यदि $\Delta = \begin{vmatrix} a + x & b & c \\ b & x + c & a \\ c & a & x + b \end{vmatrix}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सारणिक का एक गुणनखंड है?

यदि $x, y, z$ सभी धनात्मक हैं और क्रमशः एक गुणोत्तर श्रेणी के $p$-वें,$q$-वें और $r$-वें पद हैं,तो सारणिक $\left|\begin{array}{lll} \log x & p & 1 \\ \log y & q & 1 \\ \log z & r & 1 \end{array}\right|$ का मान क्या होगा?

सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{array} \right|$ किसके बराबर नहीं है?

सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके और बिना विस्तार किए सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{lll}b+c & q+r & y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right|$

यदि $\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta & 1+\cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta-1\end{array}\right|=0$ और $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,तो $\cos 4 \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A$ और $B$ दो वर्ग आव्यूह हैं जहाँ $\det(A) = 5$ और $\det(B^T \cdot A^T) = -15$ है,तो $\det(B)$ का मान ज्ञात कीजिए।