Area bounded by region of multi curve Questions in Gujarati

(C) આપેલ વક્રો $x^2+y^2-2ax=0$ (કેન્દ્ર $(a, 0)$ અને ત્રિજ્યા $a$ વાળું વર્તુળ) અને $y^2=ax$ (પરવલય) છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2=ax$ ને $x^2+y^2-2ax=0$ માં મૂકતા:
$x^2+ax-2ax=0 \implies x^2-ax=0 \implies x(x-a)=0$.
તેથી,વક્રો $x=0$ અને $x=a$ પર છેદે છે.
$X$-અક્ષની ઉપરના ભાગ માટે,ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=a$ સુધી ઉપરના વક્ર (વર્તુળ) અને નીચેના વક્ર (પરવલય) વચ્ચેના તફાવતનું સંકલન છે:
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^a \left(\sqrt{2ax-x^2} - \sqrt{ax}\right) dx$
$= \int_0^a \sqrt{a^2-(x-a)^2} dx - \sqrt{a} \int_0^a x^{1/2} dx$
સૂત્ર $\int \sqrt{r^2-u^2} du = \frac{u}{2}\sqrt{r^2-u^2} + \frac{r^2}{2}\sin^{-1}(\frac{u}{r})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \left[ \frac{x-a}{2}\sqrt{2ax-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x-a}{a}\right) - \sqrt{a} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^a$
$= \left( 0 + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(0) - \frac{2}{3}a^2 \right) - \left( \frac{-a}{2}\sqrt{0} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(-1) - 0 \right)$
$= (0 + 0 - \frac{2}{3}a^2) - (0 + \frac{a^2}{2}(-\frac{\pi}{2}) - 0)$
$= -\frac{2}{3}a^2 + \frac{\pi a^2}{4} = a^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}\right)$ ચોરસ એકમ.

(A) વક્રો $y=2x-x^2$ અને $y=x^2-2x-6$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$2x-x^2 = x^2-2x-6$
$2x^2-4x-6 = 0$
$x^2-2x-3 = 0$
$(x-3)(x+1) = 0$
આમ,છેદબિંદુઓ $x=-1$ અને $x=3$ પર છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=-1$ થી $x=3$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_{-1}^{3} [(2x-x^2) - (x^2-2x-6)] dx$
$A = \int_{-1}^{3} (-2x^2+4x+6) dx$
$A = [- \frac{2}{3}x^3 + 2x^2 + 6x]_{-1}^{3}$
સીમાઓ પર મૂલ્ય શોધતા:
$A = [(- \frac{2}{3}(27) + 2(9) + 6(3)) - (- \frac{2}{3}(-1) + 2(1) + 6(-1))]$
$A = [(-18 + 18 + 18) - (\frac{2}{3} + 2 - 6)]$
$A = 18 - (\frac{2}{3} - 4) = 18 - (-\frac{10}{3}) = 18 + \frac{10}{3} = \frac{54+10}{3} = \frac{64}{3}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ વક્રો $y=\sqrt{x}$ અને $x=\sqrt{y}$ છે.
$x=\sqrt{y}$ નો વર્ગ કરતા $y=x^2$ મળે છે.
આપણે $x=1$ અને $x=4$ ની વચ્ચે $y=x^2$ અને $y=\sqrt{x}$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
અંતરાલ $[1, 4]$ માં,વક્ર $y=x^2$ એ વક્ર $y=\sqrt{x}$ ની ઉપર આવેલું છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_1^4 (x^2 - \sqrt{x}) dx$
$A = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_1^4$
$A = \left( \frac{4^3}{3} - \frac{2}{3} (4)^{3/2} \right) - \left( \frac{1^3}{3} - \frac{2}{3} (1)^{3/2} \right)$
$A = \left( \frac{64}{3} - \frac{2}{3} \times 8 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \right)$
$A = \left( \frac{64}{3} - \frac{16}{3} \right) - \left( -\frac{1}{3} \right)$
$A = \frac{48}{3} + \frac{1}{3} = \frac{49}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) અહીં વક્રો $y=x^3$ અને $y=x$ આપેલા છે.
ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે આ પ્રદેશ ઉગમબિંદુની સાપેક્ષમાં સંમિત છે કારણ કે બંને વિધેયો અયુગ્મ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-1}^{1} |x - x^3| dx$ દ્વારા મળે છે.
સંમિતિને કારણે,$A = 2 \int_{0}^{1} |x - x^3| dx$.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં,$x \geq x^3$ હોવાથી,$|x - x^3| = x - x^3$ થાય.
તેથી,$A = 2 \int_{0}^{1} (x - x^3) dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $A = 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1}$.
$A = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = 2 \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2}$ ચોરસ એકમ.

(D) વક્ર $y=x^2+4$ અને રેખા $y=5x-2$ દ્વારા આવરીત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$x^2+4 = 5x-2$
$x^2-5x+6 = 0$
$(x-2)(x-3) = 0$
આમ,છેદબિંદુઓ $x=2$ અને $x=3$ પર છે.
અંતરાલ $[2, 3]$ માં,રેખા $y=5x-2$ એ વક્ર $y=x^2+4$ ની ઉપર આવેલી છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_2^3 ((5x-2) - (x^2+4)) \, dx$
$A = \int_2^3 (5x - x^2 - 6) \, dx$
$A = \left[ \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - 6x \right]_2^3$
સીમાઓ પર કિંમત મૂકતા:
$A = \left( \frac{5(3)^2}{2} - \frac{(3)^3}{3} - 6(3) \right) - \left( \frac{5(2)^2}{2} - \frac{(2)^3}{3} - 6(2) \right)$
$A = \left( \frac{45}{2} - 9 - 18 \right) - \left( 10 - \frac{8}{3} - 12 \right)$
$A = \left( \frac{45}{2} - 27 \right) - \left( -2 - \frac{8}{3} \right)$
$A = \left( \frac{45-54}{2} \right) - \left( \frac{-6-8}{3} \right)$
$A = -\frac{9}{2} + \frac{14}{3} = \frac{-27+28}{6} = \frac{1}{6}$
આમ,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{6}$ ચોરસ એકમ છે.

(A) આપેલ વક્રો $y=2x^2$ અને $y=\max \{x-[x], x+|x|\}$ છે.
કારણ કે $x-[x] = \{x\}$,તેથી $y=\max \{\{x\}, x+|x|\}$ મળે.
$x \in [0, 2]$ માટે,$x+|x| = 2x$ અને $\{x\} \in [0, 1)$ થાય.
બધા $x \in [0, 2]$ માટે $2x \geq \{x\}$ હોવાથી,વિધેય $y=2x$ માં સરળ બને છે.
આપણે $x=0$ અને $x=2$ ની વચ્ચે $y=2x^2$ અને $y=2x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
વક્રો $2x^2 = 2x$ પર છેદે છે,જે $x^2-x=0$ આપે છે,તેથી $x=0$ અને $x=1$ મળે.
$x \in [0, 1]$ માટે,$2x \geq 2x^2$ છે. $x \in [1, 2]$ માટે,$2x^2 \geq 2x$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $\int_0^1 (2x - 2x^2) dx + \int_1^2 (2x^2 - 2x) dx$ છે.
$= [x^2 - \frac{2x^3}{3}]_0^1 + [\frac{2x^3}{3} - x^2]_1^2$.
$= (1 - \frac{2}{3}) + [(\frac{16}{3} - 4) - (\frac{2}{3} - 1)]$.
$= \frac{1}{3} + \frac{4}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} = 2$.

(A) આપેલ વક્રોના સમીકરણો છે:
$y = 8x - x^2$ $(i)$
$8x - 4y + 11 = 0$ (ii)
(ii) પરથી,$4y = 8x + 11 \Rightarrow y = \frac{8x+11}{4} = 2x + \frac{11}{4}$.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,(ii) માંથી $y$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$2x + \frac{11}{4} = 8x - x^2$
$x^2 - 6x + \frac{11}{4} = 0$
$4x^2 - 24x + 11 = 0$
$4x^2 - 22x - 2x + 11 = 0$
$2x(2x - 11) - 1(2x - 11) = 0$
$(2x - 1)(2x - 11) = 0$
તેથી,$x = \frac{1}{2}$ અને $x = \frac{11}{2}$.
ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_{1/2}^{11/2} [y_{\text{parabola}} - y_{\text{line}}] dx$
$A = \int_{1/2}^{11/2} [(8x - x^2) - (2x + \frac{11}{4})] dx$
$A = \int_{1/2}^{11/2} (-x^2 + 6x - \frac{11}{4}) dx$
$A = [-\frac{x^3}{3} + 3x^2 - \frac{11}{4}x]_{1/2}^{11/2}$
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = [-\frac{1}{3}(\frac{1331}{8} - \frac{1}{8}) + 3(\frac{121}{4} - \frac{1}{4}) - \frac{11}{4}(\frac{11}{2} - \frac{1}{2})]$
$A = [-\frac{1}{3}(\frac{1330}{8}) + 3(\frac{120}{4}) - \frac{11}{4}(5)]$
$A = [-\frac{665}{12} + 90 - \frac{55}{4}] = [-\frac{665}{12} + \frac{1080}{12} - \frac{165}{12}] = \frac{250}{12} = \frac{125}{6} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આપેલ વક્રો $x=y^2-2$ અને $x=y$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $x=y$ ને $x=y^2-2$ માં મૂકીએ:
$y = y^2 - 2$
$y^2 - y - 2 = 0$
$(y-2)(y+1) = 0$
તેથી,$y=2$ અને $y=-1$ મળે છે.
જ્યારે $y=2$ હોય ત્યારે $x=2$ અને જ્યારે $y=-1$ હોય ત્યારે $x=-1$ મળે છે.
છેદબિંદુઓ $(-1, -1)$ અને $(2, 2)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y=-1$ થી $y=2$ સુધી જમણી બાજુના વક્રમાંથી ડાબી બાજુના વક્રને બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_{-1}^{2} (y - (y^2 - 2)) \, dy$
$A = \int_{-1}^{2} (y - y^2 + 2) \, dy$
$A = \left[ \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} + 2y \right]_{-1}^{2}$
$A = \left( \frac{2^2}{2} - \frac{2^3}{3} + 2(2) \right) - \left( \frac{(-1)^2}{2} - \frac{(-1)^3}{3} + 2(-1) \right)$
$A = \left( 2 - \frac{8}{3} + 4 \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 2 \right)$
$A = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3+2-12}{6} \right)$
$A = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ વક્રો $y=ax^2$ $(i)$ અને $x=ay^2$ $(ii)$ છે.
$(ii)$ માંથી $y$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $x = a(ax^2)^2 = a^3x^4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x(a^3x^3 - 1) = 0$.
આમ,$x=0$ અથવા $x=\frac{1}{a}$ મળે.
$x=0$ માટે $y=0$ અને $x=\frac{1}{a}$ માટે $y=\frac{1}{a}$ મળે.
વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\int_0^{1/a} (\sqrt{x/a} - ax^2) dx = 3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\int_0^{1/a} \frac{1}{\sqrt{a}} x^{1/2} dx - \int_0^{1/a} ax^2 dx = 3$.
$\frac{1}{\sqrt{a}} [\frac{2}{3} x^{3/2}]_0^{1/a} - a [\frac{x^3}{3}]_0^{1/a} = 3$.
$\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{a})^{3/2} - \frac{a}{3} \cdot (\frac{1}{a})^3 = 3$.
$\frac{2}{3a^2} - \frac{1}{3a^2} = 3$.
$\frac{1}{3a^2} = 3 \Rightarrow 9a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{9}$.
$a>0$ હોવાથી,$a = \frac{1}{3}$ મળે.

(D) $y=9x^2$ અને $y=5x^2+4$ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$9x^2 = 5x^2 + 4$
$4x^2 = 4$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$
જ્યારે $x = 1$ હોય,ત્યારે $y = 9(1)^2 = 9$. જ્યારે $x = -1$ હોય,ત્યારે $y = 9(-1)^2 = 9$.
તેથી,છેદબિંદુઓ $(1, 9)$ અને $(-1, 9)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x = -1$ થી $x = 1$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવેલ સંકલન છે:
$\text{Area} = \int_{-1}^{1} [(5x^2+4) - 9x^2] dx$
પ્રદેશ $y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$\text{Area} = 2 \int_{0}^{1} (4 - 4x^2) dx$
$= 2 [4x - \frac{4x^3}{3}]_{0}^{1}$
$= 2 (4(1) - \frac{4(1)^3}{3}) - 2(0 - 0)$
$= 2 (4 - \frac{4}{3})$
$= 2 (\frac{12-4}{3})$
$= 2 (\frac{8}{3}) = \frac{16}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આપેલ વક્રો $x = -2y^2$ અને $x = 1 - 3y^2$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,સમીકરણોને સરખાવતા:
$-2y^2 = 1 - 3y^2$
$y^2 = 1$
$y = \pm 1$
જ્યારે $y = 1$,ત્યારે $x = -2(1)^2 = -2$. જ્યારે $y = -1$,ત્યારે $x = -2(-1)^2 = -2$.
તેથી,છેદબિંદુઓ $(-2, 1)$ અને $(-2, -1)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $y$ ની સાપેક્ષમાં $-1$ થી $1$ સુધીના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$Area = \int_{-1}^{1} |(1 - 3y^2) - (-2y^2)| dy$
$Area = \int_{-1}^{1} |1 - y^2| dy$
વિધેય $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$Area = 2 \int_{0}^{1} (1 - y^2) dy$
$Area = 2 [y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{1}$
$Area = 2 (1 - \frac{1}{3}) = 2 (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ વક્રો $y^2=4x$ અને $x^2=4y$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y = \frac{x^2}{4}$ ને $y^2=4x$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{x^2}{4}\right)^2 = 4x$
$\frac{x^4}{16} = 4x$
$x^4 = 64x$
$x(x^3 - 64) = 0$
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = 4$.
જ્યારે $x = 0, y = 0$. જ્યારે $x = 4, y = 4$.
છેદબિંદુઓ $O(0,0)$ અને $A(4,4)$ છે.
આવશ્યક ક્ષેત્રફળ $x=0$ થી $x=4$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{4} \left( \sqrt{4x} - \frac{x^2}{4} \right) dx$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{4} \left( 2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4} \right) dx$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \left[ 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{4}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \left[ \frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{4}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \left( \frac{4}{3}(4)^{3/2} - \frac{4^3}{12} \right) - (0)$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \left( \frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12} \right)$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(D) આપેલ વક્રો $x=y^2$ અને $x=3-2y^2$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2 = 3-2y^2$ લેતા,જે $3y^2 = 3$ આપે છે,તેથી $y^2 = 1$,એટલે કે $y = \pm 1$.
જ્યારે $y = 1$,ત્યારે $x = 1$. જ્યારે $y = -1$,ત્યારે $x = 1$.
આમ,છેદબિંદુઓ $(1, 1)$ અને $(1, -1)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
$\text{જરૂરી ક્ષેત્રફળ} = 2 \int_0^1 (x_2 - x_1) dy$
$= 2 \int_0^1 ((3-2y^2) - y^2) dy$
$= 2 \int_0^1 (3-3y^2) dy$
$= 2 [3y - y^3]_0^1$
$= 2 [3(1) - (1)^3 - (0)]$
$= 2 [3 - 1] = 2 \times 2 = 4$ ચોરસ એકમ.

(D) બે વર્તુળો $x^2+y^2=1$ $(i)$ અને $(x-1)^2+y^2=1$ (ii) ના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે $(i)$ માંથી $y^2=1-x^2$ ને (ii) માં મૂકતા:
$(x-1)^2+(1-x^2)=1$
$x^2-2x+1+1-x^2=1$
$-2x+2=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$
$x=\frac{1}{2}$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$y^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \Rightarrow y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
છેદબિંદુઓ $A\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ અને $C\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ છે.
ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,તેથી કુલ ક્ષેત્રફળ $2 \times$ (પ્રથમ ચરણમાં $x=0, x=\frac{1}{2}, x=1$ અને વર્તુળોના ચાપ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ) થશે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \int_0^{1/2} \sqrt{1-(x-1)^2} dx + \int_{1/2}^1 \sqrt{1-x^2} dx \right]$
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \left( \frac{x-1}{2}\sqrt{1-(x-1)^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x-1) \right)_0^{1/2} + \left( \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) \right)_{1/2}^1 \right]$
$= 2 \left[ \left( \frac{-1}{4}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-\frac{1}{2}) - (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1)) \right) + \left( (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{4}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{2})) \right) \right]$
$= 2 \left[ -\frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} \right]$
$= 2 \left[ \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right] = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(A) આપેલ વક્રો $y=x^2$ અને $y=x^3$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x^2 = x^3$ લો,જેનો અર્થ છે $x^2(1-x) = 0$.
આમ,વક્રો $x=0$ અને $x=1$ આગળ છેદે છે.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં,$x^2 \ge x^3$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_0^1 (x^2 - x^3) dx$
$A = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1$
$A = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલ વક્રો છે:
$y^2 = 4x$ ... $(i)$
$x^2 = 4y$ ... (ii)
(ii) પરથી,$y = \frac{x^2}{4}$ મળે. આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$(\frac{x^2}{4})^2 = 4x \implies \frac{x^4}{16} = 4x \implies x^4 = 64x \implies x(x^3 - 64) = 0$.
આમ,$x = 0$ અથવા $x = 4$. છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(4,4)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $x=0$ થી $x=4$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_0^4 (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$= \int_0^4 (2x^{1/2} - \frac{x^2}{4}) dx$
$= [2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4$
$= [\frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4$
$= [\frac{4}{3}(4)^{3/2} - \frac{4^3}{12}] - [0 - 0]$
$= [\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12}]$
$= \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(A) આપેલ ઉપવલયો $E_1: x^{2} + 2y^{2} = a^{2}$ અને $E_2: 2x^{2} + y^{2} = a^{2}$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધતા: $x^{2} + 2(a^{2} - 2x^{2}) = a^{2} \implies 3x^{2} = a^{2} \implies x = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
$x = \frac{a}{\sqrt{3}}$ માટે,$y = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{a/\sqrt{3}} (y_1 - y_2) dx$ દ્વારા મળે છે.
સંકલનનું મૂલ્ય $\frac{a^{2}}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(B) આપેલ પરવલયોના સમીકરણો છે:
$y^2 = -8(x-2) \quad \dots(1)$
$y^2 = 24(x+2) \quad \dots(2)$
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2$ ના પદોને સરખાવતા:
$-8(x-2) = 24(x+2)$
$-8x + 16 = 24x + 48$
$-32x = 32 \implies x = -1$
$x = -1$ માટે,$y^2 = 24(-1+2) = 24$,તેથી $y = \pm 2\sqrt{6}$.
ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,તેથી કુલ ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની ઉપરના ભાગના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું થશે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 2 \left[ \int_{-2}^{-1} \sqrt{24(x+2)} \, dx + \int_{-1}^{2} \sqrt{-8(x-2)} \, dx \right]$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 2 \left[ 2\sqrt{6} \int_{-2}^{-1} \sqrt{x+2} \, dx + 2\sqrt{2} \int_{-1}^{2} \sqrt{2-x} \, dx \right]$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 4 \left[ \sqrt{6} \left( \frac{2}{3}(x+2)^{3/2} \right)_{-2}^{-1} + \sqrt{2} \left( -\frac{2}{3}(2-x)^{3/2} \right)_{-1}^{2} \right]$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 4 \left[ \sqrt{6} \left( \frac{2}{3}(1) - 0 \right) + \sqrt{2} \left( 0 - (-\frac{2}{3}(3)^{3/2}) \right) \right]$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 4 \left[ \frac{2\sqrt{6}}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 3\sqrt{3} \right] = 4 \left[ \frac{2\sqrt{6}}{3} + 2\sqrt{6} \right] = 4 \left[ \frac{8\sqrt{6}}{3} \right] = \frac{32}{3} \sqrt{6} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) આપેલ વક્રો $y=4x^{2}$ અને $y=\frac{x^{2}}{9}$ માટે,$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$y=4x^{2}$ માટે,$x^{2}=\frac{y}{4} \implies x = \pm \frac{\sqrt{y}}{2}$.
$y=\frac{x^{2}}{9}$ માટે,$x^{2}=9y \implies x = \pm 3\sqrt{y}$.
આ પ્રદેશ $y=0$ થી $y=2$ ની વચ્ચે આવેલો છે અને $y$-અક્ષની સાપેક્ષે સંમિત છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = 2 \int_{0}^{2} \left(3\sqrt{y} - \frac{\sqrt{y}}{2}\right) dy$
$A = 2 \int_{0}^{2} \frac{5\sqrt{y}}{2} dy = 5 \int_{0}^{2} y^{1/2} dy$
$A = 5 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} = 5 \times \frac{2}{3} \times (2)^{3/2}$
$A = \frac{10}{3} \times 2\sqrt{2} = \frac{20\sqrt{2}}{3} \text{ ચો. એકમ}$.

(B) પરવલયો $x = -2y^{2}$ અને $x = 1 - 3y^{2}$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$-2y^{2} = 1 - 3y^{2}$
$y^{2} = 1$
$y = \pm 1$
આમ,વક્રો $y = -1$ અને $y = 1$ પર છેદે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ જમણી બાજુના વક્રમાંથી ડાબી બાજુના વક્રને બાદ કરીને $y$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_{-1}^{1} [(1 - 3y^{2}) - (-2y^{2})] dy$
$A = \int_{-1}^{1} (1 - y^{2}) dy$
કારણ કે વિધેય $(1 - y^{2})$ એ યુગ્મ વિધેય છે,આપણે સંકલનને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$A = 2 \int_{0}^{1} (1 - y^{2}) dy$
$A = 2 [y - \frac{y^{3}}{3}]_{0}^{1}$
$A = 2 (1 - \frac{1}{3}) = 2 (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ ચોરસ એકમ.

(B) વક્રો $y=x+1$ અને $y=\cos x$ છે. આ પ્રદેશ આ વક્રો અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
આલેખ પરથી,પ્રદેશ $x=0$ આગળ બે ભાગમાં વહેંચાય છે.
$x \in [-1, 0]$ માટે,પ્રદેશ $y=x+1$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
$x \in [0, \pi/2]$ માટે,પ્રદેશ $y=\cos x$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
$\text{જરૂરી ક્ષેત્રફળ} = \int_{-1}^{0} (x+1) dx + \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{0} + [\sin x]_{0}^{\pi/2}$
$= \left( (0) - \left( \frac{(-1)^2}{2} - 1 \right) \right) + (\sin(\pi/2) - \sin(0))$
$= \left( 0 - (\frac{1}{2} - 1) \right) + (1 - 0)$
$= \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(B) આપેલ છે કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=2ax$ છે,જેને $(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}$ તરીકે લખી શકાય.
પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=ax$ છે,જ્યાં $a>0$.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^{2}=ax$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{2}+ax=2ax$
$x^{2}-ax=0$
$x(x-a)=0$
આમ,$x=0$ અથવા $x=a$.
છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(a, a)$ છે ($X$-અક્ષની ઉપરનો ભાગ ધ્યાનમાં લેતા).
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં વર્તુળના ચોથા ભાગનું ક્ષેત્રફળ માઈનસ $x=0$ થી $x=a$ સુધી પરવલયની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{a} \sqrt{2ax-x^{2}} dx - \int_{0}^{a} \sqrt{ax} dx$
$= \frac{\pi a^{2}}{4} - \sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{a}$
$= \frac{\pi a^{2}}{4} - \frac{2}{3} \sqrt{a} (a^{3/2})$
$= \frac{\pi a^{2}}{4} - \frac{2a^{2}}{3}$
$= a^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}\right)$

(C) વક્રો $y=\sqrt{5-x^2}$ (ત્રિજ્યા $\sqrt{5}$ વાળું અર્ધવર્તુળ) અને $y=|x-1|$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$\sqrt{5-x^2} = |x-1|$ લો.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $5-x^2 = x^2-2x+1 \implies 2x^2-2x-4=0 \implies x^2-x-2=0 \implies (x-2)(x+1)=0$.
તેથી,છેદબિંદુઓ $x=-1$ અને $x=2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-1}^{2} (\sqrt{5-x^2} - |x-1|) dx$.
$A = \int_{-1}^{2} \sqrt{5-x^2} dx - \int_{-1}^{2} |x-1| dx$.
પ્રથમ સંકલન માટે,$\int_{-1}^{2} \sqrt{5-x^2} dx = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{5-x^2} + \frac{5}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right) \right]_{-1}^{2} = 2 + \frac{5\pi}{4}$.
બીજા સંકલન માટે,$\int_{-1}^{2} |x-1| dx = \int_{-1}^{1} (1-x) dx + \int_{1}^{2} (x-1) dx = 2 + 0.5 = 2.5 = 5/2$.
આમ,$A = 2 + \frac{5\pi}{4} - 2.5 = \frac{5\pi}{4} - 0.5$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y=x^{2}-4x+5$ $(i)$ છે અને રેખાનું સમીકરણ $y=x+1$ (ii) છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$x^{2}-4x+5 = x+1$
$x^{2}-5x+4 = 0$
$(x-1)(x-4) = 0$
આમ,છેદબિંદુઓ $x=1$ અને $x=4$ પર મળે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $x=1$ થી $x=4$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \int_{1}^{4} \{(x+1) - (x^{2}-4x+5)\} dx$
$\text{Area} = \int_{1}^{4} (-x^{2}+5x-4) dx$
$\text{Area} = \left[ -\frac{x^{3}}{3} + \frac{5x^{2}}{2} - 4x \right]_{1}^{4}$
સીમાઓ મૂકતા:
$\text{Area} = \left( -\frac{64}{3} + \frac{5(16)}{2} - 4(4) \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5(1)}{2} - 4(1) \right)$
$\text{Area} = \left( -\frac{64}{3} + 40 - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right)$
$\text{Area} = \left( 24 - \frac{64}{3} \right) - \left( \frac{5}{2} - \frac{13}{3} \right)$
$\text{Area} = \frac{8}{3} - \left( \frac{15-26}{6} \right) = \frac{8}{3} - \left( -\frac{11}{6} \right) = \frac{16+11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

(D) આપેલ છે કે,$f(x)=x^{2/3}$ અને રેખા $y=x$.
$x \in [1, 8]$ માટે,$x \geq x^{2/3}$ થાય કારણ કે $x \geq 1$ માટે $x^3 \geq x^2$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{8} (x - x^{2/3}) dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{3}{5} x^{5/3} \right]_{1}^{8}$
$= \left( \frac{8^2}{2} - \frac{3}{5} (8)^{5/3} \right) - \left( \frac{1^2}{2} - \frac{3}{5} (1)^{5/3} \right)$
$= \left( \frac{64}{2} - \frac{3}{5} \times 32 \right) - \left( \frac{1}{2} - \frac{3}{5} \right)$
$= \left( 32 - \frac{96}{5} \right) - \left( \frac{5-6}{10} \right)$
$= \left( \frac{160-96}{5} \right) - \left( -\frac{1}{10} \right)$
$= \frac{64}{5} + \frac{1}{10} = \frac{128+1}{10} = \frac{129}{10}$.

(B) વક્રો $y=x^{3}$ અને $y=\frac{1}{x}$ એ $x^{3} = \frac{1}{x}$ પર છેદે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^{4} = 1$. પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x=1$ મળે છે. $x=1$ આગળ,$y=1$ થાય છે.
આ પ્રદેશ $x=0$ થી $x=1$ સુધી $y=x^{3}$ દ્વારા અને $x=1$ થી $x=2$ સુધી $y=\frac{1}{x}$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{1} x^{3} dx + \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$
$= \left[ \frac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{1} + \left[ \log_{e} x \right]_{1}^{2}$
$= (\frac{1}{4} - 0) + (\log_{e} 2 - \log_{e} 1)$
$= \frac{1}{4} + \log_{e} 2$.

(C) વિધેય $y = \sin^{-1} x$ એ $-1 \leq x \leq 1$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે. પ્રથમ ચરણમાં,$0 \leq x \leq 1$ છે.
$x \in [0, 1]$ માટે $x(1-x) \geq 0$ હોવાથી,વક્ર $y_1 = \sin^{-1} x + x(1-x)$ એ વક્ર $y_2 = \sin^{-1} x - x(1-x)$ ની ઉપર આવેલો છે.
છેદબિંદુઓ $y_1 = y_2$ લેતા મળે છે,જે $2x(1-x) = 0$ આપે છે,એટલે કે $x = 0$ અથવા $x = 1$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{1} (y_1 - y_2) dx = \int_{0}^{1} [(\sin^{-1} x + x - x^2) - (\sin^{-1} x - x + x^2)] dx$
$A = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) dx = 2 \int_{0}^{1} (x - x^2) dx$
$A = 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{3}$.

(D) $y^2=x$ અને $y=x$ વક્રો વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$y^2 = y \implies y^2 - y = 0 \implies y(y-1) = 0$.
આમ,છેદબિંદુઓ $y=0$ અને $y=1$ આગળ મળે છે. અનુરૂપ $x$ ની કિંમતો $x=0$ અને $x=1$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0$ થી $x=1$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_0^1 (\sqrt{x} - x) \, dx$
$A = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1$
$A = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1$
$A = \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1}{2}(1)^2 \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલા વક્રો $y^2 = 4x$ અને $x^2 = 4y$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y = \frac{x^2}{4}$ ને $y^2 = 4x$ માં મૂકતા:
$(\frac{x^2}{4})^2 = 4x \implies \frac{x^4}{16} = 4x \implies x^4 = 64x \implies x(x^3 - 64) = 0$.
આમ,$x = 0$ અથવા $x = 4$. છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(4, 4)$ છે.
વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = 0$ થી $x = 4$ સુધીના ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્રના તફાવતનું સંકલન છે:
$A = \int_0^4 (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$A = \int_0^4 (2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$A = [2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^3}{3}]_0^4$
$A = [\frac{4}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4$
$A = (\frac{4}{3} \cdot 4^{3/2} - \frac{4^3}{12}) - (0 - 0)$
$A = (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12}) = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલ વક્રો $y^2 = x$ (જમણી તરફ ખુલતો પરવલય) અને $y = |x|$ ($V$-આકારનો આલેખ) છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $y^2 = x$ અને $y = |x|$ ને સરખાવીએ.
$y = |x|$ હોવાથી,$y^2 = x^2$ થાય.
$y^2 = x$ ને $x^2 = y^2$ માં મૂકતા,આપણને $x^2 = x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x(x - 1) = 0$.
આમ,છેદબિંદુઓ $x = 0$ અને $x = 1$ પર છે.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં,વક્ર $y = \sqrt{x}$ એ રેખા $y = x$ ની ઉપર આવેલો છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) \, dx$
$A = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$
$A = \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1^2}{2} \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4 - 3}{6} = \frac{1}{6} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) આપેલ પરવલયો $y=4x^2 \implies x^2 = \frac{y}{4} \implies x = \pm \frac{\sqrt{y}}{2}$ અને $y=\frac{x^2}{9} \implies x^2 = 9y \implies x = \pm 3\sqrt{y}$ છે.
પ્રદેશ $y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી,આપણે પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ શોધીને તેને $2$ વડે ગુણીશું.
પ્રથમ ચરણમાં,પ્રદેશ $y=0$ થી $y=2$ સુધી $x = 3\sqrt{y}$ અને $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{0}^{2} (3\sqrt{y} - \frac{\sqrt{y}}{2}) dy$.
$A = 2 \int_{0}^{2} (\frac{6\sqrt{y} - \sqrt{y}}{2}) dy = 2 \int_{0}^{2} \frac{5\sqrt{y}}{2} dy$.
$A = 5 \int_{0}^{2} y^{1/2} dy = 5 [\frac{y^{3/2}}{3/2}]_{0}^{2}$.
$A = 5 \times \frac{2}{3} [y^{3/2}]_{0}^{2} = \frac{10}{3} (2^{3/2} - 0)$.
$A = \frac{10}{3} (2\sqrt{2}) = \frac{20\sqrt{2}}{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) $P_{1}: y = 4x^{2}$ અને $P_{2}: y = x^{2} + 27$ ના છેદબિંદુઓ $4x^{2} = x^{2} + 27$ ઉકેલતા મળે છે,જે $3x^{2} = 27$ આપે છે,તેથી $x = \pm 3$.
$P_{1}$ અને $P_{2}$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A_{1} = \int_{-3}^{3} ((x^{2} + 27) - 4x^{2}) dx = \int_{-3}^{3} (27 - 3x^{2}) dx = 2 \int_{0}^{3} (27 - 3x^{2}) dx = 2 [27x - x^{3}]_{0}^{3} = 2(81 - 27) = 108$ ચોરસ એકમ.
પ્રશ્ન મુજબ,$P_{1}$ અને રેખા $y = \alpha x$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A_{2} = \frac{A_{1}}{6} = \frac{108}{6} = 18$ ચોરસ એકમ છે.
રેખા $y = \alpha x$ એ $P_{1}: y = 4x^{2}$ ને $4x^{2} = \alpha x$ પર છેદે છે,તેથી $x(4x - \alpha) = 0$,જે $x = 0$ અને $x = \frac{\alpha}{4}$ આપે છે.
ક્ષેત્રફળ $A_{2} = \int_{0}^{\alpha/4} (\alpha x - 4x^{2}) dx = [\frac{\alpha x^{2}}{2} - \frac{4x^{3}}{3}]_{0}^{\alpha/4} = \frac{\alpha}{2}(\frac{\alpha^{2}}{16}) - \frac{4}{3}(\frac{\alpha^{3}}{64}) = \frac{\alpha^{3}}{32} - \frac{\alpha^{3}}{48} = \frac{\alpha^{3}}{96}$.
$A_{2} = 18$ લેતા,$\frac{\alpha^{3}}{96} = 18$,તેથી $\alpha^{3} = 18 \times 96 = 1728$.
આમ,$\alpha = \sqrt[3]{1728} = 12$.

(C) પ્રદેશ $R$ એ $y=x^2$, $y=1$, અને $xy=8$ (અથવા $y=8/x$) દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
પ્રથમ, છેદબિંદુઓ શોધો:
$x^2=1 \implies x=1$ (કારણ કે $x \ge 0$)
$x^2=8/x \implies x^3=8 \implies x=2$
$8/x=1 \implies x=8$
ક્ષેત્રફળ $A$ એ બે સંકલનોના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx + \int_{2}^{8} (\frac{8}{x} - 1) dx$
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય:
$\int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx = [\frac{x^3}{3} - x]_{1}^{2} = (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - 1) = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય:
$\int_{2}^{8} (\frac{8}{x} - 1) dx = [8 \ln|x| - x]_{2}^{8} = (8 \ln 8 - 8) - (8 \ln 2 - 2) = 8(3 \ln 2) - 8 - 8 \ln 2 + 2 = 24 \ln 2 - 8 \ln 2 - 6 = 16 \ln 2 - 6$
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{4}{3} + 16 \ln 2 - 6 = 16 \ln 2 - \frac{14}{3} = \frac{48 \ln 2 - 14}{3} = \frac{2}{3}(24 \ln 2 - 7)$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે $A_1$ ની ગણતરી કરીએ:
$A_1 = \int_0^2 ((8-x) - (x^2+2)) dx = \int_0^2 (6-x-x^2) dx$
$A_1 = [6x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^2 = 12 - 2 - \frac{8}{3} = 10 - \frac{8}{3} = \frac{22}{3}$
હવે,આપણે $A_2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A_2 = \int_0^2 (x^2+2) dx - \int_0^2 \sqrt{x} dx$
$A_2 = [\frac{x^3}{3} + 2x]_0^2 - [\frac{2}{3}x^{3/2}]_0^2$
$A_2 = (\frac{8}{3} + 4) - \frac{2}{3}(2\sqrt{2}) = \frac{20}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}$
અંતે,$A_1 - A_2 = \frac{22}{3} - (\frac{20}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{2}{3}(1 + 2\sqrt{2})$

(A) આ પ્રદેશ પરવલય $y = 4 - x^2$,રેખા $y = -2x + 1$ અને અક્ષો $x \ge 0, y \ge 0$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx - \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ જેના શિરોબિંદુઓ } (0,0), (0.5,0), (0,1) \text{ છે.}$
ક્ષેત્રફળ $= [4x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{2} \times 0.5 \times 1$
$= (8 - \frac{8}{3}) - \frac{1}{4} = \frac{16}{3} - \frac{1}{4} = \frac{64 - 3}{12} = \frac{61}{12}$.
અહીં $\alpha = 61$ અને $\beta = 12$ છે,તેથી $\alpha + \beta = 61 + 12 = 73$.

(B) આપેલ પ્રદેશ ઉપવલય $4x^2 + y^2 = 8$ અને પરવલય $y^2 = 4x$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
પ્રથમ,$y^2 = 4x$ ને $4x^2 + y^2 = 8$ માં મૂકીને છેદબિંદુઓ શોધો:
$4x^2 + 4x - 8 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x+2)(x-1) = 0$.
પરવલય માટે $x \ge 0$ હોવાથી,$x = 1$ મળે. $x=1$ માટે,$y^2 = 4$,તેથી $y = \pm 2$.
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_0^1 \sqrt{4x} dx + 2 \int_1^{\sqrt{2}} \sqrt{8-4x^2} dx$.
$= 4 \int_0^1 \sqrt{x} dx + 4 \int_1^{\sqrt{2}} \sqrt{2-x^2} dx$.
$= 4 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^1 + 4 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{2-x^2} + \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) \right]_1^{\sqrt{2}}$.
$= \frac{8}{3} + 4 \left[ (0 + \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{1} + \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})) \right]$.
$= \frac{8}{3} + 4 \left[ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} \right] = \frac{8}{3} + 2\pi - 2 - \pi = \pi + \frac{2}{3}$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ વર્તુળો $x^{2}+y^{2}=4$ (કેન્દ્ર $(0,0)$,ત્રિજ્યા $2$) અને $x^{2}+(y-2)^{2}=4$ (કેન્દ્ર $(0,2)$,ત્રિજ્યા $2$) છે.
સમીકરણો ઉકેલતા: $x^{2}+y^{2}=4$ અને $x^{2}+y^{2}-4y+4=4$.
બીજા સમીકરણમાં $x^{2}+y^{2}=4$ મૂકતા: $4-4y+4=4$,જે $4y=4$ આપે છે,તેથી $y=1$.
$y=1$ ને $x^{2}+y^{2}=4$ માં મૂકતા,આપણને $x^{2}+1=4$ મળે છે,તેથી $x^{2}=3$,$x=\pm\sqrt{3}$.
છેદબિંદુનું ક્ષેત્રફળ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{0}^{\sqrt{3}} [\sqrt{4-x^{2}} - (2 - \sqrt{4-x^{2}})] dx = 2 \int_{0}^{\sqrt{3}} (2\sqrt{4-x^{2}} - 2) dx = 4 \int_{0}^{\sqrt{3}} (\sqrt{4-x^{2}} - 1) dx$.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = 4 [\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}} + 2\sin^{-1}(\frac{x}{2}) - x]_{0}^{\sqrt{3}}$
$A = 4 [(\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{4-3} + 2\sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})) - \sqrt{3}]$
$A = 4 [\frac{\sqrt{3}}{2} + 2(\frac{\pi}{3}) - \sqrt{3}] = 4 [\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}] = \frac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3} = \frac{2}{3}(4\pi - 3\sqrt{3})$.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0$ થી $x=\frac{3\pi}{2}$ સુધીના વક્ર $y=\max\{\sin x, \cos x\}$ અને x-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
આપણે સંકલનને તે અંતરાલો પર વિભાજિત કરીએ છીએ જ્યાં $\sin x$ અથવા $\cos x$ મોટા હોય છે:
$A = \int_{0}^{\pi/4} \cos x \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi} \sin x \, dx + \int_{\pi}^{5\pi/4} |\sin x| \, dx + \int_{5\pi/4}^{3\pi/2} |\cos x| \, dx$
ક્ષેત્રફળ x-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું હોવાથી,આપણે વિધેયો જ્યાં ઋણ હોય ત્યાં તેમનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય લઈએ છીએ.
$A = \int_{0}^{\pi/4} \cos x \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi} \sin x \, dx + \int_{\pi}^{5\pi/4} (-\sin x) \, dx + \int_{5\pi/4}^{3\pi/2} (-\cos x) \, dx$
$A = [\sin x]_{0}^{\pi/4} + [-\cos x]_{\pi/4}^{\pi} + [\cos x]_{\pi}^{5\pi/4} + [-\sin x]_{5\pi/4}^{3\pi/2}$
$A = (\frac{1}{\sqrt{2}} - 0) + (-(-1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}})) + (-\frac{1}{\sqrt{2}} - (-1)) + (-(-1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}}))$
$A = \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = 3$
આમ,$A+A^2 = 3 + 3^2 = 3 + 9 = 12$.

(D) સૌ પ્રથમ,$y=1+x^2$ અને $y=3-x$ ના છેદબિંદુઓ મેળવવા માટે $1+x^2=3-x$ લો,જે $x^2+x-2=0$ આપે છે,તેથી $(x+2)(x-1)=0$. છેદબિંદુઓ $x=-2$ અને $x=1$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-2}^{1} [(3-x)-(1+x^2)] dx = \int_{-2}^{1} (2-x-x^2) dx = [2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{1} = \frac{13}{2}$.
$x=-1$ ની ડાબી બાજુનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \int_{-2}^{-1} (2-x-x^2) dx = \frac{7}{6}$.
$x=-1$ ની જમણી બાજુનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \int_{-1}^{1} (2-x-x^2) dx = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $A_2 : A_1 = \frac{10/3}{7/6} = \frac{20}{7}$ છે. તેથી $m=20$ અને $n=7$,એટલે કે $m+n=27$.

(A) આપેલ લંબવૃત્ત $x^{2}+4y^{2}=4$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ તરીકે લખી શકાય છે. અહીં,$a=2$ અને $b=1$ છે.
લંબવૃત્તનું ક્ષેત્રફળ $A_{e} = \pi ab = \pi \times 2 \times 1 = 2\pi$ છે.
વક્રો $y=|x|-1$ અને $y=1-|x|$ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ એક ચોરસ છે જેના શિરોબિંદુઓ $(1,0), (0,1), (-1,0),$ અને $(0,-1)$ છે.
આ ચોરસની બાજુની લંબાઈ $s = \sqrt{(1-0)^{2}+(0-1)^{2}} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$ છે.
આ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_{s} = s^{2} = (\sqrt{2})^{2} = 2$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ લંબવૃત્તની અંદર અને ચોરસની બહારનો ભાગ છે,જે $A_{e} - A_{s} = 2\pi - 2 = 2(\pi-1)$ છે.

(B) વક્રો $y = 6-x$ અને $y^2 = 4x-3$ છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો: $(6-x)^2 = 4x-3 \implies 36 - 12x + x^2 = 4x - 3 \implies x^2 - 16x + 39 = 0$.
અવયવ પાડતા $(x-3)(x-13) = 0$ મળે,તેથી $x=3$ અથવા $x=13$.
$x=3$ માટે,$y=3$ મળે છે. આ પ્રદેશ $x=0$,$y=6-x$,અને $y^2=4x-3$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $\int_0^3 (6-x) dx - \int_{3/4}^3 2\sqrt{x-3/4} dx$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $[6x - x^2/2]_0^3 = 18 - 4.5 = 13.5$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_{3/4}^3 2(x-3/4)^{1/2} dx = [2 \cdot \frac{2}{3} (x-3/4)^{3/2}]_{3/4}^3 = \frac{4}{3} (3-0.75)^{3/2} = \frac{4}{3} (2.25)^{3/2} = \frac{4}{3} (3.375) = 4.5$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 13.5 - 4.5 = 9$.

(C) આપેલ વક્રો $x = -3y^2$ અને $x = 1 - 4y^2$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$-3y^2 = 1 - 4y^2$
$y^2 = 1$
$y = \pm 1$.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y$ ની સાપેક્ષમાં $-1$ થી $1$ સુધી જમણી બાજુના વક્રમાંથી ડાબી બાજુના વક્રને બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_{-1}^{1} ((1 - 4y^2) - (-3y^2)) \, dy$
$A = \int_{-1}^{1} (1 - y^2) \, dy$
$A = [y - \frac{y^3}{3}]_{-1}^{1}$
$A = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 - \frac{(-1)^3}{3})$
$A = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3})$
$A = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ છે કે $f(x) + 3f(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$ $(1)$.
$x$ ને $\frac{\pi}{2} - x$ વડે બદલતા,આપણને $f(\frac{\pi}{2} - x) + 3f(x) = \cos x$ $(2)$ મળે છે.
સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $3f(\frac{\pi}{2} - x) + 9f(x) = 3\cos x$ $(3)$.
સમીકરણ $(3)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $8f(x) = 3\cos x - \sin x$.
તેથી,$f(x) = \frac{3}{8}\cos x - \frac{1}{8}\sin x$.
$f(x) = A\cos x + B\sin x$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{A^2 + B^2}$ છે.
તેથી,$\alpha = \sqrt{(\frac{3}{8})^2 + (-\frac{1}{8})^2} = \sqrt{\frac{9+1}{64}} = \frac{\sqrt{10}}{8}$.
તેથી $\alpha^2 = \frac{10}{64} = \frac{5}{32}$.
વક્રો $g(x) = x^2$ અને $h(x) = \beta x^3$ એ $x^2 = \beta x^3$ પર છેદે છે,જે $x = 0$ અને $x = \frac{1}{\beta}$ આપે છે.
ક્ષેત્રફળ $\int_0^{1/\beta} (x^2 - \beta x^3) dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{\beta x^4}{4}]_0^{1/\beta} = \frac{1}{3\beta^3} - \frac{1}{4\beta^3} = \frac{1}{12\beta^3}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{1}{12\beta^3} = \alpha^2 = \frac{5}{32}$.
તેથી,$12\beta^3 = \frac{32}{5} = 6.4$,તેથી $\beta^3 = \frac{6.4}{12} = \frac{8}{15}$.
અંતે,$30\beta^3 = 30 \times \frac{8}{15} = 16$.