Properties of determinants Questions in Hindi

(C) मान लीजिए कि $A$ एक ऐसा वर्ग आव्यूह है कि $AA^T = I$,जहाँ $I$ एक तत्समक आव्यूह है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $|AA^T| = |I|$ प्राप्त होता है।
सारणिक के गुणधर्म $|AB| = |A||B|$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $|A||A^T| = |I|$ है।
चूँकि एक आव्यूह और उसके परिवर्त आव्यूह का सारणिक समान होता है,इसलिए $|A| = |A^T|$।
अतः,$|A||A| = 1$,जिसका अर्थ है कि $|A|^2 = 1$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|A| = \pm 1$ प्राप्त होता है।

(D) सारणिक का गुणधर्म यह बताता है कि यदि किसी स्तंभ (या पंक्ति) का प्रत्येक अवयव $k$ पदों का योग है,तो सारणिक को $k$ सारणिकों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
एक $3 \times 3$ सारणिक दिया गया है:
स्तंभ $1$ में $2$ पद हैं,इसलिए इसे $2$ सारणिकों में विभाजित किया जा सकता है।
स्तंभ $2$ में $3$ पद हैं,इसलिए उन $2$ सारणिकों में से प्रत्येक को $3$ सारणिकों में विभाजित किया जा सकता है,जिसके परिणामस्वरूप $2 \times 3 = 6$ सारणिक प्राप्त होते हैं।
स्तंभ $3$ में $4$ पद हैं,इसलिए उन $6$ सारणिकों में से प्रत्येक को $4$ सारणिकों में विभाजित किया जा सकता है,जिसके परिणामस्वरूप $6 \times 4 = 24$ सारणिक प्राप्त होते हैं।
अतः,सारणिकों की कुल संख्या $n = 2 \times 3 \times 4 = 24$ है।

(A) दिया गया है $F(x) = \left| \begin{matrix} {f_1}(x) & {f_2}(x) & {f_3}(x) \\ {g_1}(x) & {g_2}(x) & {g_3}(x) \\ {h_1}(x) & {h_2}(x) & {h_3}(x) \end{matrix} \right|$.
$x = a$ पर,सारणिक इस प्रकार होगा:
$F(a) = \left| \begin{matrix} {f_1}(a) & {f_2}(a) & {f_3}(a) \\ {g_1}(a) & {g_2}(a) & {g_3}(a) \\ {h_1}(a) & {h_2}(a) & {h_3}(a) \end{matrix} \right|$.
चूंकि यह दिया गया है कि ${f_n}(a) = {g_n}(a) = {h_n}(a)$ जहाँ $n = 1, 2, 3$,मान लीजिए $k_n = {f_n}(a) = {g_n}(a) = {h_n}(a)$.
तब सारणिक इस प्रकार हो जाता है:
$F(a) = \left| \begin{matrix} k_1 & k_2 & k_3 \\ k_1 & k_2 & k_3 \\ k_1 & k_2 & k_3 \end{matrix} \right|$.
चूंकि तीनों पंक्तियाँ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(C) मान लीजिए कि दिया गया समीकरण $D_1 + D_2 = 0$ है।
सबसे पहले,हम देखते हैं कि दूसरे सारणिक $D_2$ को उसके मान को बदले बिना ट्रांसपोज़ किया जा सकता है।
$D_2 = \left| \begin{array}{ccc} a+1 & a-1 & (-1)^{n+2}a \\ b+1 & b-1 & (-1)^{n+1}b \\ c-1 & c+1 & (-1)^n c \end{array} \right|$.
दोनों सारणिकों को जोड़ने पर,हम पाते हैं कि $a, b, c$ के किसी भी मान के लिए योग शून्य होने के लिए स्तंभों को एक-दूसरे को निरस्त करना होगा।
विशेष रूप से,यदि $n$ एक विषम पूर्णांक है,तो $(-1)^{n+2} = -1$,$(-1)^{n+1} = 1$,और $(-1)^n = -1$ होता है।
इन मानों को सारणिकों के योग में प्रतिस्थापित करने पर,पद शून्य हो जाते हैं।
अतः,$n$ कोई भी विषम पूर्णांक होना चाहिए।

(A) कथन-$1$ के लिए: एक विषम-सममित आव्यूह $A$ के लिए $A^T = -A$ होता है। दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$\det(A^T) = \det(-A)$ प्राप्त होता है। $n$ कोटि के आव्यूह के लिए $\det(A^T) = \det(A)$ और $\det(-A) = (-1)^n \det(A)$ होता है,इसलिए $\det(A) = (-1)^n \det(A)$ प्राप्त होता है। $n=3$ के लिए,$\det(A) = -\det(A)$,जिसका अर्थ है $2 \det(A) = 0$,अतः $\det(A) = 0$। इस प्रकार,कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$ के लिए: गुणधर्म $\det(A^T) = \det(A)$ हमेशा सत्य है। $n$ कोटि के आव्यूह के लिए $\det(-A) = (-1)^n \det(A)$ गुणधर्म भी सत्य है। इसलिए,कथन-$2$ सत्य है।
चूंकि कथन-$2$ उन गणितीय गुणों को प्रदान करता है जिनका उपयोग कथन-$1$ को सिद्ध करने के लिए किया जाता है,इसलिए यह कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

(B) माना $\Delta = \left| \begin{matrix} x - 4 & 2x & 2x \\ 2x & x - 4 & 2x \\ 2x & 2x & x - 4 \end{matrix} \right|$ है।
संक्रिया $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left| \begin{matrix} 5x - 4 & 5x - 4 & 5x - 4 \\ 2x & x - 4 & 2x \\ 2x & 2x & x - 4 \end{matrix} \right| = (5x - 4) \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2x & x - 4 & 2x \\ 2x & 2x & x - 4 \end{matrix} \right|$.
$C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$\Delta = (5x - 4) \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2x & -x - 4 & 0 \\ 2x & 0 & -x - 4 \end{matrix} \right| = (5x - 4)(-x - 4)^2 = (5x - 4)(x + 4)^2$.
इसे $(A + Bx)(x - A)^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $(A + Bx)(x - A)^2 = (5x - 4)(x - (-4))^2$.
अतः,$A = -4$ और $B = 5$ है।
इसलिए,क्रमित युग्म $(A, B) = (-4, 5)$ है।

(B) माना सारणिक $\Delta$ है। स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_3$ लागू करें।
$\cos(A-B) + \cos(A+B) = 2\cos A \cos B$ और $\sin(A-B) + \sin(A+B) = 2\sin A \cos B$ सूत्र का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$C_1 = \begin{bmatrix} 1+a^2 \\ 2\cos px \cos dx \\ 2\sin px \cos dx \end{bmatrix}$.
अब,$C_1 \to C_1 - 2\cos dx \cdot C_2$ लागू करें:
$C_1 = \begin{bmatrix} 1+a^2 - 2a\cos dx \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (1+a^2 - 2a\cos dx) \cdot [\cos px \sin(p+d)x - \sin px \cos(p+d)x]$.
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\Delta = (1+a^2 - 2a\cos dx) \cdot \sin((p+d)x - px) = (1+a^2 - 2a\cos dx) \sin dx$.
चूंकि अंतिम व्यंजक $(1+a^2 - 2a\cos dx) \sin dx$ में $p$ नहीं है,इसलिए सारणिक $p$ पर निर्भर नहीं करता है।

(A) हमें सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \omega^n & \omega^{2n} \\ \omega^n & \omega^{2n} & 1 \\ \omega^{2n} & 1 & \omega^n \end{vmatrix}$ दिया गया है।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\Delta = 1(\omega^n \cdot \omega^n - 1 \cdot 1) - \omega^n(\omega^n \cdot \omega^n - \omega^{2n} \cdot 1) + \omega^{2n}(\omega^n \cdot 1 - \omega^{2n} \cdot \omega^{2n})$
$\Delta = 1(\omega^{2n} - 1) - \omega^n(\omega^{2n} - \omega^{2n}) + \omega^{2n}(\omega^n - \omega^{4n})$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{3n} = 1$ और $\omega^{4n} = \omega^n$ होता है।
$\Delta = (\omega^{2n} - 1) - 0 + \omega^{2n}(\omega^n - \omega^n)$
$\Delta = \omega^{2n} - 1 + 0 = \omega^{2n} - 1$.
यदि हम स्तंभों का योग $C_1 + C_2 + C_3$ करें तो:
$1 + \omega^n + \omega^{2n}$ प्राप्त होता है।
यदि $n$,$3$ का गुणज नहीं है,तो $1 + \omega^n + \omega^{2n} = 0$ होता है,जिससे सारणिक $0$ हो जाता है।
यदि $n$,$3$ का गुणज है,तो $\omega^n = 1$ होता है,जिससे सारणिक $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$ हो जाता है।
अतः,सभी स्थितियों में $\Delta = 0$ है।

(D) दिया गया है कि ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \dots$ एक $G.P.$ में हैं जिसका सार्व अनुपात $r$ है।
अतः,${a_{n+1}} = {a_n} \cdot r$,जिसका अर्थ है $\log {a_{n+1}} = \log {a_n} + \log r$.
इसी प्रकार,$\log {a_{n+k}} = \log {a_n} + k \log r$.
मान लीजिए सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log {a_n} & \log {a_{n+1}} & \log {a_{n+2}} \\ \log {a_{n+3}} & \log {a_{n+4}} & \log {a_{n+5}} \\ \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+7}} & \log {a_{n+8}} \end{array} \right|$ है।
स्तंभ संक्रियाओं ${C_2} \to {C_2} - {C_1}$ और ${C_3} \to {C_3} - {C_2}$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log {a_n} & \log {a_{n+1}} - \log {a_n} & \log {a_{n+2}} - \log {a_{n+1}} \\ \log {a_{n+3}} & \log {a_{n+4}} - \log {a_{n+3}} & \log {a_{n+5}} - \log {a_{n+4}} \\ \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+7}} - \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+8}} - \log {a_{n+7}} \end{array} \right|$.
चूंकि किसी भी $k$ के लिए $\log {a_{n+k}} - \log {a_{n+k-1}} = \log r$ होता है,इसलिए सारणिक इस प्रकार हो जाता है:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log {a_n} & \log r & \log r \\ \log {a_{n+3}} & \log r & \log r \\ \log {a_{n+6}} & \log r & \log r \end{array} \right|$.
चूंकि स्तंभ $2$ और स्तंभ $3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(D) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left| \begin{array}{ccc} 1+a & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1+c \end{array} \right| = 0$.
$R_1$ को $a$ से,$R_2$ को $b$ से,और $R_3$ को $c$ से विभाजित करने पर: $abc \left| \begin{array}{ccc} \frac{1}{a}+1 & \frac{1}{a} & \frac{1}{a} \\ \frac{1}{b} & \frac{1}{b}+1 & \frac{1}{b} \\ \frac{1}{c} & \frac{1}{c} & \frac{1}{c}+1 \end{array} \right| = 0$.
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ संक्रिया लागू करने पर: $abc \left| \begin{array}{ccc} 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} & 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} & 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \\ \frac{1}{b} & \frac{1}{b}+1 & \frac{1}{b} \\ \frac{1}{c} & \frac{1}{c} & \frac{1}{c}+1 \end{array} \right| = 0$.
$R_1$ से $(1 + a^{-1} + b^{-1} + c^{-1})$ उभयनिष्ठ लेने पर: $abc(1 + a^{-1} + b^{-1} + c^{-1}) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ \frac{1}{b} & \frac{1}{b}+1 & \frac{1}{b} \\ \frac{1}{c} & \frac{1}{c} & \frac{1}{c}+1 \end{array} \right| = 0$.
चूंकि $a, b, c \neq 0$,सारणिक का भाग $1$ हो जाता है,इसलिए $1 + a^{-1} + b^{-1} + c^{-1} = 0$.
अतः,$a^{-1} + b^{-1} + c^{-1} = -1$.

(A) दिया गया है $D = \begin{vmatrix} a^2 + 1 & ab & ac \\ ba & b^2 + 1 & bc \\ ca & cb & c^2 + 1 \end{vmatrix}$.
$R_1$ को $a$ से,$R_2$ को $b$ से और $R_3$ को $c$ से गुणा करें और सारणिक को $abc$ से विभाजित करें:
$D = \frac{1}{abc} \begin{vmatrix} a(a^2 + 1) & a^2b & a^2c \\ ab^2 & b(b^2 + 1) & b^2c \\ ac^2 & bc^2 & c(c^2 + 1) \end{vmatrix}$.
क्रमशः $C_1, C_2, C_3$ से $a, b, c$ कॉमन लेने पर:
$D = \frac{abc}{abc} \begin{vmatrix} a^2 + 1 & a^2 & a^2 \\ b^2 & b^2 + 1 & b^2 \\ c^2 & c^2 & c^2 + 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a^2 + 1 & a^2 & a^2 \\ b^2 & b^2 + 1 & b^2 \\ c^2 & c^2 & c^2 + 1 \end{vmatrix}$.
$C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$D = \begin{vmatrix} a^2 + b^2 + c^2 + 1 & a^2 & a^2 \\ a^2 + b^2 + c^2 + 1 & b^2 + 1 & b^2 \\ a^2 + b^2 + c^2 + 1 & c^2 & c^2 + 1 \end{vmatrix} = (1 + a^2 + b^2 + c^2) \begin{vmatrix} 1 & a^2 & a^2 \\ 1 & b^2 + 1 & b^2 \\ 1 & c^2 & c^2 + 1 \end{vmatrix}$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$D = (1 + a^2 + b^2 + c^2) \begin{vmatrix} 1 & a^2 & a^2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1 + a^2 + b^2 + c^2)(1 - 0) = 1 + a^2 + b^2 + c^2$.

(D) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta$ है। हम जानते हैं कि $(p+q)^2 - (p-q)^2 = 4pq$ होता है।
स्तंभ संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ लागू करने पर,पहला स्तंभ इस प्रकार हो जाता है:
$(a^x + a^{-x})^2 - (a^x - a^{-x})^2 = 4(a^x)(a^{-x}) = 4(a^0) = 4$.
इसी प्रकार,दूसरी और तीसरी पंक्ति के लिए,पहले स्तंभ के अवयव $4$ हो जाते हैं।
अब सारणिक इस प्रकार होगा:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 4 & (a^x - a^{-x})^2 & 1 \\ 4 & (b^y - b^{-y})^2 & 1 \\ 4 & (c^z - c^{-z})^2 & 1 \end{array} \right|$.
पहले स्तंभ से $4$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = 4 \left| \begin{array}{ccc} 1 & (a^x - a^{-x})^2 & 1 \\ 1 & (b^y - b^{-y})^2 & 1 \\ 1 & (c^z - c^{-z})^2 & 1 \end{array} \right|$.
चूंकि पहला स्तंभ और तीसरा स्तंभ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(B) माना $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1} + {c_1}}&{{c_1} + {a_1}}&{{a_1} + {b_1}}\\{{b_2} + {c_2}}&{{c_2} + {a_2}}&{{a_2} + {b_2}}\\{{b_3} + {c_3}}&{{c_3} + {a_3}}&{{a_3} + {b_3}}\end{array}} \right|$ है।
संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2(a_1+b_1+c_1)}&{{c_1} + {a_1}}&{{a_1} + {b_1}}\\{2(a_2+b_2+c_2)}&{{c_2} + {a_2}}&{{a_2} + {b_2}}\\{2(a_3+b_3+c_3)}&{{c_3} + {a_3}}&{{a_3} + {b_3}}\end{array}} \right|$ प्राप्त होता है।
$C_1$ से $2$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = 2 \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1} + {b_1} + {c_1}}&{{c_1} + {a_1}}&{{a_1} + {b_1}}\\{{a_2} + {b_2} + {c_2}}&{{c_2} + {a_2}}&{{a_2} + {b_2}}\\{{a_3} + {b_3} + {c_3}}&{{c_3} + {a_3}}&{{a_3} + {b_3}}\end{array}} \right|$।
$C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ लागू करने पर:
$\Delta = 2 \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}&{{c_1} + {a_1}}&{{a_1} + {b_1}}\\{{b_2}}&{{c_2} + {a_2}}&{{a_2} + {b_2}}\\{{b_3}}&{{c_3} + {a_3}}&{{a_3} + {b_3}}\end{array}} \right|$।
$C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = 2 \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}&{{c_1}}&{{a_1} + {b_1}}\\{{b_2}}&{{c_2}}&{{a_2} + {b_2}}\\{{b_3}}&{{c_3}}&{{a_3} + {b_3}}\end{array}} \right|$।
$C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$\Delta = 2 \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}&{{c_1}}&{{a_1}}\\{{b_2}}&{{c_2}}&{{a_2}}\\{{b_3}}&{{c_3}}&{{a_3}}\end{array}} \right|$।
$C_1$ और $C_2$ को बदलने पर,फिर $C_2$ और $C_3$ को बदलने पर (दो बार बदलने पर,चिह्न धनात्मक रहेगा):
$\Delta = 2 \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\{{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}\end{array}} \right|$।

(A) माना $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + a + x}&{a + y}&{a + z}\\{b + x}&{1 + b + y}&{b + z}\\{c + x}&{c + y}&{1 + c + z}\end{array}} \right|$ है।
स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + a + b + c + x + y + z}&{a + y}&{a + z}\\{1 + a + b + c + x + y + z}&{1 + b + y}&{b + z}\\{1 + a + b + c + x + y + z}&{c + y}&{1 + c + z}\end{array}} \right|$ प्राप्त होता है।
माना $S = 1 + a + b + c + x + y + z$ है। अतः $\Delta = S \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{a + y}&{a + z}\\1&{1 + b + y}&{b + z}\\1&{c + y}&{1 + c + z}\end{array}} \right|$ है।
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = S \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{a + y}&{a + z}\\0&{1 + b - a}&{b - a}\\0&{c - a}&{1 + c - a}\end{array}} \right|$ प्राप्त होता है।
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = S \times [1 \times ((1 + b - a)(1 + c - a) - (b - a)(c - a))]$।
$\Delta = S \times [1 + c - a + b + bc - ab - a - ac + a^2 - (bc - ab - ac + a^2)]$।
$\Delta = S \times [1 + c - a + b - c + a] = S \times 1 = 1 + a + b + c + x + y + z$।

(C) दिया गया सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} a & a^3 & a^4 - 1 \\ b & b^3 & b^4 - 1 \\ c & c^3 & c^4 - 1 \end{array} \right| = 0$ है।
हम इसे दो सारणिकों में विभाजित कर सकते हैं:
$\left| \begin{array}{ccc} a & a^3 & a^4 \\ b & b^3 & b^4 \\ c & c^3 & c^4 \end{array} \right| - \left| \begin{array}{ccc} a & a^3 & 1 \\ b & b^3 & 1 \\ c & c^3 & 1 \end{array} \right| = 0$.
सारणिक के गुणों का उपयोग करते हुए,व्यंजक का सरलीकरण $\Delta = (a-b)(b-c)(c-a)(abc(a+b+c) - (ab+bc+ca)) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a, b, c$ भिन्न हैं,इसलिए $(a-b)(b-c)(c-a) \neq 0$।
अतः,$abc(a+b+c) - (ab+bc+ca) = 0$,जिसका अर्थ है कि $abc(a+b+c) = ab+bc+ca$।

(C) दिया गया सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \omega^3 & \omega^2 \\ \omega^3 & 1 & \omega \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{array} \right|$ है।
चूंकि $\omega$ इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है,हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ होता है।
सारणिक में $\omega^3 = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & \omega^2 \\ 1 & 1 & \omega \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{array} \right|$.
यहाँ ध्यान दें कि पहले दो स्तंभ समान हैं $(C_1 = C_2)$।
सारणिक के गुणों के अनुसार,यदि कोई भी दो स्तंभ या पंक्तियाँ समान हों,तो सारणिक का मान $0$ होता है।
अतः,$\Delta = 0$।

(B) सारणिकों के गुणधर्म के अनुसार,यदि किसी स्तंभ (या पंक्ति) का प्रत्येक अवयव $n$ पदों का योग है,तो सारणिक को $n$ सारणिकों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
दिए गए सारणिक में,प्रत्येक स्तंभ $2$ पदों का योग है।
स्तंभ $1$ में $2$ पद हैं $(a+p, b+q, c+r)$।
स्तंभ $2$ में $2$ पद हैं $(1+x, m+y, n+z)$।
स्तंभ $3$ में $2$ पद हैं $(u+f, v+g, w+h)$।
चूंकि यहाँ $3$ स्तंभ हैं और प्रत्येक स्तंभ में $2$ पद हैं,इसलिए बनने वाले सारणिकों की कुल संख्या $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$ होगी।
अतः,$K = 8$।

(A) $D_1$ के लिए,स्तंभ संक्रिया $C_3 \rightarrow C_3 - (C_1 + C_2)$ लागू करें:
$D_1 = \begin{vmatrix} a & b & a+b-(a+b) \\ c & d & c+d-(c+d) \\ a & b & a-b-(a+b) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ a & b & -2b \end{vmatrix}$।
$C_3$ के अनुदिश विस्तार करने पर,हमें $D_1 = -2b(ad - bc)$ प्राप्त होता है।
$D_2$ के लिए,स्तंभ संक्रिया $C_3 \rightarrow C_3 - (C_1 + C_2)$ लागू करें:
$D_2 = \begin{vmatrix} a & c & a+c-(a+c) \\ b & d & b+d-(b+d) \\ a & c & a+b+c-(a+c) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & c & 0 \\ b & d & 0 \\ a & c & b \end{vmatrix}$।
$C_3$ के अनुदिश विस्तार करने पर,हमें $D_2 = b(ad - bc)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{D_1}{D_2} = \frac{-2b(ad - bc)}{b(ad - bc)} = -2$।

(D) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \frac{a^2+b^2}{c} & c & c \\ a & \frac{b^2+c^2}{a} & a \\ b & b & \frac{c^2+a^2}{b} \end{array} \right|$ है।
$R_1$ से $1/c$,$R_2$ से $1/a$ और $R_3$ से $1/b$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} a^2+b^2 & c^2 & c^2 \\ a^2 & b^2+c^2 & a^2 \\ b^2 & b^2 & c^2+a^2 \end{array} \right|$ प्राप्त होता है।
$R_1 \rightarrow R_1 - (R_2 + R_3)$ लागू करने पर:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} 0 & -2b^2 & -2a^2 \\ a^2 & b^2+c^2 & a^2 \\ b^2 & b^2 & c^2+a^2 \end{array} \right|$ प्राप्त होता है।
$R_2 \rightarrow R_2 + \frac{1}{2}R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 + \frac{1}{2}R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} 0 & -2b^2 & -2a^2 \\ a^2 & c^2 & 0 \\ b^2 & 0 & c^2 \end{array} \right|$ प्राप्त होता है।
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = \frac{1}{abc} [0 - (-2b^2)(a^2c^2 - 0) + (-2a^2)(0 - b^2c^2)]$
$\Delta = \frac{1}{abc} [2a^2b^2c^2 + 2a^2b^2c^2] = \frac{4a^2b^2c^2}{abc} = 4abc$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\Delta = \alpha abc$ दिया गया है,इसलिए $\alpha = 4$ है।

(B) दिया गया है कि $|A| = 2$,$|B| = 3$,और $|C| = 5$ है।
सारणिक के गुणों का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $|A^k| = |A|^k$,$|AB| = |A||B|$,और $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ होता है।
अतः,$\det(A^2BC^{-1}) = |A^2| \cdot |B| \cdot |C^{-1}|$.
यह $|A|^2 \cdot |B| \cdot \frac{1}{|C|}$ में सरल हो जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(2)^2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{5} = 4 \cdot 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{12}{5}$।

(B) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & a+b & a+2b \\ a+2b & a & a+b \\ a+b & a+2b & a \end{array} \right|$.
$C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ संक्रिया लगाने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 3a+3b & a+b & a+2b \\ 3a+3b & a & a+b \\ 3a+3b & a+2b & a \end{array} \right| = 3(a+b) \left| \begin{array}{ccc} 1 & a+b & a+2b \\ 1 & a & a+b \\ 1 & a+2b & a \end{array} \right|$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ संक्रिया लगाने पर:
$\Delta = 3(a+b) \left| \begin{array}{ccc} 1 & a+b & a+2b \\ 0 & -b & -b \\ 0 & b & -2b \end{array} \right|$.
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 3(a+b) [1((-b)(-2b) - (-b)(b))] = 3(a+b) [2b^2 + b^2] = 3(a+b)(3b^2) = 9b^2(a+b)$.

(B) सारणिक $A$ ज्ञात करने के लिए,हम वस्तुनिष्ठ दृष्टिकोण के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग कर सकते हैं।
मान लीजिए $y = 0$ और $z = 0$ है।
तब आव्यूह $A$ इस प्रकार बनता है:
$A = \begin{bmatrix} 1 + x^2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - x^2 & 2x \\ 0 & -2x & 1 - x^2 \end{bmatrix}$.
इस आव्यूह का सारणिक $\det(A) = (1 + x^2) \cdot [(1 - x^2)^2 - (-2x)(2x)] = (1 + x^2) \cdot [1 - 2x^2 + x^4 + 4x^2] = (1 + x^2)(1 + 2x^2 + x^4) = (1 + x^2)(1 + x^2)^2 = (1 + x^2)^3$.
$y=0, z=0$ रखकर दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर:
$A: (1 + 0 + 0 + 0)^3 = 1$
$B: (1 + x^2 + 0 + 0)^3 = (1 + x^2)^3$
$C: (0 + 0 + 0)^3 = 0$
$D: (1 + x^3 + 0 + 0)^2 = (1 + x^3)^2$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया है ${I_1} = \int_1^{\sin \theta } {\frac{x}{{1 + x^2}}} dx$ और ${I_2} = \int_1^{\csc \theta } {\frac{1}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}} dx$.
${I_2}$ के लिए,$x = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ प्राप्त होता है।
जब $x=1, t=1$ और जब $x=\csc \theta, t=\sin \theta$.
${I_2} = \int_1^{\sin \theta } {\frac{{ - \frac{1}{t^2} dt}}{{\frac{1}{t}\left( {\frac{1}{t^2} + 1} \right)}}} = \int_1^{\sin \theta } {\frac{{ - \frac{1}{t^2} dt}}{{\frac{1}{t}\left( {\frac{{1 + t^2}}{{t^2}}} \right)}}} = \int_1^{\sin \theta } {\frac{{ - t dt}}{{1 + t^2}}} = - \int_1^{\sin \theta } {\frac{t}{{1 + t^2}}} dt = -{I_1}$.
अतः,${I_1} + {I_2} = 0$.
अब,सारणिक $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_1}}&{I_1^2}&{{I_2}} \\ {{e^{{I_1} + {I_2}}}}&{I_2^2}&{ - 1} \\ 1&{I_1^2 + I_2^2}&{ - 1} \end{array}} \right|$ पर विचार करें।
चूंकि ${I_1} + {I_2} = 0$,इसलिए $e^{{I_1} + {I_2}} = e^0 = 1$.
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_1}}&{I_1^2}&{{I_2}} \\ 1&{I_2^2}&{ - 1} \\ 1&{I_1^2 + I_2^2}&{ - 1} \end{array}} \right|$.
संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 + C_3$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_1} + {I_2}}&{I_1^2}&{{I_2}} \\ {1 - 1}&{I_2^2}&{ - 1} \\ {1 - 1}&{I_1^2 + I_2^2}&{ - 1} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{I_1^2}&{{I_2}} \\ 0&{I_2^2}&{ - 1} \\ 0&{I_1^2 + I_2^2}&{ - 1} \end{array}} \right|$.
चूंकि प्रथम स्तंभ के सभी अवयव शून्य हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(B) सारणिकों के गुणों का उपयोग करते हुए,हम सारणिक $D'$ को सारणिकों के योग के रूप में विभाजित कर सकते हैं।
$D' = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} pb_1 & qc_1 & ra_1 \\ pb_2 & qc_2 & ra_2 \\ pb_3 & qc_3 & ra_3 \end{vmatrix}$
$D' = D + pqr \begin{vmatrix} b_1 & c_1 & a_1 \\ b_2 & c_2 & a_2 \\ b_3 & c_3 & a_3 \end{vmatrix}$
स्तंभों को दो बार आपस में बदलकर मूल क्रम $(b, c, a \to a, b, c)$ को पुनर्स्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\begin{vmatrix} b_1 & c_1 & a_1 \\ b_2 & c_2 & a_2 \\ b_3 & c_3 & a_3 \end{vmatrix} = (-1)^2 \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = D$
अतः,$D' = D + pqrD = (1 + pqr)D$.

(A) माना $\Delta_2 = \begin{vmatrix} a & b^2 & c^3 \\ a^4 & b^5 & c^6 \\ a^7 & b^8 & c^9 \end{vmatrix}$ है।
सारणिक $\Delta_1$,$\Delta_2$ के सहखंडज आव्यूह का सारणिक है।
सारणिक के गुणधर्म के अनुसार,यदि $\Delta_1$,$\Delta_2$ के सहखंडज आव्यूह का सारणिक है,तो $\Delta_1 = (\Delta_2)^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ,आव्यूह की कोटि $n = 3$ है,इसलिए $\Delta_1 = (\Delta_2)^{3-1} = \Delta_2^2$ है।
अतः,$\Delta_1 \Delta_2 = \Delta_2^2 \cdot \Delta_2 = \Delta_2^3$ है।

(A) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta = 0$ है। हम तीसरी पंक्ति में सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके इसे दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}{a-b} & {b-c} & {c-a} \\ {b-c} & {c-a} & {a-b} \\ {c-a} & {a-b} & {b-c}\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}{0} & {b-c} & {c-a} \\ {0} & {c-a} & {a-b} \\ {1} & {a-b} & {b-c}\end{array}\right| = 0$
पहला सारणिक $0$ है क्योंकि इसके स्तंभों का योग $0$ है।
दूसरे सारणिक के लिए,पहले स्तंभ के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$1 \cdot ((b-c)(a-b) - (c-a)(c-a)) = 0$
$(b-c)(a-b) - (c-a)^2 = 0$
$ab - b^2 - ac + bc - (c^2 + a^2 - 2ac) = 0$
$ab - b^2 - ac + bc - c^2 - a^2 + 2ac = 0$
$ab + bc + ac - a^2 - b^2 - c^2 = 0$
$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$
$2$ से गुणा करने पर:
$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$
चूंकि $a, b, c \in R$,यह दर्शाता है कि $a-b=0, b-c=0, c-a=0$,जिसका अर्थ है कि $a=b=c$.

(D) माना सारणिक $\Delta = \left| \begin{matrix} \sin \alpha & \cos \alpha & \sin(\alpha + \gamma) \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin(\beta + \gamma) \\ \sin \delta & \cos \delta & \sin(\delta + \gamma) \end{matrix} \right|$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करके,हम तीसरे स्तंभ का विस्तार कर सकते हैं:
$\sin(\alpha + \gamma) = \sin \alpha \cos \gamma + \cos \alpha \sin \gamma$
$\sin(\beta + \gamma) = \sin \beta \cos \gamma + \cos \beta \sin \gamma$
$\sin(\delta + \gamma) = \sin \delta \cos \gamma + \cos \delta \sin \gamma$
अब,सारणिक इस प्रकार होगा:
$\Delta = \left| \begin{matrix} \sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \cos \gamma + \cos \alpha \sin \gamma \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin \beta \cos \gamma + \cos \beta \sin \gamma \\ \sin \delta & \cos \delta & \sin \delta \cos \gamma + \cos \delta \sin \gamma \end{matrix} \right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_3 \rightarrow C_3 - (\cos \gamma) C_1 - (\sin \gamma) C_2$ लागू करें:
तीसरे स्तंभ का प्रत्येक अवयव $(\sin \theta \cos \gamma + \cos \theta \sin \gamma) - (\cos \gamma)(\sin \theta) - (\sin \gamma)(\cos \theta) = 0$ हो जाएगा।
चूंकि तीसरे स्तंभ के सभी अवयव $0$ हैं,इसलिए सारणिक का मान $\Delta = 0$ है।

(D) माना दिया गया सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & y \\ 2 & \sin x + 2x & \sin y + 2y \\ 3 & \cos x + 3x & \cos y + 3y \end{array} \right|$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_{2} \rightarrow R_{2} - 2R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3} - 3R_{1}$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & y \\ 2 - 2(1) & (\sin x + 2x) - 2x & (\sin y + 2y) - 2y \\ 3 - 3(1) & (\cos x + 3x) - 3x & (\cos y + 3y) - 3y \end{array} \right|$
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & y \\ 0 & \sin x & \sin y \\ 0 & \cos x & \cos y \end{array} \right|$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 1 \cdot (\sin x \cos y - \cos x \sin y)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \sin(x - y)$.

(C) माना कि $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{bmatrix}$. हमें दिया गया है कि $|A| = 5$.
दूसरा सारणिक $D = \left| \begin{matrix} bc(c-b) & ac(a-c) & ab(b-a) \\ (b-c)(b+c) & (c-a)(c+a) & (a-b)(a+b) \\ -(b-c) & -(c-a) & -(a-b) \end{matrix} \right|$ है।
यह सारणिक मूल सारणिक $|A|$ के वर्ग के बराबर है।
अतः,$D = |A|^2 = 5^2 = 25$.

(C) माना $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{(b + c)}^2} & {{a^2}} & {{a^2}} \\ {{b^2}} & {{(a + c)}^2} & {{b^2}} \\ {{c^2}} & {{c^2}} & {{(a + b)}^2} \end{array}} \right|$.
$C_1 \rightarrow C_1 - C_3$ और $C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{(b + c)}^2 - a^2} & 0 & {{a^2}} \\ 0 & {{(a + c)}^2 - b^2} & {{b^2}} \\ {{c^2 - (a + b)^2}} & {{c^2 - (a + b)^2}} & {{(a + b)}^2} \end{array}} \right|$
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {(b+c-a)(b+c+a)} & 0 & {{a^2}} \\ 0 & {(a+c-b)(a+c+b)} & {{b^2}} \\ {(c-a-b)(c+a+b)} & {(c-a-b)(c+a+b)} & {{(a + b)}^2} \end{array}} \right|$
$C_1$ और $C_2$ से $(a+b+c)$ कॉमन लेने पर:
$\Delta = (a+b+c)^2 \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {b+c-a} & 0 & {{a^2}} \\ 0 & {a+c-b} & {{b^2}} \\ {-(c-a-b)} & {-(c-a-b)} & {{(a + b)}^2} \end{array}} \right|$
सारणिक का विस्तार करने पर,हमें $\Delta = 2abc(a+b+c)^3$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $2^{a_1}, 2^{a_2}, 2^{a_3}, \dots$ एक $G.P.$ में हैं।
इसका अर्थ है कि घातांक $a_1, a_2, a_3, \dots$ एक $A.P.$ में हैं।
मान लीजिए कि $A.P.$ का सार्व अंतर $d$ है। तब $a_k = a_1 + (k-1)d$.
सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_{n+1} & a_{n+2} & a_{n+3} \\ a_{2n+1} & a_{2n+2} & a_{2n+3} \end{array} \right|$ में,ध्यान दें कि स्तंभ $A.P.$ में हैं।
विशेष रूप से,$a_2 - a_1 = d$,$a_{n+2} - a_{n+1} = d$,और $a_{2n+2} - a_{2n+1} = d$ है।
इसी प्रकार,$a_3 - a_2 = d$,$a_{n+3} - a_{n+2} = d$,और $a_{2n+3} - a_{2n+2} = d$ है।
स्तंभ संक्रिया $C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_2$ लागू करने पर,हमें समान अंतर वाले स्तंभ प्राप्त होते हैं।
चूंकि पंक्तियाँ भी $A.P.$ में हैं,पंक्तियाँ $R_1, R_2, R_3$ समीकरण $R_1 + R_3 = 2R_2$ को संतुष्ट करती हैं।
अतः,$R_2 = \frac{R_1 + R_3}{2}$,जिसका अर्थ है कि पंक्तियाँ रैखिक रूप से आश्रित हैं।
इसलिए,सारणिक $\Delta = 0$।

(A) मान लीजिए कि तीन अंकों की संख्याएँ $N_1 = 100A_1 + 10B_1 + C_1 = pk$,$N_2 = 100A_2 + 10B_2 + C_2 = qk$,और $N_3 = 100A_3 + 10B_3 + C_3 = rk$ हैं,जहाँ $p, q, r$ पूर्णांक हैं।
सारणिक के गुणों का उपयोग करते हुए,हम स्तंभ संक्रिया $C_3 \rightarrow 100C_1 + 10C_2 + C_3$ का उपयोग कर सकते हैं।
$\Delta = \begin{vmatrix} A_1 & B_1 & 100A_1 + 10B_1 + C_1 \\ A_2 & B_2 & 100A_2 + 10B_2 + C_2 \\ A_3 & B_3 & 100A_3 + 10B_3 + C_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A_1 & B_1 & pk \\ A_2 & B_2 & qk \\ A_3 & B_3 & rk \end{vmatrix}$.
तीसरे स्तंभ से $k$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$\Delta = k \begin{vmatrix} A_1 & B_1 & p \\ A_2 & B_2 & q \\ A_3 & B_3 & r \end{vmatrix}$ प्राप्त होता है।
चूँकि सारणिक $k$ और एक पूर्णांक का गुणनफल है,इसलिए $\Delta$,$k$ से विभाज्य है।

(C) माना कि दिया गया सारणिक $D = \left| \begin{matrix} 0 & x - y & x - z \\ y - x & 0 & y - z \\ z - x & z - y & 0 \end{matrix} \right|$ है।
यहाँ ध्यान दें कि यह सारणिक $A = [a_{ij}]$ के रूप में है जहाँ सभी $i, j$ के लिए $a_{ij} = -a_{ji}$ है। विशेष रूप से,$a_{11} = 0, a_{22} = 0, a_{33} = 0$,और $a_{12} = -(a_{21})$,$a_{13} = -(a_{31})$,$a_{23} = -(a_{32})$ है।
यह एक विषम-सममित (skew-symmetric) आव्यूह की परिभाषा है।
विषम-सममित आव्यूह का सारणिक,यदि उसकी कोटि विषम (odd order) हो,तो हमेशा $0$ होता है।
चूंकि यह एक $3 \times 3$ आव्यूह है (कोटि $3$ है,जो कि विषम है),इसलिए सारणिक का मान $0$ होगा।

(C) संचय के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$.
स्तंभ संक्रिया $C_2 \to C_2 + C_1$ लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} ^9C_4 & ^9C_4 + ^9C_5 & ^{10}C_r \\ ^{10}C_6 & ^{10}C_6 + ^{10}C_7 & ^{11}C_{r+2} \\ ^{11}C_8 & ^{11}C_8 + ^{11}C_9 & ^{12}C_{r+4} \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} ^9C_4 & ^{10}C_5 & ^{10}C_r \\ ^{10}C_6 & ^{11}C_7 & ^{11}C_{r+2} \\ ^{11}C_8 & ^{12}C_9 & ^{12}C_{r+4} \end{vmatrix} = 0$
हम देखते हैं कि यदि $r=5$ रखा जाए,तो तीसरा स्तंभ दूसरे स्तंभ के समान हो जाता है:
स्तंभ $3 = \begin{bmatrix} ^{10}C_5 \\ ^{11}C_7 \\ ^{12}C_9 \end{bmatrix}$.
चूंकि सारणिक के दो स्तंभ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ होगा।
अतः,$r = 5$।

(C) माना सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} x + 1 & x + 2 & x + a \\ x + 2 & x + 3 & x + b \\ x + 3 & x + 4 & x + c \end{array} \right|$ है।
अब,पंक्ति संक्रिया $R_1 \rightarrow R_1 - 2R_2 + R_3$ का प्रयोग करने पर:
प्रथम पंक्ति के अवयव:
$R_1(1) = (x + 1) - 2(x + 2) + (x + 3) = x + 1 - 2x - 4 + x + 3 = 0$
$R_1(2) = (x + 2) - 2(x + 3) + (x + 4) = x + 2 - 2x - 6 + x + 4 = 0$
$R_1(3) = (x + a) - 2(x + b) + (x + c) = x + a - 2x - 2b + x + c = a - 2b + c$
दिया गया है कि $a - 2b + c = 1$,अतः:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ x + 2 & x + 3 & x + b \\ x + 3 & x + 4 & x + c \end{array} \right|$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 1 \cdot [(x + 2)(x + 4) - (x + 3)^2]$
$\Delta = (x^2 + 6x + 8) - (x^2 + 6x + 9)$
$\Delta = x^2 + 6x + 8 - x^2 - 6x - 9 = -1$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ (a + \lambda)^2 & (b + \lambda)^2 & (c + \lambda)^2 \\ (a - \lambda)^2 & (b - \lambda)^2 & (c - \lambda)^2 \end{array} \right|$.
$R_2 \to R_2 - R_3$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ (a + \lambda)^2 - (a - \lambda)^2 & (b + \lambda)^2 - (b - \lambda)^2 & (c + \lambda)^2 - (c - \lambda)^2 \\ (a - \lambda)^2 & (b - \lambda)^2 & (c - \lambda)^2 \end{array} \right|$.
$(x + y)^2 - (x - y)^2 = 4xy$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ 4a\lambda & 4b\lambda & 4c\lambda \\ (a - \lambda)^2 & (b - \lambda)^2 & (c - \lambda)^2 \end{array} \right|$.
$R_2$ से $4\lambda$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = 4\lambda \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ a & b & c \\ (a - \lambda)^2 & (b - \lambda)^2 & (c - \lambda)^2 \end{array} \right|$.
$R_3 \to R_3 - R_1 + 2\lambda R_2$ संक्रिया लागू करने पर:
चूंकि $(a - \lambda)^2 = a^2 + \lambda^2 - 2a\lambda$,इसलिए $R_3 - R_1 + 2\lambda R_2 = \lambda^2$ प्राप्त होता है:
$\Delta = 4\lambda \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ a & b & c \\ \lambda^2 & \lambda^2 & \lambda^2 \end{array} \right|$.
$R_3$ से $\lambda^2$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = 4\lambda^3 \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|$.
दिए गए समीकरण $k\lambda \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|$ से तुलना करने पर,$k\lambda = 4\lambda^3$ प्राप्त होता है,अतः $k = 4\lambda^2$।

(C) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} -2a & a+b & a+c \\ b+a & -2b & b+c \\ c+a & b+c & -2c \end{array} \right|$.
$C_1 \to C_1 + C_3$ और $C_2 \to C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} -a+c & 2a+b+c & a+c \\ 2b+a+c & -b+c & b+c \\ a-c & b-c & -2c \end{array} \right|$.
$R_1 \to R_1 + R_3$ और $R_2 \to R_2 + R_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 2(a+b) & a-c \\ 2(a+b) & 0 & b-c \\ a-c & b-c & -2c \end{array} \right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 0 - 2(a+b) \left[ -4c(a+b) - (a-c)(b-c) \right] + (a-c) \left[ 2(a+b)(b-c) - 0 \right]$.
$\Delta = 8c(a+b)^2 + 2(a+b)(a-c)(b-c) + 2(a+b)(a-c)(b-c)$.
$\Delta = 8c(a+b)^2 + 4(a+b)(a-c)(b-c)$.
$\Delta = 4(a+b) \left[ 2c(a+b) + (a-c)(b-c) \right]$.
$\Delta = 4(a+b) \left[ 2ac + 2bc + ab - ac - bc + c^2 \right]$.
$\Delta = 4(a+b) \left[ ac + bc + ab + c^2 \right]$.
$\Delta = 4(a+b) \left[ c(a+c) + b(a+c) \right]$.
$\Delta = 4(a+b)(b+c)(c+a)$.
$\alpha(a+b)(b+c)(c+a)$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = 4$ प्राप्त होता है।

(B) माना $\Delta = \left| \begin{matrix} a - b - c & 2a & 2a \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{matrix} \right|$.
पंक्ति संक्रिया $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{matrix} a + b + c & a + b + c & a + b + c \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{matrix} \right|$.
$R_1$ से $(a + b + c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (a + b + c) \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{matrix} \right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$\Delta = (a + b + c) \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2b & -(a + b + c) & 0 \\ 2c & 0 & -(a + b + c) \end{matrix} \right|$.
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (a + b + c) [1 \cdot (-(a + b + c)) \cdot (-(a + b + c)) - 0] = (a + b + c)^3$.
दिया है कि $\Delta = (a + b + c)(x + a + b + c)^2$,इसलिए:
$(a + b + c)^3 = (a + b + c)(x + a + b + c)^2$.
चूंकि $a + b + c \ne 0$,$(a + b + c)$ से भाग देने पर:
$(a + b + c)^2 = (x + a + b + c)^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x + a + b + c = \pm(a + b + c)$.
यदि $x + a + b + c = a + b + c$ है,तो $x = 0$ (जो मान्य नहीं है क्योंकि $x \ne 0$)।
यदि $x + a + b + c = -(a + b + c)$ है,तो $x = -2(a + b + c)$।

(B) दिया गया है $\theta \in (0, \frac{\pi}{3})$.
मान लीजिए सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 + \cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ \cos^2 \theta & 1 + \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ \cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 1 + 4 \cos 6\theta \end{array} \right| = 0$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 + \cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right| = 0$.
स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta & \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 2 & \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right| = 0$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(1 - 0) - 0 + (-1)(0 - 4 \cos 6\theta) = 0$.
$2 + 4 \cos 6\theta = 0$.
$4 \cos 6\theta = -2 \Rightarrow \cos 6\theta = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $\theta \in (0, \frac{\pi}{3})$,इसलिए $6\theta \in (0, 2\pi)$.
$\cos 6\theta = -\frac{1}{2} \Rightarrow 6\theta = \frac{2\pi}{3}$ या $6\theta = \frac{4\pi}{3}$.
$\theta = \frac{\pi}{9}$ या $\theta = \frac{2\pi}{9}$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$\theta = \frac{\pi}{9}$ सही मान है।

(D) दिया गया है कि $b_{ij} = 3^{(i+j-2)} a_{ji}$ है।
हम आव्यूह $B$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$B = \begin{bmatrix} a_{11} & 3a_{21} & 9a_{31} \\ 3a_{12} & 9a_{22} & 27a_{32} \\ 9a_{13} & 27a_{23} & 81a_{33} \end{bmatrix}$
पंक्तियों और स्तंभों से उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालने पर:
$|B| = (3^0 \cdot 3^1 \cdot 3^2) \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & 3a_{22} & 9a_{32} \\ a_{13} & 3a_{23} & 9a_{33} \end{vmatrix}$
$|B| = 3^3 \cdot (3^0 \cdot 3^1 \cdot 3^2) \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}$
$|B| = 3^3 \cdot 3^3 \cdot |A^T| = 3^6 |A| = 729 |A|$.
दिया गया है कि $|B| = 81$,इसलिए $729 |A| = 81$ है।
$|A| = \frac{81}{729} = \frac{1}{9}$.

(C) दिया गया सारणिक $f(x) = \begin{vmatrix} x+a & x+2 & x+1 \\ x+b & x+3 & x+2 \\ x+c & x+4 & x+3 \end{vmatrix}$ है।
पंक्ति संक्रिया $R_1 \rightarrow R_1 + R_3 - 2R_2$ लागू करने पर:
पहली पंक्ति इस प्रकार हो जाती है:
$(x+a) + (x+c) - 2(x+b) = x+a+x+c-2x-2b = a-2b+c = 1$.
$(x+2) + (x+4) - 2(x+3) = 2x+6-2x-6 = 0$.
$(x+1) + (x+3) - 2(x+2) = 2x+4-2x-4 = 0$.
अतः,$f(x) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x+b & x+3 & x+2 \\ x+c & x+4 & x+3 \end{vmatrix}$ है।
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = 1 \cdot ((x+3)(x+3) - (x+2)(x+4)) = (x^2+6x+9) - (x^2+6x+8) = 1$.
चूंकि सभी $x$ के लिए $f(x) = 1$ है,इसलिए $f(50) = 1$।

(N/A) हल: प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = 2\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & -7 \end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix} 6 & 4 \\ 1 & -7 \end{vmatrix} + 5\begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 1 & 5 \end{vmatrix}$
$= 2(0 - 20) + 3(-42 - 4) + 5(30 - 0)$
$= -40 - 138 + 150 = -28$
पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलने पर,हमें परिवर्त सारणिक $\Delta_{1}$ प्राप्त होता है:
$\Delta_{1} = \begin{vmatrix} 2 & 6 & 1 \\ -3 & 0 & 5 \\ 5 & 4 & -7 \end{vmatrix}$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta_{1} = 2\begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 4 & -7 \end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 4 & -7 \end{vmatrix} + 5\begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 0 & 5 \end{vmatrix}$
$= 2(0 - 20) + 3(-42 - 4) + 5(30 - 0)$
$= -40 - 138 + 150 = -28$
स्पष्टतः,$\Delta = \Delta_{1}$ है।
अतः,गुणधर्म $1$ (यदि किसी सारणिक की पंक्तियों को स्तंभों में बदल दिया जाए,तो सारणिक का मान अपरिवर्तित रहता है) सत्यापित होता है।

(N/A) सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7 \end{array} \right|$ है।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 2(0 - 20) - (-3)(-42 - 4) + 5(30 - 0) = 2(-20) + 3(-46) + 5(30) = -40 - 138 + 150 = -28$.
पंक्तियों $R_{2}$ और $R_{3}$ को परस्पर बदलने पर,अर्थात $R_{2} \leftrightarrow R_{3}$,हमें $\Delta_{1} = \left| \begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5 \\ 1 & 5 & -7 \\ 6 & 0 & 4 \end{array} \right|$ प्राप्त होता है।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश $\Delta_{1}$ का विस्तार करने पर:
$\Delta_{1} = 2(20 - 0) - (-3)(4 + 42) + 5(0 - 30) = 2(20) + 3(46) + 5(-30) = 40 + 138 - 150 = 28$.
स्पष्टतः,$\Delta_{1} = -\Delta$,जो कि $28 = -(-28)$ है।
अतः,गुणधर्म $2$ सत्यापित होता है।

(A) सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{lll}3 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 3\end{array}\right|$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम आव्यूह की पंक्तियों का अवलोकन करते हैं।
यहाँ पहली पंक्ति $R_1 = (3, 2, 3)$ और तीसरी पंक्ति $R_3 = (3, 2, 3)$ है।
चूंकि $R_1 = R_3$,इसलिए दो पंक्तियाँ समान हैं।
सारणिक के गुणों के अनुसार,यदि किसी सारणिक की कोई भी दो पंक्तियाँ या दो स्तंभ समान हों,तो सारणिक का मान $0$ होता है।
वैकल्पिक रूप से,पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 3(2 \times 3 - 3 \times 2) - 2(2 \times 3 - 3 \times 3) + 3(2 \times 2 - 3 \times 2)$
$\Delta = 3(6 - 6) - 2(6 - 9) + 3(4 - 6)$
$\Delta = 3(0) - 2(-3) + 3(-2)$
$\Delta = 0 + 6 - 6 = 0$.

(B) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}102 & 18 & 36 \\ 1 & 3 & 4 \\ 17 & 3 & 6\end{array}\right|$ है।
हम देख सकते हैं कि पहली पंक्ति को $6 \times (17, 3, 6)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
पहली पंक्ति $(R_1)$ से $6$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = 6 \left|\begin{array}{ccc}17 & 3 & 6 \\ 1 & 3 & 4 \\ 17 & 3 & 6\end{array}\right|$.
चूंकि पहली पंक्ति $(R_1)$ और तीसरी पंक्ति $(R_3)$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
अतः,$\Delta = 6 \times 0 = 0$.

(A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a+2x & b+2y & c+2z \\ x & y & z\end{array}\right|$ है।
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम दूसरी पंक्ति को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a & b & c \\ x & y & z\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ 2x & 2y & 2z \\ x & y & z\end{array}\right|$.
पहले सारणिक में,पहली पंक्ति और दूसरी पंक्ति समान हैं $(R_1 = R_2)$,इसलिए इसका मान $0$ है।
दूसरे सारणिक में,हम दूसरी पंक्ति से $2$ उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$\Delta = 0 + 2 \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ x & y & z \\ x & y & z\end{array}\right|$.
यहाँ,दूसरी पंक्ति और तीसरी पंक्ति समान हैं $(R_2 = R_3)$,इसलिए इसका मान $0$ है।
अतः,$\Delta = 0 + 2(0) = 0$.

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & a+b & a+b+c \\ 2a & 3a+2b & 4a+3b+2c \\ 3a & 6a+3b & 10a+6b+3c\end{array}\right|$.
संक्रियाओं $R_{2} \rightarrow R_{2}-2R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3}-3R_{1}$ को लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & a+b & a+b+c \\ 0 & a & 2a+b \\ 0 & 3a & 7a+3b\end{array}\right|$.
अब,$R_{3} \rightarrow R_{3}-3R_{2}$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & a+b & a+b+c \\ 0 & a & 2a+b \\ 0 & 0 & a\end{array}\right|$.
प्रथम स्तंभ $C_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = a \left|\begin{array}{cc}a & 2a+b \\ 0 & a\end{array}\right| - 0 + 0 = a(a^{2} - 0) = a(a^{2}) = a^{3}$.
अतः,सारणिक का मान $a^{3}$ है।

(A) सारणिक $\Delta$ पर पंक्ति संक्रिया $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2}$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\Delta = \begin{vmatrix} x+y+z & x+y+z & x+y+z \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$.
$R_{1}$ से $(x+y+z)$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\Delta = (x+y+z) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$.
चूंकि पंक्ति $R_{1}$ और पंक्ति $R_{3}$ समान हैं,इसलिए सारणिक के गुणों के अनुसार सारणिक का मान $0$ है। अतः,$\Delta = (x+y+z) \times 0 = 0$.

(A) हमारे पास $\Delta=\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1+x^{3} \\ y & y^{2} & 1+y^{3} \\ z & z^{2} & 1+z^{3}\end{array}\right|$ है।
$= \left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1 \\ y & y^{2} & 1 \\ z & z^{2} & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & x^{3} \\ y & y^{2} & y^{3} \\ z & z^{2} & z^{3}\end{array}\right|$
$= (-1)^{2} \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right| + x y z \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right| \quad (C_{3} \leftrightarrow C_{2} \text{ और फिर } C_{1} \leftrightarrow C_{2} \text{ का उपयोग करते हुए})$
$= (1+x y z) \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right|$
$= (1+x y z) \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ 0 & y-x & y^{2}-x^{2} \\ 0 & z-x & z^{2}-x^{2}\end{array}\right| \quad (R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1} \text{ और } R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{1} \text{ का उपयोग करते हुए})$
$R_{2}$ से $(y-x)$ और $R_{3}$ से $(z-x)$ उभयनिष्ठ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = (1+x y z)(y-x)(z-x) \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ 0 & 1 & y+x \\ 0 & 1 & z+x\end{array}\right|$
$= (1+x y z)(y-x)(z-x)(z-y)$ ($C_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर)
चूंकि $\Delta=0$ और $x, y, z$ सभी भिन्न हैं,अर्थात $x-y \neq 0, y-z \neq 0, z-x \neq 0$,इसलिए हमें $1+x y z=0$ प्राप्त होता है।