Types of matrices, Algebra of matrices Questions in Hindi

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 12 \\ 18 & 31 \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
समीकरण $\alpha A^2 - \beta A = 2I$ में $A^2$ और $A$ का मान रखने पर:
$\alpha \begin{bmatrix} 7 & 12 \\ 18 & 31 \end{bmatrix} - \beta \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
इससे हमें आव्यूह समीकरण प्राप्त होता है:
$\begin{bmatrix} 7\alpha - \beta & 12\alpha - 2\beta \\ 18\alpha - 3\beta & 31\alpha - 5\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$.
तत्वों की तुलना करने पर:
$7\alpha - \beta = 2$ $(i)$
$12\alpha - 2\beta = 0 \Rightarrow 6\alpha - \beta = 0$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ से $(ii)$ घटाने पर $\alpha = 2$ प्राप्त होता है।
$\alpha = 2$ को समीकरण $(ii)$ में रखने पर,$6(2) - \beta = 0 \Rightarrow \beta = 12$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\alpha^2 + \beta = (2)^2 + 12 = 4 + 12 = 16$.

(C) दिया गया है: $A=\begin{bmatrix} a & 3 & 5 \\ 5 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix} b & 1 & 4 \\ 4 & c & 1 \\ -3 & 1 & d \end{bmatrix}$।
चूंकि $A$ का ट्रेस $-4$ है,हमारे पास $a - 1 - 4 = -4$ है,जिसका अर्थ है $a = 1$ है।
अब,गुणनफल $AB$ की गणना करें:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 5 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b & 1 & 4 \\ 4 & c & 1 \\ -3 & 1 & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b-3 & 3c+6 & 5d+7 \\ 5b-13 & 8-c & 3d+19 \\ 2b+24 & 3c-2 & 11-4d \end{bmatrix}$।
इसे दिए गए आव्यूह $\begin{bmatrix} -1 & 0 & 17 \\ -3 & 10 & 25 \\ 28 & -8 & 3 \end{bmatrix}$ के साथ तुलना करने पर:
$b-3 = -1$ से,हमें $b = 2$ प्राप्त होता है।
$3c+6 = 0$ से,हमें $c = -2$ प्राप्त होता है।
$5d+7 = 17$ से,हमें $5d = 10$ प्राप्त होता है,इसलिए $d = 2$ है।
अतः,$a+b+c+d = 1 + 2 - 2 + 2 = 3$।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
इसके बाद,$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
चूंकि $A^3 = I$,हम $A^5$ को इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं:
$A^5 = A^3 \cdot A^2 = I \cdot A^2 = A^2$.
चूंकि $A^3 = I$,इसलिए $A^2 = A^{-1}$ होता है।
अतः,$A^5 = A^{-1}$।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$।
चूंकि $A^2 = O$ (शून्य आव्यूह),इसलिए $A$ की सभी उच्च घातें भी शून्य आव्यूह होंगी,अर्थात $n \geq 2$ के लिए $A^n = O$।
दिया गया है $f(x) = x + x^2 + \dots + x^{2018}$,इसलिए:
$f(A) = A + A^2 + A^3 + \dots + A^{2018}$।
$A$ की घातें रखने पर:
$f(A) = A + O + O + \dots + O = A$।
अब,$f(A) + I$ की गणना करते हैं:
$f(A) + I = A + I = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
हम $A$ की घातों की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
अवलोकन द्वारा,हम अनुमान लगाते हैं कि $A^n = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
अब,व्यंजक $nA - (n-1)I$ का मूल्यांकन करें:
$nA - (n-1)I = n \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - (n-1) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} n & n \\ 0 & n \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} n-1 & 0 \\ 0 & n-1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} n - (n-1) & n - 0 \\ 0 - 0 & n - (n-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = A^n$.
अतः,$A^n = nA - (n-1)I$ सही है।

(D) दिया गया है,$A=\left[\begin{array}{rr}i & -i \\ -i & i\end{array}\right]$ और $B=\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right]$।
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \left[\begin{array}{rr}i & -i \\ -i & i\end{array}\right] \left[\begin{array}{rr}i & -i \\ -i & i\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}i^2+i^2 & -i^2-i^2 \\ -i^2-i^2 & i^2+i^2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}-2 & 2 \\ 2 & -2\end{array}\right] = -2 \left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right] = -2B$।
अब,$A^2 = -2B$ का उपयोग करके $A^8$ ज्ञात करें:
$A^8 = (A^2)^4 = (-2B)^4 = (-2)^4 B^4 = 16 B^4$।
आगे,$B^2$ की गणना करें:
$B^2 = \left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}2 & -2 \\ -2 & 2\end{array}\right] = 2B$।
अतः $B^4 = (B^2)^2 = (2B)^2 = 4B^2 = 4(2B) = 8B$।
अंत में,$A^8 = 16(8B) = 128B$।

(A) दिया गया है कि,$A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \dots (i)$
सबसे पहले,हम $A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$
इसके बाद,हम $A^3$ की गणना करते हैं:
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}$
अब,$A^3 - A^2$ की गणना करते हैं:
$A^3 - A^2 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$
चूँकि $A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$,इसलिए $2A = 2 \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$।
अतः,$A^3 - A^2 = 2A$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $A + 2B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 6 & -3 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$
$(2)$ $2A - B = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 2 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$
समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$4A - 2B = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 10 \\ 4 & -2 & 12 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix}$ $(3)$
$(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$5A = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 10 & -5 & 15 \\ -5 & 5 & 5 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
$\operatorname{tr}(A) = 1 + (-1) + 1 = 1$
$(1)$ से,$2B = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 4 & -2 & 0 \\ -4 & 2 & 0 \end{bmatrix}$
$B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
$\operatorname{tr}(B) = 0 + (-1) + 0 = -1$
$\operatorname{tr}(A) - \operatorname{tr}(B) = 1 - (-1) = 2$

(D) दिए गए आव्यूह: $P_{2 \times 3}$,$X_{4 \times 3}$,$Y_{4 \times 3}$ हैं।
$X^T$ की कोटि $3 \times 4$ है।
$P^T$ की कोटि $3 \times 2$ है।
$X^T Y$ की कोटि $(3 \times 4) \times (4 \times 3) = 3 \times 3$ है।
$(X^T Y)^{-1}$ की कोटि $3 \times 3$ है।
$P(X^T Y)^{-1}$ की कोटि $(2 \times 3) \times (3 \times 3) = 2 \times 3$ है।
$P(X^T Y)^{-1} P^T$ की कोटि $(2 \times 3) \times (3 \times 2) = 2 \times 2$ है।
अंत में,$2 \times 2$ आव्यूह का परिवर्त (transpose) भी $2 \times 2$ ही रहता है।

(B) दिया गया है कि $A$ और $B$ सममित आव्यूह हैं,इसलिए $A^{\prime} = A$ और $B^{\prime} = B$ है।
आव्यूह $(AB - BA)$ का परिवर्त लेने पर:
$(AB - BA)^{\prime} = (AB)^{\prime} - (BA)^{\prime}$
गुणधर्म $(XY)^{\prime} = Y^{\prime}X^{\prime}$ का उपयोग करने पर:
$(AB - BA)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime} - A^{\prime}B^{\prime}$
$A^{\prime} = A$ और $B^{\prime} = B$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(AB - BA)^{\prime} = BA - AB$
$(AB - BA)^{\prime} = -(AB - BA)$
चूंकि आव्यूह $(AB - BA)$ का परिवर्त उसके ऋणात्मक के बराबर है,इसलिए $(AB - BA)$ एक विषम-सममित आव्यूह है।

(C) दिया गया है $P = \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$.
यहाँ $P$ एक रोटेशन मैट्रिक्स $R_{\theta}$ है जहाँ $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।
रोटेशन मैट्रिक्स का गुणधर्म है कि $R_{\theta}^n = R_{n\theta}$.
इसलिए,$P^3 = R_{3 \times \frac{\pi}{4}} = R_{\frac{3\pi}{4}} = \begin{bmatrix} \cos \frac{3\pi}{4} & -\sin \frac{3\pi}{4} \\ \sin \frac{3\pi}{4} & \cos \frac{3\pi}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$.
अब,$P^3 X = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$.
$P^3 X = \begin{bmatrix} (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) \\ (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
रोटेशन मैट्रिक्स के गुणधर्म के अनुसार,$A^n = \begin{bmatrix} \cos n \theta & -\sin n \theta \\ \sin n \theta & \cos n \theta \end{bmatrix}$.
$n = 100$ के लिए,$A^{100} = \begin{bmatrix} \cos 100 \theta & -\sin 100 \theta \\ \sin 100 \theta & \cos 100 \theta \end{bmatrix}$.
यहाँ $\theta = \frac{2 \pi}{7}$ है,इसलिए $100 \theta = \frac{200 \pi}{7}$.
हम लिख सकते हैं कि $\frac{200 \pi}{7} = \frac{196 \pi + 4 \pi}{7} = 28 \pi + \frac{4 \pi}{7}$.
चूँकि $\cos(28 \pi + \alpha) = \cos \alpha$ और $\sin(28 \pi + \alpha) = \sin \alpha$,इसलिए $A^{100} = \begin{bmatrix} \cos \frac{4 \pi}{7} & -\sin \frac{4 \pi}{7} \\ \sin \frac{4 \pi}{7} & \cos \frac{4 \pi}{7} \end{bmatrix} = A^2$.

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम जाँचते हैं कि क्या $A$ सममित है या विषम-सममित। परिवर्त आव्यूह $A^T = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = A$ है। चूँकि $A^T = A$,इसलिए $A$ एक सममित आव्यूह है।
अब,हम $A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$ की गणना करते हैं।
चूँकि $A^2 = I$,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & i \end{bmatrix}$.
$A$ की घातों की गणना करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1+i \\ 0 & i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1+i \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
$A^4 = A^2 \times A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1+i \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1+i \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1+i-1-i \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
चूंकि $A^4 = I$,इसलिए $A^{2018} = A^{2016} \times A^2 = (A^4)^{504} \times A^2 = I^{504} \times A^2 = A^2$.
अतः,$A^{2018} = \begin{bmatrix} 1 & 1+i \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
तुलना करने पर,$a=1$ और $d=-1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a+d = 1 + (-1) = 0$.

(C) माना कि दिए गए समीकरण हैं:
$(0\,1\,2) M = (1\,0\,0)$ --- $(i)$
$(3\,4\,5) M = (0\,1\,0)$ --- $(ii)$
हमें $(6\,7\,8) M$ का मान ज्ञात करना है।
पंक्ति सदिशों $(0\,1\,2)$ और $(3\,4\,5)$ के रैखिक संयोजन पर विचार करें।
माना $x(0\,1\,2) + y(3\,4\,5) = (6\,7\,8)$.
घटकों की तुलना करने पर:
$3y = 6 \Rightarrow y = 2$
$x + 4y = 7 \Rightarrow x + 8 = 7 \Rightarrow x = -1$
$2x + 5y = 2(-1) + 5(2) = -2 + 10 = 8$. यह तीसरे घटक से मेल खाता है।
अतः, $(6\,7\,8) = -1(0\,1\,2) + 2(3\,4\,5)$.
दाहिनी ओर $M$ से गुणा करने पर:
$(6\,7\,8) M = -1((0\,1\,2) M) + 2((3\,4\,5) M)$
$(6\,7\,8) M = -1(1\,0\,0) + 2(0\,1\,0)$
$(6\,7\,8) M = (-1\,0\,0) + (0\,2\,0) = (-1\,2\,0)$.

(D) आव्यूह बीजगणित में,दो गैर-शून्य आव्यूहों का गुणनफल एक शून्य आव्यूह हो सकता है।
उदाहरण के लिए,$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ पर विचार करें।
$A$ और $B$ दोनों गैर-शून्य आव्यूह हैं,लेकिन उनका गुणनफल $AB = O_{3}$ है।
इसलिए,यह संभव है कि $A \neq O_{3}$ और $B \neq O_{3}$।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।
हम $A$ की घातों की गणना करते हैं:
$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \frac{2(2+1)}{2} \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & \frac{3(3+1)}{2} \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।
इस पैटर्न का अवलोकन करने पर,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,हमें प्राप्त होता है:
$A^n = \begin{bmatrix} 1 & n & \frac{n(n+1)}{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।

(C) दिया गया है $Q = \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{bmatrix}$ और $x = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$.
हम जानते हैं कि मैट्रिक्स $Q(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ एक रोटेशन मैट्रिक्स को दर्शाता है।
रोटेशन मैट्रिक्स के गुणधर्म के अनुसार,$Q^{n}(\theta) = Q(n\theta)$.
इसलिए,$Q^{3} = Q\left(3 \times \frac{\pi}{4}\right) = Q\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \begin{bmatrix} \cos \frac{3\pi}{4} & -\sin \frac{3\pi}{4} \\ \sin \frac{3\pi}{4} & \cos \frac{3\pi}{4} \end{bmatrix}$.
त्रिकोणमितीय मान रखने पर: $\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \frac{3\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$Q^{3} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$.
अब,$Q^{3}x = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$ की गणना करते हैं।
$Q^{3}x = \begin{bmatrix} (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) \\ (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}$.

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.
हम $A = 2I + B$ लिख सकते हैं,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
ध्यान दें कि $B^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
चूँकि $2I$ और $B$ क्रमविनिमेय हैं,द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$A^n = (2I + B)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (2I)^{n-k} B^k = \binom{n}{0} (2I)^n + \binom{n}{1} (2I)^{n-1} B + 0 + ...$
$A^n = 2^n I + n(2^{n-1}) B = 2^n \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + n 2^{n-1} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
$A^n = \begin{bmatrix} 2^n & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 2^n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ n 2^n & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2^n & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ n 2^n & 0 & 2^n \end{bmatrix}$.
दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 2^n$ और $b = n 2^n$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$.
हम $P^2$ और $P^3$ की गणना करते हैं:
$P^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$.
$P^3 = P^2 \cdot P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -8 \end{bmatrix}$.
अब,$P^3 + 2P^2$ की गणना करते हैं:
$P^3 + 2P^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -8 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+2 & 0 & 0 \\ 0 & -1+2 & 0 \\ 0 & 0 & -8+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,हम $2I + P$ की जाँच करते हैं:
$2I + P = 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2+1 & 0 & 0 \\ 0 & 2-1 & 0 \\ 0 & 0 & 2-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
अतः,$P^3 + 2P^2 = 2I + P$ है।

(A) दिया गया है,$P = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $P^2 = P \cdot P$ की गणना करते हैं:
$P^2 = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix}$
$P^2 = \begin{bmatrix} (4+2-4) & (-4-6+8) & (-8-8+12) \\ (-2-3+4) & (2+9-8) & (4+12-12) \\ (2+2-3) & (-2-6+6) & (-4-8+9) \end{bmatrix}$
$P^2 = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix} = P$.
चूंकि $P^2 = P$,इसलिए $P^3 = P^2 \cdot P = P \cdot P = P^2 = P$ होता है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत से,सभी धनात्मक पूर्णांक $n \ge 1$ के लिए $P^n = P$ होता है।
अतः,$P^5 = P$।

(A) दिया है,$P = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$.
हमें $Q = P P^{T}$ ज्ञात करना है।
$P^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$Q = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$Q = \begin{bmatrix} (1 \times 1 + 2 \times 2 + 1 \times 1) & (1 \times 1 + 2 \times 3 + 1 \times 1) \\ (1 \times 1 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (1 \times 1 + 3 \times 3 + 1 \times 1) \end{bmatrix}$.
$Q = \begin{bmatrix} (1 + 4 + 1) & (1 + 6 + 1) \\ (1 + 6 + 1) & (1 + 9 + 1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 8 & 11 \end{bmatrix}$.
अब,$Q$ का सारणिक $|Q| = (6 \times 11) - (8 \times 8)$.
$|Q| = 66 - 64 = 2$.

(C) योग $A+B$ को परिभाषित होने के लिए,आव्यूह $A$ और $B$ का क्रम समान होना चाहिए,मान लीजिए $m \times n$ है।
गुणनफल $AB$ को परिभाषित होने के लिए,$A$ में स्तंभों की संख्या $B$ में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
चूंकि $A$ का क्रम $m \times n$ है,इसमें $n$ स्तंभ हैं। चूंकि $B$ का क्रम $m \times n$ है,इसमें $m$ पंक्तियाँ हैं।
इसलिए,$AB$ के परिभाषित होने के लिए,हमारे पास $n = m$ होना चाहिए।
चूंकि $m = n$ है,इसलिए दोनों आव्यूहों का क्रम $n \times n$ समान है,जिसका अर्थ है कि वे समान क्रम के वर्ग आव्यूह हैं।

(A) गुणनफल $AB$ ज्ञात करने के लिए,हम आव्यूह $A$ की पंक्तियों का आव्यूह $B$ के स्तंभों से गुणा करते हैं:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \\ 5 & 0 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (2 \times 1 + 1 \times 0 + 3 \times 5) & (2 \times -1 + 1 \times 2 + 3 \times 0) \\ (4 \times 1 + 1 \times 0 + 0 \times 5) & (4 \times -1 + 1 \times 2 + 0 \times 0) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (2 + 0 + 15) & (-2 + 2 + 0) \\ (4 + 0 + 0) & (-4 + 2 + 0) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 17 & 0 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}$

(A) $3 \times 3$ आव्यूह $A$ के तत्वों के लिए दी गई शर्तें:
$a_{ij} = 0$ यदि $i = j$
$a_{ij} = 1$ यदि $i > j$
$a_{ij} = -1$ यदि $i < j$
आव्यूह $A$ का निर्माण करने पर:
$A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
अब,परिवर्त आव्यूह $A^T$ ज्ञात करें:
$A^T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{bmatrix} = -A$
चूंकि $A^T = -A$,इसलिए आव्यूह $A$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
अब,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 0(0 - (-1)) - (-1)(0 - (-1)) + (-1)(1 - 0)$
$|A| = 0 + 1(1) - 1(1) = 1 - 1 = 0$
चूंकि सारणिक $|A| = 0$ है,इसलिए आव्यूह singular है और इसका व्युत्क्रम संभव नहीं है।

(A) एक आव्यूह $A = [a_{ij}]$ के विषम-सममित होने के लिए,इसे सभी $i, j$ के लिए $a_{ij} = -a_{ji}$ और सभी $i$ के लिए $a_{ii} = 0$ की शर्त को पूरा करना होगा।
$1$. विकर्ण के अवयव $a_{ii}$ शून्य होने चाहिए। $n$ विकर्ण अवयवों के लिए केवल $1$ विकल्प है।
$2$. विकर्ण के बाहर के अवयवों के लिए,हमें केवल उन अवयवों $a_{ij}$ को चुनना है जहाँ $i < j$ है। एक बार इन्हें चुन लेने के बाद,$a_{ji}$ अवयव स्वतः ही $a_{ji} = -a_{ij}$ के रूप में निर्धारित हो जाते हैं।
$3$. ऐसी जोड़ियों $(i, j)$ की संख्या जहाँ $i < j$ है,वह $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ है।
$4$. इन $\frac{n(n-1)}{2}$ स्थानों में से प्रत्येक को $3$ मानों: $\{0, 1, -1\}$ में से किसी एक से भरा जा सकता है।
$5$. अतः,ऐसे विषम-सममित आव्यूहों की कुल संख्या $3^{\frac{n(n-1)}{2}}$ है।

(B) एक आव्यूह $A$ लांबिक (orthogonal) होता है यदि $A^T A = I$ हो।
दोनों पक्षों का सारणिक (determinant) लेने पर,हमें $|A^T A| = |I|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|A^T| = |A|$,हमारे पास $|A|^2 = 1$ है,जिसका अर्थ है कि $|A| = \pm 1$।
चूंकि $|A| \neq 0$,प्रत्येक लांबिक आव्यूह एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह होता है।
अतः,$Q \subseteq P$।
चूंकि ऐसे कई व्युत्क्रमणीय आव्यूह मौजूद हैं जो लांबिक नहीं हैं (उदाहरण के लिए,$1$ या $-1$ के अलावा अन्य प्रविष्टियों वाला कोई भी विकर्ण आव्यूह),इसलिए $Q$,$P$ का एक उचित उपसमुच्चय है।

(A) आव्यूह $A$ $3D$ स्थान में $z$-अक्ष के परितः $\theta = \frac{2\pi}{n}$ कोण पर एक घूर्णन आव्यूह को दर्शाता है।
घूर्णन आव्यूह के गुणधर्म के अनुसार,$A^k = \begin{bmatrix} \cos (k\theta) & \sin (k\theta) & 0 \\ -\sin (k\theta) & \cos (k\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ होता है।
$A^n$ के लिए,हमारे पास $k = n$ है,इसलिए $k\theta = n \times \frac{2\pi}{n} = 2\pi$ है।
अतः,$A^n = \begin{bmatrix} \cos (2\pi) & \sin (2\pi) & 0 \\ -\sin (2\pi) & \cos (2\pi) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$ है।
$A^{n-1}$ के लिए,कोण $(n-1) \times \frac{2\pi}{n} = 2\pi - \frac{2\pi}{n}$ है।
चूंकि $n \geq 2$,$\frac{2\pi}{n}$ $2\pi$ का गुणज नहीं है,इसलिए $A^{n-1} \neq I$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) तत्समक आव्यूह $I$ को $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ द्वारा दर्शाया गया है।
$I$ के स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करने पर क्रमचय आव्यूह (permutation matrices) प्राप्त होते हैं।
एक $3 \times 3$ आव्यूह के लिए,$3$ स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ है।
अतः,$P$ के लिए $6$ अलग-अलग विकल्प हैं।
चूंकि $P$ एक क्रमचय आव्यूह है,इसका सारणिक (determinant) क्रमचय के चिह्न के बराबर होता है,जो या तो $1$ या $-1$ होता है।
इसलिए,$\operatorname{det}(P) = \pm 1$.
अतः,$P$ के लिए छह अलग-अलग विकल्प हैं और $\operatorname{det}(P) = \pm 1$ है।

(B) समुच्चय $A = \{-1, 0, 1\}$ एक परिमित समुच्चय है जिसकी कार्डिनैलिटी $n(A) = 3$ है।
समुच्चय $T$ में $3 \times 3$ कोटि के सभी ऑर्थोगोनल आव्यूह शामिल हैं। ऑर्थोगोनल आव्यूहों का समूह $O(3)$ एक अनंत समुच्चय है।
समुच्चय $U$ में $3 \times 3$ कोटि के सभी व्युत्क्रमणीय आव्यूह शामिल हैं,जो जनरल लीनियर ग्रुप $GL(3, \mathbb{R})$ है। यह भी एक अनंत समुच्चय है।
दो समुच्चयों के बीच एकैकी-आच्छादक प्रतिचित्रण तभी मौजूद होता है जब उनकी कार्डिनैलिटी समान हो।
चूंकि $n(A) = 3$ है और $T$ तथा $U$ दोनों अनंत समुच्चय हैं,इसलिए $n(A) \neq n(T)$ और $n(A) \neq n(U)$ है।
अतः,$A$ और $T$ के बीच,या $A$ और $U$ के बीच कोई एकैकी-आच्छादक प्रतिचित्रण मौजूद नहीं है।

(A) एक सममित आव्यूह के लिए,$A^T = A$,जिसका अर्थ है कि सभी $i, j$ के लिए $A_{ij} = A_{ji}$।
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$A_{12} = A_{21} \Rightarrow x^2 + 3x = -2x - 6$
$x^2 + 5x + 6 = 0$
$(x + 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -2$ या $x = -3$।
$A_{23} = A_{32} \Rightarrow -4x - 2 = x^2 + 2$
$x^2 + 4x + 4 = 0$
$(x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2$।
चूंकि दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट होना चाहिए,इसलिए सामान्य मान $x = -2$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$ की गणना करें।
चूंकि $A^2 = I$,इसलिए $A^3 = A^2 \cdot A = I \cdot A = A$ होता है।
अब,$(A+I)^3 = A^3 + 3A^2I + 3AI^2 + I^3 = A + 3I + 3A + I = 4A + 4I$ का विस्तार करें।
इसके बाद,$(A-I)^3 = A^3 - 3A^2I + 3AI^2 - I^3 = A - 3I + 3A - I = 4A - 4I$ का विस्तार करें।
अंत में,दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $(4A+4I) + (4A-4I) = 8A$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2 \times 2 + 3 \times 4) & (2 \times 3 + 3 \times 5) \\ (4 \times 2 + 5 \times 4) & (4 \times 3 + 5 \times 5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & 21 \\ 28 & 37 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
अब,$A^2 - 2I = \begin{bmatrix} 16 & 21 \\ 28 & 37 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & 21 \\ 28 & 35 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
हम परिणामी आव्यूह से $7$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं: $\begin{bmatrix} 14 & 21 \\ 28 & 35 \end{bmatrix} = 7 \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} = 7A$।
इसकी तुलना $A^2 - 2I = KA$ से करने पर,हमें $K = 7$ प्राप्त होता है।

(B) माना $C = AB - BA$ है।
$C$ का परिवर्त आव्यूह लेने पर,$C^T = (AB - BA)^T$ प्राप्त होता है।
$(X - Y)^T = X^T - Y^T$ और $(XY)^T = Y^T X^T$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$C^T = (AB)^T - (BA)^T = B^T A^T - A^T B^T$ प्राप्त होता है।
चूँकि $A$ और $B$ विषम-सममित हैं,इसलिए $A^T = -A$ और $B^T = -B$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$C^T = (-B)(-A) - (-A)(-B) = BA - AB$ प्राप्त होता है।
ऋण चिह्न को बाहर निकालने पर,$C^T = -(AB - BA) = -C$ प्राप्त होता है।
चूँकि $C^T = -C$ है,इसलिए आव्यूह $AB - BA$ एक विषम-सममित आव्यूह है।

(C) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & -a \end{bmatrix}$।
हम $A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & -a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & -a \end{bmatrix}$ की गणना करते हैं।
मैट्रिक्स गुणन करने पर: $A^2 = \begin{bmatrix} a^2 + bc & ab - ab \\ ac - ac & bc + a^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 + bc & 0 \\ 0 & a^2 + bc \end{bmatrix}$।
यह दिया गया है कि $A^2 = I$,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,इसलिए हम मैट्रिसेस की तुलना करते हैं:
$\begin{bmatrix} a^2 + bc & 0 \\ 0 & a^2 + bc \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
अवयवों की तुलना करने पर,हमें $a^2 + bc = 1$ प्राप्त होता है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $1 - a^2 - bc = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$,अतः $A^2 = \begin{bmatrix} 2^2 & 0 & 0 \\ 0 & 3^2 & 0 \\ 0 & 0 & 4^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 16 \end{bmatrix}$.
दिया गया है $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}$,अतः $B^2 = \begin{bmatrix} 1^2 & 0 & 0 \\ 0 & (-2)^2 & 0 \\ 0 & 0 & (-3)^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$.
इसलिए,$A^2 + B^2 = \begin{bmatrix} 4+1 & 0 & 0 \\ 0 & 9+4 & 0 \\ 0 & 0 & 16+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 13 & 0 \\ 0 & 0 & 25 \end{bmatrix}$.