Types of matrices, Algebra of matrices Questions in Hindi

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^{2} = A \times A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9+2 & 6+2 \\ 3+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 8 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$.
समीकरण $A^{2} + aA + bI = 0$ में $A^{2}$,$A$ और $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\begin{bmatrix} 11 & 8 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} + a \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
इससे हमें आव्यूह समीकरण प्राप्त होता है:
$\begin{bmatrix} 11 + 3a + b & 8 + 2a \\ 4 + a & 3 + a + b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$8 + 2a = 0 \Rightarrow 2a = -8 \Rightarrow a = -4$.
$4 + a = 0 \Rightarrow 4 + (-4) = 0$ (संगत है)।
$11 + 3a + b = 0 \Rightarrow 11 + 3(-4) + b = 0 \Rightarrow 11 - 12 + b = 0 \Rightarrow -1 + b = 0 \Rightarrow b = 1$.
अतः,$a = -4$ और $b = 1$ है।

(A) हम जानते हैं कि $A = (A^{\prime})^{\prime}$ होता है।
अतः,$A = \begin{bmatrix}-2 & 1 \\ 3 & 2\end{bmatrix}$।
अब,$A + 2B = \begin{bmatrix}-2 & 1 \\ 3 & 2\end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 1 & 2\end{bmatrix}$।
$A + 2B = \begin{bmatrix}-2 & 1 \\ 3 & 2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-2 & 0 \\ 2 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4 & 1 \\ 5 & 6\end{bmatrix}$।
अंत में,$(A + 2B)^{\prime} = \begin{bmatrix}-4 & 5 \\ 1 & 6\end{bmatrix}$।

(A) सबसे पहले,गुणनफल $AB$ ज्ञात कीजिए:
$AB = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 4 & -8 & -4 \\ -3 & 6 & 3 \end{bmatrix}$
अब,परिवर्त आव्यूह $(AB)^{\prime}$ ज्ञात कीजिए:
$(AB)^{\prime} = \begin{bmatrix} -1 & 4 & -3 \\ 2 & -8 & 6 \\ 1 & -4 & 3 \end{bmatrix}$
इसके बाद,$A^{\prime}$ और $B^{\prime}$ ज्ञात कीजिए:
$A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 \end{bmatrix}$
$B^{\prime} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$
अब,गुणनफल $B^{\prime}A^{\prime}$ ज्ञात कीजिए:
$B^{\prime}A^{\prime} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 & -3 \\ 2 & -8 & 6 \\ 1 & -4 & 3 \end{bmatrix}$
चूँकि $(AB)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime}$,अतः गुणधर्म सत्यापित होता है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
आव्यूह $A$ का परिवर्त आव्यूह $A^{\prime}$,उसकी पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर प्राप्त किया जाता है:
$A^{\prime} = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
अब,गुणनफल $A^{\prime} A$ की गणना करें:
$A^{\prime} A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
आव्यूह गुणन करने पर:
$A^{\prime} A = \begin{bmatrix} (\sin \alpha)(\sin \alpha) + (-\cos \alpha)(-\cos \alpha) & (\sin \alpha)(\cos \alpha) + (-\cos \alpha)(\sin \alpha) \\ (\cos \alpha)(\sin \alpha) + (\sin \alpha)(-\cos \alpha) & (\cos \alpha)(\cos \alpha) + (\sin \alpha)(\sin \alpha) \end{bmatrix}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ का उपयोग करके पदों को सरल करने पर:
$A^{\prime} A = \begin{bmatrix} \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha & \sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \cos \alpha \\ \sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \cos \alpha & \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \end{bmatrix}$.
$A^{\prime} A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
अतः,यह सत्यापित होता है कि $A^{\prime} A = I$ है।

माना $A = \left[\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 1 & -1\end{array}\right]$.
तब,परिवर्त आव्यूह $A^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 5 & -1\end{array}\right]$.
किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ को $A = P + Q$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime})$ एक सममित आव्यूह है और $Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime})$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
सबसे पहले,$P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime})$ की गणना करें:
$A + A^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}3+3 & 5+1 \\ 1+5 & -1-1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}6 & 6 \\ 6 & -2\end{array}\right]$
$P = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{cc}6 & 6 \\ 6 & -2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & 3 \\ 3 & -1\end{array}\right]$
चूँकि $P^{\prime} = P$,इसलिए $P$ सममित है।
इसके बाद,$Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime})$ की गणना करें:
$A - A^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}3-3 & 5-1 \\ 1-5 & -1-(-1)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 4 \\ -4 & 0\end{array}\right]$
$Q = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{cc}0 & 4 \\ -4 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -2 & 0\end{array}\right]$
चूँकि $Q^{\prime} = -Q$,इसलिए $Q$ विषम-सममित है।
अतः,$A = P + Q = \left[\begin{array}{cc}3 & 3 \\ 3 & -1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -2 & 0\end{array}\right]$.

माना $A = \left[\begin{array}{ccc}3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2\end{array}\right]$. तब,परिवर्त आव्यूह $A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}3 & -2 & -4 \\ 3 & -2 & -5 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right]$.
$A$ को एक सममित और एक विषम-सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम सूत्र $A = P + Q$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime})$ सममित है और $Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime})$ विषम-सममित है।
सबसे पहले,$A + A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}6 & 1 & -5 \\ 1 & -4 & -4 \\ -5 & -4 & 4\end{array}\right]$ की गणना करें।
अतः,$P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime}) = \left[\begin{array}{ccc}3 & \frac{1}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & -2 & -2 \\ -\frac{5}{2} & -2 & 2\end{array}\right]$. चूँकि $P^{\prime} = P$,$P$ सममित है।
अगला,$A - A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}0 & 5 & 3 \\ -5 & 0 & 6 \\ -3 & -6 & 0\end{array}\right]$ की गणना करें।
अतः,$Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime}) = \left[\begin{array}{ccc}0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{5}{2} & 0 & 3 \\ -\frac{3}{2} & -3 & 0\end{array}\right]$. चूँकि $Q^{\prime} = -Q$,$Q$ विषम-सममित है।
इसलिए,$A = \left[\begin{array}{ccc}3 & \frac{1}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & -2 & -2 \\ -\frac{5}{2} & -2 & 2\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{5}{2} & 0 & 3 \\ -\frac{3}{2} & -3 & 0\end{array}\right]$.

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ सममित आव्यूह हैं,इसलिए:
$A^{\prime} = A$ और $B^{\prime} = B$ .......... $(1)$
आव्यूह $(AB - BA)$ का परिवर्त आव्यूह लेने पर:
$(AB - BA)^{\prime} = (AB)^{\prime} - (BA)^{\prime}$
गुणधर्म $(XY)^{\prime} = Y^{\prime}X^{\prime}$ का उपयोग करने पर:
$(AB - BA)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime} - A^{\prime}B^{\prime}$
$(1)$ से मान रखने पर:
$(AB - BA)^{\prime} = BA - AB$
ऋण चिह्न उभयनिष्ठ लेने पर:
$(AB - BA)^{\prime} = -(AB - BA)$
चूंकि $(AB - BA)$ का परिवर्त उसके ऋणात्मक के बराबर है,इसलिए $(AB - BA)$ एक विषम-सममित आव्यूह है।

(A) हम गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके परिणाम सिद्ध करेंगे।
माना $P(n)$ कथन है: यदि $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ है,तो $A^{n} = \begin{bmatrix} \cos n \theta & \sin n \theta \\ -\sin n \theta & \cos n \theta \end{bmatrix}$ जहाँ $n \in N$.
चरण $1$: $n = 1$ के लिए,$A^{1} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$। यह सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि परिणाम $n = k$ के लिए सत्य है। अर्थात,$A^{k} = \begin{bmatrix} \cos k \theta & \sin k \theta \\ -\sin k \theta & \cos k \theta \end{bmatrix}$।
चरण $3$: हम $n = k + 1$ के लिए परिणाम सिद्ध करेंगे।
$A^{k+1} = A \cdot A^{k} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos k \theta & \sin k \theta \\ -\sin k \theta & \cos k \theta \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} \cos \theta \cos k \theta - \sin \theta \sin k \theta & \cos \theta \sin k \theta + \sin \theta \cos k \theta \\ -\sin \theta \cos k \theta - \cos \theta \sin k \theta & -\sin \theta \sin k \theta + \cos \theta \cos k \theta \end{bmatrix}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ और $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$A^{k+1} = \begin{bmatrix} \cos(k+1)\theta & \sin(k+1)\theta \\ -\sin(k+1)\theta & \cos(k+1)\theta \end{bmatrix}$।
अतः,परिणाम $n = k+1$ के लिए भी सत्य है। गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,यह कथन सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(N/A) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ है।
सिद्ध करना है: $P(n): A^n = \begin{bmatrix} 1+2n & -4n \\ n & 1-2n \end{bmatrix}$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए।
हम गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके परिणाम सिद्ध करेंगे।
$n=1$ के लिए:
$P(1): A^1 = \begin{bmatrix} 1+2(1) & -4(1) \\ 1 & 1-2(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = A$.
अतः,$n=1$ के लिए परिणाम सत्य है।
मान लीजिए कि $n=k$ के लिए परिणाम सत्य है:
$P(k): A^k = \begin{bmatrix} 1+2k & -4k \\ k & 1-2k \end{bmatrix}$.
अब,हम सिद्ध करेंगे कि $n=k+1$ के लिए परिणाम सत्य है:
$A^{k+1} = A^k \cdot A = \begin{bmatrix} 1+2k & -4k \\ k & 1-2k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$.
$A^{k+1} = \begin{bmatrix} 3(1+2k) - 4k & -4(1+2k) + 4k \\ 3k + 1 - 2k & -4k - (1-2k) \end{bmatrix}$.
$A^{k+1} = \begin{bmatrix} 3 + 6k - 4k & -4 - 8k + 4k \\ k + 1 & -4k - 1 + 2k \end{bmatrix}$.
$A^{k+1} = \begin{bmatrix} 3 + 2k & -4 - 4k \\ k + 1 & -1 - 2k \end{bmatrix}$.
$A^{k+1} = \begin{bmatrix} 1 + 2(k+1) & -4(k+1) \\ k+1 & 1 - 2(k+1) \end{bmatrix}$.
अतः,$n=k+1$ के लिए परिणाम सत्य है।
इस प्रकार,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,परिणाम सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 2y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z \end{bmatrix}$.
परिवर्तित आव्यूह $A^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & x & x \\ 2y & y & -y \\ z & -z & z \end{bmatrix}$.
दिया गया है $A^{\prime} A = I$,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^{\prime} A$ की गणना करने पर:
$\begin{bmatrix} 0 & x & x \\ 2y & y & -y \\ z & -z & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
आव्यूह गुणन करने पर:
$\begin{bmatrix} 0+x^2+x^2 & 0+xy-xy & 0-xz+xz \\ 0+xy-xy & 4y^2+y^2+y^2 & 2zy-zy-zy \\ 0-xz+xz & 2zy-zy-zy & z^2+z^2+z^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
आव्यूह को सरल करने पर:
$\begin{bmatrix} 2x^2 & 0 & 0 \\ 0 & 6y^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3z^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
$6y^2 = 1 \implies y^2 = \frac{1}{6} \implies y = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$
$3z^2 = 1 \implies z^2 = \frac{1}{3} \implies z = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
अतः,$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, y = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}, z = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।

(A) हमें दिया गया है $\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ x\end{array}\right]=0$.
सबसे पहले,पहले दो आव्यूहों का गुणा करने पर:
$\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}1(1)+2(2)+1(1) & 1(2)+2(0)+1(0) & 1(0)+2(1)+1(2)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}6 & 2 & 4\end{array}\right]$.
अब,परिणाम का तीसरे आव्यूह के साथ गुणा करने पर:
$\left[\begin{array}{lll}6 & 2 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ x\end{array}\right] = 6(0) + 2(2) + 4(x) = 0 + 4 + 4x = 4 + 4x$.
परिणाम को $0$ के बराबर रखने पर:
$4 + 4x = 0
\Rightarrow 4x = -4
\Rightarrow x = -1$.
अतः,$x$ का अभीष्ट मान $-1$ है।

(A) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^{2} = A \cdot A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
$A^{2} = \begin{bmatrix} 3(3) + 1(-1) & 3(1) + 1(2) \\ -1(3) + 2(-1) & -1(1) + 2(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9-1 & 3+2 \\ -3-2 & -1+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$.
अब,व्यंजक $L.H.S. = A^{2} - 5A + 7I$ का मान ज्ञात करें।
$L.H.S. = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} - 5 \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} + 7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$L.H.S. = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$.
$L.H.S. = \begin{bmatrix} 8-15+7 & 5-5+0 \\ -5-(-5)+0 & 3-10+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$.
अतः,$A^{2} - 5A + 7I = 0$ सिद्ध होता है।

(A) माना बिक्री आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 10000 & 2000 & 18000 \\ 6000 & 20000 & 8000 \end{bmatrix}$ है।
माना प्रति इकाई बिक्री मूल्य आव्यूह $S = \begin{bmatrix} 2.50 \\ 1.50 \\ 1.00 \end{bmatrix}$ और प्रति इकाई लागत मूल्य आव्यूह $C = \begin{bmatrix} 2.00 \\ 1.00 \\ 0.50 \end{bmatrix}$ है।
प्रति इकाई लाभ $P = S - C = \begin{bmatrix} 0.50 \\ 0.50 \\ 0.50 \end{bmatrix}$ है।
कुल लाभ आव्यूह गुणन $A \times P$ द्वारा दिया जाता है:
$\begin{bmatrix} 10000 & 2000 & 18000 \\ 6000 & 20000 & 8000 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.50 \\ 0.50 \\ 0.50 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15000 \\ 17000 \end{bmatrix}$.
कुल सकल लाभ = $15000 + 17000 = 32000$.

(N/A) दिया गया है कि $A$ और $B$ समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं ताकि $AB = BA$ हो।
भाग $1$: गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध करना कि $P(n): AB^{n} = B^{n}A$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।
$n = 1$ के लिए,$AB^{1} = B^{1}A$,जो सत्य है क्योंकि $AB = BA$ दिया गया है।
मान लीजिए कि परिणाम $n = k$ के लिए सत्य है,अर्थात $AB^{k} = B^{k}A$ $(1)$.
$n = k + 1$ के लिए,$AB^{k+1} = (AB^{k})B = (B^{k}A)B = B^{k}(AB) = B^{k}(BA) = (B^{k}B)A = B^{k+1}A$.
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$AB^{n} = B^{n}A$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।
भाग $2$: गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध करना कि $Q(n): (AB)^{n} = A^{n}B^{n}$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।
$n = 1$ के लिए,$(AB)^{1} = A^{1}B^{1} = AB$,जो सत्य है।
मान लीजिए कि परिणाम $n = k$ के लिए सत्य है,अर्थात $(AB)^{k} = A^{k}B^{k}$ $(2)$.
$n = k + 1$ के लिए,$(AB)^{k+1} = (AB)^{k}(AB) = (A^{k}B^{k})(AB) = A^{k}(B^{k}A)B$.
भाग $1$ के परिणाम का उपयोग करते हुए,$B^{k}A = AB^{k}$,इसलिए $(AB)^{k+1} = A^{k}(AB^{k})B = (A^{k}A)(B^{k}B) = A^{k+1}B^{k+1}$.
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$(AB)^{n} = A^{n}B^{n}$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(B) दिया गया है: $A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{bmatrix}$.
तब,$A^{2} = A \cdot A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{bmatrix}$.
गुणनफल की गणना करने पर:
$A^{2} = \begin{bmatrix} \alpha^{2} + \beta \gamma & \alpha \beta - \alpha \beta \\ \alpha \gamma - \alpha \gamma & \beta \gamma + \alpha^{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha^{2} + \beta \gamma & 0 \\ 0 & \alpha^{2} + \beta \gamma \end{bmatrix}$.
दिया गया है कि $A^{2} = I$,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,इसलिए:
$\begin{bmatrix} \alpha^{2} + \beta \gamma & 0 \\ 0 & \alpha^{2} + \beta \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$\alpha^{2} + \beta \gamma = 1$.
समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$1 - \alpha^{2} - \beta \gamma = 0$.
अतः,सही विकल्प $B$ है.

(A) चूंकि यह एक $2 \times 2$ आव्यूह है,इसमें $2$ पंक्तियाँ और $2$ स्तंभ हैं।
माना आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$ है।
दिया गया है कि $a_{ij} = \frac{(i+j)^2}{2}$,अतः प्रत्येक अवयव की गणना इस प्रकार है:

$a_{11} = \frac{(1+1)^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$	$a_{12} = \frac{(1+2)^2}{2} = \frac{9}{2}$
$a_{21} = \frac{(2+1)^2}{2} = \frac{9}{2}$	$a_{22} = \frac{(2+2)^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$

अतः,अभीष्ट आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & \frac{9}{2} \\ \frac{9}{2} & 8 \end{bmatrix}$ है।

(A) एक $2 \times 2$ आव्यूह में $2$ पंक्तियाँ और $2$ स्तंभ होते हैं।
माना आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$ है।
दिया गया है कि $a_{ij} = \frac{i}{j}$,अतः प्रत्येक अवयव की गणना इस प्रकार है:

$a_{11} = \frac{1}{1} = 1$	$a_{12} = \frac{1}{2}$
$a_{21} = \frac{2}{1} = 2$	$a_{22} = \frac{2}{2} = 1$

अतः,अभीष्ट आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ है।

(N/A) चूँकि यह एक $2 \times 2$ आव्यूह है,इसमें $2$ पंक्तियाँ और $2$ स्तंभ हैं। मान लीजिए आव्यूह $A$ है।
जहाँ $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$.
अब,यह दिया गया है कि $a_{ij} = \frac{(i + 2j)^2}{2}$.

अवयव	गणना
$a_{11}$	$a_{11} = \frac{(1 + 2(1))^2}{2} = \frac{(1 + 2)^2}{2} = \frac{3^2}{2} = \frac{9}{2}$
$a_{12}$	$a_{12} = \frac{(1 + 2(2))^2}{2} = \frac{(1 + 4)^2}{2} = \frac{5^2}{2} = \frac{25}{2}$
$a_{21}$	$a_{21} = \frac{(2 + 2(1))^2}{2} = \frac{(2 + 2)^2}{2} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$a_{22}$	$a_{22} = \frac{(2 + 2(2))^2}{2} = \frac{(2 + 4)^2}{2} = \frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18$

अतः,अभीष्ट आव्यूह $A$ है:
$A = \begin{bmatrix} \frac{9}{2} & \frac{25}{2} \\ 8 & 18 \end{bmatrix}$

(D) दिया गया है कि $A$ एक $2 \times 2$ आव्यूह है जिसके अवयव $\{0, 1\}$ से हैं और $|A| \neq 0$ है।
कथन $(P)$ के लिए: यदि $A \neq I_{2}$,तो $|A| = -1$ है।
मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$। यहाँ $A \neq I_{2}$ है और $|A| = (1)(1) - (1)(0) = 1$ है।
चूंकि हमें एक ऐसा मामला मिला है जहाँ $A \neq I_{2}$ है लेकिन $|A| = 1$ है,इसलिए कथन $(P)$ असत्य है।
कथन $(Q)$ के लिए: यदि $|A| = 1$,तो $\operatorname{tr}(A) = 2$ है।
$\{0, 1\}$ से अवयव वाले $2 \times 2$ आव्यूह जिनके लिए $|A| = 1$ है,वे हैं:
$A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \implies \operatorname{tr}(A_1) = 1+1 = 2$
$A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \implies \operatorname{tr}(A_2) = 1+1 = 2$
$A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \implies \operatorname{tr}(A_3) = 1+1 = 2$
सभी मामलों में जहाँ $|A| = 1$ है,ट्रेस $2$ है। अतः,कथन $(Q)$ सत्य है।
इसलिए,$(P)$ असत्य है और $(Q)$ सत्य है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^{2}$ की गणना करें:
$A^{2} = \begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^{2} + 1 & x \\ x & 1 \end{bmatrix}$.
अब,$A^{4} = A^{2} \times A^{2}$ की गणना करें:
$A^{4} = \begin{bmatrix} x^{2} + 1 & x \\ x & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x^{2} + 1 & x \\ x & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (x^{2} + 1)^{2} + x^{2} & x(x^{2} + 1) + x \\ x(x^{2} + 1) + x & x^{2} + 1 \end{bmatrix}$.
हमें $a_{11} = 109$ दिया गया है,इसलिए:
$(x^{2} + 1)^{2} + x^{2} = 109$.
मान लीजिए $y = x^{2}$ है। तो $(y + 1)^{2} + y = 109$.
$y^{2} + 2y + 1 + y = 109 \Rightarrow y^{2} + 3y - 108 = 0$.
$(y + 12)(y - 9) = 0$.
चूंकि $y = x^{2} \geq 0$,इसलिए $y = 9$,जिसका अर्थ है $x^{2} = 9$.
अब,$a_{22}$ ज्ञात करें:
आव्यूह $A^{4}$ से,$a_{22} = x^{2} + 1$.
$x^{2} = 9$ रखने पर,हमें $a_{22} = 9 + 1 = 10$ प्राप्त होता है।

(B) माना $t = \tan(\frac{\theta}{2})$. तब $A = \begin{bmatrix} 0 & -t \\ t & 0 \end{bmatrix}$.
$I_{2} + A = \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix}$ और $I_{2} - A = \begin{bmatrix} 1 & t \\ -t & 1 \end{bmatrix}$.
$(I_{2} - A)^{-1} = \frac{1}{1 + t^{2}} \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix}$.
$(I_{2} + A)(I_{2} - A)^{-1} = \frac{1}{1 + t^{2}} \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{1 + t^{2}} \begin{bmatrix} 1 - t^{2} & -2t \\ 2t & 1 - t^{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} & -\frac{2t}{1 + t^{2}} \\ \frac{2t}{1 + t^{2}} & \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} \end{bmatrix}$.
$\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$ से तुलना करने पर,हमें $a = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} = \cos \theta$ और $b = \frac{2t}{1 + t^{2}} = \sin \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$a^{2} + b^{2} = \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$.
इसलिए,$13(a^{2} + b^{2}) = 13(1) = 13$.

(A) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$,जहाँ $a, b, c \in \mathbb{Z}$.
तब $A^{2} = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^{2} + b^{2} & ab + bc \\ ab + bc & b^{2} + c^{2} \end{bmatrix}$.
$A^{2}$ के विकर्ण तत्वों का योग $\text{tr}(A^{2}) = a^{2} + b^{2} + b^{2} + c^{2} = a^{2} + 2b^{2} + c^{2}$ है।
हमें दिया गया है कि $a^{2} + 2b^{2} + c^{2} = 1$,जहाँ $a, b, c \in \mathbb{Z}$.
चूंकि $a^{2}, b^{2}, c^{2} \ge 0$,योग $1$ होने के लिए,हमें $b^{2} = 0$ लेना होगा,जिसका अर्थ है $b = 0$.
तब समीकरण $a^{2} + c^{2} = 1$ में बदल जाता है।
चूंकि $a, c \in \mathbb{Z}$,$(a, c)$ के लिए संभावित पूर्णांक समाधान इस प्रकार हैं:
$1$. यदि $a = 0$,तो $c^{2} = 1 \Rightarrow c = \pm 1$. यह दो आव्यूह देता है: $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
$2$. यदि $c = 0$,तो $a^{2} = 1 \Rightarrow a = \pm 1$. यह दो आव्यूह देता है: $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
अतः,ऐसे आव्यूहों की कुल संख्या $2 + 2 = 4$ है।

(B) दिया गया है $A = I + C$,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $C = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
चूँकि $I$ और $C$ क्रमविनिमेय हैं,हम द्विपद प्रसार $(I+C)^n = I + nC + \frac{n(n-1)}{2}C^2$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ $C^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $C^3 = O$ है।
अतः,$A^n = (I+C)^n = I + nC + \frac{n(n-1)}{2}C^2$.
$b_{13}$ आव्यूह $B = 7A^{20} - 20A^7 + 2I$ की पहली पंक्ति और तीसरे स्तंभ का अवयव है।
$I$ का $(1,3)$ अवयव $0$ है,$C$ का $(1,3)$ अवयव $0$ है,और $C^2$ का $(1,3)$ अवयव $1$ है।
इसलिए,$A^n$ का $(1,3)$ अवयव $\frac{n(n-1)}{2}$ है।
$b_{13} = 7 \times \left( \frac{20 \times 19}{2} \right) - 20 \times \left( \frac{7 \times 6}{2} \right) + 2(0)$.
$b_{13} = 7 \times 190 - 20 \times 21 = 1330 - 420 = 910$.

(C) दिया गया है कि $A = [a_{ij}]$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है जिसमें प्रत्येक पंक्ति के अवयवों का योग $1$ है।
मान लीजिए $X = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ है।
तब $AX = \begin{bmatrix} a_{11} + a_{12} + a_{13} \\ a_{21} + a_{22} + a_{23} \\ a_{31} + a_{32} + a_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = X$ है।
अतः,$AX = X$ है।
दोनों पक्षों को $A$ से गुणा करने पर,हमें $A^2X = A(AX) = AX = X$ प्राप्त होता है।
पुनः $A$ से गुणा करने पर,हमें $A^3X = A(A^2X) = AX = X$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $A^3 = [b_{ij}]$ है। तब $A^3X = \begin{bmatrix} b_{11} + b_{12} + b_{13} \\ b_{21} + b_{22} + b_{23} \\ b_{31} + b_{32} + b_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ है।
$A^3$ के सभी अवयवों का योग $(b_{11} + b_{12} + b_{13}) + (b_{21} + b_{22} + b_{23}) + (b_{31} + b_{32} + b_{33}) = 1 + 1 + 1 = 3$ है।

(B) मान लीजिए आव्यूह $B = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$ है।
दिया गया है कि $AB = BA$,इसलिए:
$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
आव्यूह गुणन करने पर:
$\begin{bmatrix} d & e & f \\ a & b & c \\ g & h & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b & a & c \\ e & d & f \\ h & g & i \end{bmatrix}$
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$d = b, e = a, f = c, g = h$
अतः,आव्यूह $B$ का रूप इस प्रकार है:
$B = \begin{bmatrix} a & b & c \\ b & a & c \\ g & g & i \end{bmatrix}$
चूंकि प्रत्येक अवयव $a, b, c, g, i$ को समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ से चुना जा सकता है,इसलिए $5$ स्वतंत्र चरों में से प्रत्येक के लिए $5$ विकल्प हैं।
आव्यूहों $B$ की कुल संख्या $= 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5 = 3125$.

(B) दिया गया है $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/2 & 1 \end{bmatrix}$.
$P^2 = P \times P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/2 + 1/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$P^3 = P^2 \times P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 + 1/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3/2 & 1 \end{bmatrix}$.
$P^4 = P^2 \times P^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 + 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$.
इस पैटर्न को देखते हुए,$P^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ n/2 & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 50$ के लिए,$P^{50} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 50/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 25 & 1 \end{bmatrix}$।

(A) सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-2 & -4+2 \\ 2-1 & -2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = A$.
चूंकि $A^2 = A$,इसलिए सभी $n \geq 1$ के लिए $A^n = A$ होता है।
अब,$B^2$ की गणना करें:
$B^2 = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-2 & -2+4 \\ 1-2 & -2+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = B$.
चूंकि $B^2 = B$,इसलिए सभी $m \geq 1$ के लिए $B^m = B$ होता है।
दिया गया समीकरण $nA^n + mB^m = I$ अब $nA + mB = I$ बन जाता है।
आव्यूहों को प्रतिस्थापित करने पर:
$n \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} + m \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
इससे समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है:
$2n - m = 1$
$-2n + 2m = 0 \implies n = m$.
$n = m$ को $2n - m = 1$ में रखने पर,हमें $2n - n = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $n = 1$.
अतः,$n = 1$ और $m = 1$ है।
केवल एक ही युग्म $(n, m) = (1, 1)$ संभव है,इसलिए समुच्चय में $1$ अवयव है।

(B) मान लीजिए $1$ की संख्या $x$,$-1$ की संख्या $y$ और $0$ की संख्या $z$ है। चूंकि आव्यूह $3 \times 3$ है,इसलिए $x + y + z = 9$.
अवयवों का योग $1(x) + (-1)(y) + 0(z) = 5$ है,जो $x - y = 5$ अर्थात $x = y + 5$ देता है।
पहले समीकरण में $x$ का मान रखने पर: $(y + 5) + y + z = 9 \implies 2y + z = 4$.
यहाँ $(x, y, z)$ के लिए संभावित हल:
स्थिति-$I$: यदि $y = 0$,तो $z = 4$ और $x = 5$. आव्यूहों की संख्या $= \frac{9!}{5!0!4!} = 126$.
स्थिति-$II$: यदि $y = 1$,तो $z = 2$ और $x = 6$. आव्यूहों की संख्या $= \frac{9!}{6!1!2!} = 252$.
स्थिति-$III$: यदि $y = 2$,तो $z = 0$ और $x = 7$. आव्यूहों की संख्या $= \frac{9!}{7!2!0!} = 36$.
कुल आव्यूहों की संख्या $= 126 + 252 + 36 = 414$.

(A) दिया गया है कि $A = [a_{ij}]$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है जहाँ $a_{ij} = 2^{j-i}$ है।
$A = \begin{bmatrix} 2^{1-1} & 2^{2-1} & 2^{3-1} \\ 2^{1-2} & 2^{2-2} & 2^{3-2} \\ 2^{1-3} & 2^{2-3} & 2^{3-3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1/2 & 1 & 2 \\ 1/4 & 1/2 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^2$ की गणना करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1/2 & 1 & 2 \\ 1/4 & 1/2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1/2 & 1 & 2 \\ 1/4 & 1/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 & 12 \\ 3/2 & 3 & 6 \\ 3/4 & 3/2 & 3 \end{bmatrix} = 3A$.
चूंकि $A^2 = 3A$,इसलिए $A^3 = A^2 \cdot A = (3A) \cdot A = 3A^2 = 3(3A) = 3^2 A$.
गणितीय आगमन द्वारा,$A^n = 3^{n-1} A$.
हमें $S = A^2 + A^3 + \ldots + A^{10}$ ज्ञात करना है।
$S = 3A + 3^2 A + \ldots + 3^9 A = (3 + 3^2 + \ldots + 3^9) A$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $n=9$ पद हैं,प्रथम पद $a=3$ और सार्व अनुपात $r=3$ है।
योग $= \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{3(3^9 - 1)}{3 - 1} = \frac{3^{10} - 3}{2}$.
अतः,$S = \left(\frac{3^{10} - 3}{2}\right) A$.

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$,इसलिए $A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ है।
हमें $A^{\prime} BA = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 9^2 & -10^2 & 11^2 \\ 12^2 & 13^2 & -14^2 \\ -15^2 & 16^2 & 17^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ की गणना करनी है।
सबसे पहले,$A^{\prime} B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 9^2 & -10^2 & 11^2 \\ 12^2 & 13^2 & -14^2 \\ -15^2 & 16^2 & 17^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9^2+12^2-15^2 & -10^2+13^2+16^2 & 11^2-14^2+17^2 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
मानों की गणना:
$9^2+12^2-15^2 = 81+144-225 = 0$.
$-10^2+13^2+16^2 = -100+169+256 = 325$.
$11^2-14^2+17^2 = 121-196+289 = 214$.
अतः,$A^{\prime} B = \begin{bmatrix} 0 & 325 & 214 \end{bmatrix}$ है।
अब,$(A^{\prime} B) A = \begin{bmatrix} 0 & 325 & 214 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 0(1) + 325(1) + 214(1) = 539$.

(C) दिया गया है कि $A^{T} = A$ और $B^{T} = -B$.
विकल्प $A$ के लिए: मान लीजिए $C = A^{4} - B^{4}$.
$C^{T} = (A^{4} - B^{4})^{T} = (A^{T})^{4} - (B^{T})^{4} = A^{4} - (-B)^{4} = A^{4} - B^{4} = C$. अतः,$A^{4} - B^{4}$ सममित है।
विकल्प $B$ के लिए: मान लीजिए $C = AB - BA$.
$C^{T} = (AB - BA)^{T} = (AB)^{T} - (BA)^{T} = B^{T}A^{T} - A^{T}B^{T} = (-B)(A) - (A)(-B) = -BA + AB = AB - BA = C$. अतः,$AB - BA$ सममित है।
विकल्प $C$ के लिए: मान लीजिए $C = B^{5} - A^{5}$.
$C^{T} = (B^{5} - A^{5})^{T} = (B^{T})^{5} - (A^{T})^{5} = (-B)^{5} - A^{5} = -B^{5} - A^{5} = -(B^{5} + A^{5})$. यह $-C = -(B^{5} - A^{5})$ के बराबर नहीं है। अतः,यह कथन सत्य नहीं है।
विकल्प $D$ के लिए: मान लीजिए $C = AB + BA$.
$C^{T} = (AB + BA)^{T} = (AB)^{T} + (BA)^{T} = B^{T}A^{T} + A^{T}B^{T} = (-B)(A) + (A)(-B) = -BA - AB = -(AB + BA) = -C$. अतः,$AB + BA$ विषम-सममित है।
इसलिए,विकल्प $C$ सत्य नहीं है।

(C) माना $A = \left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 1 & -1\end{array}\right]$ है।
$1$. विकल्प $A$ के लिए: $R_1 \rightarrow R_1 + R_2$ लागू करने पर,हमें $\left[\begin{array}{cc}-1+1 & 2-1 \\ 1 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right]$ प्राप्त होता है। यह संभव है।
$2$. विकल्प $B$ के लिए: $R_1 \leftrightarrow R_2$ लागू करने पर,हमें $\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ प्राप्त होता है। यह संभव है।
$3$. विकल्प $C$ के लिए: $\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ -2 & 7\end{array}\right]$ प्राप्त करने के लिए,हमें $R_2 \rightarrow R_2 + k R_1$ की आवश्यकता होगी। यहाँ,$-1 + k(-1) = -2 \implies k=1$,लेकिन तब $2 + k(2) = 2 + 1(2) = 4 \neq 7$ होता है। अतः,यह संभव नहीं है।
$4$. विकल्प $D$ के लिए: $R_2 \rightarrow R_2 + 2R_1$ लागू करने पर,हमें $\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 1+2(-1) & -1+2(2)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ -1 & 3\end{array}\right]$ प्राप्त होता है। यह संभव है।
अतः,विकल्प $C$ में दिया गया आव्यूह एक एकल प्रारंभिक पंक्ति संक्रिया द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

(A) $3 \times 3$ क्रम के आव्यूह $A$ में $9$ अवयव होते हैं,जहाँ प्रत्येक अवयव $a_{ij} \in \{0, 1\}$ है।
सभी अवयवों का योग $S = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}$ का मान $0$ से $9$ के बीच हो सकता है।
चूंकि योग एक अभाज्य संख्या होनी चाहिए,इसलिए संभावित योग $2, 3, 5, 7$ हैं (क्योंकि $0$ और $1$ अभाज्य नहीं हैं,और $9$ अभाज्य नहीं है)।
$k$ अवयवों को $1$ के रूप में चुनने के तरीकों की संख्या $\binom{9}{k}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
आव्यूहों की कुल संख्या = $\binom{9}{2} + \binom{9}{3} + \binom{9}{5} + \binom{9}{7}$.
प्रत्येक पद की गणना:
$\binom{9}{2} = 36$
$\binom{9}{3} = 84$
$\binom{9}{5} = 126$
$\binom{9}{7} = 36$
कुल = $36 + 84 + 126 + 36 = 282$.

(A) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ और $A^2 = A$ है।
$A^2$ की गणना करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{bmatrix}$.
चूंकि $A^2 = A$ है,हमें प्राप्त होता है:
$\begin{bmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
अवयवों की तुलना करने पर,हमें $ab + bd = b$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b(a + d) = b$.
चूंकि अवयव शून्य नहीं हैं,$b \neq 0$,इसलिए $b$ से विभाजित करने पर हमें $a + d = 1$ प्राप्त होता है।

(B) $5$ क्रम का एक वर्ग आव्यूह जिसमें प्रत्येक पंक्ति का योग $1$ और प्रत्येक स्तंभ का योग $1$ है और अवयव $\{0, 1\}$ से हैं,एक क्रमचय आव्यूह (permutation matrix) होता है।
पहली पंक्ति में,$1$ रखने के लिए $5$ संभावित स्थान हैं।
दूसरी पंक्ति में,$1$ रखने के लिए $4$ शेष स्थान उपलब्ध हैं (क्योंकि पहली पंक्ति में उपयोग किया गया स्तंभ दोबारा उपयोग नहीं किया जा सकता)।
तीसरी पंक्ति में,$3$ शेष स्थान हैं।
चौथी पंक्ति में,$2$ शेष स्थान हैं।
पांचवीं पंक्ति में,केवल $1$ शेष स्थान है।
अतः,ऐसे आव्यूहों की कुल संख्या $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = 120$ है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos 60^{\circ} & \sin 60^{\circ} \\ -\sin 60^{\circ} & \cos 60^{\circ} \end{bmatrix}$.
माना $\alpha = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$.
अतः $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.
रोटेशन मैट्रिक्स के गुणधर्म के अनुसार,$A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\alpha) & \sin(n\alpha) \\ -\sin(n\alpha) & \cos(n\alpha) \end{bmatrix}$.
$A^{30}$ के लिए,$n = 30$,इसलिए $n\alpha = 30 \times \frac{\pi}{3} = 10\pi$.
$A^{30} = \begin{bmatrix} \cos(10\pi) & \sin(10\pi) \\ -\sin(10\pi) & \cos(10\pi) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
$A^{25}$ के लिए,$n = 25$,इसलिए $n\alpha = 25 \times \frac{\pi}{3} = 8\pi + \frac{\pi}{3}$.
$A^{25} = \begin{bmatrix} \cos(8\pi + \frac{\pi}{3}) & \sin(8\pi + \frac{\pi}{3}) \\ -\sin(8\pi + \frac{\pi}{3}) & \cos(8\pi + \frac{\pi}{3}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\frac{\pi}{3}) & \sin(\frac{\pi}{3}) \\ -\sin(\frac{\pi}{3}) & \cos(\frac{\pi}{3}) \end{bmatrix} = A$.
इस प्रकार,$A^{30} = I$ और $A^{25} = A$.
विकल्पों की जाँच करने पर: $A^{30} + A^{25} - A = I + A - A = I$. अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) $3 \times 3$ क्रम का एक सममित आव्यूह $A$,$A = A^T$ के रूप में परिभाषित होता है।
$3 \times 3$ आव्यूह के लिए,यह इस प्रकार दिखता है:
$A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{bmatrix}$
यहाँ,स्वतंत्र अवयव $a, b, c, d, e,$ और $f$ हैं।
आव्यूह में $6$ स्वतंत्र स्थान हैं जिन्हें भरा जा सकता है।
इनमें से प्रत्येक $6$ स्थानों को समुच्चय $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ के किन्हीं भी $10$ अंकों द्वारा भरा जा सकता है।
अतः,ऐसे सममित आव्यूहों की कुल संख्या $10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^6$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$।
$A$ का अभिलक्षणिक समीकरण ज्ञात करें: $|A - \lambda I| = 0$.
$\begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 \\ 1 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)(1-\lambda) + 1 = \lambda^2 - 3\lambda + 3 = 0$.
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A^2 - 3A + 3I = 0$,अतः $A^2 = 3A - 3I$.
हम देखते हैं कि $A^6 = -27I = -3^3 I$.
तब $A^{12} = (A^6)^2 = (-3^3 I)^2 = 3^6 I$.
$A^{13} = A^{12} \cdot A = 3^6 A = 3^6 \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 3^6 & -3^6 \\ 3^6 & 3^6 \end{bmatrix}$.
$A^{13}$ के विकर्ण तत्वों का योग (ट्रेस) $2 \cdot 3^6 + 3^6 = 3 \cdot 3^6 = 3^7$ है।
दिया गया है कि योग $3^n$ है,इसलिए $3^n = 3^7$,जिसका अर्थ है कि $n = 7$।

(A) मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$ है।
पहली शर्त से,$\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b \\ e \\ h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$। अतः,$b = -1, e = 2, h = 3$ है।
अब,$M = \begin{bmatrix} a & -1 & c \\ d & 2 & f \\ g & 3 & i \end{bmatrix}$ है।
दूसरी शर्त से,$\begin{bmatrix} a & -1 & c \\ d & 2 & f \\ g & 3 & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+1 \\ d-2 \\ g-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ है।
इन्हें हल करने पर,हमें $a+1 = 1 \Rightarrow a = 0$,$d-2 = 1 \Rightarrow d = 3$,और $g-3 = -1 \Rightarrow g = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$M = \begin{bmatrix} 0 & -1 & c \\ 3 & 2 & f \\ 2 & 3 & i \end{bmatrix}$ है।
तीसरी शर्त से,$\begin{bmatrix} 0 & -1 & c \\ 3 & 2 & f \\ 2 & 3 & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1+c \\ 5+f \\ 5+i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{bmatrix}$ है।
तीसरी पंक्ति से,$5+i = 12 \Rightarrow i = 7$ है।
विकर्ण अवयवों का योग $a + e + i = 0 + 2 + 7 = 9$ है।

(A) दिया गया है $M = \begin{bmatrix} \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$.
हम $M$ को $M = I + \frac{3}{2} A$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-1 & 1-1 \\ -1+1 & -1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
चूँकि $A^2 = O$,हम $(I + \frac{3}{2} A)^n$ के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग कर सकते हैं:
$M^n = (I + \frac{3}{2} A)^n = I^n + n(I^{n-1})(\frac{3}{2} A) + \frac{n(n-1)}{2} I^{n-2} (\frac{3}{2} A)^2 + \dots$
चूँकि $A^2 = O$,$A^k$ (जहाँ $k \ge 2$) वाले सभी पद शून्य हो जाएंगे।
अतः,$M^n = I + n \cdot \frac{3}{2} A$.
$n = 2022$ के लिए:
$M^{2022} = I + 2022 \cdot \frac{3}{2} A = I + 3033 A$.
$M^{2022} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + 3033 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+3033 & 0+3033 \\ 0-3033 & 1-3033 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3034 & 3033 \\ -3033 & -3032 \end{bmatrix}$.

(A) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ है।
$A \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ से,हमें $A$ का दूसरा स्तंभ $\begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है। अतः,$a_{12} = 0, a_{22} = 0, a_{32} = 1$ है।
$A \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ से,दूसरी पंक्ति का समीकरण $4a_{21} + a_{22} + 3a_{23} = 1$ है। चूंकि $a_{22} = 0$ है,इसलिए $4a_{21} + 3a_{23} = 1$ (समीकरण $1$)।
$A \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ से,दूसरी पंक्ति का समीकरण $2a_{21} + a_{22} + 2a_{23} = 0$ है। चूंकि $a_{22} = 0$ है,इसलिए $2a_{21} + 2a_{23} = 0$,जिसका अर्थ है $a_{21} = -a_{23}$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर: $4(-a_{23}) + 3a_{23} = 1 \Rightarrow -4a_{23} + 3a_{23} = 1 \Rightarrow -a_{23} = 1 \Rightarrow a_{23} = -1$।

(A) दिया गया है कि $A^n = A^{n-2} + A^2 - I$ है। $n=50$ के लिए,हमारे पास $A^{50} = A^{48} + A^2 - I$ है।
इस पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करते हुए,हमें $A^{50} = A^{48} + (A^2 - I) = A^{46} + 2(A^2 - I) = A^{44} + 3(A^2 - I) = \dots = A^2 + 24(A^2 - I) = 25A^2 - 24I$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें: $A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
अब,$A^{50} = 25 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} - 24 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25-24 & 0 & 0 \\ 25 & 25-24 & 0 \\ 25 & 0 & 25-24 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 25 & 1 & 0 \\ 25 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सभी अवयवों का योग $1 + 0 + 0 + 25 + 1 + 0 + 25 + 0 + 1 = 53$ है।

(C) सबसे पहले,हम $A^{2}$ की गणना करते हैं:
$A^{2} = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(1) + (0)(-1) & (1)(0) + (0)(7) \\ (-1)(1) + (7)(-1) & (-1)(0) + (7)(7) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -8 & 49 \end{bmatrix}$
दिए गए समीकरण $A^{2} = 8A + kI$ में आव्यूहों का मान रखने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -8 & 49 \end{bmatrix} = 8 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 7 \end{bmatrix} + k \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -8 & 49 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ -8 & 56 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -8 & 49 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 + k & 0 \\ -8 & 56 + k \end{bmatrix}$
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$8 + k = 1 \Rightarrow k = 1 - 8 = -7$
इसी प्रकार,$56 + k = 49 \Rightarrow k = 49 - 56 = -7$
अतः,$k$ का मान $-7$ है।

(A) हम जानते हैं कि $A^4 A^{-1} = A^{4-1} = A^3$ होता है।
चूंकि $A$ एक विकर्ण आव्यूह (diagonal matrix) है,इसलिए $A^n = \begin{bmatrix} a_{11}^n & 0 & 0 \\ 0 & a_{22}^n & 0 \\ 0 & 0 & a_{33}^n \end{bmatrix}$ होता है।
दिए गए $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ के लिए,हम $A^3$ की गणना करते हैं:
$A^3 = \begin{bmatrix} 2^3 & 0 & 0 \\ 0 & (-2)^3 & 0 \\ 0 & 0 & (-1)^3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$।
अतः,$A^4 A^{-1} = \begin{bmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$।

(C) दिया गया है कि $A^2 = A$ (idempotent आव्यूह)।
हमें $(I + A)^2 - 3A$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $(I + A)^2 = I^2 + IA + AI + A^2 = I + A + A + A^2 = I + 2A + A^2$।
चूँकि $A^2 = A$,हम इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं: $I + 2A + A = I + 3A$।
अब,$3A$ घटाने पर: $(I + 3A) - 3A = I$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम $A^2 = A \times A$ की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
आव्यूह गुणन करने पर:
पंक्ति $1$: $(0)(0) + (0)(0) + (-1)(-1) = 1$,$(0)(0) + (0)(-1) + (-1)(0) = 0$,$(0)(-1) + (0)(0) + (-1)(0) = 0$
पंक्ति $2$: $(0)(0) + (-1)(0) + (0)(-1) = 0$,$(0)(0) + (-1)(-1) + (0)(0) = 1$,$(0)(-1) + (-1)(0) + (0)(0) = 0$
पंक्ति $3$: $(-1)(0) + (0)(0) + (0)(-1) = 0$,$(-1)(0) + (0)(-1) + (0)(0) = 0$,$(-1)(-1) + (0)(0) + (0)(0) = 1$
अतः,$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
अब,हम $I + A^2 = I + I = 2I$ की गणना करते हैं।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
अतः,परिवर्त आव्यूह $A^{\prime} = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
शर्त $A+A^{\prime} = I$ के अनुसार,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ और $A^{\prime}$ को जोड़ने पर:
$A+A^{\prime} = \begin{bmatrix} 2\sin \alpha & 0 \\ 0 & 2\sin \alpha \end{bmatrix}$.
इसे तत्समक आव्यूह $I$ के बराबर रखने पर:
$2\sin \alpha = 1$,इसलिए $\sin \alpha = \frac{1}{2}$.
हम जानते हैं कि $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$,इसलिए $\cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4}$.
अतः,$\cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -5 \\ 0 & -5 & 0 \\ -5 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
हमें $A^2 = A \times A$ की गणना करनी है।
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -5 \\ 0 & -5 & 0 \\ -5 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -5 \\ 0 & -5 & 0 \\ -5 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
आव्यूह गुणन करने पर:
पंक्ति $1$: $(0)(0) + (0)(0) + (-5)(-5) = 25$,$(0)(0) + (0)(-5) + (-5)(0) = 0$,$(0)(-5) + (0)(0) + (-5)(0) = 0$.
पंक्ति $2$: $(0)(0) + (-5)(0) + (0)(-5) = 0$,$(0)(0) + (-5)(-5) + (0)(0) = 25$,$(0)(-5) + (-5)(0) + (0)(0) = 0$.
पंक्ति $3$: $(-5)(0) + (0)(0) + (0)(-5) = 0$,$(-5)(0) + (0)(-5) + (0)(0) = 0$,$(-5)(-5) + (0)(0) + (0)(0) = 25$.
अतः,$A^2 = \begin{bmatrix} 25 & 0 & 0 \\ 0 & 25 & 0 \\ 0 & 0 & 25 \end{bmatrix} = 25 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 25 I$.
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है $A = [2]$ और $B = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,गुणनफल $BA$ की गणना करें:
$BA = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} [2] = \begin{bmatrix} 3 \times 2 \\ 4 \times 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 8 \end{bmatrix}$.
अब,परिवर्त आव्यूह $(BA)'$ ज्ञात करें:
$(BA)' = \begin{bmatrix} 6 & 8 \end{bmatrix}$.
नोट: दिए गए विकल्पों के आधार पर,मूल प्रश्न में आव्यूह $A$ में त्रुटि प्रतीत होती है। यदि $A = [1 \quad 2]$ माना जाए,तो $BA = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} [1 \quad 2] = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 8 \end{bmatrix}$.
अतः $(BA)' = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$,जो विकल्प $D$ से मेल खाता है।

(A) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} x & y \\ 0 & x \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$AB$ की गणना करें:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y \\ 0 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(x) + 1(0) & 1(y) + 1(x) \\ 0(x) + 1(0) & 0(y) + 1(x) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & x+y \\ 0 & x \end{bmatrix}$.
इसके बाद,$BA$ की गणना करें:
$BA = \begin{bmatrix} x & y \\ 0 & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x(1) + y(0) & x(1) + y(1) \\ 0(1) + x(0) & 0(1) + x(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & x+y \\ 0 & x \end{bmatrix}$.
चूंकि $AB = BA$ है,इसलिए आव्यूह $B$ का रूप $\begin{bmatrix} x & y \\ 0 & x \end{bmatrix}$ होना चाहिए।
अतः,विकल्प $A$ सही उत्तर है।