$\left\{0, 1, 2\right\}$ માંથી ઘટકો ધરાવતા કેટલા $3 \times 3$ શ્રેણિકો $M$ છે,જેના માટે $M^T M$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $5$ થાય?

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 5 & \sin^2 \theta & \cos^2 \theta \\ -\sin^2 \theta & -5 & 1 \\ \cos^2 \theta & 1 & 5 \end{bmatrix}$. તો $\det(A)$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

ધારો કે $A = (a_{ij})$ એ $n \times n$ શ્રેણિક છે જે $a_{ij} = \begin{cases} k^i, & \forall i=j \\ 0, & \text{અન્યથા} \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. જો $m = \text{trace of } A$ અને $\lim_{k \rightarrow 1} \frac{n-m}{1-k} = 171$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $M$ એ $3 \times 3$ ક્રમના તમામ વાસ્તવિક શ્રેણિકોનો ગણ છે અને $S=\{-3,-2,-1,1,2\}$ છે. ધારો કે $S_1=\{A=[a_{ij}] \in M: A=A^{T} \text{ અને } a_{ij} \in S, \forall i, j\}$,$S_2=\{A=[a_{ij}] \in M: A=-A^{T} \text{ અને } a_{ij} \in S, \forall i, j\}$,અને $S_3=\{A=[a_{ij}] \in M: a_{11}+a_{22}+a_{33}=0 \text{ અને } a_{ij} \in S, \forall i, j\}$. જો $n(S_1 \cup S_2 \cup S_3)=125 \alpha$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

જો $\Delta _1 = \left| \begin{array}{ccc} b^5c^6(c^3 - b^3) & a^4c^6(a^3 - c^3) & a^4b^5(b^3 - a^3) \\ b^2c^3(b^6 - c^6) & ac^3(c^6 - a^6) & ab^2(a^6 - b^6) \\ b^2c^3(c^3 - b^3) & ac^3(a^3 - c^3) & ab^2(b^3 - a^3) \end{array} \right|$ અને $\Delta _2 = \left| \begin{array}{ccc} a & b^2 & c^3 \\ a^4 & b^5 & c^6 \\ a^7 & b^8 & c^9 \end{array} \right|$ હોય,તો $\Delta _1 \Delta _2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $|A|=6$ જ્યાં $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે. જો $|adj(3adj(A^{2} \cdot adj(2A)))|=2^{m} \cdot 3^{n}$,$m, n \in N$ હોય,તો $m+n$ ની કિંમત શોધો: