Types of matrices, Algebra of matrices Questions in Hindi

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \times A$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9+9+9 & 9+9+9 & 9+9+9 \\ 9+9+9 & 9+9+9 & 9+9+9 \\ 9+9+9 & 9+9+9 & 9+9+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 & 27 & 27 \\ 27 & 27 & 27 \\ 27 & 27 & 27 \end{bmatrix} = 9A$.
अब,$A^3 = A^2 \times A$ की गणना करें:
$A^3 = (9A) \times A = 9(A^2) = 9(9A) = 81A$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) सबसे पहले,पहले दो आव्यूहों का गुणा करें: $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & x & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2(1)+3(2)+4(3)) & (2(x)+3(4)+4(2)) & (2(3)+3(5)+4(x)) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 & 2x+20 & 21+4x \end{bmatrix}$.
अब,इस परिणाम को तीसरे आव्यूह से गुणा करें: $\begin{bmatrix} 20 & 2x+20 & 21+4x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} = 20(x) + (2x+20)(2) + (21+4x)(0) = 0$.
इसे सरल करने पर: $20x + 4x + 40 = 0$.
$24x = -40$.
$x = -\frac{40}{24} = -\frac{5}{3}$.

(A) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 4 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A^2 = A \times A$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 4 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 4 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 33 & 24 & 24 \\ 24 & 33 & 24 \\ 24 & 24 & 33 \end{bmatrix}$।
अब,$6A$ की गणना करें:
$6A = 6 \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 4 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 24 & 24 \\ 24 & 6 & 24 \\ 24 & 24 & 6 \end{bmatrix}$।
अंत में,$A^2 - 6A$ की गणना करें:
$A^2 - 6A = \begin{bmatrix} 33 & 24 & 24 \\ 24 & 33 & 24 \\ 24 & 24 & 33 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 24 & 24 \\ 24 & 6 & 24 \\ 24 & 24 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 & 0 & 0 \\ 0 & 27 & 0 \\ 0 & 0 & 27 \end{bmatrix} = 27 I_3$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{bmatrix}$ है।
हमें दिया गया है कि $A^2 = I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} \alpha^2 + \beta \gamma & \alpha \beta - \beta \alpha \\ \gamma \alpha - \alpha \gamma & \beta \gamma + \alpha^2 \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} \alpha^2 + \beta \gamma & 0 \\ 0 & \alpha^2 + \beta \gamma \end{bmatrix}$
चूंकि $A^2 = I$,हमें प्राप्त होता है:
$\begin{bmatrix} \alpha^2 + \beta \gamma & 0 \\ 0 & \alpha^2 + \beta \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
अवयवों की तुलना करने पर,$\alpha^2 + \beta \gamma = 1$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$1 - \alpha^2 - \beta \gamma = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) सामान्यतः,आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय (commutative) नहीं होता है। समान क्रम के दो वर्ग आव्यूहों $A$ और $B$ के लिए,गुणनफल $AB$ का $BA$ के बराबर होना आवश्यक नहीं है। अतः,$AB \neq BA$ आव्यूह गुणन के सामान्य गुण को दर्शाने वाला सही कथन है।

(A) माना आव्यूह $B$ की कोटि $p \times q$ है।
तब $B^{\prime}$ की कोटि $q \times p$ होगी।
$AB^{\prime}$ के परिभाषित होने के लिए,$A$ में स्तंभों की संख्या $B^{\prime}$ में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$n = q$।
$B^{\prime}A$ के परिभाषित होने के लिए,$B^{\prime}$ में स्तंभों की संख्या $A$ में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$p = m$।
इसलिए,आव्यूह $B$ की कोटि $m \times n$ है।

(B) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 1+1 \\ 1+1 & 1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = 2A$ की गणना करें।
अब,$A^3 = A^2 \times A = (2A) \times A = 2(A^2) = 2(2A) = 2^2 A$ निकालें।
इसी प्रकार,$A^4 = A^3 \times A = (2^2 A) \times A = 2^2 (A^2) = 2^2 (2A) = 2^3 A$ होगा।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,हम सामान्यीकृत कर सकते हैं कि $A^n = 2^{n-1} A$ है।
अतः,$n = 10$ के लिए,$A^{10} = 2^{10-1} A = 2^9 A$ होगा।

(C) दिया गया है कि $A^2 = A$ और $I$ एक तत्समक आव्यूह है।
हमें व्यंजक $(I + A)^2 - 3A$ का मान ज्ञात करना है।
$(I + A)^2 = I^2 + IA + AI + A^2$ गुणधर्म का उपयोग करके विस्तार करने पर:
चूंकि $IA = AI = A$ और $I^2 = I$,इसलिए:
$(I + A)^2 = I + A + A + A^2$
$(I + A)^2 = I + 2A + A^2$
अब $A^2 = A$ रखने पर:
$(I + A)^2 = I + 2A + A = I + 3A$
इस मान को मूल व्यंजक में रखने पर:
$(I + A)^2 - 3A = (I + 3A) - 3A$
$(I + A)^2 - 3A = I$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) आव्यूह $A$ एक $2 \times 2$ तत्समक आव्यूह है,जिसे $I_2$ के रूप में दर्शाया जाता है।
आव्यूह $B$ एक $3 \times 2$ आव्यूह है।
गुणनफल $AB$ को परिभाषित होने के लिए,$A$ में स्तंभों की संख्या $B$ में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
यहाँ,$A$ में स्तंभों की संख्या $2$ है और $B$ में पंक्तियों की संख्या $3$ है।
चूँकि $2 \neq 3$,इसलिए आव्यूह गुणन $AB$ परिभाषित नहीं है।
अतः,$AB$ का अस्तित्व नहीं है।

(B) $3 \times 2$ क्रम के एक आव्यूह में कुल $3 \times 2 = 6$ प्रविष्टियाँ होती हैं।
प्रत्येक प्रविष्टि को $2$ तरीकों से भरा जा सकता है (या तो $1$ या $2$)।
चूंकि भरने के लिए $6$ स्वतंत्र स्थान हैं,इसलिए ऐसे आव्यूहों की कुल संख्या $2^6$ होगी।
$2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया है कि $A^2 = A$ है।
हमें $(I + A)^3 - 7A$ का मान ज्ञात करना है।
आव्यूहों के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(I + A)^3 = I^3 + 3I^2A + 3IA^2 + A^3$ है।
चूँकि $I^n = I$ और $IA = AI = A$ होता है,हमारे पास है:
$(I + A)^3 = I + 3A + 3A^2 + A^3$।
चूँकि $A^2 = A$ दिया गया है,इसलिए $A^3 = A^2 \cdot A = A \cdot A = A^2 = A$ होगा।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(I + A)^3 = I + 3A + 3A + A = I + 7A$।
अब,$7A$ घटाने पर:
$(I + A)^3 - 7A = (I + 7A) - 7A = I$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) एक $3 \times 3$ आव्यूह में कुल $3 \times 3 = 9$ अवयव होते हैं।
प्रत्येक अवयव को $2$ तरीकों से चुना जा सकता है (या तो $2$ या $9$)।
चूंकि $9$ स्थान हैं और प्रत्येक स्थान के लिए $2$ विकल्प हैं,इसलिए ऐसे आव्यूहों की कुल संख्या $2^9$ द्वारा दी जाती है।
$2^9$ की गणना करने पर,हमें $2^9 = 512$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है कि $A^2 = A$.
हमें $(I + A)^3 - 8A$ का मान ज्ञात करना है।
आव्यूह के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(I + A)^3 = I^3 + 3I^2A + 3IA^2 + A^3$.
चूंकि $I^n = I$ और $I \times A = A$,यह $I + 3A + 3A^2 + A^3$ में सरल हो जाता है।
$A^2 = A$ दिया गया है,इसलिए हम $A^2$ को $A$ से प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$A^3 = A^2 \times A = A \times A = A^2 = A$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$(I + A)^3 = I + 3A + 3(A) + A = I + 7A$.
अब,$8A$ घटाने पर:
$(I + 7A) - 8A = I - A$.

(A) आव्यूह $X$ और $Y$ के लिए समीकरण इस प्रकार हैं:
$(1)$ $X + Y = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$
$(2)$ $X - Y = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$
$2X$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण $(1)$ और समीकरण $(2)$ को जोड़ते हैं:
$(X + Y) + (X - Y) = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$
$2X = \begin{bmatrix} 7+3 & 0+0 \\ 2+0 & 5+3 \end{bmatrix}$
$2X = \begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 2 & 8 \end{bmatrix}$
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(A) दिया गया है $A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$,जो एक $3 \times 1$ आव्यूह है। अतः,$A$ एक $1 \times 3$ आव्यूह है।
दिया गया है $B^{\prime} = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 2 \end{bmatrix}$,जो एक $1 \times 3$ आव्यूह है। अतः,$B$ एक $3 \times 1$ आव्यूह है।
हमें $(BA)^{\prime}$ ज्ञात करना है।
परिवर्तित आव्यूह के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$(BA)^{\prime} = A^{\prime} B^{\prime}$ होता है।
यहाँ $A^{\prime}$ का क्रम $3 \times 1$ है और $B^{\prime}$ का क्रम $1 \times 3$ है।
अतः,$A^{\prime} B^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 8 & 6 & 4 \\ 12 & 9 & 6 \end{bmatrix}$।
यह एक $3 \times 3$ आव्यूह है,जो कि एक वर्ग आव्यूह है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A^2 = A \times A$ की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} (0)(0)+(0)(0)+(3)(3) & (0)(0)+(0)(3)+(3)(0) & (0)(3)+(0)(0)+(3)(0) \\ (0)(0)+(3)(0)+(0)(3) & (0)(0)+(3)(3)+(0)(0) & (0)(3)+(3)(0)+(0)(0) \\ (3)(0)+(0)(0)+(0)(3) & (3)(0)+(0)(3)+(0)(0) & (3)(3)+(0)(0)+(0)(0) \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix} = 9 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 9I_3$.
अतः,सही कथन $A^2 = 9I_3$ है।

(A) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A^2 = A \times A$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (3)(3) + (1)(-1) & (3)(1) + (1)(2) \\ (-1)(3) + (2)(-1) & (-1)(1) + (2)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$।
इसके बाद,$5A = 5 \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
अब,$A^2 - 5A$ ज्ञात करें:
$A^2 - 5A = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8-15 & 5-5 \\ -5-(-5) & 3-10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 0 \\ 0 & -7 \end{bmatrix}$।
इसे $-7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = -7I$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $kI$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = -7$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए आव्यूह $A$ का क्रम $1 \times 3$,$B$ का क्रम $3 \times 3$ और $C$ का क्रम $3 \times 1$ है।
सबसे पहले,$AB$ का गुणनफल ज्ञात करें। $AB$ का क्रम $(1 \times 3) \times (3 \times 3) = 1 \times 3$ होगा।
इसके बाद,$(AB) \cdot C$ का गुणनफल ज्ञात करें। $(AB) \cdot C$ का क्रम $(1 \times 3) \times (3 \times 1) = 1 \times 1$ होगा।
अतः,परिणामी आव्यूह $1 \times 1$ क्रम का है,जिसका अर्थ है कि $m = 1$ और $n = 1$ है।
इसलिए,$m = n$।

(D) दिया गया आव्यूह समीकरण: $\begin{bmatrix} a_1+a_2 & 4 \\ 3 & a_3+a_4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3a_2 & 3a_1 \\ 3a_4 & 3a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & -a_1 \\ -2a_4 & 1 \end{bmatrix}$.
घटाव करने पर हमें प्राप्त होता है: $\begin{bmatrix} a_1-2a_2 & 4-3a_1 \\ 3-3a_4 & a_3-2a_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & -a_1 \\ -2a_4 & 1 \end{bmatrix}$.
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$1) \; a_1 - 2a_2 = -6$
$2) \; 4 - 3a_1 = -a_1 \implies 4 = 2a_1 \implies a_1 = 2$
$3) \; 3 - 3a_4 = -2a_4 \implies a_4 = 3$
$4) \; a_3 - 2a_4 = 1 \implies a_3 - 2(3) = 1 \implies a_3 = 7$
समीकरण $(1)$ में $a_1 = 2$ रखने पर: $2 - 2a_2 = -6 \implies -2a_2 = -8 \implies a_2 = 4$.
अब,योग $\sum_{i=1}^4 a_i = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 2 + 4 + 7 + 3 = 16$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 1+1 \\ 1+1 & 1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = 2A$ की गणना करें।
इसके बाद,$A^3 = A^2 \times A = (2A) \times A = 2A^2 = 2(2A) = 2^2 A$ की गणना करें।
इसी प्रकार,$A^4 = A^3 \times A = (2^2 A) \times A = 2^2 A^2 = 2^2(2A) = 2^3 A$।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,हम सामान्यीकृत कर सकते हैं कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n \geq 1$ के लिए $A^n = 2^{n-1} A$ होता है।
अतः,$n = 100$ के लिए,$A^{100} = 2^{100-1} A = 2^{99} A$।

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण:
$2\begin{bmatrix} 5 & x \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 7 & 0 \end{bmatrix}$
सबसे पहले,पहले आव्यूह को अदिश $2$ से गुणा करें:
$\begin{bmatrix} 10 & 2x \\ 6 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 7 & 0 \end{bmatrix}$
अब,बाईं ओर के दोनों आव्यूहों को जोड़ें:
$\begin{bmatrix} 10+0 & 2x+1 \\ 6+1 & 8+y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 7 & 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 10 & 2x+1 \\ 7 & 8+y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 7 & 0 \end{bmatrix}$
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$2x + 1 = 5 \implies 2x = 4 \implies x = 2$
$8 + y = 0 \implies y = -8$
अतः,$x = 2$ और $y = -8$.

(A) दिए गए समीकरण:
$A - B = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 9 & 0 \end{bmatrix}$ (समीकरण $1$)
$A + B = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर:
$(A - B) + (A + B) = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 9 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$
$2A = \begin{bmatrix} 2+6 & 5+3 \\ 9+(-1) & 0+0 \end{bmatrix}$
$2A = \begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}$
$2$ से भाग देने पर:
$A = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 8 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 0 \end{bmatrix}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) सबसे पहले,पहले दो आव्यूहों का गुणा करें:
$\begin{bmatrix} 1 & x & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+x(0)+1(0) & 1(3)+x(5)+1(3) & 1(2)+x(1)+1(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 5x+6 & x+4 \end{bmatrix}$
अब,इस परिणाम को तीसरे आव्यूह से गुणा करें:
$\begin{bmatrix} 1 & 5x+6 & x+4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ x \end{bmatrix} = 1(1) + (5x+6)(1) + (x+4)(x) = 0$
$1 + 5x + 6 + x^2 + 4x = 0$
$x^2 + 9x + 7 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करते हुए:
$x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 4(1)(7)}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 28}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{53}}{2}$
हमें $2x + 9$ का मान ज्ञात करना है:
$2x + 9 = 2 \left( \frac{-9 \pm \sqrt{53}}{2} \right) + 9 = -9 \pm \sqrt{53} + 9 = \pm \sqrt{53}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दी गई आव्यूह समानता से:
$\left[\begin{array}{cc}x-1 & 2y \\ x+y & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3x-7 & y^2-3 \\ 6 & y\end{array}\right]$
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$1) \ x-1 = 3x-7 \implies 2x = 6 \implies x = 3$
$2) \ 3 = y \implies y = 3$
$3) \ 2y = y^2-3 \implies 2(3) = (3)^2-3 \implies 6 = 9-3 \implies 6 = 6$ (संतुष्ट है)
$4) \ x+y = 6 \implies 3+3 = 6$ (संतुष्ट है)
अतः,हल $(x, y) = (3, 3)$ है।

(A) $2 \times 2$ आव्यूह $A = [a_{ij}]$ के लिए,अवयव $a_{ij} = \frac{i + 2j^2}{3}$ द्वारा दिए गए हैं।
$i=1, j=1$ के लिए: $a_{11} = \frac{1 + 2(1)^2}{3} = \frac{1 + 2}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
$i=1, j=2$ के लिए: $a_{12} = \frac{1 + 2(2)^2}{3} = \frac{1 + 8}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
$i=2, j=1$ के लिए: $a_{21} = \frac{2 + 2(1)^2}{3} = \frac{2 + 2}{3} = \frac{4}{3}$.
$i=2, j=2$ के लिए: $a_{22} = \frac{2 + 2(2)^2}{3} = \frac{2 + 8}{3} = \frac{10}{3}$.
अतः,आव्यूह $A = \left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ \frac{4}{3} & \frac{10}{3} \end{array}\right]$ है।

(A) दिया गया फलन $f(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix}$ है।
$f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ज्ञात करने के लिए,हम आव्यूह में $\theta = \frac{\pi}{6}$ प्रतिस्थापित करते हैं।
$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \begin{bmatrix} \cos(\frac{\pi}{6}) & -\sin(\frac{\pi}{6}) \\ \sin(\frac{\pi}{6}) & -\cos(\frac{\pi}{6}) \end{bmatrix}$।
हम जानते हैं कि $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ होता है।
इन मानों को रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दोनों आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने पर,हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होते हैं:
$1) x + y = -7$
$2) x - y = 0$
$3) 7 + z = 5$
समीकरण $(2)$ से,हमें $x = y$ प्राप्त होता है।
$x = y$ को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$x + x = -7$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2x = -7$,इसलिए $x = -3.5$ और $y = -3.5$ है।
समीकरण $(3)$ से,$z = 5 - 7 = -2$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $2x + 4y + 2z$ का मान ज्ञात करना है:
$2x + 4y + 2z = 2(-3.5) + 4(-3.5) + 2(-2)$
$= -7 - 14 - 4$
$= -25$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना $A = \begin{bmatrix} x & x \\ x & x \end{bmatrix}$ है। तत्समक अवयव $E = \begin{bmatrix} e & e \\ e & e \end{bmatrix}$ के लिए $AE = A$ होना चाहिए।
$\begin{bmatrix} x & x \\ x & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & e \\ e & e \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2xe & 2xe \\ 2xe & 2xe \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & x \\ x & x \end{bmatrix}$ है।
अतः,$2xe = x \implies e = 1/2$ है। तत्समक अवयव $E = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}$ है।
माना $A = \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 \end{bmatrix}$ का प्रतिलोम $A^{-1} = \begin{bmatrix} y & y \\ y & y \end{bmatrix}$ है।
तब $AA^{-1} = E \implies \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y & y \\ y & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}$ है।
गुणा करने पर: $\begin{bmatrix} 2y/3 & 2y/3 \\ 2y/3 & 2y/3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}$ है।
तुलना करने पर: $2y/3 = 1/2 \implies y = 3/4$ है।
अतः,$A^{-1} = \begin{bmatrix} 3/4 & 3/4 \\ 3/4 & 3/4 \end{bmatrix}$ है।

(D) दिया गया आव्यूह समीकरण:
$x\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 \\ 5 \end{bmatrix}$
अदिश $x$ और $y$ को आव्यूहों से गुणा करने पर:
$\begin{bmatrix} 3x \\ 2x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y \\ -y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 \\ 5 \end{bmatrix}$
बाईं ओर के आव्यूहों को जोड़ने पर:
$\begin{bmatrix} 3x + y \\ 2x - y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 \\ 5 \end{bmatrix}$
संगत अवयवों की तुलना करने पर,हमें रैखिक समीकरणों का निकाय प्राप्त होता है:
$3x + y = 15$ --- $(i)$
$2x - y = 5$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(3x + y) + (2x - y) = 15 + 5$
$5x = 20 \Rightarrow x = 4$
$x = 4$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$3(4) + y = 15$
$12 + y = 15 \Rightarrow y = 3$
अतः,$x = 4$ और $y = 3$ प्राप्त होते हैं।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$। ध्यान दें कि $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$।
हम आव्यूहों के लिए द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हैं। चूँकि $I$ और $A$ क्रमविनिमेय हैं $(IA = AI = A)$,हमारे पास है:
$(aI + bA)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (aI)^{n-k} (bA)^k$।
चूँकि सभी $k \ge 2$ के लिए $A^k = O$ है,केवल $k=0$ और $k=1$ वाले पद ही अशून्य होंगे:
$(aI + bA)^n = \binom{n}{0} (aI)^n (bA)^0 + \binom{n}{1} (aI)^{n-1} (bA)^1$।
$(aI + bA)^n = 1 \cdot a^n I \cdot I + n \cdot a^{n-1} I \cdot bA$।
$(aI + bA)^n = a^n I + n a^{n-1} b A$।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$3A + 4B' = \begin{bmatrix} 7 & -10 & 17 \\ 0 & 6 & 31 \end{bmatrix} \quad \dots(1)$
$2B - 3A' = \begin{bmatrix} -1 & 18 \\ 4 & 0 \\ 5 & -7 \end{bmatrix} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ का परिवर्त आव्यूह (transpose) लेने पर:
$2B' - 3A = \begin{bmatrix} -1 & 4 & 5 \\ 18 & 0 & -7 \end{bmatrix} \quad \dots(3)$
समीकरण $(1)$ और $(3)$ का उपयोग करके $B'$ ज्ञात किया जा सकता है।
हल करने पर,हमें $B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(D) दिए गए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \frac{1}{\pi} \sin^{-1}(x\pi) & \frac{1}{\pi} \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \frac{1}{\pi} \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \frac{1}{\pi} \cot^{-1}(\pi x) \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\pi} \cos^{-1}(x\pi) & \frac{1}{\pi} \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \frac{1}{\pi} \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & -\frac{1}{\pi} \tan^{-1}(\pi x) \end{bmatrix}$ हैं।
$A$ में से $B$ घटाने पर:
$A-B = \begin{bmatrix} \frac{1}{\pi}(\sin^{-1}(x\pi) + \cos^{-1}(x\pi)) & \frac{1}{\pi}(\tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \tan^{-1}(\frac{x}{\pi})) \\ \frac{1}{\pi}(\sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \sin^{-1}(\frac{x}{\pi})) & \frac{1}{\pi}(\cot^{-1}(\pi x) + \tan^{-1}(\pi x)) \end{bmatrix}$.
सर्वसमिका $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ और $\tan^{-1}(\theta) + \cot^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर:
$A-B = \begin{bmatrix} \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{2} I$.

(C) गुणनफल $AB$ के एक तत्समक आव्यूह $I$ होने के लिए,$A$ में स्तंभों की संख्या $B$ में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए,और परिणामी आव्यूह $AB$ एक वर्ग आव्यूह होना चाहिए।
दिया गया है कि आव्यूह $B$ की कोटि $3 \times 4$ है,मान लीजिए आव्यूह $A$ की कोटि $m \times n$ है।
गुणनफल $AB$ को परिभाषित होने के लिए,$A$ में स्तंभों की संख्या $(n)$ को $B$ में पंक्तियों की संख्या $(3)$ के बराबर होना चाहिए। अतः,$n = 3$ है।
परिणामी आव्यूह $AB$ की कोटि $m \times 4$ होगी।
चूंकि $AB$ एक तत्समक आव्यूह है,इसलिए इसे एक वर्ग आव्यूह होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। इसलिए,$m = 4$ है।
अतः,आव्यूह $A$ की कोटि $4 \times 3$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ की घातों की गणना करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = 2^1 A$.
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix} = 2^2 A$.
गणितीय आगमन के सिद्धांत से,$A^n = 2^{n-1} A$.
$n = 6$ के लिए,$A^6 = 2^{6-1} A = 2^5 A = 32 A$.
$A^6 = k A$ और $A^6 = 32 A$ की तुलना करने पर,$k = 32$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 1+1 \\ 1+1 & 1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = 2A$.
अब,$A^3$ की गणना करें:
$A^3 = A^2 \times A = (2A) \times A = 2(A^2) = 2(2A) = 4A = 2^2 A$.
इस पैटर्न का अवलोकन करते हुए,हम $A^n$ के लिए सामान्य सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:
$A^n = 2^{n-1} A$.
$n = 10$ के लिए:
$A^{10} = 2^{10-1} A = 2^9 A$.

(D) दिया गया है,$AB = B$ और $BA = A$।
हमें $A^2 + B^2$ का मान ज्ञात करना है।
$A^2 = A \cdot A = A(BA) = (AB)A = BA = A$।
$B^2 = B \cdot B = B(AB) = (BA)B = AB = B$।
अतः,$A^2 + B^2 = A + B$।

(B) दिया गया है,$A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right]$ और $B=\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right]$।
सबसे पहले,गुणनफल $AB$ की गणना करें:
$AB = \left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc}(1)(2) + (-2)(3) + (1)(1) & (1)(1) + (-2)(2) + (1)(1) \\ (2)(2) + (1)(3) + (3)(1) & (2)(1) + (1)(2) + (3)(1)\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc}2 - 6 + 1 & 1 - 4 + 1 \\ 4 + 3 + 3 & 2 + 2 + 3\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc}-3 & -2 \\ 10 & 7\end{array}\right]$
अब,पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर परिवर्त आव्यूह $(AB)^{\prime}$ ज्ञात करें:
$(AB)^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}-3 & 10 \\ -2 & 7\end{array}\right]$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+4 & -4-4 \\ -4-4 & 4+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -8 \\ -8 & 8 \end{bmatrix} = 4 \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} = 2^2 A$.
अब,$A^3$ की गणना करें:
$A^3 = A^2 \cdot A = (2^2 A) \cdot A = 2^2 A^2 = 2^2 (2^2 A) = 2^4 A$.
इस पैटर्न को देखने पर:
$A^1 = 2^0 A$
$A^2 = 2^2 A$
$A^3 = 2^4 A$
$A^4 = 2^6 A$
सामान्य रूप से,$A^n = 2^{2(n-1)} A$.
इसे $A^n = 2^k A$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 2(n-1)$ प्राप्त होता है।

(D) माना आव्यूह $B$ की कोटि $x \times y$ है।
तब $B^{\prime}$ की कोटि $y \times x$ होगी।
गुणनफल $AB^{\prime}$ के परिभाषित होने के लिए,$A$ के स्तंभों की संख्या $B^{\prime}$ की पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
चूंकि $A$,$m \times n$ है,इसलिए $n = y$ है।
गुणनफल $B^{\prime}A$ के परिभाषित होने के लिए,$B^{\prime}$ के स्तंभों की संख्या $A$ की पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$x = m$ है।
इसलिए,आव्यूह $B$ की कोटि $m \times n$ है।

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ क्रम $n$ के वर्ग आव्यूह हैं,इस प्रकार कि $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$ है।
आव्यूह गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके दाहिने पक्ष का विस्तार करने पर:
$(A-B)(A+B) = A(A+B) - B(A+B) = A^{2} + AB - BA - B^{2}$ प्राप्त होता है।
इसे बाएं पक्ष के बराबर रखने पर:
$A^{2} - B^{2} = A^{2} + AB - BA - B^{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $A^{2} - B^{2}$ घटाने पर,हमें मिलता है:
$0 = AB - BA$।
अतः,$AB = BA$।
यह दर्शाता है कि आव्यूह $A$ और $B$ क्रमविनिमेय (Commute) हैं।

(B) एक विकर्ण आव्यूह एक वर्ग आव्यूह होता है जिसमें मुख्य विकर्ण को छोड़कर सभी तत्व शून्य होते हैं। विकर्ण के तत्व स्वयं कोई भी मान हो सकते हैं,जिसमें शून्य भी शामिल है,लेकिन उनका शून्य होना आवश्यक नहीं है। इसलिए,यह कथन कि एक विकर्ण आव्यूह के सभी विकर्ण तत्व शून्य होते हैं,गलत है।

(D) दिया गया है,$C = \left[\begin{array}{rr}2 & 3 \\ 5 & -1\end{array}\right] = A+B$.
हम जानते हैं कि किसी भी वर्ग आव्यूह $C$ को एक सममित आव्यूह $A$ और एक विषम-सममित आव्यूह $B$ के योग के रूप में अद्वितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $A = \frac{1}{2}(C+C^T)$ और $B = \frac{1}{2}(C-C^T)$ है।
सबसे पहले,$C$ का परिवर्त आव्यूह $C^T$ ज्ञात करें: $C^T = \left[\begin{array}{rr}2 & 5 \\ 3 & -1\end{array}\right]$.
अब,$B = \frac{1}{2}(C-C^T)$ की गणना करें:
$B = \frac{1}{2} \left( \left[\begin{array}{rr}2 & 3 \\ 5 & -1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{rr}2 & 5 \\ 3 & -1\end{array}\right] \right)$
$B = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{rr}2-2 & 3-5 \\ 5-3 & -1-(-1)\end{array}\right]$
$B = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{rr}0 & -2 \\ 2 & 0\end{array}\right]$
$B = \left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$.

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ समान कोटि के सममित आव्यूह हैं,इसलिए $A^T = A$ और $B^T = B$ है।
$(i)$ $(A+B)^T = A^T + B^T = A+B$. अतः,$A+B$ सममित है।
(ii) $(A-B)^T = A^T - B^T = A-B$. अतः,$A-B$ सममित है।
(iii) $(AB+BA)^T = (AB)^T + (BA)^T = B^T A^T + A^T B^T = BA + AB = AB+BA$. अतः,$AB+BA$ सममित है।
(iv) $(AB-BA)^T = (AB)^T - (BA)^T = B^T A^T - A^T B^T = BA - AB = -(AB-BA)$. अतः,$AB-BA$ एक विषम-सममित आव्यूह है,सममित नहीं।
इसलिए,कथन '$AB-BA$ सममित है' सत्य नहीं है।

(D) दिया गया है कि,$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A^{2} = A \times A$ की गणना करते हैं:
$A^{2} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (3)(3) + (1)(-1) & (3)(1) + (1)(2) \\ (-1)(3) + (2)(-1) & (-1)(1) + (2)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9-1 & 3+2 \\ -3-2 & -1+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$.
इसके बाद,हम $5A$ की गणना करते हैं:
$5A = 5 \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix}$.
अंत में,हम $A^{2} - 5A$ की गणना करते हैं:
$A^{2} - 5A = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8-15 & 5-5 \\ -5-(-5) & 3-10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 0 \\ 0 & -7 \end{bmatrix}$.
इसे $-7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = -7I$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) एक वर्ग आव्यूह $A$ के अभिलक्षणिक मूल (eigenvalues) अभिलक्षणिक समीकरण $\det(A - \lambda I) = 0$ के हल होते हैं।
एक त्रिभुजाकार आव्यूह (ऊपरी या निचला) के लिए,सारणिक $\det(A - \lambda I)$ विकर्ण तत्वों में से $\lambda$ घटाकर उनका गुणनफल होता है।
दिया गया आव्यूह $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 6\end{array}\right]$ एक निचला त्रिभुजाकार आव्यूह है,इसलिए अभिलक्षणिक समीकरण $(1 - \lambda)(3 - \lambda)(6 - \lambda) = 0$ है।
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,हमें $\lambda = 1, 3, 6$ प्राप्त होता है।
अतः,अभिलक्षणिक मूल $1, 3, 6$ हैं।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A^{2} = A \cdot A$ की गणना करते हैं:
$A^{2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
अब,हम $A^{4} = A^{2} \cdot A^{2}$ की गणना करते हैं:
$A^{4} = I \cdot I = I$.
अतः,$A^{4} = I$.

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण:
$2\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}$
पहले आव्यूह को $2$ से गुणा करने पर:
$\begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 0 & 2x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}$
बाईं ओर के दोनों आव्यूहों को जोड़ने पर:
$\begin{bmatrix} 2+y & 6+0 \\ 0+1 & 2x+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 2+y & 6 \\ 1 & 2x+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}$
दोनों आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$2+y = 5 \Rightarrow y = 5-2 = 3$
$2x+2 = 8 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$
अतः,$x=3$ और $y=3$ प्राप्त होता है।

(B) एक सममित आव्यूह के लिए,हम जानते हैं कि: $A^{T} = A$ $(1)$
एक विषम-सममित आव्यूह के लिए,हम जानते हैं कि: $A^{T} = -A$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है: $A = -A$
दोनों पक्षों में $A$ जोड़ने पर: $2A = 0$
अतः,$A = 0$,जिसका अर्थ है कि $A$ एक शून्य आव्यूह है।

(C) दिया गया आव्यूह $ A = \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] $ है।
$ A^{2} $ ज्ञात करने के लिए,हम आव्यूह $ A $ का स्वयं से गुणा करेंगे:
$ A^{2} = A \cdot A = \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] $
आव्यूह गुणन करने पर:
$ A^{2} = \left[\begin{array}{ll} (0 \times 0) + (1 \times 1) & (0 \times 1) + (1 \times 0) \\ (1 \times 0) + (0 \times 1) & (1 \times 1) + (0 \times 0) \end{array}\right] $
$ A^{2} = \left[\begin{array}{ll} 0 + 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}\right] $
$ A^{2} = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] $
यह $ 2 \times 2 $ क्रम का तत्समक आव्यूह $ I $ है।

(B) एक वर्ग आव्यूह $A$ का सममित भाग $\frac{1}{2}(A + A^T)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 6 & 8 & 2 \\ 2 & -2 & 7 \end{bmatrix}$,इसका परिवर्त आव्यूह $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 6 & 2 \\ 2 & 8 & -2 \\ 4 & 2 & 7 \end{bmatrix}$ है।
अब,$A + A^T = \begin{bmatrix} 1+1 & 2+6 & 4+2 \\ 6+2 & 8+8 & 2-2 \\ 2+4 & -2+2 & 7+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 8 & 6 \\ 8 & 16 & 0 \\ 6 & 0 & 14 \end{bmatrix}$ है।
अंत में,$\frac{1}{2}(A + A^T) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 8 & 6 \\ 8 & 16 & 0 \\ 6 & 0 & 14 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 4 & 8 & 0 \\ 3 & 0 & 7 \end{bmatrix}$ है।