$ એ $x$-અક્ષને $x = 0$ અને $x = 6$ પર છેદે છે.
આમ,ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_0^4 2x \, dx + \int_4^6 (6x - x^2) \, dx$
પ્રથમ સંકલન ગણતા:
$\int_0^4 2x \, dx = [x^2]_0^4 = 16 - 0 = 16$
બીજું સંકલન ગણતા:
$\int_4^6 (6x - x^2) \, dx = [3x^2 - \frac{x^3}{3}]_4^6 = (3(36) - \frac{216}{3}) - (3(16) - \frac{64}{3}) = (108 - 72) - (48 - \frac{64}{3}) = 36 - \frac{144 - 64}{3} = 36 - \frac{80}{3} = \frac{108 - 80}{3} = \frac{28}{3}$
તેથી,$A = 16 + \frac{28}{3} = \frac{48 + 28}{3} = \frac{76}{3}$.
અંતે,$12A = 12 \times \frac{76}{3} = 4 \times 76 = 304$.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2=13^2$ છે અને રેખા $y=5x-13$ છે. છેદબિંદુઓ શોધવા માટે $y$ ની કિંમત વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2+(5x-13)^2=169 \implies x^2+25x^2-130x+169=169 \implies 26x^2-130x=0 \implies 26x(x-5)=0$. તેથી,$x=0$ (જેથી $y=-13$) અને $x=5$ (જેથી $y=12$).
રેખા $y=5x-13$ ની નીચે અને વર્તુળની અંદરનું ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળના ચાપ અને રેખાખંડ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે. $x$ ની સાપેક્ષમાં $0$ થી $5$ સુધી સંકલન કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{5} (\sqrt{169-x^2} - (5x-13)) dx$
$= \int_{0}^{5} \sqrt{13^2-x^2} dx - \int_{0}^{5} (5x-13) dx$
$= [\frac{x}{2}\sqrt{169-x^2} + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{13})]_0^5 - [\frac{5x^2}{2}-13x]_0^5$
$= (\frac{5}{2}\sqrt{144} + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{5}{13})) - (\frac{125}{2}-65)$
$= 30 + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{5}{13}) + \frac{5}{2} = \frac{65}{2} + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{5}{13})$.
$\sin^{-1}(\frac{5}{13}) = \cos^{-1}(\frac{12}{13}) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\frac{12}{13})$ નો ઉપયોગ કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{65}{2} + \frac{169}{2}(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\frac{12}{13})) = \frac{169\pi}{4} - \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{12}{13}) + \frac{65}{2}$.
આપેલ સ્વરૂપ $\frac{\pi \alpha}{2 \beta}-\frac{65}{2}+\frac{\alpha}{\beta} \sin ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$ સાથે સરખાવતા,$\alpha=169, \beta=2$ મળે છે. $\gcd(169, 2)=1$ હોવાથી,$\alpha+\beta = 169+2 = 171$.

(A) ક્ષેત્રફળ $A$ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વક્રો $y = x^2+2$ અને $y = 2x+2$ ના છેદબિંદુઓ નક્કી કરીએ.
$x^2+2 = 2x+2$ લેતા,આપણને $x^2 - 2x = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x(x-2) = 0$. આમ,વક્રો $x=0$ અને $x=2$ પર છેદે છે.
$0 \leq x \leq 2$ માટે,$x^2+2 \leq 2x+2$ છે,તેથી $\min \{x^2+2, 2x+2\} = x^2+2$.
$2 \leq x \leq 3$ માટે,$2x+2 \leq x^2+2$ છે,તેથી $\min \{x^2+2, 2x+2\} = 2x+2$.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_0^2 (x^2+2) dx + \int_2^3 (2x+2) dx$
સંકલન ગણતા:
$\int_0^2 (x^2+2) dx = [\frac{x^3}{3} + 2x]_0^2 = (\frac{8}{3} + 4) - 0 = \frac{20}{3}$
$\int_2^3 (2x+2) dx = [x^2 + 2x]_2^3 = (9+6) - (4+4) = 15 - 8 = 7$
આમ,$A = \frac{20}{3} + 7 = \frac{20+21}{3} = \frac{41}{3}$.
અંતે,$12A = 12 \times \frac{41}{3} = 4 \times 41 = 164$.

(B) આપેલ સમીકરણો $y^2=4(x-2)$ અને $y=2x-8$ છે.
રેખાના સમીકરણ પરથી,$2x = y+8$,તેથી $x = \frac{y+8}{2} = \frac{y}{2} + 4$.
પરવલયના સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા: $y^2 = 4(\frac{y}{2} + 4 - 2) = 4(\frac{y}{2} + 2) = 2y + 8$.
$y^2 - 2y - 8 = 0 \implies (y-4)(y+2) = 0$.
આમ,છેદબિંદુઓ $y=4$ અને $y=-2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-2}^{4} (x_{line} - x_{parabola}) dy$ દ્વારા મળે છે.
$x_{line} = \frac{y+8}{2}$ અને $x_{parabola} = \frac{y^2}{4} + 2$.
$A = \int_{-2}^{4} (\frac{y+8}{2} - (\frac{y^2}{4} + 2)) dy = \int_{-2}^{4} (\frac{y}{2} + 2 - \frac{y^2}{4}) dy$.
$A = [\frac{y^2}{4} + 2y - \frac{y^3}{12}]_{-2}^{4}$.
$A = (\frac{16}{4} + 8 - \frac{64}{12}) - (\frac{4}{4} - 4 - \frac{-8}{12}) = (4 + 8 - \frac{16}{3}) - (1 - 4 + \frac{2}{3}) = (12 - \frac{16}{3}) - (-3 + \frac{2}{3}) = \frac{20}{3} - (-\frac{7}{3}) = \frac{27}{3} = 9$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલા સમીકરણો $(y-2)^2 = x-1$ અને $x = 2y-4$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,રેખાના સમીકરણમાંથી $x$ ની કિંમત પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(y-2)^2 = (2y-4)-1$
$(y-2)^2 = 2(y-2)-1$
ધારો કે $u = y-2$,તો $u^2 = 2u-1$,જે $u^2-2u+1 = 0$ આપે છે,તેથી $(u-1)^2 = 0$,જેનો અર્થ છે $u=1$.
આમ,$y-2 = 1$,તેથી $y=3$. પછી $x = 2(3)-4 = 2$.
છેદબિંદુ $(2, 3)$ છે.
પ્રદેશ $y$-અક્ષ $(x=0)$,$x$-અક્ષ $(y=0)$,રેખા $x = 2y-4$ અને પરવલય $x = (y-2)^2+1$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^3 ((y-2)^2+1) dy - \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ}$.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^3 (y^2-4y+5) dy - \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = [\frac{y^3}{3}-2y^2+5y]_0^3 - 1 = (9-18+15) - 1 = 6-1 = 5$.

(D) આપેલ પ્રદેશ $y^2 \leq 4x$,$x < 4$,અને $\frac{xy(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} > 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$y > 0$ માટે,આપણે $\frac{x(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} > 0$ ની જરૂર છે. વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,$x$ માટેના અંતરાલ $(0, 1) \cup (2, 3)$ મળે છે.
$y < 0$ માટે,આપણે $\frac{x(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} < 0$ ની જરૂર છે. $x$ માટેના અંતરાલ $(1, 2) \cup (3, 4)$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ આ અંતરાલો પર $2\sqrt{x}$ ના સંકલનનો સરવાળો છે:
$\text{Area} = \int_0^1 2\sqrt{x} dx + \int_2^3 2\sqrt{x} dx + \int_1^2 2\sqrt{x} dx + \int_3^4 2\sqrt{x} dx$
આને જોડતા,આપણને મળે છે:
$\text{Area} = \int_0^4 2\sqrt{x} dx = 2 \times \frac{2}{3} [x^{3/2}]_0^4 = \frac{4}{3} \times (4^{3/2} - 0) = \frac{4}{3} \times 8 = \frac{32}{3}$.

(C) ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા બે વક્રોના છેદબિંદુઓ નક્કી કરીએ:
$y = 4x - x^2$ અને $3y = (x - 4)^2$
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $y$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(4x - x^2) = (x - 4)^2$
$12x - 3x^2 = x^2 - 8x + 16$
$4x^2 - 20x + 16 = 0$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
$(x - 1)(x - 4) = 0$
તેથી,વક્રો $x = 1$ અને $x = 4$ પર છેદે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = 1$ થી $x = 4$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવેલા સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_1^4 \left[ (4x - x^2) - \frac{(x - 4)^2}{3} \right] dx$
$A = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} - \frac{(x - 4)^3}{9} \right]_1^4$
$A = \left( 2(4)^2 - \frac{(4)^3}{3} - \frac{(4 - 4)^3}{9} \right) - \left( 2(1)^2 - \frac{(1)^3}{3} - \frac{(1 - 4)^3}{9} \right)$
$A = \left( 32 - \frac{64}{3} - 0 \right) - \left( 2 - \frac{1}{3} - \frac{-27}{9} \right)$
$A = \left( \frac{96 - 64}{3} \right) - \left( 2 - \frac{1}{3} + 3 \right)$
$A = \frac{32}{3} - \left( 5 - \frac{1}{3} \right) = \frac{32}{3} - \frac{14}{3} = \frac{18}{3} = 6$

(C) આપેલ વક્રો $xy + 4y = 16$ અને $x + y = 6$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$y(x + 4) = 16$,તેથી $y = \frac{16}{x + 4}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$y = 6 - x$.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y$ ના બંને પદોને સરખાવતા:
$6 - x = \frac{16}{x + 4}$
$(6 - x)(x + 4) = 16$
$6x + 24 - x^2 - 4x = 16$
$-x^2 + 2x + 8 = 0$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
$(x - 4)(x + 2) = 0$
તેથી,$x = 4$ અને $x = -2$.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -2$ થી $x = 4$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_{-2}^{4} \left( (6 - x) - \frac{16}{x + 4} \right) dx$
$A = \left[ 6x - \frac{x^2}{2} - 16 \ln|x + 4| \right]_{-2}^{4}$
$A = \left( 6(4) - \frac{16}{2} - 16 \ln(8) \right) - \left( 6(-2) - \frac{4}{2} - 16 \ln(2) \right)$
$A = (24 - 8 - 16 \ln(2^3)) - (-12 - 2 - 16 \ln 2)$
$A = (16 - 48 \ln 2) - (-14 - 16 \ln 2)$
$A = 16 - 48 \ln 2 + 14 + 16 \ln 2$
$A = 30 - 32 \ln 2$

(B) વક્રો $y=1+3x-2x^2$ અને $y=\frac{1}{x}$ છે. છેદબિંદુઓ $1+3x-2x^2 = \frac{1}{x} \implies x+3x^2-2x^3 = 1 \implies 2x^3-3x^2-x+1=0$ દ્વારા મળે છે. આપેલ એક બિંદુ $x=\frac{1}{2}$ છે,બીજું છેદબિંદુ $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} (1+3x-2x^2-\frac{1}{x}) dx$.
$A = \left[x + \frac{3x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} - \ln|x|\right]_{\frac{1}{2}}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$A = \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 - \frac{2}{3}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^3 - \ln(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{2}(\frac{1}{4}) - \frac{2}{3}(\frac{1}{8}) - \ln(\frac{1}{2})\right)$.
પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$A = \frac{14\sqrt{5}+15}{24} - \ln(1+\sqrt{5}) + 2\ln(2)$.
$\frac{1}{24}(\ell \sqrt{5}+m)-n \log_{e}(1+\sqrt{5})$ સાથે સરખાવતા,$\ell=14, m=15, n=1$ મળે છે. તેથી $\ell+m+n = 14+15+1 = 30$.

(D) પરવલય $y^2 = 2x$ અને રેખા $y = 4x - 1$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ છીએ. રેખાના સમીકરણમાં $x = \frac{y^2}{2}$ મૂકતા: $y = 4(\frac{y^2}{2}) - 1 \implies y = 2y^2 - 1 \implies 2y^2 - y - 1 = 0$. અવયવ પાડતા $(2y + 1)(y - 1) = 0$ મળે છે,તેથી $y = 1$ અને $y = -\frac{1}{2}$.
ક્ષેત્રફળ $y = -\frac{1}{2}$ થી $y = 1$ સુધી $y$ ની સાપેક્ષમાં જમણી વક્રમાંથી ડાબી વક્ર બાદ કરીને સંકલન દ્વારા મળે છે:
$Area = \int_{-\frac{1}{2}}^{1} (x_{Right} - x_{Left}) dy = \int_{-\frac{1}{2}}^{1} (\frac{y+1}{4} - \frac{y^2}{2}) dy$
$= [\frac{1}{4}(\frac{y^2}{2} + y) - \frac{y^3}{6}]_{-\frac{1}{2}}^{1}$
$= [\frac{1}{4}(\frac{1}{2} + 1) - \frac{1}{6}] - [\frac{1}{4}(\frac{1}{8} - \frac{1}{2}) - \frac{(-1/8)}{6}]$
$= [\frac{3}{8} - \frac{1}{6}] - [\frac{1}{4}(-\frac{3}{8}) + \frac{1}{48}]$
$= [\frac{9-4}{24}] - [-\frac{3}{32} + \frac{1}{48}] = \frac{5}{24} - [\frac{-9+2}{96}] = \frac{5}{24} + \frac{7}{96} = \frac{20+7}{96} = \frac{27}{96} = \frac{9}{32}$ ચોરસ એકમ.

(C) પરવલયો $y=x^2-5x$ અને $y=7x-x^2$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$x^2-5x = 7x-x^2$
$2x^2-12x = 0$
$2x(x-6) = 0$
આમ,છેદબિંદુઓ $x=0$ અને $x=6$ છે.
અંતરાલ $[0, 6]$ માં,પરવલય $g(x) = 7x-x^2$ એ $f(x) = x^2-5x$ ની ઉપર આવેલું છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_0^6 (g(x) - f(x)) dx$
$A = \int_0^6 ((7x-x^2) - (x^2-5x)) dx$
$A = \int_0^6 (12x - 2x^2) dx$
$A = [12 \frac{x^2}{2} - \frac{2x^3}{3}]_0^6$
$A = [6x^2 - \frac{2}{3}x^3]_0^6$
$A = (6(6)^2 - \frac{2}{3}(6)^3) - (0)$
$A = 216 - \frac{2}{3}(216)$
$A = 216 - 144 = 72 \text{ એકમ}^2$

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}+\frac{2 x}{\left(1+x^2\right)^2} y=x e^{\frac{1}{\left(1+x^2\right)}}$ છે.
આ $\frac{d y}{d x}+P(x)y=Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x)=\frac{2 x}{\left(1+x^2\right)^2}$ અને $Q(x)=x e^{\frac{1}{\left(1+x^2\right)}}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) d x} = e^{\int \frac{2 x}{\left(1+x^2\right)^2} d x} = e^{-\frac{1}{1+x^2}}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF d x + C$ છે.
$y \cdot e^{-\frac{1}{1+x^2}} = \int x e^{\frac{1}{1+x^2}} \cdot e^{-\frac{1}{1+x^2}} d x + C = \int x d x + C = \frac{x^2}{2} + C$.
$y(0)=0$ આપેલ હોવાથી,$0 \cdot e^{-1} = 0 + C$,તેથી $C=0$.
આમ,$y(x) = \frac{x^2}{2} e^{\frac{1}{1+x^2}}$.
$f(x) = y(x) e^{-\frac{1}{1+x^2}}$ હોવાથી,આપણને $f(x) = \frac{x^2}{2}$ મળે છે.
વક્ર $f(x) = \frac{x^2}{2}$ અને રેખા $y = \frac{x}{4} + 2$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-2}^{4} \left( \frac{x}{4} + 2 - \frac{x^2}{2} \right) d x$ દ્વારા મળે છે,જેની ગણતરી કરતા $18$ મળે છે.

(D) વક્રો $y=3x$,$y=\frac{27-3x}{2}$,અને $y=3x-x\sqrt{x}$ છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો:
$1$. $y=3x$ અને $y=3x-x\sqrt{x} \implies 3x=3x-x\sqrt{x} \implies x\sqrt{x}=0 \implies x=0$. $x=0$ પર,$y=0$.
$2$. $y=3x$ અને $2y=27-3x \implies 6x=27-3x \implies 9x=27 \implies x=3$. $x=3$ પર,$y=9$.
$3$. $y=3x-x\sqrt{x}$ અને $2y=27-3x \implies 2(3x-x\sqrt{x})=27-3x \implies 6x-2x\sqrt{x}=27-3x \implies 9x-27=2x\sqrt{x}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(9(x-3))^2 = 4x^2(x) \implies 81(x-3)^2 = 4x^3$. આને ઉકેલતા $x=9$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_0^3 (3x - (3x-x\sqrt{x})) dx + \int_3^9 (\frac{27-3x}{2} - (3x-x\sqrt{x})) dx$
$A = \int_0^3 x^{3/2} dx + \int_3^9 (\frac{27}{2} - \frac{9x}{2} + x^{3/2}) dx$
$A = [\frac{2}{5}x^{5/2}]_0^3 + [\frac{27}{2}x - \frac{9}{4}x^2 + \frac{2}{5}x^{5/2}]_3^9$
$A = (\frac{2}{5} \cdot 3^{5/2}) + ((\frac{27}{2} \cdot 9 - \frac{9}{4} \cdot 81 + \frac{2}{5} \cdot 9^{5/2}) - (\frac{27}{2} \cdot 3 - \frac{9}{4} \cdot 9 + \frac{2}{5} \cdot 3^{5/2}))$
$A = \frac{2}{5} \cdot 3^{5/2} + (\frac{243}{2} - \frac{729}{4} + \frac{486}{5}) - (\frac{81}{2} - \frac{81}{4} + \frac{2}{5} \cdot 3^{5/2})$
$A = \frac{243}{2} - \frac{729}{4} + \frac{486}{5} - \frac{81}{2} + \frac{81}{4} = \frac{162}{2} - \frac{648}{4} + \frac{486}{5} = 81 - 162 + 97.2 = 16.2$
$10A = 162$.

(A) પ્રદેશ $y = \min \{\sin x, \cos x\}$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા $x = -\pi$ થી $x = \pi$ સુધી ઘેરાયેલ છે. ક્ષેત્રફળ $A$ એ જ્યાં $y < 0$ હોય તે ભાગનું સંકલન છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_{-\pi}^{-3\pi/4} -\sin x \, dx + \int_{-3\pi/4}^{-\pi/2} -\cos x \, dx + \int_{0}^{\pi/4} \sin x \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \, dx$
દરેક ભાગની ગણતરી:
$1$. $\int_{-\pi}^{-3\pi/4} -\sin x \, dx = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$2$. $\int_{-3\pi/4}^{-\pi/2} -\cos x \, dx = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$3$. $\int_{0}^{\pi/4} \sin x \, dx = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$4$. $\int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \, dx = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 4(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$. વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ $16$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,વર્તુળ $x^2+y^2=8$ અને પરવલય $y^2=2x$ ના છેદબિંદુઓ શોધો.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y^2=2x$ મૂકતા: $x^2+2x-8=0$.
$(x+4)(x-2)=0$,તેથી $x=2$ (કારણ કે પ્રથમ ચરણમાં $x \ge 0$ છે).
$x=2$ માટે,$y^2=4$,તેથી $y=2$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=2$ સુધી વર્તુળની નીચેનું ક્ષેત્રફળ માઈનસ $x=0$ થી $x=2$ સુધી પરવલયની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^2 \sqrt{8-x^2} dx - \int_0^2 \sqrt{2x} dx$
$= \left[ \frac{x}{2}\sqrt{8-x^2} + \frac{8}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{8}}\right) \right]_0^2 - \sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^2$
$= \left( \frac{2}{2}\sqrt{8-4} + 4\sin^{-1}\left(\frac{2}{2\sqrt{2}}\right) \right) - \frac{2\sqrt{2}}{3}(2^{3/2})$
$= (1 \cdot 2 + 4 \cdot \frac{\pi}{4}) - \frac{2\sqrt{2}}{3}(2\sqrt{2})$
$= 2 + \pi - \frac{8}{3} = \pi - \frac{2}{3}$.

(A) $y^2=4x$ અને $x^2+y^2=5$ ના છેદબિંદુઓ મેળવવા માટે $y^2=4x$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2+4x-5=0$
$(x+5)(x-1)=0$
પરવલય માટે $x \ge 0$ હોવાથી,$x=1$ મળે,જે $y=\pm 2$ આપે છે.
નાના ભાગનું ક્ષેત્રફળ એ પરવલય અને વર્તુળ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે,જે $x$-અક્ષની સાપેક્ષે સંમિત છે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \left[ \int_0^1 \sqrt{4x} \, dx + \int_1^{\sqrt{5}} \sqrt{5-x^2} \, dx \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{4}{3} x^{3/2} \Big|_0^1 + \left( \frac{x}{2} \sqrt{5-x^2} + \frac{5}{2} \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{5}} \right) \Big|_1^{\sqrt{5}} \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{4}{3} + \left( 0 + \frac{5}{2} \sin^{-1}(1) \right) - \left( \frac{1}{2} \sqrt{4} + \frac{5}{2} \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{4}{3} + \frac{5\pi}{4} - 1 - \frac{5}{2} \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{1}{3} + \frac{5}{2} \left( \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \right]$
$= \frac{2}{3} + 5 \cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}$
$\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} = \sin^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}}$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{2}{3} + 5 \sin^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right)$ થાય.

(B) આપેલ ઉપવલય $x^2+3y^2=18$ છે,જેને $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{6}=1$ તરીકે લખી શકાય.
ઉપવલય અને રેખા $y=x$ ના છેદબિંદુ માટે,$y=x$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2+3x^2=18 \Rightarrow 4x^2=18 \Rightarrow x^2=\frac{9}{2} \Rightarrow x=\frac{3}{\sqrt{2}}$.
પ્રદેશ $x$-અક્ષ,રેખા $y=x$ અને ઉપવલય દ્વારા ઘેરાયેલ છે. ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=\frac{3}{\sqrt{2}}$ સુધીના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ અને $x=\frac{3}{\sqrt{2}}$ થી $x=3\sqrt{2}$ સુધીના ઉપવલયની નીચેના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{\sqrt{2}} \times \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{9}{4}$.
ઉપવલયની નીચેનું ક્ષેત્રફળ = $\int_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^{3\sqrt{2}} \sqrt{\frac{18-x^2}{3}} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^{3\sqrt{2}} \sqrt{18-x^2} dx$.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{\sqrt{3}} [\frac{x}{2}\sqrt{18-x^2} + 9\sin^{-1}(\frac{x}{3\sqrt{2}})]_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^{3\sqrt{2}}$
$= \frac{1}{\sqrt{3}} [\frac{9\pi}{2} - (\frac{3}{2\sqrt{2}}\sqrt{\frac{27}{2}} + 9\cdot\frac{\pi}{4})] = \frac{3\sqrt{3}\pi}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $\frac{9}{4} + \frac{3\sqrt{3}\pi}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

(B) ક્ષેત્રફળ $A = \int_0^{\pi/4} \left( \sqrt{\frac{1+\sin x}{\cos x}} - \sqrt{\frac{1-\sin x}{\cos x}} \right) dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અડધા ખૂણાના નિત્યસમ $\sin x = \frac{2\tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ અને $\cos x = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સંકલ્યને સરળ બનાવીએ છીએ.
ધારો કે $t = \tan(x/2)$,તો $dt = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx = \frac{1}{2}(1+t^2) dx$,તેથી $dx = \frac{2}{1+t^2} dt$.
જ્યારે $x=0$,ત્યારે $t=0$. જ્યારે $x=\pi/4$,ત્યારે $t=\tan(\pi/8) = \sqrt{2}-1$.
આ પદ $\int_0^{\sqrt{2}-1} \left( \sqrt{\frac{1+\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{1-t^2}{1+t^2}}} - \sqrt{\frac{1-\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{1-t^2}{1+t^2}}} \right) \frac{2}{1+t^2} dt$ બને છે.
આનું સાદું રૂપ $\int_0^{\sqrt{2}-1} \left( \sqrt{\frac{(1+t)^2}{1-t^2}} - \sqrt{\frac{(1-t)^2}{1-t^2}} \right) \frac{2}{1+t^2} dt = \int_0^{\sqrt{2}-1} \frac{2(1+t - (1-t))}{\sqrt{1-t^2}} \frac{1}{1+t^2} dt = \int_0^{\sqrt{2}-1} \frac{4t}{(1+t^2)\sqrt{1-t^2}} dt$ થાય છે.

(C) આપેલ પ્રદેશ $y \geq \sqrt{|x+3|}$ અને $5y \leq x+9 \leq 15$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
$5y \leq x+9 \leq 15$ પરથી,આપણને $y \leq \frac{x+9}{5}$ અને $-6 \leq x \leq 6$ મળે છે.
આપેલ આલેખ મુજબ,પ્રદેશ ઉપરની તરફ રેખા $y = \frac{x+9}{5}$ અને નીચેની તરફ વક્રો $y = \sqrt{-x-3}$ (જ્યાં $x \in [-4, -3]$) અને $y = \sqrt{x+3}$ (જ્યાં $x \in [-3, 1]$) દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $\int_{-4}^{1} \frac{x+9}{5} dx - \int_{-4}^{-3} \sqrt{-x-3} dx - \int_{-3}^{1} \sqrt{x+3} dx$ દ્વારા મળે છે.
રેખાનું સંકલન: $\int_{-4}^{1} \frac{x+9}{5} dx = \frac{1}{5} [\frac{x^2}{2} + 9x]_{-4}^{1} = \frac{15}{2}$.
વક્રો નીચેનું ક્ષેત્રફળ: $\int_{-4}^{-3} \sqrt{-(x+3)} dx = \frac{2}{3}$ અને $\int_{-3}^{1} \sqrt{x+3} dx = \frac{16}{3}$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= \frac{15}{2} - \frac{2}{3} - \frac{16}{3} = \frac{15}{2} - 6 = \frac{3}{2}$.

(B) આપેલ છે $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{5x}{9} + \frac{17}{36}$.
પ્રથમ,લાલ પ્રદેશનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A_R = \int_0^1 f(x) dx = \left[ \frac{x^4}{12} - \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{18} + \frac{17x}{36} \right]_0^1 = \frac{1}{12} - \frac{1}{3} + \frac{5}{18} + \frac{17}{36} = \frac{3 - 12 + 10 + 17}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
ચોરસ $S$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $1 \times 1 = 1$ હોવાથી,લીલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A_G = 1 - A_R = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $A_R^-(h)$ અને $A_G^-(h)$ એ રેખા $L_h$ ની નીચેના લાલ અને લીલા પ્રદેશોના ક્ષેત્રફળ છે. ધારો કે $A_R^+(h)$ અને $A_G^+(h)$ એ $L_h$ ની ઉપરના ક્ષેત્રફળો છે.
$(B)$ માટે: આપણે $A_R^+(h) = A_R^-(h)$ ઇચ્છીએ છીએ,જેનો અર્થ છે $A_R^-(h) = \frac{1}{2} A_R = \frac{1}{4}$. $f(x) \ge \frac{13}{36} > \frac{1}{4}$ હોવાથી,$h = \frac{1}{4}$ માટે,$A_R^-(h) = \int_0^1 \frac{1}{4} dx = \frac{1}{4}$. આમ,$(B)$ સાચું છે.
$(C)$ માટે: ધારો કે $g(h) = A_G^+(h) - A_R^-(h)$. $h = \frac{13}{36}$ પર,$A_R^-(h) = 0$ અને $A_G^+(h) = \frac{1}{2}$,તેથી $g(h) = \frac{1}{2}$. $h = \frac{181}{324}$ પર,$A_R^-(h) = \frac{1}{2}$ અને $A_G^+(h) = 0$,તેથી $g(h) = -\frac{1}{2}$. ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ દ્વારા,એવો $h$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $g(h) = 0$,એટલે કે $A_G^+(h) = A_R^-(h)$. આમ,$(C)$ સાચું છે.
$(D)$ માટે: ધારો કે $k(h) = A_R^+(h) - A_G^-(h)$. $A_R^+(h) + A_R^-(h) = A_R = 1/2$ અને $A_G^+(h) + A_G^-(h) = A_G = 1/2$ હોવાથી,આપણી પાસે $A_R^+(h) = 1/2 - A_R^-(h)$ અને $A_G^-(h) = 1/2 - A_G^+(h)$ છે. પછી $k(h) = (1/2 - A_R^-(h)) - (1/2 - A_G^+(h)) = A_G^+(h) - A_R^-(h) = g(h)$. $g(h)$ એ $1/2$ થી $-1/2$ સુધીની કિંમતો લેતું હોવાથી,$k(h)$ પણ $0$ કિંમત લે છે. આમ,$(D)$ સાચું છે.
તેથી,વિકલ્પો $(B), (C),$ અને $(D)$ સાચા છે.

(B) આ પ્રદેશ $xy = 8$ (અથવા $x = 8/y$),$y = 1$,અને $y = x^2$ (અથવા $x > 0$ માટે $x = \sqrt{y}$) દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
$x = 8/y$ અને $x = \sqrt{y}$ ના છેદબિંદુ માટે,$\frac{8}{y} = \sqrt{y}$ લેતા,જેનો અર્થ છે $y^{3/2} = 8$,તેથી $y = 4$.
આ પ્રદેશ $y$ ની કિંમત $1$ થી $4$ સુધીની મર્યાદામાં છે,જ્યાં જમણી બાજુની સીમા $x = 8/y$ છે અને ડાબી બાજુની સીમા $x = \sqrt{y}$ છે.
તેથી,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $\int_1^4 \left(\frac{8}{y} - \sqrt{y}\right) dy$ છે.
$= [8 \ln|y| - \frac{2}{3} y^{3/2}]_1^4$
$= (8 \ln 4 - \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2}) - (8 \ln 1 - \frac{2}{3} \cdot 1^{3/2})$
$= (8 \cdot 2 \ln 2 - \frac{2}{3} \cdot 8) - (0 - \frac{2}{3})$
$= 16 \ln 2 - \frac{16}{3} + \frac{2}{3}$
$= 16 \ln 2 - \frac{14}{3}$.

(A) આપેલ છે $f(x) = e^{x-1} - e^{-|x-1|}$ અને $g(x) = \frac{1}{2}(e^{x-1} + e^{1-x})$.
$x \leq 1$ માટે,$|x-1| = 1-x$,તેથી $f(x) = e^{x-1} - e^{x-1} = 0$.
$x \geq 1$ માટે,$|x-1| = x-1$,તેથી $f(x) = e^{x-1} - e^{1-x}$.
$x \geq 1$ માટે $f(x)$ અને $g(x)$ ના છેદબિંદુ શોધવા માટે:
$e^{x-1} - e^{1-x} = \frac{1}{2}(e^{x-1} + e^{1-x})$
$2e^{x-1} - 2e^{1-x} = e^{x-1} + e^{1-x}$
$e^{x-1} = 3e^{1-x} \Rightarrow e^{2(x-1)} = 3 \Rightarrow 2(x-1) = \ln 3 \Rightarrow x = 1 + \frac{1}{2}\ln 3 = 1 + \ln \sqrt{3}$.
પ્રથમ ચરણમાં $y=f(x)$,$y=g(x)$ અને $x=0$ દ્વારા ઘેરાયેલ ક્ષેત્રફળ $A$:
$A = \int_0^1 (g(x) - 0) dx + \int_1^{1+\ln \sqrt{3}} (g(x) - f(x)) dx$
$A = \int_0^1 \frac{1}{2}(e^{x-1} + e^{1-x}) dx + \int_1^{1+\ln \sqrt{3}} (\frac{1}{2}(e^{x-1} + e^{1-x}) - (e^{x-1} - e^{1-x})) dx$
$A = \frac{1}{2}[e^{x-1} - e^{1-x}]_0^1 + \int_1^{1+\ln \sqrt{3}} (\frac{3}{2}e^{1-x} - \frac{1}{2}e^{x-1}) dx$
$A = \frac{1}{2}[(e^0 - e^0) - (e^{-1} - e^1)] + [-\frac{3}{2}e^{1-x} - \frac{1}{2}e^{x-1}]_1^{1+\ln \sqrt{3}}$
$A = \frac{1}{2}(e - e^{-1}) + [(-\frac{3}{2}e^{-\ln \sqrt{3}} - \frac{1}{2}e^{\ln \sqrt{3}}) - (-\frac{3}{2} - \frac{1}{2})]$
$A = \frac{1}{2}(e - e^{-1}) + [-\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{3}}) - \frac{1}{2}(\sqrt{3}) + 2]$
$A = \frac{1}{2}(e - e^{-1}) + [-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2] = 2 - \sqrt{3} + \frac{1}{2}(e - e^{-1})$.

(B) આપેલ વક્રો $y_1 = \sin x + \cos x$ અને $y_2 = |\cos x - \sin x|$ છે,જ્યાં $x \in [0, \pi/2]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [0, \pi/4]$ માટે $\cos x - \sin x \ge 0$ અને $x \in [\pi/4, \pi/2]$ માટે $\cos x - \sin x < 0$ થાય છે.
તેથી,$x \in [0, \pi/4]$ માટે $y_2 = \cos x - \sin x$ અને $x \in [\pi/4, \pi/2]$ માટે $y_2 = \sin x - \cos x$ થાય.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A = \int_0^{\pi/2} |y_1 - y_2| dx$ દ્વારા મળે છે.
$x \in [0, \pi/4]$ માટે:
$y_1 - y_2 = (\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x) = 2 \sin x$.
$x \in [\pi/4, \pi/2]$ માટે:
$y_1 - y_2 = (\sin x + \cos x) - (\sin x - \cos x) = 2 \cos x$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $A = \int_0^{\pi/4} 2 \sin x \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} 2 \cos x \, dx$.
$A = 2[-\cos x]_0^{\pi/4} + 2[\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$.
$A = 2\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} - (-1) \right) + 2\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
$A = 2\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + 2\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 4\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 4\left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right) = 2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)$.

(A) આપેલ છે $a^2-b^2=\frac{c^2}{2}$. સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$4R^2(\sin^2 X - \sin^2 Y) = \frac{4R^2}{2} \sin^2 Z$.
$\Rightarrow 2 \sin(X-Y) \sin(X+Y) = \sin^2 Z$. કારણ કે $X+Y = \pi-Z$,તેથી $\sin(X+Y) = \sin Z$.
$\Rightarrow 2 \sin(X-Y) \sin Z = \sin^2 Z \Rightarrow \lambda = \frac{\sin(X-Y)}{\sin Z} = \frac{1}{2}$.
$\cos(\frac{n\pi}{2}) = 0 \Rightarrow \frac{n\pi}{2} = (2k+1)\frac{\pi}{2} \Rightarrow n$ એ એકી પૂર્ણાંક છે. વિકલ્પોમાંથી શક્ય મૂલ્યો $1, 3, 5$ છે.
$(B)$ $1+\cos 2X - 2\cos 2Y = 2\sin X \sin Y$.
સાદું રૂપ આપતા $\frac{a}{b}=1$ મળે છે.
$(C)$ $\overline{OX}$ અને $\overline{OY}$ નો દ્વિભાજક $y=x$ છે. $Z(\beta, 1-\beta)$ નું $x-y=0$ થી અંતર $\frac{|\beta - (1-\beta)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|2\beta-1|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
$|2\beta-1|=3 \Rightarrow 2\beta-1=3$ અથવા $2\beta-1=-3 \Rightarrow \beta=2, -1$. તેથી $|\beta|=2, 1$.
$(D)$ $\alpha=0$ માટે,$y=3$. ક્ષેત્રફળ $= \int_0^2 (3-2\sqrt{x}) dx = 6 - \frac{8\sqrt{2}}{3}$. $F(0)+\frac{8\sqrt{2}}{3} = 6$.
$\alpha=1$ માટે,$y=|x-1|+|x-2|+x$. ક્ષેત્રફળ $= 5 - \frac{8\sqrt{2}}{3}$. $F(1)+\frac{8\sqrt{2}}{3} = 5$.

(D) ક્ષેત્રફળ $\alpha$ શોધવા માટે,આપણે પહેલા $x \geq 0$ માટે $f(x)$ અને $g(x)$ ના છેદબિંદુઓ શોધીએ. $x \in [0, 3/4]$ માટે,$g(x) = 2(1 - 4x/3) = 2 - 8x/3$.
$f(x) = g(x)$ લેતા:
$x^2 + \frac{5}{12} = 2 - \frac{8x}{3}$
$x^2 + \frac{8x}{3} - \frac{19}{12} = 0$
$12x^2 + 32x - 19 = 0$
$(6x + 19)(2x - 1) = 0$
$x \geq 0$ હોવાથી,$x = 1/2$ મળે.
ક્ષેત્રફળ $\alpha$ એ $y$-અક્ષની સાપેક્ષે સંમિત છે,તેથી $\alpha = 2 \int_0^{3/4} \min\{f(x), g(x)\} dx$.
$x \in [0, 1/2]$ માટે $f(x) \leq g(x)$,અને $x \in [1/2, 3/4]$ માટે $g(x) \leq f(x)$.
$\alpha = 2 \left[ \int_0^{1/2} (x^2 + \frac{5}{12}) dx + \int_{1/2}^{3/4} (2 - \frac{8x}{3}) dx \right]$
ગણતરી કરતા,$\alpha = 2 \left[ \frac{1}{4} + \frac{1}{12} \right] = 2 \times \frac{4}{12} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$9\alpha = 9 \times \frac{2}{3} = 6$.