$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{a - 1}&a&{bc}\\{b - 1}&b&{ca}\\{c - 1}&c&{ab}\end{array}\,} \right| = $

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{19}&{17}&{15}\\9&8&7\\1&1&1\end{array}\,} \right| = $

माना $\mathrm{A}_1, \mathrm{~A}_2, \mathrm{~A}_3$ तीन A.P. है, जिनका सार्वअंतर $\mathrm{d}$ है तथा जिनके पहले पद क्रमशः $\mathrm{A}, \mathrm{A}+1, \mathrm{~A}+2$, है। माना $\mathrm{A}_1, \mathrm{~A}_2, \mathrm{~A}_3$ के $7$ वाँ, $9$ वाँ व $17$ वाँ पद क्रमश: $a, b, c$ है तथा $\left|\begin{array}{lll}\mathrm{a} & 7 & 1 \\ 2 \mathrm{~b} & 17 & 1 \\ \mathrm{c} & 17 & 1\end{array}\right|+70=0$ है। यदि $\mathrm{a}=29$, है, तो उस $AP$ जिसका पहला पद $\mathrm{c}-$ $\mathrm{a}-\mathrm{b}$ है तथा सार्वअंतर $\frac{\mathrm{d}}{12}$ है, के प्रथम $20$ पदों का योग बराबर ____________ है।

उन पूर्णाकों $x$ की संख्या क्या होगी जो  $-3 x^4+\operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ 1 & x^2 & x^4 \\ 1 & x^3 & x^6\end{array}\right]=0$  को संतुष्ट करते हैं

माना रैखिक समीकरण $x +2 y + z =2$, $\alpha x +3 y - z =\alpha,-\alpha x + y +2 z =-\alpha$ असंगत है तो $\alpha$ बराबर होगा।

समीकरण $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&a&x\\m&m&m\\b&x&b\end{array}\,} \right| = 0$ के मूल हैं