ધારો કે $M$ એ વાસ્તવિક ઘટકો ધરાવતો $3 \times 3$ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે અને $I$ એ $3 \times 3$ એકમ શ્રેણિક છે. જો $M^{-1} = \operatorname{adj}(\operatorname{adj} M)$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો $ALWAYS \text{ } TRUE$ છે?

કોઈપણ $3 \times 3$ શ્રેણિક $M$ માટે,$| M |$ એ $M$ નો નિશ્ચાયક દર્શાવે છે. ધારો કે $E=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 8 & 13 & 18 \end{bmatrix}$,$P=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ અને $F=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 8 & 18 & 13 \\ 2 & 4 & 3 \end{bmatrix}$. જો $Q$ એ $3 \times 3$ ક્રમનો બિન-શૂન્ય શ્રેણિક હોય,તો નીચેનામાંથી કયા વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A)$ $F = PEP$ અને $P^2 = I$
$(B)$ $| EQ + PFQ^{-1} | = | EQ | + | PFQ^{-1} |$
$(C)$ $|(EF)^3| > |EF|^2$
$(D)$ $P^{-1}EP + F$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો એ $E + P^{-1}FP$ ના વિકર્ણ ઘટકોના સરવાળા જેટલો છે.

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} \beta & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$,જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. ધારો કે $\alpha_{1}$ એ $\alpha$ ની એવી કિંમત છે જે $(A + B)^{2} = A^{2} + \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$ નું સમાધાન કરે છે અને $\alpha_{2}$ એ $\alpha$ ની એવી કિંમત છે જે $(A + B)^{2} = B^{2}$ નું સમાધાન કરે છે. તો $|\alpha_{1} - \alpha_{2}|$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $S = \{\sqrt{n} : 1 \leq n \leq 50, n \text{ એ એકી સંખ્યા છે}\}$. ધારો કે $a \in S$ અને $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & a \\ -1 & 1 & 0 \\ -a & 0 & 1 \end{bmatrix}$. જો $\sum_{a \in S} \operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = 100 \lambda$ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો:

નીચેનામાંથી કયું ખોટું છે?

જો $\left( A - \frac{I}{2} \right)$ અને $\left( A + \frac{I}{2} \right)$ બંને લંબકોણીય શ્રેણિકો (orthogonal matrices) હોય,તો: