Integral of the form ex(F(x) + F'(x)) dx Questions in Gujarati

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$.
આપેલ સંકલન $I = \int e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \right) dx$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $1 + \sin x = 1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ અને $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$.
આ કિંમતો પદમાં મૂકતા: $\frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} = \frac{1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2}$.
ધારો કે $f(x) = \tan \frac{x}{2}$,તો $f'(x) = \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}$.
આમ,સંકલન $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c = e^x \tan \frac{x}{2} + c$ થાય છે.

(B) ધારો કે $I = \int \left\{ \cos^{-1} x - (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \right\} k \, dx$.
આપેલ છે કે $\int \left\{ \cos^{-1} x - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right\} k \, dx = k \cdot \cos^{-1} x + c$.
ધારો કે $f(x) = \cos^{-1} x$. તો $f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
સંકલન આ મુજબ બને છે: $\int k \left\{ f(x) + f'(x) \right\} dx = k \cdot \cos^{-1} x + c$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^x \{ f(x) + f'(x) \} dx = e^x f(x) + c$.
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $\int k \{ f(x) + f'(x) \} dx = k \cdot f(x) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $k$ એ $x$ નું એવું વિધેય હોવું જોઈએ કે જેથી $k = e^x$ થાય.
આમ,$k = e^x$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\int e^x(2021 + \tan x + \tan^2 x) dx = \int e^x(2020 + 1 + \tan^2 x + \tan x) dx$
$= \int e^x(2020 + \sec^2 x + \tan x) dx$
$= \int e^x(2020 + \tan x) dx + \int e^x \sec^2 x dx$.
ધારો કે $f(x) = 2020 + \tan x$. તો $f'(x) = \sec^2 x$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x(f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\int e^x(2020 + \tan x + \sec^2 x) dx = e^x(2020 + \tan x) + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપણે પ્રમાણિત સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + C$.
આપેલ સંકલન: $I = \int \frac{x+100}{(x+101)^2} e^x \, dx$.
અંશને આ રીતે લખી શકાય: $x + 100 = (x + 101) - 1$.
તેથી,સંકલન આ મુજબ થશે: $I = \int \frac{(x+101) - 1}{(x+101)^2} e^x \, dx$.
$I = \int \left( \frac{x+101}{(x+101)^2} - \frac{1}{(x+101)^2} \right) e^x \, dx$.
$I = \int \left( \frac{1}{x+101} - \frac{1}{(x+101)^2} \right) e^x \, dx$.
ધારો કે $f(x) = \frac{1}{x+101}$.
તો $f'(x) = -\frac{1}{(x+101)^2}$.
આ અભિવ્યક્તિ $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,પરિણામ $e^x f(x) + C$ મળે છે.
તેથી,$I = e^x \left( \frac{1}{x+101} \right) + C = \frac{e^x}{x+101} + C$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + C$ સ્વરૂપના સંકલનનું મૂલ્ય $e^x f(x) + C$ થાય છે.
આપેલ સંકલન $\int e^x \cdot \sec x(1 + \tan x) \, dx$ છે.
આને $\int e^x (\sec x + \sec x \tan x) \, dx$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
અહીં,ધારો કે $f(x) = \sec x$.
તેથી,તેનું વિકલન $f'(x) = \sec x \tan x$ થાય છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\int e^x (f(x) + f'(x)) \, dx = e^x \sec x + C$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપણે સંકલન $I = \int e^x (\tan x + \tan^2 x) \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ યાદ કરો,જેનો અર્થ છે કે $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$.
આને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int e^x (\tan x + \sec^2 x - 1) \, dx$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$I = \int e^x ((\tan x - 1) + \sec^2 x) \, dx$.
ધારો કે $f(x) = \tan x - 1$.
તો,$f'(x) = \sec^2 x$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x (f(x) + f'(x)) \, dx = e^x f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = e^x (\tan x - 1) + C$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપણે સંકલન $I = \int \frac{(x-3) e^x}{(x-1)^3} d x$ ની કિંમત શોધવી છે.
અંશને $(x-1-2)$ તરીકે ફરીથી લખો:
$I = \int \frac{(x-1-2) e^x}{(x-1)^3} d x$
$I = \int \left( \frac{x-1}{(x-1)^3} - \frac{2}{(x-1)^3} \right) e^x d x$
$I = \int \left( \frac{1}{(x-1)^2} - \frac{2}{(x-1)^3} \right) e^x d x$
પ્રમાણિત સંકલન સ્વરૂપ $\int e^x [f(x) + f'(x)] d x = e^x f(x) + C$ યાદ કરો.
ધારો કે $f(x) = \frac{1}{(x-1)^2} = (x-1)^{-2}$.
તો $f'(x) = -2(x-1)^{-3} = -\frac{2}{(x-1)^3}$ થાય.
કારણ કે સંકલ્ય $e^x [f(x) + f'(x)]$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી સંકલન $e^x f(x) + C$ થશે.
તેથી,$I = \frac{e^x}{(x-1)^2} + C$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + c$.
પ્રથમ,સંકલ્યને ફરીથી લખો: $\frac{x^2+1}{(x+1)^2} = \frac{x^2-1+2}{(x+1)^2} = \frac{(x-1)(x+1)+2}{(x+1)^2} = \frac{x-1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2}$.
ધારો કે $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$.
તો $f'(x) = \frac{(x+1)(1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.
આમ,સંકલન $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + c = \left( \frac{x-1}{x+1} \right) e^x + c$ થાય છે.

(A) આપેલ સંકલન $ I = \int e^{x} \left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right) dx $ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $ 1+\cos x = 2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) $ અને $ \sin x = 2\sin \left( \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right) $ નો ઉપયોગ કરતા:
$ I = \int e^{x} \left( \frac{1 + 2\sin \left( \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right)}{2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} \right) dx $
$ I = \int e^{x} \left( \frac{1}{2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} + \frac{2\sin \left( \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right)}{2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} \right) dx $
$ I = \int e^{x} \left( \frac{1}{2} \sec^2 \left( \frac{x}{2} \right) + \tan \left( \frac{x}{2} \right) \right) dx $
આપણે જાણીએ છીએ કે $ \int e^{x} (f(x) + f'(x)) dx = e^{x} f(x) + C $.
અહીં,$ f(x) = \tan \left( \frac{x}{2} \right) $ લો. તો $ f'(x) = \sec^2 \left( \frac{x}{2} \right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec^2 \left( \frac{x}{2} \right) $.
તેથી,$ I = e^{x} \tan \left( \frac{x}{2} \right) + C $.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{x e^{x} d x}{(1+x)^{2}}$.
અંશને $(x+1-1)$ તરીકે લખતા:
$I = \int \frac{e^{x}(x+1-1)}{(1+x)^{2}} d x$.
$I = \int e^{x} \left[ \frac{x+1}{(1+x)^{2}} - \frac{1}{(1+x)^{2}} \right] d x$.
$I = \int e^{x} \left[ \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^{2}} \right] d x$.
ધારો કે $f(x) = \frac{1}{1+x}$,તો $f'(x) = -\frac{1}{(1+x)^{2}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] d x = e^{x} f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = e^{x} \left( \frac{1}{1+x} \right) + C = \frac{e^{x}}{1+x} + C$.

(A) ધારો કે $I = \int e^{x} \left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right) dx$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$1+\sin x = 1+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ અને $1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int e^{x} \left( \frac{1+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^{x} \left( \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^{x} \left( \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} \right) dx$.
ધારો કે $f(x) = \tan \frac{x}{2}$. તો $f'(x) = \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}$.
સંકલન $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,
આપણને $I = e^{x} \tan \frac{x}{2} + C$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,$ I = \int \frac{e^{x}(x^{2} \tan^{-1} x + \tan^{-1} x + 1)}{x^{2} + 1} dx $.
અંશમાં પદોને ગોઠવતા:
$ I = \int e^{x} \left( \frac{(x^{2} + 1) \tan^{-1} x + 1}{x^{2} + 1} \right) dx $.
દરેક પદને $ x^{2} + 1 $ વડે ભાગતા:
$ I = \int e^{x} \left( \tan^{-1} x + \frac{1}{x^{2} + 1} \right) dx $.
ધારો કે $ f(x) = \tan^{-1} x $,તો $ f'(x) = \frac{1}{x^{2} + 1} $ થાય.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $ \int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + c $ નો ઉપયોગ કરતા:
$ I = e^{x} \tan^{-1} x + c $.

(A) ધારો કે $I = \int e^{\sin x} \cdot \left(\frac{\sin x+1}{\sec x}\right) d x$.
કારણ કે $\frac{1}{\sec x} = \cos x$,આપણે સંકલનને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int e^{\sin x} (\sin x + 1) \cos x \, dx$.
ધારો કે $u = \sin x$,તો $du = \cos x \, dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int e^u (u + 1) \, du$.
$I = \int (u e^u + e^u) \, du$.
સંકલનના ખંડશઃ સંકલન (integration by parts) ના સૂત્ર $\int (f(u) + f'(u)) e^u \, du = e^u f(u) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(u) = u$ અને $f'(u) = 1$ છે:
$I = e^u \cdot u + C$.
$u = \sin x$ પાછું મૂકતા:
$I = \sin x \cdot e^{\sin x} + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{x-1}{(x+1)^{3}} e^{x} d x$.
અંશને $(x+1)-2$ તરીકે લખતા:
$I = \int \frac{(x+1)-2}{(x+1)^{3}} e^{x} d x$
$I = \int \left( \frac{x+1}{(x+1)^{3}} - \frac{2}{(x+1)^{3}} \right) e^{x} d x$
$I = \int \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} d x - \int \frac{2 e^{x}}{(x+1)^{3}} d x$.
હવે,પ્રથમ સંકલન $\int \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} d x$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \frac{1}{(x+1)^{2}}$ અને $dv = e^{x} dx$ લેતા:
$du = -2(x+1)^{-3} dx$ અને $v = e^{x}$.
$\int \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} d x = \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} - \int e^{x} \left( -\frac{2}{(x+1)^{3}} \right) d x$
$= \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} + \int \frac{2 e^{x}}{(x+1)^{3}} d x$.
આ કિંમત $I$ માં મૂકતા:
$I = \left( \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} + \int \frac{2 e^{x}}{(x+1)^{3}} d x \right) - \int \frac{2 e^{x}}{(x+1)^{3}} d x$
$I = \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} + C$.

(C) આપણને સંકલન $I = \int e^{x} \left( \frac{\sin x + \cos x}{\cos^2 x} \right) dx$ આપેલ છે.
નિત્યસમ $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદને ફરીથી લખીએ:
$I = \int e^{x} \left( \frac{\sin x}{\cos^2 x} + \frac{\cos x}{\cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^{x} (\tan x \sec x + \sec x) dx$
ધારો કે $f(x) = \sec x$. તો $f'(x) = \sec x \tan x$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત સંકલનનું સૂત્ર $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$ છે.
આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int e^{x} (\sec x + \sec x \tan x) dx = e^{x} \sec x + C$.

(A) ધારો કે $I = \int e^{\tan ^{-1} x} \left(1 + \frac{x}{1+x^2}\right) dx$.
આપણે સંકલનને આ રીતે વિભાજિત કરી શકીએ: $I = \int e^{\tan ^{-1} x} dx + \int \frac{x e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} dx$.
હવે,પ્રથમ સંકલન $\int e^{\tan ^{-1} x} dx$ માટે ખંડશઃ સંકલન (integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા,$u = e^{\tan ^{-1} x}$ અને $dv = dx$ લો.
તેથી $du = e^{\tan ^{-1} x} \cdot \frac{1}{1+x^2} dx$ અને $v = x$ મળે.
સૂત્ર $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\int e^{\tan ^{-1} x} dx = x e^{\tan ^{-1} x} - \int \frac{x e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} dx$.
આ કિંમત $I$ માં મૂકતા:
$I = \left(x e^{\tan ^{-1} x} - \int \frac{x e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} dx\right) + \int \frac{x e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} dx + c$.
સંકલનના પદો ઉડી જાય છે,તેથી $I = x e^{\tan ^{-1} x} + c$ મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^{x}(f(x)+f'(x))dx = e^{x}f(x)+c$.
અહીં,ધારો કે $f(x) = x^{5}$.
તેથી,$f'(x) = 5x^{4}$.
આપેલ સંકલન $\int e^{x}(x^{5}+5x^{4}+1)dx$ છે.
આપણે તેને $\int e^{x}(x^{5}+5x^{4})dx + \int e^{x}dx$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
સૂત્ર $\int e^{x}(f(x)+f'(x))dx = e^{x}f(x)+c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\int e^{x}(x^{5}+5x^{4})dx = e^{x}x^{5}+c_1$ મળે છે.
આમ,કુલ સંકલન $e^{x}x^{5} + e^{x} + c$ થાય છે.

(D) $I = \int_0^1 \frac{x e^x}{(2+x)^3} d x$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે સંકલ્યને નીચે મુજબ ફરીથી લખીએ છીએ:
$\frac{x}{(2+x)^3} = \frac{(x+2)-2}{(2+x)^3} = \frac{1}{(2+x)^2} - \frac{2}{(2+x)^3}$.
ધારો કે $f(x) = \frac{1}{(2+x)^2}$. તો $f'(x) = -2(2+x)^{-3} = -\frac{2}{(2+x)^3}$.
આમ,સંકલન $\int_0^1 e^x [f(x) + f'(x)] d x$ બને છે.
પ્રમાણિત પરિણામ $\int e^x [f(x) + f'(x)] d x = e^x f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = [e^x \cdot \frac{1}{(2+x)^2}]_0^1$.
સીમાઓ મૂકતા:
$I = (e^1 \cdot \frac{1}{(2+1)^2}) - (e^0 \cdot \frac{1}{(2+0)^2}) = \frac{e}{9} - \frac{1}{4}$.

(C) આપણને સંકલન $ I = \int \frac{(x+3) e^{x}}{(x+4)^{2}} d x $ આપેલ છે.
આને ઉકેલવા માટે,અંશને $(x+4-1)$ તરીકે લખીએ:
$ I = \int e^{x} \frac{(x+4-1)}{(x+4)^{2}} d x $.
અપૂર્ણાંકને અલગ પાડતા,આપણને મળે છે:
$ I = \int e^{x} \left[ \frac{x+4}{(x+4)^{2}} - \frac{1}{(x+4)^{2}} \right] d x $.
$ I = \int e^{x} \left[ \frac{1}{x+4} - \frac{1}{(x+4)^{2}} \right] d x $.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત સંકલનનું સૂત્ર:
$ \int e^{x} (f(x) + f'(x)) d x = e^{x} f(x) + C $.
અહીં,ધારો કે $ f(x) = \frac{1}{x+4} $.
તેથી,$ f'(x) = -\frac{1}{(x+4)^{2}} $.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$ I = e^{x} \left( \frac{1}{x+4} \right) + C = \frac{e^{x}}{x+4} + C $.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત સંકલનનું સૂત્ર: $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$ છે.
અહીં,$f(x) = \log x$ લો.
તેથી,$f'(x) = \frac{1}{x}$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\int e^x \left( \log x + \frac{1}{x} \right) dx = e^x \log x + C$ મળે છે.

(A) આપણી પાસે સંકલન $I = \int e^{-2x} \left( \frac{1 - \sin 2x}{1 + \cos 2x} \right) dx$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$1 - \sin 2x = 1 - 2 \sin x \cos x$ અને $1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$.
તેથી,પદ $\frac{1 - 2 \sin x \cos x}{2 \cos^2 x} = \frac{1}{2} \sec^2 x - \tan x$ બને છે.
આમ,$I = \int e^{-2x} (\frac{1}{2} \sec^2 x - \tan x) dx = \frac{1}{2} \int e^{-2x} \sec^2 x dx - \int e^{-2x} \tan x dx$.
પ્રથમ પદ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int e^{-2x} \sec^2 x dx = e^{-2x} \tan x - \int (-2e^{-2x}) \tan x dx = e^{-2x} \tan x + 2 \int e^{-2x} \tan x dx$.
આ કિંમત $I$ માં મૂકતા: $I = \frac{1}{2} [e^{-2x} \tan x + 2 \int e^{-2x} \tan x dx] - \int e^{-2x} \tan x dx$.
$I = \frac{1}{2} e^{-2x} \tan x + \int e^{-2x} \tan x dx - \int e^{-2x} \tan x dx = \frac{1}{2} e^{-2x} \tan x + C$.

(C) ધારો કે $I = \int \left( \frac{\log x - 1}{1 + (\log x)^2} \right)^2 dx$.
$t = \log x$ આદેશ લેતા,$x = e^t$ અને $dx = e^t dt$ મળે.
$I = \int e^t \frac{(t - 1)^2}{(1 + t^2)^2} dt = \int e^t \frac{t^2 - 2t + 1}{(1 + t^2)^2} dt$.
$I = \int e^t \left( \frac{t^2 + 1 - 2t}{(1 + t^2)^2} \right) dt = \int e^t \left( \frac{1}{1 + t^2} - \frac{2t}{(1 + t^2)^2} \right) dt$.
સૂત્ર $\int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(t) = \frac{1}{1 + t^2}$ અને $f'(t) = -\frac{2t}{(1 + t^2)^2}$ છે.
તેથી,$I = e^t \left( \frac{1}{1 + t^2} \right) + C = \frac{x}{1 + (\log x)^2} + C$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{e^{\sin x}(\sin 2x - 8 \cos x)}{2(\sin x - 3)^2} dx$.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{e^{\sin x}(2 \sin x \cos x - 8 \cos x)}{2(\sin x - 3)^2} dx = \int \frac{e^{\sin x} \cos x (\sin x - 4)}{(\sin x - 3)^2} dx$.
ધારો કે $t = \sin x$,તેથી $dt = \cos x dx$.
$I = \int \frac{e^t (t - 4)}{(t - 3)^2} dt = \int e^t \left( \frac{t - 3 - 1}{(t - 3)^2} \right) dt = \int e^t \left( \frac{1}{t - 3} - \frac{1}{(t - 3)^2} \right) dt$.
સૂત્ર $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(t) = \frac{1}{t - 3}$ અને $f'(t) = -\frac{1}{(t - 3)^2}$.
તેથી,$I = e^t \left( \frac{1}{t - 3} \right) + c = \frac{e^{\sin x}}{\sin x - 3} + c$.

(C) આપેલ સંકલન $\int e^{\sin x}(1+\sec x \tan x) d x = e^{\sin x} f(x) + c$ છે.
ધારો કે $I = \int e^{\sin x}(1+\sec x \tan x) d x$.
આપણે સંકલ્યને $e^{\sin x} + e^{\sin x} \sec x \tan x$ તરીકે લખી શકીએ.
$e^{\sin x} f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} [e^{\sin x} f(x)] = e^{\sin x} \cos x f(x) + e^{\sin x} f'(x) = e^{\sin x} (f'(x) + f(x) \cos x)$.
આને સંકલ્ય $e^{\sin x}(1+\sec x \tan x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f'(x) + f(x) \cos x = 1 + \sec x \tan x$ મળે છે.
નિરીક્ષણ દ્વારા,જો $f(x) = \sec x$ લઈએ,તો $f'(x) = \sec x \tan x$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\sec x \tan x + \sec x \cos x = \sec x \tan x + 1$.
આ સંકલ્ય સાથે બંધ બેસે છે. તેથી,$f(x) = \sec x$.
આપણે $0 \leq x \leq 2 \pi$ માં $f(x) = 1$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે.
$\sec x = 1 \implies \cos x = 1$.
અંતરાલ $[0, 2 \pi]$ માં,$\cos x = 1$ એ $x = 0$ અને $x = 2 \pi$ આગળ થાય છે.
તેથી,કુલ $2$ ઉકેલો મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{e^{\cot x}}{\sin^2 x} (2 \log \csc x + \sin 2 x) dx$.
$t = \cot x$ આદેશ લેતા,$dt = -\csc^2 x dx$ મળે,એટલે કે $\csc^2 x dx = -dt$.
અહીં $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ છે,તેથી $\frac{\sin 2x}{\sin^2 x} = 2 \cot x$.
આમ,$I = \int e^{\cot x} (2 \csc^2 x \log \csc x + 2 \cot x \csc^2 x) dx$.
આ પદાવલિનું સંકલન કરતા આપણને $-2 e^{\cot x} \log \csc x + C$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int e^{x \operatorname{cosec} x} \cdot \operatorname{cosec} x \cdot (1 - x \cot x) \, dx$.
$t = x \operatorname{cosec} x$ આદેશ લો.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dt}{dx} = x \cdot \frac{d}{dx}(\operatorname{cosec} x) + \operatorname{cosec} x \cdot \frac{d}{dx}(x)$
$\frac{dt}{dx} = x(-\operatorname{cosec} x \cot x) + \operatorname{cosec} x(1)$
$\frac{dt}{dx} = \operatorname{cosec} x(1 - x \cot x)$
તેથી,$dt = \operatorname{cosec} x(1 - x \cot x) \, dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int e^t \, dt = e^t + c$
$t = x \operatorname{cosec} x$ પાછું મૂકતા:
$I = e^{x \operatorname{cosec} x} + c$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\log _e x}{(1+\log _e x)^2} dx$.
$\log _e x = t$ આદેશ લેતા,$x = e^t$ અને $dx = e^t dt$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{t}{(1+t)^2} e^t dt$.
અંશને $(t+1-1)$ તરીકે લખતા:
$I = \int \frac{t+1-1}{(1+t)^2} e^t dt = \int \left( \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2} \right) e^t dt$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(t) = \frac{1}{1+t}$ અને $f'(t) = -\frac{1}{(1+t)^2}$:
$I = e^t \left( \frac{1}{1+t} \right) + C$.
$t = \log _e x$ પાછું મૂકતા:
$I = e^{\log _e x} \left( \frac{1}{1+\log _e x} \right) + C = \frac{x}{1+\log _e x} + C$.

(C) આપણી પાસે $I = \int e^x \left(\frac{x+2}{x+4}\right)^2 dx$ છે.
અંશને $(x+4-2)$ તરીકે લખો:
$I = \int e^x \left(\frac{x+4-2}{x+4}\right)^2 dx = \int e^x \left(1 - \frac{2}{x+4}\right)^2 dx$.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
$I = \int e^x \left(1 - \frac{4}{x+4} + \frac{4}{(x+4)^2}\right) dx$.
આને આ રીતે લખી શકાય:
$I = \int e^x \left(1 - \frac{4}{x+4}\right) dx + \int \frac{4 e^x}{(x+4)^2} dx$.
ધારો કે $f(x) = 1 - \frac{4}{x+4}$. તો $f'(x) = -(-4)(x+4)^{-2} = \frac{4}{(x+4)^2}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = e^x \left(1 - \frac{4}{x+4}\right) + c = e^x \left(\frac{x+4-4}{x+4}\right) + c = \frac{x e^x}{x+4} + c$.

(A) આપણે સૂત્ર $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $f(x) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$.
તો $f'(x) = 2x + 2 = 2(x+1)$.
આ સીધું આ સ્વરૂપમાં બંધબેસતું નથી.
વૈકલ્પિક રીતે,પદાવલિનું વિસ્તરણ કરો:
$\int e^x(x^2+2x+1) dx = \int e^x x^2 dx + \int e^x(2x+1) dx$.
$\int e^x x^2 dx$ પર ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$= x^2 e^x - \int 2x e^x dx + \int 2x e^x dx + \int e^x dx = x^2 e^x + e^x + c = e^x(x^2+1) + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} \left[ (\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2})^2 + \cos ^{-1} \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right) \right] dx$.
કારણ કે $\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2} = \tan ^{-1} x$ અને $\cos ^{-1} \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right) = 2 \tan ^{-1} x$,તેથી સંકલન નીચે મુજબ થાય છે:
$I = \int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} [(\tan ^{-1} x)^2 + 2 \tan ^{-1} x] dx$.
ધારો કે $t = \tan ^{-1} x$,તો $dt = \frac{1}{1+x^2} dx$.
$I = \int e^t (t^2 + 2t) dt = \int (t^2 e^t + 2t e^t) dt$.
સૂત્ર $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(t) = t^2$ અને $f'(t) = 2t$:
$I = e^t t^2 + C = e^{\tan ^{-1} x} (\tan ^{-1} x)^2 + C$.

(A) આપણને સંકલન $I = \int \frac{e^x(x + 3)}{(x + 5)^3} dx$ આપેલ છે.
પ્રથમ,અંશ $(x + 3)$ ને $(x + 5 - 2)$ તરીકે લખતા:
$I = \int \frac{e^x(x + 5 - 2)}{(x + 5)^3} dx$
$I = \int e^x \left[ \frac{x + 5}{(x + 5)^3} - \frac{2}{(x + 5)^3} \right] dx$
$I = \int e^x \left[ \frac{1}{(x + 5)^2} - \frac{2}{(x + 5)^3} \right] dx$
આપણે પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + c$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $f(x) = \frac{1}{(x + 5)^2} = (x + 5)^{-2}$.
તો $f'(x) = -2(x + 5)^{-3} = -\frac{2}{(x + 5)^3}$.
કારણ કે સંકલ્ય $e^x(f(x) + f'(x))$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી સંકલન $e^x f(x) + c$ થશે.
આમ,$I = \frac{e^x}{(x + 5)^2} + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} \left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}\right)^2 + \cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right] d x$,જ્યાં $x > 0$.
$\tan ^{-1} x = \theta$ લેતા,$x = \tan \theta$ અને $\frac{1}{1+x^2} d x = d \theta$ મળે.
$x > 0$ હોવાથી,$\theta \in (0, \pi/2)$.
અહીં $\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2} = \sec ^{-1} \sqrt{1+\tan^2 \theta} = \sec ^{-1} \sec \theta = \theta$.
તેમજ,$\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) = \cos ^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta$ (કારણ કે $2\theta \in (0, \pi)$).
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int e^{\theta} [\theta^2 + 2\theta] d \theta$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x [f(x) + f'(x)] d x = e^x f(x) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(\theta) = \theta^2$ અને $f'(\theta) = 2\theta$:
$I = e^{\theta} \theta^2 + c$.
$\theta = \tan ^{-1} x$ પાછું મૂકતા:
$I = e^{\tan ^{-1} x} (\tan ^{-1} x)^2 + c$.

(C) ધારો કે $I = \int 3^x \left(f^{\prime}(x) + f(x) \log 3\right) dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int \left(3^x f^{\prime}(x) + 3^x f(x) \log 3\right) dx$.
વિકલન માટે ગુણાકારનો નિયમ યાદ કરો: $\frac{d}{dx} \left(3^x f(x)\right) = 3^x f^{\prime}(x) + f(x) \cdot \frac{d}{dx}(3^x) = 3^x f^{\prime}(x) + f(x) \cdot 3^x \log 3$.
આમ,સંકલ્ય એ $3^x f(x)$ નું વિકલન છે.
તેથી,$\int \frac{d}{dx} \left(3^x f(x)\right) dx = 3^x f(x) + c$.

(A) આપણને સંકલન $I = \int e^x \left(\frac{x+2}{x+4}\right)^2 dx$ આપેલ છે.
પ્રથમ,કૌંસની અંદરના પદને ફરીથી લખતા:
$\frac{x+2}{x+4} = \frac{x+4-2}{x+4} = 1 - \frac{2}{x+4}$.
તેથી,$\left(\frac{x+2}{x+4}\right)^2 = \left(1 - \frac{2}{x+4}\right)^2 = 1 - \frac{4}{x+4} + \frac{4}{(x+4)^2}$.
હવે,સંકલન આ મુજબ થશે:
$I = \int e^x \left(1 - \frac{4}{x+4} + \frac{4}{(x+4)^2}\right) dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\int e^x [g(x) + g'(x)] dx = e^x g(x) + C$ છે.
ધારો કે $g(x) = 1 - \frac{4}{x+4}$.
તો $g'(x) = -\left(-\frac{4}{(x+4)^2}\right) = \frac{4}{(x+4)^2}$.
તેથી,$I = e^x \left(1 - \frac{4}{x+4}\right) + C = e^x \left(\frac{x+4-4}{x+4}\right) + C = \frac{x e^x}{x+4} + C$.
આમ,$f(x) = \frac{x e^x}{x+4}$.

(A) ધારો કે $I = \int \left( \frac{2 - \sin 2x}{1 - \cos 2x} \right) e^x \, dx$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ અને $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \left( \frac{2 - 2 \sin x \cos x}{2 \sin^2 x} \right) e^x \, dx$
$I = \int \left( \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\sin^2 x} \right) e^x \, dx$
$I = \int (\operatorname{cosec}^2 x - \cot x) e^x \, dx$
$I = \int e^x \operatorname{cosec}^2 x \, dx - \int e^x \cot x \, dx$.
પ્રથમ સંકલન $\int e^x \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે $u = \cot x$,તો $du = -\operatorname{cosec}^2 x \, dx$.
$\int e^x \operatorname{cosec}^2 x \, dx = e^x(-\cot x) - \int e^x(-\cot x) \, dx = -e^x \cot x + \int e^x \cot x \, dx$.
આ કિંમત $I$ માં મૂકતા:
$I = (-e^x \cot x + \int e^x \cot x \, dx) - \int e^x \cot x \, dx + c$
$I = -e^x \cot x + c$.

(C) ધારો કે $I = \int e^x \frac{x^2+1}{(x+1)^2} d x$.
અંશને $x^2 - 1 + 2$ તરીકે લખી શકાય.
$I = \int e^x \left( \frac{x^2-1+2}{(x+1)^2} \right) d x = \int e^x \left( \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} + \frac{2}{(x+1)^2} \right) d x$.
$I = \int e^x \left( \frac{x-1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2} \right) d x$.
ધારો કે $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$.
તેથી $f'(x) = \frac{(x+1)(1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x \{f(x) + f'(x)\} d x = e^x f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = e^x \left( \frac{x-1}{x+1} \right) + C$.

(A) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{3-x^2}{1-2 x+x^2} e^x d x$ છે.
અહીં $1-2x+x^2 = (1-x)^2$ હોવાથી,આપણે સંકલ્યને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$I = \int \frac{3-x^2}{(1-x)^2} e^x d x$
અંશને $f(x) + f'(x)$ ના સ્વરૂપમાં લાવવા માટે:
$I = \int \frac{2 + 1 - x^2}{(1-x)^2} e^x d x = \int \left( \frac{2}{(1-x)^2} + \frac{1-x^2}{(1-x)^2} \right) e^x d x$
$I = \int \left( \frac{2}{(1-x)^2} + \frac{(1-x)(1+x)}{(1-x)^2} \right) e^x d x$
$I = \int \left( \frac{2}{(1-x)^2} + \frac{1+x}{1-x} \right) e^x d x$
ધારો કે $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$. તો $f'(x) = \frac{(1-x)(1) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+1+x}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int (f(x) + f'(x)) e^x d x = e^x f(x) + c$,તેથી:
$I = e^x \left( \frac{1+x}{1-x} \right) + c$.
આપેલ પદ $e^x f(x) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$ મળે છે.

(B) આપણી પાસે સંકલન $I = \int e^{x / 2} \left( \frac{2 + \sin x}{1 + \cos x} \right) dx$ છે.
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $\sin x = \frac{2 \tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ અને $1 + \cos x = 2 \cos^2(x/2)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સંકલ્યને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$\frac{2 + \sin x}{1 + \cos x} = \frac{2}{2 \cos^2(x/2)} + \frac{2 \tan(x/2)}{(1 + \tan^2(x/2)) \cdot 2 \cos^2(x/2)}$
$= \sec^2(x/2) + \tan(x/2)$.
તેથી,$I = \int e^{x/2} (\sec^2(x/2) + \tan(x/2)) dx$.
ધારો કે $u = x/2$,તો $du = dx/2$,એટલે કે $dx = 2du$.
$I = \int e^u (\sec^2 u + \tan u) \cdot 2 du = 2 \int e^u (\tan u + \sec^2 u) du$.
કારણ કે $\frac{d}{du}(\tan u) = \sec^2 u$,સૂત્ર $\int e^u (f(u) + f'(u)) du = e^u f(u) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = 2 e^u \tan u + c = 2 e^{x/2} \tan(x/2) + c$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $I = \int \left( \frac{1}{\log x} - \frac{1}{(\log x)^2} \right) dx$.
$\log x = t$ આદેશ લેતા,તેથી $x = e^t$ મળે.
હવે,$dx = e^t dt$ થાય.
સંકલનમાં કિંમતો મૂકતા:
$I = \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \right) e^t dt$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત સંકલનનું સૂત્ર: $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + C$ છે.
અહીં,$f(t) = \frac{1}{t}$ અને $f'(t) = -\frac{1}{t^2}$ છે.
તેથી,$I = e^t \cdot \frac{1}{t} + c$.
હવે $t = \log x$ અને $e^t = x$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{x}{\log x} + c$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) વિધાન: ધારો કે $I = \int_2^e \left(\frac{1}{\log_e x} - \frac{1}{(\log_e x)^2}\right) dx$.
ધારો કે $\log_e x = y$,તેથી $x = e^y$ અને $dx = e^y dy$.
જ્યારે $x = 2$,ત્યારે $y = \log_e 2$. જ્યારે $x = e$,ત્યારે $y = 1$.
સંકલનમાં કિંમતો મૂકતા: $I = \int_{\log_e 2}^1 e^y \left(\frac{1}{y} - \frac{1}{y^2}\right) dy$.
સૂત્ર $\int e^y (f(y) + f'(y)) dy = e^y f(y) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(y) = \frac{1}{y}$ અને $f'(y) = -\frac{1}{y^2}$.
$I = \left[ e^y \cdot \frac{1}{y} \right]_{\log_e 2}^1 = \left( e^1 \cdot \frac{1}{1} \right) - \left( e^{\log_e 2} \cdot \frac{1}{\log_e 2} \right) = e - \frac{2}{\log_e 2} = e - 2 \log_2 e$.
કારણ $(R)$ એ પ્રમાણિત સૂત્ર $\int_a^b e^x (f(x) + f'(x)) dx = [e^x f(x)]_a^b$ આપે છે,જે સાચું છે.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(B) $I = \int_0^1 \frac{x e^x}{(x+1)^2} d x$
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int_0^1 e^x \left[ \frac{x+1-1}{(x+1)^2} \right] d x$
$I = \int_0^1 e^x \left[ \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2} \right] d x$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x [f(x) + f'(x)] d x = e^x f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $f(x) = \frac{1}{x+1}$.
તેથી,$f'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}$.
આમ,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \left[ e^x \cdot \frac{1}{x+1} \right]_0^1$
$I = \left( \frac{e^1}{1+1} \right) - \left( \frac{e^0}{0+1} \right)$
$I = \frac{e}{2} - 1$

(B) આપણી પાસે સંકલન $I = \int e^x \left( \frac{2 + \sin 2x}{1 + \cos 2x} \right) dx$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ અને $1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int e^x \left( \frac{2 + 2 \sin x \cos x}{2 \cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{2(1 + \sin x \cos x)}{2 \cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^x (\sec^2 x + \tan x) dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સ્વરૂપ $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$ યાદ કરો.
અહીં,ધારો કે $f(x) = \tan x$,તો $f'(x) = \sec^2 x$ થાય.
તેથી,$I = e^x \tan x + C$.

(D) ધારો કે $I = \int_{\alpha+1}^{\alpha} \frac{e^x(\alpha-x)}{(x-\alpha+1)^2} dx$.
$u = x - \alpha + 1$ આદેશ લેતા,$du = dx$ મળે.
જ્યારે $x = \alpha+1$,ત્યારે $u = 2$. જ્યારે $x = \alpha$,ત્યારે $u = 1$.
વળી,$\alpha - x = 1 - u$.
તેથી,$I = \int_{2}^{1} \frac{e^{u+\alpha-1}(1-u)}{u^2} du = e^{\alpha-1} \int_{2}^{1} e^u \left(\frac{1}{u^2} - \frac{1}{u}\right) du$.
સૂત્ર $\int e^u (f(u) + f'(u)) du = e^u f(u) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(u) = -\frac{1}{u}$ અને $f'(u) = \frac{1}{u^2}$.
$I = e^{\alpha-1} \left[ e^u \left(-\frac{1}{u}\right) \right]_{2}^{1} = e^{\alpha-1} \left[ -e^1 + \frac{e^2}{2} \right] = e^{\alpha-1} \left[ \frac{e^2 - 2e}{2} \right] = e^{\alpha} \left( \frac{e-2}{2} \right)$.

(B) આપેલ છે,$\int e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) d x=-e^x \cot \frac{x}{2}+c$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) = \frac{d}{dx} \left(-e^x \cot \frac{x}{2}\right)$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$:
$e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) = -\left[e^x \cot \frac{x}{2} + e^x \left(-\frac{1}{2} \csc^2 \frac{x}{2}\right)\right]$.
$e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) = -e^x \left[\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{1}{2 \sin^2(x/2)}\right]$.
$e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) = -e^x \left[\frac{2 \sin(x/2) \cos(x/2) - 1}{2 \sin^2(x/2)}\right]$.
$2 \sin(x/2) \cos(x/2) = \sin x$ અને $2 \sin^2(x/2) = 1 - \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) = -e^x \left[\frac{\sin x - 1}{1 - \cos x}\right] = e^x \left(\frac{1 - \sin x}{1 - \cos x}\right)$.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $\alpha = 1$ અને $\beta = 1$ મળે છે.
તેથી,$\frac{\alpha^2 + \beta^2}{2 \alpha \beta} = \frac{1^2 + 1^2}{2(1)(1)} = \frac{2}{2} = 1$.

(D) ધારો કે $I = \int e^x \left( \frac{\sec^2 x + \tan x - \cot x}{\sin x} \right) dx$.
આપણે સંકલ્યને નીચે મુજબ ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int e^x \left( \frac{\sec^2 x}{\sin x} + \frac{\tan x}{\sin x} - \frac{\cot x}{\sin x} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \sec^2 x \operatorname{cosec} x + \sec x - \cot x \operatorname{cosec} x \right) dx$
નિત્યસમ $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int e^x \left( \operatorname{cosec} x(1 + \tan^2 x) + \sec x - \cot x \operatorname{cosec} x \right) dx$
$I = \int e^x \left( \operatorname{cosec} x + \operatorname{cosec} x \tan^2 x + \sec x - \cot x \operatorname{cosec} x \right) dx$
કારણ કે $\operatorname{cosec} x \tan^2 x = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec x \tan x$,તેથી પદ આ મુજબ બને છે:
$I = \int e^x \left( (\operatorname{cosec} x - \cot x \operatorname{cosec} x) + (\sec x + \sec x \tan x) \right) dx$
આ $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + c$ ના સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$f(x) = \operatorname{cosec} x + \sec x$ અને $f'(x) = -\operatorname{cosec} x \cot x + \sec x \tan x$ છે.
તેથી,$I = e^x(\operatorname{cosec} x + \sec x) + c$.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $I = \int \left( \frac{1-\log x}{1+(\log x)^2} \right)^2 dx$.
$\log x = t$ આદેશ લેતા,$x = e^t$ અને $dx = e^t dt$ મળે.
તેથી,$I = \int \left( \frac{1-t}{1+t^2} \right)^2 e^t dt$.
આ પદ $\int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + c$ સ્વરૂપનું છે.
અહીં $I = \int e^t \frac{1-2t+t^2}{(1+t^2)^2} dt = \int e^t \left( \frac{1+t^2-2t}{(1+t^2)^2} \right) dt = \int e^t \left( \frac{1}{1+t^2} - \frac{2t}{(1+t^2)^2} \right) dt$.
જો $f(t) = \frac{1}{1+t^2}$ લઈએ,તો $f'(t) = \frac{-2t}{(1+t^2)^2}$ થાય.
તેથી,$I = e^t \left( \frac{1}{1+t^2} \right) + c$.
$t = \log x$ પાછું મૂકતા,$I = \frac{e^{\log x}}{1+(\log x)^2} + c = \frac{x}{1+(\log x)^2} + c$ મળે.

(B) આપણે પ્રમાણિત સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int e^{ax}(\sin bx - \cos bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} [a \sin bx - b \cos bx - (a \cos bx + b \sin bx)] + c = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} [(a-b) \sin bx - (a+b) \cos bx] + c$.
અહીં,$a = 4$ અને $b = 3$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\int e^{4x}(\sin 3x - \cos 3x) dx = \frac{e^{4x}}{4^2+3^2} [(4-3) \sin 3x - (4+3) \cos 3x] + c$
$= \frac{e^{4x}}{16+9} [1 \sin 3x - 7 \cos 3x] + c$
$= \frac{e^{4x}}{25}(\sin 3x - 7 \cos 3x) + c$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપણે $\int e^{ax} f(x) dx = \frac{e^{ax}}{a} [f(x) - \frac{f'(x)}{a} + \frac{f''(x)}{a^2} - \frac{f'''(x)}{a^3} + \dots]$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$a = -1$ અને $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4$ છે.
વિકલન મેળવતા:
$f'(x) = 3x^2 - 4x + 3$
$f''(x) = 6x - 4$
$f'''(x) = 6$
$f^{(4)}(x) = 0$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\int e^{-x} f(x) dx = \frac{e^{-x}}{-1} [f(x) - \frac{f'(x)}{-1} + \frac{f''(x)}{(-1)^2} - \frac{f'''(x)}{(-1)^3}] + c$
$= -e^{-x} [f(x) + f'(x) + f''(x) + f'''(x)] + c$
$= -e^{-x} [(x^3 - 2x^2 + 3x - 4) + (3x^2 - 4x + 3) + (6x - 4) + 6] + c$
$= -e^{-x} [x^3 + (-2+3)x^2 + (3-4+6)x + (-4+3-4+6)] + c$
$= -e^{-x} [x^3 + x^2 + 5x + 1] + c$.