શ્રેણિક $P = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે શ્રેણિક $X$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $X^T$ છે. તો પૂર્ણાંક ઘટકો ધરાવતા $3 \times 3$ વ્યસ્ત શ્રેણિકો $Q$ ની સંખ્યા,કે જેથી $Q^{-1} = Q^T$ અને $PQ = QP$ થાય,તે કેટલી છે?

ધારો કે $A$ એ $0$ અથવા $1$ ઘટકો ધરાવતા તમામ $3 \times 3$ શ્રેણિકોનો ગણ છે. ધારો કે $B$ એ $A$ નો ઉપગણ છે જેમાં નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $1$ હોય તેવા તમામ શ્રેણિકો છે. ધારો કે $C$ એ $A$ નો ઉપગણ છે જેમાં નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $-1$ હોય તેવા તમામ શ્રેણિકો છે. તો:

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{bmatrix}$,જ્યાં $x, y$ અને $z$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $x + y + z > 0$ અને $xyz = 2$ થાય. જો $A^2 = I_3$ હોય,તો $x^3 + y^3 + z^3$ ની કિંમત ............ છે.

ધારો કે $\quad P_1=I=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], \quad P_2=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right], \quad P_3=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], \quad P_4=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right], \quad P_5=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right], \quad P_6=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ અને $X=\sum_{k=1}^6 P_k \left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right] P_k^{\top}$ જ્યાં $P_k^{\top}$ એ શ્રેણિક $P_k$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક દર્શાવે છે. તો નીચેનામાંથી કયો/કયા વિકલ્પ સાચો/સાચા છે?
$(1)$ $X - 30I$ એ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે
$(2)$ $X$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $18$ છે
$(3)$ જો $X \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]=\alpha\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$ હોય,તો $\alpha=30$
$(4)$ $X$ એ સંમિત શ્રેણિક છે

જો $A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ હોય,તો સાબિત કરો કે $A^{n}=\begin{bmatrix} 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \end{bmatrix}$,જ્યાં $n \in N$.

સ્તંભ $I$ માં આપેલા વિધાનોને સ્તંભ $II$ માં આપેલા અંતરાલો/અંતરાલોના યોગગણ સાથે જોડો.

સ્તંભ $I$	સ્તંભ $II$
$(A)$ ગણ $\{\operatorname{Re}(\frac{2 i z}{1-z^2}): |z|=1, z \neq \pm 1\}$ એ છે	$(p)$ $(-\infty,-1) \cup(1, \infty)$
$(B)$ $f(x)=\sin ^{-1}(\frac{8(3)^{x-2}}{1-3^{2(x-1)}})$ નો પ્રદેશ છે	$(q)$ $(-\infty, 0) \cup(0, \infty)$
$(C)$ જો $f(\theta)=\left|\begin{array}{ccc}1 & \tan \theta & 1 \\ -\tan \theta & 1 & \tan \theta \\ -1 & -\tan \theta & 1\end{array}\right|$,તો ગણ $\{f(\theta): 0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}\}$ છે	$(r)$ $[2, \infty)$
$(D)$ જો $f(x)=x^{3 / 2}(3 x-10), x \geq 0$,તો $f(x)$ એ કયા અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે	$(s)$ $(-\infty,-1] \cup[1, \infty)$
	$(t)$ $(-\infty, 0] \cup[2, \infty)$