Evaluation of various forms of integration Questions in Gujarati

(D) ધારો કે $I = \int \frac{2x + 1}{(x^2 + 4x + 1)^{3/2}} \, dx$.
અંશને $2x + 1 = (2x + 4) - 3$ તરીકે લખો.
તેથી $I = \int \frac{2x + 4}{(x^2 + 4x + 1)^{3/2}} \, dx - 3 \int \frac{1}{(x^2 + 4x + 1)^{3/2}} \, dx$.
પ્રથમ ભાગ માટે,ધારો કે $u = x^2 + 4x + 1$,તો $du = (2x + 4) \, dx$.
$\int u^{-3/2} \, du = -2u^{-1/2} = -\frac{2}{\sqrt{x^2 + 4x + 1}}$.
બીજા ભાગ માટે,પૂર્ણવર્ગની રીત વાપરો: $x^2 + 4x + 1 = (x + 2)^2 - 3$.
ધારો કે $x + 2 = \sqrt{3} \sec \theta$,તો $dx = \sqrt{3} \sec \theta \tan \theta \, d\theta$.
સંકલન આ મુજબ થશે: $\int \frac{\sqrt{3} \sec \theta \tan \theta \, d\theta}{(3 \tan^2 \theta)^{3/2}} = \int \frac{\sqrt{3} \sec \theta \tan \theta}{3\sqrt{3} \tan^3 \theta} \, d\theta = \frac{1}{3} \int \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} \, d\theta = -\frac{1}{3 \sin \theta} = -\frac{x+2}{3\sqrt{x^2 + 4x + 1}}$.
આ બંનેને જોડતા,$I = -\frac{2}{\sqrt{x^2 + 4x + 1}} + \frac{x+2}{\sqrt{x^2 + 4x + 1}} + C = \frac{x-2}{\sqrt{x^2 + 4x + 1}} + C$.

(B) ધારો કે $I = \int_{e}^{e^4} \sqrt{\ln x} dx$.
$\ln x = t^2$ આદેશ લેતા,જેનો અર્થ છે $x = e^{t^2}$.
તેથી $dx = 2t e^{t^2} dt$.
જ્યારે $x = e$,ત્યારે $t^2 = \ln e = 1$,તેથી $t = 1$.
જ્યારે $x = e^4$,ત્યારે $t^2 = \ln e^4 = 4$,તેથી $t = 2$.
આમ,$I = \int_{1}^{2} t (2t e^{t^2}) dt = \int_{1}^{2} 2t^2 e^{t^2} dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = t$ અને $dv = 2t e^{t^2} dt$ લો.
તેથી $du = dt$ અને $v = e^{t^2}$.
સૂત્ર $\int u dv = uv - \int v du$ લાગુ પાડતા:
$I = [t e^{t^2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} e^{t^2} dt$.
$I = (2 e^{2^2} - 1 e^{1^2}) - \alpha$.
$I = 2e^4 - e - \alpha$.

(D) $I = \int \frac{x^2 + 2}{x^4 + 4} dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{1 + \frac{2}{x^2}}{x^2 + \frac{4}{x^2}} dx$
$= \int \frac{1 + \frac{2}{x^2}}{(x - \frac{2}{x})^2 + 4} dx$
ધારો કે $t = x - \frac{2}{x}$. તેથી $dt = (1 + \frac{2}{x^2}) dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{t^2 + 2^2}$
સૂત્ર $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1} (\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1} (\frac{t}{2}) + C$
$t = x - \frac{2}{x} = \frac{x^2 - 2}{x}$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{x^2 - 2}{2x} \right) + C$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે $I = \int (x^3 - 2x^2 + 5)e^{3x} dx$. ધારેલા સ્વરૂપ $e^{3x}(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D)$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} [e^{3x}(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D)] = e^{3x}(x^3 - 2x^2 + 5)$.
ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા:
$3e^{3x}(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D) + e^{3x}(3Ax^2 + 2Bx + C) = e^{3x}(x^3 - 2x^2 + 5)$.
$x$ ના ઘાતાંકોના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x^3: 3A = 1 \implies A = 1/3$.
$x^2: 3B + 3A = -2 \implies 3B + 1 = -2 \implies 3B = -3 \implies B = -1$.
$x^1: 3C + 2B = 0 \implies 3C - 2 = 0 \implies C = 2/3$.
$x^0: 3D + C = 5 \implies 3D + 2/3 = 5 \implies 3D = 13/3 \implies D = 13/9$.
હવે વિકલ્પો તપાસતા:
$A) C + 3D = 2/3 + 13/3 = 15/3 = 5$ (સાચું).
$B) A + B + 2/3 = 1/3 - 1 + 2/3 = 0$ (સાચું).
$C) C + 2B = 2/3 + 2(-1) = 2/3 - 2 = -4/3 \neq 0$ (ખોટું).
$D) A + B + C = 1/3 - 1 + 2/3 = 0$ (સાચું).
આમ,ખોટું વિધાન $C$ છે.

(A) આપણને સંકલન $I = \int \left( \frac{x^2 + \cos^2 x}{1 + x^2} \right) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ આપેલ છે.
અંશને $(x^2 + 1 - 1 + \cos^2 x)$ તરીકે લખતા:
$I = \int \left( \frac{x^2 + 1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + x^2} + \frac{\cos^2 x}{1 + x^2} \right) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$
પદને સરળ બનાવતા:
$I = \int \left( 1 - \frac{1}{1 + x^2} + \frac{\cos^2 x}{1 + x^2} \right) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$
$\operatorname{cosec}^2 x$ ને અંદર ગુણતા:
$I = \int \left( \operatorname{cosec}^2 x - \frac{\operatorname{cosec}^2 x}{1 + x^2} + \frac{\cos^2 x}{(1 + x^2) \sin^2 x} \right) \, dx$
કારણ કે $\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x$:
$I = \int \left( \operatorname{cosec}^2 x + \frac{\cot^2 x - \operatorname{cosec}^2 x}{1 + x^2} \right) \, dx$
નિત્યસમ $\cot^2 x - \operatorname{cosec}^2 x = -1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \left( \operatorname{cosec}^2 x - \frac{1}{1 + x^2} \right) \, dx$
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = -\cot x - \tan^{-1} x + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{e^x + 9\cos x - 2\sin x + 7}{e^x + 7\sin x + 11\cos x + 14} dx$.
અંશને $A(e^x + 7\sin x + 11\cos x + 14) + B(e^x + 7\cos x - 11\sin x) + K$ સ્વરૂપે લખતા.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A + B = 1$ ($e^x$ માટે)
$7A - 11B = -2$ ($\sin x$ માટે)
$11A + 7B = 9$ ($\cos x$ માટે)
$14A = 7 \implies A = \frac{1}{2}$.
$A = \frac{1}{2}$ ને $A + B = 1$ માં મૂકતા,આપણને $B = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,અંશ $\frac{1}{2}(e^x + 7\sin x + 11\cos x + 14) + \frac{1}{2}(e^x + 7\cos x - 11\sin x)$ થાય છે.
$I = \int \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{e^x + 7\cos x - 11\sin x}{e^x + 7\sin x + 11\cos x + 14} \right) dx$.
$I = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \ln |e^x + 7\sin x + 11\cos x + 14| + C$.

(D) ધારો કે $I = \int {\frac{{\csc^2 x}}{{{{\left( {\csc x + \cot x} \right)}^{9/2}}}}} dx$.
ધારો કે $z = \csc x + \cot x$.
તેથી $\frac{dz}{dx} = -\csc x \cot x - \csc^2 x = -\csc x(\cot x + \csc x) = -\csc x \cdot z$.
વળી,$\csc x - \cot x = \frac{1}{z}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2\csc x = z + \frac{1}{z} \implies \csc x = \frac{z^2 + 1}{2z}$.
વિકલનમાં મૂકતા: $dz = -\left( \frac{z^2 + 1}{2z} \right) z dx = -\frac{z^2 + 1}{2} dx$.
તેથી,$dx = -\frac{2}{z^2 + 1} dz$.
$I$ માં મૂકતા: $I = \int \frac{(\csc x)^2}{z^{9/2}} \left( -\frac{2}{z^2 + 1} \right) dz = \int \frac{(\frac{z^2+1}{2z})^2}{z^{9/2}} \left( -\frac{2}{z^2 + 1} \right) dz$.
$I = -\frac{1}{2} \int \frac{z^2+1}{z^{13/2}} dz = -\frac{1}{2} \int (z^{-9/2} + z^{-13/2}) dz$.
$I = -\frac{1}{2} \left[ \frac{z^{-7/2}}{-7/2} + \frac{z^{-11/2}}{-11/2} \right] + C = \frac{z^{-7/2}}{7} + \frac{z^{-11/2}}{11} + C$.
કારણ કે $z^{-1} = \csc x - \cot x$,તેથી $I = (\csc x - \cot x)^{7/2} \left( \frac{1}{7} + \frac{(\csc x - \cot x)^2}{11} \right) + C$.
આપેલ પદ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 7$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\log x - (\log x)^2 + x^2}{x^3} dx$.
આપણે સંકલનને આ રીતે વિભાજિત કરી શકીએ:
$I = \int \frac{\log x - (\log x)^2}{x^3} dx + \int \frac{x^2}{x^3} dx$.
$I = \int \frac{\log x(1 - \log x)}{x^3} dx + \int \frac{1}{x} dx$.
ધારો કે $u = \frac{\log x}{x}$. તો $du = \frac{x(\frac{1}{x}) - \log x(1)}{x^2} dx = \frac{1 - \log x}{x^2} dx$.
પ્રથમ ભાગમાં આ કિંમત મૂકતા:
$\int u du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\log x)^2}{2x^2}$.
બીજા ભાગમાં $\int \frac{1}{x} dx = \log x$.
તેથી,$I = \frac{(\log x)^2}{2x^2} + \log x + C = \frac{(\log x)^2 + 2x^2 \log x}{2x^2} + C$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\sin 2\theta d\theta}{\cos^2 \theta \cos 3\theta} = \int \frac{2 \sin \theta \cos \theta d\theta}{\cos^2 \theta (4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta)} = \int \frac{2 \sin \theta d\theta}{\cos^2 \theta (4 \cos^2 \theta - 3)}$.
ધારો કે $\cos \theta = x$,તેથી $-\sin \theta d\theta = dx$.
$I = -2 \int \frac{dx}{x^2(4x^2 - 3)} = -\frac{2}{3} \int \frac{4x^2 - (4x^2 - 3)}{x^2(4x^2 - 3)} dx = -\frac{2}{3} \int \left( \frac{1}{x^2 - 3/4} - \frac{1}{x^2} \right) dx$.
$I = -\frac{2}{3} \left( \frac{1}{2(\sqrt{3}/2)} \ln \left| \frac{x - \sqrt{3}/2}{x + \sqrt{3}/2} \right| + \frac{1}{x} \right) + C = -\frac{2}{3} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \ln \left| \frac{2x - \sqrt{3}}{2x + \sqrt{3}} \right| + \frac{1}{x} \right) + C$.
$\tan(\pi/6) = 1/\sqrt{3}$ અને $\cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2$ હોવાથી,$I = \frac{2}{3} \ln \left| \left( \frac{2x + \sqrt{3}}{2x - \sqrt{3}} \right)^{\tan(\pi/6)} \cdot e^{-1/x} \right| + C$.
$x = \cos \theta$ મૂકતા,$I = \frac{2}{3} \ln \left| \left( \frac{\cos \theta + \cos(\pi/6)}{\cos \theta - \cos(\pi/6)} \right)^{\tan(\pi/6)} \cdot e^{-\sec \theta} \right| + C$.
$-\sec \theta = \sec(\pi - \theta)$ હોવાથી,જવાબ વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) ધારો કે $I = \int \sin(101x) \sin^{99}x \, dx$.
નિત્યસમ $\sin(101x) = \sin(100x + x) = \sin(100x)\cos x + \cos(100x)\sin x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int (\sin(100x)\cos x + \cos(100x)\sin x) \sin^{99}x \, dx$
$I = \int \sin(100x) \cos x \sin^{99}x \, dx + \int \cos(100x) \sin^{100}x \, dx$.
પ્રથમ સંકલન માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \sin(100x)$ અને $dv = \cos x \sin^{99}x \, dx$ લો.
તેથી $du = 100 \cos(100x) \, dx$ અને $v = \frac{\sin^{100}x}{100}$ મળે.
$I = \sin(100x) \cdot \frac{\sin^{100}x}{100} - \int 100 \cos(100x) \cdot \frac{\sin^{100}x}{100} \, dx + \int \cos(100x) \sin^{100}x \, dx$.
$I = \frac{\sin(100x) \sin^{100}x}{100} - \int \cos(100x) \sin^{100}x \, dx + \int \cos(100x) \sin^{100}x \, dx$.
$I = \frac{\sin(100x) \sin^{100}x}{100} + C$.
આને આપેલા સ્વરૂપ $\frac{\sin(100x) \sin^{\lambda}x}{\mu} + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\lambda = 100$ અને $\mu = 100$ મળે છે.
તેથી,$\frac{\lambda}{\mu} = \frac{100}{100} = 1$.

(A) આપેલ સંકલન $I = \int {{\sec }^{ - 1}}\left[ { - {\sin }^2x} \right]dx$ છે.
કારણ કે $0 \le {\sin }^2x \le 1$,તેથી $-1 \le -{\sin }^2x \le 0$ થાય.
$x \neq 0$ માટે,$-{\sin }^2x$ એ $[-1, 0)$ અંતરાલમાં છે.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[ - {\sin }^2x ]$ ની કિંમત દરેક $x \neq n\pi$ માટે $-1$ થાય છે.
તેથી,સંકલન $\int {{\sec }^{ - 1}}( - 1)dx = \int \pi dx = \pi x + C$ બને છે.
$f(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$f(x) = \pi x$ મળે.
હવે,આપણે $x = 2$ આગળ ${\left( {f\left( {\frac{8}{{\pi x}}} \right)} \right)''}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$f\left( {\frac{8}{{\pi x}}} \right) = \pi \left( {\frac{8}{{\pi x}}} \right) = \frac{8}{x} = 8x^{-1}$.
પ્રથમ વિકલન: $\frac{d}{dx}(8x^{-1}) = -8x^{-2}$.
દ્વિતીય વિકલન: $\frac{d^2}{dx^2}(8x^{-1}) = 16x^{-3} = \frac{16}{x^3}$.
$x = 2$ આગળ,કિંમત $\frac{16}{2^3} = \frac{16}{8} = 2$ થાય.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) = 1 \cdot ((\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3 \sin^2 x \cos^2 x) = 1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x$.
અંશ અને છેદને $\cos^6 x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\int \frac{\sec^6 x dx}{\tan^6 x + 1} = \int \frac{\sec^4 x \cdot \sec^2 x dx}{\tan^6 x + 1} = \int \frac{(1 + \tan^2 x)^2 \sec^2 x dx}{\tan^6 x + 1}$.
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^2 x dx$.
સંકલન $\int \frac{(1 + u^2)^2}{u^6 + 1} du = \int \frac{u^4 + 2u^2 + 1}{u^6 + 1} du$ બને છે.
અંશ અને છેદને $u^3$ વડે ભાગતા:
$\int \frac{u + \frac{2}{u} + \frac{1}{u^3}}{u^3 + \frac{1}{u^3}} du = \int \frac{u + \frac{1}{u^3} + \frac{2}{u}}{u^3 + \frac{1}{u^3}} du$.
$t = \tan x - \cot x = u - \frac{1}{u}$ આદેશ લેતા,આપણને $dt = (1 + \frac{1}{u^2}) du = \frac{u^2 + 1}{u^2} du$ મળે છે.
સાદુરૂપ આપતા,સંકલનનું મૂલ્ય $\tan^{-1}(\tan x - \cot x) + C$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{3\cos x + 2\sin x}{4\sin x + 5\cos x} dx$.
અંશને $A(\text{છેદ}) + B(\text{છેદનું વિકલન})$ તરીકે દર્શાવીએ.
ધારો કે $3\cos x + 2\sin x = \lambda(4\sin x + 5\cos x) + \mu(4\cos x - 5\sin x)$.
$\sin x$ અને $\cos x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$2 = 4\lambda - 5\mu$ અને $3 = 5\lambda + 4\mu$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
પ્રથમ સમીકરણને $4$ વડે અને બીજાને $5$ વડે ગુણતા: $8 = 16\lambda - 20\mu$ અને $15 = 25\lambda + 20\mu$.
બંનેનો સરવાળો કરતા $23 = 41\lambda$,તેથી $\lambda = 23/41$.
$\lambda$ ની કિંમત $2 = 4(23/41) - 5\mu$ માં મૂકતા:
$5\mu = 92/41 - 82/41 = 10/41$,તેથી $\mu = 2/41$.
આમ,$I = \int \frac{\lambda(4\sin x + 5\cos x) + \mu(4\cos x - 5\sin x)}{4\sin x + 5\cos x} dx = \lambda x + \mu \ln |4\sin x + 5\cos x| + c$.
$I = \frac{23}{41}x + \frac{2}{41} \ln |4\sin x + 5\cos x| + c = \frac{1}{41} \{23x + 2 \ln |4\sin x + 5\cos x|\} + c$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$A = 1/41$ અને $f(x) = \ln |x|$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int {\frac{{\sec x \cdot \csc x}}{{2\cot x - \sec x \cdot \csc x}}} dx$.
વિધેયને $\sin x$ અને $\cos x$ ના સ્વરૂપમાં લખતા:
$\sec x \cdot \csc x = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$.
$2\cot x - \sec x \cdot \csc x = \frac{2\cos x}{\sin x} - \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2\cos^2 x - 1}{\sin x \cos x} = \frac{\cos 2x}{\sin x \cos x}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1/(\sin x \cos x)}{\cos 2x / (\sin x \cos x)} dx = \int \frac{1}{\cos 2x} dx = \int \sec 2x dx$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int \sec u du = \ln |\sec u + \tan u| + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \ln |\sec 2x + \tan 2x| + c$.

(A) સંકલન $I = \int \frac{2x + 5}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે અંશને વર્ગમૂળની અંદરના દ્વિઘાત પદના વિકલિતના સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ.
ધારો કે $f(x) = 7 - 6x - x^2$. તો $f'(x) = -6 - 2x$.
આપણે $2x + 5 = -( -2x - 6 ) - 1$ લખી શકીએ.
તેથી,$I = \int \frac{-( -2x - 6 ) - 1}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} dx = -\int \frac{-2x - 6}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} dx - \int \frac{1}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} dx$.
પ્રથમ સંકલન માટે,ધારો કે $u = 7 - 6x - x^2$,તેથી $du = (-6 - 2x) dx$. તો $\int \frac{du}{\sqrt{u}} = 2\sqrt{u} = 2\sqrt{7 - 6x - x^2}$.
તેથી,$-\int \frac{-2x - 6}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} dx = -2\sqrt{7 - 6x - x^2}$.
બીજા સંકલન માટે,પૂર્ણવર્ગની રીત વાપરતા: $7 - 6x - x^2 = 16 - (x^2 + 6x + 9) = 4^2 - (x + 3)^2$.
તેથી,$\int \frac{1}{\sqrt{4^2 - (x + 3)^2}} dx = \sin^{-1}\left(\frac{x + 3}{4}\right)$.
આ બંનેને જોડતા,$I = -2\sqrt{7 - 6x - x^2} - \sin^{-1}\left(\frac{x + 3}{4}\right) + C$.
$A\sqrt{7 - 6x - x^2} + B\sin^{-1}\left(\frac{x + 3}{4}\right) + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = -2$ અને $B = -1$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\tan x}{1 + \tan x + \tan^2 x} dx$.
આપણે અંશને આ રીતે લખી શકીએ: $\int \frac{\tan x + 1 + \tan^2 x - (1 + \tan^2 x)}{1 + \tan x + \tan^2 x} dx = \int 1 dx - \int \frac{\sec^2 x}{1 + \tan x + \tan^2 x} dx$.
તેથી $I = x - \int \frac{\sec^2 x}{1 + \tan x + \tan^2 x} dx$.
$\tan x = t$ લેતા,$\sec^2 x dx = dt$ મળે.
$I = x - \int \frac{dt}{t^2 + t + 1} = x - \int \frac{dt}{(t + 1/2)^2 + 3/4}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = x - \frac{1}{\sqrt{3}/2} \tan^{-1} \left( \frac{t + 1/2}{\sqrt{3}/2} \right) + C = x - \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{2t + 1}{\sqrt{3}} \right) + C$.
$t = \tan x$ મૂકતા,$I = x - \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{2 \tan x + 1}{\sqrt{3}} \right) + C$.
આપેલ સ્વરૂપ $x - \frac{K}{\sqrt{A}} \tan^{-1} \left( \frac{K \tan x + 1}{\sqrt{A}} \right) + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 2$ અને $A = 3$ મળે છે.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(K, A)$ એ $(2, 3)$ છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{(1 + \sqrt{x}) \sqrt{x} \sqrt{1 - x}}$.
$\sqrt{x} = t - 1$ લેતા,$\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt$ મળે,તેથી $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 dt$.
અહીં $1 - x = 1 - (t - 1)^2 = 2t - t^2$.
તેથી $I = \int \frac{2 dt}{t \sqrt{2t - t^2}} = 2 \int \frac{dt}{t \sqrt{t(2 - t)}} = 2 \int \frac{dt}{t^{3/2} \sqrt{2 - t}}$.
હવે $t = \frac{1}{z}$ લેતા,$dt = -\frac{1}{z^2} dz$ મળે.
$I = 2 \int \frac{-dz/z^2}{(1/z)^{3/2} \sqrt{2 - 1/z}} = 2 \int \frac{-dz}{\sqrt{2z - 1}}$.
$I = -2 \int (2z - 1)^{-1/2} dz = -2 \sqrt{2z - 1} + c$.
$z = \frac{1}{1 + \sqrt{x}}$ કિંમત મૂકતા:
$I = -2 \sqrt{\frac{2}{1 + \sqrt{x}} - 1} + c = -2 \sqrt{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}} + c$.

(B) ધારો કે $I = \int {\frac{{{{\sin }^8}x - {{\cos }^8}x}}{{1 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} dx$
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int {\frac{{({{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x)({{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x)}}{{1 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} dx$
કારણ કે ${{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x = ({{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x)^2 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x = 1 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ સાદું રૂપ પામે છે:
$I = \int {({{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x)} dx$
વધુમાં,${{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x = ({{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x)({{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x) = -\cos 2x \cdot 1 = -\cos 2x$
આમ,$I = \int {-\cos 2x} dx = -\frac{{\sin 2x}}{2} + c$

(B) આપેલ સંકલન: $I = \int \frac{x^{5 m-1}+2 x^{4 m-1}}{\left(x^{2 m}+x^{m}+1\right)^{3}} d x$
અંશ અને છેદને $x^{6m}$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{x^{5 m-1}+2 x^{4 m-1}}{x^{6m}\left(x^{-2m}+x^{-m}+1\right)^{3}} d x$
$I = \int \frac{x^{-m-1}+2 x^{-2 m-1}}{\left(1+x^{-m}+x^{-2 m}\right)^{3}} d x$
ધારો કે $t = 1+x^{-m}+x^{-2 m}$.
તેથી $dt = (-m x^{-m-1} - 2m x^{-2m-1}) dx = -m(x^{-m-1} + 2x^{-2m-1}) dx$.
માટે,$(x^{-m-1} + 2x^{-2m-1}) dx = -\frac{dt}{m}$.
સંકલનમાં કિંમત મૂકતા:
$I = \int \frac{-dt/m}{t^3} = -\frac{1}{m} \int t^{-3} dt = -\frac{1}{m} \left( \frac{t^{-2}}{-2} \right) + C = \frac{1}{2mt^2} + C$.
$t$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$I = \frac{1}{2m(1+x^{-m}+x^{-2m})^2} + C = \frac{1}{2m(\frac{x^{2m}+x^m+1}{x^{2m}})^2} + C = \frac{x^{4m}}{2m(x^{2m}+x^m+1)^2} + C$.
આમ,$f(x) = \frac{x^{4m}}{2m(x^{2m}+x^m+1)^2}$.

(A) આપણને આપેલ છે કે $\int \frac{dx}{x + x^7} = p(x)$.
ધારો કે સંકલન $I = \int \frac{x^6}{x + x^7} dx$ છે.
આપણે સંકલ્યને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$I = \int \frac{x^6}{x(1 + x^6)} dx = \int \frac{(1 + x^6) - 1}{x(1 + x^6)} dx$.
સંકલનને અલગ પાડતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{1 + x^6}{x(1 + x^6)} dx - \int \frac{1}{x(1 + x^6)} dx$.
$I = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x + x^7} dx$.
કારણ કે $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + c_1$ અને $\int \frac{1}{x + x^7} dx = p(x) + c_2$,તેથી:
$I = \ln |x| - p(x) + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\cos 8x + 1}{\cot 2x - \tan 2x} dx.$
પ્રથમ,છેદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\cot 2x - \tan 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} - \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{\cos^2 2x - \sin^2 2x}{\sin 2x \cos 2x} = \frac{\cos 4x}{\frac{1}{2} \sin 4x} = 2 \cot 4x.$
નિત્યસમ $\cos 8x + 1 = 2 \cos^2 4x$ નો ઉપયોગ કરતા,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int \frac{2 \cos^2 4x}{2 \cot 4x} dx = \int \frac{\cos^2 4x}{\frac{\cos 4x}{\sin 4x}} dx = \int \cos 4x \sin 4x dx.$
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$I = \frac{1}{2} \int 2 \sin 4x \cos 4x dx = \frac{1}{2} \int \sin 8x dx.$
$\sin 8x$ નું સંકલન કરતા:
$I = \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos 8x}{8} \right) + k = -\frac{1}{16} \cos 8x + k.$
આને $A \cos 8x + k$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = -\frac{1}{16}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \int \left( \frac{x^2 + \sin^2 x}{1 + x^2} \right) \sec^2 x \, dx$.
સંકલિતને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$f(x) = \int \frac{x^2 \sec^2 x + \sin^2 x \sec^2 x}{1 + x^2} \, dx$
કારણ કે $\sin^2 x \sec^2 x = \tan^2 x$,તેથી:
$f(x) = \int \frac{x^2 \sec^2 x + \tan^2 x}{1 + x^2} \, dx$
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \int \frac{x^2(1 + \tan^2 x) + \tan^2 x}{1 + x^2} \, dx$
$f(x) = \int \frac{x^2 + x^2 \tan^2 x + \tan^2 x}{1 + x^2} \, dx = \int \frac{x^2 + \tan^2 x(1 + x^2)}{1 + x^2} \, dx$
$f(x) = \int \frac{x^2}{1 + x^2} \, dx + \int \tan^2 x \, dx$
$f(x) = \int \frac{x^2 + 1 - 1}{1 + x^2} \, dx + \int (\sec^2 x - 1) \, dx$
$f(x) = \int (1 - \frac{1}{1 + x^2}) \, dx + \int \sec^2 x \, dx - \int 1 \, dx$
$f(x) = x - \tan^{-1} x + \tan x - x + C = \tan x - \tan^{-1} x + C$
$f(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0 = \tan 0 - \tan^{-1} 0 + C$,તેથી $C = 0$.
આમ,$f(x) = \tan x - \tan^{-1} x$.
તેથી,$f(1) = \tan 1 - \tan^{-1}(1) = \tan 1 - \frac{\pi}{4}$.

(A) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x^{4}} dx$ છે.
સંકલ્યને આ રીતે લખતા: $I = \int \frac{x \sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1}}{x^{4}} dx = \int \frac{1}{x^{3}} \sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1} dx.$
ધારો કે $t = \frac{1}{x^{2}} - 1.$ તેથી $dt = -\frac{2}{x^{3}} dx,$ જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{x^{3}} = -\frac{1}{2} dt.$
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = -\frac{1}{2} \int \sqrt{t} dt = -\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = -\frac{1}{3} t^{3/2} + C.$
$t = \frac{1-x^2}{x^2}$ પાછું મૂકતા,$I = -\frac{1}{3} \left(\frac{1-x^2}{x^2}\right)^{3/2} + C = -\frac{1}{3} \frac{(1-x^2)^{3/2}}{x^3} + C.$
કારણ કે $(1-x^2)^{3/2} = (\sqrt{1-x^2})^3,$ તેથી $I = -\frac{1}{3x^3} (\sqrt{1-x^2})^3 + C.$
આને $A(x) (\sqrt{1-x^2})^m + C$ સાથે સરખાવતા,$m = 3$ અને $A(x) = -\frac{1}{3x^3}$ મળે છે.
તેથી,$(A(x))^m = \left(-\frac{1}{3x^3}\right)^3 = -\frac{1}{27x^9}$.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{dx}{x^{3}(1+x^{6})^{2 / 3}}$ છે.
આપણે કૌંસમાંથી $x^6$ સામાન્ય કાઢીને સંકલનને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$I = \int \frac{dx}{x^{3} \cdot (x^6)^{2/3} (1 + x^{-6})^{2/3}} = \int \frac{dx}{x^{3} \cdot x^4 (1 + x^{-6})^{2/3}} = \int \frac{dx}{x^7 (1 + x^{-6})^{2/3}}$.
ધારો કે $t = 1 + x^{-6}$. તો $dt = -6x^{-7} dx$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{x^7} = -\frac{dt}{6}$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int -\frac{1}{6} t^{-2/3} dt = -\frac{1}{6} \cdot \frac{t^{1/3}}{1/3} + C = -\frac{1}{2} t^{1/3} + C$.
$t = 1 + x^{-6} = \frac{x^6+1}{x^6}$ પાછું મૂકતા:
$I = -\frac{1}{2} \left( \frac{1+x^6}{x^6} \right)^{1/3} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(1+x^6)^{1/3}}{x^2} + C$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $xf(x)(1+x^6)^{1/3} + C$ સાથે સરખાવતા:
$xf(x)(1+x^6)^{1/3} = -\frac{1}{2x^2} (1+x^6)^{1/3}$.
બંને બાજુ $x(1+x^6)^{1/3}$ વડે ભાગતા:
$f(x) = \frac{-1}{2x^3}$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{(x^2 - 2x + 10)^2} = \int \frac{dx}{((x - 1)^2 + 9)^2}$.
$x - 1 = 3 \tan \theta$ આદેશ લેતા,$dx = 3 \sec^2 \theta d\theta$ મળે.
સંકલન $\int \frac{3 \sec^2 \theta d\theta}{(9 \tan^2 \theta + 9)^2} = \int \frac{3 \sec^2 \theta d\theta}{81 \sec^4 \theta} = \frac{1}{27} \int \cos^2 \theta d\theta$ થશે.
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{54} \int (1 + \cos 2\theta) d\theta = \frac{1}{54} (\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}) + C$ મળે.
$\tan \theta = \frac{x - 1}{3}$ હોવાથી,$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{x - 1}{3} \right)$.
વળી,$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \left( \frac{x - 1}{\sqrt{(x - 1)^2 + 9}} \right) \left( \frac{3}{\sqrt{(x - 1)^2 + 9}} \right) = \frac{6(x - 1)}{x^2 - 2x + 10}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$I = \frac{1}{54} \left( \tan^{-1} \left( \frac{x - 1}{3} \right) + \frac{3(x - 1)}{x^2 - 2x + 10} \right) + C$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$A = \frac{1}{54}$ અને $f(x) = 3(x - 1)$ મળે છે.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{\tan x + \tan \alpha}{\tan x - \tan \alpha} dx$ છે.
નિત્યસમ $\tan x \pm \tan \alpha = \frac{\sin(x \pm \alpha)}{\cos x \cos \alpha}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\sin(x + \alpha) / (\cos x \cos \alpha)}{\sin(x - \alpha) / (\cos x \cos \alpha)} dx = \int \frac{\sin(x + \alpha)}{\sin(x - \alpha)} dx$.
ધારો કે $t = x - \alpha$,તેથી $x = t + \alpha$ અને $dx = dt$. આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\sin(t + 2\alpha)}{\sin t} dt$.
$\sin(t + 2\alpha) = \sin t \cos 2\alpha + \cos t \sin 2\alpha$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$I = \int \frac{\sin t \cos 2\alpha + \cos t \sin 2\alpha}{\sin t} dt$
$I = \int \cos 2\alpha dt + \int \cot t \sin 2\alpha dt$
$I = t \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \ln |\sin t| + C$.
$t = x - \alpha$ પાછું મૂકતા:
$I = (x - \alpha) \cos 2\alpha + \ln |\sin (x - \alpha)| \sin 2\alpha + C$.
આને $A(x) \cos 2\alpha + B(x) \sin 2\alpha + C$ સાથે સરખાવતા,$A(x) = x - \alpha$ અને $B(x) = \ln |\sin (x - \alpha)|$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\cos x \, dx}{\sin ^{3} x \left(1+\sin ^{6} x\right)^{2 / 3}}$.
$u = \sin x$ લેતા,$du = \cos x \, dx$ મળે.
$I = \int \frac{du}{u^3 (1+u^6)^{2/3}}$.
કૌંસમાંથી $u^6$ સામાન્ય લેતા: $I = \int \frac{du}{u^3 (u^6(\frac{1}{u^6}+1))^{2/3}} = \int \frac{du}{u^3 \cdot u^4 (\frac{1}{u^6}+1)^{2/3}} = \int \frac{du}{u^7 (u^{-6}+1)^{2/3}}$.
$t = u^{-6}+1$ લેતા,$dt = -6u^{-7} \, du$,તેથી $u^{-7} \, du = -\frac{1}{6} \, dt$.
$I = -\frac{1}{6} \int t^{-2/3} \, dt = -\frac{1}{6} \cdot \frac{t^{1/3}}{1/3} + c = -\frac{1}{2} t^{1/3} + c$.
$t = u^{-6}+1 = \frac{1+u^6}{u^6}$ પાછું મૂકતા,$I = -\frac{1}{2} \left(\frac{1+u^6}{u^6}\right)^{1/3} + c = -\frac{1}{2} \frac{(1+\sin^6 x)^{1/3}}{\sin^2 x} + c$.
$f(x)(1+\sin^6 x)^{1/\lambda} + c$ સાથે સરખાવતા,$\lambda = 3$ અને $f(x) = -\frac{1}{2 \sin^2 x}$ મળે.
તેથી $\lambda f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2 \sin^2(\pi/3)}\right) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2 \cdot (3/4)}\right) = 3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -2$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{1}{1+\tan x} d x$.
આપણે $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ લખી શકીએ,તેથી $I = \int \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} d x$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણીને અંશને ગોઠવતા:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{2\cos x}{\cos x + \sin x} d x = \frac{1}{2} \int \frac{(\cos x + \sin x) + (\cos x - \sin x)}{\cos x + \sin x} d x$.
સંકલનને અલગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \int 1 d x + \frac{1}{2} \int \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} d x$.
બીજા સંકલન માટે,ધારો કે $u = \cos x + \sin x$,તો $du = (-\sin x + \cos x) d x$.
આમ,$I = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \log |u| + C$.
$u = \cos x + \sin x$ પાછા મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \log |\cos x + \sin x| + C$.

ધારો કે $I = \int \frac{1}{1+\cot x} dx$.
$= \int \frac{1}{1+\frac{\cos x}{\sin x}} dx$
$= \int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} dx$
$= \frac{1}{2} \int \frac{2 \sin x}{\sin x+\cos x} dx$
$= \frac{1}{2} \int \frac{(\sin x+\cos x)+(\sin x-\cos x)}{\sin x+\cos x} dx$
$= \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} dx$
$= \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} dx$.
ધારો કે $\sin x+\cos x = t$,તેથી $(\cos x-\sin x) dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $(\sin x-\cos x) dx = -dt$.
તેથી,$I = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{-dt}{t}$
$= \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \ln |\sin x+\cos x| + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

ધારો કે $I = \int \frac{1}{1-\tan x} dx$.
$= \int \frac{1}{1-\frac{\sin x}{\cos x}} dx = \int \frac{\cos x}{\cos x-\sin x} dx$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$= \frac{1}{2} \int \frac{2 \cos x}{\cos x-\sin x} dx$.
અંશને ફરીથી લખતા:
$= \frac{1}{2} \int \frac{(\cos x-\sin x)+(\cos x+\sin x)}{\cos x-\sin x} dx$.
$= \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x} dx$.
$= \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x} dx$.
ધારો કે $t = \cos x - \sin x$,તેથી $dt = -(\sin x + \cos x) dx$,એટલે કે $(\cos x + \sin x) dx = -dt$.
$= \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt$.
$= \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \ln |\cos x - \sin x| + C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

ધારો કે $\sin ^{4} x = (\sin ^{2} x)^{2}$.
નિત્યસમ $\sin ^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin ^{4} x = \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}(1 - 2\cos 2x + \cos ^{2} 2x)$.
નિત્યસમ $\cos ^{2} 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin ^{4} x = \frac{1}{4} \left(1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}\right) = \frac{1}{4} \left(\frac{3}{2} - 2\cos 2x + \frac{1}{2}\cos 4x\right) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \sin ^{4} x \, dx = \int \left(\frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x\right) \, dx$.
$= \frac{3}{8}x - \frac{1}{2} \left(\frac{\sin 2x}{2}\right) + \frac{1}{8} \left(\frac{\sin 4x}{4}\right) + C$.
$= \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x + C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

(N/A) આપણે $I = \int \tan^{3} 2x \sec 2x \, dx$ ની કિંમત શોધવી છે.
પ્રથમ,સંકલ્યને ફરીથી લખો:
$\tan^{3} 2x \sec 2x = \tan^{2} 2x \cdot \tan 2x \sec 2x = (\sec^{2} 2x - 1) \tan 2x \sec 2x$.
આને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int (\sec^{2} 2x - 1) \tan 2x \sec 2x \, dx = \int \sec^{2} 2x \tan 2x \sec 2x \, dx - \int \tan 2x \sec 2x \, dx$.
પ્રથમ ભાગ માટે,ધારો કે $u = \sec 2x$. તેથી $du = 2 \sec 2x \tan 2x \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $\sec 2x \tan 2x \, dx = \frac{1}{2} du$.
આમ,$\int \sec^{2} 2x \tan 2x \sec 2x \, dx = \int u^{2} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3}}{3} = \frac{u^{3}}{6} = \frac{\sec^{3} 2x}{6}$.
બીજા ભાગ માટે,$\int \tan 2x \sec 2x \, dx = \frac{\sec 2x}{2}$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{\sec^{3} 2x}{6} - \frac{\sec 2x}{2} + C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

(N/A) આપણી પાસે $\frac{1}{\sin x \cos ^{3} x} = \frac{\sin ^{2} x + \cos ^{2} x}{\sin x \cos ^{3} x}$ છે.
$= \frac{\sin ^{2} x}{\sin x \cos ^{3} x} + \frac{\cos ^{2} x}{\sin x \cos ^{3} x} = \frac{\sin x}{\cos ^{3} x} + \frac{1}{\sin x \cos x}$.
$= \tan x \sec ^{2} x + \frac{\sec ^{2} x}{\tan x}$.
તેથી,$\int \frac{1}{\sin x \cos ^{3} x} dx = \int \tan x \sec ^{2} x dx + \int \frac{\sec ^{2} x}{\tan x} dx$.
ધારો કે $t = \tan x$,તો $dt = \sec ^{2} x dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $\int t dt + \int \frac{1}{t} dt$ મળે છે.
$= \frac{t^{2}}{2} + \log |t| + C$.
$t = \tan x$ પાછું મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} \tan ^{2} x + \log |\tan x| + C$ મળે છે,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(N/A) સંકલન $I = \int \frac{1}{\cos (x-a) \cos (x-b)} dx$ મેળવવા માટે,આપણે $\sin(a-b)$ વડે ગુણીએ અને ભાગીએ છીએ:
$I = \frac{1}{\sin (a-b)} \int \frac{\sin (a-b)}{\cos (x-a) \cos (x-b)} dx$
કારણ કે $a-b = (x-b) - (x-a)$,આપણે અંશને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$I = \frac{1}{\sin (a-b)} \int \frac{\sin [(x-b) - (x-a)]}{\cos (x-a) \cos (x-b)} dx$
નિત્યસમ $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{\sin (a-b)} \int \frac{\sin (x-b) \cos (x-a) - \cos (x-b) \sin (x-a)}{\cos (x-a) \cos (x-b)} dx$
$I = \frac{1}{\sin (a-b)} \int [\tan (x-b) - \tan (x-a)] dx$
$\tan(x)$ નું સંકલન $-\ln|\cos(x)|$ થાય છે:
$I = \frac{1}{\sin (a-b)} [-\ln|\cos (x-b)| + \ln|\cos (x-a)|] + C$
$I = \frac{1}{\sin (a-b)} \ln \left| \frac{\cos (x-a)}{\cos (x-b)} \right| + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈચ્છિક અચળાંક છે.

(A) $\int \frac{x+2}{2 x^{2}+6 x+5} d x$ ની ગણતરી કરવા માટે,અંશને $A \frac{d}{d x}(2 x^{2}+6 x+5) + B$ તરીકે દર્શાવો.
$x+2 = A(4x+6) + B = 4Ax + (6A+B)$.
સહગુણકોને સરખાવતા,$4A = 1 \implies A = \frac{1}{4}$ અને $6A + B = 2 \implies 6(\frac{1}{4}) + B = 2 \implies B = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.
આમ,સંકલન $\frac{1}{4} \int \frac{4x+6}{2x^2+6x+5} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{2x^2+6x+5} dx$ બને છે.
ધારો કે $I_1 = \int \frac{4x+6}{2x^2+6x+5} dx = \log |2x^2+6x+5| + C_1$.
$I_2 = \int \frac{1}{2x^2+6x+5} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+3x+\frac{5}{2}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x+\frac{3}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} dx$.
$\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$I_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1/2} \tan^{-1}(\frac{x+3/2}{1/2}) + C_2 = \tan^{-1}(2x+3) + C_2$.
આ બંનેને જોડતા,અંતિમ જવાબ $\frac{1}{4} \log |2 x^{2}+6 x+5|+\frac{1}{2} \tan ^{-1}(2 x+3)+ C$ મળે છે.

(A) આ સંકલિત $\int \frac{(p x+q) d x}{\sqrt{a x^{2}+b x+c}}$ સ્વરૂપનું છે. ધારો કે $x+3 = A \frac{d}{d x}(5-4 x-x^{2}) + B = A(-4-2 x) + B$.
$x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોને સરખાવતા,આપણને $-2 A = 1$ અને $-4 A + B = 3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $A = -\frac{1}{2}$ અને $B = 1$.
તેથી,$\int \frac{x+3}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} d x = -\frac{1}{2} \int \frac{(-4-2 x) d x}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} + \int \frac{d x}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} = -\frac{1}{2} I_{1} + I_{2} \dots (1)$.
$I_{1}$ માટે,$5-4 x-x^{2} = t$ લેતા,$(-4-2 x) d x = d t$ મળે. આમ,$I_{1} = \int \frac{d t}{\sqrt{t}} = 2 \sqrt{t} + C_{1} = 2 \sqrt{5-4 x-x^{2}} + C_{1} \dots (2)$.
$I_{2}$ માટે,$I_{2} = \int \frac{d x}{\sqrt{9-(x+2)^{2}}} = \sin^{-1} \frac{x+2}{3} + C_{2} \dots (3)$.
$(2)$ અને $(3)$ ને $(1)$ માં મૂકતા,આપણને $\int \frac{x+3}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} d x = -\sqrt{5-4 x-x^{2}} + \sin^{-1} \frac{x+2}{3} + C$ મળે છે.

આપણે સંકલન મેળવવાનું છે: $\int \frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-1}} dx$
સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો:
$\int \frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-1}} dx = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} dx - \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} dx$ ............ $(1)$
પ્રથમ ભાગ માટે,ધારો કે $I_1 = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} dx$.
ધારો કે $x^{2}-1 = t$,તેથી $2x dx = dt$,અથવા $x dx = \frac{1}{2} dt$.
$I_1 = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = \frac{1}{2} \cdot 2t^{1/2} = \sqrt{t} = \sqrt{x^{2}-1}$.
બીજા ભાગ માટે,આપણે પ્રમાણિત સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} dx = \log |x + \sqrt{x^{2}-a^{2}}| + C$.
અહીં $a = 1$ છે,તેથી $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} dx = \log |x + \sqrt{x^{2}-1}|$.
આ પરિણામોને $(1)$ માં મૂકતા:
$\int \frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-1}} dx = \sqrt{x^{2}-1} - \log |x + \sqrt{x^{2}-1}| + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(A) $\int \frac{1}{\sqrt{9x^{2}+6x+5}} dx$ નું સંકલન કરવા માટે,આપણે વર્ગમૂળની અંદરના દ્વિઘાત પદને પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ:
$9x^{2}+6x+5 = (3x)^{2} + 2(3x)(1) + 1^{2} + 4 = (3x+1)^{2} + 2^{2}$.
હવે,સંકલન $\int \frac{1}{\sqrt{(3x+1)^{2} + 2^{2}}} dx$ બને છે.
ધારો કે $t = 3x+1$,તેથી $dt = 3dx$,જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{1}{3} dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{t^{2} + 2^{2}}} dt$.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} dx = \log |x + \sqrt{x^{2}+a^{2}}| + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{3} \log |t + \sqrt{t^{2} + 2^{2}}| + C$.
$t = 3x+1$ પાછું મૂકતા:
$= \frac{1}{3} \log |(3x+1) + \sqrt{(3x+1)^{2} + 4}| + C$.
$= \frac{1}{3} \log |(3x+1) + \sqrt{9x^{2}+6x+5}| + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

આપણે સંકલન $I = \int \frac{1}{\sqrt{(x-1)(x-2)}} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિનું વિસ્તરણ કરો:
$(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$.
દ્વિઘાત પદાવલિ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરો:
$x^2 - 3x + 2 = (x^2 - 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + 2 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4} = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2$.
આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}} dx$.
ધારો કે $t = x - \frac{3}{2}$,તેથી $dt = dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{t^2 - a^2}} dt = \log |t + \sqrt{t^2 - a^2}| + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \log |(x - \frac{3}{2}) + \sqrt{(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}| + C$.
વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિને મૂળ સ્વરૂપમાં લાવતા:
$I = \log |(x - \frac{3}{2}) + \sqrt{x^2 - 3x + 2}| + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

$\int \frac{1}{\sqrt{8+3x-x^{2}}} dx$ નું સંકલન કરવા માટે,આપણે પ્રથમ દ્વિઘાત પદાવલિ $8+3x-x^{2}$ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
$8+3x-x^{2} = - (x^{2}-3x-8)$
$= - \left(x^{2}-3x + (\frac{3}{2})^{2} - (\frac{3}{2})^{2} - 8\right)$
$= - \left((x-\frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{4} - 8\right)$
$= - \left((x-\frac{3}{2})^{2} - \frac{41}{4}\right)$
$= \frac{41}{4} - (x-\frac{3}{2})^{2}$
હવે,સંકલન $\int \frac{1}{\sqrt{\frac{41}{4} - (x-\frac{3}{2})^{2}}} dx$ બને છે.
ધારો કે $t = x-\frac{3}{2}$,તેથી $dt = dx$.
સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-t^{2}}} dt = \sin^{-1}(\frac{t}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \frac{\sqrt{41}}{2}$:
$= \sin^{-1}\left(\frac{x-\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{41}}{2}}\right) + C$
$= \sin^{-1}\left(\frac{2x-3}{\sqrt{41}}\right) + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

$(x-a)(x-b)$ ને $x^{2}-(a+b) x+a b$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,
$x^{2}-(a+b) x+a b = \left[x-\left(\frac{a+b}{2}\right)\right]^{2}-\frac{(a-b)^{2}}{4}$.
$\int \frac{1}{\sqrt{(x-a)(x-b)}} d x = \int \frac{1}{\sqrt{\left[x-\left(\frac{a+b}{2}\right)\right]^{2}-\frac{(a-b)^{2}}{4}}} d x$.
ધારો કે $x-\left(\frac{a+b}{2}\right)=t$,તો $d x=d t$.
$\int \frac{1}{\sqrt{t^{2}-\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}}} d t = \log \left| t + \sqrt{t^{2}-\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}} \right| + C$.
$t = x-\left(\frac{a+b}{2}\right)$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\log \left| \left(x-\frac{a+b}{2}\right) + \sqrt{(x-a)(x-b)} \right| + C$.

ધારો કે $x+2=A \frac{d}{d x}(x^{2}-1)+B$ ...........$(1)$
$\Rightarrow x+2=A(2 x)+B$
બંને બાજુ $x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$2 A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{2}$
$B=2$
$(1)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$(x+2)=\frac{1}{2}(2 x)+2$
તેથી,$\int \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}-1}} d x=\int \frac{\frac{1}{2}(2 x)+2}{\sqrt{x^{2}-1}} d x$
$=\frac{1}{2} \int \frac{2 x}{\sqrt{x^{2}-1}} d x+\int \frac{2}{\sqrt{x^{2}-1}} d x$ ..........$(2)$
$\frac{1}{2} \int \frac{2 x}{\sqrt{x^{2}-1}} d x$ માં,ધારો કે $x^{2}-1=t \Rightarrow 2 x d x=d t$
$\frac{1}{2} \int \frac{2 x}{\sqrt{x^{2}-1}} d x=\frac{1}{2} \int \frac{d t}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2}[2 \sqrt{t}] = \sqrt{t} = \sqrt{x^{2}-1}$
ત્યારબાદ,$\int \frac{2}{\sqrt{x^{2}-1}} d x = 2 \log |x + \sqrt{x^{2}-1}|$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\int \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}-1}} d x = \sqrt{x^{2}-1} + 2 \log |x + \sqrt{x^{2}-1}| + C$
જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

ધારો કે $5 x-2=A \frac{d}{d x}\left(1+2 x+3 x^{2}\right)+B$
$\Rightarrow 5 x-2=A(2+6 x)+B$
બંને બાજુ $x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$5=6 A \Rightarrow A=\frac{5}{6}$
$2 A+B=-2 \Rightarrow B=-2-2\left(\frac{5}{6}\right)=-2-\frac{5}{3}=-\frac{11}{3}$
$\therefore 5 x-2=\frac{5}{6}(2+6 x)-\frac{11}{3}$
$\Rightarrow \int \frac{5 x-2}{1+2 x+3 x^{2}} d x=\int \frac{\frac{5}{6}(2+6 x)-\frac{11}{3}}{1+2 x+3 x^{2}} d x$
$=\frac{5}{6} \int \frac{2+6 x}{1+2 x+3 x^{2}} d x-\frac{11}{3} \int \frac{1}{1+2 x+3 x^{2}} d x$
ધારો કે $I_{1}=\int \frac{2+6 x}{1+2 x+3 x^{2}} d x$ અને $I_{2}=\int \frac{1}{1+2 x+3 x^{2}} d x$
$\therefore \int \frac{5 x-2}{1+2 x+3 x^{2}} d x=\frac{5}{6} I_{1}-\frac{11}{3} I_{2} \quad \dots(1)$
$I_{1}$ માટે,ધારો કે $1+2 x+3 x^{2}=t$,તો $(2+6 x) d x=d t$
$I_{1}=\int \frac{d t}{t}=\log |t|=\log |1+2 x+3 x^{2}| \quad \dots(2)$
$I_{2}$ માટે,$1+2 x+3 x^{2}=3\left(x^{2}+\frac{2}{3} x+\frac{1}{3}\right)=3\left(\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}+\frac{2}{9}\right)=3\left(\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^{2}\right)$
$I_{2}=\frac{1}{3} \int \frac{d x}{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^{2}}=\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}} \tan ^{-1}\left(\frac{x+1/3}{\sqrt{2}/3}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}} \tan ^{-1}\left(\frac{3 x+1}{\sqrt{2}}\right) \quad \dots(3)$
$(2)$ અને $(3)$ ને $(1)$ માં મુકતા:
$\int \frac{5 x-2}{1+2 x+3 x^{2}} d x=\frac{5}{6} \log |1+2 x+3 x^{2}|-\frac{11}{3 \sqrt{2}} \tan ^{-1}\left(\frac{3 x+1}{\sqrt{2}}\right)+C$

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{6x+7}{\sqrt{(x-5)(x-4)}} = \frac{6x+7}{\sqrt{x^2-9x+20}}$.
ધારો કે $6x+7 = A\frac{d}{dx}(x^2-9x+20) + B$.
$6x+7 = A(2x-9) + B$.
$x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદને સરખાવતા,આપણને $2A = 6 \Rightarrow A = 3$ અને $-9A + B = 7 \Rightarrow -27 + B = 7 \Rightarrow B = 34$ મળે છે.
તેથી,$\int \frac{6x+7}{\sqrt{x^2-9x+20}} dx = \int \frac{3(2x-9) + 34}{\sqrt{x^2-9x+20}} dx = 3 \int \frac{2x-9}{\sqrt{x^2-9x+20}} dx + 34 \int \frac{1}{\sqrt{x^2-9x+20}} dx$.
ધારો કે $I_1 = \int \frac{2x-9}{\sqrt{x^2-9x+20}} dx$. $t = x^2-9x+20$ લેતા,$dt = (2x-9)dx$,તેથી $I_1 = \int t^{-1/2} dt = 2\sqrt{t} = 2\sqrt{x^2-9x+20}$.
ધારો કે $I_2 = \int \frac{1}{\sqrt{x^2-9x+20}} dx$. પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$x^2-9x+20 = (x-\frac{9}{2})^2 - \frac{1}{4} = (x-\frac{9}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2$.
સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \log|x + \sqrt{x^2-a^2}|$ નો ઉપયોગ કરતા,$I_2 = \log|x-\frac{9}{2} + \sqrt{x^2-9x+20}|$.
આમ,કુલ સંકલન $6\sqrt{x^2-9x+20} + 34\log|x-\frac{9}{2} + \sqrt{x^2-9x+20}| + C$ થાય છે.

(N/A) ધારો કે $x+2 = A \frac{d}{dx}(4x-x^2) + B$.
$\Rightarrow x+2 = A(4-2x) + B$.
બંને બાજુ $x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$-2A = 1 \Rightarrow A = -\frac{1}{2}$.
$4A + B = 2 \Rightarrow B = 4$.
આમ,$x+2 = -\frac{1}{2}(4-2x) + 4$.
તેથી,$\int \frac{x+2}{\sqrt{4x-x^2}} dx = \int \frac{-\frac{1}{2}(4-2x) + 4}{\sqrt{4x-x^2}} dx$.
$= -\frac{1}{2} \int \frac{4-2x}{\sqrt{4x-x^2}} dx + 4 \int \frac{1}{\sqrt{4x-x^2}} dx$.
ધારો કે $I_1 = \int \frac{4-2x}{\sqrt{4x-x^2}} dx$ અને $I_2 = \int \frac{1}{\sqrt{4x-x^2}} dx$.
તેથી,સંકલન $-\frac{1}{2}I_1 + 4I_2$ થાય $(1)$.
$I_1$ માટે,ધારો કે $4x-x^2 = t$,તો $(4-2x)dx = dt$.
$I_1 = \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = 2\sqrt{t} = 2\sqrt{4x-x^2}$ $(2)$.
$I_2$ માટે,$4x-x^2 = -(x^2-4x) = -(x^2-4x+4-4) = 4-(x-2)^2 = (2)^2-(x-2)^2$.
$I_2 = \int \frac{dx}{\sqrt{(2)^2-(x-2)^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right)$ $(3)$.
$(2)$ અને $(3)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$= -\frac{1}{2}(2\sqrt{4x-x^2}) + 4\sin^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right) + C$.
$= -\sqrt{4x-x^2} + 4\sin^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right) + C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

આપણે સંકલન $I = \int \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,આપણે અંશને વર્ગમૂળની અંદરના દ્વિઘાત પદના વિકલિતના સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ,જે $\frac{d}{dx}(x^2+2x+3) = 2x+2$ છે.
$\int \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2(x+2)}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+4}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx$
$= \frac{1}{2} \int \frac{2x+2+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx + \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx$
ધારો કે $I_1 = \int \frac{2x+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx$ અને $I_2 = \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx$.
$I_1$ માટે,$t = x^2+2x+3$ લેતા,$dt = (2x+2)dx$ મળે.
$I_1 = \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = 2\sqrt{t} = 2\sqrt{x^2+2x+3}$.
$I_2$ માટે,પૂર્ણવર્ગની રીત વાપરતા: $x^2+2x+3 = (x+1)^2 + 2 = (x+1)^2 + (\sqrt{2})^2$.
$I_2 = \int \frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2 + (\sqrt{2})^2}} = \log |(x+1) + \sqrt{(x+1)^2 + 2}| = \log |(x+1) + \sqrt{x^2+2x+3}|$.
આ બંનેને ભેગા કરતા,$I = \frac{1}{2}(2\sqrt{x^2+2x+3}) + \log |(x+1) + \sqrt{x^2+2x+3}| + C$.
અંતિમ જવાબ: $I = \sqrt{x^2+2x+3} + \log |(x+1) + \sqrt{x^2+2x+3}| + C$.

ધારો કે $(x+3) = A \frac{d}{dx}(x^{2}-2x-5) + B$
$(x+3) = A(2x-2) + B$
બંને બાજુ $x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$2A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2}$
$-2A + B = 3 \Rightarrow -2(\frac{1}{2}) + B = 3 \Rightarrow -1 + B = 3 \Rightarrow B = 4$
તેથી,$(x+3) = \frac{1}{2}(2x-2) + 4$
હવે,$\int \frac{x+3}{x^{2}-2x-5} dx = \int \frac{\frac{1}{2}(2x-2)+4}{x^{2}-2x-5} dx$
$= \frac{1}{2} \int \frac{2x-2}{x^{2}-2x-5} dx + 4 \int \frac{1}{x^{2}-2x-5} dx$
ધારો કે $I_{1} = \int \frac{2x-2}{x^{2}-2x-5} dx$ અને $I_{2} = \int \frac{1}{x^{2}-2x-5} dx$
$I_{1}$ માટે,$x^{2}-2x-5 = t$ લેતા,$(2x-2)dx = dt$. તેથી,$I_{1} = \int \frac{dt}{t} = \log |x^{2}-2x-5|$.
$I_{2}$ માટે,$x^{2}-2x-5 = (x-1)^{2} - 6 = (x-1)^{2} - (\sqrt{6})^{2}$.
સૂત્ર $\int \frac{1}{x^{2}-a^{2}} dx = \frac{1}{2a} \log |\frac{x-a}{x+a}|$ નો ઉપયોગ કરતા,$I_{2} = \frac{1}{2\sqrt{6}} \log |\frac{x-1-\sqrt{6}}{x-1+\sqrt{6}}|$.
$I_{1}$ અને $I_{2}$ ની કિંમતો મૂકતા,સંકલન $\frac{1}{2} \log |x^{2}-2x-5| + \frac{4}{2\sqrt{6}} \log |\frac{x-1-\sqrt{6}}{x-1+\sqrt{6}}| + C$
$= \frac{1}{2} \log |x^{2}-2x-5| + \frac{2}{\sqrt{6}} \log |\frac{x-1-\sqrt{6}}{x-1+\sqrt{6}}| + C$.

ધારો કે $5 x+3=A \frac{d}{d x}(x^{2}+4 x+10)+B$
$\Rightarrow 5 x+3=A(2 x+4)+B$
$x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$2 A=5 \Rightarrow A=\frac{5}{2}$
$4 A+B=3 \Rightarrow B=3-4(\frac{5}{2})=3-10=-7$
$\therefore 5 x+3=\frac{5}{2}(2 x+4)-7$
$\int \frac{5 x+3}{\sqrt{x^{2}+4 x+10}} d x=\frac{5}{2} \int \frac{2 x+4}{\sqrt{x^{2}+4 x+10}} d x-7 \int \frac{1}{\sqrt{(x+2)^{2}+6}} d x$
પ્રથમ સંકલન માટે,ધારો કે $t=x^{2}+4 x+10$,તો $dt=(2 x+4)dx$. તેથી,$\int \frac{dt}{\sqrt{t}}=2\sqrt{t}=2\sqrt{x^{2}+4 x+10}$.
બીજા સંકલન માટે,$\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\log |x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\log |(x+2)+\sqrt{(x+2)^{2}+6}| = \log |(x+2)+\sqrt{x^{2}+4 x+10}|$ મળે છે.
આ બંનેને જોડતા,પરિણામ $5\sqrt{x^{2}+4 x+10}-7 \log |(x+2)+\sqrt{x^{2}+4 x+10}|+C$ મળે છે.

(A) આપણે સંકલન $I = \int \sqrt{x^{2}+2 x+5} \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,દ્વિઘાત પદાવલિ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીએ: $x^{2}+2 x+5 = (x^{2}+2 x+1) + 4 = (x+1)^{2} + 2^{2}$.
હવે,સંકલન આ મુજબ થશે: $I = \int \sqrt{(x+1)^{2} + 2^{2}} \, dx$.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \sqrt{t^{2}+a^{2}} \, dt = \frac{1}{2} t \sqrt{t^{2}+a^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \log |t + \sqrt{t^{2}+a^{2}}| + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $t = x+1$ અને $a = 2$:
$I = \frac{1}{2}(x+1) \sqrt{(x+1)^{2} + 2^{2}} + \frac{2^{2}}{2} \log |(x+1) + \sqrt{(x+1)^{2} + 2^{2}}| + C$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$I = \frac{1}{2}(x+1) \sqrt{x^{2}+2 x+5} + 2 \log |x+1 + \sqrt{x^{2}+2 x+5}| + C$.