Types of matrices, Algebra of matrices Questions in Hindi

(A) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 4$ आव्यूह है।
अतः,परिवर्त आव्यूह $A^{\prime}$ एक $4 \times 3$ आव्यूह है।
गुणनफल $A^{\prime}B$ के परिभाषित होने के लिए,$A^{\prime}$ में स्तंभों की संख्या $B$ में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। चूंकि $A^{\prime}$ का क्रम $4 \times 3$ है,इसलिए $B$ में $3$ पंक्तियाँ होनी चाहिए।
गुणनफल $BA^{\prime}$ के परिभाषित होने के लिए,$B$ में स्तंभों की संख्या $A^{\prime}$ में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। चूंकि $A^{\prime}$ में $4$ पंक्तियाँ हैं,इसलिए $B$ में $4$ स्तंभ होने चाहिए।
अतः,$B$ एक $3 \times 4$ आव्यूह होना चाहिए।

(B) यह एक $3 \times 3$ आव्यूह है जिसे $A = [a_{ij}]$ द्वारा दर्शाया गया है।
हम प्रत्येक अवयव $a_{ij} = \frac{1}{3}|i - 5j|$ की गणना करते हैं:
$a_{11} = \frac{1}{3}|1 - 5(1)| = \frac{1}{3}|-4| = \frac{4}{3}$
$a_{12} = \frac{1}{3}|1 - 5(2)| = \frac{1}{3}|-9| = 3$
$a_{13} = \frac{1}{3}|1 - 5(3)| = \frac{1}{3}|-14| = \frac{14}{3}$
$a_{21} = \frac{1}{3}|2 - 5(1)| = \frac{1}{3}|-3| = 1$
$a_{22} = \frac{1}{3}|2 - 5(2)| = \frac{1}{3}|-8| = \frac{8}{3}$
$a_{23} = \frac{1}{3}|2 - 5(3)| = \frac{1}{3}|-13| = \frac{13}{3}$
$a_{31} = \frac{1}{3}|3 - 5(1)| = \frac{1}{3}|-2| = \frac{2}{3}$
$a_{32} = \frac{1}{3}|3 - 5(2)| = \frac{1}{3}|-7| = \frac{7}{3}$
$a_{33} = \frac{1}{3}|3 - 5(3)| = \frac{1}{3}|-12| = 4$
अतः,आव्यूह $\left[\begin{array}{ccc}\frac{4}{3} & 3 & \frac{14}{3} \\ 1 & \frac{8}{3} & \frac{13}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{7}{3} & 4\end{array}\right]$ है।

(C) एक वर्ग आव्यूह वह आव्यूह होता है जिसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है $(m = n)$।
$(a)$ $[1]$ एक $1 \times 1$ आव्यूह है,जो एक वर्ग आव्यूह है।
$(b)$ $\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$ एक $2 \times 2$ आव्यूह है,जो एक वर्ग आव्यूह है।
$(c)$ $\begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$ एक $1 \times 3$ आव्यूह है। चूँकि पंक्तियों की संख्या $(1)$ स्तंभों की संख्या $(3)$ के बराबर नहीं है,इसलिए यह एक वर्ग आव्यूह नहीं है।
$(d)$ $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,जो एक वर्ग आव्यूह है।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(B) मान लीजिए $A$ और $B$ क्रम $n \times n$ के दो लोअर ट्रायंगुलर आव्यूह हैं।
एक आव्यूह लोअर ट्रायंगुलर होता है यदि मुख्य विकर्ण के ऊपर के सभी अवयव शून्य हों,अर्थात $i < j$ के लिए $a_{ij} = 0$।
मान लीजिए $C = A + B$ है। $C$ के अवयव $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ द्वारा दिए जाते हैं।
किसी भी $i < j$ के लिए,चूंकि $A$ और $B$ लोअर ट्रायंगुलर हैं,हमारे पास $a_{ij} = 0$ और $b_{ij} = 0$ है।
इसलिए,सभी $i < j$ के लिए $c_{ij} = 0 + 0 = 0$ होगा।
यह दर्शाता है कि योग $C = A + B$ भी एक लोअर ट्रायंगुलर आव्यूह है।

(D) दिया गया समीकरण $2A + 3B - 5C = 0$ है।
$C$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $5C = 2A + 3B$ प्राप्त होता है।
आव्यूह $A$ और $B$ का मान रखने पर:
$5C = 2\left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 2 & -3\end{array}\right] + 3\left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 2 & 3\end{array}\right]$
$5C = \left[\begin{array}{cccc}4 & 2 & 6 & -2 \\ 2 & -4 & 4 & -6\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cccc}6 & 3 & 0 & 9 \\ 3 & -3 & 6 & 9\end{array}\right]$
$5C = \left[\begin{array}{cccc}4+6 & 2+3 & 6+0 & -2+9 \\ 2+3 & -4-3 & 4+6 & -6+9\end{array}\right]$
$5C = \left[\begin{array}{cccc}10 & 5 & 6 & 7 \\ 5 & -7 & 10 & 3\end{array}\right]$
$5$ से विभाजित करने पर,हमें $C = \left[\begin{array}{cccc}10/5 & 5/5 & 6/5 & 7/5 \\ 5/5 & -7/5 & 10/5 & 3/5\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & 6/5 & 7/5 \\ 1 & -7/5 & 2 & 3/5\end{array}\right]$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $(2 A+B)^2+(A-3 B)^2=5 A^2-2 A B+10 B^2$.
वर्गों का विस्तार करने पर: $(4 A^2+2 A B+2 B A+B^2)+(A^2-3 A B-3 B A+9 B^2)=5 A^2-2 A B+10 B^2$.
समान पदों को जोड़ने पर: $(4 A^2+A^2)+(B^2+9 B^2)+(2 A B-3 A B)+(2 B A-3 B A)=5 A^2-2 A B+10 B^2$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $5 A^2+10 B^2-A B-B A=5 A^2-2 A B+10 B^2$.
दोनों पक्षों से $5 A^2+10 B^2$ घटाने पर: $-A B-B A=-2 A B$.
दोनों पक्षों में $A B$ जोड़ने पर: $-B A=-A B$,जिसका अर्थ है कि $A B=B A$.
चूंकि $A$ और $B$ क्रमविनिमेय हैं,$A B A B=A(B A) B=A(A B) B=(A A)(B B)=A^2 B^2$.

(B) दिया गया आव्यूह समीकरण: $3\begin{bmatrix} x & y \\ z & t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & 6 \\ -1 & 2t \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & x+y \\ z+t & 3 \end{bmatrix}$
पहले आव्यूह में अदिश $3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\begin{bmatrix} 3x & 3y \\ 3z & 3t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+4 & 6+x+y \\ -1+z+t & 2t+3 \end{bmatrix}$
चूंकि दोनों आव्यूह समान हैं,इसलिए उनके संगत अवयव समान होने चाहिए:
$1) \ 3x = x + 4 \implies 2x = 4 \implies x = 2$
$2) \ 3t = 2t + 3 \implies t = 3$
$3) \ 3z = -1 + z + t \implies 2z = -1 + 3 \implies 2z = 2 \implies z = 1$
$4) \ 3y = 6 + x + y \implies 2y = 6 + 2 \implies 2y = 8 \implies y = 4$
अतः,मान $(x, y, z, t) = (2, 4, 1, 3)$ हैं।

(B) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ और $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A^2 = A \times A$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(1)+(0)(1) & (1)(0)+(0)(2) \\ (1)(1)+(2)(1) & (1)(0)+(2)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$।
अब,$2I$ की गणना करें:
$2I = 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$।
अंत में,$A^2$ और $2I$ को जोड़ें:
$A^2 + 2I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$।
चूंकि $3A = 3 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $A^2 + 2I = 3A$।

(D) दिया गया है $A=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right]$। ध्यान दें कि $A^T = A$ और $A^2 = I$,इसलिए $A^T A = A A = I$ है।
हमें $X = A P A^T$ दिया गया है।
तब $X^2 = (A P A^T)(A P A^T) = A P (A^T A) P A^T = A P I P A^T = A P^2 A^T$ होगा।
गणितीय आगमन द्वारा,$X^n = A P^n A^T$ है।
इसलिए,$X^{50} = A P^{50} A^T$ होगा।
अब,$A^T X^{50} A = A^T (A P^{50} A^T) A = (A^T A) P^{50} (A^T A) = I P^{50} I = P^{50}$ होगा।
दिया गया है $P = \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$,हम देखते हैं कि $P^2 = \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right]$,$P^3 = \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right]$,और सामान्यतः $P^n = \left[\begin{array}{ll}1 & n \\ 0 & 1\end{array}\right]$ है।
अतः,$P^{50} = \left[\begin{array}{cc}1 & 50 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ होगा।
इसलिए,$A^T X^{50} A = \left[\begin{array}{cc}1 & 50 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 3 \end{bmatrix}$. मान लीजिए $B = \begin{bmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ u & v & w \end{bmatrix}$.
चूंकि $AB = BA$ है,हम दोनों पक्षों पर आव्यूह गुणन करते हैं।
$AB = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ u & v & w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+2u & b+2v & c+2w \\ 2x+3a & 2y+3b & 2z+3c \\ 4x+3u & 4y+3v & 4z+3w \end{bmatrix}$.
इसी प्रकार $BA = \begin{bmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ u & v & w \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2y+4z & x+3y & 2x+3z \\ 2b+4c & a+3b & 2a+3c \\ 2v+4w & u+3v & 2u+3w \end{bmatrix}$.
$AB$ और $BA$ के तत्वों की तुलना करके,हम दिए गए विकल्पों की जांच करते हैं।
विकल्प $D$ की जांच करने पर: $B = \begin{bmatrix} 9 & -3 & -6 \\ -6 & -8 & 4 \\ -12 & 4 & -2 \end{bmatrix}$.
इन मानों को आव्यूह गुणन में रखने पर यह सिद्ध होता है कि इस आव्यूह के लिए $AB = BA$ की शर्त सत्य है।

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण: $\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$
आव्यूहों का गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\alpha = x \cos \theta - y \sin \theta$ $(i)$
$\beta = x \sin \theta + y \cos \theta$ $(ii)$
$\gamma = z$ $(iii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$\alpha^2 + \beta^2 = (x \cos \theta - y \sin \theta)^2 + (x \sin \theta + y \cos \theta)^2$
$\alpha^2 + \beta^2 = x^2 \cos^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta - 2xy \sin \theta \cos \theta + x^2 \sin^2 \theta + y^2 \cos^2 \theta + 2xy \sin \theta \cos \theta$
$\alpha^2 + \beta^2 = x^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + y^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = x^2 + y^2$
अब,व्यंजक $\frac{x^2+y^2+z^2}{\gamma}$ पर विचार करें।
$x^2+y^2 = \alpha^2+\beta^2$ और $z = \gamma$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x^2+y^2+z^2}{\gamma} = \frac{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}{\gamma}$
चूँकि $\gamma = z$,इसलिए यह $\frac{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}{z}$ के बराबर है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & -1 & 0 \\ b & c & 1 \end{bmatrix}$.
हमें दिया गया है कि $A^2 = I$.
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & -1 & 0 \\ b & c & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & -1 & 0 \\ b & c & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
गुणनफल की गणना करने पर:
पंक्ति $1$: $(1)(1) + (0)(a) + (0)(b) = 1$,$(1)(0) + (0)(-1) + (0)(c) = 0$,$(1)(0) + (0)(0) + (0)(1) = 0$.
पंक्ति $2$: $(a)(1) + (-1)(a) + (0)(b) = 0$,$(a)(0) + (-1)(-1) + (0)(c) = 1$,$(a)(0) + (-1)(0) + (0)(1) = 0$.
पंक्ति $3$: $(b)(1) + (c)(a) + (1)(b) = 2b + ac$,$(b)(0) + (c)(-1) + (1)(c) = 0$,$(b)(0) + (c)(0) + (1)(1) = 1$.
अतः,$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2b + ac & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
इसे तत्समक आव्यूह $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ के बराबर रखने पर,हमें $2b + ac = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$b = -\frac{ac}{2}$.

(C) दिया गया है $G(x) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।
चूंकि $x+y=0$,इसलिए $y = -x$ है।
अतः,$G(y) = G(-x) = \begin{bmatrix} \cos(-x) & -\sin(-x) & 0 \\ \sin(-x) & \cos(-x) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos x & \sin x & 0 \\ -\sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।
अब,$G(x)G(y) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos x & \sin x & 0 \\ -\sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।
आव्यूह गुणन करने पर:
पंक्ति $1$,स्तंभ $1$: $(\cos x)(\cos x) + (-\sin x)(-\sin x) + (0)(0) = \cos^2 x + \sin^2 x = 1$।
पंक्ति $1$,स्तंभ $2$: $(\cos x)(\sin x) + (-\sin x)(\cos x) + (0)(0) = 0$।
पंक्ति $2$,स्तंभ $1$: $(\sin x)(\cos x) + (\cos x)(-\sin x) + (0)(0) = 0$।
पंक्ति $2$,स्तंभ $2$: $(\sin x)(\sin x) + (\cos x)(\cos x) + (0)(0) = \sin^2 x + \cos^2 x = 1$।
इस प्रकार,$G(x)G(y) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$,जो कि तत्समक आव्यूह है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} x & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \cdot A$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} x & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^2 + 0 & 0 + 0 \\ x + 1 & 0 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^2 & 0 \\ x + 1 & 1 \end{bmatrix}$.
इसके बाद,$A^3 = A^2 \cdot A$ की गणना करें:
$A^3 = \begin{bmatrix} x^2 & 0 \\ x + 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^3 + 0 & 0 + 0 \\ x(x + 1) + 1 & 0 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^3 & 0 \\ x^2 + x + 1 & 1 \end{bmatrix}$.
चूंकि $A^3 = B$ दिया गया है,हमारे पास है:
$\begin{bmatrix} x^3 & 0 \\ x^2 + x + 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 7 & 1 \end{bmatrix}$.
संगत तत्वों की तुलना करने पर:
$x^3 = 8 \implies x = 2$.
साथ ही,$x^2 + x + 1 = 7 \implies x^2 + x - 6 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x + 3)(x - 2) = 0$,जिससे $x = 2$ या $x = -3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ को दोनों शर्तों को संतुष्ट करना चाहिए,इसलिए हम सामान्य मान $x = 2$ लेते हैं।

(B) दिया गया है $A = nI$,जहाँ $I$ एक $3 \times 3$ कोटि का तत्समक आव्यूह है।
तब $A^2 = (nI)^2 = n^2 I^2 = n^2 I = \begin{bmatrix} n^2 & 0 & 0 \\ 0 & n^2 & 0 \\ 0 & 0 & n^2 \end{bmatrix}$.
आगे,$B^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & n \\ 0 & n & 0 \\ n & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & n \\ 0 & n & 0 \\ n & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n^2 & 0 & 0 \\ 0 & n^2 & 0 \\ 0 & 0 & n^2 \end{bmatrix} = n^2 I$.
साथ ही,$AB = (nI)B = n(IB) = nB = \begin{bmatrix} 0 & 0 & n^2 \\ 0 & n^2 & 0 \\ n^2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
अब,$A^2 + B^2 + AB = n^2 I + n^2 I + nB = 2n^2 I + nB$.
$n$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $n(2nI + B)$ प्राप्त होता है।

(B) $A = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix}$
हम जानते हैं कि $A = \omega I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
तब,$A^{50} = (\omega I)^{50} = \omega^{50} I^{50}$।
चूंकि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $I^n = I$ होता है,इसलिए $A^{50} = \omega^{50} I$ है।
हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ है। इसलिए,$\omega^{50} = (\omega^3)^{16} \cdot \omega^2 = (1)^{16} \cdot \omega^2 = \omega^2$।
अतः,$A^{50} = \omega^2 I = \begin{bmatrix} \omega^2 & 0 \\ 0 & \omega^2 \end{bmatrix}$।
चूंकि $A = \omega I$,इसलिए $I = \frac{1}{\omega} A = \omega^2 A$ (क्योंकि $\frac{1}{\omega} = \omega^2$)।
इसलिए,$A^{50} = \omega^2 (\omega^2 A) = \omega^4 A = \omega A$ (क्योंकि $\omega^3 = 1$)।
अतः,$A^{50} = \omega A$।

(A) दिए गए आव्यूह $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 4\end{array}\right]$ और $B=\left[\begin{array}{ccc}4 & 0 & -3 \\ -1 & -2 & -3\end{array}\right]$ हैं।
सबसे पहले,हम आव्यूह $A$ का परिवर्त (transpose) $A^T$ ज्ञात करते हैं:
$A^T = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & 3 \\ 2 & 4\end{array}\right]$.
अब,हम गुणनफल $A^T B$ की गणना करते हैं:
$A^T B = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & 3 \\ 2 & 4\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}4 & 0 & -3 \\ -1 & -2 & -3\end{array}\right]$.
आव्यूह गुणन करने पर:
$A^T B = \left[\begin{array}{ccc}(1)(4)+(0)(-1) & (1)(0)+(0)(-2) & (1)(-3)+(0)(-3) \\ (-1)(4)+(3)(-1) & (-1)(0)+(3)(-2) & (-1)(-3)+(3)(-3) \\ (2)(4)+(4)(-1) & (2)(0)+(4)(-2) & (2)(-3)+(4)(-3)\end{array}\right]$.
$A^T B = \left[\begin{array}{ccc}4+0 & 0+0 & -3+0 \\ -4-3 & 0-6 & 3-9 \\ 8-4 & 0-8 & -6-12\end{array}\right]$.
$A^T B = \left[\begin{array}{ccc}4 & 0 & -3 \\ -7 & -6 & -6 \\ 4 & -8 & -18\end{array}\right]$.

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$। हम सभी $n \in N$ के लिए कथन $A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{bmatrix}$ की सत्यता की जाँच करते हैं।
$n = 1$ के लिए: $A^1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$,जो सूत्र $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ से मेल खाता है।
$n = 2$ के लिए: $A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+0(1) & 1(0)+0(1) \\ 1(1)+1(1) & 1(0)+1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$। यह $n = 2$ के लिए सूत्र से मेल खाता है।
$n = 3$ के लिए: $A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+0(1) & 1(0)+0(1) \\ 2(1)+1(1) & 2(0)+1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$। यह $n = 3$ के लिए सूत्र से मेल खाता है।
अतः,यह कथन $n = 3$ के लिए सत्य है।

(D) मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ और $N = \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix}$ है।
तब,$MN = \begin{bmatrix} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{bmatrix}$ और $NM = \begin{bmatrix} ap+qc & pb+qd \\ ar+cs & br+ds \end{bmatrix}$ है।
$MN = NM$ के लिए,हमारे पास $br = qc$,$aq+bs = pb+qd$,$cp+dr = ar+cs$,और $cq+ds = br+ds$ होना चाहिए।
ये शर्तें सभी आव्यूहों $M$ और $N$ के लिए सत्य नहीं हैं। उदाहरण के लिए,यदि $M = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $N = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ है,तो $MN = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ जबकि $NM = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है,इसलिए $MN \neq NM$ है।
चूंकि कोई भी विशिष्ट शर्त $(A)$,$(B)$,या $(C)$ किसी भी मनमाने आव्यूह $M$ और $N$ के लिए $MN = NM$ होने के लिए आवश्यक या पर्याप्त नहीं है,इसलिए सही उत्तर $(D)$ है।

(D) घूर्णन आव्यूह $R_{\theta}$ को $\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]$ द्वारा दिया जाता है।
आव्यूह $A$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{4}$ है। अतः,$A^n = \left[\begin{array}{ccc}\cos \frac{n\pi}{4} & \sin \frac{n\pi}{4} & 0 \\ -\sin \frac{n\pi}{4} & \cos \frac{n\pi}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ है।
$A^{2020}$ के लिए,$n=2020$,अतः $\frac{2020\pi}{4} = 505\pi$ है। चूँकि $\cos(505\pi) = -1$ और $\sin(505\pi) = 0$ है,इसलिए $A^{2020} \neq I$ है।
आव्यूह $D$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{2}$ है। अतः,$D^n = \left[\begin{array}{ccc}\cos \frac{n\pi}{2} & \sin \frac{n\pi}{2} & 0 \\ -\sin \frac{n\pi}{2} & \cos \frac{n\pi}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ है।
$D^{2019}$ के लिए,$n=2019$,$\frac{2019\pi}{2} = 1009.5\pi$ है,इसलिए $D^{2019} \neq I$ है।
आव्यूह $B$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{3}$ है। अतः,$B^n = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \frac{n\pi}{3} & \sin \frac{n\pi}{3} \\ 0 & -\sin \frac{n\pi}{3} & \cos \frac{n\pi}{3}\end{array}\right]$ है।
$B^{2022}$ के लिए,$n=2022$,$\frac{2022\pi}{3} = 674\pi$ है। चूँकि $\cos(674\pi) = 1$ और $\sin(674\pi) = 0$ है,इसलिए $B^{2022} = I$ है।

(D) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ है।
हम जानते हैं कि रोटेशन मैट्रिक्स $R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ के लिए,गुणधर्म $R(\theta)^n = R(n\theta)$ सत्य है।
अतः,$A^3 = \begin{bmatrix} \cos 3 \theta & \sin 3 \theta \\ -\sin 3 \theta & \cos 3 \theta \end{bmatrix}$ होगा।
इसकी तुलना दिए गए मैट्रिक्स $A^3 = \begin{bmatrix} \cos 3 \theta & m \\ n & \cos 3 \theta \end{bmatrix}$ से करने पर,हमें $m = \sin 3 \theta$ और $n = -\sin 3 \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें: $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -I$.
इसका अर्थ है कि $A^2 + I = 0$,या $A^2 = -I$.
इससे,$A^3 = A^2 \cdot A = -I \cdot A = -A$.
साथ ही,$A^4 = (A^2)^2 = (-I)^2 = I$.
अब,प्रत्येक विकल्प की जाँच करें:
विकल्प $A$: $A^3 - I = -A - I$ और $A(A - I) = A^2 - A = -I - A$. अतः,$A^3 - I = A(A - I)$ सही है।
विकल्प $B$: $A^3 + I = -A + I$ और $A(A^3 - I) = A(-A - I) = -A^2 - A = I - A$. अतः,$A^3 + I = A(A^3 - I)$ सही है।
विकल्प $C$: $A^4 - I = I - I = 0$ और $A^2 + I = -I + I = 0$. अतः,$A^4 - I = A^2 + I$ सही है।
विकल्प $D$: $A^2 + I = -I + I = 0$ और $A(A^2 - I) = A(-I - I) = A(-2I) = -2A$. चूँकि $0 \neq -2A$,इसलिए यह विकल्प गलत है।

(C) दिया गया आव्यूह $A$,$R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ के रूप का एक घूर्णन आव्यूह है,जहाँ $\theta = \frac{2 \pi}{33}$ है।
घूर्णन आव्यूह के गुणधर्म के अनुसार,$A^n = R(n \theta) = \begin{bmatrix} \cos(n \theta) & \sin(n \theta) \\ -\sin(n \theta) & \cos(n \theta) \end{bmatrix}$ होता है।
हमें $A^{2017}$ ज्ञात करना है,इसलिए $n = 2017$ है।
कोण $n \theta = 2017 \times \frac{2 \pi}{33} = \frac{4034 \pi}{33}$ हो जाता है।
$4034$ को $33$ से विभाजित करने पर: $4034 = 33 \times 122 + 8$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{4034 \pi}{33} = 122 \pi + \frac{8 \pi}{33}$ है।
चूँकि $\cos(122 \pi + \alpha) = \cos \alpha$ और $\sin(122 \pi + \alpha) = \sin \alpha$ होता है,इसलिए $A^{2017} = \begin{bmatrix} \cos \frac{8 \pi}{33} & \sin \frac{8 \pi}{33} \\ -\sin \frac{8 \pi}{33} & \cos \frac{8 \pi}{33} \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $A^4 = R(4 \times \frac{2 \pi}{33}) = R(\frac{8 \pi}{33})$ है।
अतः,$A^{2017} = A^4$ है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ a & 2 & b \end{bmatrix}$.
तब $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 & a \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & b \end{bmatrix}$.
शर्त $A A^T = 9 I = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$ है।
$A A^T$ का गुणनफल ज्ञात करने पर:
पंक्ति $1 \times$ स्तंभ $1$: $1(1) + 2(2) + 2(2) = 1 + 4 + 4 = 9$.
पंक्ति $2 \times$ स्तंभ $2$: $2(2) + 1(1) + (-2)(-2) = 4 + 1 + 4 = 9$.
पंक्ति $3 \times$ स्तंभ $3$: $a(a) + 2(2) + b(b) = a^2 + 4 + b^2$.
चूँकि $A A^T = 9 I$,विकर्ण अवयव $9$ होने चाहिए। अतः,$a^2 + 4 + b^2 = 9$,जिसका अर्थ है $a^2 + b^2 = 5$.
अन्य अवयवों की जाँच करने पर:
पंक्ति $1 \times$ स्तंभ $2$: $1(2) + 2(1) + 2(-2) = 2 + 2 - 4 = 0$.
पंक्ति $1 \times$ स्तंभ $3$: $1(a) + 2(2) + 2(b) = a + 4 + 2b = 0$.
पंक्ति $2 \times$ स्तंभ $3$: $2(a) + 1(2) + (-2)(b) = 2a + 2 - 2b = 0 \implies a - b = -1$.
$a + 2b = -4$ और $a - b = -1$ से,घटाने पर $3b = -3 \implies b = -1$. अतः $a = -2$.
जाँच: $a^2 + b^2 = (-2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$.

(B) दिए गए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{bmatrix}$ हैं।
दोनों आव्यूह $A$ और $B$ की कोटि $2 \times 3$ है।
इसलिए,$A^T$ और $B^T$ की कोटि $3 \times 2$ है।
अब,$A^T B B^T A$ की कोटि की जाँच करते हैं:
$A^T B B^T A$ की कोटि = $(3 \times 2) \times (2 \times 3) \times (3 \times 2) \times (2 \times 3) = 3 \times 3$.
इसी प्रकार,$B^T A A^T B$ की कोटि = $(3 \times 2) \times (2 \times 3) \times (3 \times 2) \times (2 \times 3) = 3 \times 3$.
चूँकि दोनों व्यंजकों $A^T B B^T A$ और $B^T A A^T B$ की कोटि $3 \times 3$ है,इसलिए उनकी कोटि समान है।

(C) आव्यूह $A$ के मुख्य विकर्ण के तत्व $a^2, b^2, c^2$ हैं और आव्यूह $B$ के मुख्य विकर्ण के तत्व $2a, 2b, 2c-3$ हैं।
दी गई शर्त के अनुसार,$A$ के मुख्य विकर्ण के तत्वों का योग $B$ के मुख्य विकर्ण के तत्वों के योग के बराबर है:
$a^2+b^2+c^2 = 2a+2b+2c-3$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(a^2-2a+1) + (b^2-2b+1) + (c^2-2c+1) = 0$
$(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 = 0$
चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य तभी होता है जब प्रत्येक पद शून्य हो,इसलिए:
$a-1=0, b-1=0, c-1=0$
अतः,$a=1, b=1, c=1$ है।
$B$ के मुख्य विकर्ण के तत्वों का गुणनफल $(2a)(2b)(2c-3)$ है।
$a=1, b=1, c=1$ मान रखने पर:
$= (2 \times 1)(2 \times 1)(2 \times 1 - 3)$
$= 2 \times 2 \times (-1) = -4$.

(A) किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ को एक सममित आव्यूह $P$ और एक विषम-सममित आव्यूह $Q$ के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $P = \frac{1}{2}(A + A^T)$ और $Q = \frac{1}{2}(A - A^T)$ है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
तब $A^T = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$.
अब,$A - A^T = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$.
अतः,$Q = \frac{1}{2}(A - A^T) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.

(A) दिया गया है कि $A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,इसका सारणिक $|A| \neq 0$ है,जिसका अर्थ है कि प्रतिलोम आव्यूह $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
समीकरण $AB = O$ दिया गया है,जहाँ $O$ शून्य आव्यूह है।
दोनों पक्षों को बाईं ओर से $A^{-1}$ से गुणा करने पर:
$A^{-1}(AB) = A^{-1}O$
$(A^{-1}A)B = O$
$IB = O$
$B = O$
अतः,$B$ एक शून्य आव्यूह है।

(D) दिया गया है: $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$
सबसे पहले,$A$ का परिवर्त (transpose) ज्ञात करें: $A^T = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
अब,$(A^T)^2$ की गणना करें:
$(A^T)^2 = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(2) + (-4)(-3) & (2)(-4) + (-4)(1) \\ (-3)(2) + (1)(-3) & (-3)(-4) + (1)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & -12 \\ -9 & 13 \end{bmatrix}$
इसके बाद,$(12A)^T$ की गणना करें:
$12A = \begin{bmatrix} 24 & -36 \\ -48 & 12 \end{bmatrix} \Rightarrow (12A)^T = \begin{bmatrix} 24 & -48 \\ -36 & 12 \end{bmatrix}$
अंत में,दोनों आव्यूहों को जोड़ें:
$(A^T)^2 + (12A)^T = \begin{bmatrix} 16 & -12 \\ -9 & 13 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 24 & -48 \\ -36 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 40 & -60 \\ -45 & 25 \end{bmatrix}$

(B) दिया गया समीकरण $ABCDE = I$ है।
दोनों पक्षों को बाईं ओर से $A^{-1}$ से गुणा करने पर: $A^{-1}(ABCDE) = A^{-1}I \Rightarrow BCDE = A^{-1}$.
दोनों पक्षों को बाईं ओर से $B^{-1}$ से गुणा करने पर: $B^{-1}(BCDE) = B^{-1}A^{-1} \Rightarrow CDE = B^{-1}A^{-1}$.
दोनों पक्षों को दाईं ओर से $E^{-1}$ से गुणा करने पर: $(CDE)E^{-1} = B^{-1}A^{-1}E^{-1} \Rightarrow CD = B^{-1}A^{-1}E^{-1}$.
दोनों पक्षों को दाईं ओर से $D^{-1}$ से गुणा करने पर: $(CD)D^{-1} = B^{-1}A^{-1}E^{-1}D^{-1} \Rightarrow C = B^{-1}A^{-1}E^{-1}D^{-1}$.
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर: $C^{-1} = (B^{-1}A^{-1}E^{-1}D^{-1})^{-1}$.
गुणधर्म $(XYZ)^{-1} = Z^{-1}Y^{-1}X^{-1}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $C^{-1} = (D^{-1})^{-1}(E^{-1})^{-1}(A^{-1})^{-1}(B^{-1})^{-1} = DEAB$.

(A) दिया गया है $M = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$M^2 = M \times M$ की गणना करें:
$M^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+4+4 & 2+2+4 & 2+4+2 \\ 2+2+4 & 4+1+4 & 4+2+2 \\ 2+4+2 & 4+2+2 & 4+4+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix}$.
अब,$4M = 4 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 8 & 8 \\ 8 & 4 & 8 \\ 8 & 8 & 4 \end{bmatrix}$ की गणना करें.
अंत में,$M^2 - 4M = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 8 & 8 \\ 8 & 4 & 8 \\ 8 & 8 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 5I$.

(D) दिया गया है,$a = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$,$b = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,और $c = \cot \frac{\pi}{2} = 0$.
इन मानों को आव्यूह $A$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$A = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/4 & 1/4 \\ 1/2 & 1/4 & 1/2 \\ 0 & 0 & 3/4 \end{bmatrix}$.
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 0 - 0 + \frac{3}{4} \left( \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{16} - \frac{2}{16} \right) = -\frac{3}{64}$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A$ एक अव्युत्क्रमणीय (Non-singular) आव्यूह है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \times A$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 4 & 10 \\ 13 & 7 & 19 \\ 19 & 10 & 28 \end{bmatrix}$.
अब,$5A = 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 10 & 5 & 15 \\ 15 & 10 & 20 \end{bmatrix}$.
और $6I = 6 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$.
अंत में,$A^2 - 5A + 6I$ की गणना करें:
$A^2 - 5A + 6I = \begin{bmatrix} 7 & 4 & 10 \\ 13 & 7 & 19 \\ 19 & 10 & 28 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 10 & 5 & 15 \\ 15 & 10 & 20 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 4 & 0 \\ 3 & 8 & 4 \\ 4 & 0 & 14 \end{bmatrix}$.

(A) बाईं ओर आव्यूह गुणन करने पर:
$\begin{bmatrix} 7(1) + 5(3) + \alpha(2) \\ \beta(1) + 2(3) + 11(2) \\ 3(1) + \gamma(3) + 1(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 22 + 2\alpha \\ \beta + 28 \\ 5 + 3\gamma \end{bmatrix}$.
इसे दाईं ओर के आव्यूह के बराबर रखने पर:
$1) \ 22 + 2\alpha = \alpha + \beta \implies \alpha - \beta = -22$
$2) \ \beta + 28 = -2\alpha + \beta - 2\gamma \implies 2\alpha + 2\gamma = -28 \implies \alpha + \gamma = -14$
$3) \ 5 + 3\gamma = \alpha + 2\beta + 3\gamma \implies \alpha + 2\beta = 5$
$(1)$ से,$\beta = \alpha + 22$. इसे $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha + 2(\alpha + 22) = 5 \implies 3\alpha + 44 = 5 \implies 3\alpha = -39 \implies \alpha = -13$.
तब $\beta = -13 + 22 = 9$.
$(2)$ से,$\gamma = -14 - \alpha = -14 - (-13) = -1$.
अब,$100 + \frac{2\alpha + 11\beta}{\gamma} = 100 + \frac{2(-13) + 11(9)}{-1} = 100 + \frac{-26 + 99}{-1} = 100 + \frac{73}{-1} = 100 - 73 = 27$.

(C) मान लीजिए कि आव्यूह $A$ का क्रम $m \times n$ है। चूँकि $A$ और $B$ को जोड़कर $P = A + B$ प्राप्त होता है,इसलिए $B$ का क्रम भी $m \times n$ होना चाहिए।
$Q = A^T B$ के लिए,$A^T$ का क्रम $n \times m$ है और $B$ का क्रम $m \times n$ है। अतः,गुणनफल $Q$ का क्रम $n \times n$ है।
$R = A B^T$ के लिए,$A$ का क्रम $m \times n$ है और $B^T$ का क्रम $n \times m$ है। अतः,गुणनफल $R$ का क्रम $m \times m$ है।
अब,विकल्पों की जाँच करते हैं:
$P$ का क्रम $m \times n$,$Q$ का क्रम $n \times n$,$R$ का क्रम $m \times m$ है।
$PQ$ का क्रम $(m \times n) \times (n \times n) = m \times n$ है।
$RP$ का क्रम $(m \times m) \times (m \times n) = m \times n$ है।
इस प्रकार,$PQ$ और $RP$ दोनों का क्रम $A$ के क्रम $(m \times n)$ के समान है।

(A) सबसे पहले,हम $AA^T$ की गणना करते हैं:
$AA^T = \left[\begin{array}{lll}9 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & 8 \\ 7 & 6 & 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}9 & 1 & 7 \\ 3 & 5 & 6 \\ 0 & 8 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}90 & 24 & 81 \\ 24 & 90 & 53 \\ 81 & 53 & 89\end{array}\right]$
इसके बाद,हम $A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = \left[\begin{array}{lll}9 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & 8 \\ 7 & 6 & 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}9 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & 8 \\ 7 & 6 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}84 & 42 & 24 \\ 70 & 76 & 56 \\ 83 & 63 & 52\end{array}\right]$
अब,$AA^T - A^2$ ज्ञात करें:
$AA^T - A^2 = \left[\begin{array}{ccc}90-84 & 24-42 & 81-24 \\ 24-70 & 90-76 & 53-56 \\ 81-83 & 53-63 & 89-52\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}6 & -18 & 57 \\ -46 & 14 & -3 \\ -2 & -10 & 37\end{array}\right]$
सभी अवयवों $a_{ij}$ का योग है:
$\sum a_{ij} = 6 - 18 + 57 - 46 + 14 - 3 - 2 - 10 + 37 = 35$.

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} -3 & -2 & 4 \\ 2 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 3 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \times A$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$.
अब,$A+B$ की गणना करें:
$A+B = \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & -1+4 \\ -1+2 & 0+2 & 2-1 \\ 1-2 & 2+0 & 0+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$.
दोनों परिणामों की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $A^2 = A+B$.

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & k \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & k \\ k & 1+k^2 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
इसके बाद,$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & k \\ k & 1+k^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & 1+k^2 \\ 1+k^2 & k+k(1+k^2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & 1+k^2 \\ 1+k^2 & 2k+k^3 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
हमें $d = 228$ दिया गया है,इसलिए $2k + k^3 = 228$.
मानों का परीक्षण करने पर,यदि $k = 6$ है,तो $2(6) + 6^3 = 12 + 216 = 228$। अतः,$k = 6$.
अब,$b = 1 + k^2 = 1 + 6^2 = 1 + 36 = 37$.
साथ ही,$c = 1 + k^2 = 1 + 36 = 37$.
इसलिए,$b + c = 37 + 37 = 74$।

(A) दिया गया है $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ और $I=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$।
हम $A$ की घातों की गणना करते हैं:
$A^2 = A \cdot A = \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right] = 2A - I = 2A - (2-1)I$.
$A^3 = A^2 \cdot A = \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right] = 3A - 2I = 3A - (3-1)I$.
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,हम किसी भी $n \in N$ के लिए इस पैटर्न को सामान्यीकृत कर सकते हैं:
$A^n = nA - (n-1)I$.

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$ और $f(t) = t^2 - 3t + 7$.
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & -12 \\ 24 & 17 \end{bmatrix}$.
अब,$f(A) = A^2 - 3A + 7I$ की गणना करें,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$:
$f(A) = \begin{bmatrix} -7 & -12 \\ 24 & 17 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} + 7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$f(A) = \begin{bmatrix} -7 & -12 \\ 24 & 17 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 12 & 15 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -6 \\ 12 & 9 \end{bmatrix}$.
अंत में,$f(A) + \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ -12 & -9 \end{bmatrix}$ का मान ज्ञात करें:
$\begin{bmatrix} -3 & -6 \\ 12 & 9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ -12 & -9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.

(D) दिया गया आव्यूह समीकरण:
$m[-3, 4] + n[4, -3] = [10, -11]$
अदिश $m$ और $n$ को आव्यूह के साथ गुणा करने पर:
$[-3m, 4m] + [4n, -3n] = [10, -11]$
आव्यूहों को जोड़ने पर:
$[-3m + 4n, 4m - 3n] = [10, -11]$
संगत अवयवों की तुलना करने पर,हमें दो रैखिक समीकरण प्राप्त होते हैं:
$-3m + 4n = 10$ $\dots(i)$
$4m - 3n = -11$ $\dots(ii)$
$m$ और $n$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(i)$ को $3$ से और समीकरण $(ii)$ को $4$ से गुणा करने पर:
$-9m + 12n = 30$ $\dots(iii)$
$16m - 12n = -44$ $\dots(iv)$
समीकरण $(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$7m = -14 \Rightarrow m = -2$
$m = -2$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$-3(-2) + 4n = 10 \Rightarrow 6 + 4n = 10 \Rightarrow 4n = 4 \Rightarrow n = 1$
अंत में,$3m + 7n$ का मान ज्ञात करने पर:
$3(-2) + 7(1) = -6 + 7 = 1$

(B) एक वर्ग आव्यूह को अदिश आव्यूह कहा जाता है यदि उसके सभी गैर-विकर्ण अवयव शून्य हों और उसके सभी विकर्ण अवयव एक स्थिरांक $k$ के बराबर हों।
यहाँ दिया गया है कि $i \neq j$ के लिए $a_{ij} = 0$ (गैर-विकर्ण अवयव शून्य हैं) और $i = j$ के लिए $a_{ij} = k$ (विकर्ण अवयव स्थिरांक $k$ हैं),इसलिए यह आव्यूह अदिश आव्यूह की परिभाषा को संतुष्ट करता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}$.
आव्यूह $A$ को अदिश $h$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$hA = \begin{bmatrix} 0 & 2h \\ 3h & -4h \end{bmatrix}$.
हमें दिया गया है कि $hA = \begin{bmatrix} 0 & 3a \\ 2b & 24 \end{bmatrix}$.
दोनों आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$1$) $-4h = 24 \implies h = -6$.
$2$) $2h = 3a \implies 2(-6) = 3a \implies -12 = 3a \implies a = -4$.
$3$) $3h = 2b \implies 3(-6) = 2b \implies -18 = 2b \implies b = -9$.
अतः,$h, a, b$ के मान $h = -6, a = -4, b = -9$ हैं।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} b & a & 0 \\ c & 0 & b \\ a & a & b \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ b & 0 & c \\ b & a & a \end{bmatrix}$.
आव्यूह गुणन $AB$ करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} ab & ab & b^2+ac \\ b^2 & ac+ab & bc+ab \\ ab+b^2 & a^2+ab & 2ab+ac \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 7 \\ 1 & 8 & 5 \\ 3 & 6 & 10 \end{bmatrix}$.
तुलना करने पर,$b^2 = 1$,$ab = 2$,और $b^2+ac = 7$.
चूंकि $b^2=1$,इसलिए $1+ac=7 \implies ac=6$.
यदि $b=1$ है तो $a=2$ और $c=3$ होगा। यदि $b=-1$ है तो $a=-2$ और $c=-3$ होगा।
दोनों स्थितियों में,$a^2+b^2+c^2 = (\pm 2)^2 + (\pm 1)^2 + (\pm 3)^2 = 4+1+9 = 14$.

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
चूंकि $A^2 = 0$,इसलिए $n \geq 2$ के लिए सभी उच्च घातें $A^n = 0$ होंगी।
दिया गया है $f(x) = x + x^2 + x^3 + \ldots + x^{2023}$,इसलिए $f(A) = A + A^2 + A^3 + \ldots + A^{2023}$.
$n \geq 2$ के लिए $A^n = 0$ रखने पर,हमें $f(A) = A + 0 + 0 + \ldots + 0 = A$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(A) + I = A + I$.
$f(A) + I = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.