Properties of determinants Questions in Hindi

(A) $R_{1}, R_{2}$ और $R_{3}$ से क्रमशः $a, b, c$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\text{L.H.S.} = abc \left|\begin{array}{ccc} \frac{1}{a}+1 & \frac{1}{a} & \frac{1}{a} \\ \frac{1}{b} & \frac{1}{b}+1 & \frac{1}{b} \\ \frac{1}{c} & \frac{1}{c} & \frac{1}{c}+1 \end{array}\right|$
$R_{1} \rightarrow R_{1}+R_{2}+R_{3}$ संक्रिया लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc} 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} & 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} & 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \\ \frac{1}{b} & \frac{1}{b}+1 & \frac{1}{b} \\ \frac{1}{c} & \frac{1}{c} & \frac{1}{c}+1 \end{array}\right|$
$= abc \left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ \frac{1}{b} & \frac{1}{b}+1 & \frac{1}{b} \\ \frac{1}{c} & \frac{1}{c} & \frac{1}{c}+1 \end{array}\right|$
अब $C_{2} \rightarrow C_{2}-C_{1}$ और $C_{3} \rightarrow C_{3}-C_{1}$ संक्रिया लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = abc \left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{b} & 1 & 0 \\ \frac{1}{c} & 0 & 1 \end{array}\right|$
$= abc \left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) [1(1-0)]$
$= abc \left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) = abc + bc + ca + ab = \text{R.H.S.}$

(N/A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x & a & x+a \\ y & b & y+b \\ z & c & z+c\end{array}\right|$.
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके,हम सारणिक को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x & a & x \\ y & b & y \\ z & c & z\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}x & a & a \\ y & b & b \\ z & c & c\end{array}\right|$.
प्रथम सारणिक में,स्तंभ $1$ और स्तंभ $3$ समान हैं $(C_1 = C_3)$। अतः,इसका मान $0$ है।
द्वितीय सारणिक में,स्तंभ $2$ और स्तंभ $3$ समान हैं $(C_2 = C_3)$। अतः,इसका मान $0$ है।
अतः,$\Delta = 0 + 0 = 0$.

(N/A) माना कि $\Delta = \left|\begin{array}{lll}a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|$.
संक्रिया $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2} + R_{3}$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}(a-b) + (b-c) + (c-a) & (b-c) + (c-a) + (a-b) & (c-a) + (a-b) + (b-c) \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|$
प्रथम पंक्ति के अवयवों को सरल करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|$
चूँकि प्रथम पंक्ति $R_{1}$ के सभी अवयव $0$ हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
$\therefore \Delta = 0$.

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 65 \\ 3 & 8 & 75 \\ 5 & 9 & 86\end{array}\right|$.
हम तीसरे स्तंभ को $C_3 = 9C_2 + C_1$ के रूप में लिख सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 9(7)+2 \\ 3 & 8 & 9(8)+3 \\ 5 & 9 & 9(9)+5\end{array}\right|$
सारणिकों के गुण का उपयोग करके,हम इसे दो सारणिकों में विभाजित कर सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 9(7) \\ 3 & 8 & 9(8) \\ 5 & 9 & 9(9)\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 2 \\ 3 & 8 & 3 \\ 5 & 9 & 5\end{array}\right|$
पहले सारणिक में,हम तीसरे स्तंभ से $9$ को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में ले सकते हैं:
$\Delta = 9 \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 7 \\ 3 & 8 & 8 \\ 5 & 9 & 9\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 2 \\ 3 & 8 & 3 \\ 5 & 9 & 5\end{array}\right|$
पहले सारणिक में,दूसरा और तीसरा स्तंभ समान हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।
दूसरे सारणिक में,पहला और तीसरा स्तंभ समान हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।
अतः,$\Delta = 9(0) + 0 = 0$.

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}1 & bc & a(b+c) \\ 1 & ca & b(c+a) \\ 1 & ab & c(a+b)\end{array}\right|$
स्तंभ संक्रिया $C_{3} \rightarrow C_{3} + C_{2}$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}1 & bc & ab+bc+ca \\ 1 & ca & ab+bc+ca \\ 1 & ab & ab+bc+ca\end{array}\right|$
$C_{3}$ से $(ab+bc+ca)$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\Delta = (ab+bc+ca) \left|\begin{array}{lll}1 & bc & 1 \\ 1 & ca & 1 \\ 1 & ab & 1\end{array}\right|$
चूंकि स्तंभ $C_{1}$ और $C_{3}$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
$\therefore \Delta = (ab+bc+ca) \times 0 = 0$.

(N/A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}b+c & q+r & y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y\end{array}\right|$.
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ संक्रिया लगाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}2(a+b+c) & 2(p+q+r) & 2(x+y+z) \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y\end{array}\right| = 2 \left|\begin{array}{lll}a+b+c & p+q+r & x+y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y\end{array}\right|$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ संक्रिया लगाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = 2 \left|\begin{array}{lll}a+b+c & p+q+r & x+y+z \\ -b & -q & -y \\ -c & -r & -z\end{array}\right|$.
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ संक्रिया लगाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = 2 \left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ -b & -q & -y \\ -c & -r & -z\end{array}\right|$.
$R_2$ और $R_3$ से $-1$ उभयनिष्ठ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = 2(-1)(-1) \left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right| = 2 \left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right|$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & a & -b \\ -a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right|$.
यह $3 \times 3$ कोटि का एक विषम-सममित (skew-symmetric) सारणिक है।
हम प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार कर सकते हैं:
$\Delta = 0(0 - (-c^2)) - a(0 - (-bc)) + (-b)(-ac - 0)$
$\Delta = 0 - a(bc) - b(-ac)$
$\Delta = -abc + abc$
$\Delta = 0$.
वैकल्पिक रूप से,सारणिकों के गुणधर्म के अनुसार,यदि हम $R_1, R_2,$ और $R_3$ से $-1$ उभयनिष्ठ लें,तो हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = (-1)^3 \left|\begin{array}{ccc}0 & -a & b \\ a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right| = -\Delta^T$
चूंकि $\Delta = -\Delta$,इसलिए $2\Delta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\Delta = 0$।

(N/A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}-a^{2} & ab & ac \\ ba & -b^{2} & bc \\ ca & cb & -c^{2}\end{array}\right|$.
$R_{1}, R_{2}$ और $R_{3}$ से उभयनिष्ठ गुणनखंड $a, b, c$ बाहर लेने पर:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}-a & b & c \\ a & -b & c \\ a & b & -c\end{array}\right|$.
$C_{1}, C_{2}$ और $C_{3}$ से उभयनिष्ठ गुणनखंड $a, b, c$ बाहर लेने पर:
$\Delta = a^{2}b^{2}c^{2} \left|\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right|$.
$R_{2} \rightarrow R_{2} + R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3} + R_{1}$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = a^{2}b^{2}c^{2} \left|\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0\end{array}\right|$.
$C_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = a^{2}b^{2}c^{2} [(-1)(0 - 4) - 0 + 0] = a^{2}b^{2}c^{2}(4) = 4a^{2}b^{2}c^{2}$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(N/A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right|$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_{1} \rightarrow R_{1}-R_{2}$ और $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{3}$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1-1 & a-b & a^{2}-b^{2} \\ 1-1 & b-c & b^{2}-c^{2} \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}0 & a-b & (a-b)(a+b) \\ 0 & b-c & (b-c)(b+c) \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right|$.
$R_{1}$ से $(a-b)$ और $R_{2}$ से $(b-c)$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\Delta = (a-b)(b-c) \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & a+b \\ 0 & 1 & b+c \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right|$.
$R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ लागू करने पर:
$\Delta = (a-b)(b-c) \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & a+b \\ 0 & 0 & c-a \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right|$.
$C_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (a-b)(b-c) \cdot 1 \cdot \left|\begin{array}{cc}1 & a+b \\ 0 & c-a\end{array}\right| = (a-b)(b-c)(c-a)(1-0) = (a-b)(b-c)(c-a)$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(A) माना $\Delta=\left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^{3} & b^{3} & c^{3}\end{array}\right|$.
$C_{1} \rightarrow C_{1}-C_{2}$ और $C_{2} \rightarrow C_{2}-C_{3}$ लागू करने पर:
$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ a-b & b-c & c \\ a^{3}-b^{3} & b^{3}-c^{3} & c^{3}\end{array}\right|$.
$C_{1}$ से $(a-b)$ और $C_{2}$ से $(b-c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta=(a-b)(b-c)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & c \\ a^{2}+ab+b^{2} & b^{2}+bc+c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$.
$C_{1} \rightarrow C_{1}-C_{2}$ लागू करने पर:
$\Delta=(a-b)(b-c)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & c \\ a^{2}-c^{2}+ab-bc & b^{2}+bc+c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$.
$\Delta=(a-b)(b-c)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & c \\ (a-c)(a+c)+b(a-c) & b^{2}+bc+c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$.
$\Delta=(a-b)(b-c)(a-c)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & c \\ a+b+c & b^{2}+bc+c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$.
$R_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta=(a-b)(b-c)(a-c)(1)[0 - (a+b+c)] = -(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)$.
चूंकि $-(a-c) = (c-a)$,इसलिए:
$\Delta=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(N/A) माना $\Delta=\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & y z \\ y & y^{2} & z x \\ z & z^{2} & x y\end{array}\right|$.
$R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{1}$ लागू करने पर:
$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}x & x^{2} & y z \\ y-x & y^{2}-x^{2} & z x-y z \\ z-x & z^{2}-x^{2} & x y-y z\end{array}\right|$
$R_{2}$ से $(y-x)$ और $R_{3}$ से $(z-x)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta=(y-x)(z-x)\left|\begin{array}{ccc}x & x^{2} & y z \\ -1 & -(x+y) & z \\ 1 & z+x & -y\end{array}\right|$
$R_{3} \rightarrow R_{3}+R_{2}$ लागू करने पर:
$\Delta=(y-x)(z-x)\left|\begin{array}{ccc}x & x^{2} & y z \\ -1 & -(x+y) & z \\ 0 & z-y & z-y\end{array}\right|$
$R_{3}$ से $(z-y)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta=(y-x)(z-x)(z-y)\left|\begin{array}{ccc}x & x^{2} & y z \\ -1 & -(x+y) & z \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right|$
$R_{3}$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta=(y-x)(z-x)(z-y) [0 - 1(x z + y z) + 1(-x^{2}-x y + x^{2})]$
$\Delta=(y-x)(z-x)(z-y) [-(x z + y z) - x y]$
$\Delta=-(y-x)(z-x)(z-y)(x y+y z+z x)$
चूँकि $-(y-x) = (x-y)$ और $-(z-y) = (y-z)$,अतः:
$\Delta=(x-y)(y-z)(z-x)(x y+y z+z x)$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+4 & 2x & 2x \\ 2x & x+4 & 2x \\ 2x & 2x & x+4\end{array}\right|$.
पंक्ति संक्रिया $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2} + R_{3}$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}5x+4 & 5x+4 & 5x+4 \\ 2x & x+4 & 2x \\ 2x & 2x & x+4\end{array}\right|$.
$R_{1}$ से $(5x+4)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (5x+4) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2x & x+4 & 2x \\ 2x & 2x & x+4\end{array}\right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_{2} \rightarrow C_{2} - C_{1}$ और $C_{3} \rightarrow C_{3} - C_{1}$ लागू करने पर:
$\Delta = (5x+4) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2x & 4-x & 0 \\ 2x & 0 & 4-x\end{array}\right|$.
$C_{2}$ और $C_{3}$ से $(4-x)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (5x+4)(4-x)(4-x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2x & 1 & 0 \\ 2x & 0 & 1\end{array}\right|$.
$R_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (5x+4)(4-x)^{2} [1(1-0)] = (5x+4)(4-x)^{2}$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}y+k & y & y \\ y & y+k & y \\ y & y & y+k\end{array}\right|$.
पंक्ति संक्रिया $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2} + R_{3}$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}3y+k & 3y+k & 3y+k \\ y & y+k & y \\ y & y & y+k\end{array}\right|$.
$R_{1}$ से $(3y+k)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (3y+k) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ y & y+k & y \\ y & y & y+k\end{array}\right|$.
स्तंभ संक्रियाएं $C_{2} \rightarrow C_{2} - C_{1}$ और $C_{3} \rightarrow C_{3} - C_{1}$ लागू करने पर:
$\Delta = (3y+k) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ y & k & 0 \\ y & 0 & k\end{array}\right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (3y+k) \cdot 1 \cdot (k \cdot k - 0 \cdot 0) = k^{2}(3y+k)$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|$
$R_{1} \rightarrow R_{1}+R_{2}+R_{3}$ संक्रिया लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|$
$R_{1}$ से $(a+b+c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|$
$C_{2} \rightarrow C_{2}-C_{1}$ और $C_{3} \rightarrow C_{3}-C_{1}$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 b & -(a+b+c) & 0 \\ 2 c & 0 & -(a+b+c)\end{array}\right|$
$C_{2}$ और $C_{3}$ से $(a+b+c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (a+b+c)(a+b+c)(a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 b & -1 & 0 \\ 2 c & 0 & -1\end{array}\right|$
$\Delta = (a+b+c)^{3} [1((-1)(-1) - 0)] = (a+b+c)^{3}$
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(N/A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+y+2z & x & y \\ z & y+z+2x & y \\ z & x & z+x+2y\end{array}\right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_{1} \rightarrow C_{1} + C_{2} + C_{3}$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}2(x+y+z) & x & y \\ 2(x+y+z) & y+z+2x & y \\ 2(x+y+z) & x & z+x+2y\end{array}\right|$
$C_{1}$ से $2(x+y+z)$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\Delta = 2(x+y+z) \left|\begin{array}{ccc}1 & x & y \\ 1 & y+z+2x & y \\ 1 & x & z+x+2y\end{array}\right|$
पंक्ति संक्रिया $R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3} - R_{1}$ लागू करने पर:
$\Delta = 2(x+y+z) \left|\begin{array}{ccc}1 & x & y \\ 0 & x+y+z & 0 \\ 0 & 0 & x+y+z\end{array}\right|$
$R_{2}$ और $R_{3}$ से $(x+y+z)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = 2(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z) \left|\begin{array}{ccc}1 & x & y \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$
$\Delta = 2(x+y+z)^{3} \times (1(1-0)) = 2(x+y+z)^{3}$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ x^{2} & 1 & x \\ x & x^{2} & 1\end{array}\right|$.
$R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2} + R_{3}$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+x+x^{2} & 1+x+x^{2} & 1+x+x^{2} \\ x^{2} & 1 & x \\ x & x^{2} & 1\end{array}\right|$
$R_{1}$ से $(1+x+x^{2})$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (1+x+x^{2}) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ x^{2} & 1 & x \\ x & x^{2} & 1\end{array}\right|$
$C_{2} \rightarrow C_{2} - C_{1}$ और $C_{3} \rightarrow C_{3} - C_{1}$ लागू करने पर:
$\Delta = (1+x+x^{2}) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ x^{2} & 1-x^{2} & x-x^{2} \\ x & x^{2}-x & 1-x\end{array}\right|$
$C_{2}$ और $C_{3}$ से $(1-x)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (1+x+x^{2})(1-x)(1-x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ x^{2} & 1+x & x \\ x & -x & 1\end{array}\right|$
चूंकि $(1-x)(1+x+x^{2}) = (1-x^{3})$:
$\Delta = (1-x^{3})(1-x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ x^{2} & 1+x & x \\ x & -x & 1\end{array}\right|$
$R_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (1-x^{3})(1-x) [1((1+x)(1) - (x)(-x)) - 0 + 0]$
$\Delta = (1-x^{3})(1-x) (1+x+x^{2})$
$\Delta = (1-x^{3})(1-x^{3}) = (1-x^{3})^{2}$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+a^{2}-b^{2} & 2 a b & -2 b \\ 2 a b & 1-a^{2}+b^{2} & 2 a \\ 2 b & -2 a & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$
पंक्ति संक्रियाओं $R_{1} \rightarrow R_{1} + b R_{3}$ और $R_{2} \rightarrow R_{2} - a R_{3}$ का प्रयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+a^{2}+b^{2} & 0 & -b(1+a^{2}+b^{2}) \\ 0 & 1+a^{2}+b^{2} & a(1+a^{2}+b^{2}) \\ 2 b & -2 a & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$
$R_{1}$ और $R_{2}$ से उभयनिष्ठ गुणनखंड $(1+a^{2}+b^{2})$ बाहर लेने पर:
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & -b \\ 0 & 1 & a \\ 2 b & -2 a & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$
$R_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} [1(1-a^{2}-b^{2} + 2a^{2}) - 0 + (-b)(0 - 2b)]$
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} [1+a^{2}-b^{2} + 2b^{2}]$
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} (1+a^{2}+b^{2}) = (1+a^{2}+b^{2})^{3}$

(N/A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a^{2}+1 & a b & a c \\ a b & b^{2}+1 & b c \\ c a & c b & c^{2}+1\end{array}\right|$.
क्रमशः $R_{1}, R_{2}$ और $R_{3}$ से उभयनिष्ठ गुणनखंड $a, b$ और $c$ बाहर लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = a b c \left|\begin{array}{ccc}a+\frac{1}{a} & b & c \\ a & b+\frac{1}{b} & c \\ a & b & c+\frac{1}{c}\end{array}\right|$.
$R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{1}$ संक्रिया लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = a b c \left|\begin{array}{ccc}a+\frac{1}{a} & b & c \\ -\frac{1}{a} & \frac{1}{b} & 0 \\ -\frac{1}{a} & 0 & \frac{1}{c}\end{array}\right|$.
$C_{1} \rightarrow a C_{1}, C_{2} \rightarrow b C_{2}$ और $C_{3} \rightarrow c C_{3}$ संक्रिया लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = a b c \times \frac{1}{a b c} \left|\begin{array}{ccc}a^{2}+1 & b^{2} & c^{2} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}a^{2}+1 & b^{2} & c^{2} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right|$.
$R_{3}$ के अनुदिश विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = -1 \left|\begin{array}{cc}b^{2} & c^{2} \\ 1 & 0\end{array}\right| + 1 \left|\begin{array}{cc}a^{2}+1 & b^{2} \\ -1 & 1\end{array}\right|$.
$\Delta = -1(0 - c^{2}) + 1(a^{2} + 1 + b^{2}) = c^{2} + a^{2} + 1 + b^{2} = 1 + a^{2} + b^{2} + c^{2}$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(C) दिया गया है कि $A$,$n \times n$ कोटि का एक वर्ग आव्यूह है,सारणिक के गुणधर्म के अनुसार $|kA| = k^n |A|$ होता है।
यहाँ,आव्यूह $A$ की कोटि $3 \times 3$ है,इसलिए $n = 3$ है।
अतः,$|kA| = k^3 |A|$।
वैकल्पिक रूप से,यदि $A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ है,तो $kA = \begin{bmatrix} ka_1 & kb_1 & kc_1 \\ ka_2 & kb_2 & kc_2 \\ ka_3 & kb_3 & kc_3 \end{bmatrix}$ होगा।
सारणिक लेने पर,हम प्रत्येक $3$ पंक्तियों में से $k$ को उभयनिष्ठ (common) ले सकते हैं:
$|kA| = k \cdot k \cdot k \cdot \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = k^3 |A|$।
अतः,सही उत्तर $C$ है।

(N/A) $\Delta$ पर $R_{1} \rightarrow x R_{1}, R_{2} \rightarrow y R_{2}, R_{3} \rightarrow z R_{3}$ लागू करने पर और $x y z$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है
$\Delta=\frac{1}{x y z}\left|\begin{array}{ccc} x(y+z)^{2} & x^{2} y & x^{2} z \\ x y^{2} & y(x+z)^{2} & y^{2} z \\ x z^{2} & y z^{2} & z(x+y)^{2} \end{array}\right|$
$C_{1}, C_{2}$ और $C_{3}$ से क्रमशः $x, y, z$ उभयनिष्ठ लेने पर,हमें प्राप्त होता है
$\Delta=\frac{x y z}{x y z}\left|\begin{array}{ccc} (y+z)^{2} & x^{2} & x^{2} \\ y^{2} & (x+z)^{2} & y^{2} \\ z^{2} & z^{2} & (x+y)^{2} \end{array}\right|$
$C_{2} \rightarrow C_{2}-C_{1}, C_{3} \rightarrow C_{3}-C_{1}$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है
$\Delta=\left|\begin{array}{ccc} (y+z)^{2} & x^{2}-(y+z)^{2} & x^{2}-(y+z)^{2} \\ y^{2} & (x+z)^{2}-y^{2} & 0 \\ z^{2} & 0 & (x+y)^{2}-z^{2} \end{array}\right|$
$C_{2}$ और $C_{3}$ से $(x+y+z)$ उभयनिष्ठ लेने पर,हमें प्राप्त होता है
$\Delta=(x+y+z)^{2}\left|\begin{array}{ccc} (y+z)^{2} & x-(y+z) & x-(y+z) \\ y^{2} & (x+z)-y & 0 \\ z^{2} & 0 & (x+y)-z \end{array}\right|$
$R_{1} \rightarrow R_{1}-(R_{2}+R_{3})$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है
$\Delta=(x+y+z)^{2}\left|\begin{array}{ccc} 2 y z & -2 z & -2 y \\ y^{2} & x-y+z & 0 \\ z^{2} & 0 & x+y-z \end{array}\right|$
$C_{2} \rightarrow (C_{2}+\frac{1}{y} C_{1})$ और $C_{3} \rightarrow C_{3}+\frac{1}{z} C_{1}$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है
$\Delta=(x+y+z)^{2}\left|\begin{array}{ccc} 2 y z & 0 & 0 \\ y^{2} & x+z & \frac{y^{2}}{z} \\ z^{2} & \frac{z^{2}}{y} & x+y \end{array}\right|$
अंत में $R_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है
$\Delta = (x+y+z)^{2}(2 y z)[(x+z)(x+y)-y z]$
$= (x+y+z)^{2}(2 y z)(x^{2}+x y+x z)$
$= (x+y+z)^{3}(2 x y z)$

(A) सारणिक $\Delta$ पर पंक्ति संक्रिया $R_1 \rightarrow R_1 - x R_2$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a+bx - x(ax+b) & c+dx - x(cx+d) & p+qx - x(px+q) \\ ax+b & cx+d & px+q \\ u & v & w \end{array} \right|$
$= \left| \begin{array}{ccc} a(1-x^2) & c(1-x^2) & p(1-x^2) \\ ax+b & cx+d & px+q \\ u & v & w \end{array} \right|$
$R_1$ से $(1-x^2)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$= (1-x^2) \left| \begin{array}{ccc} a & c & p \\ ax+b & cx+d & px+q \\ u & v & w \end{array} \right|$
अब,परिणामी सारणिक पर पंक्ति संक्रिया $R_2 \rightarrow R_2 - x R_1$ लागू करने पर:
$= (1-x^2) \left| \begin{array}{ccc} a & c & p \\ (ax+b) - x(a) & (cx+d) - x(c) & (px+q) - x(p) \\ u & v & w \end{array} \right|$
$= (1-x^2) \left| \begin{array}{ccc} a & c & p \\ b & d & q \\ u & v & w \end{array} \right|$
अतः,सर्वसमिका सिद्ध होती है।

(A) $L.H.S. = \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & b c \\ b & b^{2} & c a \\ c & c^{2} & a b\end{array}\right|$
$R_{1}$ को $a$ से,$R_{2}$ को $b$ से,और $R_{3}$ को $c$ से गुणा करने पर:
$= \frac{1}{abc} \left|\begin{array}{lll}a^{2} & a^{3} & abc \\ b^{2} & b^{3} & abc \\ c^{2} & c^{3} & abc\end{array}\right|$
$C_{3}$ से उभयनिष्ठ गुणनखंड $abc$ बाहर लेने पर:
$= \frac{abc}{abc} \left|\begin{array}{lll}a^{2} & a^{3} & 1 \\ b^{2} & b^{3} & 1 \\ c^{2} & c^{3} & 1\end{array}\right| = \left|\begin{array}{lll}a^{2} & a^{3} & 1 \\ b^{2} & b^{3} & 1 \\ c^{2} & c^{3} & 1\end{array}\right|$
$C_{1} \leftrightarrow C_{3}$ और फिर $C_{2} \leftrightarrow C_{3}$ संक्रिया लागू करने पर:
$= \left|\begin{array}{lll}1 & a^{2} & a^{3} \\ 1 & b^{2} & b^{3} \\ 1 & c^{2} & c^{3}\end{array}\right| = R.H.S.$
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a^{2} & b c & a c+c^{2} \\ a^{2}+a b & b^{2} & a c \\ a b & b^{2}+b c & c^{2}\end{array}\right|$.
$C_{1}$ से $a$,$C_{2}$ से $b$ और $C_{3}$ से $c$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}a & c & a+c \\ a+b & b & a \\ b & b+c & c\end{array}\right|$.
$C_{3} \rightarrow C_{3} - C_{1} - C_{2}$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}a & c & 0 \\ a+b & b & -b \\ b & b+c & -b\end{array}\right|$.
$R_{3} \rightarrow R_{3} - R_{2}$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}a & c & 0 \\ a+b & b & -b \\ -a & c & 0\end{array}\right|$.
$C_{3}$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = abc \cdot (b) \cdot (ac - (-ac)) = abc \cdot b \cdot (2ac) = 2a^2b^2c^2$.
(नोट: प्रश्न में दिया गया परिणाम $4a^2b^2c^2$ है,जो गणना के अनुसार $2a^2b^2c^2$ प्राप्त होता है।)

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha^{2} & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^{2} & \gamma+\alpha \\ \gamma & \gamma^{2} & \alpha+\beta\end{array}\right|$.
चरण $1$: तीसरे स्तंभ को समान बनाने के लिए $C_3$ को $C_2$ में जोड़ें।
$C_2 \rightarrow C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha+\beta+\gamma & \beta+\gamma \\ \beta & \alpha+\beta+\gamma & \gamma+\alpha \\ \gamma & \alpha+\beta+\gamma & \alpha+\beta\end{array}\right|$.
चरण $2$: $C_2$ से $(\alpha+\beta+\gamma)$ उभयनिष्ठ (common) लें।
$\Delta = (\alpha+\beta+\gamma) \left|\begin{array}{ccc}\alpha & 1 & \beta+\gamma \\ \beta & 1 & \gamma+\alpha \\ \gamma & 1 & \alpha+\beta\end{array}\right|$.
चरण $3$: $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करें।
$\Delta = (\alpha+\beta+\gamma) \left|\begin{array}{ccc}\alpha & 1 & \beta+\gamma \\ \beta-\alpha & 0 & \alpha-\beta \\ \gamma-\alpha & 0 & \beta-\gamma\end{array}\right|$.
चरण $4$: $C_2$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (\alpha+\beta+\gamma) \cdot (-1) \cdot [(\beta-\alpha)(\beta-\gamma) - (\alpha-\beta)(\gamma-\alpha)]$.
इस प्रकार,दिया गया परिणाम सिद्ध होता है।

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1+p x^{3} \\ y & y^{2} & 1+p y^{3} \\ z & z^{2} & 1+p z^{3}\end{array}\right|$.
सारणिकों के गुणधर्म का उपयोग करके,हम तीसरे स्तंभ को विभाजित कर सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1 \\ y & y^{2} & 1 \\ z & z^{2} & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & p x^{3} \\ y & y^{2} & p y^{3} \\ z & z^{2} & p z^{3}\end{array}\right|$
दूसरे सारणिक में,$C_3$ से $p$ उभयनिष्ठ लें,फिर $R_1, R_2, R_3$ से क्रमशः $x, y, z$ उभयनिष्ठ लें:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right| + pxyz \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right|$
$\Delta = (1 + pxyz) \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right|$
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = (1 + pxyz) \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 0 & y-x & y^{2}-x^{2} \\ 0 & z-x & z^{2}-x^{2}\end{array}\right|$
$R_2$ से $(y-x)$ और $R_3$ से $(z-x)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (1 + pxyz)(y-x)(z-x) \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 0 & 1 & y+x \\ 0 & 1 & z+x\end{array}\right|$
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ लागू करने पर:
$\Delta = (1 + pxyz)(y-x)(z-x) \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 0 & 1 & y+x \\ 0 & 0 & z-y\end{array}\right|$
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (1 + pxyz)(y-x)(z-x)(z-y)(1) = (1 + pxyz)(x-y)(y-z)(z-x)$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}3 a & -a+b & -a+c \\ -b+a & 3 b & -b+c \\ -c+a & -c+b & 3 c\end{array}\right|$.
$C_{1} \rightarrow C_{1}+C_{2}+C_{3}$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a+b+c & -a+b & -a+c \\ a+b+c & 3 b & -b+c \\ a+b+c & -c+b & 3 c\end{array}\right|$.
$C_{1}$ से $(a+b+c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & -a+b & -a+c \\ 1 & 3 b & -b+c \\ 1 & -c+b & 3 c\end{array}\right|$.
$R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{1}$ लागू करने पर:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & -a+b & -a+c \\ 0 & 2 b+a & a-b \\ 0 & a-c & 2 c+a\end{array}\right|$.
$C_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (a+b+c) [ (2 b+a)(2 c+a) - (a-b)(a-c) ]$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$= (a+b+c) [ (4bc + 2ab + 2ac + a^2) - (a^2 - ac - ab + bc) ]$
$= (a+b+c) [ 4bc + 2ab + 2ac + a^2 - a^2 + ac + ab - bc ]$
$= (a+b+c) [ 3ab + 3bc + 3ac ]$
$= 3(a+b+c)(ab + bc + ca)$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(A) माना कि $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1+p & 1+p+q \\ 2 & 3+2 p & 4+3 p+2 q \\ 3 & 6+3 p & 10+6 p+3 q\end{array}\right|$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_{2} \rightarrow R_{2}-2 R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3}-3 R_{1}$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1+p & 1+p+q \\ 2-2(1) & (3+2p)-2(1+p) & (4+3p+2q)-2(1+p+q) \\ 3-3(1) & (6+3p)-3(1+p) & (10+6p+3q)-3(1+p+q)\end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1+p & 1+p+q \\ 0 & 1 & 2+p \\ 0 & 3 & 7+3p\end{array}\right|$.
अब,पंक्ति संक्रिया $R_{3} \rightarrow R_{3}-3 R_{2}$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1+p & 1+p+q \\ 0 & 1 & 2+p \\ 0 & 3-3(1) & (7+3p)-3(2+p)\end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1+p & 1+p+q \\ 0 & 1 & 2+p \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$.
प्रथम स्तंभ $(C_{1})$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 1 \cdot \left|\begin{array}{cc}1 & 2+p \\ 0 & 1\end{array}\right| - 0 + 0 = 1(1 - 0) = 1$.
अतः,सारणिक का मान $1$ है।

(A) माना सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos (\alpha + \delta) \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos (\beta + \delta) \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos (\gamma + \delta) \end{array} \right|$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करके तीसरे स्तंभ का विस्तार करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \cos \delta - \sin \alpha \sin \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \cos \delta - \sin \beta \sin \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma \cos \delta - \sin \gamma \sin \delta \end{array} \right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_3 \rightarrow C_3 + (\sin \delta) C_1$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \cos \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \cos \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma \cos \delta \end{array} \right|$.
अब,$C_3$ से $\cos \delta$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\Delta = \cos \delta \left| \begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma \end{array} \right|$.
यहाँ स्तंभ $C_2$ और $C_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
$\Delta = \cos \delta \times 0 = 0$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(D) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है और $\operatorname{det}(A) = 4$ है।
सबसे पहले,आव्यूह $2A$ पर विचार करें। चूँकि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,$\operatorname{det}(2A) = 2^{3} \times \operatorname{det}(A) = 8 \times 4 = 32$ होगा।
इसके बाद,आव्यूह $B$ को $2A$ पर पंक्ति संक्रिया $R_{2} \rightarrow 2R_{2} + 5R_{3}$ करके प्राप्त किया जाता है।
सारणिक के गुणधर्म के अनुसार,यदि किसी पंक्ति को एक अदिश $k$ से गुणा किया जाता है,तो सारणिक का मान $k$ गुना हो जाता है। यहाँ,$R_{2}$ को $2R_{2} + 5R_{3}$ से बदला गया है।
इस संक्रिया का अर्थ है कि दूसरी पंक्ति को $2$ से गुणा करके उसमें तीसरी पंक्ति का $5$ गुना जोड़ा गया है। किसी पंक्ति में दूसरी पंक्ति का गुणज जोड़ने से सारणिक का मान नहीं बदलता है।
अतः,$\operatorname{det}(B) = 2 \times \operatorname{det}(2A) = 2 \times 32 = 64$।

(B) दिया गया है कि $a, b, c, d$ समांतर श्रेणी में हैं जिनका सार्व अंतर $\lambda$ है,इसलिए $b = a + \lambda$,$c = a + 2\lambda$,और $d = a + 3\lambda$ है।
इन मानों को सारणिक में रखने पर:
$a - c = -2\lambda$,$b - d = -2\lambda$,$d - b = 2\lambda$,$c - b = \lambda$,$d - c = \lambda$.
सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{lll} x-2\lambda & x+b & x+a \\ x-1 & x+c & x+b \\ x+2\lambda & x+d & x+c \end{array}\right| = 2$ है।
स्तंभ संक्रिया $C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll} x-2\lambda & \lambda & x+a \\ x-1 & \lambda & x+b \\ x+2\lambda & \lambda & x+c \end{array}\right| = 2$.
$C_2$ से $\lambda$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = \lambda \left|\begin{array}{lll} x-2\lambda & 1 & x+a \\ x-1 & 1 & x+b \\ x+2\lambda & 1 & x+c \end{array}\right| = 2$.
पंक्ति संक्रिया $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = \lambda \left|\begin{array}{lll} x-2\lambda & 1 & x+a \\ 2\lambda-1 & 0 & \lambda \\ 4\lambda & 0 & 2\lambda \end{array}\right| = 2$.
$C_2$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = \lambda \cdot (-1) \cdot ((2\lambda-1)(2\lambda) - (4\lambda)(\lambda)) = 2$.
$\Delta = -\lambda \cdot (4\lambda^2 - 2\lambda - 4\lambda^2) = 2$.
$\Delta = -\lambda \cdot (-2\lambda) = 2\lambda^2 = 2$.
अतः,$\lambda^2 = 1$.

(D) दिया गया है $D_{k} = \begin{vmatrix} 1 & 2k & 2k-1 \\ n & n^2+n+2 & n^2 \\ n & n^2+n & n^2+n+2 \end{vmatrix}$।
हमें $\sum_{k=1}^{n} D_{k} = 96$ दिया गया है। चूँकि योग केवल पहली पंक्ति को प्रभावित करता है,इसलिए:
$\sum_{k=1}^{n} D_{k} = \begin{vmatrix} \sum_{k=1}^{n} 1 & \sum_{k=1}^{n} 2k & \sum_{k=1}^{n} (2k-1) \\ n & n^2+n+2 & n^2 \\ n & n^2+n & n^2+n+2 \end{vmatrix} = 96$.
सूत्रों $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$,$\sum_{k=1}^{n} 2k = n^2+n$,और $\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = n^2$ का उपयोग करने पर:
$\begin{vmatrix} n & n^2+n & n^2 \\ n & n^2+n+2 & n^2 \\ n & n^2+n & n^2+n+2 \end{vmatrix} = 96$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3} - R_{1}$ को लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} n & n^2+n & n^2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & n+2 \end{vmatrix} = 96$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$n \cdot [2(n+2) - 0] = 96 \Rightarrow 2n(n+2) = 96 \Rightarrow n(n+2) = 48$.
$n^2 + 2n - 48 = 0 \Rightarrow (n+8)(n-6) = 0$.
चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 6$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए सारणिक समीकरण:
$\left|\begin{array}{ccc} x & x^2 & 1+x^3 \\ 2x & 4x^2 & 1+8x^3 \\ 3x & 9x^2 & 1+27x^3 \end{array}\right| = 10$
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके हम इसे दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:
$\left|\begin{array}{ccc} x & x^2 & 1 \\ 2x & 4x^2 & 1 \\ 3x & 9x^2 & 1 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} x & x^2 & x^3 \\ 2x & 4x^2 & 8x^3 \\ 3x & 9x^2 & 27x^3 \end{array}\right| = 10$
दूसरे सारणिक में $C_1$ से $x$,$C_2$ से $x^2$ और $C_3$ से $x^3$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$x^3 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 \\ 3 & 9 & 27 \end{array}\right| + x^6 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 \\ 3 & 9 & 27 \end{array}\right| = 10$
सारणिक का मान $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 \\ 3 & 9 & 27 \end{array}\right| = 1(108-72) - 1(54-24) + 1(18-12) = 36 - 30 + 6 = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,$12x^3 + 12x^6 = 10 \Rightarrow 6x^6 + 6x^3 - 5 = 0$.
माना $t = x^3$. तब $6t^2 + 6t - 5 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर $t = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4(6)(-5)}}{12} = \frac{-6 \pm \sqrt{156}}{12} = \frac{-3 \pm \sqrt{39}}{6}$.
चूँकि $x^3 = t$,$t$ के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए $x = \sqrt[3]{t}$ का केवल एक वास्तविक मान प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$t$ के दो भिन्न वास्तविक मान होने के कारण,$x$ के कुल $2$ भिन्न वास्तविक मान प्राप्त होंगे।

(D) दिया गया है $P = [a_{ij}]_{3 \times 3}$ और $b_{ij} = 2^{i+j} a_{ij}$.
$Q = [b_{ij}]_{3 \times 3} = \begin{bmatrix} 2^{1+1}a_{11} & 2^{1+2}a_{12} & 2^{1+3}a_{13} \\ 2^{2+1}a_{21} & 2^{2+2}a_{22} & 2^{2+3}a_{23} \\ 2^{3+1}a_{31} & 2^{3+2}a_{32} & 2^{3+3}a_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4a_{11} & 8a_{12} & 16a_{13} \\ 8a_{21} & 16a_{22} & 32a_{23} \\ 16a_{31} & 32a_{32} & 64a_{33} \end{bmatrix}$.
प्रत्येक पंक्ति से उभयनिष्ठ गुणनखंड लेने पर:
पंक्ति $1$ से $4 = 2^2$ उभयनिष्ठ है।
पंक्ति $2$ से $8 = 2^3$ उभयनिष्ठ है।
पंक्ति $3$ से $16 = 2^4$ उभयनिष्ठ है।
$|Q| = (2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^4) \begin{vmatrix} a_{11} & 2a_{12} & 4a_{13} \\ a_{21} & 2a_{22} & 4a_{23} \\ a_{31} & 2a_{32} & 4a_{33} \end{vmatrix}$.
प्रत्येक स्तंभ से उभयनिष्ठ गुणनखंड लेने पर:
स्तंभ $2$ से $2 = 2^1$ उभयनिष्ठ है।
स्तंभ $3$ से $4 = 2^2$ उभयनिष्ठ है।
$|Q| = (2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^4) \cdot (2^1 \cdot 2^2) \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$.
$|Q| = 2^{2+3+4+1+2} |P| = 2^{12} \cdot 2 = 2^{13}$.

(B) सारणिक के गुणधर्म के अनुसार,किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों का उनके संगत सहखंड (cofactor) के साथ गुणनफल का योग सारणिक का मान देता है,लेकिन किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों का किसी अन्य पंक्ति (या स्तंभ) के सहखंडों के साथ गुणनफल का योग हमेशा $0$ होता है।
यहाँ,हम $a_{11} A_{21} + a_{12} A_{22} + a_{13} A_{23}$ की गणना कर रहे हैं,जो पहली पंक्ति के अवयवों और दूसरी पंक्ति के सहखंडों का गुणनफल है।
अतः,यह योग $0$ होगा।
सत्यापन:
$a_{11} = 1, a_{12} = 1, a_{13} = 0$
$A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1(1-0) = -1$
$A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-0) = 1$
$A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -1(2-1) = -1$
$a_{11} A_{21} + a_{12} A_{22} + a_{13} A_{23} = 1(-1) + 1(1) + 0(-1) = -1 + 1 + 0 = 0$.

(A) माना कि दिया गया सारणिक $D$ है।
सर्वसमिका $(p+q)^2 - (p-q)^2 = 4pq$ का उपयोग करते हुए,हम स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 - C_2$ लागू करते हैं:
$D = \left|\begin{array}{lll} (a^x+a^{-x})^2 - (a^x-a^{-x})^2 & (a^x-a^{-x})^2 & 1 \\ (b^x+b^{-x})^2 - (b^x-b^{-x})^2 & (b^x-b^{-x})^2 & 1 \\ (c^x+c^{-x})^2 - (c^x-c^{-x})^2 & (c^x-c^{-x})^2 & 1 \end{array}\right|$
$D = \left|\begin{array}{lll} 4(a^x)(a^{-x}) & (a^x-a^{-x})^2 & 1 \\ 4(b^x)(b^{-x}) & (b^x-b^{-x})^2 & 1 \\ 4(c^x)(c^{-x}) & (c^x-c^{-x})^2 & 1 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{lll} 4 & (a^x-a^{-x})^2 & 1 \\ 4 & (b^x-b^{-x})^2 & 1 \\ 4 & (c^x-c^{-x})^2 & 1 \end{array}\right|$
चूंकि दो स्तंभ ($C_1$ और $C_3$) समानुपाती हैं,इसलिए सारणिक का मान $D = 0$ है।
दिया गया है कि $D = 2y + 6$,इसलिए $0 = 2y + 6$।
$2y = -6 \implies y = -3$।

(D) माना कि $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+y & y+z & z+x \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
पंक्ति संक्रिया $R_1 \to R_1 + R_2$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+y+z & x+y+z & x+y+z \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
अब,प्रथम पंक्ति $R_1$ से $(x+y+z)$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\Delta = (x+y+z) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
चूंकि पंक्ति $R_1$ और पंक्ति $R_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ होगा।

(A) सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} x+y+z^2 & x^2+y+z & x+y^2+z \\ z^2 & x^2 & y^2 \\ x+y & y+z & x+z \end{vmatrix}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करते हैं।
$R_1 \to R_1 - R_2 - R_3$ लागू करने पर:
पहली पंक्ति इस प्रकार हो जाती है:
$(x+y+z^2) - z^2 - (x+y) = 0$
$(x^2+y+z) - x^2 - (y+z) = 0$
$(x+y^2+z) - y^2 - (x+z) = 0$
चूँकि पहली पंक्ति के सभी अवयव $0$ हैं,इसलिए सारणिक का मान $\Delta = 0$ है।

(C) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+2 & x+3 & x+a \\ x+4 & x+5 & x+b \\ x+6 & x+7 & x+c\end{array}\right|$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_{1} \rightarrow R_{1}-R_{2}$ और $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{3}$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}-2 & -2 & a-b \\ -2 & -2 & b-c \\ x+6 & x+7 & x+c\end{array}\right|$.
चूंकि $a, b, c$ $A$.$P$. में हैं,इसलिए $b-a = c-b$,जिसका अर्थ है $a-b = b-c$.
अतः,पहली दो पंक्तियाँ $R_{1}$ और $R_{2}$ समान हैं।
चूंकि दो पंक्तियाँ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(B) दिया गया है कि $A$ और $B$ क्रम $n=3$ के वर्ग आव्यूह हैं।
हमें $|A|=5$ और $|B|=3$ दिया गया है।
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$|AB| = |A| \cdot |B| = 5 \times 3 = 15$.
गुणधर्म $|kA| = k^n |A|$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $k$ एक अदिश है और $n$ वर्ग आव्यूह का क्रम है,हमें प्राप्त होता है:
$|3AB| = 3^3 |AB|$.
चूँकि $n=3$ है,इसलिए $3^3 = 27$.
अतः,$|3AB| = 27 \times 15 = 405$.

(C) दिया गया है,$\Delta=\left|\begin{array}{lll}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\right|$ और $\Delta_1=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ b c & c a & a b \\ a & b & c\end{array}\right|$.
सबसे पहले,हम $\Delta$ का मान ज्ञात करते हैं:
$\Delta = (a-b)(b-c)(c-a)$.
अब,$\Delta_1$ के लिए,सारणिक के गुणों का उपयोग करने पर:
$\Delta_1 = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ b c & c a & a b \\ a & b & c\end{array}\right|$.
इस सारणिक को हल करने पर हमें प्राप्त होता है कि $\Delta_1 = -(a-b)(b-c)(c-a)$.
अतः,$\Delta_1 = -\Delta$.

(D) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta$ है।
सर्वसमिका $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ का उपयोग करते हुए,हम देखते हैं कि $(n^x + n^{-x})^2 - (n^x - n^{-x})^2$ के रूप के किसी भी पद के लिए,परिणाम $4(n^x)(n^{-x}) = 4(n^0) = 4$ होता है।
स्तंभ संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ लागू करने पर,पहला स्तंभ इस प्रकार बनता है:
$C_1 = \begin{bmatrix} (5^x + 5^{-x})^2 - (5^x - 5^{-x})^2 \\ (6^x + 6^{-x})^2 - (6^x - 6^{-x})^2 \\ (7^x + 7^{-x})^2 - (7^x - 7^{-x})^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{bmatrix}$.
अब सारणिक $\left|\begin{array}{ccc} 4 & (5^x - 5^{-x})^2 & 1 \\ 4 & (6^x - 6^{-x})^2 & 1 \\ 4 & (7^x - 7^{-x})^2 & 1 \end{array}\right|$ है।
चूंकि पहले स्तंभ में समान अवयव $(4)$ हैं,हम सारणिक से $4$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$4 \left|\begin{array}{ccc} 1 & (5^x - 5^{-x})^2 & 1 \\ 1 & (6^x - 6^{-x})^2 & 1 \\ 1 & (7^x - 7^{-x})^2 & 1 \end{array}\right|$.
चूंकि स्तंभ $1$ और स्तंभ $3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $4 \times 0 = 0$ है।

(B) हम जानते हैं कि $n \times n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सारणिक का गुणधर्म $|kA| = k^n|A|$ होता है।
यहाँ,आव्यूह $A$ की कोटि $n = 3$ है और अदिश स्थिरांक $k = 5$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$|5A| = 5^3 |A|$
$|5A| = 125|A|$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) हम जानते हैं कि $n \times n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सारणिक का गुणधर्म $|kA| = k^n |A|$ होता है।
यहाँ,आव्यूह $A$ की कोटि $3 \times 3$ है,इसलिए $n = 3$ है।
मान रखने पर,हमें $|3A| = 3^3 |A|$ प्राप्त होता है।
घात की गणना करने पर,$3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$ होता है।
अतः,$|3A| = 27|A|$ है।

(C) दिया गया सारणिक $D = \begin{vmatrix} \log x & \log y & \log z \\ \log 2x & \log 2y & \log 2z \\ \log 3x & \log 3y & \log 3z \end{vmatrix}$ है।
गुणधर्म $\log(ab) = \log a + \log b$ का उपयोग करते हुए,हम पंक्तियों को फिर से लिख सकते हैं:
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ करने पर प्रत्येक अवयव के लिए $\log 2x - \log x = \log 2$ प्राप्त होता है।
$R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ करने पर प्रत्येक अवयव के लिए $\log 3x - \log x = \log 3$ प्राप्त होता है।
अतः,सारणिक इस प्रकार बनता है:
$D = \begin{vmatrix} \log x & \log y & \log z \\ \log 2 & \log 2 & \log 2 \\ \log 3 & \log 3 & \log 3 \end{vmatrix}$.
$R_2$ से $\log 2$ और $R_3$ से $\log 3$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$D = (\log 2)(\log 3) \begin{vmatrix} \log x & \log y & \log z \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$.
चूंकि $R_2$ और $R_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin (\alpha+\delta) \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin (\beta+\delta) \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin (\gamma+\delta)\end{array}\right|$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करके,हम तीसरे स्तंभ का विस्तार कर सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \cos \delta + \cos \alpha \sin \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin \beta \cos \delta + \cos \beta \sin \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin \gamma \cos \delta + \cos \gamma \sin \delta\end{array}\right|$.
सारणिक के गुणधर्म के अनुसार,हम इसे दो सारणिकों के योग के रूप में विभाजित कर सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \cos \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin \beta \cos \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin \gamma \cos \delta\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \sin \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \sin \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma \sin \delta\end{array}\right|$.
पहले सारणिक के तीसरे स्तंभ से $\cos \delta$ और दूसरे सारणिक के तीसरे स्तंभ से $\sin \delta$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = \cos \delta \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin \beta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin \gamma\end{array}\right| + \sin \delta \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma\end{array}\right|$.
पहले सारणिक में,स्तंभ $1$ और स्तंभ $3$ समान हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।
दूसरे सारणिक में,स्तंभ $2$ और स्तंभ $3$ समान हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।
अतः,$\Delta = \cos \delta (0) + \sin \delta (0) = 0$.

(D) दिया गया सारणिक समीकरण:
$\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta & 1+\cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta-1\end{array}\right|=0$
स्तंभ संक्रिया $C_{1} \rightarrow C_{1}+C_{2}$ लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta+1+\cos ^{2} \theta & 1+\cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta-1\end{array}\right|=0$
चूंकि $\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1$,इसलिए यह समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आता है:
$\left|\begin{array}{ccc}2 & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ 2 & 1+\cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ 1 & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta-1\end{array}\right|=0$
अब पंक्ति संक्रिया $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow 2 R_{3}-R_{1}$ लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}2 & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta-2\end{array}\right|=0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2 \times [1 \times (4 \sin 2 \theta-2) - 0] = 0$
$8 \sin 2 \theta-4=0 \Rightarrow \sin 2 \theta=\frac{1}{2}$
अब,सर्वसमिका $\cos 4 \theta=1-2 \sin ^{2} 2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\cos 4 \theta=1-2\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=1-2\left(\frac{1}{4}\right)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

(B) दिया गया सारणिक $A = \left|\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right|$ है।
हमें $B = \left|\begin{array}{ccc}c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{array}\right|$ दिया गया है।
सबसे पहले,$B$ की पहली और दूसरी पंक्ति को आपस में बदलने पर $B' = -\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{array}\right|$ प्राप्त होता है।
इसके बाद,$B'$ की दूसरी और तीसरी पंक्ति को आपस में बदलने पर $B'' = -(-1) \left|\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3}\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3}\end{array}\right|$ प्राप्त होता है।
चूंकि किसी आव्यूह का सारणिक उसके परिवर्त (transpose) के सारणिक के बराबर होता है,इसलिए $\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3}\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right| = A$ होता है।
अतः,$A = B$।

(B) दिया गया है $ \Delta = \begin{vmatrix} Ax & x^2 & 1 \\ By & y^2 & 1 \\ Cz & z^2 & 1 \end{vmatrix} $.
$ R_1, R_2, R_3 $ से क्रमशः $ x, y, z $ उभयनिष्ठ लेने पर:
$ \Delta = xyz \begin{vmatrix} A & x & \frac{1}{x} \\ B & y & \frac{1}{y} \\ C & z & \frac{1}{z} \end{vmatrix} $.
$ C_3 $ को $ xyz $ से गुणा करने पर:
$ \Delta = \begin{vmatrix} A & x & yz \\ B & y & zx \\ C & z & xy \end{vmatrix} $.
सारणिक का परिवर्त (transpose) लेने पर:
$ \Delta = \begin{vmatrix} A & B & C \\ x & y & z \\ yz & zx & xy \end{vmatrix} = \Delta_1 $.
अतः,$ \Delta_1 = \Delta $.

(D) कथन $(a)$ सारणिक का एक मूलभूत गुण है: यदि दो पंक्तियाँ या स्तंभ समान हैं,तो सारणिक $0$ होता है।
कथन $(b)$ उस गुण को संदर्भित करता है कि आव्यूह $A$ का सारणिक उसके परिवर्त आव्यूह $A^T$ के सारणिक के बराबर होता है,अर्थात $|A| = |A^T|$। अतः,पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलने से मान नहीं बदलता है।
कथन $(c)$ एक गुण है जो बताता है कि किन्हीं दो पंक्तियों या स्तंभों को आपस में बदलने से सारणिक को $-1$ से गुणा किया जाता है,जिससे उसका चिह्न बदल जाता है।
अतः,सभी कथन $(a)$,$(b)$ और $(c)$ सही हैं।

(C) दिया गया है कि आव्यूह $A$,$3 \times 3$ कोटि का है।
हम जानते हैं कि $n \times n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह के लिए,सारणिक का गुणधर्म $|KA| = K^{n}|A|$ होता है।
यहाँ,आव्यूह की कोटि $n = 3$ है।
सूत्र में $n = 3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|KA| = K^{3}|A|$ प्राप्त होता है।